常微分方程2010-2011-1(B)

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研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期《数学物理方程》期末试题(A 卷)(参考答案)学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：玫［I h .丿&」V h .丿&其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示)【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。

】ex【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。

于是，我们有2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t)E( D) E( * ) ( A )dx 于x x t r1 = (h「x)tan :r2= (h _(x dx)) tan :上式化简后可写成22：：U(X,t)2:：u(x,t) 2, ；u (x,t)E[(h -x)卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2从而有E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X:t 或成2::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩).xh ：：x h ；：t其中a^E，证明完毕。

2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0.x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。

试求该截面上的稳定温度分布u(x,y)，即求解以下定解问题:u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。

】【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为Wl x£=0, V=0, 0cy <b;v|y/0, v|y 子U _u °,0 x a.分离变量:f 2\dU；：2U=0, 0 ： x ： a, 0 ： y ： b;y=0, 0 ： x ：： a, 0 ： y ： b;■ 2y »2 -2v(x,y) =X(x)Y(y)代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件:X X = 0,X(0) =0,X(a) =0;Y - Y =0可以判定，特征值(n =1,,2,3J||)特征函数n 二X(x) = X n(x) =C n S in—x (n=1,,2,3JI|)利用特征值、可以求得丫(y) =Y n(y) =A n e叨B n^；y(n = 1,,2,3,l|l) 于是求得特征解n r n iy n，1V n(x,y)=(代e= B n e^ )sin x (n =1,,2,3JI|)a形式解为n -y _j-y门二v(x, y)二為V n(x, y)二為(A n e~ B n e^ )sin x吕 3r Q Qv(x,0)=迟(An+B n)sinO0 bv(x,b)八(A n e吗B n en =1pg na )sin——x 二U -u0得到A nB n =0八也如二 4 “，、A e aB e a(U - u。

复变函数与积分变换期末考试题

哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年第一学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在（）.A . 1z =-收敛Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的（）.Ａ．二阶极点、孤立奇点Ｂ．二阶极点、非孤立奇点Ｃ．可去奇点、孤立奇点Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为（）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是（）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。

常微分方程的级数解

常微分方程的级数解在科学研究中，经常需要解含有未知函数的导数的方程，这就是微分方程。

如果方程中只含有对未知函数的一个自变量的导数，这个方程就被称为常微分方程，如果方程中含有对未知函数的多个自变量的导数，这个方程就是偏微分方程。

求解微分方程的基础是求解常微分方程，含有任意个自变量的偏微分方程可以通过某种途径转化成多个常微分方程。

在常微分方程中，最常见的是二阶常微分方程，即含有对未知函数的自变量求二阶导数的微分方程。

在二阶微分方程中，二阶线性齐次常微分方程又是最基本的微分方程，因此，我们来讨论这种最基本的常微分方程。

二阶线性齐次常微分方程具有如下的标准形式：其中对自变量的最高阶导数是二阶导数，它前面的系数等于1。

对于更高阶的微分方程，也会写成类似这样一种标准形式，它能够直接告诉我们这个方程的最高阶导数项是哪一阶导数。

在二阶常微分方程的这个标准形式中，如果两个系数在某点都是解析的，该点就叫做方程的常点；如果至少有一个系数在某点不解析，该点就叫做方程的奇点。

对于无穷远点，必须作变换 t=1/z，由此得到 dt/dz=-t²，利用这个结果将对 z 求导数转换成对 t 求导数。

对 z 求一阶导数是这样转换的：对 z 求二阶导数是这样转换的：把它们代入以z 为自变量的标准方程中，得到一个以t 为自变量的方程：稍作整理后将其化成标准形式：引入两个新的函数：就能够明显地看出，上述方程具有二阶常微分方程的标准形式，只不过自变量由 z 变成 t 吧了：现在，只要按照前面的方式，考察t=0 点的特性，就可以对无穷远点的奇异性做出判断。

一个简单的例子是勒让德方程，这是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多微分方程经过一系列数学变换最终都可以化为勒让德方程：把这个方程改写成标准形式，就得到两个系数：显然，在z=±1 这两个点，两个系数不解析。

对于无穷远点，方程的两个系数具有以下形式：我们看到，t=0 是其中一个系数的奇点。

常微分方程----第一章-绪论

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莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .
c2
cn
则称 y (x,c1,,cn ) 含有n个相互独立的常数。
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例：y c1 cos x c2 sin x 是 y y 0 的通解。因为 y c1 sin x c2 cos x 而
cos x sin x 1 0
sin x cos x
内容小结
1. 微分方程的基本概念常微分方程，偏微分方程，微分方程的阶
微分方程的解，通解，特解
线性微分方程，非线性微分方程初始条件
作业
P27 2， 3，4， 6，8 （1）（3）（5）
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牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

《常微分方程》全套课件(完整版)

捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１设函数在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，

常见的有解析解的常微分方程---经典总结

常见的有解析解的常微分方程---经典总结1、可分离变量方程：1122()()()()0f x g y dx f x g y dy += 两边同除以12()()0g y f x ≠，得1221()()0()()f x g y dx dy f x g y += 积分，得1221()()()()f xg y dx dy C f x g y +=⎰⎰ 2、齐次方程：'()y y f x =令y u x =，则y ux =，'du y u x dx=+ 于是，原方程()ln ()()du du dx du u x f u x C dx f u u x f u u⇒+=⇒=⇒=+--⎰ 3、可化为齐次型的方程：111222()a x b y c dy f dx a x b y c ++=++ （1）当120c c ==时，11112222()()()ya b a x b y dy y x f f g y dx a x b y x a b x ++===++，利用2求解（2）11220a b a b =，即1122a b a b λ==，则22122222()()()a x b y c dy f g a x b y dx a x b y c λ++==+++ 令22a x b y u +=，则22()du a b g u dx =+，利用1求解（3）11220a b a b ≠，1c ，2c 不全为0解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩，求交点(,)αβ4、一阶线性方程：'()()y p x y q x +=第一步：求对应齐次方程'()0y p x y +=的通解，得()p x dx y Ce -⎰=第二步：令原方程的解为()()p x dx y C x e -⎰=第三步：代入原方程整理，得()()'()()()()p x dx p x dx C x e q x C x q x e dx C -⎰⎰=⇒=+⎰第四步：写出原方程通解()()[()]p x dx p x dx y q x e dx C e -⎰⎰=+⎰5、贝努里方程：'()()n y p x y q x y +=，其中0,1n ≠令1n z y -=，则原方程1()()1dz p x z q x n dx ⇒+=-(1)()(1)()dz n p x z n q x dx ⇔+-=-，利用4求解6、全微分方程：(,)(,)0M x y dx N x y dy +=，且M N y x ∂∂=∂∂通解为0000(,)(,)x yx y M x y dx N x y dy C +=⎰⎰ 7、不显含y 的二阶方程：''(,')y f x y =令'y p =，则'''y p =原方程'(,)p f x p ⇒=，这个一阶方程的解为1(,)p x C ϕ=即1'(,)y x C ϕ=，原方程通解为12(,)y x C C ϕ=+⎰8、不显含x 的二阶方程：''(,')y f y y =令'y p =，则''dp dp dy dp y p dx dy dx dy=== 原方程1(,)dp f y p dy p⇒=，其解为1(,)p y C ϕ= 即1(,)dy y C dxϕ=，原方程通解为21(,)dy x C y C ϕ=+⎰9、二阶常系数线性齐次方程：220d y dy p q dx dx++=第一步：求特征方程20p q λλ++=的两根。

2020年智慧树知道网课《常微分方程(湖南理工学院)》课后章节测试满分答案

对
10
【判断题】(1分)
A.
对
B.
错
第五章测试
1
【判断题】(1分)
矩阵乘积的导数等于矩阵导数的乘积。
A.
错
B.
对
2
【判断题】(1分)
非齐线性微分方程组解的线性组合也是它的解。
A.
对
B.
错
3
【判断题】(1分)
一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是解矩阵的行列式不为0。
A.
对
B.
错
4
【判断题】(1分)
若向量函数在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式不为0。
若方程的解的朗斯基行列式不为0，则方程的解线性无关。
A.
错
B.
对
4
【多选题】(1分)
下列说法正确的是（）。
A.
齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和
B.
非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的通解与自身的一个特解之和
C.
方程的基本解组线性相关
5
【多选题】(1分)
下列说法正确的是（）。
A.
常系数齐次线性方程的求解方法(单根情形)：待定系数法
B.
常系数非齐次线性方程的通解为本身的特解与对应齐次方程的通解之和
C.
常系数线性齐次方程的求解问题归结为求一个基本解组
6
【判断题】(1分)
A.
对
B.
错
7
【判断题】(1分)
A.
错
B.
对
8
【判断题】(1分)
A.
错
B.
对
9
【判断题】(1分)
A.
错
B.

高等数学第七章常微分方程

例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M ( t )
随时间t 变化的规律.
解衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln c , 即M ce t ,
衰变规律
代入M t 0 M0 得 M 0 ce 0 C ,
M M 0 e t
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 0.03%的 CO 2的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x( t )% 在 [t , t dt ]内,
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6

《常微分方程》王高雄高等教育出版社课后答案

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x +c 2y=e +e =cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=02x c 2原方程的通解为y= cex ,x=0 y=1时 c=1 2特解为y= e .2x2. y dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

2解：y dx=-(x+1)dy22y dydy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x )(1+y )=cx2224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y −1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +−令x y =u 则dx dy =u+x dxdu 代入有： -112++u u du=x 1dxln(u +1)x =c-2arctgu 22即 ln(y +x )=c-2arctg 222xy. 6. xdxdy-y+22y x −=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1xy − 则令x y =u dx dy =u+ x dxdu 211u − du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2ex 32 e-3e=c.x32y −9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx − 解：原方程为：dxdy =e e x y−e =ceyx11dxdy =(x+y) 2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du-1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+−+−y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx +x=c2xy-y 2+y-x -x=c214:dx dy =25−−+−y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x +5x)=0 2y 2+4y+x +10x-2xy=c. 215:dxdy =(x+1) +(4y+1) +8xy 221+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）+32令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u +3 2dx du =4 u +13 2u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x y )dx=xdy222） y x dx dy =2222x -2y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程解的唯一性定理及其应用11引言111课题意义常微分方

常微分方程解的唯一性定理及其应用1.1引言1.1.1 课题意义:常微分方解的唯一性定理是微分方程理论中的基本定理,也是微分方程近似计算的前提和根据，更是动力系统中重要的定理之一。

对解的存在唯一性的探讨是研究微分方程的重要内容，这更好的促进于微分方程解集的研究，使得微分方程内容的丰富。

对微分方程解的唯一性定理的研究将很好地解答了初值问题解的存在性与唯一性，这也是人们对微分方程目前研究的一个重要内容。

本文在前人研究的基础上对解的唯一性定理的证明进行归纳总结，并在此基础上延伸对定理的应用,增加其得实用性,将数学来源于生活并回归于生活得之真切表现。

1.1.2 目前发展状况：在前人们的研究都致力于对定理的证明及其证明方法的改进以及对定理的条件的改进与对方程的初值条件的优化,而对定理得实际应用确微乎其微。

从17世界微分方程的发展，数学家们致力于研究关于微分方程的初等解法。

到1740年数学家们已经知道几乎所有求解一阶方程的初等方法。

随着微分方程的发展，人们要求满足某种附加条件的特解，即定值问题的解，从而致使人们开始从事对定解问题的研究，其通常包括边值问题与初值问题。

对微分方程解的存在唯一性定理得研究,A Cauchy 在1820年首先严格证明了在相当一般条件下微分方程解的存在唯一性定理，为微分方程理论的研究奠定了坚实的基础。

1876年，R Lipschitz使用“Lischitz条件”简化了A Cauchy 关于微分方程的存在唯一性定理的证明。

1838年，J Liouville在研究热传导方程时提出了逐次逼近法。

1896年 C Picard 在1896年给出了逐次逼近法的普遍形式，这个定理的证明为日后人们研究解的存在唯一性奠定了坚实的基础。

但是从定理本身来看，其条件是比较严格的，因而更多的研究处在于对定理的条件的消弱的证明，以及将其朝其它数学分支的发展。

[1]Picard利用逐次逼近法证明了这个定理，将求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解，再证明积分方程的解的存在唯一性。

常微分方程王高雄第三版答案文库

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常微分方程的应用

解设核弹轨迹为 y=y(x)
当核弹位于P点时，航母位于 B(0,vt),从而
dy vt y dx x
又曲线段PA的长度为

a
x
dy 1 dx 5vt dx
2
由上面两式消去t，得

a
x
dy dy 1 dx 5 y x dx dx
o x
g g 即 x x , 9 9
x(0) 0, x(0) 0.
解此方程得
1 x( t ) (e 2
代入上式得
1 gt 3
e
1 gt 3
) 1,
整个链条滑过钉子即 x 8, ,
3 t ln(9 80). (秒) g
例抛物线的光学性质实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
解由力学知识得,水从孔口流出的流量为
dV Q 0.62 S 2 gh , dt
流量系数孔口截面面积重力加速度
S 1 cm ,
2
h
dV 0.62 2 gh dt ,
(1)
h h dh
r
100 cm
设在微小的时间间隔 [t , t dt],
o
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
令 1 u 2 t 2，
tdt dx , t ( t 1) x
C 即 u 1 1, x
2
C 积分得 ln t 1 ln , x
平方化简得
y 代回 u , 得 x
C 2 2C u2 2 , x x
C y 2C ( x ) 2
2
抛物线

常微分方程课程概况及基本概念

《常微分方程》常微分方程》
开课对象:信息与计算科学08级开课对象:信息与计算科学08级 08 开课时间:2009-2010学年第学年第1 开课时间:2009-2010学年第1学期
课程简介
一,混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子 ——
洛伦兹方程组: 洛伦兹方程组:
洛伦兹(E.N.Lorenz, 1917.5.23---2008.4.17), 美国气象洛伦兹学家,是混沌理论的奠基者之一. 年在Journal of the 学家,是混沌理论的奠基者之一.1963年在年在 Atmospheric Sciences杂志上发表题目为杂志上发表题目为Deterministic 杂志上发表题目为 Nonperiodic Flow. . 如今,这一方程组已成为混沌理论的经典,也是" 如今,这一方程组已成为混沌理论的经典,也是"巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风"一说的肇始. 蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风"一说的肇始. 在洛仑兹原始的工作中, 表示的是对流的翻动速率表示的是对流的翻动速率,y 在洛仑兹原始的工作中,x表示的是对流的翻动速率正比于上流与下流液体温差, 是垂直方向的梯正比于上流与下流液体温差,z是垂直方向的梯度.
高等教育出版社. 高等教育出版社
* <常微分方程教程丁同仁李承治编高等教育出版社常微分方程教程> 常微分方程教程丁同仁, 李承治编, 高等教育出版社. * <常微分方程基础 (英文版 (美)C.Henry Edwards 常微分方程基础> 英文版) 美常微分方程基础英文版
David E.Penney 编, 机械工业出版社机械工业出版社.
2.常微分方程解的形式 . 个独立任意常数的解的表达式, (1)通解:n 阶常微分方程的含有 n 个独立任意常数的解的表达式 )通解: 通解表达了方程的全部解或几乎是全部解显式通解: 显式通解: x = ( t , c1 , , c n ) 隐式通解: 隐式通解: Φ( t , x , c1 , , c n ) = 0 (2)特解(初值问题解:把初始条件代入通解所得) )特解(初值问题解:把初始条件代入通解所得) 显式特解: 隐式特解: 显式特解: x = (t ) ; 隐式特解: Φ ( t , x ) = 0 思考: 在一定条件下初值问题解是否存在唯一的? 思考: 在一定条件下初值问题解是否存在唯一的?

常微分方程第三版课后习题答案(1)

常微分方程第三版课后习题答案常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3解：原式可化为：12．解15．16．解：，这是齐次方程，令17.解：原方程化为令方程组则有令当当另外19.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。

所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得a r c t gx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=t g[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=t g[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=c e-()是原方程的解。

2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(e e)=e(e+c)=c e+e是原方程的解。

3．=-s+解：s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。

4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解. 6．解：=+令则=u因此：=（*）将带入（*）中得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以，令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以令P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以令=P(y)=-2y Q(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。

令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）当时即∞,∞)(2)当时====于是变量分离得积分由于，即t=0时1=c=1故20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。

精品课件-常微分方程(王素云)-第1章

第1章基本概念
除了初值条件外，另外一种常见的定解条件是边值条件. 最后，我们对n阶微分方程的通解关于n个任意常数的独立性作一点说明. 一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数. 反之，设y=g(x,C1,C2,…,Cn)是充分光滑的函数族，其中x是自变量，而C1,C2,…,Cn是n个独立的参数(任意常数),则存在一个形如式(1.1)的n阶微分方程，使得它的通解恰好是上面的函数族y=g(x,C1,C2,…,Cn). 我们把这个一般结论的证明留给读者(习题1.1的第4题)，它的证明方法与例1.8的讨论是类似的.
b f 2 (x) d x 1 [b2 f (b) f (a)]
a
3
第1章基本概念
上式对于每点b(b>a)都成立，两边对b求导得
f (b) 3 f 2 (b) 2 f (b)
b2
b
改用惯用的符号:
f
( x)
3
f
2 (x) x2
2
f
(x) x
这就是所要建立的微分方程.
第1章基本概念
v0t
y0
（1.8）
因此它描述了具有初始高度y0和初始速度v0的自由落体运动.
我们称式(1.8)是初值问题式(1.4)与(1.7)的解，亦即初
值问题:
y" g ,
y(0)
y0
,
y'(0) v0
（1.9）
的解.初值问题又叫柯西问题.
第1章基本概念
再看一例，一曲线通过点(1,2)
M(x,y) 处的切线斜率为2x，求该曲线的方程.
(3) yy ( y)2 1 0,
(4)
d2
dt2

【论文】常微分方程初值问题数值解法的讨论与比较

【关键字】论文《微分方程数值解法》论文常微分方程初值问题数值解法的讨论与比较一、一阶常微分方程的初值问题科学技术中常常要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式是一阶方程的初值问题我们知道，只要函数适当光滑，譬如关于满足Lipschitz条件（1.3）理论上就可以保证初值问题(1.1),(1.2)的解存在并且唯一。

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。

2、欧拉法我们知道，在平面上，微分方程(1.1)的解称作它的积分曲线。

积分曲线上一点的切线斜率等于函数的值，如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致，基于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上一点，循此前进推出一条折线，一般地，设已做出该折线的顶点，过依方向场的方向再推进到，显然两个顶点，的坐标有关系即(2.1)这就是著名的欧拉(Euler)公式。

若初值已知，则依公式(2.1)可逐步算出例1 求解初值问题解欧拉公式的具体形式为取步长，计算结果如下表：表1 计算结果对比初值问题(2.2)有解，按这个解析式子算出的准确值同近似值一起列在表1，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差。

三、改进欧拉法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式如果对方程(1.1)从到积分,得(3.1)右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替，代替，则得(3.2)称为改进欧拉法．改进欧拉方法是隐式单步法，可用迭代法求解．用欧拉方法提供迭代初值，则改进欧拉法的迭代公式为(3.3)为了分析迭代过程的收敛性，将(3.1)式与(3.2)相减，得，于是有，式中为对满足Lipschitz常数，如果选取充分小，使得，则当时有，这说明迭代过程(3.3)是收敛的．例2用改进的欧拉方法求解初值问题(1.1)．解改进的欧拉公式为仍取，计算结果见下表．同例１中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度．表2 计算结果对比四、线性多步法在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值，，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度．这就是构造所谓线性多步法的基本思想．构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程(1.1)两端积分后利用插值求积公式得到．一般的线性多步法公式可表示为，(4.1)其中为的近似，，，，为常数，及不全为零，则称(4.1)为线性步法，计算时需先给出前面个近似值，再由（4.1)逐次求出．如果，称(4.1)为显式步尖，这时可直接由(4.1)算出；如果，则(4.1)称为隐式步法，求解时与改进欧拉法相同，要用迭代法方可算出，(4.1)中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：设是初值问题(1.1),(1.2)的准确解。

常微分方程常考知识点总结

常微分方程常考知识点总结一、基本概念。

1. 常微分方程的定义。

- 含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。

例如：y' + 2y = 0，这里y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y对x的一阶导数。

2. 阶数。

- 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。

如y''+3y' - 2y = x是二阶常微分方程，因为方程中未知函数y的最高阶导数是二阶导数y''。

3. 解、通解、特解。

- 解：如果函数y = φ(x)代入常微分方程后，使方程成为恒等式，那么y=φ(x)就称为该常微分方程的解。

- 通解：如果常微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。

例如，对于一阶常微分方程y'=y，其通解为y = Ce^x（C为任意常数）。

- 特解：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。

比如在y = Ce^x中，当C = 1时，y = e^x就是一个特解。

二、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式为g(y)dy = f(x)dx的方程称为可分离变量方程。

- 求解方法：将方程两边同时积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。

例如，对于方程y'=(y)/(x)，可化为(dy)/(y)=(dx)/(x)，积分得lny=lnx+C，即y = Cx （C≠0）。

2. 齐次方程。

- 形式为y'=φ((y)/(x))的方程称为齐次方程。

- 求解方法：令u = (y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=φ(u)，这是一个可分离变量方程，按照可分离变量方程的方法求解。

例如，对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u=(y)/(x)，方程化为u + xu'=u+tan u，即xu'=tan u，然后分离变量求解。