北师大高中数学选修21练习：第三章 §1 1.2 椭圆的简单性质 含解析

[A 组 基础巩固]

1．已知椭圆x 225＋y 2

m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9

解析：利用椭圆的标准方程及性质求解．

由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m >0，故m ＝3.

答案：B

2．已知k <0，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 2

4－k ＝1有相同的( )

A ．顶点

B ．焦点

C ．离心率

D ．长轴长

解析：c 21＝9－4＝5，且焦点在x 轴上；c 22

＝(9－k )－(4－k )＝5，且焦点在x 轴上． 答案：B

3．已知椭圆x 24＋y 2

2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则

△PF 1F 2的面积是( )

A.3＋1

B.2＋1

C. 3

D. 2

解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝4，焦距2c ＝2 2. ∵|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝3，|PF 2|＝1. ∵12＋(22)2＝32，

∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 2⊥F 1F 2，

∴△PF 1F 2的面积为12|PF 2|×|F 1F 2|＝1

2×1×22＝2，故选D.

答案：D

4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a

2上一点，△F 2PF 1

是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )

A.1

2

B.23

C.34

D.45

解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫3

2a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝3

4.

答案：C

5．以F 1(－1,0)、F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )

A.x 220＋y 2

19＝1 B.x 29＋y 2

8＝1 C.x 25＋y 2

4

＝1 D.x 23＋y 2

2

＝1 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

a 2－1

＝1(a >1)，由

⎩⎨

⎧

x 2a 2＋y 2a 2－1

＝1x －y ＋3＝0

，

得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0，由Δ≥0，得a ≥5， ∴e ＝c a ＝1a ≤5

5，当a ＝5时，e 取得最大值，

此时椭圆方程为x 25＋y 2

4＝1.

答案：C

6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ，

∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2.∴

c 2a 2<12，∴0

. 答案：⎝

⎛⎭⎫0，

22 7．焦点在x 轴上，长、短轴之和为20，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 解析：由题意知a ＋b ＝10，c ＝25，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝(10－a )2＋c 2＝100－20a ＋a 2

＋20.即a ＝6，∴b ＝4.又∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 2

16

＝1.

答案：x 236＋y 2

16

＝1

8．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个焦点F (2,0)，点A (－2,1)为椭圆E 内一点，若椭圆

E 上存在一点P ，使得|P A |＋|P

F |＝8，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________．

解析：记椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，则|AF 1|＝1.

∵|PF 1|≤|P A |＋|AF 1|，∴2a ＝|PF 1|＋|PF |≤|P A |＋|AF 1|＋|PF |＝1＋8＝9，即a ≤9

2.∵|PF 1|≥|P A |

－|AF 1|，∴2a ＝|PF 1|＋|PF |≥|P A |－|AF 1|＋|PF |＝8－1＝7，即a ≥72.∵c ＝2，∴292≤c a ≤272，即49≤e ≤4

7

，

椭圆E 的离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤

49，47.

答案：⎣⎡⎦⎤

49，47

9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．

解析：若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧

2a ＝3×2b ，9a 2＋0

b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝1.

∴椭圆方程为x 29

＋y 2

＝1；

若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

2a ＝3×2b ，0a 2＋9

b 2＝1，解得

⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝9，

b ＝3.

∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2

9

＝1. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，如果椭圆上存在点M ，使MF 1→·MF 2

→

＝0，求椭圆的离心率的取值范围．

解析：设点M (x ，y )，使MF 1→·MF 2→＝0，由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，MF 1→＝(－c －x ，－y )，MF 2

→

＝(c －x ，－y )，

∴(－c －x )(c －x )＋(－y )2＝0，∴x 2＋y 2＝c 2. 又点M (x ，y )在椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1上，