数学物理方程 6特征线法

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数学物理方程的重点

一．无界问题的特征线法求解求解1.一维无界弦振动方程的达朗贝尔公式（特征线法在弦振动方程的应用）求解法 1.1齐次方程两端无界弦振动方程的求解齐次弦振动方程及初始条件：⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ其方程为+∞<<-∞>=-x t u a u xx tt ,0,02，其特征方程为022=-⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ，2,1c at x =±所以at x +=ξ，at x -=ηηξu u u x +=，ηξu a u a u t ⨯-⨯=，ηηξηξξu u u u xx ++=2，ηηξηξξu a u a u a u tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x u u u u a u xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x u x x G x F x u t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰ )(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x u -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ（1）此公式为达朗贝尔公式 1.2单侧无界弦振动齐次方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧>=>==>>=-0,0),0(),()0,(),()0,(0,0,02t t u t t x x u x x u x t u a u t xx tt ψϕ先求出对应双侧无界弦振动方程⎩⎨⎧ψ=Φ=+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x u x x u x t u a u t xx tt 其中要求)(),(x x ψΦ为奇函数又已知其右侧函数表达式可以求出求出左侧表达式⎩⎨⎧<--≥=Φ0),(0),()(x x x x x ϕϕ，⎩⎨⎧<--≥=ψ0),(0),()(x x x x x ψψ 将其带入达朗贝尔公式可求出对应双侧无界弦振动方程的解⎰+-ψ+-Φ++Φ=atx atx db b a at x at x t x u )(21)]()([21),( 只要令0)(21)]()([210),(,0=Φ+Φ-Φ⇒==⎰-db b a at at t x u x atat又令0>x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+---+>+-++=⎰⎰+--+-atx at x atx at x at x db b a at x at a a at x db b a at x at x t x u )(,)(21))](()([21,)(21)]()([21),(ϕϕϕϕϕϕ 此),(t x u 即为单侧无界弦振动齐次方程的解 1.3零初始条件的非齐次弦振动方程的求解⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x u x u t t x f u a u t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x u x u t u a u t xx tt 则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解（将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想）转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x u 0)()(0),(21),(),(τττττ 1.4有初始条件的非齐次无界弦波动方程的求解⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0),,(2x x u x x u x t t x f u a u t xx tt ψϕ 此方程要使用叠加原理进行求解设),(),(),(t x z t x v t x u +=其中分别满足以下方程⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-)()0,(),()0,(,0,02x x v x x v x t v a v t xx tt ψϕ（1）和⎩⎨⎧==+∞<<-∞>=-0)0,(,0)0,(,0),,(2x y x y x t t x f y a y t xx tt （2）对于方程（1），使用达朗贝尔公式可以求得：其特征方程为022=+⎪⎭⎫⎝⎛a dt dx ，2,1c at x =±所以at x +=ξ，at x -=ηηξv v v x +=，ηξv a v a v t ⨯-⨯=，ηηξηξξv v v v xx ++=2，ηηξηξξv a v a v a v tt 2222+-=)()()()(),(0042at x G at x F G F t x v v v v a v xx tt -++=+=⇒=⇒=-=-ηξξηξη由初始条件)()(')(')0,(),()()()0,(x x aG x aF x v x x G x F x v t ψϕ=-==+=来确定⎰=---xx dbb x G x G a x F x F a 0)()]0()([)]0()([ψ)0()0()(1)()(0x G x F db b a x G x F xx -+=-⎰ψ)()()(x x G x F ϕ=+)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x F xx ϕψ+-+=⎰)(212)0()0()(21)(0at x x G x F db b aat x F at x x ++-+=+⎰+ϕψ)(2)0()0()(21)(0x x G x F db b a x G xx ϕψ+---=⎰)(2)()()(21)(0at x at x G at x F db b a at x G atx x -+-----=-⎰-ϕψ)()(),(at x G at x F t x v -++=⎰+-+-++=atx atx db b a at x at x t x v )(21)]()([21),(ψϕϕ对于方程2，使用齐次化原理可以求得⎩⎨⎧==>=-0)0,(,0)0,(0),,(2x y x y t t x f y a y t xx tt 设);,(τt x w 为下面齐次方程的解⎩⎨⎧==>=-),(),(,0),(,02ττττx f x y x y t y a y t xx tt 则⎰=td t x w t x y 0);,(),(ττ为零初始条件的非齐次弦振动方程的解（将),(t x f 作用延时效果累积为将齐次化思想）转换计时器的初始时刻将齐次方程初始时刻换为0需要τ-=t t '可得0','>⇒>=t t dt dt τ 齐次方程可以化简为⎩⎨⎧===>=-0'),,()0,(,0)0,(0',0'2''t x f x w x w t w a w t xx t t τ 使用达朗贝尔公式可以求得⎰+-+-++='')(21)]'()'([21)',(at x at x db b a at x at x t x w ψϕϕ其中),()(,0)(τψϕx f x x ==则⎰-+--=)()(),(21),(τττt a x t a x db b f a t x w ⎰⎰⎰++--==t t a x t a x td db b f a d t x w t x y 0)()(0),(21),(),(τττττ最后，根据叠加原理求得⎰⎰⎰++--+-++-++=+=t t a x t a x at x at x d db b f a db b a at x at x t x y t x v t x u 0)()(),(21)(21)]()([21),(),(),(ττψϕϕττ1.5.无界弦振动方程的决定区域与影响区域决定区域：对于特定u(x,t)依赖的(x,t)的取值范围对于（x,t ）的取值能影响u(x,t)的取值范围为影响区域2.只含二阶导的2阶偏微分方程的特征线法求解 2.1只含二阶导的二阶偏微分方程的初步化简⎩⎨⎧===++)(),0(),(),0(0y y u y y u Cu Bu Au x yy xy xx ψϕ其特征方程为00,0222=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒-=⇒=+==++C dx dy B dx dy A dx dy dy dx d C B A y x y x y y x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ根据特征方程解的三种不同情况将其进行进一步的化简 2.2特征方程存在两个不同实根时的化简先用公式法求出特征方程两个不同的实根A ACB B dx dy 242-±=，g A AC B B dx dy =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛2421，e A AC B B dx dy =--=⎪⎭⎫⎝⎛24221c gx y +=2c ex y +=可以用换元法对此偏微分方程进行化简x A AC B B y 242-+-=ξxAACB B y 242---=η将其带入=++yy xy xx Cu Bu Au=ξηu例1.化简下列方程并求解⎩⎨⎧===-+σφ)0,(,)0,(032t u t u u u u x xx tx tt3/2)/(032032222=-+⇒=-+⇒=-+x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ03/2)/(03)/(2)/(22=--⇒=--+dt dx dt dx dt dx dt dx,0,0,3,10,0,0,1,13)2(,)2(22121242===-=======-=+-=+=--=+±=⇒±=+±=tt xt xx t x tt tx xx t x tx t t x t x t t x c t t x dt dx ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηηξξηξξηηξηξξηξηηξηξηξξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u xt xt x x tx xx xx x x xx tt tt tt tt x x x t t t 32)3()3(2)()(96)3(3)3(1,3--=++-+-=++=+++++=+-=++---=+=+=-=+=)()(),(00)369()646()321(32ηξξηηηξηξξg f t x u u u u u u u u xx tx tt +==⇒=--+---+-+=-+2.3当特征方程存在2个相等实根A B dx dy 2)(2,1=12c x AB y =-),0(,2≠=-=B y x A By ηξ 0,0·,0,00====⇒=xx yy u C u A B 或如例1化简下列方程44=++xx tx tt u u u4/4)/(044044222=++⇒=++⇒=++x t x t x x t t xx tx tt u u u ϕϕϕϕϕϕϕϕdtdx dx dt d x t x t //0-=⇒=+=ϕϕϕϕϕ2/,04/4)/(04)/(4)/(22==+-⇒=+-+dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx,0,10,2,1,,2========-===-=xt xx tt t x tt xt xx t x x t x ηηηηηξξξξξηξηηξηξξηξηηξηξξηηξηξξηξηηξηξξξξηξηηξηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηηξξu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u tx tx x t t x x t x t tx xx xx x x x x xx tt tt t t t t tt 222)(22422222---=+++++=++=++++==++++=0)480()880()4244(=⇒=+-++-+⨯-+ηηηηξηξξu u u u)2()2()()()(t x g t x xf g f u f u -+-=+=⇒=ξξηξη2.4当特征方程存在一对共轭复根时二．积分变换法求解无界一维波动方程、1维热传导方程和二维Laplace 方程 1.傅立叶变换的定义与性质 1.1傅立叶变换的定义)()())((w F dx e x f x f F iwx ==⎰+∞∞-1.2傅立叶变换的位移性质)()()()]([)(c x d ee c xf dx e c x f c x f F iwcRRc x iw iwx --=-=-----⎰⎰)()]([)()()]([)(w F e x f F e c x d e c x f e c x f F iwc Riwc c x iw iwc -----==--=-⎰1.3.傅立叶变换的相似性质dcx e cx f c dcx c ecx f dx ecx f cx f F Rcx c wi Rcx cw i Riwx⎰⎰⎰---===)(11)()()]([)(1)(1)]([1c wF c du e u f c cx f F u c wR ==-⎰1.3傅立叶变换的微分性质⎰⎰⎰-+∞∞-----===RiwxRiwx iwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )(|)()()('))('( )())(()())((0))('(w iwF x f iwF dx e x f iw dx e iw x f x f F Riwx iwx R===--=⎰⎰--⎰⎰⎰-+∞∞-----===Riwx iwx Riwx Riwx dex f e x f x df e dx e x f x f F )('|)(')(')(''))(''( )()())(()())('())(''(22w F iw x f F iw x f iwF x f F ===dx e x f iw e x f x df e dx e x f x f F iwx Rn iwx n n Riwx Riwx n n -------⎰⎰⎰+===)()()()())(()1()1()1()()()()())(()())(())((1)(w F iw x f F iw x f iwF x f F n n n n ===-1.3.傅立叶变换的乘多项式性质⎰⎰⎰---=-==R Riwx iwx iwx Rdx e x f dw di dx e x f dw d i dx e x xf x xf F ))(())((1)())(( ))(())((())(())((w F dwdi x f F dw d i dx e x f dw d ix xf F R iwx ===⎰- ⎰⎰⎰---===R Riwx iwx Riwxdx e x f dw d i dx e x xf dw d i dx ex xxf x f x F ))(())(()())((2222)())(())(())((2222222222w F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F R iwx iwx R===⎰⎰-- dx e x f x dwd idx e x f xx dx e x f x x f x F iwx n RRiwx n Riwx n n ))(()()())((11-----⎰⎰⎰=== ⎰⎰====--Rn nn n n n R iwx n n n iwx n n nnw F dw d i x f F dw d i dx e x f dw d i dx e x f dw d i x f x F ))(()))((())(())(())((1.4傅立叶变换积分性质由傅立叶变换的微分性质)())((x f dt t f dx dx=⎰∞- ⎰∞-=xdt t f iw x f F )())(()(1))((1))((w F iwx f F iw dt t f F x==⎰∞- 1.5傅立叶变换的卷积性质卷积定义式⎰-=*Rdt t x g t f x g f )()()(卷积公式1)()()(w G w F g f F =*先做卷积再变换系数不变证明：⎰⎰⎰⎰-----=-=*R iwt t x iw Riwx R Rdx e e dt t x g t f dx dte t x g t f x g f F )()()()()())((⎰⎰⎰⎰-----=-=*RRiwu iwt Rt x iw Riwt dt du e u g e t f dt dx e t x g e t f x g f F )()()()())(()()()())(())(())(()()(w G w F t f F u g F dt u g F e t f g f F Riwt ===*⎰-卷积公式2))()((2)()(x g x f F w G w F π=*先傅立叶变换再做卷积系数要乘系数2π 1.6 主要函数的傅立叶变换)(0,00,)(指数信号⎩⎨⎧<>=-x x e x f x β iw e iw dx e dx eex f F iw x iw x iwxx +=+-===∞++-+∞+-+∞--⎰⎰βββββ1|1))((0)(0)(02)(x ex f -=2.傅立叶变换法求解一维波动方程 2.1无界齐次波动方程的求解⎪⎩⎪⎨⎧==>∈=-)3)(()0,()2)(()0,()1(0,,02x x u x x u t R x u a u txx tt ψϕ 分别对（1）、（2）、（3）式进行傅立叶变换)4(0),()()),((0),()()),((22=+⇒=-t w F aw t w u F t w F iaw t w u F tt tt)5))((())0,((x F w u F ϕ=)6))((())0,((x F w u F t ψ=)7()()()),((21iawt iawt e w C e w C t w u F -+=将(5)、（6）代入（7）式⎩⎨⎧-=+=--iawtawt t iawtiawt e awiC e w awiC t w u F e w C e w C t w u F 2121)()),(()()()),(( ⎩⎨⎧=-=+))(()()())(()()(2121x F w awiC w awiC x F w C w C ψϕ ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)))((1))(((21)()))((1))(((21)(21x F iaw x F w C x F iaw x F w C ψϕψϕ iawt iawt e x F iawx F e x F iaw x F t w u F --++=)))((1))(((21)))((1))(((21)),((ψϕψϕ又由傅立叶变换的位移性质))(()())((x f F e dx e c x f c x f F iwc Riwx --=-=-⎰左边的项的位移系数可以求出at c iwat iwc -=⇒=-)8))(((21))((21at x F e x F iawt +=ϕϕ iwaw F w G at x G e w G e w G F e x F iwaiawt iawt iawt 2))(()()()())(())((21ψψ=+===用傅立叶变换的积分性质进一步化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞- ))((21))((1212))(()()(⎰+∞-===+=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x G w G ψψψ右边第一项的系数也可以用位移性质求出at c iwat iwc =⇒-=-))((21))((21at x F e x F iwt -=-ϕϕ iwaw F w H at x H e w H e x F iwaiwat iwat 2))(()()()())((21ψψ=-==--继续用傅立叶变换积分性质来化简))((1))(()())((x f F iw dy y f F x f dy x f dx d xx =⇒=⎰⎰∞-∞-))((21))((1212))(()()(⎰-∞-===-=atx dy y F a w F iw a iwa w F at x H w H ψψψ 四项全部求和 )))((21))(((21)))((21))(((21)),((⎰⎰-∞-+∞---+++=atx at x dy y F a at x F dy y F a at x F t w u F ψϕψϕ ))((21))(()(((21)),((⎰+-+-++=atx atx dy y F a at x F at x F t w u F ψϕϕ 对此式施加傅立叶逆变换 ⎰+-+-++=at a at x dy y a at x at x t x u )(21))()((21),(ψϕϕ 2.2非齐次方程的无界波动方程（不用齐次化原理）2.3半无界波动方程的求解3.傅立叶变换法求解一维热传导方程4.傅立叶变换法求解2维Laplace 方程place 变换的定义与性质place 变换求解一维波动方程place 变换求解一维热传导方程place 变换求解2维Laplace 方程二．有限边界的分离变量法求解（正弦初始条件以及二次初始条件）1.第一类边界条件和第二类边界条件第三类边界条件的特征值问题2.齐次化方程（可以用傅里叶级数展开或用齐次化原理）3.齐次化边界条件4.齐次方程，齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子5.齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子6.非齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子7.非齐次方程，非齐次边界条件第一类边界条件和第二类边界条件的波动方程和热传导方程推导与例子8.圆域LAPLACE 问题求解9.矩形域Laplace 方程。

高等数学中的偏微分方程方法

高等数学中的偏微分方程方法偏微分方程是数学中的一类非常重要的方程。

它们广泛应用于物理、工程和其他领域中，如热传导、电路等等。

因此，研究偏微分方程的方法和技巧尤为重要。

在高等数学中，有许多关于偏微分方程的方法，下面我们来介绍其中的几种。

1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程的一种常用方法。

这种方法的基本思想是假设解可以表示为形式为x、y、z等变量的函数之积的形式，然后通过代入相关偏微分方程中去求解出每个变量的解，最终将这些解组合起来得到总体解。

以拉普拉斯方程为例，其定义如下：$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$假设解为$u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，则可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partialx^2}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partialy^2}+\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=0$由于等式左边是一个只关于x的函数与一个只关于y的函数之和，所以这个等式必须等于常数k。

因此，我们可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=k_1$，$\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}=k_2$，$\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=k_3$然后我们可以对每一个方程分别求解得到：$X(x)=Ae^{\sqrt{k_1}x}+Be^{-\sqrt{k_1}x}$，$Y(y)=Ce^{\sqrt{k_2}y}+De^{-\sqrt{k_2}y}$，$Z(z)=Ee^{\sqrt{k_3}z}+Fe^{-\sqrt{k_3}z}$最终得到的总体解形式为：$u=\sum_{n=1}^{\infty} C_ne^{(-\sqrt{k_1^2+k_2^2+k_3^2})r}sin(n_1x)sin(n_2y)sin(n_3z)$2. 特征线法特征线法是一种常用于解决一阶偏微分方程的方法。

偏微分方程的分类与求解方法

偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。

一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。

常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。

2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。

3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。

二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。

下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。

它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。

2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。

它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。

3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。

常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。

数学物理方程--- 6 特征线法共28页PPT资料

数解之，得
第
学
物理又
u2t2ctc2 x3t c，则
六章
方程
u2 t2 (x 3 t)t (x 3 t)2
特征
2 t2 x t 3 t2 x 2 6 x t 9 t2
线
x28t25xt
法
此解法关键之处是找到直线 x3t c ，偏微分方程转化为
常微分方程。直线 x3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
有
数学3u3(uu)ut 3ux xt
物
理方
程所以
3u
3u

4
3
.

43
3
.
即
u

4
9

1.
9
对两边积分，可得
第六章特征线法
u221g(),
99
其中，g ( ) 为一个可微函数。
由
u(,)221g(),
西安交通大学数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题
ut (xcost)ux0,t0,x (6)
数
u(x,0)11x2,x
(7) 第
学物理
解
方程(6)式的特征方程为 dx xcost 0, dt
而过点 ( , 0 )
六章
方的特征线就是下面问题的解
理
dt
第六章
方
程称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
特征
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数线
c，即为特征线的初始值x ( 0 ) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，法

特征线法

3
分解成两个一阶的方程:
∂u1 − a ∂u1 = v, ∂t ∂x ∂v ∂v
+ a = 0. ∂t ∂x
根据初值条件, 给出 u1 以 v 在 t = 0 上的初值条件
(1-1) (2-1)
u1(x, 0) = 0, v(x, 0) = ϕ(x).
(1-2) (2-2)
求得特征线, 它们分别是常微分方程 ∂x = −a, ∂t
微分算子可以分解为
∂ ∂∂ ∂
+a ∂t ∂x
−a ∂t ∂x
u1 = 0
(**)
可以把原方程
∂ ∂ ∂ ∂
+a
−a
∂t
∂x
∂t
∂x
u1(x, 0),
∂ ∂t
u1(x,
0)
=
ϕ(x),
u1 = 0,
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
v(x, t) = ϕ(x − at).
4
再由另一个方程得
t
u1(x1(t), t) = ϕ(x1(τ ) − aτ )dτ.
0
从 x1(t) = c − at 推出
t
1 c−2at
1 x+at
u1(x, t) =
ϕ(c − 2aτ )dτ = −
0
2a
c
ϕ(ξ)dξ =
ϕ(ξ)dξ.
2a x−at
• 沿着特征线将原方程化为关于 u = u(x(t, c), t) 的常微分方程 (其中 c 为参数), 并求出 u = u0(t, c)
• 从特征线方程解出 c = ϕ(x, t), 所求的解为 u = u0(t, ϕ(x, t))

数学物理方程复习

习题课和总复习鉴于数学物理方程课程对大多数同学来讲有一定的学习难度，为帮助同学们较好地掌握本课程的基本内容和定解问题主要的求解方法，下面将这学期的教学内容进行总结，并提出每部分的教学基本要求。

希望同学们能够参考下面总结《一》到《四》的具体要求安排好个人的复习计划，认真看书（结合以往的作业题）和总结；也希望同学们之间能够加强讨论并积极地参加答疑。

祝同学们学习愉快并取得考试好成绩！《一》特征线方法掌握两个自变量一阶线性方程的解法：三步，求出特征线族；在特征线上求解原问题；代入求出原问题的解。

如书上269P 例1.1；276P 第1题。

(新书107P 例6.1；118P 第1题) 《二》格林函数法1. 记住基本解0(,)p p Γ， 0(,),(,)p p x y ξη或0(,,),(,,)p p x y z ξηζ。

2. 记住并会证明格林第三公式：0()()u u p u ds udV n n ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 【在()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 取00\(,),(,)B p v p p εεΩ=Ω=Γ 0(,)()()()B p u uu u dV uds u ds n n n n εεΩ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂⇒∆Γ-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，利用 0, in ε-∆Γ=Ω和当0ε+→时000(,)(,)(),0B p B p uuds u p ds n n εε∂∂∂Γ∂→Γ→∂∂⎰⎰⎰⎰即可】由此可得 0()()u Gu p Gu ds G udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，和如下问题解的表达式 , , u f in u on ϕ-∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩ ⇒0()Gu p ds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰。

在这里要注意，0p ∈Ω固定而动点为p 。

3.掌握利用对称法求格林函数的方法，如半空间，半平面和圆域等。

数学物理方程6特征线法

x
(1) (2)
西安交通大学数学与统计学院
特征线 x 3t c 是方程 dx 3 0 的解，方程
dx 3 0
dt
称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。
dt
数沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特第
学物征线法的基本思想。
理方
对定解问题（1）（2）
程
uut(
3ux x t, 0 t x, 0) x2, x
代入
3
ut 3ux x t
有
数学3u 3(u u ) ut 3ux x t
物
理方
程所以
3u
3u
4
3
.
43 .
3
即
u
4
9
1.
9
对两边积分，可得
第六章特征线法
u 22 1 g( ),
99
其中，g() 为一个可微函数。
由
u( ,) 2 2 1 g( ),
第6章特征线法
数
第
学
六
物理
章
方程
特征
线
法
本章中心内容
特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程
西安交通大学数学与统计学院
Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双
数学物理曲为一人维型们不偏所定微用常分。流方电和程子二组计维的算定似机常方出流法现等。以问它后题产，中生又得较得到早到了，了广19进泛世一的纪步用末的。已发经展有，效在地第六章
0,
程
dx
x
cos t
0, t
0
dt

数学物理学中的偏微分方程

数学物理学中的偏微分方程偏微分方程是数学物理学中的一类重要的方程，它们描述了一些物理现象和过程的演化和变化。

在自然科学和工程技术领域中，偏微分方程经常被用来建模和求解各种各样的问题，如流体力学、电磁学、声学、热力学、生物学等等。

一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是描述多个独立变量间关系的微分方程。

一般地，对于一个二元函数$u(x,y)$，如果它所满足的方程关系为$$F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partialy},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partialy^2},\cdots)=0$$其中$F$为已知函数，则称此方程为偏微分方程。

上式中的$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partialy}$分别表示$u(x,y)$对$x$和$y$的偏导数，$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$和$\frac{\partial^2u}{\partialy^2}$分别表示$u(x,y)$对$x$和$y$的二阶偏导数。

二、偏微分方程的分类偏微分方程可以按照方程的类型被分为很多种类，比如双曲型、抛物型、椭圆型和混合型。

不同类型的偏微分方程之间具有非常不同的性质和解法。

1. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程描述了波动方程，具有强烈的方向性，解的行为受到初始数据和边界条件的影响。

它们的通解通常可以通过变量分离法或者分离变量组合法得到。

2. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程描述了热传导和扩散现象，其解的行为随着时间的增长而趋于稳定。

它们通常需要时间和空间上的整体控制条件来保证存在唯一的解。

3. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程描述了稳态热传导和电势分布现象，具有强烈的平滑性和正则性。

偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法

偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中一种重要的方程类型，在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

掌握偏微分方程的基本概念与解法对于深入理解和应用相关领域的知识至关重要。

本文将介绍偏微分方程的基本概念，并详细讨论几种常见的偏微分方程解法。

一、偏微分方程的基本概念在介绍偏微分方程的解法之前，我们有必要先了解一些偏微分方程的基本概念。

偏微分方程是包含多个未知函数的方程，这些未知函数的导数以及它们本身都可能出现在方程中。

偏微分方程通常用来描述物理、化学、工程等自然科学领域中的过程和现象。

常见的偏微分方程类型包括椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程。

椭圆型方程常用于描述稳态问题，如静电场分布；双曲型方程常用于描述波动传播过程，如声波、电磁波的传播；抛物型方程常用于描述热传导、扩散以及其他变化速度较慢的现象。

二、偏微分方程解法1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程中常用的一种方法。

它适用于一些特定的偏微分方程类型，如线性齐次方程。

分离变量法的基本思想是假设待求解函数可以表示为若干个单变量函数的乘积形式，然后将原方程中的导数进行分离，并且令各个单变量函数分别等于常数。

通过求解这些常数，再将各个单变量函数组合起来，得到最终的解函数。

2. 特征线法特征线法常用于解决双曲型方程。

该方法通过分析偏微分方程的特征线和特征曲面来求解方程。

首先，通过特征曲线对自变量进行参数化，并将其代入原方程，得到关于未知函数的常微分方程（ODE）。

然后，通过求解此常微分方程，得到未知函数的一般解。

最后，通过特征线与边界条件的关系确定未知常数，得到特定的解。

3. 变换法变换法是通过对偏微分方程进行变量变换，将原方程转化为更简单的形式，从而求解方程的方法。

常见的变换方法有齐次化变量、特征变量法等。

通过适当的变量替换，可以将原方程转化为常微分方程、分离变量的偏微分方程或者恒定系数的变系数常微分方程。

数学物理方程--- 6 特征线法

西安交通大学数学与统计学院
第六章特征线法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数学物理方程
4
第方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。特征注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数线法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。为了避免和常数c混淆，下面用变量代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、、c 和 f 均为自变量 x 、的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
西安交通大学数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数第学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六物解方程(6)式的特征方程为章 dt 理方的特征线就是下面问题的解特程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学数学与统计学院所以(11)源自第六章特征线法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2

偏微分方程解法

偏微分方程解法一、概述偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

解决偏微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是数值解法和解析解法。

本文将重点介绍偏微分方程的解析解法。

二、基本概念1. 偏微分方程：含有多个自变量和它们的偏导数的方程。

2. 解析解：能够用一定的代数式或函数表示出来的解。

3. 常微分方程：只含一个自变量和它的导数的方程。

4. 偏微分方程分类：（1）线性偏微分方程：各项次数之和为1或2。

（2）非线性偏微分方程：各项次数之和大于2。

5. 解析解法分类：（1）可分离变量法（2）相似变量法（3）积分因子法（4）特征线法（5）变换法三、可分离变量法可分离变量法是求解一类特殊形式线性偏微分方程最常用的方法，其基本思想是将未知函数表示成各自变量之积，然后将其带入原偏微分方程中得到一组常微分方程，再求解这些常微分方程，最后将得到的解代回原方程中即可。

以一阶线性偏微分方程为例：$$\frac{\partial u}{\partial t}+a(t)u=b(t)$$其中$a(t)$和$b(t)$为已知函数，$u=u(x,t)$为未知函数。

将未知函数表示成各自变量之积：$$u=X(x)T(t)$$将其带入原方程中得到：$$XT'+aXT=bXt$$将$X$和$T$分离变量并整理得到：$$\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=\frac{1}{at+b}-\frac{c}{X}$$其中$c$为常数。

对上式两边同时积分得到：$$ln|X|=ln|at+b|-ct+D_1,D_1为常数。

$$即可得到$X(x)$的解析解。

同理，对于$T(t)$也可以通过可分离变量法求出其解析解。

最后将$X(x)$和$T(t)$的解代入原方程中即可得到未知函数$u=u(x,t)$的解析解。

四、相似变量法相似变量法是一种适用于非线性偏微分方程的方法，其基本思想是通过引入新的自变量和因变量，将原偏微分方程转化成一个形式相似但更简单的方程，从而求出原方程的解析解。

特征线法

t
则有：0
dU
t
0
2a
c2
a
' 2a
c2
d
U
t
U
0
1 2a
t 0
2a
c2
a
' 2a
c2
d
2a
c2
特征线法 2020-5-15
Huafeng Zhang
School of Physical Science and Technology, Yangtze University
U
t
U
0
1 2a
如果x=x(t)，则
u(x,t) u x(t),t U t
u
t
x,t u
x
x,t u
f
x,t
u t0 x
对上式求关于t的导数
dU u x u t u u dx dt x t t t t x dt
假设x(t)对t的依赖关系可以表示为：
dx dt
x t
, t
考虑方程 u x,t u x,t u f x,t ，得：
t
0
2a
c2
Байду номын сангаас
a
' 2a
c2
d
2a
c2
1 2a
2at c2 c2
a
'
d
1 2a
x at x at
a
'
d
1 2
x
at
x
at
1 2a
xat d
xat
利用 U t0 x at 可得：
u
x, t
U
t
1 2
x

14第六章波动方程的特征线法.pdf

utt −=
a 2u xx 0,
t > 0, 0 < x < ∞
(1)

=
ut ( x, 0) ψ ( x), x ≥ 0 (2)
u ( x, 0) ϕ ( x) ,=
u=
(3)
(0, t ) 0 , t ≥ 0
解：先考虑一个辅助问题
utt −=
a 2u xx 0,
t > 0, − ∞ < x < ∞

u | x − at =
=
0 ϕ ( x) , x ≥ 0
u |
=
x =0 h(t ) , t ≥ 0
解：易得其中方程的解的形式为
u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at )
为确定函数和，利用定解条件有
ϕ=
( x) f (0) + g (2 x)
u ( x=
可得
1 x + at
u ( x, t ) =
ψ (α )dα
∫
2a x − at
此即达朗贝尔公式在 = 的表达式。
1
1 x + at
=
u
[ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )] + ∫ x−at ψ (α )dα
2
2a
例1. 求定解问题
0
utt − a u xx =
(2).当 − < 时，即 >

时，有

Φ ( x − at ) =
−ϕ (at − x)
而 + > ,故有 + = ( + )。

偏微分方程的分类与求解

偏微分方程的分类与求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域中描述自然现象和科学问题的数学模型中。

本文将对偏微分方程进行分类，并探讨其求解方法。

一、偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中未知函数的个数、方程阶数以及方程系数的特性可以进行多种分类。

下面将介绍常见的几种分类方式：1. 常见的偏微分方程类型（1）椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程通常用于描述稳定状态或静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程。

（2）双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程适用于描述波动现象，如波动方程和传输方程。

（3）抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程用于描述时间和空间变量的关系，如热传导方程和扩散方程。

2. 方程阶数（1）一阶偏微分方程一阶偏微分方程包含一阶导数项，如一阶线性可分离变量方程和一阶线性非齐次方程。

（2）二阶偏微分方程二阶偏微分方程包含二阶导数项，如二阶线性齐次方程和二阶非线性方程。

3. 方程系数的性质（1）线性偏微分方程线性偏微分方程中未知函数及其导数项的系数都是线性的，如线性波动方程和线性热传导方程。

（2）非线性偏微分方程非线性偏微分方程中未知函数及其导数项的系数存在非线性关系，如非线性波动方程和非线性扩散方程。

二、偏微分方程的求解方法求解偏微分方程是一项复杂的任务，需要结合方程的特性和求解方法进行分析。

下面介绍几种常见的途径：1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的线性偏微分方程，通过假设未知函数可以表示为一系列不同变量的乘积形式，然后通过利用分离后的方程进行求解。

2. 特征线法特征线法适用于一些特殊的非线性偏微分方程，通过寻找方程中的特征线，将原偏微分方程化为一系列常微分方程，再进行求解。

3. 变换方法变换方法可以通过引入新的变量或变换，将原偏微分方程转化为另一种形式的方程，从而简化求解过程。

4. 数值方法数值方法是一种通过离散化空间和时间，利用计算机进行逼近求解的方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。

数学物理方程速成

数学物理方程速成数学物理方程是描述自然界中运动、能量、力、热等现象的数学公式。

这些方程在物理学、工程学、天文学等领域中具有重要的应用和意义。

通过学习和掌握这些方程，可以更好地理解自然现象，同时也为人们解决实际问题提供了有效的工具。

以下是一些常见的数学物理方程：1. 牛顿第二定律：F= ma牛顿第二定律是描述物体运动的基本方程，其中F表示物体所受的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

该方程表明，当物体所受的力发生变化时，物体的加速度也会发生变化。

2.费马定律：δS/δt=0费马定律是描述光线传播的基本原理，其中S表示光线所需的路径，t表示光线需要经过的时间。

该定律表明，光线的传播路径在满足时间最短的情况下会尽可能地保持直线传播。

3.欧姆定律：V=IR欧姆定律是描述电路中电流、电压和电阻之间关系的基本方程，其中V表示电压，I表示电流，R表示电阻。

该方程表明，电流与电压成正比，与电阻成反比。

4. 波动方程：y(某,t)= Asin(k某-ωt)波动方程是描述波动现象的基本方程，其中y表示波的位移，某表示空间坐标，t表示时间，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率。

该方程表明，波在空间和时间上都是周期性变化的。

5.热传导方程：∂u/∂t=k∂²u/∂某²热传导方程是描述热传导现象的基本方程，其中u表示温度，t表示时间，某表示空间坐标，k表示热传导系数。

该方程表明，温度随着时间和空间的变化而发生变化。

以上是一些常见的数学物理方程，它们构成了物理学中的基础知识和理论框架。

学习和掌握这些方程可以让我们更好地理解自然现象，同时也为我们解决实际问题提供了有效的工具。

特征线理论及应用

F1 A2
du
A1 u dx y A1
F1 du A2 A1du F1dx A1dy A2 dx
du dy F1dy A2 du u x A1dy A2 dx A1 A2 dx dy
dx dy
上两式表明：即沿着特征线，
沿着特征线，分母和分子均为零。
定义
dp G c
G 1 p t c t G 1 p x c x
v 1 p v 1 p (v c) (v c)( )0 t c t x c x
则
基本方程化为以vG 为新的未知函数的偏微分方程：
( v G ) ( v G ) (v c ) 0 t x
其相容方程的解为：
2 v c J 1
结论：
沿着特征线
2 dx c J v c, v 1 dt
dx v c, dt
(黎曼不变量)
沿着特征线
2 v c J 1
(黎曼不变量)
特征线的基本性质 1）一维非定常流动中，平面x-t上任一点，都有两条不同族的特征线，沿各特征线有各自不同的黎曼不变量； 2）特征线上参量v,c,p,…的一阶导数可以不连续，但这
基本方程与黎曼不变量（以一维等直截面管为例）（连续方程）
基本方程
v v 0 t x x
（动量方程）
v v 1 p v 0 t x x
等熵流动中只有一个状态参量独立：
( p)
d 1 d ( ) s dp 2 dp dp c
u u A1 A2 F1 0 x y
该方程对应的系数：A1=1, A2=2x, F1=－3x2
则特征线方程为：

偏微分方程特征线

偏微分方程特征线
偏微分方程是数学中一个重要的分支，它主要研究多个自变量的函数与它本身的偏导数之间的关系。

而针对偏微分方程的解法之一就是特征线法。

特征线法是求解偏微分方程的一种重要方法，特征线即是方程中相邻两个自变量差异最大的直线。

在特征线法中，我们需要根据偏微分方程中的自变量与函数的关系方程式，计算得到方程的特征线，再沿着这些特征线对方程进行求解。

在具体实践中，我们通常会分别求解偏微分方程的特征方程和特解。

特征方程即是特征线所满足的微分方程，而特解则是根据特征线所计算出的方程式，求得的偏微分方程的实际解法。

特征线法是偏微分方程中一种非常重要的求解方法，同时也是许多实际问题的必备工具。

通过对特征线的计算和分析，可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质及其解法，也可以帮助我们更好地解决一些实际问题，如热传导、流体力学等领域。

偏微分方程组

偏微分方程组引言偏微分方程组是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、金融等领域。

本文将介绍偏微分方程组的基本概念和解法，以及其在实际问题中的应用。

一、偏微分方程组的定义和分类偏微分方程组是包含多个未知函数及其偏导数的方程组。

其一般形式可以表示为：F(u1,u2,...,u n;∂u1∂x,∂u2∂x,...,∂u n∂x;∂u1∂y,∂u2∂y,...,∂u n∂y;...;∂n u1∂x n,∂n u2∂x n,...,∂n u n∂x n;...)=0其中u1,u2,...,u n是未知函数，x,y,...是自变量，∂u i∂x ,∂u i∂y,...,∂u i∂x n是偏导数。

常见的偏微分方程组包括椭圆型、双曲型和抛物型方程组。

具体分类和性质如下：1. 椭圆型方程组椭圆型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的。

椭圆型方程组的特点是解的正则性较好，在边界上的条件较容易给出。

常见的椭圆型方程组有拉普拉斯方程、泊松方程等。

2. 双曲型方程组双曲型方程组满足以下条件：在每个点上，存在至少一个特征值的实部是正的，至少一个特征值的实部是负的。

双曲型方程组的特点是解的传播速度有限，存在波动解。

常见的双曲型方程组有波动方程、传热方程等。

3. 抛物型方程组抛物型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的且至少有一个特征值的实部是为零。

抛物型方程组的特点是解的传播速度无穷大，并且存在各种稳定解。

常见的抛物型方程组有热传导方程、扩散方程等。

二、偏微分方程组的解法解偏微分方程组是一个复杂的问题，常用的解法有以下几种：1. 变量分离法变量分离法是一种基本的解偏微分方程组的方法。

通过假设解可以表示为各个变量的乘积形式，然后将方程组代入，并使得每个变量对应的方程都成立。

最终得到的解是原偏微分方程组的解。

2. 特征线法特征线法适用于特殊的偏微分方程组，其中每个方程可以写成特定形式。

该方法的基本思想是将偏微分方程组转化为常微分方程组，并通过求解常微分方程组得到原偏微分方程组的解。

偏微分方程的基本方法

偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解决偏微分方程的问题是这些领域中的关键任务之一。

本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和应用。

一、偏微分方程的分类偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两大类。

1. 线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。

常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。

求解线性偏微分方程的方法主要包括分离变量法、变换法和特征线法等。

2. 非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。

非线性偏微分方程的求解相对复杂，常用的方法有变分法、数值方法和对称性方法等。

二、偏微分方程的求解技巧1. 分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程的常用方法。

它的基本思想是将多元函数的偏导数分离成各个变量的函数乘积，从而将偏微分方程转化为一系列常微分方程。

通过求解这些常微分方程，再将其合并，即可得到原偏微分方程的解。

2. 变换法变换法是通过引入适当的变换，将原偏微分方程转化为更简单的形式，从而求解。

常见的变换方法有特征变量法、相似变量法和积分变换法等。

3. 特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程。

它的基本思想是通过沿着特征线进行变量替换，将原偏微分方程转化为常微分方程，从而求解。

4. 变分法变分法是求解非线性偏微分方程的重要方法。

它利用变分原理和变分运算，通过对泛函进行极值问题的求解，得到偏微分方程的解。

5. 数值方法数值方法是求解偏微分方程的一种有效途径。

常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法将偏微分方程离散化为代数方程组，通过数值计算得到近似解。

三、偏微分方程的应用偏微分方程在科学研究和工程实践中有广泛的应用。

数学物理方程 6特征线法

数学物理方程的重点

高等数学中的偏微分方程方法

偏微分方程的分类与求解方法

数学物理方程--- 6 特征线法 共28页PPT资料

特征线法

数学物理方程复习

数学物理方程6特征线法

数学物理学中的偏微分方程

偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法

数学物理方程--- 6 特征线法

偏微分方程解法

特征线法

14第六章波动方程的特征线法.pdf

偏微分方程的分类与求解

数学物理方程速成

特征线理论及应用

偏微分方程特征线

偏微分 方程组

偏微分方程的基本方法

数学物理方程--- 6 特征线法共28页PPT资料

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