人教版九年级上册数学学案：24.1.2垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径 教案
24.1.2垂直于弦的直径●情景导入课件出示关于赵州桥的引例引例：你知道赵州桥吗？它是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少．同学们，你们能帮他求出来吗？学完了本节课的内容，我们一起来解决这个问题．【教学与建议】教学：通过赵州桥引例，导入圆的轴对称性及垂径定理．建议：学生提前收集有关圆的对称图形．●归纳导入(1)操作1：拿出准备的圆，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是__轴对称__图形，__任何一条直径所在直线__都是圆的对称轴．(2)操作2：将这个圆二等分、四等分、八等分．(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线将纸片折叠；第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B，如图.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？【归纳】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．【教学与建议】教学：通过对剪圆和折叠圆的操作，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质．命题角度1垂径定理及推论的辨析根据圆的轴对称性得到垂直于弦的直径所具有的性质．【例1】(1)如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是(C)A．∠AOD＝∠BOD B．AD＝BDC．OD＝DC D．AC＝BC(2)下列命题中错误的命题有__②③④__．(填序号)①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径．命题角度2直接利用垂径定理进行计算构造以半径、弦长的一半、弦心距为三边长的直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】(1)如图，⊙O的半径OA＝4，以点A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为(A) A．43B．52C．23D．32[第（1）题图][第（2）题图](2)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，则AC的长是__8－27__．命题角度3垂径定理的实际应用圆弧形拱桥等问题，常通过作辅助线，使之符合垂径定理的直角三角形，运用勾股定理求解．【例3】好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．解：(1)连接OB .∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 中点．∵AB ＝16 m ，∴BD ＝12AB ＝8 m ．又∵CD ＝4 m ，设OB ＝OC ＝r ，则OD ＝(r －4)m.在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得r 2＝(r －4)2＋82，解得r ＝10.答：此圆弧形拱桥的半径为10 m ；(2)连接ON .∵CD ＝4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m ，∴CE ＝4－3＝1(m)，∴OE ＝r －CE ＝10－1＝9(m).在Rt △OEN 中，EN 2＝ON 2－OE 2＝102－92＝19，∴EN ＝19 (m)，∴MN ＝2EN ＝219 m ＜12 m ，∴此货船B 不能顺利通过这座拱桥．魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．(1)作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN ；(2)连接AN .并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C ；(3)连接BN .并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 的延长线于点D ；(4)以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆；(5)在OM 上作线段MF 等于NC ，以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．高效课堂 教学设计1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题． ▲重点垂径定理、推论及其应用． ▲难点发现并证明垂径定理．◆活动1 新课导入1．请同学们把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？ 答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．2．请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ◆活动2 探究新知 1．教材P 81 探究． 提出问题：(1)通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？(2)“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？ 学生完成并交流展示．2．教材P 82 例2以上内容． 提出问题：(1)证明了圆是轴对称图形后，观察图24.1－6，对应线段、对应弧之间有什么关系？由此可得到什么结论？(2)若把P 81的条件“直径CD ⊥AA ′于点M ”改为“直径CD 平分弦AA ′(不是直径)于点M ”，还能证明出图形是轴对称图形吗？此时对应线段、对应弧之间有什么关系？(3)当第(2)问中的弦AA ′为直径时，相关结论还成立吗？为什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．圆是__轴__对称图形，任何一条__直径所在的直线__都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为__圆心__．2．垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①__AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点__；②__AB ⊥CD 交CD 于点E __；那么可以推出：③__CE ＝DE __；④CB ＝DB ；⑤CA ＝DA .3.__平分弦(不是直径)__ 的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．提出问题：“推论”里的被平分的弦为什么不能是直径？ 学生完成并交流展示． ◆活动4 例题与练习 例1 教材P 82 例2.例2 如图，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，DE 交AB ，AC 于点M ，N .求证：AM ＝AN .证明：连接OD ，OE 分别交AB ，AC 于点F ，G .∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴∠DFM ＝∠EGN ＝90°.∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，∴∠DMB ＝∠ENC .∵∠DMB ＝∠AMN ，∠ENC ＝∠ANM ，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴AM ＝AN .练习1．教材P 83 练习第1，2题．2．已知弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm__．3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝__8__． 4．如图，⊙O 中弦CD 交半径OE 于点A ，交半径OF 于点B ，若OA ＝OB ，求证：AC ＝BD .证明：过点O 作OG ⊥CD 于点G . ∵OG 过圆心，∴CG ＝DG . ∵OA ＝OB .∴AG ＝BG ，∴CG －AG ＝DG －BG ，∴AC ＝BD . ◆活动5 课堂小结 垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．1．作业布置(1)教材P 90 习题24.1第8，11题； (2)对应课时练习． 2．教学反思。
24.1.2垂直于弦的直径 教案 人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学目标：1.知识与技能：（1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。
（2）掌握垂径定理的内容及几何语言。
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。
2.过程与方法：（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。
（2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。
3.情感态度与价值观：（1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。
教学重难点：【重点】垂径定理及其应用【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。
教学准备：多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具一、情境引入我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？二、实践探究1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。
课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。
2.活动2: 在圆形纸片上操作：①找出圆心，记作O②作出一条直径，与⊙O交于C、D③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。
沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？观察发现：点A与重合，AE与重合,弧AC与重合，弧AD与重合。
相等的线段: ，相等的弧: .思考：如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？【证明定理】动手操作之后，我们现在来进行理论证明。
学生用自己的方法证明，之后同学之间分享方法。
人教版(2012)九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教案
24.1.2 垂直于弦的直径③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？3.火眼金睛：判断下列图形，能否使用垂径定理。
归纳：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
3.垂径定理推论①把条件和结论中的CD⊥AB，AE=BE互换，结论成立吗？平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；②你能证明这个推论吗？③条件中的非直径可以去掉吗？能不能举个例子说明④你能用符号语言表达这个结论吗？4.“知二推三”并进行练习。
（1）若CD⊥A B, CD是直径,________,_________._______（2）若 CD是直径，AE=BE，则________,_________._______（3）若CD⊥AB,AE=BE，则________,_________._______（4）若CD是直径，弧AC=弧BC，则________,_________._______灵活应用提高能力简单应用例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．反思：从此题的解决过程中，你得到什么启示？归纳：1、两条辅助线：连半径、作弦心距2、一个Rt△：半径、半弦、弦心距3、两个定理：垂径定理、勾股定理此题由学生独立思考,并讲解思路，教师可让学生自己进行评判.并让学生板演。
此题属于基本应用，让学生了解弦心距、半弦、半径组成的直角三角形是圆中常用的直角三角形，更深入的研究在下节课中研究。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与达标训练 小结升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？达标测试：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊙AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、⊙COE=⊙DOEB、CE=DEC、OE=AED、弧BD=弧BC第1题第2题2、如图，OE⊙AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm。
人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径精品教案
课题24.1.2垂直于弦的直径课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)充分认识圆的轴对称性.(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理.(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.2.过程与方法让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观通过实验操作探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲,同时培养学生勇于探索的精神.教学重难点重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.教学活动设计二次设计课堂导入课件出示关于赵州桥的引例引例:你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少?同学们,你能帮他求出来吗?学完了本节课的内容,我们一起来解决这个问题.探索新知合作探究活动1(温故知新)对折圆形纸片,圆的轴对称性.圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴?分别是什么?活动2(探究)垂径定理(思考)如图:AB是☉O的一条弦,作直径CD使CD⊥AB,垂足为E.①这个图形是对称图形吗?②你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.③你能用一句话概括这些结论吗?垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.④你能用几何方法证明这些结论吗?⑤你能用符号语言表达这些结论吗?学生小组讨论,找出图中相等的量,教师在学生充分观察对折后的圆形纸片的几何性质后,将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书,为用数学符号语言翻译定理奠定基础.学生观察、思考和探究得出结论,再证明结论,使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起,从而使推理论证成为学生探究结论的自然延续和必然方法.【教师行为】由于定理的题设和结论关系较复杂,教师进一步帮助学生分析定理,并归结为:一条直线(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.同时引导学生认识到垂径定理就是满足条件(1),(2)而推出其他结论.续表【引申】定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段.从而得到垂径定理的变式:一条直线具有:例题讲解:现在我们学习了垂径定理,就可以对前面赵州桥的问题进行解决了.分析:(1)根据桥的实物图画出几何图形;(2)几何图形思考:圆的半径OA,弦心距OD、弦长AB、弓形高CD有怎样的数量关系?学生解答,教师演示过程,规范解题步骤,强调解题的严谨性.。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案
为继续
师生分析，进 一步理解定 理，析出定理 的题设和结
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人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案
思考
探究其 论.
如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 E．
推论奠
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 定基础
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
年级
人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案
九年级
拟授课学校
科目 主备人 教学内容
数学
拟授课班级
拟授课教师 拟授课时间
24.1.2 垂直于弦的直径
教案课时
1 课时
教学准备
教学目 标
知识与技能 过程与方法
1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性. 2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有 关的证明与计算问题. 1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的 直线都是它的对称轴． 2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解 研究几何图形的各种方法.
和它的 推论，并
定理和推论，
垂径定理推论
进行推 并 弄 明 白 它
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
广，得到 其他几 个定理，
们的区别与 联系
思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？
完整的
2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？
把握所
垂径定理的几何语言：（用幻灯片展示）
圆的对
37.4
称性，为
m
后续探 学 生 用 纸 剪
究打下 一个圆，按教
C
基础 师要求操作，
人教版九年级数学上册(教案)24.1.2 垂直于弦的直径
24．1.2垂直于弦的直径教学目标1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．2．能运用垂径定理解决几何证明、计算和作图问题，并会解决一些实际问题．教学重点垂径定理及推论．教学难点发现并证明垂径定理．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、自主学习指向目标1．自读教材第81至83页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一垂径定理及其推论．活动一：出示教材第81页“探究”，实践操作，问1：我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴有多少条？圆的任何一条直径都是它的对称轴，这种说法正确吗？问2：如何证明圆是轴对称图形？【展示点评】圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴；因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”．问3：如图，当CD⊥直径AB时，你还可以得到什么结论？【展示点评】符号语言：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴__CE__＝__ED__，__AC＝__AD，__CB＝__BD．(2)垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条孤．符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE＝DE.∵AB是直径，CE＝DE，∴__AB⊥CD__，__AC＝AD，__CB＝BD．【小组讨论】为什么要在垂径定理的推论中，加上“(不是直径)”这一限制条件？【反思小结】学习垂径定理要注意：(1)条件中的“弦”可以是直径．(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二垂径定理的应用活动三：出示教材第82页例2.思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出图形，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？【小组讨论】在解决此类问题中，常作辅助线的方法是什么？【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式__R__2＝__d__2＋__(a,2)__2.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标1．垂直于弦的直径圆的轴对称：________垂径定理：________垂径定理的推论：________利用垂径定理解决问题2．一种辅助线和一种数学思想方法．五、达标检测反思目标1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC ＝__10__.2．若圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为23 cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是__1__cm.第1题图第3题图3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( A ) A．2 B．3 C．4 D．54．在半径为5 cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD的距离是( D )A．7 cm B．1 cm C．7 cm或4 cm D．7 cm或1 cm六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第89页习题24.1第2，8题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。
人教版九年级上册数学导学案：24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径预习案一、预习目标及范围：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.预习范围：P81-83二、预习要点1.书中证明利用了圆的什么性质？2.若只证AE=BE，还有什么方法？3.垂径定理：4.分析：给出垂径定理的推理格式5.推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且 \三、预习检测1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作问题 1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？可以发现：问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?明确：理由如下：归纳:垂径定理想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？活动2：探究归纳垂径定理的几个基本图形：垂径定理的推论：活动内容2：典例精析例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.解析：例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. 解：例3：你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB 的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.练一练：如图a、b,一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.归纳：在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、随堂检测1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= ___ .3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ____4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.5.如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8,P 为AB 上的一个动点，那么OP 长的取值范围 .参考答案预习检测： 1.解：OE AB ⊥ 118422AE AB ∴==⨯= 在Rt △ AOE 中 222AO OE AE =+2222=3+4=5cm AO OE AE =+答：⊙O 的半径为5cm. 2.证明;OE AC OD AB AB AC ⊥⊥⊥90 90 90OEA EAD ODA ∴∠=∠=∠=1122AE AC AD AB ==， ∴四边形ADOE 为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD∴ 四边形ADOE 为正方形. 随堂检测 1. 5cm 2. 10 3 cm 3. 14cm 或2cm4. 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=根据勾股定理，得()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m 5. 3cm≤OP ≤5cm。
人教版数学九年级上册教学案：24.1.2垂直于弦的直径
24.1.2垂直于弦的直径（新授总课时）教学目标：1.研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论教学重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点：垂径定理及其推论的运用。
教学过程一．课前预习1.下列判断正确的是（）A.平分弦的直径垂直于弦B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD的距离是3.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为4.如图,AB为圆O直径,E是弧BC中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=第3题第4题二．课堂研讨（一）重点研讨1.在半径为1的圆O中，弦AB=√3，AC=√2，则∠BAC的度数为____.2.如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为3.如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，则弦AB的长为．第2题第3题教师活动学情分析：检查预习情况：导语：精讲点拨：课堂小结：板书设计：教学札记：（二）深化提高1.已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离和EF的长（三）达标检测1.已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD为x．（1）如图1，当x为何值时，⊙O与AM相切；（2）如图2，当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90度．三.课后巩固1.如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施？。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直于弦的直径-教案
教师姓名单位名称填写时间2020年8月学科初中数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称24．1．2 垂直于弦的直径难点名称垂径定理的推论难点分析从知识角度分析为什么难1 垂径定理及其推论用文字表述对于学生比较难。
2.垂直于弦的直径所具有的性质以及推论运用到实际问题中属于数学的建模思想；学生的思维还达不到，学习中会有一定的难度。
从学生角度分析为什么难学生在体会和理解研究几何图形的各种方法时有难度，有时候不知道如何添加辅助线。
难点教学方法通过多媒体课件和教具直观演示教学环节教学过程导入1.同学们，请你们画一个圆。
（1）先与同桌互相说一下，上节课的知识。
（2）然后我们一起认识了圆的有关知识，现在我们一起回忆这些知识。
2.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？（教师用自己手中的教具示范）知识讲解（难点突破）1.圆的对称性（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？2.垂径定理（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使C D⊥AB，垂足E。
①这个图形是对称图形吗②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？3．垂径定理的推论如上图，若直径CD平分弦AB则①直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？②你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？4、通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直直径所在的直线都是圆的对称轴。
如图2要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。
如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OA M与△OB M都是直角三角形，又O M为公共边，所以两个直角三角形全等，则A M＝B M．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=B M，AC=BC，同理得到AD BD．垂直于弦的直径所具有的性质:（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．课堂练习（难点巩固）例赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．解：（教师在黑板上重点板书）小结五、课堂小结：1圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴2垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 3根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。
人教版数学九年级上册《24.1.2 垂直于弦的直径》学案
学习方法制作： 班级 姓名 九级数学方法 总结学习内容课前阅读心中有数 为自学指明方向课下及时复习动手操作、探究规律利用圆的轴对称性，探索垂径定理记忆定理24.1.2垂直于弦的直径学案（1）学习目标 1．理解圆的轴对称性；２.了解拱高、弦心距等概念；３．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
一复习与提问⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________。
二、动手实践，发现新知⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
三、创设情境，探索垂径定理⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明。
写出已知，求证。
已知： 求证：5.学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？6垂径定理：学习 方法 制作： 班级 姓名 九年级数学方法 总结学习内容掌握定理的推理格式加深对定理的认识辅助线添加的理由通过这两个题加深对辅助线的认识分析：给出定理的推理格式6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？四、定理的应用例1. 如图所示，已知AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，且AB=8，OC=3，求⊙O 的半径。
五、自我评价1.如图⊙O 的半径为8，OC ⊥弦AB 于C ，且OC=6，求弦长AB 。
人教版九年级数学上册导学案：24.1.2垂直于弦的直径
一、自主预习请按下面要求完成下题：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ①相等的线段： ， 相等的弧： ，②下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ，垂径定理：垂直于_______的直径平分弦，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：2、已知CD 是直径，且平分弦AB ，能否得到CD ⊥AB ，且平分弧ADB 及弧AB 。
推论: 平分弦（_____________）的直径垂直于________，并且平分弦所对的两条__________． 几何语言表达式：二、合作探究在半径为50mm 的⊙O 中,弦AB 的长50mm 求∠AOB 的度数并计算点O 到AB 的距离.三、展示交流如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ， 圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径.科目 数学班级：学生姓名 课题 24.1.2垂直于弦的直径（1） 课 型新授课时 1主备教师备课组长签字学习目标： 1、经历探索圆的轴对称性及相关性质。
2、理解并应用垂径定理及推论进行相关的计算 学习重点 垂直于弦的直径的性质、推论及其应用学习难点对垂直于弦的的直径的性质、推论的说明过程的理解四、随堂检测 班级： 姓名：1、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦（ ） ②平分弦的直径必垂直弦（ ） ③平分弦的直径垂直于这条弦（ ） ④弦的垂直平分线是圆的直径（ ）⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（ ）⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧（ ） 2、在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm, 求弦AB 的长（拔高练习题) 3、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30求弦CD 长？BA CE DO。
人教版九年级上册数学教案：24.1.2垂直于弦的直径
在理论介绍和案例分析环节，我发现学生们对于垂径定理的证明过程表现出了一定的困惑。我尽力通过图示和逐步引导来帮助他们理解，但感觉还需要在后续的课堂中继续加强这部分的内容，可能通过更多的例题和练习来巩固他们的理解。
实践活动和小组讨论的环节，我看到学生们积极参与，互相交流想法，这让我感到很欣慰。通过亲手操作和讨论，他们能够更直观地感受到垂直于弦的直径的性质，并在解决问题的过程中运用这个定理。不过，我也注意到有些学生在小组讨论中不够积极，可能需要我在以后的教学中更多地关注这些学生的参与度，鼓励他们大胆表达自己的想法。
同学们，今天我们将要学习的是《垂直于弦的直径》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一条线段平分的情况？”（如剪绳子时的对折）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂直于弦的直径的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂直于弦的直径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了垂直于弦的直径这一章节。我注意到，在引入新课时，通过日常生活中的例子来激发学生的兴趣，确实能够帮助他们更好地理解抽象的几何概念。这种
人教版九年级上册数学学案：24.1.2垂直于弦的直径
《24.1.2垂直于弦的直径》导学案一、自主学习1、用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么?（想一想）由此你能得到什么结论？圆是______图形，任何一条________________都是圆的对称轴，圆有______条对称轴。
圆的直径是圆的对称轴吗？它也是____对称图形，对称中心为____．2、阅读教材，总结垂径定理及其推论。
（1）垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分_________________。
如图，①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；①AB①CD 交CD 于E ，那么可以推出： ①CE ＝DE ；①CB ︵＝DB ︵；①CA ︵＝DA ︵.（2）推论：平分弦（不是直径）的直径______于弦，并且______弦所对的两条弧。
为什么这里的“弦不是直径”？3、拓展：若一条直线满足下列五个条件中的任意两个，一定能得出其他三个吗？ ①经过圆心，②垂直于弦（非直径），③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧（请与同学交流你的体会）。
4、下列命题正确的是______ A 、弦的垂线平分弦所对的弧 B 、平分弦的直径垂直于这条弦C 、过弦的中点的直线必过圆心D 、垂直于弦的直径平分这条弦5．（1）在①O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 _____．（2）在①O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为______．（3）①O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为____．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．通常连接半径构造直角三角形6、如上图1，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则下列结论不一定成立的是_______A 、∠EOC= ∠EODB 、CE=DEC 、OE=BED 、BC BD7、某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧？)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？（连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．）8．如图，线段AB 与①O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.E D 图 2O C B A 证明：作OE①AB 于E.则____＝DE.∵OA ＝OB ，OE①AB ，∴AE ＝_____，∴AE －____＝_____－DE.即AC ＝BD. 点拨：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．9．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE①AB 于点E.则_____＝BE ，CE ＝____.∴____－CE ＝BE －_____.即AC ＝BD. 点拨：过圆心作垂径．10．已知①O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE①AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F. 由AB①CD ，则OF①CD.(1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO=CO=___cm ，AE=______=____ cm.，CF=______=____ cm 由勾股定理知OE=_____=____ cm ，OF ＝_________=____ cm∴EF=OE ＋OF=___cm)．即AB 与CD 之间距离为___ cm.(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图①，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm.由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm.∴EF ＝____－____＝_____(cm)．即AB 与CD 之间距离为______cm.由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为____ cm 或______cm.二、合作探究1、点P 是⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 的半径为5cm ，则经过点P 的最短弦长 ______，最长弦长_______2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为____，最大值为____．3．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为____cm.4、如图2的①O 中，弦AB①AC 于A ，OD①AB 于D ，OE①AC 于E ，AB=8cm ，AC=6cm 。
人教版九年级数学上册教案设计：24.1.2垂直于弦的直径
学生动手折出：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴实施目标自学指导：通过学生自己动手折叠，由特殊到一般从而引出当如图AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？提问归纳：（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE 弧ＡＣ＝ＢＣ弧ＡＤ＝ＢＤ垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧数学语言：∵CD是直径，CD⊥AB∴AE=BE,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC 。
下列图形是否具备垂径定理的条件？EDCOA BDOA BcECOA B• 如果CD 过圆心，且垂直于AB ，则AE=BE ，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC 。
• 注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。
垂径定理的几个基本图形ED COAB例 1 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径 若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB 的长OEBA让学生自己总结：若圆心到弦的距离用d 表示，半径用r 表示，弦长用a 表示，这三者之间有怎样的关系？若下面的弓形高为h ，则r 、d 、h 之间有怎样的关系?2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a d rr=d+h例2 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
小结归纳小结三、全课总结：1.垂径定理是解决有关弦及弧的问题的依据，见弦作垂径，连半径是两条重要的辅助线。
2.定理中弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上，圆的弦又关于这条直径所在的直线对称，体现了数学的和谐目标检测练习：1、已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D 两点.求证：AC＝BD归纳：垂径定理中常见的辅助线：1.见弦作垂径。
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24.1.2垂直于弦的直径
一、学习目标：
1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。
2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
二、学习重点、难点：
1. 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。
2. 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
三、学习过程：
（一）自主学习：
阅读课本Ｐ81---P83思考下列问题：
1、圆是________图形，其对称轴是____________________的直线。
说说你是怎么知道的？答：
２、请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
答：
这样，我们就得到垂径定理：。
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD.
证明：
因此，我们还可以得到推论：。
（二）．例题精析：
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400多年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，请你求出赵州桥主桥拱的半径。
（结果保留小数点后一位）
（三）达标训练：
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．A．CE=DE B．BC = BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
(图1) (图2) (图3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）
A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm
4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：BD
AC
5．巩固练习（教材P83练习）
回味反思：谈谈本节课你有哪些收获？
B
A
O
M
C
E
D
O。