第6章 扭 转
工程力学 第6章扭转
max
M n max Wn
式中：
max — —横截面圆周处的最大 剪应力。
M n max — —横截面上的最大扭矩 。 Wn — —抗扭截面系数 (m m3 ),只与截面形状和大小有 关的几何量。
抗扭截面系数计算公式： Wn
对于直径为D的实心圆截面： Wn
I R
0.2 D 3
A
2 dA
2 4 令： dA I — —极惯性矩（ mm ） A
得：
Mn I
剪 应 力 分 布 图
结论：（1）圆轴扭转时其横截面上只有剪应力而无正应力。 （2）圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力与该点到 圆心的距离成正比，与半径垂直。
三.圆轴扭转强度计算
3.圆轴扭转的强度条件:
D 3
16
D D 3 对于内外径比为 的空心圆截面： Wn 1 4 0.2 D 3 1 4 d 16
三.圆轴扭转强度计算
4.强度条件的应用
（1）校核轴的扭转强度。
（2）确定圆轴的直径。 （3）确定轴所能传递的功率或转速。
解：（1）求A、B、C点的剪应力
截面上的扭矩： M n M e 4 106 N mm
一.扭转的概念
1.扭转变形 受力特点——两外力偶作用面与杆件轴线垂直。 变形特点——杆件相邻两横截面绕轴线发生相对转动。
2.在工程中，作用在圆轴上的外力偶矩通常根据轴所传递的 功率和轴来的转速来计算。 外力偶矩的计算公式：
N (kW ) m 9549 n(r / min)
式中： m——外力偶矩（牛米） N——轴传递的功率（千瓦） n——轴的转速为（转/分）
第六章-扭转
Me
g
AD BC
Me
f
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明, 圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均 相同。因此, 在材料为均匀连续这个假设条件下, 圆 筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆 周上各点处必相等；至于此切应力的方向, 从相应的 切应变发生在圆筒的切向平面可知, 是沿外圆周的切 向。
M1 d
M3
M2
B
A
C
lAB
lAC
35
例题 8-2
M2
M1 d
M3
B
A
C
lAB
lAC
解: 由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为T Ⅰ=
955 N·m, T Ⅱ= 637 N·m 。先分别计算B ，C截
面对A之扭转角fAB， fAC , 则可以假想此时A不
动。
f AB
T l AB GIp
， fAC
T l AC GIp
17
取微段dx分析: 得半径为r的任意圆杆面上的切应
变。
gr
tan g r
r df
dx
r(df )
dx
(1)
式中: d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常 量。这样，等直圆杆受扭时， gr 与r 成线性关系。
18
2. 物理方面 由剪切胡克定律: tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1)
扭转变形演示
15
1. 几何方面 如下图，实验表明:
(1) 等直圆杆受扭时, 画在表面上的圆周线只是绕杆的 轴线转动, 其大小和形状都不改变；且在变形较小的 情况时, 圆周线间的相对纵向距离也不变。
16
(2) 平截面假设 等直圆杆受扭时, 它的横截面如同刚性的圆盘
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
根据所观察到的现象，假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴 线转动，即平面假设
上式中dφ/dx为扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面是个 常量，表明切应变γρ与ρ成正比，即沿半径按直线规律变化
6.4 等直圆杆扭转轴的内力与应力
6.4.3等直圆杆扭转时横截面上的切应力 2.物理方面
建筑力学
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
第6章 杆件的剪切、挤压与扭转
教学目标
了解剪切与挤压的实用计算方法 了解扭矩计算方法 掌握扭矩图绘制方法 掌握切应力的计算及分布规律 掌握扭转角计算 教学重点与难点
扭矩计算方法及扭矩图绘制 切应力的计算及扭转角计算
6.1 剪切与挤压概念
剪切是杆件的基本变形形式之一，当杆件受到图所 示大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对横向力 作用时，杆件发生剪切变形，此时截面相对错动趋势。
（1）假定应力分布规律，计算出各部分的“名义应力”； （2）根据实物或模拟实验，采用同样的计算方法，由破 坏荷载确定材料的极限应力 （3）然后根据上述两方面的结果建立强度条件。
6.2 剪切与挤压的实用计算 6.2.1剪切的实用计算
在连接件中，铆钉和螺栓连接是较为典型的连接方 式，其强度计算对其他连接形式具有普遍意义
根据剪切强度条件可得
6.2 剪切与挤压的实用计算
解：(1)按剪切强度条件求F
(2)按挤压强度条件求F
(3)按连接板抗拉强度求Fs
许用荷载
[]
6.3 扭转的概念
等截面直杆扭转
（1）受力特点是：杆件受力偶系作用，这些力偶的作 用面都垂直于杆轴线； （2）变形特点：两端截面A与B之间产生相对扭转角 （φ3）杆表面的纵向线将由斜线逐渐变成螺旋线。
圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5
m
因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
解： 1） 计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
第六章 圆轴的扭转
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1 2 3
T1 M B 468N m
弹塑性力学课件第六章
图 6.2 非圆形截面等直杆的扭转实验
2018/10/31
8
第六章 柱体扭转问题
柱体扭转问题的实验研究
为了简化问题，圣维南（ Saint Venant）由实验观察中假定，任
意截面形状的柱体在发生自由扭转变形时，各个横截面的翘曲程度都
相同。这就是圣维南等翘曲假定。如果我们把轴取在柱体的轴线上， 根据等翘曲假定，就有
w w( x, y) ( x, y)
u zy v xz
刚性转动假定
u zy
v xz w ( x, y )
2 2
MT KT
MT KT
KT G ( x 2 y 2 x
A
y )dxdy y x y )dxdy y x
截面翘曲影响项
扭转刚度
G r 2 dxdy G ( x
第六章 柱体扭转问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
1
第六章 柱体扭转问题
引
言
柱体扭转问题的实验研究 基本方程
几个典型例子
柱体扭转问题的实验比拟方法
薄壁杆件的扭转问题
其他说明
2018/10/31
2
第六章 柱体扭转问题
引 言
柱体扭转问题在土木、机械等工程中是常见的一类问题。 所谓柱体扭转，是指圆柱体和棱柱体仅在端部受到扭矩的作 用，而且扭矩矢量与柱体的轴线方向重合。 本章将专门分析柱体扭转问题中较为简单的一类问题： 任意截面形状柱体的 自由扭转问题 ，即允许柱体在受扭变形 后的横截面自由翘曲的情形。关于柱体的 约束扭转问题 ，即 横截面的翘曲受到约束的情形，这里不进行讨论 。
工程力学第6章 扭转
T 2 A0
6.2.2 切应力互等定理
从薄壁圆筒中包括横截 面取出一个单元体
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
根据力偶平衡理论
y
(dydz )dx ( dxdz)dy
dy
dz
在相互垂直的两个平面 上，切应力必成对出现， 两切应力的数值相等， 方向均垂直于该平面的 x 交线，且同时指向或背 离其交线。
对于各向同性材料，在弹性变形范围内，切变 模量G 、弹性模量E 和泊松比之间有下列关系：
G
E （1 ） 2
6-3 实心圆轴扭转时的应力和强度条件
6.3.1 、 扭转剪应力在横截面上的分布规律
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
例题 3
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。
10 kN
30 kN 50 kN
10 kN
20 kN
50 kN 30 kN
20 kN
30 kN
6.2.3 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 圆截面轴（实心、空心）
建筑力学6-扭转
(2) 计算各段的扭矩 AB段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭 矩的规律有 TAB=mA=1756N·m BC段：考虑右侧 TBC=mC=702.4N·m (3) 画扭矩图 根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图6.3(b))。 由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大，其值 Tmax=TAB=1756N·m
6.3.3 横截面上的变形
圆轴扭转时的变形，用两个横截面间绕轴线的相 对扭转角φ来度量。由上节式（e)可得相距为l的两个截 面之间的扭转角为 l T ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx l 0 GI P 当轴在l长度范围内T、G和Ip均为常量时，有
T ϕ= GI P T Tl ∫0 GI P dx = GI P
第六章 扭转
6-1，概述
1，扭转的概念： 杆件在一对大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的外力偶 矩T的作用下，杆件任意两截面挠杆轴线发生相对转动，这种基本变 形称为扭转。 共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的 轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。 杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转 变形为主的杆件称为轴。 ：
l
GIp称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转 变形的能力。
从上式可知，φ的大小与轴的长度有关， 为了消除长度的影响，用单位长度扭转角θ 来表示扭转变形的程度，即
T θ= = l GI P
ϕ
式中θ的单位是弧度每米(rad/m)，由于 工程上θ的单位常用度每米（°/m），则
T 180 θ= GI P π
图6.2
∑mx(F)=0,T1-mA=0 T1=mA=1910N·m (3) 计算2-2截面的扭矩 假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截 面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.2(c)所示。 由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2+mB-mA=0 T2=mA-mB=716N·m 若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.2(d) 所示。由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2-mC=0 T2=mC=716N·m
第六章圆轴的扭转
第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算
圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角 来度量：
即
MTl
GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用 单位扭转角[ ]，即
max
MT GI p
(rad/m)
或
max
MT 180
2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度γ 。
圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平 面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间 的距离不变。
结论： 1. 扭转变形的实质是剪切变形；
2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力τ ，没有正应力σ。
第二节 剪切——剪切胡克定律
一.剪切的概念
剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力的 合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。
常见的剪切变形
键 轴
轮
F
mn
Fm
F
n
F
(a)
(b)
实用计算中，通常假设剪切应力τ在剪切面上是 均匀分布的，如图d。则:
Q
A
不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为:
几何量，单位：mm3或m3。
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即
max
M T max W
许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并考 虑安全系数后加以确定。
圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题
采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承受 能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切应 力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁厚 尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有较 高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。
工程力学(静力学与材料力学)-6-圆轴扭转
Me
Me
Me
Mx
n
_
Mx
2021/3/7
13
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
School of Life and Environmental Science
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方 向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外 力偶矩。
当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴 各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各 段横截面上的扭矩。
作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动
轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外
加扭力矩Me可用下式计算：
Me
9549P n
[Nm]
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
Me 7024nP[r[马 /m 力 in]] [Nm]
Me
Me
Me
Mx
Mx n
+
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School of Life and Environmental Science
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的 内力——扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上 将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩, 称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
4
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
2021/3/7
返回
School of Life and Environmental Science
考研复习—工程力学——第6章 扭转
Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论： （1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未 发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应 力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但 对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303
建筑力学第6章剪切与扭转
第一节 剪切与挤压
• 因此，剪切的受力特点是：作用在构件上的横向外力大小相等、方向 相反、作用线平行且相距很近。剪切的变形特点是：两横向力之间的 截面发生相对错动。两横向力之间的截面叫作剪切面，剪切面一般平 行于外力作用线。
• （二）挤压的概念 • 连接件受剪切变形的同时，还会伴有挤压现象。挤压是指连接件和被
第六章 剪切与扭转
• 第一节 剪切与挤压 • 第二节 圆轴扭转
返回
第一节 剪切与挤压
• ■一、剪切与挤压的概念
• （一）剪切的概念 • 在日常生活中，我们经常用剪刀剪断物体，这是剪切破坏的典型实例
。在工程中，经常用铆钉、螺栓、销钉、键、榫接头等连接件，这些 连接件在工作时常常发生剪切变形。 • 图６-１（ａ）中，用一个铆钉连接两块钢板，钢板分别受到一对力P 的作用。钢板在拉力P作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力，铆钉的 上、下两部分将发生沿水平方向的相对错动，如图６-１（ｂ）所示 。当拉力P增大到一定值时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种现象叫 作剪切现象。
Ｐａ。 • 为保证构件的连接部分的安全性，连接件的工作剪应力不得超过材料
的许用剪应力，即节 剪切与挤压
• 式（６-２）是剪切强度条件表达式。式中［τ］为材料的许用剪应力 ，可从有关手册中查得。
• （二）挤压强度实用计算 • 图６-１（ｄ）中，连接部位的挤压力 • PＣ＝P。 • 挤压力在挤压面上的分布集度叫作挤压应力，用σＣ表示。挤压应力
• （一）圆轴扭转时的变形 • 圆轴的扭转变形通常用扭转角φ来度量，扭转角φ是指某一截面相对
于另一截面的半径线所转过的角度，如图６-８所示。对等截面圆轴 而言，当扭矩Mn为常数时，相距l的两横截面间的相对扭转角为φ＝ Mn·l/GIＰ（６-９）
材料力学 第六章 扭 转
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线和圆周线；②施加一对外力偶。
2.实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改
变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微
小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
假设：变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变， 而且，半径仍为直线。概言之，圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线 作相对旋转。此假设称为圆轴扭转平面假设。
(b)
(c)
而其方向则垂直于该点处的半径（图6-5b）。 上式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化，实心与空心圆轴的 扭转切应力分布分别如图6-5a与b所示。
图6-6扭转切应力分布
3．静力关系 如图6-6所示，在距圆心 处的微面积 dA上，作用有微剪力 dA，它对圆心 O 的力矩为
dA
M
x
0
，
M eB T1 0
T1 350N m
(1)
，
。
图6-３例6-1
③计算转动轴
CA 段的扭矩
T2
。
沿截面2-2将转动轴分成两段，取出左段，用
T2 表示右段对左段的作用。 2-2左段受力： M eB ， M eC ，
T2
(如图6-3c所示)。
M
x
0
，
M eB M eC T2 0
图6-2扭矩图
6.1.3扭矩图 表示扭矩沿杆件轴线变化情况的图线，称为扭矩图。 画轴力图时应注意： ⑴ 扭矩图画在原图的下面，上下对齐，并标出坐标轴 ⑵ 须标出扭矩 T 的正负号，用小圆圈住。 ⑶ 要标出扭矩的区域用细竖线表示。 ⑷ 要标出扭矩的单位。 ⑸ 要标出扭矩突变处的值。
第六章 园轴扭转
扭转内力
扭矩图
薄壁筒扭转 应力,变形
强度,刚度
非圆截面
小结
前页
（1）变形几何关系
CC rd AC dx
GG d EG dx
（2）应力应变关系
G
—剪切虎克定律
d G G dx
扭转内力 扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
（3）静力学关系
A
dA T
dA G 2
A
A
G
d 2 dA T A dx
2
d dA T dx
式中的积分 A dA 是一个只决定于横截面的形状和大小的几何 量，称为横截面对形心的极惯性矩，用Ip表示 Tl l T d T p 2dA dx A 0 GI GI p dx GI p
Nk轮
N k 10.5 5.25kW 2 2
主动齿轮B所受的外力偶矩为
Nk 10.5 9550 148N m n 680 N 5.25 两车轮所受的外力偶矩为 TA TC 9550 k轮 9550 74N m n 680 TB 9550
扭转内力 扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
扭转内力 扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
T
p
T
• T——横截面上的扭矩； • ——横截面上任一点到圆心的距离；
第六章 材料力学剪切与扭转
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
第6章 剪切与扭转
第6章 连接件的实用计算与圆轴扭转 ①横截面上无正应力
6.3 薄壁圆筒的扭转
②横截面上各点处，只产
生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R
R L
第6章 连接件的实用计算与圆轴扭转 二、薄壁圆筒剪应力 大小：
Fbs F bs Abs dh
为充分利用材料， 切应力和挤压应力 应满足
bs 2
F 4F 2 2 dh d
d
8h
第6章 连接件的实用计算与圆轴扭转 6.1 剪切与挤压的实用计算
d
b
a
例６-２ 图示接头，受轴向力F 作用。已知F =50kN，b =150mm， δ =10mm，d =17mm，a =80mm， [σ ]=160MPa，[τ ]=120MPa， [σ bs]=320MPa，铆钉和板的材料 相同，试校核其强度。 解：(1) 板的拉伸强度
轴所传递的功率、轴的转速与外力偶矩的关系为：
其中：P — 功率，千瓦（kW） P m 9.549 (kN m) n — 转速，转/分（rpm） n
P m 7.024 (kN m) n
其中：P — 功率，马力（PS）
n — 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N· , 1kW=1.36PS m/s
D
第6章 连接件的实用计算与圆轴扭转 6.2 圆轴扭转的实例及计算模型
②求扭矩（内力方程法）
m2
1
m3
2
m1
3
m4
1-1： 2-2：
A
1
B 2
C
3
6第六章 扭 转
第六章 扭转以横截面绕轴线作相作旋转为主要特征的变形式（图6-1），称为扭转。
横截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角。
凡是以扭转变形为主要变形的直杆，称为轴。
本章研究轴的内力、应力与变形，并在此基础上研究轴的强度与刚度问题。
研究对象以圆截面轴为主，包括实心与空心圆截面轴，同时也研究薄壁截面轴，并简要介绍矩形与椭圆等非圆截面实心轴的应力与变形。
此外，本章既研究静定轴也研究超静定轴。
并讨论了弹簧的应力与变形。
图6-1扭转轴§6.1 扭矩一、外力偶矩的计算作用在轴上的扭力偶矩，一般可通过力的平移，并利用平衡条件确定。
但是，对于传动轴等转动构件，通常只知道它们的转速与所传递的功率。
因此，在分析传动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根据转递与功率计算轴所受承受的扭力偶矩。
由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即功率P ，等于该力偶之矩e M 与相应角速度Ω的乘积，即Ω=e M P (a)在工程实际中，功率P 的常用单位为kW ，力偶矩e M 与转速n 的常用单位分别为m N ⋅与min r ，于是式(a)变为6021000e n M P π⨯=⨯ (b) 由此得 {}{}{}minr kW m N e 5499n P M =⋅ (6-1) 二、扭矩1．扭矩的符号规定作用在轴上的外力偶矩确定后，现在研究轴的内力。
在矩为M 的扭力偶作用下（图6-2a ），横截面上的分布内力必构成一力偶（图6-2b ），而且，该力偶的矢量方向垂直于截面。
矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，即扭矩，并用T 表示。
通常规定：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量方向与横截面的外法线方向一致，则该扭矩为正，“+”。
按此规定，图6-2b 所示扭矩为正。
2．截面法用截面假想地把轴分成两部分，以显示并确定扭矩的方法称为截面法。
可将其归纳为以下四个步骤：① 截． 欲求某一截面上的扭矩时，就沿该截面假想．．地把轴分成两部分。
② 取． 原则上取受力简单．．的部分作为研究对象，并弃去另一部分。
圆轴扭转
d1
A
1.外力 解： 外力 1.
M e2 =
C
M e2
d2
B
M e3
M e1
M e1 = 9549
160 M e1 400
P 400 1 = 9549 × = 7640 N ⋅ m n 500 240 = 3060 N ⋅ m M e3 = M e1 = 4580 N ⋅ m 400
38
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
7
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
8
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
P k
P k
在确定外力偶矩的方向时， 注意输入功率的齿轮、 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为主 输入功率的齿轮 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为阻力 矩，方向与轴的转向相反。 方向与轴的转向相反。
34
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
单位长度扭转角
扭转刚度条件
许用单位扭转角
35
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 扭转强度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 已知 τ]， •已知T 和[τ]， 已知 τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷 已知 τ]，
τ max
Mn = Wn
W — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
第6章(760)
9
图6-4 截面法求扭矩
10
根据左段或右段的平衡条件，均可得n—n截面上的扭 矩为Mn＝M。但由左、右两段所求得扭矩的转向相反，这 是因为它们是作用与反作用的关系。
为使无论取左段还是右段所求得的扭矩不但在数值上 相等而且符号也一样，对扭矩符号作如下规定：用右手螺 旋法则，即以右手四指沿着扭矩的转向，若拇指的指向离 开截面则扭矩为正，反之为负，如图6-5所示。
π D4 32
(1 4 )
WP
π D3 16
(1 4 )
式中，α＝d/D为空心圆轴内、外径之比。
31 (6-8) (6-9)
32
6.3 圆轴扭转时的强度计算
为了保证圆轴扭转时具有足够的强度而不被破坏，必 须限制轴内所受的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力。 对于等截面轴，其最大剪应力发生在扭矩值最大的截面(称 为危险截面)
26
式(6-4)为圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力计算 公式，式中Mn为欲求应力的点所在横截面上的扭矩；ρ为 欲求应力的点到圆心的距离；IP为横截面对圆心的极惯性 矩。
由式(6-4)可知，当ρ＝ρmax＝R时，τρ＝τmax，即在横截
tmax
Mn IP
rmax
27
若令WP
IP ，则 rmax
(6-2)
M n k A r 2 d A kIP
(6-3)
25
式(6-3)中，A r 2 d A为只与截面形状和尺寸有关的几何量，
称为横截面对圆心的极惯性矩，以IP表示，即
IP A r 2 d A，其单位为 mm4或cm4。
将k＝τρ/ρ代入式(6-3)，得
tr
Mn IP
r
材料力学第6章扭转
第6章圆轴的扭转6.1扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。
在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多 的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆， 两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用； 图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为扭转变形（见图 6-4）。
以扭转变形为主的直杆件称为轴。
若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6— 46.2扭矩和扭矩图6.2.1外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。
它们的关系式为其中：PM = 9550（ 6-1）nM外力偶矩（N • m ）;P ――轴所传递的功率（KW ）;n 轴的转速（r / min ）。
外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
方向相反、且作用平面与杆图6 — 1图6—2 图6— 3L622扭矩圆轴在外力偶的作用下， 其横截面上将产生连续分布内力。
根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶， 从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。
由分布内力组成的合力偶的力偶矩， 称为扭矩，用M n 表示。
扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N 巾或kN m 。
当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内 的扭矩。
如图6-5 (a )所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为 M 的外力偶作用。
为求杆任一截面 m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面 m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图 6-5 (b )中所示的左端。
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第6章扭转本章要点●理解扭转的概念和实例●掌握外力偶矩的计算，扭矩、扭矩图●圆轴扭转时的应力和变形●扭转的强度计算和刚度计算6.1 扭转的概念1. 扭转工程实例汽车方向盘轴、传动轴等，如图6-1所示。
图6-1 扭转实例2．扭转受力特点杆件发生扭转变形的受力特点是：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。
图6-2所示的就是杆件受扭的最简单情况。
3．扭转变形特点当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移，称为该两个横截面的扭转角，用ϕ表示。
图6-2中的ϕ表示杆件右端的B截面相对于左端A截面的扭转角。
图6-2扭转变形９１９２6.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图6.2.1外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩为：9549PM n= （6-1） 式中：M —外力偶矩（N .m ），P —轴所传递的功率（kW ），n —轴的转速（r/min ）。
如果轴所传递的功率单位为马力（1马力=735.5W ），则可按下式计算外力偶矩：7024PM n= （6-2） 式中：M —外力偶矩（N .m ），P —轴所传递的功率（马力），n —轴的转速（r/min ）。
主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同； 从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。
6.2.2扭矩和扭矩图1.内力偶矩杆件受扭时横截面上的内力是作用在该截面上的力偶，该力偶之矩称扭矩，用符号T 表示。
2.扭矩的计算方法——截面法用截面m-m 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把M ，T 表示为矢量，如图6-3所示，列出左部分平衡方程∑ M x =0，得到T =M对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况，任一截面的内力偶矩等于其一侧所有外力偶矩的代数和： T =∑M i 扭矩的正负号用右手螺旋法则确定：用右手四指弯向表示扭矩的转向，大拇指的指向离开截面时，扭矩规定为正，反之为负。
如图6-4所示。
图6-4 右手螺旋法则图6-3 截面法９３3.扭矩图表示杆件各横截面上的扭矩沿杆轴的变化规律，反应出 T max 值及其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。
该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小，如图6-5所示。
【例6-1】：如图6-6所示，主动轮A 输入功率P A =50kW ，从动轮输出功率P D =20kW ，P B =P C =15kW ，n =300r/min ，试作扭矩图。
解：（1）外力偶矩的大小：50954995491592N m 300A A P M n ==⨯=⋅159549477N m 300637N mB C D M M M ==⨯=⋅=⋅（2）求轴上各段的扭矩：∑M x =0，T 1+M B =0 ⇒T 1=- M B =-477N .m ；T 2- M A +M B =0⇒T 2=1115 N .m ； T 3- M D =0⇒T 3= M D =637 N .m 。
主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。
这与主动轮放在从动轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。
图6-7 主动轮与从动轮布置合理性如图6-7左图a ：T max =50N .m ，右图b ：T max =25N .m ，二者比较图b 安置合理。
图6-5 扭矩图图6-6 作扭矩图９４6.3圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律，以便求出最大应力。
解决这一问题，要从三方面考虑。
首先，由杆件的变形找出应变的变化规律，也就是研究圆轴扭转的变形几何关系。
其次，由应变规律找出应力的分布规律，也就是建立应力和应变间的物理关系。
最后，根据扭矩和应力之间的静力关系，求出应力的计算公式：pT I ρρτ=（6-3） 式中： τρ—横截面上任意一点的切应力，T —横截面上的扭矩，I p —截面对圆心O 的极惯性矩，ρ—所求应力点到圆心的距离。
由以上公式，可以计算横截面上距圆心为ρ的任意点处的剪应力。
由公式（6-3）可以看出，当横截面一定时，I p 为常量，所以切应力的大小与所求点到圆心的距离成正比，即呈线性分布。
切应力的方向与横截面扭矩的转向一致，切应力的作用线与半径垂直。
切应力在横截面上的分布规律，如图6-8所示。
图6-8 切应力在横截面上的分布规律显然，在圆截面的边缘上，ρ到达最大值R ，这时得到剪应力的最大值：max pTRI τ=（6-4） 把上式写成：max np M I Rτ=并引用记号：n p W I R = （6-5）W n 称为抗扭截面模量，于是有：max nTW τ=（6-6）９５在实心圆轴的情况下：44232232Rp AR D I dA d ππρπρρ====⎰⎰ （6-7）式中D 为圆截面的直径。
由此求出：33216p n I R D W Rππ===（6-8）在空心圆轴的情况下：()()42344422213232D d p AD I dA d D dππρπρρα===-=-⎰⎰ （6-9）()()344411616p n I D W D dRDππα==-=- （6-10）式中α=d/D ，D 和d 分别为空心圆截面的外径和内径，R 为外半径。
强度条件：[]max ττ≤ （6-11）直轴时，可以写成：[]maxmax nT W ττ=≤ （6-12） 式中：T max —横截面上的最大扭矩。
在静载荷的情况下，扭转许用剪应力[τ]与许用拉应力[σ]之间有如下的关系： 钢：[τ]=(0.5~0.6)[σ] 铸铁：[τ]=(0.8~1)[σ] 【例6-2】：汽车传动轴如图6-9a 所示，外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，材料为45钢。
使用时的最大扭矩为T =1.5kN .m 。
如材料的[τ]=60MN/m 2，试校核轴的扭转强度。
图6-9 校核轴的扭转强度解：计算抗截面模量：902 2.50.94490d D α-⨯===９６()()3344390110.94429400mm1616n D W ππα⨯=-=-=轴的最大剪应力为：[]622max 915005110N/m 51MN/m 2940010n T W ττ-===⨯=<⨯ 所以传动轴满足强度条件。
【例6-3】：如把上例中的传动轴改为空心轴，如图6-9 b 所示，要求它与原来的空心轴强度相同。
试确定其直径d ，并比较实心轴和空心轴的重量。
解：因为要求与空心轴的强度相同，故实心轴的最大剪应力也为51MN/m 2。
即：62max 315005110N/m 16n T W d τπ===⨯0.0531m d == 实心轴横截面面积是：224210.053122.210m 44d A ππ-⨯===⨯空心轴横截面面积为：()()22224229085 6.8710m 44A D d ππ-=-=-=⨯在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。
而：21 6.870.3122.2A A == 可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%，其减轻重量节约材料是非常明显的。
这因为横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，圆心附近的应力很小，如图6-8所示，材料没有充分发挥作用。
若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大I p 和W n ，提高轴的强度。
6.4圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。
其计算公式为：pTlGI ϕ=（6-13） 式中GI p 称为圆杆的抗扭强度；G 为比例常数，材料的切变模量，单位GPa ； ϕ一般就称为９７长为l 的等直圆杆的扭转角。
若在两截面之间的T 值发生变化，或者轴为阶梯轴，I p 并非常量，则应分段计算各段的扭转角，然后相加，得到：1ni ii piTl GI ϕ==∑（6-14）今后用θ表示变化率，θ为相距1单位的两截面之间的相对转角，称为单位长度扭转角。
其单位为弧度/米，记为rad/m 。
若圆轴的截面不变，且只在两端作用外力偶矩，则有：pTlGI ϕθ==（6-15） 扭转的刚度条件为：[]maxmax rad/m pT GI θθ=≤ （6-16） 工程上，[θ]的单位习惯上度/米，记为︒/m 。
把上式中的弧度换算成度，得[]max max 180/m p T GI θθπ=⨯≤（6-17） 精密机器的轴：[θ]=(0.25~0.50)︒/m 一般传动轴：[θ]=(0.5~1)︒/m精度要求不高的轴：[θ]=(1~2.5)︒/m 【例6-4】：阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm ，d 2=70mm ，轴上装有三个皮带轮，如图6-10 a 所示。
已知由轮3输入的功率为P 3=30kW ，轮1输出的功率为P 1=13kW,，轴作匀速转动，转速n =200r/min ，材料的许用剪应力[τ]=60MPa ，G =80GPa ，许用扭转角[θ]=2︒/m 。
试校核轴的强度和刚度。
图6-10 校核轴的强度和刚度解：①计算外力偶矩的大小：９８111395499549620.7N m 200P M n =⨯=⨯=⋅ 221795499549811.7N m 200P M n =⨯=⨯=⋅3330954995491432.4N m 200P M n =⨯=⨯=⋅轴上各段的扭矩大小：AC 、CD 段：1620.7N m T =⋅，DB 段：21432.4N m T =⋅作阶梯轴的扭矩图，如图6-10 b 所示。
②强度校核： AC 段的最大切应力：[]1max 3620.749.4MPa 60MPa 0.0416AC nACT W ττπ===<=⨯ AC 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。
CD 段的扭矩与AC 段的相同，但其直径比AC 段的大，所以CD 段也满足强度要求。
DB 段的最大切应力：[]2max 31432.421.3MPa 60MPa 0.0716DB nDBT W ττπ===<=⨯ 故DB 段的最大工作切应力小于许用切应力，满足强度要求。
③刚度校核：AC 段的最大单位长度扭转角：[]1max 49620.7180 1.77/m<2/m 0.04801032AC pT GI θθππ==⨯==⨯⨯⨯AC 段的最大单位长度扭转角小于许用单位长度扭转角，满足刚度要求。
DB 段的最大单位长度扭转角：[]2max 491432.41800.43/m<2/m 0.07801032DB pT GI θθππ==⨯==⨯⨯⨯DB 段的最大单位长度扭转角小于许用单位长度扭转角，满足刚度要求。