上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编1：集合与常用逻辑用语

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2013年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)含详解

2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k的值为．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为．13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣616．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差数列或等比数列．③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22．（16分）已知函数．（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】29：规律型．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，∴===．再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．【考点】55：二分法的定义与应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．【解答】解：根据运算得下表：运算1…456…次数解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．故答案为：5.3．【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k 的值为．【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．∵向量，且，∴，解得k=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】27：图表型．【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，∴样本容量==80，∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．故答案为：44．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．故答案为：8π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于17．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得到，可得n+d=n+=，利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，a1=1，a n=65，∴d＞0，n＞1，1+（n﹣1）d=65，∴，∴n+d=n+==17，当且仅当，n＞1，即n=9，d=8时取等号．因此n+d的最小值等于17．故答案为17．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式、基本不等式的性质是解题的关键．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．【解答】解：设点P（x0，y0），则．由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．∴，．∴k1•k2===1．故答案为1．【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，∴4﹣4cos A=sin A，∴==4，故答案为4．【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得该等差数列为1，3，5，7，9，11，13，总的方法种数为=21，而符合条件的共有=3种，代入概率公式可得答案．【解答】解：由题意设等差数列为{a n}，可得其和S7===7a4=49，故a4=7，又该数列为整数，故可得该数列为1，3，5，7，9，11，13，故任取两个球的方法种数为=21，两个小球上的号码均小于7，只需从1，3，5三个号码中任取两个即可，故共有=3种，故所求概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及计算公式，由题意得出该数列是解决问题的关键，属基础题．12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为14．【考点】3T：函数的值；7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】通过已知条件求出a、b满足的不等式，求出f（2）的表达式，利用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：因为f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，所以1≤a﹣b≤2，…①，2≤a+b≤4，…②，由②×3+①可得：5≤4a+2b≤14又f（2）=4a+2b，所以f（2）的最大值为：14．故答案为：14．【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，也可以利用线性规划解答本题，由于a、b是互相影响与制约的，不可以求出a、b的范围来解答，会使范围扩大，是易错点．13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用重心的性质和向量的运算法则可得可得，再利用数量积的运算性质即可得出．【解答】解：设D为边BC的中点，如图所示，则．根据重心的性质可得==．∴====．故答案为．【点评】熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先由题目中的两个不等式推导出f（x+4）﹣f（x+2）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）≤3x，∴f（x+4）﹣f（x+2）≤3x+2=9•3x，又f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，∴f（x+4）﹣f（x+2）=9×3x，=3x+2，∴f（2）﹣f（0）=30，f（4）﹣f（2）=32，f（6）﹣f（4）=34，f（8）﹣f（6）=36，以上各式相加得，f（8）﹣f（0）=，∴f（8）=f（0）+=+=，故答案为：．【点评】本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数列求前n项和公式，注重知识点的交汇和灵活运用．属难题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可得r=1此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】由”可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”推不出角A为钝角，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由题意可知若“”则必有角A为钝角，可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”不一定角A为钝角，可能角B或C为钝角，故推不出角A为钝角，故可得“”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题．17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．【解答】解：由，当时，0≤sin x≤1，f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．此时当sin x=1时f（x）有最小值为；当时，﹣1≤sin x＜0，f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．综上，函数f（x）的最小值是0．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差数列或等比数列．③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】21：阅读型．【分析】①依据|Z+i|+|Z﹣i|=2的几何意义得到对应点的轨迹是线段；②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则由两因式分别为0，可求出数列{a n}的递推公式，继而可得到数列是等差数列或等比数列；③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=﹣f（﹣x），则可判断函数的奇偶性；④若设P（x，y）（x＞0，y≥0），则可将曲线化简为（x＞0，y≥0）再画出图形，找到特殊点，当y=0时，即可求出||PE|﹣|PF||的值，继而判断正误．【解答】解：①|Z+i|表示复平面上，点Z与点﹣i的距离，|Z﹣i|表示复平面上，点Z与点i的距离，∴|Z+i|+|Z﹣i|=2，表示复平面上，点Z与点i、﹣i的距离之和等于2．则对应点的轨迹是线段，故①错；②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则（a n+1﹣a n﹣1）=0或（a n+1﹣2a n）=0，所以a n+1﹣a n=1或a n+1=2a n，则数列{a n}是等差数列或等比数列，故②正确；③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=﹣f（﹣x），则f（x）是R上的偶函数或奇函数，故③正确；④设P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的动点曲线，则（x＞0，y≥0）又由于两定点E（﹣5，0）、F（5，0），则P、E、F三点位置如图示．当y=0时，P点与Q点重合，即||PE|﹣|PF||=||QE|﹣|QF||=6，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，属于基础题．我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的性质，及三棱锥A1﹣B1C1F的体积==即可得出．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，可得四边形A1ECF是平行四边形，利用其性质可得A1C∥EC，可得∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1﹣B1C1F的高．而直角三角形的===2．∴三棱锥A1﹣B1C1F的体积===．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，∴四边形A1ECF是平行四边形，∴A1C∥EC，∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．∴△BCE是等边三角形．∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．【点评】熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x＜20），∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，即x=10 时，S取最大值400；所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把点M、N 的坐标代入解出即可；（2）利用斜截式写出直线l的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，表示出直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，即可证明：k1+k2=0．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）将代入椭圆E的方程，得解得，所以椭圆E的方程为．（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，∴直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．又，，故=．又，所以上式分子==故k1+k2=0．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．22．（16分）已知函数．（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；51：函数的零点；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，利用分段函数的图象得出函数的单调递减区间和函数f （x）既不是奇函数也不是偶函数；（2）当a=1时，，欲求函数y=f（2x）的零点，即求对应方程的根．由f（2x）=0解得x的值即可；（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为，即．再构造函数，研究其最值即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为…（2分）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）（2）当a=1时，，由f（2x）=0得…（2分）即或…（2分）解得所以或x=﹣1．…（2分）（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为即…（2分）故又函数在（0，1]上单调递增，∴…（2分）函数在上单调递减，在上单调递增，∴；所以，即实数a的取值范围是．…（2分）【点评】本题以分段函数为载体，考查函数的奇偶性单调性、恒成立等问题，解题的关键是等价转化，构造新函数．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．【考点】8E：数列的求和；8O：数列与解析几何的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n﹣1|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得，从而得到{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项与求和公式可得a n、S n的表达式；（3）由（2）得{b n}是公比、首项的正项等比数列．因此根据等比数列的求和公式，将T p•T s与T q•T r作差，结合正整数p，q，r，s成等差数列且p＜q＜r＜s，化简整理可得T p•T s﹣T q•T r=，讨论所得结果的可得T p•T s﹣T q•T r＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，又∵P1在抛物线y2=x上，∴，得…（2分）同理根据P2在抛物线y2=x上，可得…（4分）的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点（2）如图，因为点Q n﹣1Q0与原点重合，S0=0），所以直线Q nP n的方程为或，﹣1因此，点P n的坐标满足消去x得，所以…（7分）又，故从而…①由①有…②②﹣①得即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是所以{a n}是以为首项、为公差的等差数列，由此可得：…（10分）（3）∵，∴数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d则，，，…（12分）T p•T s﹣T q•T r==…（14分）而==…（16分）由于a＞0且a≠1，可得，又∵d为正整数，∴与同号，因此，，可得T p•T s＜T q•T r．综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有T p•T s ＜T q•T r．…（18分）Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n﹣1的边长a n的表达式，并设，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．、。

2013高三文科二模数学试卷(杨浦等地有答案)

2013高三文科二模数学试卷（杨浦等地有答案）2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是. 5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是. 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）.（B）.（C）.（D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2) 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．B；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二:数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。

(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点题库

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点题库单选题1、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.2、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x >1，x 2≥1”的否定是“∀x >1，x 2<1”，故选：D.3、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（）A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案. 若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2y y =x 2 ，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 或{x =12y =14，由集合中元素的互异性，得{x =12y =14 ，则x −y =12−14=14，故选：C ．4、集合A ={x ∈N|1≤x <4}的真子集的个数是（）A ．16B ．8C ．7D ．4答案：C解析：先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.解：∵A ={x ∈N|1≤x <4}={1,2,3}，∴A ={x ∈N|1≤x <4}的真子集为：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个．故选：C ．5、下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x2＝2时，只能得到x为±√2，由此可判断；对于③，方程x2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.6、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.7、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．8、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出A D，，所以甲是丁的充分不必要条件.记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B=C，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.9、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A ．{−1,1}B ．{−1,0,1}C ．{−2,−1,1,2}D ．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A ={−1,0,1}求解B ={a +b |a ∈A,b ∈A }即可由题，当a ∈A,b ∈A 时a +b 最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B = {−2,−1,0,1,2}故选：D10、已知集合A ={x |x 2−2x =0 }，则下列选项中说法不正确的是（）A ．∅⊆AB ．−2∈AC ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3 }答案：B分析：根据元素与集合的关系判断选项B ，根据集合与集合的关系判断选项A 、C 、D.由题意得，集合A ={0,2}．所以−2∉A ，B 错误；由于空集是任何集合的子集，所以A 正确；因为A ={0,2}，所以C 、D 中说法正确．故选：B ．填空题11、若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ={−1,0,13,12,1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.答案：15分析：首先确定具有伙伴集合的元素有1，−1，“3和13” ，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.因为1∈A ，11=1∈A ；−1∈A ，1−1=−1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ；这样所求集合即由1，−1，“3和13” ，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24−1=15，所以答案是：15.12、集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B⊆A，则m＝___．答案：±2分析：根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．∵集合A={−1，2，4}，B={2，m2}，B⊆A，∴m2=4，解得m=±2．所以答案是：±2．13、已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是 __.答案：a≥−14分析：根据命题p为假命题，则它的否定￢p是真命题，利用判别式Δ≥0求出实数a的取值范围. 解：因为命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，所以它的否定￢p：∃x∈R，x2+x﹣a≤0为真命题，.所以Δ＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a≥−14所以答案是：a≥−1414、能够说明“∀x∈N∗，2x≥x2”是假命题的一个x值为__________．答案：3分析：取x=3代入验证即可得到答案.因为x=3∈N∗，而23<32，∴说明“∀x∈N∗，2x≥x2”是假命题．所以答案是：3小提示：本题考查命题与简易逻辑，属于基础题．15、若3∈{m−1,3m,m2−1}，则实数m=_______.答案：4或±2分析：分三种情况讨论即得.∵3∈{m−1,3m,m2−1}，∴m−1=3，即m=4，此时3m=12,m2−1=15符合题意；3m=3，即m=1，此时m−1=0,m2−1=0，不满足元素的互异性，故舍去；m2−1=3，即m=±2，经检验符合题意；综上，m=4或±2.所以答案是：4或±2.解答题∈N+}，B={x|x=2a,a∈A}. 16、已知全集U={1,2,4,6,8}，集合A={x∈N+|4x(1)求A∪B；(2)写出∁U(A∩B)的所有非空真子集.答案：(1)A∪B={1,2,4,8}(2){1}，{6}，{8}，{1,6}，{1,8}，{6,8}分析：（1）根据题意求出集合A,B，然后结合并集的概念即可求出结果；（2）根据集合间的基本运算求出∁U(A∩B)，进而根据非空真子集的概念即可求出结果. （1）由题意得A={1,2,4}，B={2,4,8}，故A∪B={1,2,4,8}.（2）由题意得A∩B={2,4}，∁U(A∩B)={1,6,8}，故∁U(A∩B)的所有非空真子集为{1}，{6}，{8}，{1,6}，{1,8}，{6,8}.17、用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．答案：(1){0,2，4，6，8，10}；(2){−2，−1，2}(3){(1，2)}分析：（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10}，（2）(x+1)(x2−4)=0的根为x1=−1,x2=2,x3=−2，所以所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}，（3）联立y=x+1和y=2x，解得{x=1y=2，所以两个函数图象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)}18、设U=R,A={x|−5<x≤6},B={x|x≤−6或x>2}，求：（1）A∩B；（2）(∁U A)∪(∁U B)答案：（1）{x|2<x≤6}；（2）{x|x≤2或x>6}.分析：（1）根据集合交集的概念及运算，即可求解；（2）根据补集的运算，求得∁U A,∁U B，再结合集合并集的运算，即可求解. （1）由题意，集合A={x|−5<x≤6},B={x|x≤−6或x>2}，根据集合交集的概念及运算，可得A∩B={x|2<x≤6}.（2）由U=R,A={x|−5<x≤6},B={x|x≤−6或x>2}，可得∁U A={x|≤5或x>6}，∁U B={x|−6<x≤2}，所以(∁U A)∪(∁U B)={x|x≤2或x>6}.19、已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．（1）当a=3时，求A∩B；（2）“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案：（1）A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）{a|a<1}分析：（1）先求出集合A={x|−1≤x≤5}，再求A∩B；（2）先求出∁R B={x|1<x<4}，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围. （1）当a=3时，A={x|−1≤x≤5}.因为B={x|x≤1或x≥4}，所以A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）因为B={x|x≤1或x≥4}，所以∁R B={x|1<x<4}.因为“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，所以A∁R B.当A=∅时，符合题意，此时有2+a<2−a，解得：a<0.当A≠∅时，要使A∁R B，只需{2+a≥2−a2+a<42−a>1，解得：0≤a<1综上：a<1.即实数a的取值范围{a|a<1}.。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：集合与常用逻辑用语.docx

上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：集合一、集合1、（崇明县2016届高三二模）已知全集U R =，{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =≥，则U A C B =2、（虹口区2016届高三二模）设集合{}2M x x x ==，{}20N x log x =≤，则=N M __________ 3、（黄浦区2016届高三二模）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若B A ⊆，则实数m =4、（静安区2016届高三二模）已知全集U R =，集合{}(1)(4)0A x x x =--≤，则集合A 的补集U C A = .5、（闵行区2016届高三二模）集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则A B 等于6、（浦东新区2016届高三二模）已知全集U R =,若集合|01x A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则U C A = 7、（普陀区2016届高三二模）若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A8、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_____________9、（闸北区2016届高三二模）已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I ________参考答案1、(0,1)2、[]0,13、14、(,1)(4,)-∞+∞ 5、()2,3- 6、[]0,17、{}1 8、1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭9、3a ≥ 10、]1,2(- 二、常用逻辑用语1、（崇明县2016届高三二模）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的………………（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不不充分也不必要条件2、（虹口区2016届高三二模） 3a =“”是“直线2(2)0a a x y -+=和直线310x y ++=平行”的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3、（黄浦区2016届高三二模）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111,0l a x b y c ++=，2222,0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、（闵行区2016届高三二模）若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件5、（浦东新区2016届高三二模） “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（）（A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）既非充分亦非必要条件.6、（普陀区2016届高三二模）若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的条件.（）（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充分又非必要7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的----------（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件8、（杨浦区2016届高三二模）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“π3α<”是“3k <”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件9、（闸北区2016届高三二模）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）“0sin =α”是“1cos =α”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件参考答案1、B2、A3、B4、C5、A6、B7、C8、A9、B 10、B。

区高三二模数学(文)试题分类汇编：复数

上海市16区2013届高三二模数学(文）试题分类汇编13：复数一、填空题1 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）设i 为虚数单位,集合{}i i,,1,1--=A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=i 1i 1i),i)(1(1,i ,1i 410B ，则=B A ____。

【答案】{}i ,1-；2．(上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题)已知32i x =--(i 为虚数单位）是一元二次方程20xax b ++=（,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________。

【答案】193 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模)质量调研数学（文）试题）若i a z 21+=，i z +=12(i 表示虚数单位）,且21z z 为纯虚数，则实数=a ______。

【答案】2-4 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学(文）试题）已知复数z 满足1=+i z （其中i 为虚数单位），则z =__________. 【答案】2;5 ．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题)若复数z 满足)2(z i z -=(i 是虚数单位），则=z _____________。

【答案】2;6 ．（上海市虹口区2013届高三（二模)数学（文）试卷）已知复数i i z +-=1)1(3，则=z _______.【答案】2；7 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）已知复数z 满足1i z -=3，则复数z 的实部与虚部之和为__________. 【答案】34。

上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编3：不等式

上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编不等式1、（2013届长宁、嘉定区二模）若关于的不等式的解集为，则实数_________．答案：2、（2013届虹口区二模）对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是．答案：3、（2013届虹口区二模）如果，则的最小值为．答案：14、（2013届静安、杨浦、青浦、宝山区二模）若直线经过点，则…………………………（）（A）．（B）．（C）．（D）．答案：B5、（2013届普陀区二模）若函数是偶函数，则函数的最小值为 .答案：26、（2013届徐汇、松江、金山区二模）已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B7、（2013届闸北区二模）设函数，若取正值的充要条件是，则，满足【】A． B． C． D．答案：B8、（2013届黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点.达峰时间yx药量峰值（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值时对应的值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）【解析】将代入函数可得：，∴⑴当时，∵，∴当时，∵∴，∴∴当时，有最大值为⑵∵在上单调增，在上单调减，最大值为∴在和各有一解当时，，解得：当时，，解得：∴当时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：小时9、（2013届徐汇、松江、金山区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行．（1）求的值；（2）求该轮船航行海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值.解：（1）由题意得燃料费，………………………………2分把=10，代入得.………………………………………………6分（2），……………………………………9分=，………………………11分其中等号当且仅当时成立，解得，…………13分所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为2400（元）.…………………14分。

高中数学知识点总结(第一章集合与常用逻辑用语)

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。

上海高三二模分类汇编-集合、命题与不等式(详解版)

二模汇编——集合、命题与不等式一、知识梳理【知识点1】集合间的相互关系【例1】（2015年黄浦二模理3）已知集合2{|160,},{|3,}A x x x R B x x a x R =-≤∈=-≤∈，若B A ⊆，则正实数a 的取值范围是 .【答案】(0,1].【点评】根据集合间的关系，在数轴上分别画出集合A B 、所表示的范围，解出a 的取值范围.【例2】（2016年黄浦二模文理1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = . 【答案】1.【点评】根据集合间的关系和集合中元素无序性，互异性，准确性的特点得出答案.【例3】（2016年闸北二模文理2）已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 . 【答案】3a ≥.【点评】根据集合间的关系和不等式的运算，在数轴上分别画出集合A B 、所表示的范围，解出a 的取值范围.【例4】（2017年杨浦二模5）集合2{1,3,}A a = 集合{1,2}B a a =++ . 若B A A ⋃= 则实数 a =_______. 【答案】2.【解析】B A A B A ⋃=⇒⊆，根据集合元素特征即可解决问题. 【点评】了解,B A A B A B A A A B ⋃=⇒⊆⋂=⇒⊆【例5】设全集U =R ，若集合{0,1,2}A =，{|12}B x x =-<<，()U A C B =I . 【参考答案】{2}.【例6】（2018年长宁嘉定二模1）已知集合{1,2,}A m =，{2,4}B =，若{1,2,3,4}A B =U ，则实数m = .【参考答案】3m =.【知识点2】集合的交、并、补运算【例1】（2017年宝山二模1）已知集合{|0}A x x =>，集合{|1}B x x =<，则A B =I . 【答案】(0,1).【点评】集合的运算我们可以利用画数轴或者文氏图得出答案.【例2】（2017年奉贤二模4）设集合{|23},{|}A x x B x x t =-≤=<，若A B ⋂=∅，则实数t 的取值范围是 . 【答案】1t ≤-.【解析】{|11}A x x =-<<，画出数轴，根据交集是空集解出答案. 【点评】本题考察集合的运算，善用数轴解决问题.【例3】（2017年长宁、金山、青浦二模1）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，集合{|2,}B x x x R =<∈，则A B =I _________.【答案】(1,2)-.【点评】通过数轴解决问题.【例4】（2016年静安二模文1）已知全集U R =，集合{}(1)(4)0A x x x =--≤，则集合A 的补集U C A = .【答案】(,1)(4,)-∞+∞U .【点评】了解补集的定义即可解决问题.【例5】（2016年奉贤二模文11）已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤ {(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ⋂≠ 则t 的取值范围是_______. 【答案】[]4,2-.【点评】转化成线性规划解决问题.【例6】（2018年金山3）已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =I . 【参考答案】(2,3).【例7】（2018年徐汇二模1）已知全集U =R ，集合2{|230}A x x x =-->，则U C A = . 【参考答案】[1,3]-. 【例7】（2018年虹口二模1）已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅I ，则实数a 的范围是 . 【参考答案】1a ≥.8（2018年崇明二模1）已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A = .【参考答案】{1,3}.【例8】（2018年黄浦二模1）已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 .【参考答案】2.【知识点3】命题的判定【例1】下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ①“若0ab =，则0a =”的否命题；①“正三角形的三个角均为60︒”的逆否命题，其中真命题的序号是______(把所有真命题的序号填在横线上)．【答案】①①.【解析】①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；①“若0ab =，则0a =”的否命题为“若0ab ≠则0a ≠”，而由0ab ≠可得a b ，都不为零，故0a ≠，所以该命题是真命题；①由于原命题“正三角形的三个角均为60︒”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填①①. 【点评】通过命题间的相互关系得出答案.【知识点4】充分条件与必要条件【例1】（2017年宝山二模13）设a 、b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（）.A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 充要条件；D. 既不充分也不必要条件. 【答案】B .【点评】举反例即可.【例2】（2017年青浦二模13）已知0,022222121≠+≠+b a b a ，则“02211=b a b a ”是“直线0:1111=++c y b x a l 与0:2222=++c y b x a l ”平行的（） A. 充分而不必要条件； B. 必要而不充分条件；C. 充要条件；D. 既不充分也不必要条件. 【答案】B .【点评】理解充分性和必要性的定义.【例3】（2017年虹口二模13）已知a ，b ，c 都是实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“2b a c =⋅的（） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件. 【答案】A .【点评】了解等比数列的性质和充分性、必要性.【例4】（2016年浦东二模文理15）“112x <<”是“不等式11x -<成立”的（） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分亦非必要条件. 【答案】A .【例5】（2018年浦东二模2）不等式01xx <-的解集为 . 【参考答案】(0,1)【点评】掌握必要性和充分性的区别. 【例6】（2018年长宁嘉定二模13）“2x =”是“1x ≥”的（） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；C. 充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件. 【参考答案】A . 【例7】（2018年浦东二模15）唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

上海市普陀区2013年高考二模数学试题(文科)及参考答案

上海市普陀区2013届高三4月质量调研（二模）文科数学考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax 02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111中第行、第j 列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B = ………………（） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =………………………………………………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………………（）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PAa PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. ABCP第18题第19题1C1D21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围.、22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线的方程；（2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC和BC 的斜率之和为0.第22题Oxy F23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数的取值范围.上海市普陀区2013年高考二模数学试题（文科）参考答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21二.选择题题号 15 16 1718答案A CB C三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= (5)分函数)321cos(2)(π-=x x f ...... (6)分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分 20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 CD1A1B1C1DEF1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分（2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分所以54arccos1=∠E GA 即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx a a …（*） ……3分方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分（2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线：113--=-y x ，即直线的方程为03=-+y x …………………………4分（2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx k x k k k k解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。

上海市2013年高考模拟考试试卷(二模)文科数学试题

x , x ∈ [ 0, 24 ] ，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； x +1
2
（2）若用每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作 M (a ) ，求 M (a ) ；（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
开始输入 x 是
f ( x) > g ( x) 否 h( x) = g ( x)
．
3、直线 ax + 2 y + 3a = 0 与直线 3x + ( a − 1) y = a − 7 平行，则实数 a = 4、已知函数 y = f −1 ( x ) 是函数 f ( x) = 2 x −1 ( x ≥1) 的反函数，则
由余弦定理，得 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos π ，即 a 2 + b2 − ab = 3 ， ②
3
由①②解得 a = 1, b = 2 ．
21、解：（1） 2a + 2c = 4 + 2 3 ，
3 a = c， 2
求得 a = 2, c = 3, b = 1
所以椭圆方程为
x2 + y 2 = 1。 4
11、 15、A
16、C
17、B
18、C
三、解答题 1 1 1 4 × 2 × 2 = 2 ， V = S底 • h = × 2 × 2 = 2 3 3 3 （2）∵ PB / / EF ， ∠BPD 即为异面直线 EF 与 PD 所成角，
（1） h = PA = 2 ， S底 = 19、
PB = 2 2 ， BD = 2 2 ， PD = 2 2 π π ，即异同直线 EF 与 PD 所成角的大小为。 3 3 3 sin 2 x − 1 + cos 2 x − 1 = sin(2 x − π ) − 1 ， 20、解：（1） f ( x ) = 2 2 2 6 则 f ( x ) 的最小值是－2，最小正周期是 T = 2π = π ； 2

上海市16区高三二模数学文试题分类汇编4平面向量Word版含答案

上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）如图,△ABC是边长为1的正三角形,点P 在△ABC 所在的平面内,且++22||||PB PA a PC =2||(a 为常数).下列结论中,正确的是A .当10<<a 时,满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时,满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时,满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时,满足条件的点P 是有限个.2 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题）已知,4,33)3()(=+⋅+则a 与b 的夹角为)(A 6π3)(πB )(C 32π )(D 65π 二、填空题3 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）在平面直角坐标系xOy 中,以向量()21,a a a =与向量()21,b b b =为邻边的平行四边形的面积为____.4 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,有以下命题成立:设点,P Q 是线段AB 的三等分点,则有OP OQ OA OB +=+.将此命题推广,设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点,则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+ .C第18题5 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若圆C 的半径为3,单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ,点B 是圆上的动点,则e AB ⋅ 的最大值为___________6 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知ABC ∆的重心为O ,6,7,8,AC BC AB ===则AO BC ⋅=____________.7 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知12e e 、是夹角为2π的两个单位向量,向量12122,,a e e b ke e =-=+若//a b ,则实数k 的值为_____________. 8 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）在正△ABC 中,若2AB =,则AB AC ⋅=_____.9．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）在ABC∆中,1=AB ,2=AC ,2)(=⋅+,则ABC ∆面积等于__________.10．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5,则k 的取值范围是____________.三、解答题11．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分14分已知)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=,)2,(ππθ∈,且528||=+,求θsin 的值.12．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题）本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分.已知向量()1,1,m =向量n 与向量m 的夹角为34π,且1m n ⋅=-. (1)求向量n ;(2)若向量n 与(1,0)q =共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +的取值范围.QPO BA第13题图上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量参考答案一、选择题1. C2. C ;二、填空题 3.1221b a b a -; 4. 52; 5. 3 6. 283-; 7. 12-; 8. 2; 9. 23; 10. ]6,2[-三、解答题 11. )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+=+||b a 22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-)sin (cos 224θθ-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=4cos 12πθ. 由528||=+,得.2574cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ .25244cos 14sin 2±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθπθ 502314sin 4cos 4cos 4sin 44sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴ππθππθππθθ或50217 πθπ2<< ,.50231sin -=∴θ另解:(2sin cos ,sin cos )a b θθθθ+=-++ 222128(2sin cos )(sin cos )4cos )25a b θθθθθθ∴+=-+++=--=sin cos θθ∴-= ① 由298(sin cos )12sin cos 625θθθθ-=-=,得5272sin cos 0625θθ=>, 3(,)2θππ∴∈sin cos 25θθ∴+==- ② 由①、②得50231sin -=θ 12.解:(1)设(,)n x y =.由1m n ⋅=-,得1x y +=- ①又向量n 与向量m 的夹角为34π,得221x y += ② 由①、②解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,(1,0)n ∴=-或(0,1)n =-(2)向量n 与(1,0)q =共线知(1,0)n =-;由2B A C =+知22,,0333B A C A πππ=+=<< ()212cos ,cos cos ,cos 2C n p A C A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭, 2221cos 21cos 2cos cos 22A C n p C A --∴+=+=+ 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2510,2,1cos 2333332A A A πππππ⎛⎫<<<+<∴-≤+< ⎪⎝⎭, 得151cos 2234A π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭,即215,24n p ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭,2n p ⎡∴+∈⎢。

上海市16区高三数学二模试题分类汇编1 集合理

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若集合},4|{2R y x y x A ∈==,1{|0}2x B x x-=≥+,则A B =I A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.2 ．（2013届浦东二模卷理科题）从集合{}2013,,4,3,2,1Λ中任取3个元素组成一个集合A ,记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ,则210,,P P P 的大小关系为210)(P P P A == 210)(P P P B =>210)(P P P C =< 210)(P P P D >>二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ,则=A C U _____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B U ð=_______5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(理)已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ,若A B ≠∅I ,则实数a 的取值范围是____.6 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知集合A ={}2,1,2-,B ={}1,a a ,且B A ⊆,则实数a 的值是_______.7 ．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ,{}2|log 0N x x =>,则集合M N =I ________.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合参考答案一、选择题1. A2. B二、填空题[-;3. ]3,14. {3,5}5. )1,0(6. 11,2;7. ()。

(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语典型例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语典型例题单选题1、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|>3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D2、已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=（）A．{x|1<x≤2}B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4}D．{x|1<x<4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P∩Q=(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3、已知集合A ={x|x 2−3x −4<0},B ={−4,1,3,5}，则A ∩B =（）A ．{−4,1}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A ∩B ，得到结果.由x 2−3x −4<0解得−1<x <4，所以A ={x|−1<x <4}，又因为B ={−4,1,3,5}，所以A ∩B ={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.4、设a,b ∈R ，A ={1,a}，B ={−1,−b}，若A ⊆B ，则a −b =（）A ．−1B ．−2C ．2D ．0答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1， ∴a −b =0.故选：D.5、2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID -19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（）已知该患者不是无症状感染者．．．．．．．．．．．．．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据充分必要条件的定义判断．新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．故选：A．6、命题“∀1≤x≤2,x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4B．a≥5C．a≤4D．a≤5答案：B分析：根据命题是真命题，由∀1≤x≤2，a≥x2恒成立求解.因为命题“∀1≤x≤2，x2−a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5，故选：B7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知命题p:∃x∈(−1,3)，x2−a−2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为（）A ．(−∞,−2)B ．(−∞,−1)C ．(−∞,7)D ．(−∞,0)答案：A解析：由题可得命题p 的否定为真命题，即可由此求解.∵ p 为假命题，∴ ¬p:∀x ∈(−1,3)，x 2−a −2>0为真命题，故a <x 2−2恒成立，∵ y =x 2−2在x ∈(−1,3)的最小值为−2，∴a <−2.故选：A.9、若不等式|x −1|<a 成立的充分条件为0<x <4，则实数a 的取值范围是（）A ．{a ∣a ≥3}B ．{a ∣a ≥1}C ．{a ∣a ≤3}D ． {a ∣a ≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，令不等式的解集为A ，可得{x |0<x <4 }⊆A ，可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，设不等式的解集为A ，则{x |0<x <4 }⊆A ，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.10、下列命题是假命题的有（）A ．若x ∈A ，那么x ∈A ∩B B ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈AC ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪BD ．若x ∈A ，那么x ∈A ∪B答案：A分析：由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解对于A，若x∈A，那么x可能不属于B，故A错误；对于B，若x∈A∩B，则x是集合A和B的公共元素，那么x∈A，故B正确；对于C，若x∈A∩B，那么x∈A∪B，故C正确；对于D，若x∈A，那么x∈A∪B，故D正确．故选：A．填空题11、用∈或∉填空：0________N答案：∈解析：可知0是自然数，即可得出.∵0是自然数，∴0∈N.所以答案是：∈.12、已知命题“∃x∈R,mx2−x+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是_________.答案：m≥14解析：求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围若命题“∃x∈R,mx2−x+1<0”是假命题，则“∀x∈R,mx2−x+1≥0”为真命题，显然m=0时，不满足题意，故只需满足{m>0Δ=1−4m≤0，解得m≥1 4 .所以答案是：m≥14.小提示：本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在R上恒成立求参数的问题，属综合基础题.13、设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A的子集个数为________答案：16分析：先化简集合A，再利用子集的定义求解.解：A={0,1,3,9}，故A的子集个数为24=16，所以答案是：1614、已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是___________.答案：(−3,0]分析：分k=0与k≠0两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k的不等式组，由此可解得实数k的取值范围.已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题.当k=0时，则有−38<0恒成立，合乎题意；当k≠0时，则有{2k<0Δ=k2+3k<0，解得−3<k<0.综上所述，实数k的取值范围是(−3,0].所以答案是：(−3,0].小提示：名师点评利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)①f(x)>0在R上恒成立，则{a>0Δ<0；②f(x)<0在R上恒成立，则{a<0Δ<0；③f(x)≥0在R上恒成立，则{a>0Δ≤0；④f(x)≤0在R上恒成立，则{a<0Δ≤0.15、已知p:−1<x <3，q:−1<x <m +2，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______. 答案：(1,+∞)分析：由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 因为p 是q 的充分不必要条件，则{x |−1<x <3 }{x |−1<x <m +2 }，所以，m +2>3，解得m >1.因此，实数m 的取值范围是(1,+∞).所以答案是：(1,+∞).解答题16、已知集合A ={x|m −1<x <m 2+1}，B ={x|x 2<4}．（1）当m =2时，求A ∪B ，A ∩B ；（2）若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．答案：（1）(−2,5)，(1,2)；（2）−1<m ≤1分析：（1）当m =2时，A ={x|1<x <5}，B ={x|−2<x <2}，根据交集并集运算法则即可得解；（2）根据A 是B 的真子集，建立不等关系求解参数范围.（1）当m =2时，A ={x|1<x <5}，B ={x|−2<x <2}，A ∪B =(−2,5)，A ∩B =(1,2)；（2）若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，m −1≥m 2+1或{m −1<m 2+1m −1≥−2m 2+1≤2解得：−1≤m ≤1，因为m =-1时为充要条件，不合题意，所以−1<m ≤117、设全集U =R ，集合A ={x|1≤x ≤5}，集合B ={x|−1−2a ≤x ≤a −2}.(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，求实数a 的取值范围.答案：(1)a ≥7(2)a <13 分析：（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成B 是A 的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.（1）∵ x ∈A 是x ∈B 的充分条件， ∴A ⊆B ，又∵B ={x|−1−2a ≤x ≤a −2}，∴{−1−2a ≤1a −2≥5 ，∴{2a ≥−2a ≥7，∴a ≥7， ∴实数a 的取值范围为a ≥7.（2）∵命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，①当B =∅时，∴−1−2a >a −2，∴3a <1，∴a <13； ②当B ≠∅时，∵A ={x|1≤x ≤5}，B ={x|−1−2a ≤x ≤a −2}，且B 是A 的子集.∴{−1−2a ≥1a −2≤5−1−2a ≤a −2， ∴{a ≤−1a ≤7a ≥13 ，∴a ∈∅; 综上所述：实数a 的取值范围a <13. 18、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，使4x -3>x ；(3)∀x ∈R ，有x +1=2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．答案：(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析(4)答案见解析分析：根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．19、已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)A=∅；(2)A恰有一个元素.答案：(1)(1,+∞)(2){0,1}分析：(1)若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且Δ=4−4m<0，由此能求出实数m的取值范围．(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．（1）若A=∅，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且Δ=4−4m<0，所以m>1，实数m的取值范围是(1,+∞)；（2）若A恰有一个元素，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，，满足题意；讨论：①当m=0时，x=12②当m≠0时，Δ=4−4m=0，所以m=1．综上所述，m的取值范围为{0,1}．。

2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷(文科)含详解

2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．2．（4分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=．3．（4分）若正整数n使得行列式，则=．4．（4分）已知函数的值域为A，集合B={x|x2﹣2x＜0，x ∈R}，则A∩B=．5．（4分）已知，且，则sin2α=．6．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．7．（4分）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=．8．（4分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=．9．（4分）某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用最简分数表示）．10．（4分）满足条件的目标函数P=x2+y2的最大值是．11．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．12．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|P A|+|PB|的最大值为．13．（4分）如图，有以下命题成立：设点P，Q是线段AB的三等分点，则有．将此命题推广，设点A1，A2，A3，A4，A5是线段AB的六等分点，则++++=．14．（4分）如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：第一步，过点D任作一条直线与BC边相交于点E1，记∠CDE1=α1；第二步，作∠ADE1的平分线交AB边于点E2，记∠ADE2=α2；第三步，作∠CDE2的平分线交BC边于点E3，记∠CDE3=α3；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则用αn和αn+1表示的递推关系式是αn+1=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减17．（5分）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A．B．C．D．18．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．20．（14分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．21．（14分）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线A1C与B1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥C﹣ABC1的体积．22．（16分）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求的值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN 与x轴的交点是一个定点．23．（18分）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，b2k，b2k+1}（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求d k；（3）对（2）题中的d k，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f （x）．2013年上海市徐汇区、松江区、金山区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．【解答】解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=．【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题．【分析】当斜率相等但截距不相等建立等式关系，解之即可求出m使两直线平行．【解答】解：直线l2：y=3x﹣1的斜率为3∴直线l1：2x+my+1=0的斜率=3即m=故答案为：【点评】本题主要考查了两条直线平行的判定，解题的关键是根据两直线的斜率相等建立关系式，属于基础题．3．（4分）若正整数n使得行列式，则=42．【考点】D4：排列及排列数公式；O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】先根据根据二阶行列式的公式求出n的值，然后根据排列数公式求出的值即可．【解答】解：∵，即3n﹣n（2﹣n）=6，∴正整数n=2，则==7×6=42．故答案为：42．【点评】本题主要考查了排列数以及二阶行列式的求解，属于基础题．4．（4分）已知函数的值域为A，集合B={x|x2﹣2x＜0，x ∈R}，则A∩B=（1，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过函数的值域求出集合A，二次不等式求解得到集合B，然后求解交集即可．【解答】解：函数的值域为A=（1，3），集合B={x|x2﹣2x＜0，x∈R}={x|0＜x＜2}=（0，2），所以A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的值域与二次不等式的解法，交集的运算，考查计算能力．5．（4分）已知，且，则sin2α=．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα，再由二倍角公式求得sin2α=2sinαcosα的值．【解答】解：∵已知，且，∴sinα=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．6．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．7．（4分）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．【解答】解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．【点评】熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．8．（4分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型．【分析】由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9．（4分）某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加，最终将有3人上场比赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用组合的方法求出有3人上场比赛的所有方法和甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的方法，利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：有3人上场比赛的所有方法有C83=56有C63=20由古典概型的概率公式得甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是=．故答案为：．【点评】求一个事件的概率，关键是先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．10．（4分）满足条件的目标函数P=x2+y2的最大值是4．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划，我们可以先画出足约束条件的平面区域，再由目标函数P=x2+y2的几何意义：表示区域内一点到原点距离的平方，不难根据图形分析出目标函数P=x2+y2的最大值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图：∵目标函数P=x2+y2表示区域内一点到原点距离的平方，故当x=0，y=2时，P有最大值4故答案为：4【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．11．（4分）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限【解答】解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．12．（4分）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|P A|+|PB|的最大值为15．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|P A|+|PB|=|P A|+（2a﹣|PB'|）=10+（|P A|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|P A|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，|P A|+|PB|=|P A|+（10﹣|PB'|）=10+（|P A|﹣|PB'|）∵|P A|﹣|PB'|≤|AB'|∴|P A|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|P A|+|PB|的最大值为15故答案为：15【点评】本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B 和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．13．（4分）如图，有以下命题成立：设点P，Q是线段AB的三等分点，则有．将此命题推广，设点A1，A2，A3，A4，A5是线段AB的六等分点，则++++=．【考点】F3：类比推理．【分析】由给出的关系式得到，如果线段AB上的两点P，Q分别到A，B的距离相等，则有，点A1，A2，A3，A4，A5是线段AB的六等分点，可以看作是两对到A，B距离相等的点，其中还有一点是AB的中点，由此可类比得到结论．【解答】解：如图，类比点P，Q是线段AB的三等分点，则有，得：所以故答案为．【点评】本题考查了类比推理，类比推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比然后提出猜想的推理，是基础题．14．（4分）如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：第一步，过点D任作一条直线与BC边相交于点E1，记∠CDE1=α1；第二步，作∠ADE1的平分线交AB边于点E2，记∠ADE2=α2；第三步，作∠CDE2的平分线交BC边于点E3，记∠CDE3=α3；按此作法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则用αn和αn+1表示的递推关系式是αn+1=．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，2，2，，结合此规律进行归纳推理即可求解【解答】解：由题意可得，2即2即即…由以上规律可得，即故答案为：【点评】本题主要考查了归纳推理在实际问题中的应用，解题的关键是由前几项发现规律二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．【解答】解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同乘以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】11：计算题；27：图表型．【分析】本题的直观图是一个三棱锥，且存在同一点出发的三条棱两两垂直，由三视图的定义判断出其正视图形状即可【解答】解：由已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，由直观图可以看出，其正视图是一个直角三角形，水平的直角边长为3，与其垂直的直角边长为4由此特征知对四个选项逐一判断即可对于选项A，是从左往右看的投影，是侧视图，故不是其正视图对于选项B，符合三棱锥正视图的特征对于选项C，是从上往下看的投影，是俯视图，故不是其正视图对于选项D，不是三棱锥的三视图，故选：B．【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视，本题特征是据直观图选出正确的三视图．18．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故选：C．【点评】本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，△ABC的面积，求a+c的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由条件可知，根据△ABC的面积，求得ac=3，分B为锐角和钝角两种情况，由余弦定理求得a+c的值，综合可得结论．【解答】解：在△ABC中，由条件可知，，即，∵，∴ac=3．根据，若B为锐角，则cos B=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，于是，，∴a+c=4．若B为钝角，则cos B=﹣，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac cos B，得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，于是，，解得a+c=．此时，∵（a﹣c）2=（a+c）2﹣4ac=10﹣12=﹣2，矛盾，故a+c=是不可能的，即B不能为钝角，综上可得，a+c=4．【点评】本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（14分）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．【解答】解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．【点评】本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．（1）求异面直线A1C与B1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求三棱锥C﹣ABC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连接A1B，由三棱柱的性质得C1B1∥CB，从而得到∠A1CB（或其补角）是异面直线A1C与B1C1所成角．然后在△A1CB中计算出各边的长，再根据余弦定理算出cos∠A1CB=，即可得到异面直线A1C与B1C1所成角的大小；（2）由棱柱体积公式，算出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为2，而三棱锥C1﹣ABC与正三棱柱ABC﹣A1B1C1同底等高，得到，由此不难得到三棱锥C﹣ABC1的体积的值．【解答】解：（1）连接A1B，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1B1∥CB，∴∠A1CB（或其补角）是异面直线A1C与B1C1所成角．∵四边形AA1C1C与AA1B1B都是边长为2的正方形∴，△A1CB中根据余弦定理，得cos∠A1CB==因此，∠A1CB=，即异面直线A1C与B1C1所成角的大小为．（2）由题意得∵△ABC的面积S=，高CC1=2△ABC∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V=S△ABC×CC1=2而三棱锥C1﹣ABC与正三棱柱ABC﹣A1B1C1同底等高∴三棱锥C1﹣ABC的体积为，∵，∴三棱锥C﹣ABC1的体积为．【点评】本题给出所有棱长均相等的正三棱柱，求异面直线所成角并求三棱锥的体积，着重考查了异面直线所成角的求法和锥体、柱体体积公式等知识，属于中档题．22．（16分）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求的值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN 与x轴的交点是一个定点．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）设出双曲线方程，利用D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量，可得几何量，即可求双曲线C的方程；（2）分类讨论，直线方程与双曲线方程联立，利用向量知识，即可得出结论；（3）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，由EM⊥EN，可得结论．【解答】（1）解：设双曲线C的方程为，则a=1，又，得，所以，双曲线C的方程为．（2）解：当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），，所以=0．当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故==++9 k2+1=0．综上，=0．（3）证明：设直线MN的方程为：x=my+t，由，得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2（t2﹣a2）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，分由EM⊥EN，得（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=0，（my1+t﹣a）（my2+t﹣a）+y1y2=0即，，化简得，或t=a（舍），所以，直线MN过定点（，0）．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（18分）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，b2k，b2k+1}（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求d k；（3）对（2）题中的d k，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．【考点】84：等差数列的通项公式；8I：数列与函数的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由条件得，再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知，从而，．最后由2b2k﹣=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b_2k﹣1g（x），b2k+1依次成递增的等差1数列，即可求出公差为d k；（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）设当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z），有0＜x﹣3m≤3，由是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x﹣3m）=lg（x﹣3m），再设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（x N，y N），利用向量相等得到，从而建立坐标之间的关系，即可求出求f（x）．【解答】解：（1）由条件得，即所以．（2）由（1）可知，所以，．=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b2k﹣1g（x），b2k+1依次成递增的等由2b2k﹣1差数列，所以．（3）由（2）得A（1，4），B（2，16），即==（1，12）当3m＜x≤3（m+1）（m∈Z）时，g（x）=lg（x﹣3m），（0＜x﹣3m≤3），由y=g（x）是以3为周期的周期函数得，g（x）=g（x﹣3m）=lg（x﹣3m），设M（x，y）是函数图象上的任意点，并设点N的坐标为（x N，y N），则．而y N=lg（x N﹣3m），（3m＜x N≤3m+3（m∈Z）），于是，y+12=lg（x+1﹣3m），（3m＜x+1≤3m+3（m∈Z）），所以，f（x）=lg（x+1﹣3m）﹣12，（3m﹣1＜x≤3m+2（m∈Z））．【点评】本题考查等差数列、数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．。

上海市16区高三数学二模试题分类汇编16 其它选修部分

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编16：其它选修部分姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）直线⎩⎨⎧+=+=ty tx 121的倾斜角等于.A 6π .B 3π.C 21arctan .D 2arctan2 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）在xOy 平面上有一系列的点),(111y x P ,),(222y x P ,,),(n n n y x P ,, 对于所有正整数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图像上,以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切,且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切,若11=x ,且n n x x <+1.则=∞→n n nx lim 【】（）A ．0B ．0.2C ．0.5D ．1应的题号)内写出必要的步骤. 二、填空题 3 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）对于R x ∈,不等式a a x x 2122-≥++-恒成立,则实数a 的取值范围是________.4 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.5 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）在极坐标系中,直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长为___________6 ．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题）在极坐标系中,直线2sin()2cos 42πρθρθ-==与圆的位置关系是__________7 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）将参数方程2212cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数,R θ∈)化为普通方程,所得方程是____________________.8 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）在直角坐标系中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),其左焦点为F ,以原点O 极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中曲线:cos 6ρθΓ=,曲线Γ与C 相交于两点A 、B ,则ABF ∆周长为________.9 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若曲线Γ:⎩⎨⎧+=+=θθsin 32cos 31y x (θ为参数且323πθπ≤≤),则Γ的长度为___________. 10．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）在直角坐标系中,曲线C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数),以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=,曲线Γ与C 相交于两点A 、B ,则弦长AB 等于_________________.11．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 _______.12．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若,i j a 表示n n⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,33211111ΛΛΛΛM ΛM ΛΛΛ中第i 行、第j 列的元素,其中第1行的元素均为1,第1列的元素为n ，，Λ3,2,1,且1,11,,i j i j i j a a a +++=+(i 、1,,2,1-=n j Λ),则n a ,3=____________.13．（2013年上海市高三七校联考（理））线性方程组{230230x y x y --=++=的增广矩阵是________.14．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）方程组25038x y x y --=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为___________________________.15．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）如图,现将一张正方形纸片进行如下操作:第一步,将纸片以D 为顶点,任意向上翻折,折痕与BC 交于点1E ,然后复原,记11CDE α∠=;第二步,将纸片以D 为顶点向下翻折,使AD 与1E D 重合,得到折痕2E D ,然后复原,记22ADE α∠=;第三步,将纸片以D 为顶点向上翻折,使CD 与2E D 重合,得到折痕3E D ,然后复原,记33CDE α∠=;按此折法从第二步起重复以上步骤,得到12,,,,n αααL L ,则lim n n α→∞=___________.16．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中,常数项的值是20-,则23lim()n n a a a a →∞++++L =_______________.17．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1lim1=+∞→n nn S S , 则其公比q 的取值范围是__________.18．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）已知9)222(-x展开式的第7项为421,则23lim()nn x x x x →∞++++=L ________19．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-L (3)n n a x ++-L()n N *∈且012n n A a a a a =++++L ,则lim4nnn A →∞=___________.20．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）设nx )21(+展开式中二项式系数之和为n a ,各项系数之和为n b ,则=+-∞→nn nn n b a b a lim_____.21．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）{}n a 是无穷数列,已知n a 是二项式(12)(*)n x n N +∈的展开式各项系数的和,记12111n nP a a a =+++L ,则lim n n P →∞=____________.22．（2013届浦东二模卷理科题）记直线n l :01)1(=-++y n nx (*N n ∈)与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ,则=++++∞→)(lim 321n n S S S S Λ_______.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编16：其它选修部分参考答案一、选择题1. C ;2. C. 二、填空题3. ]3,1[-; 4. cos 3ρθ= 5. 23 6. 相离;7. 23y x =-+(22x -≤≤) 8. 829. π 10. 8;11. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02311212. 221212++n n13.()123213-- 14. 125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭;15. 6π 16. 14-17. (]1,0 18. 14-19.4320. 1-;21.12 22. 21。