人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例习题(3)
2012人教A 版高中数学必修四2.5平面向量应用举例练习题（带解析）
一、选择题
1.一物体受到相互垂直的两个力f 1、f 2的作用，两力大小都为5N ，则两个力的合力的大小
为( ) A ．10
N
B ．0N
C ．5N
D ．
N
【答案】C
【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力f 的大小为
×5
＝5
(N)．
2.河水的流速为2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10m/s B ．2m/s C ．4
m/s
D ．12m/s 【答案】B
【解析】设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1.
∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0， ∴|v 2|＝＝
＝
＝2
.
3.(2010·山东日照一中)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则
的值为( ) A ． B ．－ C ．
D ．－ 【答案】B
【解析】因为|a |＝2，|b |＝3，又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，可得cos 〈a ，b 〉＝－1.即a ，b 为共线向量且反向，又|a |＝2，|b |＝3，所以有3(x 1，y 1)＝－2(x 2，y 2)⇒x 1＝－ x 2，y 1＝－ y 2，所以
＝
＝－，从而选B.
4.已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( ) A ．lg2 B ．lg5 C ．1 D ．2 【答案】D
高中数学 (2.5.1 平面几何中的向量方法)教案 新人教A版必修4
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
整体设计
教学分析
1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:
则向量方法的流程图可以简单地表述为:
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.
2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:
综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;
解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;
分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.
前三种方法都是中学数学中出现的内容.
有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.
三维目标
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.
2.5 平面向量应用举例(3课时)
第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法
教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研
究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.
教学过程： 一、复习准备：
1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?
2.讨论：① 若o 为ABC ∆的重心，则OA +OB +OC =0；
②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12
AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
二、讲授新课：
1.教学平面几何的向量：
(1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：
平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝，
则+=+=
（平移）
，-=-=， 2
2
b AD ==（长度）
．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则
=，且,所在直线平行或重合”相类比，你
有什么体会？
②由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
(3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题：
①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积．
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例(第1课时)预习导航学案 新人教A版必修4
1 2.5 平面向量应用举例（第1课时）
预习导航
1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．
思考平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②证明直线或线段垂直；③线段平行或涉及共线问题；④求夹角问题．对于上述问题，利用向量的方法如何解决？ 提示：设a ＝
(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0，且b ≠0)，a 与b 的夹角为θ.
①求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a | ②证明垂直或涉及垂直问题，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；
③线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x
1y 2－x 2y 1＝0；
④求夹角问题，常利用向量的夹角公式：
cos θ＝·||||a b a b . 特别提醒向量法解决几何问题的两个方向
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.12.5.
∴A→E＝(2m－3a,2n)＋(2a,0)＝(2m－a,2n)， 即 E(2m－a,2n)． ∴F→O＝(m，n)－(a,0)＝(m－a，n)，O→E＝ (2m－a,2n)－(m，n)＝(m－a，n)， 即F→O＝O→E，∴F→O与O→E共线． 从而点 E，O，F 在同一条直线上．
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探究二 向量在解析几何中的应用 [典例 2] 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F 分 别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．
在利用向量法具体解决问题时，可根据实际情况选择以下两种方法： (1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示相关向量， 把问题转化为只含有基向量的运算． (2)坐标法：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的 坐标运算．
1.如图所示，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且ECDE＝AFFB＝12，求证：点 E，O，F 在同一条直线 上．
三、向量在物理学中的应用 1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 向量 ． 2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，其运 算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则．
人教课标版高中数学必修4《平面向量应用举例》疑难点拨
《平面向量应用举例》疑难点拨
一、向量在平面几何中的应用
1.两种方法
（1）基底法:根据图形之间的关系，选择一组基底，再用基底分别表示出目标向量，然后再根据平面向量的加法、减法、数乘、数量积的运算法则进行计算求解. （2）坐标法:若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，先求点的坐标，再表示向量的坐标，通过坐标运算法则求解.
2.用向量方法解决平面几何问题的基本步骤
（1）表示:建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
（2）运算:通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
（3）翻译:把运算结果“翻译”成几何关系.
练1(★★☆)如图，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆,O P为半圆上与
+++的说法正确的是（）
,A B不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD
A.无最大值，但有最小值
B.既有最大值，又有最小值
C.有最大值，但无最小值
D.既无最大值,又无最小值
思路分析建系，根据图形特点建立坐标系→求点，依据坐标系求出各关键点的坐标→转化，把向量运算问题转化为向量的坐标运算问题→解决问题，得到结论
二、向量在物理中的应用
1.用向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题中的向量,转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)求出数学模型的解；
(4)回到物理问题中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象.
2.常见物理量的解题思路
(1)力向量:求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则求解.
①当受力物体被看成质点时，往往对作用力进行正交分解.
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算(运算律)与图形性质》50PPT课件
方向上的投影
ar
r •b=
ar
r
b cos
A
rB b
O
ar
A
ar
cos： ar
ar
r 在b
r •b=
方向上的投影
r b
ar cos
投影的作图
B B
四、平面向量数量积的运算律
1.ar
•
r b
r b
•
ar
2.ar
•
r b
r
(b)
•
ar
a•
b
提示：
ar
•
r b
ar
r b
cos1
r
b
•
ar
r
b
ar cos2
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一年三班 数学组 曾庆麓
课标要求：
1.理解向量数量积的概念及其几何意义。 2.掌握数量积的运算公式及其变式；
掌握并能熟练运用数量积的性质和运算律； 3.理解向量的模长公式。
知识引入 r F2
r F
rr r FF1 S
思考1.功的概念？
如果一个物体受到力的作用，并沿着力的方向 发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功.
ar
与
3,
ar
r b
r4 ，且 ar 与 kb 互相垂直？
高中数学新课标人教版教材目录
高中数学新课标人教版教材目录
第一篇：高中数学新课标人教版教材目录
高中数学新课标人教版教材目录
高中数学新课标必修一教材目录第一章集合与函数概念 1.1 集合1.2 函数及其表示
1.3 函数的基本性质
第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数
第三章函数的应用 3.1 函数与方程
3.2 函数模型及其应用
高中数学新课标必修二教材目录第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构
1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积
第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.2 直线的方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程
4.1 圆的方程
4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系
高中数学新课标必修三教材目录第一章算法初步 1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法与案例第二章统计 2.1 随机抽样
2.2 用样本估计总体2.3 变量间的相关关系第三章概率
3.1 随机事件的概率3.2 古典概型3.3 几何概型
高中数学新课标必修四教材目录第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2 平面向量的线性运算
高中数学：第二章2.5平面向量应用举例
第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3，2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )
A ．(－1，－2)
B ．(1，－2)
C ．(－1，2)
D ．(1，2)
解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F 4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．
★答案★：D
2．平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD
→＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )
A ．菱形
B ．梯形
C ．矩形
D ．平行四边形
解析：由题意知a －b ＝d －c ，
所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．
★答案★：D
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为
( )
A ．100焦耳
B ．50焦耳
C ．503焦耳
D ．200焦耳
解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米
W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝
10×10×12
＝50(焦耳)． ★答案★：B
4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →
＝5，则AC 的长为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：因为BD →＝AD →－AB →＝12
AC →－AB →
. 所以BD →2＝⎝ ⎛⎭
高中数学 第二章 平面向量 2.5 第27课时 平面几何中的向量方法作业课件 新人教A版必修4
最小值－5.故选C.
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．在边长为1的正三角形ABC中，A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝
－32
.
解析：A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B
＝A→B·(B→C＋C→A)＋B→C·C→A＝A→B·B→A－C→A·C→B
＝－A→B2－|C→A||C→B|cos60°＝－12－1×1×12＝－32.
复习课件复习课件高中数学第二章平面向量25第27课时平面几何中的向量方法作业课件新人教a版必修4第二章平面向量第二章平面向量25平面向量应用举例第27课时平面几何中的向量方法25平面向量应用举例第27课时平面几何中的向量方法基础训练课时作业设计45分钟课时作业设计45分钟作业目标1
复习课件
高中数学 第二章 平面向量 2.5 第27课时 平面几何中的向量方法作业课件 新人教A版必修4
7．如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重
合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图2)的两
个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若
→ OP
＝x
→ OA
＋
yO→B，则x＋y的取值范围是( C )
A．[－4,4] B．[－ 21， 21] C．[－5,5] D．[－6,6]
——基础巩固——
一、选择题(每小题5分，共35分)
高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例人教版必修455页PPT
(1)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，
uuur uuur AC＝4，求 AB·BC ；
uuur (2)如图，在平行四边形 ABCD 中， AC ＝
uuur
uuur uuur
(1,2)， BD＝(－3,2)，则 AD·AC ＝ ( )
A．1
B．3
C．5
122＋122＝ 22，
答案：C
2．(2019·广东高考)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)
满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝
()
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30， c＝(3，x)，∴18＋3x＝30⇒x＝4.
答案：C
3．(2010·全国新课标)a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，2a＋b＝
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b| 的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y12x22＋y22
考点一
平面向量的数量积运算及向量的模
(1)在等边三角形 ABC 中，D 为 AB 的中点，AB＝5. uuur uuur uuur 求 AB·BC ，|CD|.
(2)若 a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.
2-5 平面向量应用举例
第二章
2.5
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 阅读教材P109－112回答下列问题． 1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法 则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
第二章
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2， 对角线BD＝2.求对角线AC的长．
[分析]
求线段长度的问题可以转化为求向量的模，写出
→2 →2 |AC| 后会发现未知量可由|BD| 计算出．
第二章
2.5
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋ kb，则l＝________，k＝________.
1 1 [答案] 10 －2
第二章
2.5
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
新课引入 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个 旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂 的夹角越小越省力．把上面的问题抽象为数学模型，可以从 理论上解释其原因．本节课我们来研究向量在几何与物理中 的应用．
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例教案新人教版
2.5平面向量应用举例
一、教材分析
向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.
四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法
1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案
3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用
2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例
一、教材分析
向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析
在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法
1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案
3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用
2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程
人教版高中数学目录
2.2平面向量的线性运算
★★☆☆☆
2.3平面向量的实际背景及基本概念
★★★☆☆
2.4平面向量的基本定理及坐标表示
★★★★☆
2.5平面向量应用举例
★★☆☆☆
第三章三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
★★★★☆
3.2简单的三角恒等变换
★★★★★
高中必修5（人教版）
章数
节次
难易程度
★★★★☆
高中必修4（人教版）
章数
节次
难易程度
第一章三角函数
1.1任意角和弧度制
★★★☆☆
1.2任意角的三角函数
★★★☆☆
1.3三角函数的诱导公式
★★★★★
1.4三角函数的图像与性质
★★★★☆
1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图像
★★★★★
1.6三角函数模型的简单应用
★★★★☆
第二章平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
第一章解三角形
1.1.正弦定理和余弦定理
★★★★☆
1.2应用举例
★★★☆☆
1.3.实习作业
★☆☆☆☆
第二章数列
2.1.数列的概念与简单表示法
★★☆☆☆
2.2等差数列
★★★☆☆
2.3等差数列的前n项和
★★★★☆
2020版人教A版高中数学必修四导练课件：2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的
第二十页，编辑于星期日：一点 十四分。
方法技巧
(1)解力的向量问题时,依据题意对物体进行受力分析,通过向量加法的平行四 边形法则对力进行分解和合成.
(2)解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位,借助于图
形,将物理量之间的关系抽象为数学模型.
第二十一页，编辑于星期日：一点 十四分。
即时训练3-1:已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动
第二十二页，编辑于星期日：一点 十四分。
(2)F1,F2的合力F对质点所做的功. 解:(2)W=F· AB =(F1+F2)· AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15) =(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15) =-117+15 =-102(J).
第二十三页，编辑于星期日：一点 十四分。
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
第四页，编辑于星期日：一点 十四分。
思考1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题? 提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点的距离(线段长度)、夹角的 计算问题等.
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中. (3)动量mv是向量的数乘运算.
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一、选择题
1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )
A ．(9,1)
B ．(1,9)
C ．(9,0)
D ．(0,9)
解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．
又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)． 答案：A
2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1
2v 0，则发射角θ应为( )
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
解析：炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°.
答案：D
3．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB
D ．AC
解析：设AB ＝a ，AC ＝b ， 则AD ＝12a ＋1
2
b ，
BE ＝BA ＋12AC ＝－a ＋1
2b ， CF ＝CA ＋1
2AB ＝－b ＋1
2a .
∴AD ＋BE ＋CF ＝0. 答案：B
4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( )
A.a ＋b |a ＋b |
B.a |a |＋b |b |
C.a －b |a －b |
D.a |a |－a |b |
解析：AD ＝12AB ＋12AC ＝1
2(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b |
是与a ＋b 同方向的单位向量．
答案：A 二、填空题
5．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y
2)，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方
程为________．
解析：AB ＝(2，－y 2)，BC ＝(x ，y
2
)．
∵AB ⊥BC ，∴A AB ·BC ＝2x －1
4y 2＝0，即y 2＝8x . 答案：y 2＝8x
6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·
CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，
AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－5
2.
答案：－5
2
7．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为________．
解析：水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12at 2＝12F ·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×1
2×42×32
＝36(J)．
答案：36 J
8．设坐标原点为O ，已知过点(0，12)的直线交函数y ＝1
2x 2的图像于A 、B 两点，则OA ·
OB 的值为________．
解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝1
2x 2联立
得12x 2＝kx ＋1
2
， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ， y 1y 2＝(kx 1＋12)(kx 2＋12)
＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2)
2
＝－k 2＋k 2＋1
4
＝14
， ∴OA ·
OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－3
4.
答案：－3
4
三、解答题
9．△ABC 的三边长满足AC 2＋AB 2＝5BC 2，且BE ，CF 分别为AC ，AB 边上的中线，求证：BE ⊥CF .
证明：如图，∵BA ＋AC ＝BC ， ∴(BA →＋AC )2＝BC 2， 即BA 2＋2BA ·AC ＋AC 2＝BC 2. 由已知条件AC 2＋AB 2＝5BC 2， 得AB ·AC ＝2BC 2.
∴BE ·
CF ＝12(BA ＋BC )·1
2
(CA ＋CB ) ＝1
4(BA ·
CA ＋BA ·CB ＋BC ·CA ＋BC ·CB ) ＝1
4[2BC 2＋CB ·(BA ＋AC )＋BC ·CB ] ＝1
4(2BC 2＋CB ·
BC ＋BC ·CB ) ＝1
4(2BC 2－2BC 2)＝0， ∴BE ⊥CF ，∴BE ⊥CF .
10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ， ∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，
则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100， ① 且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.
②
由①②解得|F a |＝1502－506， ∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.