2020年湖南长沙雅礼实验中学中考数学模拟试卷(图片版无答案)
湖南省长沙市雅礼实验中学2019-2020学年九年级中考数学模拟试卷(解析版)
湖南省长沙市雅礼实验中学2020年中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下列四个数−1，0，−√2，2中，最小的数是()A. −1B. 2C. −√2D. 02.2016猴年春晚在某网站取得了同时在线人数超16000000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，则16000000用科学记数法可表示为()A. 0.16×108B. 1.6×107C. 1.6×108D. 16×1063.下列运算正确的是()A. x3⋅x2=x5B. (x3)2=x5C. (x+1)2=x2+1D. (2x)2=2x24.如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，从上面看到的图形是()A. B.C. D.5.成绩/次160165170175180185190人数1235842则这些同学跳绳成绩的中位数，众数分别是()A. 175，180B. 175，190C. 180，180D. 180，1906.若等腰三角形的两边长分别为a和b，且满足|a−4|+√8−b=0，则该等腰三角形的周长是()A. 12B. 16C. 20D. 16 或 207.下列事件中，是随机事件的是()A. 任意画一个三角形，其内角和为180°B. 经过有交通信号的路口，遇到红灯C. 太阳从东方升起D. 任意一个五边形的外角和等于540°8.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O=63°，则∠O的度数是()A. 21°B. 27°C. 30°D. 42°9. 若直线y =kx +b 平行于直线y =3x −4，且过点(1,−2)，则该直线的表达式是( ) A. y =3x −2 B. y =−3x −6 C. y =3x −5 D. y =3x +5 10. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =32°.分别以A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D 和E ，连接DE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠AFC 的度数为( )A. 60°B. 62°C. 64°D. 65°11. 《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：”今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，则可列方程组为( )A. {5x +2y =102x +5y =8 B. {5x −2y =102x −5=8C. {5x +2y =102x −5y =8D. {5x +2y =82x +5y =1012. 如图，正方形ABCD 的边与正方形CGFE 的边CE 重合，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH 、FH ，EG 与FH 交于点M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE②HO //=12BG ；③GH 2=GM ⋅GE ；④△GBE ∽△GMF ，其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18分）13. 分解因式：3ax 2+6axy +3ay 2=______．14. 如果√x −2有意义，那么x 的取值范围是______．15. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为______．16. 已知x =2是关于x 的一元二次方程(m −2)x 2+4x −2m 2=0的一个根，则m 的值为______．17. 河堤横断面如图所示，坝高8米，迎水坡AC 的高坡比为1：√3，则AB 的长为______．18.如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y=1x(x>0)图象上，则点F的坐标是_______．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.计算：(−2)−1−4cos30°+|−12|+√12−(3−π)0四、解答题（本大题共7小题，共60分）20.解不等式组：{2x−7<3(x−1)43x+3<1−23x，并将解集表示在数轴上．21.某中学在全校学生中开展了“地球−我们的家园”为主题的环保征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖，根据奖项的情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)该校获奖的总人数为______ ，并把条形统计图补充完整；(2)求在扇形统计图中表示“二等奖”的扇形的圆心角的度数；(3)获得一等奖的4名学生中有3男1女，现打算从中随机选出2名学生参加颁奖活动，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．22.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF=60°，底端的仰角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．23.某文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元，B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元，B种羽毛球拍售价为每副12元，全部售完后共获利270元．(1)求这个文教店购进A、B两种羽毛球拍各多少副？(2)若该文教店以原进价再次购进A、B两种羽毛球拍，且购进A种羽毛球拍的数量不变，而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍，B种羽毛球拍按原售价销售，而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时，要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元？24.已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE//BC，过点C作CD//BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BC=5，AB=8，求OF的长．25.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y 满足：当m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”．(1)反比例函数y=k是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；x(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若函数y=x2是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx−2(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2,3)，B(−4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求△BMC面积的最大值；(3)在(2)中△BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵2>0>−1>−√2，∴最小的数为−√2，故选C．2.【答案】B【解析】解：16000000=1.6×107，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：A、x3⋅x2=x5，此选项正确；B、(x3)2=x6，此选项错误；C、(x+1)2=x2+2x+1，此选项错误；D、(2x)2=4x2，此选项错误；故选：A．把原式各项计算得到结果，即可做出判断．此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：从上边看第一列是三个小正方形，第二列中间一个小正方形，故选：B．根据从上边看得到的图形是俯视图．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5.【答案】C【解析】【分析】此题考查众数与中位数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大排列，位于中间的那个数或者中间两位数的平均数．【解答】解：共25名学生，则13名的成绩为中位数，即180，180出现次数最多，所以众数为180，故选C．6.【答案】C【解析】解：∵|a−4|+√8−b=0，∴a−4=0，8−b=0，解得：a=4，b=8，当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当8为腰时，三边为4，8，8，符合三角形三边关系定理，周长为：4+8+8=20．故选：C．并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据8，4分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．7.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】A.任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B.经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C.太阳从东方升起是必然事件；D.任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件．故选B．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．直接根据圆周角定理得出方程即可得出结论．【解答】解：∵2∠C=∠O，∵∠C+∠O=63°，∴∠O=42°，故选：D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，掌握两直线平行的条件是解题的关键，属于基础题．【解答】解：直线y=kx+b平行于直线y=3x−4，则k=3，又直线y=3x+b过点(1,−2)，则3+b=−2，所以b=−5，则则该直线的表达式是y=3x−5．故选C.10.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半可得CF =FB ，再由等边对等角可得∠BCF 的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得答案． 【解答】解：由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线， ∵∠ACB =90°， ∴CF =FB ， ∵∠B =32°， ∴∠BCF =32°，∴∠AFC =32°+32°=64°． 故选：C ．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两， 可得方程组{5x +2y =102x +5y =8故选A ．12.【答案】C【解析】解：①∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形， ∴BC =CD ，CE =CG ，∠BCE =∠DCG ， 在△BCE 和△DCG 中，{BC =DC ∠BCE =∠DCG CE =CG， ∴△BCE≌△DCG(SAS)， ∴∠BEC =∠BGH ，∵∠BGH +∠CDG =90°，∠CDG =∠HDE ， ∴∠BEC +∠HDE =90°， ∴GH ⊥BE ． 故①正确；②∵GH 是∠EGC 的平分线， ∴∠BGH =∠EGH ，在△BGH和△EGH中，{∠BGH=∠EGH GH=GH ∠GHB=∠GHE ，∴△BGH≌△EGH(ASA)，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线∴HO//BG，HO=12BG，故②正确；③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH2=GM⋅GE，但由题意得：∠FOE=90°，因此③错误；④连接CF，如图所示：由(1)得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH=OG=OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC=∠CGH，∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，∴∠FMG=∠GBE，又∵∠EGB=∠FGM=45°，∴△GBE∽△GMF．故④正确，故选：C．①由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；②由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得出②正确；③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH2=GM⋅GE，但∠FOE=90°，得出③错误④连接CF，证明点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，得出△GBE∽△GMF，④正确．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、射影定理、圆周角定理等知识；熟练掌握正方形的性质，本题有一定难度，证明三角形全等和相似是解决问题的关键．13.【答案】3a(x+y)2【解析】解：3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2．故答案为：3a(x+y)2．先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.【答案】x≥2【解析】解：由题意得，x−2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15.【答案】4πcm2【解析】解：此几何体为圆锥；∵直径为2cm，母线长为4cm，∴侧面积=2π×4÷2=4π(cm2).故答案为4πcm2．俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．16.【答案】0【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．由x=2为方程的解，将x=2代入方程即可求出m的值．【解答】解：根据题意将x=2代入方程得：4(m−2)+8−2m2=0，整理得：2m2−4m=0，即2m(m−2)=0，解得：m=0或2，当m=2时，方程为4x−8=0，不合题意，舍去；则m=0，故答案为：0．17.【答案】16m【解析】解：∵坝高8米，迎水坡AC的高坡比为1：√3，∴AC=8√3m，故在Rt△BCA中，AB=√82+(8√3)2=16(m)．故答案为：16m．直接利用坡比得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AC的长是解题关键．)18.【答案】(2,12【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可以求得点P的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】)，解：设点P的坐标为(a,1a∵四边形OAPB是正方形，∴a=1a，解得a=1或a=−1(舍去)，∴点P的坐标为(1,1)，∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE=DF=12，当y=12时，12=1x，得x=2，∴点F的坐标为(2,12).故答案为(2,12).19.【答案】解：(−2)−1−4cos30°+|−12|+√12−(3−π)0=−0.5−4×√32+0.5+2√3−1=−2√3+2√3−1=−1【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：解不等式2x−7<3(x−1)，得：x>−4，解不等式43x+3<1−23x，得：x<−1，则不等式组的解集为−4<x<−1，将解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】40【解析】解：(1)总人数是：12÷30%=40，则二等奖的人数是：40−4−12−16=8．(2)扇形统计图中表示“二等奖”的扇形的圆心角的度数为840×360°=72°；(3)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有6种情况，∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是：612=12．(1)根据优秀奖的有12人，占30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数，即可求得二等奖的人数；(2)利用360°乘以对应的百分比，即可求得圆心角的度数；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生恰好是1男1女的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：先过点B作BG⊥DE于点G．∵DE⊥CE，EC⊥CF，DF⊥AC，∴四边形DECF是矩形，∵BC=1m，DE=2m，∴EG=BC=1m，DG=BF=1m，在Rt△DBF中，∵∠BDF=30°，BF=1m，∴DF=BFtan30∘=1√33=√3，同理，在Rt△ADF中，∵∠ADF=60°，DF=√3，∴AF=DF⋅tan60°=√3×√3=3(m)．∴AB=AF+BF=3+1=4m．答：壁画AB的高度是4米．【解析】先过点B 作BG ⊥DE 于点G ，由于DE ⊥CE ，EC ⊥CE ，DF ⊥AC ，故四边形DECF 是矩形，BC =1m ，DE =2m ，所以EG =BC =1m ，故DG =BF =1m ，在Rt △DBF 中，由锐角三角函数的定义可求出DF 的长，同理在Rt △ADF 中由锐角三角函数的定义可求出AF 的长，根据AB =AF +BF 即可得出结论．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键． 23.【答案】解：(1)设文具店购进A 种羽毛球排x 副，B 种羽毛球排y 副，由题意，得{12x +10y =1200(15−12)x +(12−10)y =270， 解得：{x =50y =60， 即这个文具店购进A 种羽毛球排50副，B 种羽毛球排60副；(2)设A 种羽毛球排每副的最低售价为m 元，由题意，得50(m −12)+2×60(12−10)≥340，解得：m ≥14，故A 种羽毛球排每副的最低售价为14元．【解析】(1)利用文具店用1200元购进了A 、B 两种羽毛球拍，全部售完后共获利270元，分别得出等式，组成方程组求出答案；(2)利用再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，得出不等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等式是解题关键．24.【答案】(1)证明：∵OC ⊥AB ，CD//BA ，∴∠DCF =∠AHF =90°，∴CD 为⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥AB ，AB =8，∴AH =BH =AB 2=4，在Rt △BCH 中，∵BH =4，BC =5，由勾股定理得：CH =3，∵AE//BC ，∴∠B =∠HAF ，∵∠BHC =∠AHF ，BH =AH ，∴△HAF≌△HBC ，∴FH =CH =3，CF =6，连接BO ，设BO =x ，则OC =x ，OH =x −3．在Rt △BHO 中，由勾股定理得：42+(x −3)2=x 2，解得x =256，∴OF =CF −OC =116， 答：OF 的长是116．【解析】(1)根据平行线的性质和垂直的定义推出∠DCF =90°，根据切线的判定即可判断；(2)根据垂径定理得到AH =BH =3，根据勾股定理求出CH ，证△HAF≌△HBC ，得出FH =CH =3，CF =6，连接BO ，设BO =x ，则OC =x ，OH =x −3，由勾股定理得到42+(x −3)2=x 2，求出方程的解，就能求出答案． 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，平行线的性质，切线的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．25.【答案】(1)反比例函数y =2013x 是闭区间[1,2013]上的“闭函数”.理由如下： 反比例函数y =2013x 在第一象限，y 随x 的增大而减小，当x =1时，y =2013；当x =2013时，y =1，所以，当1≤x ≤2013时，有1≤y ≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y =2013x是闭区间[1,2013]上的“闭函数”；(2)分两种情况：k >0或k <0．①当k >0时，一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象是y 随x 的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，{km +b =m kn +b =n， 解得：{k =1b =0． ∴此函数的解析式是y =x ；②当k <0时，一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象是y 随x 的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，{km +b =n kn +b =m， 解得：{k =−1b =m +n． ∴此函数的解析式是y =−x +m +n ；(3)∵该二次函数y =x 2的图象开口方向向上，最小值是0，且当x <0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大；∴分以下三种情况讨论：①当0≤a <b 时，根据闭函数定义知：{a 2=a b 2=b， 解得：{a =0b =1或{a =0b =0(舍)或{a =1b =0(舍)或{a =1b =1(舍)； ②当a <0<b 时，此时二次函数的最小值为0，由闭函数定义知a 2=0，b 2=a 或b 2=b ， 解得：{a =0b =0(舍)或{a =0b =1(舍)； ③当a <b ≤0时，根据闭函数定义知：{a 2=b b 2=a， 解得：{a =0(舍)或{a =1(舍)；综上，a =0，b =1．【解析】(1)根据反比例函数y =2013x 的单调区间进行判断；(2)根据新定义运算法则列出关于系数k 、b 的方程组{km +b =m kn +b =n 或{km +b =n kn +b =m ，通过解该方程组即可求得系数k 、b 的值；(3)二次函数y =x 2的图象开口方向向上，最小值是0，且当x <0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大；分以下三种情况：0≤a <b 、a <0<b 、a <b ≤0，分别根据闭函数定义列出关于a 、b 的方程组，求解后依据a 、b 的范围取舍即可得． 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．26.【答案】解：(1)将D(2,3)、B(−4,0)的坐标代入抛物线表达式得：{4a +2b −2=316a −4b −2=0，解得：{a =12b =32， 则抛物线的解析式为：y =12x 2+32x −2；(2)过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =k′x +b′得：{0=−4k′+b′b′=−2，解得：{k′=−12b′=−2， 则直线BC 的表达式为：y =−12x −2，设点M 的坐标为(x,12x 2+32x −2)，则点K(x,−12x −2)，S △BMC =12⋅MK ⋅OB =2(−12x −2−12x 2−32x +2)=−x 2−4x ，∵a =−1<0，∴S △BMC 有最大值，当x =−b 2a =−2时，S △BMC 最大值为4，点M 的坐标为(−2,−3)；(3)如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ， 过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为(−2,−3)，设：点Q 坐标为(−2,m)，点A 、C 的坐标为(1,0)、(0,−2)，tan∠OCA =OA OC =12，∵QH//y 轴，∴∠QHN =∠OCA ，∴tan∠QHN =12，则sin∠QHN =√5， 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =mx +n 得：{m +n =0n =−2， 则直线AC 的表达式为：y =2x −2，则点H(−2,−6)，在Rt △QNH 中，QH =m +6，QN =OQ =√(−2)2+m 2=√m 2+4，sin∠QHN =√5=QN QH =√m 2+4m+6，解得：m =4或−1，即点Q 的坐标为(−2,4)或(−2,−1)．【解析】(1)将D(2,3)、B(−4,0)的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)设点M 的坐标为(x,12x 2+32x −2)，则点K(x,−12x −2)，S △BMC =12⋅MK ⋅OB ，即可求解；(3)如图所示，tan∠QHN =12，在Rt △QNH 中，QH =m +6，QN =OQ =√(−2)2+m 2=√m 2+4，sin∠QHN =√5=QNQH =√m 2+4m+6，即可求解．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是(3)，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．。
湖南省长沙市雅礼中学2024届中考数学全真模拟试题含解析2
湖南省长沙市雅礼中学2024年中考数学全真模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念截图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．千里江山图B．京津冀协同发展C．内蒙古自治区成立七十周年D．河北雄安新区建立纪念2．地球上的陆地面积约为149 000 000千米2，用科学记数法表示为( )A．149×106千米2B．14.9×107千米2C．1.49×108千米2D．0.149×109千23．甲乙两同学均从同一本书的第一页开始，按照顺序逐页依次在每页上写一个数，甲同学在第1页写1，第2页写3，第3页写1，……，每一页写的数均比前一页写的数多2；乙同学在第1页写1，第2页写6，第3页写11，……，每一页写的数均比前一页写的数多1．若甲同学在某一页写的数为49，则乙同学在这一页写的数为（）A．116 B．120 C．121 D．1264．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，∠A=60°，若边AC 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则△BDC 的周长为（ ）A ．8B ．9C ．5+21D ．5+175．已知正比例函数(0)y kx k =≠的图象经过点(1,3)-，则此正比例函数的关系式为（ ）． A ．3y x =-B ．3y x =C ．13y x =D ．13y x =-6．如图，两个反比例函数y 1＝1k x（其中k 1＞0）和y 2＝3x 在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF ⊥x 轴于F 点，且图中四边形BOAP 的面积为6，则EF ：AC 为（ ）A ．3：1B ．2：3C ．2：1D ．29：147．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则BC 的长是( )A ．πB ．13πC ．12πD ．16π8．如图，实数﹣3、x 、3、y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q9．已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°10．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞011．如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（）A．B．C．D．12．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S 正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的顶点C1的坐标是（﹣12，0），∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2018B2018C2018D2018的顶点D2018纵坐标是_____．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．15．如果一个三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的周长是_________．16．已知点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，﹣1﹣b），则ab的值为_____．17．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．18．分解因式: 22-+=_________.a b ab b三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3∶2，两队共同施工6天可以完成．(1)求两队单独完成此项工程各需多少天？(2)此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？20．（6分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；求证：△APE∽△FPA；猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．21．（6分）嘉淇在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：（﹣7）0+|1﹣3|+（33）﹣1﹣□+（﹣1）2018，经询问，王老师告诉题目的正确答案是1．（1）求被覆盖的这个数是多少？（2）若这个数恰好等于2tan （α﹣15）°，其中α为三角形一内角，求α的值．22．（8分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ； （1）已知⊙O 的半径为1．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？23．（8分）先化简，再求值：2221()4244a aa a a a -÷--++，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解． 24．（10分）淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．25．（10分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由26．（12分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩n（分）评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n＜90 B70≤n＜80 C 15n＜70 D 6根据以上信息解答下列问题：（1）求m的值；（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．27．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，23），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．（I）如图1，若α=30°，求点B′的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】根据中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B选项不是中心对称图形，故本选项错误；C选项为中心对称图形，故本选项正确；D选项不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【题目点拨】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．2、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解：149 000 000=1.49×2千米1．故选C．把一个数写成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|＜10，n为整数．因此不能写成149×106而应写成1.49×2．3、C【解题分析】根据题意确定出甲乙两同学所写的数字，设甲所写的第n个数为49，根据规律确定出n的值，即可确定出乙在该页写的数．【题目详解】甲所写的数为1，3，1，7，…，49，…；乙所写的数为1，6，11，16，…，设甲所写的第n个数为49，根据题意得：49＝1+（n﹣1）×2，整理得：2（n﹣1）＝48，即n﹣1＝24，解得：n＝21，则乙所写的第21个数为1+（21﹣1）×1＝1+24×1＝121，故选：C．【题目点拨】考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．4、C【解题分析】过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据勾股定理求出BC的长，再根据DE是线段AC的垂直平分线可得△ADC等边三角形，则CD=AD=AC=4，代入数值计算即可.【题目详解】过点C 作CM ⊥AB ，垂足为M ， 在Rt △AMC 中， ∵∠A=60°，AC=4， ∴AM=2，3， ∴BM=AB-AM=3， 在Rt △BMC 中，22BM CM +()22323+21∵DE 是线段AC 的垂直平分线， ∴AD=DC, ∵∠A=60°，∴△ADC 等边三角形， ∴CD=AD=AC=4，∴△BDC 的周长21. 故答案选C. 【题目点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算. 5、A 【解题分析】根据待定系数法即可求得． 【题目详解】解：∵正比例函数y =kx 的图象经过点（1，﹣3）， ∴﹣3=k ，即k =﹣3，∴该正比例函数的解析式为：y =﹣3x ． 故选A ．【题目点拨】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 6、A 【解题分析】试题分析：首先根据反比例函数y 2=3x 的解析式可得到ODB OAC S S ==12×3=32，再由阴影部分面积为6可得到PDOC S 矩形=9，从而得到图象C 1的函数关系式为y=6x，再算出△EOF 的面积，可以得到△AOC 与△EOF 的面积比，然后证明△EOF ∽△AOC ，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF ﹕AC=3． 故选A ．考点：反比例函数系数k 的几何意义 7、B 【解题分析】连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，再利用弧长公式计算即可． 【题目详解】 解：连接OB ，OC ．∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴OB ＝OC ＝BC ＝1， ∴BC 的长＝6011803ππ⋅⋅=， 故选B ． 【题目点拨】考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 8、D 【解题分析】∵实数-3，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ， ∴原点在点M 与N 之间，∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q ．故选D ．9、D【解题分析】【分析】由图可知，OA=10，OD=1．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．【题目详解】由图可知，OA=10，OD=1，在Rt △OAD 中，∵OA=10，OD=1，AD=22OA OD -=53，∴tan ∠1=3AD OD=，∴∠1=60°， 同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°，故选D ．【题目点拨】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.10、C【解题分析】根据数轴上点的位置关系，可得a ，b ，c ，d 的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案．【题目详解】解：由数轴上点的位置，得a ＜﹣4＜b ＜0＜c ＜1＜d ．A 、a ＜﹣4，故A 不符合题意；B 、bd ＜0，故B 不符合题意；C 、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C 符合题意；D 、b+c ＜0，故D 不符合题意；故选：C ．【题目点拨】本题考查了有理数大小的比较、有理数的运算，绝对值的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键11、B【解题分析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称．从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．故选B考点：三视图12、D【解题分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AEB ；②由①可得∠BEP=90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BF ⊥AE 延长线于F ，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB 是等腰Rt △，故B 到直线AE 距离为，故②是错误的；③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；④由△APD ≌△AEB ，可知S △APD +S △APB =S △AEB +S △APB ，然后利用已知条件计算即可判定；⑤连接BD ，根据三角形的面积公式得到S △BPD =12PD×BE=32，所以S △ABD =S △APD +S △APB +S △BPD =2+2判定．【题目详解】由边角边定理易知△APD ≌△AEB ，故①正确；由△APD ≌△AEB 得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，所以∠BEP=90°，过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，则BF 的长是点B 到直线AE 的距离，在△AEP 中，由勾股定理得，在△BEP 中，，，由勾股定理得：，∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP ，∴∠AEP=45°，∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，∴∠EBF=45°，∴EF=BF，在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=62，故②是错误的；因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；由△APD≌△AEB，∴PD=BE=3，可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=12+62，因此④是错误的；连接BD，则S△BPD=12PD×BE=32，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+62，所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+6．综上可知，正确的有①③⑤．故选D.【题目点拨】考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、12×32【解题分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案.【题目详解】解：∵∠B 1C 1O=60°，C 1O=12， ∴B 1C 1=1，∠D 1C 1E 1=30°， ∵sin ∠D 1C 1E 1=111112D E D C =， ∴D 1E 1=12， ∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥…∴60°=∠B 1C 1O=∠B 2C 2O=∠B 3C 3O=…∴B 2C 2=2222213B E sin B C E ==∠，B 3C 3=2333313B E sin B C O ==∠. 故正方形AnBnCnDn 的边长=（3n-1． ∴B 2018C 2018=（3）2． ∴D 2018E 2018=12×（2， ∴D 的纵坐标为12×2， 故答案为12×2. 【题目点拨】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键14、（1）2-，3-，（-1,0）；（2）存在P 的坐标是(14)-，或(-25)，；（1）当EF 最短时，点P 的坐标是：（22+，32-，32-） 【解题分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后令y =0可求得点B 的坐标；（2）分别过点C 和点A 作AC 的垂线，将抛物线与P 1，P 2两点先求得AC 的解析式，然后可求得P 1C 和P 2A 的解析式，最后再求得P 1C 和P 2A 与抛物线的交点坐标即可；（1）连接OD ．先证明四边形OEDF 为矩形，从而得到OD =EF ，然后根据垂线段最短可求得点D 的纵坐标，从而得到点P 的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P 的坐标．【题目详解】解：（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：3930c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得：b =﹣2，c =﹣1，∴抛物线的解析式为223y x x =--．∵令2230x x --=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为（﹣1，0）．故答案为﹣2；﹣1；（﹣1，0）．（2）存在．理由：如图所示：①当∠ACP 1=90°．由（1）可知点A 的坐标为（1，0）．设AC 的解析式为y =kx ﹣1．∵将点A 的坐标代入得1k ﹣1=0，解得k =1，∴直线AC 的解析式为y =x ﹣1，∴直线CP 1的解析式为y =﹣x ﹣1．∵将y =﹣x ﹣1与223y x x =--联立解得11x =，20x =（舍去），∴点P 1的坐标为（1，﹣4）．②当∠P 2AC =90°时．设AP 2的解析式为y =﹣x +b ．∵将x =1，y =0代入得：﹣1+b =0，解得b =1，∴直线AP 2的解析式为y =﹣x +1．∵将y =﹣x +1与223y x x =--联立解得1x =﹣2，2x =1（舍去），∴点P 2的坐标为（﹣2，5）．综上所述，P 的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．（1）如图2所示：连接OD ．由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ．根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短． 由（1）可知，在Rt △AOC 中，∵OC =OA =1，OD ⊥AC ，∴D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF =12OC =32， ∴点P 的纵坐标是32-， ∴23232x x --=-，解得：x 210±， ∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（2102，32-）或（2102，32-）． 15、15cm 、17cm 、19cm ．【解题分析】试题解析：设三角形的第三边长为xcm ，由题意得：7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，则x=5，7，9，三角形的周长：3+7+5=15（cm），3+7+7=17（cm），3+7+9=19（cm）．考点：三角形三边关系．16、2【解题分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出ab的值即可．【题目详解】∵点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，﹣1﹣b），∴a+b=-3，-1-b=1；解得a=-1，b=-2，∴ab=2.故答案为2.【题目点拨】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的坐标的性质.17、【解题分析】试题分析：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜1．考点：根的判别式．18、【解题分析】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．解答：解：a1b-1ab+b，=b（a1-1a+1），…（提取公因式）=b（a-1）1．…（完全平方公式）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要1天；（2）甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．【解题分析】（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据两队共同施工6天可以完成该工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）根据甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比可得出两队每日完成的工作量之比，再结合总报酬为4000元即可求出结论．【题目详解】（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据题意得：661, 32x x+=解得：x=5，经检验，x=5是所列分式方程的解且符合题意．∴3x=15，2x=1．答：甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要1天．（2）∵甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，∴甲、乙两队每日完成的工作量之比是2：3，∴甲队应得的报酬为24000160023⨯=+（元），乙队应得的报酬为4000﹣1600=2400（元）．答：甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．【题目点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20、(1)△CPD．理由参见解析；（2）证明参见解析；（3）PC2=PE•PF．理由参见解析.【解题分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；（2）根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．【题目详解】解：（1）△APD≌△CPD．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA（两组角相等则两三角形相似）．（3）猜想：PC2=PE•PF．理由：∵△APE∽△FPA，∴AP PEFP PA即PA2=PE•PF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PE•PF．【题目点拨】本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质，综合性较强．21、（1）3（2）α＝75°．【解题分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．【题目详解】解：（1）原式＝33□+1＝1，∴□＝33+1﹣1＝3（2）∵α为三角形一内角，∴0°＜α＜180°，∴﹣15°＜（α﹣15）°＜165°，∵2tan（α﹣15）°＝3∴α﹣15°＝60°，∴α＝75°．【题目点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=42；②3 2【解题分析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=1k、MC=12BC=6k求得DM=22CD CM-=3k，可知OM=OD-DM=1-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA ，∴△BEF ∽△BGA ， ∴BE BG BF BA=，即BF•BG=BE•AB ， ∵BF=BC ﹣CF=BC ﹣AC 、BG=BC+CG=BC+AC ，BE=CE=AC ，∴（BC ﹣AC ）（BC+AC ）=AB•AC ，即BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（1）设AB=5k 、AC=1k ，∵BC 2﹣AC 2=AB•AC ，∴k ，连接ED 交BC 于点M ，∵四边形BDCE 是菱形，∴DE 垂直平分BC ，则点E 、O 、M 、D 共线，在Rt △DMC 中，DC=AC=1k ，MC=12k ，∴，∴OM=OD ﹣DM=1，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2得（1k ）2+k ）2=12，解得：或k=0（舍），∴；②设OM=d ，则MD=1﹣d ，MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2，∴BC 2=（2MC ）2=16﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（1﹣d ）2+9﹣d 2，由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4（d ﹣34）2+814， ∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814，∴DC 2=272，∴，∴32AB AC =． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．23、13. 【解题分析】先计算括号里面的，再利用除法化简原式，【题目详解】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭， =()()()()222222a a a a a a -++⋅+- ， =2222a a a a a--+⋅- ， =222a a a a-+⋅-， =2a a +， 由a 2+a ﹣6=0，得a=﹣3或a=2，∵a ﹣2≠0，∴a≠2，∴a=﹣3，当a=﹣3时，原式=32133-+=-． 【题目点拨】本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算.24、（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为1元．【解题分析】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【题目详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×10（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣1（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝1．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为1元．【题目点拨】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25、（1）112y x=+；（2）251544s t t=-+（0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.【解题分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式．（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式MN NP MP=-得到函数关系式．（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t．再讨论邻边是否相等．【题目详解】解：（1）x=0时，y=1，∴点A的坐标为：（0，1），∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），∴点B的横坐标为3，当x=3时，y=52，∴点B的坐标为（3，52），设直线AB 的函数关系式为y=kx+b ，1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的函数关系式112y x =+ （2）当x=t 时，y=12t+1， ∴点M 的坐标为（t ，12t+1）， 当x=t 时，2517144y t t =-++ ∴点N 的坐标为2517(,1)44t t t -++ 2251715151(1)44244s t t t t t =-++-+=-+ （0≤t≤3）； （3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ，∴25155=442t t -+， 解得t 1=1，t 2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形，①当t=1时，MP=32，PC=2， ∴MC=52=MN ，此时四边形BCMN 为菱形， ②当t=2时，MP=2，PC=1，∴MC=5≠MN ，此时四边形BCMN 不是菱形．【题目点拨】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．26、（1）25；（2）8°48′；（3）．【解题分析】试题分析：（1）由C 等级频数为15除以C 等级所占的百分比60%，即可求得m 的值；（2）首先求得B 等级的频数，继而求得B 等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A 等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）∵C等级频数为15，占60%，∴m=15÷60%=25；（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：×360°=28.8°=28°48′；（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，∴其中至少有一家是A等级的概率为：=．考点：频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．27、（1）B'的坐标为（3，3）；（1）见解析；（3）3﹣1．【解题分析】（1）设A'B'与x轴交于点H，由OA=1，OB=1，∠AOB=90°推出∠ABO=∠B'=30°，由∠BOB'=α=30°推出BO∥A'B'，由OB'=OB=1推出OH=OB'=，B'H=3即可得出；（1）证明∠BPA'=90 即可；（3）作AB的中点M（1，），连接MP，由∠APB=90°，推出点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=AB=1为半径的圆，除去点（1，），所以当PM⊥x轴时，点P纵坐标的最小值为3﹣1．【题目详解】（Ⅰ）如图1，设A'B'与x轴交于点H，∵OA=1，OB=1，∠AOB=90°，∴∠ABO=∠B'=30°，∵∠BOB'=α=30°，∴BO∥A'B'，∵OB'=OB=1，∴OH=OB'=，B'H=3，∴点B'的坐标为（3，3）；（Ⅱ）证明：∵∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，∴∠OBB'=∠OA'A=（180°﹣α），∵∠BOA'=90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，∴∠BPA'=360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）=90°，即AA'⊥BB'；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．如图，作AB的中点M（1，），连接MP，∵∠APB=90°，∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=AB=1为半径的圆，除去点（1，）．∴当PM⊥x轴时，点P31．【题目点拨】本题考查的知识点是几何变换综合题，解题的关键是熟练的掌握几何变换综合题.。
湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团2020年九年级中考一模数学试卷 解析版
2020年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．（3分）下列各数中，是无理数的为（）A．﹣2B．C．πD．2．（3分）据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1000万种左右，数字1000万用科学记数法表示为（）A．1×103B．1×106C．1×107D．10×1063．（3分）下列计算正确的是（）A．÷＝2B．＝±3C．＝3D．×4＝4．（3分）下列几何图形中，不是中心对称图形的为（）A．等边三角形B．圆C．菱形D．正方形5．（3分）在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝80°，则∠B＝（）A．30°B．50°C．60°D．80°6．（3分）图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“你”字所在面相对的面上的字为（）A．前B．程C．似D．锦7．（3分）下列说法不正确的是（）A．平均数受极端值的影响比较大B．极差是一组数据中最大的数与最小的数的差C．一组数据的众数一定只有一个D．方差能反映一组数据的波动程度8．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣4，3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到的点的坐标为（）A．（﹣6，1）B．（﹣2，1）C．（﹣6，5）D．（﹣2，5）9．（3分）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．12B．20C．8D．1611．（3分）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A．180B．170C．160D．15012．（3分）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2x2﹣8＝．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k＝．15．（3分）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为cm2．16．（3分）如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为．17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为．18．（3分）如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝12，则AC的长等于．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（3﹣π）020．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．21．（8分）在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图：（1）该班团员共有名；将该条形统计图补充完整；（2）所发赠言条数为2条的团员人数所占扇形的圆心角度数为；（3）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．（1）求证：△ACE∽△ABC；（2）求弦CD的长．23．（9分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F 处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．24．（9分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka2+b＞0时，以点P为圆心，ka2+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆”例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆．（1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圆”的点是．该点的“1倍雅圆”的半径为．（2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；（3）如图3，已知点A（0，3），B（﹣1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l．①当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围；②点D是直线AB上一点，点D的“倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+a+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D．点P为x轴上的一个动点．（1）求点D的坐标；（2）如图1，当点P在线段AB上运动时，过点P作x轴的垂线，分别交直线AD、BD 于点E、F，试判断PE+PF是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．（3）如图2，若点P位于点A的左侧，满足∠ADP＝2∠APD且AP＝AB时，求抛物线的解析式．2020年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．（3分）下列各数中，是无理数的为（）A．﹣2B．C．πD．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C．π是无理数，故本选项符合题意；D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．2．（3分）据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1000万种左右，数字1000万用科学记数法表示为（）A．1×103B．1×106C．1×107D．10×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1000万用科学记数法表示为：1×107．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A．÷＝2B．＝±3C．＝3D．×4＝【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、÷＝＝2，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝3，正确；D、×4＝×4＝2，故此选项错误；故选：C．4．（3分）下列几何图形中，不是中心对称图形的为（）A．等边三角形B．圆C．菱形D．正方形【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、等边三角形，不是中心对称图形；B、圆，是中心对称图形；C、菱形，是中心对称图形；D、正方形，是中心对称图形；故选：A．5．（3分）在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝80°，则∠B＝（）A．30°B．50°C．60°D．80°【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣80°）＝50°．故选：B．6．（3分）图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“你”字所在面相对的面上的字为（）A．前B．程C．似D．锦【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“你”与“程”是相对面，“祝”与“似”是相对面，“前”与“锦”是相对面；故选：B．7．（3分）下列说法不正确的是（）A．平均数受极端值的影响比较大B．极差是一组数据中最大的数与最小的数的差C．一组数据的众数一定只有一个D．方差能反映一组数据的波动程度【分析】根据平均数、极差、众数和方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、平均数受极端值的影响比较大，正确，不符合题意；B、极差是一组数据中最大的数与最小的数的差，正确，不符合题意；C、一组数据的众数不一定只有一个，错误，符合题意；D、方差能反映一组数据的波动程度，正确，不符合题意；故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣4，3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到的点的坐标为（）A．（﹣6，1）B．（﹣2，1）C．（﹣6，5）D．（﹣2，5）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：将点A（﹣4，3）先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到B点的坐标是（﹣4+2，3﹣2），即（﹣2，1），故选：B．9．（3分）如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，判断即可．【解答】解：A、∵a∥b∥c，∴＝，本选项结论正确，不符合题意；B、∵a∥b∥c，∴＝，本选项结论正确，不符合题意；C、∵a∥b∥c，∴＝，本选项结论正确，不符合题意；D、连接AF，交BE于H，∵b∥c，∴△ABH∽△ACF，∴＝≠，本选项结论不正确，符合题意；故选：D．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．12B．20C．8D．16【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA ＝OC＝AC＝2，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，求出∠BAO＝30°，由直角三角形的性质得OB＝OA＝2，AB＝2OB＝4，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴∠BAO＝30°，∴OB＝OA＝2，AB＝2OB＝4，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝16；故选：D．11．（3分）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A．180B．170C．160D．150【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润＝售价﹣进价列出方程，解出即可．【解答】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，由题意得：80%x﹣120＝20%×120，解得：x＝180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A．12．（3分）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1B．2C．3D．4【分析】①根据a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3进行判断；②化为顶点式y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，进而判断；③用反例法，如当m＝﹣4时，解方程得出解的情况，再进行判断；④由方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，求出b的取值．【解答】解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，∴y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，故③错误；④∵直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x ＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．即或或，解得，b＝﹣，或b＝﹣3，∴当b＝﹣或b＝﹣3时，直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点，故④错误；故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2x2﹣8＝2（x﹣2）（x+2）．【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）．故答案为：2（x﹣2）（x+2）．14．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k＝﹣1．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，解得k＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为30πcm2．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：圆锥的侧面积＝×6π×10＝30π（cm2）．故答案为30π．16．（3分）如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为75°．【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB＝150°，然后根据圆周角定理计算∠C的度数．【解答】解：连接OB，如图，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝15°，∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，∴∠C＝∠AOB＝75°．故答案为75°．17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为12．【分析】设E点的坐标是（a，b），根据已知得出ab＝4，AE＝a，BE＝2a，求出OA＝b，AB＝3a，再根据矩形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，设E点的坐标是（a，b），∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，∴OA＝b，AB＝3a，∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，故答案为：12．18．（3分）如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝12，则AC的长等于9．【分析】过D点作DF∥BE，则DF＝BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝AF．【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝12，则DF＝6，AF＝＝＝6，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴∠ABG＝∠DBG，∠AGB＝∠DGB＝90°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△DBG（ASA），∴AG＝DG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC＝AF＝×6＝9．故答案为：9．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：（）﹣1﹣2cos30°++（3﹣π）0【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝2﹣2×++1，＝2﹣++1，＝3．20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝2（+1）＝2+2．21．（8分）在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图：（1）该班团员共有名12；将该条形统计图补充完整；（2）所发赠言条数为2条的团员人数所占扇形的圆心角度数为60°；（3）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．【分析】（1）用赠言条数为3的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出赠言条数为4的人数，再补全条形统计图；（2）用赠言条数为2所占的百分比乘以360°即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）3÷25%＝12（名），所以该班团员共有12名；赠言条数为4条的人数为12﹣2﹣2﹣3﹣1＝4（名），条形统计图补充为：（2）所发赠言条数为2条的团员人数所占扇形的圆心角度数＝×360°＝60°；故答案为12；60°；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的结果数为7，所以所选两位同学恰好一位男同学和一位女同学的概率＝．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．（1）求证：△ACE∽△ABC；（2）求弦CD的长．【分析】（1）由垂径定理可知∠AEC＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质可知AC2＝AE•AB，从而可求出AE＝，再由勾股定理以及垂径定理即可求出CD的长度．【解答】解：（1）∵AC＝AD，AB是⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BAC＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC．（2）由（1）可知：，∴AC2＝AE•AB，∵AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理可知：AB＝5，∴AE＝，∴由勾股定理可知：CE＝，∴由垂径定理可知：CD＝2CE＝．23．（9分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F 处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四边形DEGF是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；∴四边形DEGF是矩形；∴FG＝DE；在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE；＝6×tan30o＝2（米）；∴点F到地面的距离为2米；（2）∵斜坡CF的坡度为i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3，∴FD＝EG＝3+6．在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝6．∴AB＝AD+DE﹣BE．＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．24．（9分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；（2）由勾股定理求出AC＝10，证明△ABE∽△FCE，由比例线段可得出答案；（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM＝x，根据Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，得到关于x的方程，求得x的值，最后根据sin ∠DAB'＝进行计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，∴∠F＝∠MAF，∴AM＝FM．（2）解：由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC＝CF，在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴CF＝AC＝10，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴；（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，∴，即，∴CF＝4，由（1）可知AM＝FM．设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，解得：x＝，则AM＝10﹣x＝10﹣＝，∴sin∠DAB'＝＝．②当点E在BC的延长线上时，如图4，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，∴，即，∴CF＝4，则DF＝6﹣4＝2，设DM＝x，则AM＝FM＝2+x，在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，解得：x＝15，则AM＝2+x＝17，∴sin∠DAB'＝．综上所述：当时，∠DAB'的正弦值为或．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka2+b＞0时，以点P为圆心，ka2+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆”例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆．（1）在点P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圆”的点是P1．该点的“1倍雅圆”的半径为10．（2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；（3）如图3，已知点A（0，3），B（﹣1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l．①当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围；②点D是直线AB上一点，点D的“倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意即可求解；（2）求出圆的半径r＝1×0+m＝m，而MQ＝OM＝m＜m，即可求解；（3）①利用全等求出点E（﹣2，2），得到直线l的表达式为y＝x+3，设点C（x，x+3），当始终存在点C的“k倍雅圆”时，则则k＞0且△＜0成立，即可求解；②R＝ka2+b＝x2+3x+3＝（x+2）2，假设存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，则DH＝＝|x+2|＝|x|，即可求解．【解答】解：（1）对于P1（3，1），圆的半径为ka2+b＝1×32+1＝10＞0，故符合题意；对于P2（1，﹣2），圆的半径为ka2+b＝1×12﹣2＝﹣1＜0，故不符合题意；故答案为P1，10；（2）如图1，过点M作MQ⊥ON于点Q，则点M（0，m）（m＞0），则圆的半径r＝1×0+m＝m，则Rt△MQO中，∠MOQ＝∠MON＝30°，∴MQ＝OM＝m＜m，∴直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系为相交；（3）①过点B作BE⊥直线l于点E，过点E作x轴的垂线交x轴于点G，交过点A与x轴的平行线于点F，设点E（x，y），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l，则∠EAB＝45°，故EA＝EB，∵∠FEA+∠F AE＝90°，∠GEB+∠FEA＝90°，∴∠F AE＝∠GEB，∵∠AFE＝∠EGB＝90°，EA＝EB，∴△AFE≌△EGB（AAS），∴EF＝BG，EG＝F A，即3﹣y＝﹣1﹣x，y＝﹣x，解得：x＝﹣2，y＝2，故点E（﹣2，2）；设直线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线l的表达式为y＝x+3，设点C（x，x+3），∵始终存在点C的“k倍雅圆”时，则圆的半径r＝kx2+x+3＞0恒成立，∴k＞0且△＜0成立，即k＞0且△＝（）2﹣4×3k＜0，解得：k＞；②存在，理由：如图2，过点D作DH⊥l于点H，由点A、B的坐标同理可得，直线AB的表达式为y＝3x+3，设点D（x，3x+3），由点A、D的坐标得，AD＝＝|x|，则HD＝AD＝|x|，则R＝ka2+b＝x2+3x+3＝（x+2）2，则＝|x+2|，假设存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，则DH＝＝|x+2|＝|x|，解得：x＝﹣4±2，故点D的坐标为：（﹣4﹣2，﹣9﹣6）或（﹣4+2，﹣9+6）．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+a+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D．点P为x轴上的一个动点．（1）求点D的坐标；（2）如图1，当点P在线段AB上运动时，过点P作x轴的垂线，分别交直线AD、BD 于点E、F，试判断PE+PF是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．（3）如图2，若点P位于点A的左侧，满足∠ADP＝2∠APD且AP＝AB时，求抛物线的解析式．【分析】（1）利用配方法可求顶点D坐标；（2）过点D作DH⊥AB于H，由三角函数可得EP＝AP•tan∠EAP，PF＝BP•tan∠FBP，由等比的性质可得＝，即可求解；（3）作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DH⊥AB，通过证明△PMQ∽△PDH，可得，可求MQ＝﹣1，由勾股定理可求点A坐标，代入解析式可求a的值，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+a+2＝a（x+1）2+2，∴点D（﹣1，2）；（2）是定值，理由如下：如图1，过点D作DH⊥AB于H，∴AH＝BH＝AB，DH＝2，∴∠DAB＝∠DBA，∵tan∠EAP＝，tan∠FBP＝，∴EP＝AP•tan∠EAP，PF＝BP•tan∠FBP，∵∠EAP＝∠FBP，∴tan∠DBH＝tan∠EAP＝tan∠FBP＝＝＝，∴＝，∴＝，∴PF+PF＝4；（3）如图2，作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DH⊥AB，∴PM＝MA，PQ＝AQ，∴∠MP A＝∠MAP，∴∠DMA＝∠MPQ+∠MAP＝2∠MP A，∵∠ADP＝2∠APD，∴∠ADP＝∠AMD，∴AM＝AD＝PM，∵∠DPH＝∠MPQ，∠DHP＝∠MQP＝90°，∴△PMQ∽△PDH，∴，∵AP＝AB，AH＝BH，PQ＝QA，∴PQ＝QA＝AH，∴PH＝（2+）AH，∴＝，∴MQ＝﹣1，∵MQ2+AQ2＝AM2＝AD2＝AH2+DH2，∴（﹣1）2+（AH）2＝AH2+4，∴AH＝2，∴点A（﹣3，0），∵抛物线y＝ax2+2ax+a+2过点A，∴0＝9a﹣6a+a+2，∴a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+．。
备战2020中考【6套模拟】长沙市雅礼中学中考模拟考试数学试卷
备战2020中考【6套模拟】长沙市雅礼中学中考模拟考试数学试卷中学数学二模模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．8的立方根等于（）A．2B．-2C．±2D．2．下列运算中，结果正确的是（）A．a4+a4=a8B．a3•a2=a5C．a8÷a2=a4D．（-2a2）3=-6a63x的取值范围是（）A．x＞13B．x＞−13C．x≥13D．x≥−134．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°6．如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过另外两个顶点B、C，且点B（6，n），（0＜n＜6），则k的值为（）A．18B．12C．6D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接写在答题卡相应位置上）7．- 12的倒数是．8．0.0002019用科学记数法可表示为．9．分解因式：a2b-b3=10．一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x211．一个多边形的内角和与外角和之差为720°，则这个多边形的边数为．12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c 的值为．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为．15．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．16．如图，平面直角坐标系中，点A（0，-2），B（-1，0），C（-5，0），点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．计算：2011)4sin 603-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭18．解不等式组：212(3)33x x x+⎧⎨+->⎩．19．先化简，再求值：2311221x x x x x x -⎛⎫-÷- ⎪+++⎝⎭，其中x 满足方程x 2-2x -3=0． 20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．21．将分别标有数字3，6，9的三张形状、大小均相同的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取一张，求抽到数字恰好为6的概率；（2）随机地抽取张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表或画树状图求所组成的两位数恰好是“69”的概率．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，几秒种后△DPQ 的面积为31cm2？23．在争创全国文明城市活动中，某校开展了为期一周的“新时代文明实践”活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B；1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x ＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有多少人？24．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75≈1.4125．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．26．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）27．如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-12x-1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．参考答案与试题解析1.【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：8的立方根是2，故选：A．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．2.【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a4+a4=2a4，故本选项错误；B、a3•a2=a3+2=a5，正确；C、应为a8÷a2=a8-2=a6，故本选项错误；D、应为（-2a2）3=（-2）3•（a2）3=-8a6，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．3.【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：3x-1≥0，解得x≥13．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4.【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项D所示，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．5.【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°-32°=58°，故选：A．【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6.【分析】过B作BE⊥x轴于E，FC⊥y轴于点F．可以证明△AOD≌△BEA，则可以利用n表示出A，D的坐标，即可利用n表示出C的坐标，根据C，B满足函数解析式，即可求得n的值．进而求得k的值．【解答】解：过D作BE⊥x轴于E，CF⊥y轴于点F，∴∠BEA=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DAO，又∵AB=AD，∴△ADO≌△BAE（AAS）．同理，△ADO≌△DCF．∴OA=BE=n，OD=AE=OE-OA=6-n，则A点的坐标是（n，0），D的坐标是（0，6-n）．∴C的坐标是（6-n，6）．由反比例函数k的性质得到：6（6-n）=6n，所以n=3．则B点坐标为（6，3），所以k=6×3=18．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质与反比例函数的综合应用，体现了数形结合的思想．7.分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：-12的倒数是-2．故答案为：-2．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的概念是解题的关键．8.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0002019=2.019×10-4．故答案为：2.019×10-4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=b（a2-b2）=b（a+b）（a-b），故答案为：b（a+b）（a-b）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵x2-2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0，故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．11.【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．12.【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），∴当x=1时，y=1，即a+b+c=1，故答案为1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图象上是解题的关键．13.【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长=1206180π⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16. 【分析】如图，连接OE ．首先说明点E 在射线OE 上运动（∠EOD 是定值），当点D 与C 重合时，求出OE 的长即可．【解答】解：如图，连接OE ．∵∠AED=∠AOD=90°，∴A ，O ，E ，D 四点共圆，∴∠EOC=∠EAD=定值，∴点E 在射线OE 上运动，∠EOC 是定值．∵tan ∠EOD=tan ∠OAB=12， ∴可以假设E （-2m ，m ）， 当点D 与C 重合时，225229AC =+=，∵AE=2EC ，∴EC=2914555=， ∴（-2m+5）2+m 2=295， 解得m=85或125（舍弃）， ∴E （-165，85）， ∴点E 的运动轨迹=OE 的长=855， 故答案为85． 【点评】本题考查轨迹，坐标与图形性质，相似三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．17. 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=9+1-=10-【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：()212333x x +≥⋯+-⋯⎧⎨⎩①＞②， 解①得：x≥-1，解②得：x ＜3．则不等式组的解集是：-1≤x ＜3．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．19. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=1(2)211x x x x x x x -+⋅-+-+ =1x x x -+ =21x x +； 当x 2-2x -3=0时，解得：x=3或x=-1（不合题意，舍去）当x=3时，原式=94； 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20. 【分析】（1）利用尺规作出∠ABC 的角平分线即可．（2）利用全等三角形的性质证明PA=PE ，再证明AP=AQ ，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，射线BQ 即为所求．（2）结论：四边形APEQ是菱形．理由：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∵PE∥AC，∴∠PEB=∠C，∠BAP=∠BEP，∵BP=BP，∠ABP=∠EBP，∴△ABP≌△EBP（AAS），∴PA=PE，∵∠AQP=∠QBC+∠C，∠APQ=∠ABP+∠BAP，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ，∴PE=AQ，∵PE∥AQ，∴四边形APEQ是平行四边形，∵AP=AQ，∴四边形APEQ是菱形．【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【分析】（1）让6的个数除以数的总数即为所求的概率；（2）列举出所有情况，看所组成的两位数恰好是“69”的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）∵卡片共有3张，有3，6，9，6有一张，∴抽到数字恰好为6的概率P（6）=13；（2）画树状图：由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中两位数恰好是69有1种．∴P（69）=16．【点评】此题主要考查了列树状图解决概率问题；找到所组成的两位数恰好是“69”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．22.【分析】设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积为31cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，=AB•BC-12AD•AP-12CD•CQ-12BP•BQ，=6×12-12×12x-12×6（12-2x）-12（6-x）•2x，=x2-6x+36=31，解得：x1=1，x2=5．答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【分析】（1）根据D组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生的人数；（2）根据（1）中的结果和统统计图中的数据可以分别求得B和C组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有多少人．【解答】解：（1）学生会随机调查了：10÷20%=50名学生，故答案为：50；（2）C组有：50×40%=20（名），则B组有：50-3-20-10-4=13（名），补全的频数分布直方图如右图所示；（3）900×10450=252（人），答：该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有252人．【点评】本题考查频数（率）分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24.【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=0.3m，当CN=0.9m时，CM=0.6m，Rt△BCM中，∠ABE=70°，sin∠ABE=sin70°=CMCB≈0.94，BC≈0.638，CE=BC-BE=0.638-0.4=0.238≈0.24m=24cm．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．25.【分析】（1）OA=OC，则∠OCA=∠OAC，CD∥AP，则∠OCA=∠PAC，即可求解；（2）证明△PAC∽△PCE，即可求解；（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．【解答】解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CD∥AP，∴∠OCA=∠PAC，∴∠OAC=∠PAC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD=90°，∴∠DCA+∠D=90°，∵CD∥PA，∴∠DCA=∠PAC，又∠PAC+∠PCA=90°，∴∠PAC=∠D=∠E，∴△PAC∽△PCE，∴PA PC PC PE，∴PC2=PA•PE；（3）AE=AP+PC=AP+4，由（2）得16=PA（PA+PA+4），PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA=∠CBA，Rt △PAC ∽Rt △CAB ，AP AC PC AC AB BC==，而PC 2=AC 2-PA 2，AC 2=AB 2-BC 2， 其中PA=2，解得：AB=10，则圆O 的半径为5．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了三角形相似、勾股定理运用的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．26. 【分析】（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC AC DC CE =，即BC DC AC EC=，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC =，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°，∴∠A=∠C=∠DEC=45°，∴∠B=∠EDC=90°，∴四边形EFBD 是矩形，∴EF=BD ，∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴2BD EF AE AE==，（2）此过程中AEBD的大小有变化，由题意知，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，∴△ABC∽△EDC，中学数学二模模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．8的立方根等于（）A．2B．-2C．±2D．2．下列运算中，结果正确的是（）A．a4+a4=a8B．a3•a2=a5C．a8÷a2=a4D．（-2a2）3=-6a63x的取值范围是（）A．x＞13B．x＞−13C．x≥13D．x≥−134．如图，由5个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°6．如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上，若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过另外两个顶点B、C，且点B（6，n），（0＜n＜6），则k的值为（）A．18B．12C．6D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接写在答题卡相应位置上）7．- 12的倒数是．8．0.0002019用科学记数法可表示为．9．分解因式：a2b-b3=10．一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x211．一个多边形的内角和与外角和之差为720°，则这个多边形的边数为．12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c 的值为．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为．15．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为．16．如图，平面直角坐标系中，点A（0，-2），B（-1，0），C（-5，0），点D从点B出发，沿x 轴负方向运动到点C ，E 为AD 上方一点，若在运动过程中始终保持△AED ～△AOB ，则点E 运动的路径长为三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．计算：2011)4sin 603-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭18．解不等式组：212(3)33x x x +⎧⎨+->⎩． 19．先化简，再求值：2311221x x x x x x -⎛⎫-÷- ⎪+++⎝⎭，其中x 满足方程x 2-2x -3=0． 20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．21．将分别标有数字3，6，9的三张形状、大小均相同的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地抽取一张，求抽到数字恰好为6的概率；（2）随机地抽取张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表或画树状图求所组成的两位数恰好是“69”的概率．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，几秒种后△DPQ的面积为31cm2？23．在争创全国文明城市活动中，某校开展了为期一周的“新时代文明实践”活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B；1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x ＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中“宣传文明礼仪”的时间不少于2小时的学生有多少人？24．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长．（结果精确到1cm）参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75≈1.4125．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2=PA•PE；（3）若AE-AP=PC=4，求圆O的半径．26．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）27．如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-12x-1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．参考答案与试题解析1.【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：8的立方根是2，故选：A．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．2.【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a4+a4=2a4，故本选项错误；B、a3•a2=a3+2=a5，正确；C、应为a8÷a2=a8-2=a6，故本选项错误；D、应为（-2a2）3=（-2）3•（a2）3=-8a6，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．3.【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：3x-1≥0，解得x≥13．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4.【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项D所示，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．5.【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°-32°=58°，故选：A．【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6.【分析】过B作BE⊥x轴于E，FC⊥y轴于点F．可以证明△AOD≌△BEA，则可以利用n表示出A，D的坐标，即可利用n表示出C的坐标，根据C，B满足函数解析式，即可求得n的值．进而求得k的值．【解答】解：过D作BE⊥x轴于E，CF⊥y轴于点F，∴∠BEA=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAO+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DAO，又∵AB=AD，∴△ADO≌△BAE（AAS）．同理，△ADO≌△DCF．∴OA=BE=n，OD=AE=OE-OA=6-n，则A点的坐标是（n，0），D的坐标是（0，6-n）．∴C的坐标是（6-n，6）．由反比例函数k的性质得到：6（6-n）=6n，所以n=3．则B点坐标为（6，3），所以k=6×3=18．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质与反比例函数的综合应用，体现了数形结合的思想．7.分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：-12的倒数是-2．故答案为：-2．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的概念是解题的关键．8.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0002019=2.019×10-4．故答案为：2.019×10-4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=b（a2-b2）=b（a+b）（a-b），故答案为：b（a+b）（a-b）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．【解答】解：∵x2-2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0，故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．11.【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．12.【分析】由二次函数的对称性可知P点关于对称轴对称的点为（1，1），故当x=1时可求得y值为1，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），∴当x=1时，y=1，即a+b+c=1，故答案为1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，1）在其图象上是解题的关键．13.【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长=1206180π⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16. 【分析】如图，连接OE ．首先说明点E 在射线OE 上运动（∠EOD 是定值），当点D 与C 重合时，求出OE 的长即可．【解答】解：如图，连接OE ．∵∠AED=∠AOD=90°，∴A ，O ，E ，D 四点共圆，∴∠EOC=∠EAD=定值，∴点E 在射线OE 上运动，∠EOC 是定值．∵tan ∠EOD=tan ∠OAB=12， ∴可以假设E （-2m ，m ）， 当点D 与C 重合时，225229AC =+=，∵AE=2EC ，∴EC=2914555=， ∴（-2m+5）2+m 2=295， 解得m=85或125（舍弃）， ∴E （-165，85）， ∴点E 的运动轨迹=OE 的长=855， 故答案为85． 【点评】本题考查轨迹，坐标与图形性质，相似三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．17. 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=9+1-=10-【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18. 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：()212333x x +≥⋯+-⋯⎧⎨⎩①＞②， 解①得：x≥-1，解②得：x ＜3．则不等式组的解集是：-1≤x ＜3．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．19. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=1(2)211x x x x x x x -+⋅-+-+ =1x x x -+ =21x x +； 当x 2-2x -3=0时，解得：x=3或x=-1（不合题意，舍去）当x=3时，原式=94； 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20. 【分析】（1）利用尺规作出∠ABC 的角平分线即可．（2）利用全等三角形的性质证明PA=PE ，再证明AP=AQ ，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，射线BQ 即为所求．。
湖南省雅礼教育集团2020届数学中考模拟试卷
湖南省雅礼教育集团2020届数学中考模拟试卷 一、选择题 1．比较2,5,37的大小,正确的是 ( )A ．2<5<37B ．2<37<5C ．37<2<5D ．5<37<22．如图，直角三角板的直角顶点A 在直线上，则∠1与∠2（ ）A ．一定相等B ．一定互余C ．一定互补D ．始终相差10°3．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：24．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第9个图形中所有点的个数为（ ）A.61B.72C.73D.865．一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin （α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin （60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝33112222⨯+⨯＝1．类似地，可以求得si n15°的值是（ ）A ．624-B ．624+C ．622+D ．622+ 6．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①abc ＞0；②9a+c ＞3b ；③4a+b=0；④当x ＞-1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列计算正确的是（ ）A.221a a -=-B.()()2220m m m m +-=≠C.1155155⨯⨯⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ ()3322--8．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为12cm ，点B ，D 之间的距离为16m ，则线段AB 的长为( )A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm 9．已知x ﹣1x ＝6，则x 2+21x 的值为（ ） A ．34B ．36C ．37D ．38 10．已知，关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3 B ．m≤3 C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠2 11．如图，AB A B ''=，A A '∠=∠，若ABC A B C '''∆≅∆，则还需添加的一个条件有( )A.1种B.2种C.3种D.4种 12．下列运算中，正确的是（ ） A ．a 6÷a 3＝a 2B ．（﹣a+b ）（﹣a ﹣b ）＝b 2﹣a 2C ．2a+3b ＝5abD ．﹣a （2﹣a ）＝a 2﹣2a 二、填空题 13．计算(72)(72)+-的结果等于______．14．因式分解ab 3-4ab= .15．关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+(a 2-1)=0的一个根是0，则a 的值是________．16．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为_____．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的两边在坐标轴上，OB ＝1，点A 在函数y ＝﹣2X （x ＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A 1B 1O 1C 1的位置，此时点A 1在函数y ＝k x（x ＞0）的图象上，C 1O 1与此图象交于点P ，则点P 的纵坐标是__．18．若y=334x x -+-+，则x+y= ．三、解答题19．先化简，再求值：22242442x x x x x x--⋅-++，其中21x =-. 20．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A （﹣4，1），B （﹣1，3），C （﹣1，1）（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；平移△ABC ，若A 对应的点A 2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A 2B 2C 2；（2）若△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，直接写出旋转中心坐标 ．（3）在x 轴上有一点P 使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标 ．21．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE ＝2BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ．（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．22．已知：如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ，BF ＝EC ．（1）求证：△ABC ≌△DEF ．（2）若∠A ＝120°，∠B ＝20°，求∠DFC 的度数．23．深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少．24．在△ABC中，将边AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，将边AC绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接DE.（1）、如图①，当∠BAC=90°时，若△ABC的面积为5，则△ADE的面积为________；（2）如图②，CF、BG分别是△ABC和△ADE的高，若△ABC为任意三角形，△ABC与△ADE的面积是否相等，请说明理由；（3）如图③，连接BD、CE.若AB=4，AC=23，四边形CEDB的面积为133，则△ABC的面积为________.25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交AC于点D，交BC于点E，以点B为顶点作∠CBF，使得∠CBF＝12∠BAC，交AC延长线于点F连接BD、AE，延长AE交BF于点G，（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）求证：AC•BC＝BD•AG；（3）若BC＝10，CD：CF＝4：5，求⊙O 的半径．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A C A A D B D D C D13．314．ab （b+2）（b-2）.15．-116．4πcm 2．17．P （3， 43） 18． 三、解答题 19．1x,2+1. 【解析】【分析】根据分式的运算法则先化简，再代入求值.【详解】解：22242442x x x x x x--⋅-++ 2(2)(2)2(2)(2)x x x x x x +--=⋅-+ 1,x= 当x ＝21-时，原式＝12121=+-． 【点睛】 考核知识点：二次根式的化简求值.掌握分式和二次根式运算法则是关键.20．（1）见解析；（2）（﹣1，﹣2）；（3）13,04⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）（1）根据性质的性质得到A 1（2，1）、C 1（-1，1）、B 1（-1，-1），再描点；由于点A 2的坐标为（-4，-5），即把△ABC 向下平移6个单位得到△A 2B 2C 2，则B 2（-1，-3）、C 2（-1，-5），然后描点；（2）根据△A 1B 1C 绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，连接两对对应点即可得出旋转中心；（3）根据A 点关于x 轴对称点为A′，连接A′B，求出直线A′B 的解析式，即可求出P 点坐标即可．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2即为所求．（2）如图所示，点Q 即为所求，其坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）；（3）如图所示，点P 即为所求，设直线A′B 的解析式为y ＝kx+b ，将点A′（﹣4，﹣1），B （﹣1，3）代入，得：413k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩， 解得：4k 313b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线A′B 的解析式为41333y x =+， 当y ＝0时，413033x +=， 解得x ＝﹣134， ∴点P 的坐标为（﹣134，0）． 故答案为：（﹣134，0）． 【点睛】 此题主要考查了图形的平移与旋转，轴对称求最短距离，待定系数法求一次函数解析式，及一次函数图像与坐标轴的交点等知识，利用轴对称求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．21．（1）见解析；（2）BD+2DE ＝2BM ；（3）22. 【解析】【分析】（1）过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，推出PM=DN ，证明△EPM ≌△EDN ，推出EP ＝ED ，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，推出BM ＝PM ＝DN ，根据AAS 证明△EPM ≌△EDN ，推出EP ＝ED ，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF ∽△DNF ，得出比例式，得到AB ：ND ＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， 根据BM ＝DN ，列出方程求出AB 的长度，根据DF ∥BM ，得到413,43DF DG BM BG ===即可求解. 【详解】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°，∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°，∴△BPM 是等腰直角三角形，∴PM ＝BM ，2PB BM =，∵BM ＝DN ，∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中， ,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ， ∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ， 根据勾股定理得：2BP BM =， 即22BD DE BM -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°，∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形，∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ），∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD+PD ＝BD+2DE ，根据勾股定理得：BP 2BM ，即BD+2DE ＝BP 2BM ，故答案为：BD+2DE 2BM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ，∴AB ∥DN ，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，∵BM＝DN，∴x+2＝2x，x＝2，∴AB＝AD＝2，DF＝43，∴22 BD=，∵DF∥BM，∴413,43 DF DGBM BG===∴122242 DG=⨯=故答案为：2 2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．22．（1）见解析；（2）∠DFC＝40°【解析】【分析】（1）根据题意由全等三角形的性质AAS可以推出△ABC≌△DEF（2）由（1）已知△ABC≌△DEF ，再根据三角形内角和，即可解答【详解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝EC∴BF+FC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠A=∠D ∠∠ ， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；（2）解：∵∠A ＝120°，∠B ＝20°，∴∠ACB ＝40°，由（1）知△ABC ≌△DEF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∴∠DFE ＝40°，∴∠DFC ＝40°．【点睛】此题考查全等三角形的判定和三角形内角和，解题关键在于找到三角形全等的条件23．（1）每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；（2）购进乙种书柜20个，则购进甲种书柜40个时花费最少，费用为19200元．【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，每个甲种书柜的进价为1.2x 元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；（2）设购进甲种书柜m 个，则购进乙种书柜（60-m ）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．【详解】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，则每个甲种书柜的进价为1.2x 元， 根据题意得，3600420041.2x x+=， 解得x=300，经检验，x=300是原方程的根，300×1.2=360（元）．故每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；（2）设购进甲种书柜m 个，则购进乙种书柜（60-m ）个，购进两种书柜的总成本为y 元，根据题意得， ()36030060602y m m m m =+-⎧-≤⎨⎩， 解得y=60m+18000（m≥20），∵k=60＞0，∴y 随x 的增大而增大，当m=20时，y=19200（元）．故购进甲种书柜20个，则购进乙种书柜40个时花费最少，费用为19200元．【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．24．（1）5；（2）相等，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）继而得∠DAE=∠BAC=90°，可证得△ABC ≌△ADE ，则两三角形面积相等；（2）由∠BAD=60°，∠CAE=120°得∠DAE+∠CAB=180°，根据平角定义可得∠DAE +∠GAE=180°，可得∠FAC=∠GAE，然后证得△ACF≌△AEG，继而得CF=BG，根据等底等高的两个三角形面积相等可求出结论；（3）如图，分别作出△ABD和△AEC的高AH，AF. 求得等边三角形△ABD的面积为43和△AECDE的面积33，则△ADE和△ABC的面积之和为63，再证得△ABC≌△ADE，从而证得△ADE和△ABC的面积都是33.【详解】（1）根据旋转的性质可得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，∵∠BAC=90°∴∠DAE=90°∴∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE，∵△ABC的面积为5∴△ADE的面积为5.（2）解：相等，理由如下：由旋转，得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，∴∠BAD+∠CAE=180°，∴∠DAE+∠CAB=180°，∵∠DAE +∠GAE=180°，∴∠FAC=∠GAE.∵CF、BG分别是△ABC和△ADE的高，∴∠AFC=∠AGE =90°，∴△ACF≌△AEG，∴CF=BG，∴△ABC与△ADE的面积相等.（3）如图，分别作出△ABD和△AEC的高AH，AF.∵AC=AE，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴2223AB HB-=∴S△ABD=143 2BD AH⨯⨯=同理可得S△AEC3∴S△ADE+S△ABC=S四边形CEDB- S△ABD-S△AEC3又△ABC≌△ADE，∴S△ADE【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径OA＝5．【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出∠AEB＝∠ADB＝90°，得出AE⊥BC，由等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC，证出∠BAE＝∠CBF，证出∠ABF＝90°，得出BF⊥OB，即可得出结论；（2）证出∠DBC＝∠BAE，证明△BDC∽△ABG，得出BC BDAG AB=，即可得出结论；（3）由（2）得：∠DBC＝∠CBF，由角平分线性质得出45BD CDBF CF==，设BD＝4x，则BF＝5x，由勾股定理得：DF＝3x，证明△ABD∽△BFD，得出AB BD ADBF DF BD==，求出AB＝203x，AD＝163x，得出CD＝AC﹣AD＝43x，在Rt△BDC中，由勾股定理得出方程，解方程得x＝32，得出AB＝10，即可得出⊙O的半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∴AE⊥BC，∠ABE+∠BAE＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE＝12∠BAC，∵∠CBF＝12∠BAC，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠ABF＝90°，∴BF⊥OB，∴BF为⊙O的切线；（2）证明：∵∠DBC＝∠CAE，∠BAE＝∠CAE，∴∠DBC＝∠BAE，∵∠BDC＝90°＝∠ABG，∴△BDC∽△ABG，∴BC BD AG AB=，∴AB•BC＝BD•AG，∵AB＝AC，∴AC•BC＝BD•AG；（3）解：由（2）得：∠DBC＝∠CBF，∴45 BD CDBF CF==，设BD＝4x，则BF＝5x，由勾股定理得：DF＝3x，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠F，∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△ABD∽△BFD，∴AB BD ADBF DF BD==，即534AB BD ADx x x==，解得：AB＝203x，AD＝163x，∴AC＝AB＝203x，∴CD＝AC﹣AD＝43x，在Rt△BDC中，由勾股定理得：（4x）2+（43x）2＝（）2，解得：x＝32，∴AB 203x＝10，∴⊙O的半径OA＝5．【点睛】此题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形，勾股定理，解题关键在于得出∠AEB＝∠ADB＝90°。
2020年湖南省长沙市雅礼实验中学中考数学模拟试题(word无答案)
2020年湖南省长沙市雅礼实验中学中考数学模拟试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 下列四个数﹣1，0，，2中，最小的数是（）A．﹣1B．2C．D．0(★) 2 . 2016猴年春晚在某网站取得了同时在线人数超的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，则用科学记数法可表示为（）A．B．C．D．(★★) 3 . （3分）下列运算正确的是（）A．B．C．D．(★) 4 . 如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．(★) 5 . 在体育模拟考试中，某班名男生的跳绳成绩如下表所示：成绩/次160165170175180185190人数1235842则这些同学跳绳成绩的中位数，众数分别是( )A．，B．，C．，D．，(★) 6 . 若等腰三角形的两边长分别为a和b，且满足，则该等腰三角形的周长是（）A．12B．16C．20D．16或20(★) 7 . 下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°(★) 8 . 如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（）A．B．C．D．(★) 9 . 若直线平行于直线，且过点，则该直线的表达式是（）A．B．C．D．(★★) 10 . 如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点和，连接，交于点，连接，则的度数为（）．A．B．C．D．(★) 11 . 《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y 两，则可列方程组为（）A．B．C．D．(★★) 12 . 如图，正方形ABCD的边与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH、FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①；② //且= ；③ ；④ ∽ ，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(★) 13 . 分解因式：3 ax 2+6 axy+3 ay 2＝_____．(★) 14 . 若二次根式有意义，则x的取值范围是 ___ ．(★) 15 . 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为_____ ．(★) 16 . 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______．(★) 17 . 河堤横断面如图所示，坝高8米，迎水坡AC的高坡比为1：，则AB的长为______．(★★) 18 . 如图，正方形OAPB、矩形ADFE的顶点O、A、D、B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P、F在反比例函数（x＞0）的图像上，则EF的长为___．三、解答题(★) 19 . 计算：(★★) 20 . 解不等式组：，并将解集表示在数轴上．(★★)21 . 某中学在全校学生中开展了“地球—我们的家园”为主题的环保征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖．根据奖项的情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）求校获奖的总人数，并把条形统计图补充完整；（2）求在扇形统计图中表示“二等奖” 的扇形的圆心角的度数；（3）获得一等奖的4名学生中有3男1女，现打算从中随机选出2名学生参加颁奖活动，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率﹒(★★) 22 . 如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图.已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF=60°，底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度.(★★) 23 . 某文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元，B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元，B种羽毛球拍售价为每副12元，全部售完后共获利270元．（1）求这个文教店购进A、B两种羽毛球拍各多少副？（2）若该文教店以原进价再次购进A、B两种羽毛球拍，且购进A种羽毛球拍的数量不变，而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍，B种羽毛球拍按原售价销售，而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时，要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元？(★★) 24 . 已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BC=5，AB=8，求OF的长．(★★★★) 25 . 设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若函数是闭区间上的“闭函数”，求实数a，b的值．(★★★★★) 26 . 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值；（3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
湖南省长沙市雅礼实验中学2024-2025学年九年级下第一次全真模拟数学试题(无答案)
雅礼试验中学2024届初三第一次全真模拟数学考生留意:本试卷共三道大题,26个小题,满分120分,时量120分钟。
一、单项选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的,请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共12个小题,每小题3分,共36分) 1.21的相反数是 A.2 B.-2 C.21 D.21- 2.长沙市地铁4号线一期工程河西段全长183000米,预料最早于2024年底建成通车,将数据183000用科学记数法表示为A.18.3×104B.1.83×104C.1.83×105D.0.183×1063.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是A.一般三角形B.平行四边形C.正五边形D.矩形4.下列计算正确的是A.()62342x x =-B.532x x x =+C.428x x x =÷D.()222b a b a +=+5.不等式组⎩⎨⎧≤--3123x x ＜的解集在数轴上表示正确的是 6.若点A(-6,n)在x 轴上,则点B(n-1,n+1)在A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限7.下列命题中正确的是A.六边形的内角和是540°B.平行四边形的对角互补C.菱形的对角线相等D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8.下列图形中,由∠1=∠2,能得到AB ∥CD 的是A B C D9.雨花区5月份最近连续五天的日最高气温(单位:℃)分别为:33、30、30、32、35,则这组数据的中位数和平均数分别是A.32.32B.32,33C.30,31D.30,3210.如图,在MABC 中,∠B=30°,∠C=90°,AD 平分∠CAB,若BD=8cm,则AC 的长为 A.4cm B 34 C.8cm D.cm 3811.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道闻名算题:“有100个和尚分100只馒头正好分完。
2020年长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年长沙市雨花区雅礼教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列各数中，是无理数的是()D. √2A. 3.14B. √4C. 132.据科学家估计，地球年龄大约是4600000000年，这个数用科学记数法表示为()A. 4.6×108B. 46×108C. 4.6×109D. 0.46×10103.下列计算正确的是()A. √4+9=√4+√9B. 3√2−√2=3C. √14×√7=7√2D. √24÷√3=2√34.下列四个图形中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，∠ABC=110°，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=()A. 25°B. 30°C. 35°D. 45°6.如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是()A. 遇B. 见C. 未D. 来7.某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下(单位：个)：10、6、9、11、8、10，下列关于这组数据描述正确的是()．A. 极差是6B. 众数是10C. 平均数是9.5D. 方差是168.点P(1,3)向下平移2个单位后的坐标是()A. (1,2)B. (0,1)C. (1,5)D. (1,1)9.如图，已知AB//CD//EF，那么下列结论中正确的是()A. CDEF =ADAFB. ABCD =BCECC. ADBC =AFBED. CEBE =AFAD10.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=()A. 12B. 9C. 6D. 311.某店把一本书按标价的9折出售，仍可获利20%.若该书的进价为21元，则标价为()A. 26元B. 27元C. 28元D. 29元12.如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=−3x+3，l2：y=−3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：①a−b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点(b,c)；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有()A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 分解因式：10x 2−1000=______．14. 关于x 的一元二次方程x 2+kx +4=0有两个相等的实数根，则k =______．15. 圆锥的母线长8cm ，底面圆的周长为12cm ，则该圆锥的侧面积为______．16. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点．如果∠BAC =30°，那 么∠BOC 的度数是______°.17. 如图，矩形OABC 的面积为1003，对角线OB 与双曲线y =kx (k >0,x >0)相交于点D ，且OB ：OD =5：3，则k 的值为______．18. 已知：如图，AD 、BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD ⊥BE ，AD =BE =6，则AC 的长等于______ ．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：√18−2cos45°+(13)−1−(π−1)020.先化简，再求值：(x−4x )÷x2−4x+4x，其中x=2√2+2．21.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A−优秀，B−良好，C−一般，D−较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图，解答下列问题：(1)本次一共调查了多少名学生？(2)C类女生有_____名，D类男生有_____名，并将条形统计图补充完整；(3)若从被调查的A类和C类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．22.如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．(1)求证：△ADE∽△BCE；(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：CD=CB．23.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD= 12米，求旗杆AB的高度．24.已知E、F是矩形ABCD边BC、CD上的点，连接AE、BF交于点P，CP的延长线交AB于点M，AB=6，BC=4．(1)若AE⊥BF，①求证：△ABE∽△BCF；②已知M是AB的中点，求证：BE=3；(2)已知M是AB的中点，BE=3，求证：AE⊥BF．25.在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合．以点P为圆心作经过点Q的圆，则称该圆为点P，Q的“相关圆”．(1)已知点P的坐标为(2,0)，①若点Q的坐标为(0,1)，直接写出：点P，Q的“相关圆”的面积为________；②若点Q的坐标为(3,n)，且点P，Q的“相关圆”的半径为√5，则n的值为________．(2)已知△ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为(−√3,0)，(√3,0)，点C在y轴正半轴上．若点P，Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标．(3)已知△ABC三个顶点的坐标为：A(−3,0)，B(92,0)，C(0,4)，点P的坐标为(0,32)，点Q的坐标为(m,32).若点P，Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围________．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA=3，OB=1，与y轴交于C(0,3)，抛物线的顶点坐标为D(−1,4)．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点D作直线DE//y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合)，PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、3.14是有限小数，是有理数；B、√4=2，是整数，属于有理数；C、1是分数，是有理数；3D、√2是无理数；故选：D．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：C解析：解：4600000000用科学记数法表示为：4.6×109．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：C解析：本题主要考查了二次根式的乘除运算和加减运算，根据二次根式的乘除法则和加减法则进行逐一分析即可．解：，故选项A错误，，故选项B错误，，故选项C正确，，故选项D错误，故选C．4.答案：C解析：解：A、是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故错误；C、不是中心对称图形．故正确；D、是中心对称图形．故错误．故选：C．根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5.答案：C解析：解：∵∠ABC=110°，∴∠A+∠C=180°−110°=70°．∵AM=AN，CN=CP，∴∠ANM=180°−∠A2，∠CNP=180°−∠C2，∴∠MNP=180°−180°−∠A2−180°−∠C2=180°−90°+12∠A−90°+12∠C=12(∠A+∠C)=12×70°=35°．故选：C．先根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，再由AM=AN，CN=CP用∠A与∠C表示出∠ANM与∠CNP的度数，由补角的定义即可得出结论．本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．6.答案：D解析：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“遇”与“的”是相对面，“见”与“未”是相对面，“你”与“来”是相对面．故选：D．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7.答案：B解析：本题主要考查了极差、众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．解：A.极差为11−6=5，故(A)错误；B.根据出现次数最多的数据是10可得，众数是10，故(B)正确；C.平均数为(10+6+9+11+8+10)÷6=9，故(C)错误；D.方差为16[(10−9)2+(6−9)2+(9−9)2+(11−9)2+(8−9)2+(10−9)2]=83，故(D)错误．故选B．8.答案：D解析：解：∵点P(1,3)向下平移2个单位，∴点P的横坐标不变，为1，纵坐标为3−2=1，∴点P平移后的坐标为(1,1)．故选：D．根据向下平移纵坐标减求解即可．本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9.答案：C解析：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．解：∵AB//CD//EF，∴ADAF =BCBE，A错误；BC EC =ADDF，B错误；AD AF =BCBE，∴ADBC =AFBE，C正确；CE BE =DFAF，D错误．故选C．10.答案：D解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=3．故选：D．根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质．11.答案：C解析：本题主要考查了一元一次方程的应用，设该书标价是x元，根据利润=售价−进价，且一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，可列方程求解．解：设该书标价是x元，0.9x−21=20%×21解得，x=28，∴该书标价是28元，故选C．12.答案：C解析：解：∵直线l1：y=−3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，∴A(1,0)，B(0,3)，∵点A、E关于y轴对称，∴E(−1,0)．∵直线l2：y=−3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，∴D(3,0)，C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，把y=3代入y=−3x+9，得3=−3x+9，解得x=2，∴C(2,3)．∵抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，∴{a−b+c=0c=34a+2b+c=3，解得{a=−1b=2c=3，∴y=−x2+2x+3．①∵抛物线y=ax2+bx+c过E(−1,0)，∴a−b+c=0，故①正确；②∵a=−1，b=2，c=3，∴2a+b+c=−2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B(0,3)，C(2,3)两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；④∵b=2，c=3，抛物线过C(2,3)点，∴抛物线过点(b,c)，故④正确；⑤∵直线l1//l2，即AB//CD，又BC//AD，∴四边形ABCD是平行四边形，=BC⋅OB=2×3=6≠5，故⑤错误．∴S四边形ABCD综上可知，正确的结论有3个．故选：C．根据直线l1的解析式求出A(1,0)，B(0,3)，根据关于y轴对称的两点坐标特征求出E(−1,0).根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C(2,3).利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，进而判断各选项即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的两点坐标特征，平行于x轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．13.答案：10(x+10)(x−10)解析：解：原式=10(x2−100)=10(x+10)(x−10)．故答案为：10(x+10)(x−10)．首先提取公因式10，再利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.答案：±4解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根，∴△=k2−4×4=0，解得：k=±4．故答案为：±4．根据判别式的意义得到△=k2−4×4=0，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．15.答案：48cm2×8×12=48cm2，解析：解：根据题意得，该圆锥的侧面积=12故答案为：48cm2．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.答案：60解析：解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°．故答案为60．直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．17.答案：12解析：解：设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)．∵矩形OABC的面积为100，3∴5m⋅5n=100，3∴mn=4．3把D的坐标代入函数解析式得：3n=k，3m=12．∴k=9mn=9×43故答案为12．设D的坐标是(3m,3n)，则B的坐标是(5m,5n)，根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得k的值．本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关系．18.答案：9√52解析：解：过D点作DF//BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD=BE=6，则DF=3，AF=√AD2+DF2=3√5∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC=32AF=32×3√5=9√52．故答案为：9√52．过D点作DF//BE，则DF=12BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC=32AF．本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．19.答案：解：原式=3√2−2×√22+3−1=2√2+2解析：本题涉及零指数幂、负指数幂、锐角三角函数、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的锐角三角函数值等知识点．20.答案：解：原式=x2−4x ÷(x−2)2x=(x−2)(x+2)x×x(x−2)2=x+2x−2，当x=2√2+2时，原式=√2+2+22√2+2−2=√2+ 2√2=√2+1.解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．21.答案：解：(1)本次调查的学生数=10÷50%=20(名)；(2)C类学生数=20×25%=5，则C类女生数=5−2=3(名)；D类学生数=20−3−10−5=2(名)，则D类男生有1名，故答案为3；1．条形统计图为：，(3)画树状图为：，共有15种等可能的结果数，其中恰好是一位男同学和一位女同学的结果数为7种，所以所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率=715．解析：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．(1)用B类的人数除以它所占的百分比即可得到本次调查的学生数；(2)先利用调查的总人数乘以C类所占百分比得到C类人数，然后减去男生人数即可得到C类女生人数，同样可求出D类男生人数，然后补全条形统计图；(3)先画树状图展示15种等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算．22.答案：证明：(1)如图，∵∠A与∠B是CD⏜对的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠1=∠2，∴△ADE∽△BCE；(2)如图，∵AD2=AE⋅AC，∴AEAD =ADAC，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，即∠AED=90°，∴直径AC⊥BD，∴CD⏜=BC⏜，∴CD=CB．解析：此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．(1)由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；(2)由AD2=AE⋅AC，可得AEAD =ADAC，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．23.答案：解：过D作DH⊥AB于H，设BH=xm，在Rt△BDH中，tan∠BDH=BHDH，∴DH=BHtan30°=√3x，∴AC=√3x，在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABAC，∴AB=AC⋅tan60°=3x，∵AH=CD=12∴3x−x=12，解得，x=6，答：旗杆AB的高度为18m．解析：过D作DH⊥AB于H，设BH=xm，根据正切的定义求出DH、AC、AB，根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24.答案：(1)①证明：在矩形ABCD中，∵∠BCD=90°，∴∠CBF+∠BFC=90°．∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠BFC，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴△ABE∽△BCF．②证明：如图1，作PN⊥AB于点N．∵BM=12AB=3，∴CM=√BM2+BC2=√32+42=5，∵AE⊥BF，M是AB的中点，MP=MB=3，∴CP=MC−MP=2．∵PN⊥AB，∴PN//BC，∴△MNP∽△MBC，∴NBMB =CPCM，MPMC=PNBC，∴NB=1.2，PN=2.4，∴AN=AB−NB=4.8．∵PN//BC，∴△APN∽△AEB，∴PNBE =ANAB，∴BE=3．(2)证明：如图2，延长AE，DC交于点G．∵M是AB的中点，∴MB=3，∴MC=5，∵BC=4，BE=3，∴CE=1．∵DC//AB，∴△CEG∽△BEA，∴CGBA =CEBE=13，∴CG=2，∴AE=√AB2+BE2=3√5，EG=√CE2+CG2=√5，∴AG=4√5，∴，∵DC//AB，∴△PCG∽△PMA，∴PGPA =CGMA=23②，联立①②，得AP=125√5，∴PAAB =2√55，∵ABAE =3√5=2√55，∴PAAB =ABAE，又∵∠PAB=∠BAE，∴△PAB∽△BAE，∴∠APB=∠ABE=90°，∴AE⊥BF．解析：本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的运用．解题关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．(1)①运用矩形的性质和余角的性质证出△ABE和△BCF中的两组角相等即可证明△ABE∽△BCF．②作PN⊥AB于点N，先由勾股定理求出CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CP的长度，然后证明△MNP∽△MBC，利用比例式求出AN，再证明△APN∽△AEB，得出PNBE =ANAB，即可求出BE=3．(2)延长AE，DC交于点G，先由上题的结论得出CE=1，证明△CEG∽△BEA得出CGBA =CEBE=13，求出CG，再运用勾股定理得出AG，根据△PCG∽△PMA得出PGPA =CGMA=23，求出AP的长，通过计算证明PAAB =ABAE，即可证明出△PAB∽△BAE，因此∠APB=∠ABE=90°，结论AE⊥BF得证．25.答案：解：(1)①∵PQ=√OP2+OQ2=√22+12=√5，∴S=π⋅r2=5π；②过点Q作QH⊥x轴于H，∵HQ=√PQ2−PH2=2，∴Q点坐标为(3,2)或(3,−2)，∴n=2或−2．(2)如图，在Rt△OAC中，∠ACO=30°，∴OC=√3OA=3，∴C点坐标为(0,3)，∴△ABC的内切圆的圆心的坐标为(0,1)，半径为1，∴P(0,1)，设Q(x,2x)，则有x2+(2x−1)2=1，，解得x=45∴Q(45,8 5).(3)如图3中，①当相关圆与AC、AB相切时半径有最小值32，②当相关圆经过点B时，半径有最大值32√10，∴−3√102≤m≤−32，即32≤m≤3√102．解析：本题考查圆综合题、切线的性质、勾股定理、点P、Q的“相关圆”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题，属于难题．(1)①根据PQ=√OP2+OQ2=√22+12=√5，求出⊙P的半径即可解决问题；②过点Q作QH⊥x轴于H.利用勾股定理求出QH的值，即可解决问题．(2)在Rt△OAC中，∠ACO=30°，可得OC=√3OA=3，推出C点坐标为(0,3)，推出△ABC的内切圆的圆心的坐标为(0,1)，半径为1，推出P(0,1)，设Q(x,2x)，则有x2+(2x−1)2=1，求出x即可．(3)①当相关圆与AC、AB相切时，可得半径有最小值32，②当相关圆经过点B时，可得半径最大值32√10，由此即可解决问题．26.答案：解：(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA=3，OB=1，得A点坐标(−3,0)，B点坐标(1,0)；(2)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，把C点坐标代入函数解析式，得a(0+3)(0−1)=3，解得a=−1，抛物线的解析式为y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3；(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值)，理由如下：过点P作PQ//y轴交x轴于Q，如图．设P(t,−t2−2t+3)，则PQ=−t2−2t+3，AQ=3+t，QB=1−t，∵PQ//EF，∴△AEF∽△AQP，∴EFPQ =AEAQ，∴EF=PQ⋅AEAQ =(−t2−2t+3)×23+t=23+t×(−t2−2t+3)=2(1−t)；又∵PQ//EG，∴△BEG∽△BQP，∴EGPQ =BEBQ，∴EG=PQ⋅BEBQ =(−t2−2t+3)×21−t=2(t+3)，∴EF+EG=2(1−t)+2(t+3)=8．解析：(1)根据OA，OB的长，可得答案；(2)根据待定系数法，可得函数解析式；(3)根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用点的坐标表示方法；解(2)的关键是利用待定系数法；解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减．。