人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例

一、选择题

1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )

A ．(9,1)

B ．(1,9)

C ．(9,0)

D ．(0,9)

解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．

又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)． 答案：A

2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1

2v 0，则发射角θ应为( )

A ．15°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

解析：炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°.

答案：D

3．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB

D ．AC

解析：设AB ＝a ，AC ＝b ， 则AD ＝12a ＋1

2

b ，

BE ＝BA ＋12AC ＝－a ＋1

2b ， CF ＝CA ＋1

2AB ＝－b ＋1

2a .

∴AD ＋BE ＋CF ＝0. 答案：B

4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( )

A.a ＋b |a ＋b |

B.a |a |＋b |b |

C.a －b |a －b |

D.a |a |－a |b |

解析：AD ＝12AB ＋12AC ＝1

2(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b |

是与a ＋b 同方向的单位向量．

答案：A 二、填空题

5．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y

2)，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方

程为________．

解析：AB ＝(2，－y 2)，BC ＝(x ，y

2

)．

∵AB ⊥BC ，∴A AB ·BC ＝2x －1

4y 2＝0，即y 2＝8x . 答案：y 2＝8x

6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·

CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，

AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－5

2.

答案：－5

2

7．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为________．

解析：水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12at 2＝12F ·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×1

2×42×32

＝36(J)．

答案：36 J

8．设坐标原点为O ，已知过点(0，12)的直线交函数y ＝1

2x 2的图像于A 、B 两点，则OA ·

OB 的值为________．

解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝1

2x 2联立

得12x 2＝kx ＋1

2

， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ， y 1y 2＝(kx 1＋12)(kx 2＋12)

＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2)

2

＝－k 2＋k 2＋1

4

＝14

， ∴OA ·

OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－3

4.

答案：－3

4

三、解答题

9．△ABC 的三边长满足AC 2＋AB 2＝5BC 2，且BE ，CF 分别为AC ，AB 边上的中线，求证：BE ⊥CF .

证明：如图，∵BA ＋AC ＝BC ， ∴(BA →＋AC )2＝BC 2， 即BA 2＋2BA ·AC ＋AC 2＝BC 2. 由已知条件AC 2＋AB 2＝5BC 2， 得AB ·AC ＝2BC 2.

∴BE ·

CF ＝12(BA ＋BC )·1

2

(CA ＋CB ) ＝1

4(BA ·

CA ＋BA ·CB ＋BC ·CA ＋BC ·CB ) ＝1

4[2BC 2＋CB ·(BA ＋AC )＋BC ·CB ] ＝1

4(2BC 2＋CB ·

BC ＋BC ·CB ) ＝1

4(2BC 2－2BC 2)＝0， ∴BE ⊥CF ，∴BE ⊥CF .

10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．

解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ， ∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，

则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100， ① 且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.

②

由①②解得|F a |＝1502－506， ∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.