余弦定理知识点+经典题(有答案)
解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案
解三角形
【考纲说明】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
【知识梳理】
一、正弦定理
1、正弦定理：在△ABC 中，R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB
C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c
A B C R R R
=
== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）
2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C
++====++.
3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC
abc S ah ab C ac B bc A R A B C R
∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理
1、余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=⇔bc
a
c b A 2cos 2
2
2
-+=
B ac a c b cos 22
2
2
-+=⇔ca
b a
c B 2cos 2
2
2
-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=⇔ab
c b a C 2cos 2
正余弦定理 15道经典基础例题
正余弦定理 15道经典基础例题
例1、（共5分，2分钟）在∆ABC 中,若∠A =60°,∠B =45° ,BC =3√2 ,则AC=（ ）
A ．4√3
B ．2√3
C ．√3 D.√3
2
解答:由正弦定理,可得AC sin45°=BC
sin60° 所以AC =
3√2
√32
×
√22
=2√3
可得答案B
考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆
例2、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若a 2+b 2=2c 2，则sin C 的最小值为（ ）
A. √3
2 B. √2
2 C. 1
2 D. −1
2 解答：cos C =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=
2c 2−c 22ab
≥c 2
a 2+
b 2=1
2
可得答案C
考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆ 例3、（共5分，3分钟）在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°,则BC 边上
的高等于( )． A.
32
B.
3
32
C.
3＋62
D.
3＋394
解答：设AB ＝c ，BC 边上的高为h .
由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°， 即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．
又h ＝c ·sin 60°＝3×32
＝
33
2
，故选B.
可得答案B
考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例4、（共5分，3分钟）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b =5c,C =2B ，则cos C = ( ) A.7
第三章 第八节 正弦定理和余弦定理的应用(优秀经典课时作业练习及答案详解)
课时作业
A组——基础对点练
1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是
() A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC
＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2
＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h
＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：A
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A
在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A
在灯塔B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东80°D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案：D
3.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在
所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB
＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为
()
A．50 2 m B．50 3 m
C．25 2 m D.252
2m
解析：由正弦定理得
AB
sin∠ACB
＝AC
sin B
，
∴AB＝AC·sin∠ACB
sin B
＝
50×
2
2
1
2
最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析
最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析
1.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝2
3
，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()
A.1
9B．
1
3
C．1
2D．
2
3
2. (2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.
3.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
4.(2020·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.
(1)求角C 的大小；
(2)求sin A 的值；
(3)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2A ＋π4的值．
5．(2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择(1)a 的值；
(2)sin C 和△ABC 的面积．
条件①：c ＝7，cos A ＝－17；
条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1.答案 A
解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2
＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝
AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
正弦定理与余弦定理
【知识概述】
在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，
C R c sin 2=
R a A 2sin =
，R b B 2sin =，R
c C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===
C B A c b a sin :sin :sin ::=
2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 22
2
2
2
2
2
2
2
2
-+=-+=-+=
定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 2
22222222ab
c b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=
3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=
4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆
【学前诊断】
1．[难度] 易
在△ABC 中，若0
030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易
在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)
正弦定理、余弦定理的应用举例
一、选择题
图3－8－9
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()
A．50 2 m B．50 3 m
C．25 2 m D.252
2m
2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()
A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里
图3－8－10
3．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里
图3－8－11
4．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()
A.21
7 B.
2
2 C.
3
2 D.
57
14
图3－8－12
5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()
正弦定理余弦定理超经典练习题
正弦定理、余弦定理练习题
一、选择题
1.已知在△ABC中,sin A:sin B：sin C＝3:２:４,那么ｃos C的值为
A.－
B.Ｃ.- D.
3.在△ABＣ中，ｂcos A＝a cos B,则三角形为
Ａ.直角三角形B.锐角三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ.等边三角形
４.已知三角形的三边长分别为x２+x+1,x2-1和2x+1(ｘ＞1),则最大角为
A.15０°Ｂ．120° C.60° D.7５°
5.在△ABC中，=1，=2,(＋)·（+）＝5+２则边｜|等于
A.B．5－２Ｃ.Ｄ．
6.在△AＢＣ中，已知B=30°,b=5０,c=１5０,那么这个三角形是
A．等边三角形 B.直角三角形Ｃ．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形
7.在△ABC中，若b２sin2C＋c2siｎ2Ｂ=2ｂc cos B coｓC，则此三角形为
A.直角三角形Ｂ．等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.正弦定理适应的范围是
Ａ.Rt△Ｂ.锐角△Ｃ．钝角△Ｄ.任意△
9.已知△ABＣ中,a＝10,B=６０°,C=45°,则c=
A.１０+
B.10(-1)
C.（+1)
D.10
1０.在△AＢC中,bｓin A
A.一解
B.两解
C.无解D．不确定
11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2－７x－6=0的根，则三角形的另一边长为
A.5２Ｂ.2C．16 D.4
1２.在△ＡＢC中，a２=b2+ｃ２＋bｃ，则Ａ等于
A.60°
B.45°C．12０ D.3０°
１３．在△ABC中，,则△ABＣ是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
高中正余弦定理经典例题
正余弦定理
1.在锐角∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=
b ． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求∆ABC 的面积．
2.在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
．
（1）求的值； （2）若cosB=，∆ABC 的周长为5，求b 的长．
3.在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，已知3acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA 的值
（2）若a=1，，求边c 的值．
4．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ．已知
． （1）若∆ABC 的面积等于，求a ，b ；
（2）若sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求∆ABC 的面积．
5．∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cosB=．
（1）求
C anA tan 1t 1+的值； （2）若•=，求a+c 的值．
6．已知∆ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
． （1）求cosA 的值；
（2）若a ，b ，c 成等差数列，求sinC 的值．
7．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设S 为∆ABC 的面积，满足
．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若，且，求c 的值．
8. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0．
正余弦定理知识点经典题有答案
正余弦定理
1.定理内容：
（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2sin sin sin a b c
R A B C
=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：
2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
（3）面积定理：111
sin sin sin 222
ABC S ab C bc A ac B ∆=
== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：
（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
高一数学正弦、余弦定理的经典题目
1．已知在ABC ∆中，10c =，45A = ，30C =
，解三角形. 2在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
3在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =2:1），
求ABC ∆的各角的大小．
4在ABC ∆中，若2
2
2
a b c bc =++，求角A .
5(2009·广东高考)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋
2，且∠A ＝75°，则b ＝ ( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3 D.6－2
6(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .
7(2010·天津模拟)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则
△ABC 的形状 ( ) A ．正三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
8．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
9．在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ ( ) A.817 B.1517 C.1315 D.13
17
10．(2009·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2
正余弦定理经典试题
正余弦定理经典试题
正余弦定理是三角学中常用的关于三角形边长和角度之间的关系定理。它是解决三角形相关问题的重要工具之一。在这篇文章中，我们
将通过经典试题来探讨正余弦定理的应用。
试题一：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。求角A的正弦、余弦值。
解析：根据正弦定理，我们知道a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。可以
将已知值代入这个公式，解得sin(A) = a/c，cos(A) = b/c。
试题二：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。角A的正弦值为2/3，求角B的正弦、余弦值。
解析：已知sin(A) = 2/3，根据正弦定理，我们可以得到a/sin(A) =
b/sin(B) = c/sin(C)。将已知值代入公式，得到a/(2/3) = b/sin(B)，即3a/2 = b/sin(B)。进一步化简，得到sin(B) = 2b/3a。根据三角函数的定义，
我们可以得到cos(B) = √(1 - sin^2(B))。
试题三：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。角A的正弦、余弦值分别为1/2和
√3/2，求角C的正弦、余弦值。
解析：已知sin(A) = 1/2，cos(A) = √3/2，根据正弦定理，我们可以
得到a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。将已知值代入公式，得到a/(1/2) =
b/sin(B)，即2a = 2b/sin(B)，进一步化简，得到b/sin(B) = 2a。根据三角
08正弦定理与余弦定理(含经典例题+答案)
正弦定理与余弦定理
(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b
＋c )(r 为内切圆半径)．
例1：在ABC ∆中，下列等式总能成立的是 （ ）
A ()C sin sin ab C bc
B = ()D sin sin a
C c A =
B ＝ ( )
例4.在ABC △中，设,,a b c 满足条件 b c bc a +-=，求A ∠。 ．
解： αβcos cos A b =sin cos sin cos A A B B ⇒=；1
1
sin 2sin 2;222+2=18022
A B A B A B ∴=
=︒或
故△ABC 为等腰或者直角三角形。
例7.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝34，∠A ＝30°，则∠B 等于
解：4433sin sin sin sin30sin 2a b B A B B =⇒=⇒=
︒，根据三角形大边对大角，B 可以为锐角或者钝角，故∠B=60°或120°
ABC ∆A.0020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A === D. 012,15,120a c A === 解：A 选项的已知条件是ASA ，故只有一解；B 选项的已知条件是SAS ，故只有一解；C 选项是SSA ，无
全等的三角形定理，且大边b 对的角为未知角，42
sin 7
B =
故有两解；D 选项是SSA ，无全等的三角形定理，且大边b 对的角为未知角，小角0120A =但与大边对大角矛盾，故无解。 在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定
(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题
正弦定理、余弦定理练习题
一、选择题
1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为
A.-
B.
C.-
D.
2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是
A.0B.1 C.2 D.无数个
3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为
A.150°
B.120°
C.60°
D.75°
5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于
A.B.5-2 C. D.
6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8.正弦定理适应的范围是
A.Rt△
B.锐角△
C.钝角△
D.任意△
9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=
A.10+
B.10（-1）
C.（+1）
D.10
10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有
A.一解
B.两解
C.无解
D.不确定
11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为
A.52
B.2
C.16
D.4
12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于
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余弦定理
余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：
2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边：
余弦定理
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3
，那么AC 等于( )A ．6 B ．2
6 C ．3
6 D ．4
6
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝
3ac ，
则∠B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB
→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB
→·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4
7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )
A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2
8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________．
11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1
3
，S△ABC＝43，则b＝________.
12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．
13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2
4
，则角C＝________.
14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
16．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC
的面积为1
6
sin C，求角C的度数．
17．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π
4
)的值．
18．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC的形状．
余弦定理
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1
3，那么AC 等于( )
A ．6
B ．2 6
C ．3
6
D ．4
6
解析：选A.由余弦定理，得
AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝
42＋62－2×4×6×
13
＝6.
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B.
2
C.
5
D ．2
解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(
3－1)cos30°
＝2， ∴c ＝
2.
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°
D ．150°
解析：选D.cos∠A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc
＝
－3bc 2bc
＝－
32
，
∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝
3ac ，
则∠B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得
cos B ＝
a 2＋c 2－
b 2
2ac ＝3
2·1
tan B ＝32·cos B
sin B
.
显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π
3
.
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b
C ．c
D ．以上均不对
解析：选C.a ·
a 2＋c 2－
b 2
2ac
＋b ·
b 2＋
c 2－a 22bc
＝2c 2
2c
＝c .
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定
解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，
则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，
又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
7．已知锐角三角形ABC 中，|AB
→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB
→·AC →的值为