离散数学(总复习)

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离散数学期末复习

离散数学内容总结大纲第一篇数理逻辑第1章命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。

例求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。

例求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。

例求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。

例求()r q p →→的主析取范式。

判断公式类型例用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。

(1)(2)证明例证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。

该结论是否有效？请说明原因。

在命题逻辑中构造下面推理的证明：例如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。

或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。

小张守第一垒。

A 队没有成为联赛的第一名。

因此小李没有向B 队投球。

解：先将简单命题符号化。

P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。

前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。

根据以上事实，推断谁是盗窃犯。

（在命题逻辑中构造推理证明。

大学离散数学总复习题

《离散数学》期末复习题一．选择题：1.下列句子为真命题的是（） A(a)能整除7 的正整数只有1 和7 本身。

(b) 胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。

(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。

2．下列语句中是真命题的是（） DA．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） B A．⎤ P∧⎤ QB．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） BA．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．在公式（）F（x，y）→（y）G（x，y）中变元x是（） BA．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6、下列语句不是命题的是（） AA.∀xP(x,y)B. ∀xP(x)C. （）F（x，y）→（y）G（x，y）D. ∀x (x2 - 1 > 0)7.集合X = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} 是（） DA) 自反的、 B) 传递的、 C) 等价的 D) 对称的8、设R 是X = {1, 2, 3, 4}上的关系，x, y ∈X，如果x ≤ y，则(x, y)∈R。

下列关于关系R的说法错误的是：（） AA)关系R是等价关系，B) 关系R 是自反的C) 关系R 是传递的 D) 以上都不是。

9、集合X = {a, b, c}上的关系 R = {(a, a), (b, b), (c, c)}是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的；D) 自反的、对称的和传递的10、令X={1,2,…,10}。

定义xRy的意义是3整除x-y。

则关系R是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的D) 自反的、对称的和传递的11、下列S不是集合X＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的一个划分的是（） DA)S＝{{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}B)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3,5}, {7, 8}}C)S＝{{1, 4, 5}, {2,3, 6}, {7, 8}}D)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}12、从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c, d}的函数 f = {(1, b), (3, a), (2,c)} 是( ) AA) 一对一的B) 映上的C) 双射D) 都不是13、设R是X＝{1, 2, 3, 4}上的关系，x, y∈X，如果x≤y，则(x,y)∈R。

离散数学综合复习资料

离散数学综合复习资料一、判断题1.（）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。

2.（）（P∧Q）∧⌝P为矛盾式。

3.（）（（⌝P∨Q）∧（Q→R））→（P→R）为重言式。

4.（）A、B、C是任意命题公式，如果A∨C⇔B∨C，一定有A⇔B。

5.（）若集合A上的二元关系R是对称的，R C一定是对称的。

6.（）R是A上的二元关系，R是自反的，当且仅当r(R)=R。

7.（）集合A上的等价关系确定了A的一个划分。

8.（）有理数集是可数的。

9.（）若函数f，g为入射则其复合函数也为入射。

10.（）R是集合A上的关系，R有传递性的充要条件是RoR⊆R。

11.（）设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。

如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。

12.（）交换群必是循环群。

13.（）一个群可以有多个等幂元。

14.（）模格一定是分配格。

15.（）每个有向图中，结点入度数总和等于结点出度总和。

16.（）图G的邻接矩阵A，A l中的i行j列表示结点v i到v j长度为l路的数目。

17.（）任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。

18.（）有向图中，它的每一个结点位于且只位于一个单侧分图中。

19.（）任意平面图最多是四色的。

20.（）不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。

二、填空题1．设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”。

则命题“除非下雨，否则他就骑自行车上班”可符号化为。

“他或者骑自行车，或者乘公共汽车上班”可符号化为2．设N(x)：x是自然数；J(x)：x是奇数；Q(x)：x是偶数，用谓词公式符号化命题“任何自然数不是偶数就是奇数”。

3．设P(x)：x是运动员，Q(x)：x是教练。

则命题“不是所有运动员都是教练”可符号化为。

4．设D={a,b}；P(a,a)=P(b,b)=T；P(a,b)=P(b,a)=F。

则公式(∀x)(∃y)(P(x,y)→P(y,x))的真值是。

《离散数学》复习题及答案

页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

离散数学总复习题(选择填空) (1)

离散数学期末复习题（选择填空）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数）则 =⋃B A {0，1，2，3，4，6}；。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为A CB -⊕)( 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。

4．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = {<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> } 。

5．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}I A 。

6．图的补图为。

7.P ：你努力，Q ：你失败。

“除非你努力，否则你将失败”的翻译为Q P →⌝；；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为Q P ∧ 。

8.设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R∨<><=，则R= （列举法）。

R 的关系矩阵M R =。

9.设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ；A 上既是对AB C称的又是反对称的关系R= 。

10.n 个结点的无向完全图K n 的边数为 )1(21-n n ，欧拉图的充要条件是:图中无奇度结点且连通11.设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} ,则s （R ）=}a , c ,a , b ,c , c ,c , a ,b , a ,a , a {><><><><><>< 。

离散数学复习题及答案

总复习题（一）一．单选题1 (C)。

一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。

、4 、5 、6 、72、 (A)。

如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。

、1 、2 、3 、43、 (D)。

为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。

、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。

一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。

、9 、10 、11 、125、 (D)。

如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。

、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。

、13 、12 、11 、107、 (D)。

有向图的通路包括。

、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。

一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。

、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。

、13 、12 、11 、1010、 (D)。

有向图的通路包括。

、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。

一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。

、9 、10 、11 、1212、 (B)。

为有向图，为的邻接矩阵，则。

、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。

在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。

《离散数学》总复习上课讲义

不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元最小联结词组对偶式与对偶原理简单析取式、简单合取式析取范式与合取范式附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律第一组命题逻辑推理定律代换实例第二组由基本等值式生成（置换规则）第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))

离散数学必备知识点总结汇总

离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。

2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。

3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。

4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。

5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。

6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。

7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。

8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。

9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。

10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。

11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。

12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。

离散数学总复习

总复习题1. 设︱A ︱=5, ︱P(B)︱=512, ︱P(A ∩B)︱=8, 则︱A ⊕B ︱＝ , ︱A ∪B ︱＝。

2. 设p :选小王当班长，q ：选小李当班长，则选小王或小李中的一人当班长可符号化为____。

3. 命题公式根据赋值可分为________________、________________和______________三类。

4. 含N 个个命题变项的命题公式有______________组赋值，有_____________个真值。

5. ()A A B ∨∧=______________，()A A B ∧∨=__________________。

6. 设{|3,,14}A x x k k N k ==∈≤≤，则用列举法表示A =________________________。

7. 集合A ={1，2}的幂集P (A )与A 的笛卡尔积()P A A ⨯=________________________________________________________________________________________________________。

8. 某无向图G 中，共有边15条，该图中共有5度顶点2个，4度顶点3个，剩下的均为2度顶点，则该图中共有顶点个。

9. 一个结点为n 的无向完全图，其边的数目为。

10．已知<Z 6, ⊕>是一个群，则这个群的幺元是，这个群当中，逆元和自身相等的元素有。

11. 已知关系R 1＝{<a,a>,<a,c>,<b,d>,<c,b>},R 2={<c,a>,<b,c><a,d><d,b>}，写出下列关系 R 2◦R 1= ,R 13= 。

12、设Φ是一个空集，则下列之一哪一个不成立（①、Φ∈Φ②、Φ⊆Φ③、Φ∈{Φ}④、Φ⊆{Φ}13、如果命题公式G=P ∧Q ，则下列之一哪一个成立（①、G=⌝(P →Q) ②、G=⌝(P →⌝Q)③、G=⌝(⌝P →Q)④、G=⌝(⌝P →⌝Q)14、设X 、Y 是两个集合，|X|＝n ，|Y|＝m ，则从X 到Y 可产生（①、mn②、nm③、n m ⨯④、2m n⨯15、若复合映射τσ⋅是满射，则 ( )。

离散数学总复习-知识点

离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。

4、我正在说谎。

二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。

2、付明和杨进都是运动员。

3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。

4、李飞现在在宿舍或在图书馆。

5、只要天不下雨，我就步行上学校。

6、只有天不下雨，我才步行上学校。

7、并非只要你努力了，就一定成功。

三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。

例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。

3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。

问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。

问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。

明天天气好。

所以我们去爬长城。

例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。

同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。

例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。

离散数学-复习题

离散数学试题1一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列句子为命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗?2.下列式子不是．．谓词合式公式的是( ) A.(∀x)(P(x)→(∃x)(Q(x) ∧A(x ，y)))B.(∀x)∧(∃y)∨P(x ，y)C.(∀x)P(x)→R(y)D.(∃x)P(x)∧Q(y ，z)3.下列式子为重言式的是( )A.P →P ∨QB.(﹁P ∧Q)∧(P ∨﹁Q)C.﹁ (P Q)D.(P ∨Q) (P →Q) 4.设个体域为实数集，特定元素a=0，函数f(x ，y)=x-y ，特定谓词F(x ，y)为x<y ，下列公式真值为真的是( )A.(∀x)(∀y)F(x ，f(f(x ，y)，y))B.(∀x)(∀y)(﹁F(f(x ，y)，x))C.(∀x)(∀y)(∀z)(F(x ，y)→F(f(x ，z)，f(y ，z)))D.(∀x)F(f(a ，x)，a)5.对于公式(∀x)(∀y)P(x ，y)∨Q(x ，z)∧(∃x)P(x ，y)，下列说法正确的是( )A.x 是自由变元B.x 是约束变元C.( ∀x)的辖域是P(x ，y)∨Q(x ，z)D.(∀x)的辖域是P(x ，y)6.设论域为{1，2}，与公式(∀x)﹁A(X)等价的是( )A. ﹁A(1) ∨﹁A(2)B. ﹁A(1)→﹁(A2)C. ﹁A(1) ∧﹁A(2)D. A(1) →A(2)7.设Z +是正整数集，f ：Z +×Z +→Z +，f(n ，m)=n m ，则f( )A.仅是单射B.仅是满射C.是双射D.不是函数8.下列哪个关系矩阵所对应的关系具有自反性( )A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001111101B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110001C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00101010110.在整数集上，下面哪个运算不是．．二元运算( )A.加法B.减法C.乘法D.除法二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

成人高等教育《离散数学》复习资料

成人高等教育《离散数学》复习资料1、下列语句中是命题的只有（）1+1=102、设图13、设S { 1, 2, 3 }，定义S S上的等价关系,则由R产生的S S上一个划分共有( )个分块。

54、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“[如图1]”的哈斯图为（）[如图2]图1图2C5、集合A上的相容关系R的关系矩阵M(R)的对角线元素（）。

全是16、论断：“命题变元不是命题”（）命题。

是7、设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（）{Ø,{Ø}}∈B8、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）主析取范式9、如图图110、设S { ,{1},{1,2}}，则有( A ) S{{1,2}}11、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的。

（）主析取范式12、() [如图1]图113、设图G的相邻矩阵为[如图1]，则G的顶点数与边数分别为（）.图15，814、下列等价关系正确的是（）。

15、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。

116、设集合A={1，2，3，4}，A上的关系R＝{（1，1），（2，3），（2，4），（3，4）}，则R不具有（）。

A自反性C对称性D以上答案都不对17、若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的不是（）.A（1，2，2，3，4，5）B（1，2，3，4，5，5）D（2，3，3，4，5，6）.18、设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP（x），H＝∀xP（x），则一阶逻辑公式G→H不是（）.A恒真的B恒假的D前束范式19、下列关于集合的表示中不正确的为（）A{a}∈{a，b，c}C∅∈{a，b，c}D{a，b}∈{a，b，c}20、下列各命题中真值为真的命题有（）。

A2+2=4当且仅当3是奇数；D2+2≠4当且仅当3不是奇数；21、下列等价式成立的有（）AD22、下列语句中，（）不是命题。

离散数学复习题及答案

1. 写出命题公式﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。

答案：2.证明答案：3. 证明以下蕴涵关系成立：答案：4. 写出下列式子的主析取范式：答案：)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)P (Q)(P P)(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)Q)P ((Q)Q)P (P)Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()()(R P Q P ∨∧∧⌝5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →Ør, s→t, Øs→r, Øt Þ q 答案：①s →t 前提 ②t 前提③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提⑨q ⑦⑧析取三段论I106. 用反证法证明：p →(Ø(r∧s)→Øq), p, Øs Þ Øq)()(R P Q P ∨∧∧⌝)()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)(Q R P ⌝∧∧⌝∨7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。

答案：令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中))((W(x)F(x)x →∀8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。

答案：令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。

- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。

- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。

2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。

- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。

- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。

3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。

- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。

- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。

4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。

- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。

- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。

- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。

- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。

6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。

- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。

- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。

7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。

- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。

- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。

8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。

- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。

- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。

- 空间复杂度：算法空间需求的分析。

- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。

离散数学复习资料试卷习题与答案

离散数学复习资料试卷习题与答案离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。

证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。

# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。

证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从ka 开始上升子序列最长的长度为kx ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k kx y 。

若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k xn y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j aa ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则iy 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。

故原命题成立。

#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。

解：设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A 6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有-⋂⋂-⋂+-+⋃C⋃=+A⋂⋂BBCABABCAACBC---++=+660158252033=故有40AB⋃C⋃UBCA⋃100=60=-=-⋃即},,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。

《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc

5、理解等价关系和偏序关系的概念，学握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极人/小元、最人/小元、上/卜•界、最小上界、最人下界的求法。
6、理解函数概念：函数、函数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等概念，学握其判别方法。［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是：集合论约i'40% ,数理逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元关系，如果关系R同时具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
1 , 0）使G的真值为，
设G二（P, L）是图.如果G是连通的，并口,则G
是树。如果根树T的每个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( )(3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。