时间序列分析讲义(下)
(整理)时间序列分析讲义__第01章_差分方程.
第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。
经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i it w y y ∑∑=-=++=011110φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。
精选时间序列分析时间序列讲解讲义
§1.2 平稳序列
一· 平稳序列
定义 如果时间序列 {X t} {X t : t N满}足
（1） 对任何的
t
N,
EX
2 t
（2） 对任何的 t N , EX t
（3） 对任何的 t, s N , E[( X t )( X s )] ts
就称是 X平t 稳时间序列，简称时间序列。称实数 为 的{自 t协} 方差X函t 数。
a则j 称 是绝对可{a和j}的。
j
对于绝对可和的实数列
，{a{定Xj}{义tX}零t}均值白噪声 的无穷{滑t动} 和
如下 X t a j t j ,t ，Z则 是{X平t}稳序列。下面说明 是
j
{X t}
平稳序列。
由 Schwarz不等式得到
E[ a jt j ] a j E t j a j
j0
k
q
0, k q
{ X t }平稳
第三十七页，共74页。
例：X t t 0.36 * t1 0.85 * t2 , t ~ WN (0,22 )
第三十八页，共74页。
概率极限定理：
定理 （单调收敛定理） 如果非负随机变量序列单调不减： 0 1 2
lim 则当 n ,a时s ，有 E
{St }
3. 随机项估计即为
方法一：分段趋势法
1 趋势项（年平均）
第五页，共74页。
减去趋势项后,所得数据 {Xt Tˆt}
第六页，共74页。
2、季节项 {Sˆt}
第七页，共74页。
3.随机项的估计 Rˆt xt Tˆt Sˆt ,t 1,2,,24.
第八页，共74页。
方法二：回归直线法
当 0, 2 称1为标准白噪声。
时间序列分析讲义
– 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功能强 大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的理 想的软件
– 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无 可比拟的优势
例2.3自相关图
时间序列分析讲义
例2.4时序图
时间序列分析讲义
例2.4 自相关图
时间序列分析讲义
例2.5时序图
时间序列分析讲义
例2.5自相关图
时间序列分析讲义
• 例2.3时序为非平稳的，有趋势； • 例2.4时序非平稳性，有趋势 • 例2.5时序是一个平稳的
时间序列分析讲义
非平稳性序列的平稳化
时间序列分析讲义
2020/11/16
时间序列分析讲义
第一章 时间序列分析基本概 念
时间序列分析讲义
第一章 时间序列分析基本概念
1.1 时间序列的定义
• 随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
• 观察值序列:随机序列的 个有序观察值，称之为 序列长度为 的观察值序列
• 随机序列和观察值序列的关系
– 观察值序列是随机序列的一个实现 – 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 – 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
满足下列条件的随机序列称为白噪声序列，也称 为纯随机序列：
注1：白噪声序列也是平稳时间序列中的特例. 注2：由于白噪声序列不同时刻的值相互独立，那么 这样的序列数值不能对于将来进行推断与预测，所以 白噪声是不能建立模型的。 时序图1.3符合白噪声序列特征
时间序列分析讲义
若满足时间序列满足: 称该时间序列是周期为T的时间序列.
时间序列分析法讲义
2004
(4) 1451604 1494570 1478651 1577307 6002132
季别累计
(5) 5277839 5503950 5333203 5724816 21839808
季别平均 季节指数
(6) 1319460 1375988 1333301 1431204 1364988
(7) 0.9666 1.0081 0.9768 1.0485 4.0000
97
8
20 -1 503 - 1
07
50
3
20 0 526 0 0 08
20 1 559 55 1
09
9
解：设t表示年次，y表示年发电量，则方成为：y=a+bt
a y 2677 535.4
n5
b ty 278 27.8 t 2 10
y=535.4+27.8t
当t=3时，y=618.8
指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。 也用于中短期经济发展趋势预测，
(1) 一次指数平滑法（单重指数平滑法）
X t1
S (1) t
X t
(1
)S
(1) t 1
一次指数平滑法的初值的确定有几种方法
(A) 取第一期的实际值为初值（数据资料较多）；S0(1) X1 (B) 取最初几期的平均值为初值（数据资料较少）。
2、指数的分类 （1）个体指数：反映某一具体经济现象动态变动的相
对数
（2）综合指数：反映全部经济现象动态变动的相对数
（3）数量指标指数：它是表明经济活动结果数量 多少的指数。
（4）质量指标指数：它是表明经济工作质量好坏 的指数。
（5）定基指数：它是指各个指数都是以某一个固 定时期为基期而进行计算的一系列指数。
时间序列分析与预测讲义
时间序列分析与预测讲义1. 引言- 时间序列的定义与特点- 时间序列的应用领域2. 时间序列的组成与构建- 时间序列的组成要素：趋势、季节变动、循环、随机波动- 时间序列的构建方法：收集数据、数据清洗、日期化、平滑处理3. 时间序列的可视化与描述统计- 绘制时间序列图- 了解时间序列的基本统计性质：均值、方差、自相关性4. 时间序列的平稳性检验与处理- 平稳时间序列的定义与重要性- 平稳性检验方法：单位根检验、ADF检验- 平稳性处理方法：差分、对数化等5. 时间序列的分析与建模- 自相关性与偏自相关性的概念与图解- ARIMA模型的介绍与原理- 模型拟合、诊断与优化6. 时间序列的预测方法- 单步预测方法：移动平均、指数平滑、ARIMA预测- 多步预测方法：回归、VAR模型、神经网络等7. 时间序列的预测评估与应用- 预测模型的评估指标：均方根误差、平均绝对误差等- 预测结果的可靠性与置信区间- 时间序列预测在实际应用中的例子与案例分析8. 总结与展望- 时间序列分析与预测的重要性和应用潜力- 未来发展方向和挑战参考文献：1. Box, G. E. P. & Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco, CA: Holden-Day.2. Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice, 2nd Edition. Otexts: Melbourne, Australia.9. 引言时间序列分析与预测是一种重要的数据分析方法，通常应用于各种领域，如经济学、金融学、市场营销、气象学、医学等。
通过对过去数据的分析和模型建立，可以预测未来的趋势和变动，为决策提供参考。
时间序列分析课件讲义
3.5E+09 3.0E+09 2.5E+09 2.0E+09 1.5E+09 1.0E+09
5.0E+08 99:01 99:07 00:01 00:07 01:01 01:07 02:01 02:07
Y
8
单变量时间序列分析
趋势模型
确定型趋势模型
平滑模型 季节模型
水平模型
加法模型
9
乘法模型
ARMA模型 ARIMA模型 （G）ARCH类模型
42
（2）ADF检验 DF检验只对存在一阶自相关的序列适用。 ADF检验 适用于存在高阶滞后相关的序列。 y = y t 1 + t
表述为
y t = y t 1 + t
t
存在高阶滞后相关的序列，经过处理可以表述为 y t = y t 1 + 1yt 1+ 2yt 2 + ....... + p1yt p1 + t 上式中，检验假设为
34
特别地，若 其中，{ t }为独立同分布，且E（ t ） = 0，
D（ t ）
2 = <
yt= y t 1+ t
t = 1，2，......
，则{
（random waik process) 。可以看出，随机游动过程是 单位根过程的一个特例。
yt }为一随机游动过程
（2） 季节差分
3. 随机性
23
（四）ARMA模型及其改进 1. 自回归模型 AR（p） 模型的一般形式
( B) yt
=
et
AR (p) 序列的自相关和偏自相关 rk ：拖尾性 k ：截尾性
时间序列分析课件讲义
3.5E+09 3.0E+09 2.5E+09 2.0E+09 1.5E+09 1.0E+09
5.0E+08 99:01 99:07 00:01 00:07 01:01 01:07 02:01 02:07
Y
8
单变量时间序列分析
趋势模型
确定型趋势模型
平滑模型 季节模型
水平模型
加法模型
9
乘法模型
ARMA模型 ARIMA模型 （G）ARCH类模型
yt 可以用既往的 et 有限加权和表出 et 可以用既往的 yt 无限加权和表出
26
相关函数
平稳与可逆
若一个序列可以用无限阶的自回归模型逼近，即逆 函数存在，称为具有可逆性，也就是可逆的。
27
3. 自回归移动平均混合模型 ARMA( p, q ) 模型的一般形式 ARMA (p , q) 序列 的自相关和偏自相关 4. 改进的ARMA模型 ARIMA( p , d , q ) s ) ARIMA (P,D,Q ARIMA(p,d,q) (P,D,Q ) s
例：我国商品零售量指数
15
（三）模型分析与评价
1. 检验 各种不同模型有不同的检验 关键——模型已提取所有信息 2. 对历史数据拟合的分析 直观判断法 图、表 误差分析法 MAPE 3. 对未来趋势反映的分析 近期趋势的反映 直观判断 误差分析 试预测 预测结果的可能性分析
16
二、ARMA模型
（一）模型的引进
多元线性回归 自回归 移动平均模型 简单平均：序列平稳 围绕均值波动
FT 1 = Y =
FT 2
=
Y
=
y1 y2 ... yT T y1 y2 ... yT yT 1 T
时间序列分析讲义(2)
（3） 最大似然估计法（MLE ）首先大家打开教材第43页看，我们纠正教材中的错误。
它说： “对于一组相互独立的随机变量),,2,1(,T t tx =，当得到一个样本),,,(21T x x x 时，似然函数可表示为∏===T t t x f x f x f x f T x x x L 1)()2()2()1(),,2,1(γγγγγ 式中),,,(21k γγγγ =是一组未知参数”。
我们知道时间序列一般不是独立的，而是相依的离散时间随机过程。
因此，得到的样本),,,(21T x x x 不可能是相互独立的，似然函数绝不是以上概率密度乘积的形式。
所以，教材中这一段是错误的。
似然函数在估计理论中有着根本的重要性的一个原因是因为“似然原理”。
这个原理说：已知假定的模型是正确的，数据非得告诉我们的关于参数的全部包含在似然函数中，数据的所有其他方面是不切题的。
实际上，一般的ARMA 过程（含AR 、MA 过程）参数的最大似 然估计计算过程很复杂。
至少有三种方法写出精确的似然函数：向后预报法、递推预报法、状态空间与卡尔曼（Kalman ）滤波法。
我们讲只对递推预报法最简要介绍，从而为引出模型选择的AIC 、BIC 信息准则铺平道路。
我们先以最简单的因果的AR(1)过程的MLE 为例，说明MLE 的主要思想。
考虑因果的AR(1)过程，满足模型tu t X t X +-+=110φφ， ),0(~2σN IID t u ， 且11<φ。
则均值为 )(110t X E =-=φφμ。
我们以),1,(2σφμ为三个未知参数，而)11(0φμφ-=不作独立的未知参数。
模型中心化为 tu t X t X +--=-)1(1μφμ。
设已得到了样本值),,,(21T x x x 。
则关于参数),1,(2σφμ的似然函数为 )2,1,;1()2,1,;12()2,1,;2,,2,11()2,1,;1,,1(),,2,1;2,1,(σφμσφμσφμσφμσφμx f x x f T x x x T x f T x x T x f Tx x x L ⨯---= 联合概率密度在样本值),,,(21T x x x 处的值写为条件概率密度和最后一个无条件概率密度的乘积。
时间序列分析基本知识讲解
时间序列分析基本知识讲解时间序列分析是指对一系列按照时间顺序排列的数据进行分析、建模和预测的方法。
它在许多领域都有广泛的应用，如经济学、金融学、气象学等。
时间序列数据的特点是具有时间依赖性和序列自相关性，即当前的观测值与前面的观测值之间存在一定的关联。
时间序列分析的基本目的是通过观察过去的数据模式，来预测未来的值或者了解数据的发展趋势。
在进行时间序列分析时，我们通常关注以下几个方面的内容：1. 趋势分析：时间序列数据中的趋势是指长期内数据值的增长或下降趋势。
趋势的存在可能是持续性的，也可能是周期性的。
常见的趋势分析方法包括移动平均法、指数平滑法等。
2. 季节性分析：时间序列数据中的季节性是指每年或每个周期内数据值呈现出的周期性规律。
季节性可以是固定的，也可以是随机的。
常用的季节性分析方法有季节性指数法、周期性指数法等。
3. 周期性分析：时间序列数据中的周期性是指数据值在一段时间内出现的循环规律。
周期性往往是由于外部因素引起的，如经济周期、自然环境等。
周期性分析常用的方法有傅里叶分析、自相关函数等。
4. 随机性分析：时间序列数据中的随机性是指数据值的不可预测性和不规律性。
随机性分析可以用来寻找数据中的异常值、离群点等。
常用的随机性分析方法有自回归滑动平均模型（ARMA）、随机游走模型等。
时间序列分析的基本步骤包括收集数据、可视化数据、数据预处理、建立模型、模型检验和评估模型的预测能力等。
常用的时间序列模型有自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
总之，时间序列分析是研究时间序列数据的变化规律和趋势的一种方法。
通过对时间序列数据的分析，我们可以预测未来的趋势和变化，辅助决策制定和问题解决。
在实际应用中，时间序列分析与其他统计方法和机器学习方法结合，可以提高分析预测的准确性和可靠性。
时间序列分析是研究时间序列数据的内在规律和趋势的一种方法。
时间序列分析基本知识讲解
时间序列分析基本知识讲解时间序列分析是指对一系列按时间顺序排列的数据进行统计分析和预测的方法。
它是统计学中的一个重要分支，在许多领域中都有广泛的应用，例如经济学、金融学、气象学等。
在时间序列分析中，我们通常假设观察到的数据是由内部的趋势、季节性和随机性构成的。
首先要介绍的概念是时间序列。
时间序列是按时间顺序记录的一组数据点，其中每个数据点代表某个变量在特定时间点的观测值。
每个数据点可以是连续的时间单位，如小时、天、月或年，也可以是离散的时间单位，如季度或年度。
时间序列数据通常包含趋势、季节性和随机成分。
趋势是时间序列长期上升或下降的的总体倾向，它可以是线性的，也可以是非线性的。
季节性是周期性出现在时间序列中的模式，它在一年中的特定时间段内循环出现，如一年中的季节、月份或周几。
随机成分是不可预测的随机波动，可能是由于外部因素或不可预见的事件引起的。
时间序列分析的目标通常有三个：描述、检验和预测。
描述的目标是对时间序列的特征进行统计分析，通过计算均值、方差、自相关系数等指标来揭示数据的规律和模式。
检验的目标是验证时间序列数据是否满足一定的假设条件，例如平稳性、白噪声等。
预测的目标是基于已有的时间序列数据来预测未来的值。
预测方法可以是单变量的，只使用时间序列自身的历史数据来进行预测；也可以是多变量的，将其他相关变量的信息纳入预测模型。
在时间序列分析中，有一些重要的概念和方法需要掌握。
首先是平稳性。
平稳性是指时间序列的均值、方差和自相关结构在时间上的不变性。
平稳性是许多时间序列模型的基本假设，它能够简化模型的建立和推断。
其次是自相关性。
自相关性是指时间序列中的观测值之间的相关性。
自相关结构可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来描述，其中ACF表示不同时滞的自相关系数，PACF表示在剔除之前的滞后时其他滞后效应后，特定滞后的自相关系数。
另外，还有移动平均、自回归过程和ARMA模型等重要的方法和模型。
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时间序列分析讲义(下)
例2.2
data example2_2; input fred@@; year=intnx('year','1jan1970'd,_n_-1); format year year4.; cards; 97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209 204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239 215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389 ; proc arima data= example2_2; identify var=fred; run;
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第一章 SAS-时间序列数据
1.1 创建数据数据
1、数据直接录入
格式1
Data 数据集名; input 变量名1 变量名2 ;
cards; 数据
; run;
格式2
Data 数据集名; input 变量名1 变量名2@@;
cards; 数据
; run;
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例1-1 录入数据 3.41 3.45 3.42 3.53 3.45 方法1 data example1_1;input price;
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可以在数据库WORK看见数据集example1_4:
时间序列分析讲义(下)
时间序列分析讲义(下)
时间序列分析讲义(下)
3、缺失值插值
data example1_5;input price@@; t=intnx('month','1jan2005'd,_n_-1); format t date.;cards; 3.41 3.45 . 3.53 3.45 ; proc expand data=example1_5 out=example1_6;id t; proc print data=example1_5 ; proc print data=example1_6;run;
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描述性统计量
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自相关函数图
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偏相关函数图
自相关和偏相关函数都能较快地进入2倍标准差内,认 为序列平稳.
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检验统计量的P值<0.001,序列不是白噪声,可以建模.
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可以在数据库WORK看见数据集ex1_3数据集中有3 个变量。
时间序列分析讲mple1_4;set example1_3; keep t logp; where t>='01mar2005'd; proc print data=example1_4;run;
时间序列分析讲义(下)
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时间序列分析讲义(下)
时间序列分析讲义(下)
时间序列分析讲义(下)
2.2 平稳检验与纯随机性检验 纯随机性检验也叫白噪声检验，这个检验着
SAS建模中至关重要，有两方面的作用： 对于待建模的时序，若检验结果为白噪声，则该
时序可不可以建模，一个白噪声序列是不能建立任 何模型的。
时间序列分析讲义(下)
proc gplot data= example3_1; plot x*time=1; symbol1 c=red,i=join,v=star; run; proc arima data=example3_1; identify var=x ; run;
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时序图在SAS分析中的作用： 时序图，直观观察序列的平稳性； 拟合效果图，直观地看到预测的效果。
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例2.1 以下表
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data example2_1; input price1 price2; time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1); format time date.;cards; 12.85 15.21 13.29 14.23 12.42 14.69 15.21 16.27 14.23 16.75 13.56 15.33 ; run; proc gplot data=example2_1; plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; symbol1 c=black v=star i=join;symbol2 c=red v=circle i=spline; run;
以数据集example3_1为例来说明SAS序列模 型的识别的语句。
时间序列分析讲义(下)
例3.1
data example3_1; input x@@; time=_n_; cards; 0.30 -0.45 0.36 0.00 0.17 0.45 2.15 4.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.96 0.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34 -1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36 -0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.18 -0.39 -0.52 -2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.21 0.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36 -0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.77 1.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 -2.47 0.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.39 1.06 -0.39 -0.16 2.07 1.35 1.46 1.50 0.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05 ;
可以在数据库WORK看见数据集example数据集中有两 个变量t和price。
我们没有输入时间变量的数据，但“t=_n_”命令 自动给时间变量赋值 。
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等间隔的年份时间数据可以利用间隔函数输入： 例1-2 录入下表中的数据：
我们可以运行如下程序：
data example1_2 ;input price@@; t=intnx('month','1jan2005'd,_n_-1); format t monyy.; cards; 101 82 66 35 31 7 ; run;
预测
SAS是通过IDENGTIFY、 Estimate及forecast三个语句来实 现这三个阶段的。
时间序列分析讲义(下)
3.1 模型识别 模型的识别可以通过IDENGTIFY语句实现 。
第二章提到，SAS的ARIMA过程中的IDENGTIFY 语句，不仅可以实现白噪声和平稳性的检验，还 可以实现序列模型的识别。
时间序列分析讲义(下)
cards; 3.41 3.45 3.42 3.53 3.45 ; run;
方法2
data example1_1;input price@@; cards; 3.41 3.45 3.42 3.53 3.45 ; run;
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说明：
（1）这2种方法都可以创建一个名叫example的临时 数据集，保存在数据库WORK中，本次开机可调用，关 机后数据不保存。 SAS提供了两个通用数据库：临时数据库WORK 和永 久数据库SASUSER。 SAS数据命名采用二级制：数 据库名.数据集名。 若命名中没有数据库名,则默认为临时数据库WORK 。
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可以在数据库WORK看见数据集example1_4:
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“proc print data=example1_5 ;” 是查看语句，可以在输出窗口看到两个数据集。
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第二章 SAS-时间序列预处理 2.1 时间序列图形 SAS时间序列作图的程序语句格式为： PROC GPLOT 数据集名 表明要对该数据集中的数据做图。
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若改为如下的程序：
data sassuser.example1_1; input price@@; cards; 3.41 3.45 3.42 3.53 3.45 ; run;
就创建了一个名叫 example1_1的永久数据集，保 存在永久数据库SASUSER中，关机后数据保存。
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可以在数据库WORK看见数据集ex1_2数据集中有两个 变量t和price。
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时间序列分析讲义(下)
format t monyy.指定时间的输出格式
此处monyy.指定时间的输出格式为月-年。
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3、 外部数据的读取
时间序列分析讲义(下)
对于建模的后的残差序列，若检验结果为白噪声， 模型通过检验，若残差不是白噪声则模型不通过。
平稳性检验的目的是确定该时序可不可以直接建 模，平稳序列（非白噪声）可以直接建模，非白噪 声非平稳（非白噪声）序列需要先做差分处理，然 后建模。
时间序列分析讲义(下)
SAS的ARIMA过程中的IDENGTIFY语句，提供了白 噪声检验的结果，同时提供了醒目的自相关、偏相 关函数图，可以帮助判 别平稳性。
时间序列分析讲义(下)
时间序列分析讲义(下)
本例IDENGTIFY得到的信息：
时间序列分析讲义(下)
序列自相关图