高斯求和(二) - 360文档中心

高斯求和公式,分组计算

整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。

和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。

（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。

二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。

高斯求和法

高斯求和法
若干个数按一定顺序规律排列起来就是一个数列。

如果这个数列中任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。

其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。

相邻两个数之间的差称为公差，这数列中数的个数称为项数。

求和公式为：
等差数列的和=（首项+末项）项数2
项数=(末项-首项) 公差+1
末项=首项+公差（项数-1 ）
首项=末项-公差（项数-1）
例题（1）1+2+3+4+5+……+19+20
(2)2+4+6+8+……+48+50
(3)第一行放了一颗糖，二行放了2颗糖，三行放了2颗糖，以此类推，四十行放了2颗糖，第一到四十行一共放了多少颗糖？
（4）有一列数按如下规律排列：10、17、24、31……..这列数中前80个数的和是多少？
（5）有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……..这列数中前24个数的和是多少？
(6)(2+4+6+.........+2012)-(1+3+5+ (2011)
(7)(7+9+11+.......+25)-(5+7+9+. (23)
(8)1+2-3+4+5-6+7+8-9+…….58+59-60。

小学奥数——高斯求和专项讲解

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跟找规律求和：
张
1+2+3=6=2×3
老
1+2+3+4+5=15=3×5
师
1+2+3+4+5+6+7=28=4×7
学
小
1+3+5=9=3×3
学
1+3+5+7+9=25=5×5
奥
1+3+5+7+9+11+13=49=7×7
数
规律：等差数列的和=中间数×项数
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师
示
举例： 1,3,5,7,9……
学
小公差d=__2___ 首项a1=__1____
学 a1=1 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
奥
a10=a1+_9_×__d a20=_a_1_+19__×__d
数
a100=a1+9_9_×__d an=_a_1_+_9_9_×__d
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数 =50
=100 × 50÷2 =5000÷2
=2500
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跟例题解析：
张
（3）电影院的第1排有10个座位，以
老
后每排比前一排多一个座位，电影
师
院共20排，一共有多少个座位？
学
a1＝10， d＝1 ,n＝20
小
学
an=a1+(n-1)d
=10+(20-1)×1
S=（a1+an） ×n ÷2 =（10+29）× 20÷2

四年级上学期数学新思维(8)高斯求和(2)

四年级上学期数学新思维（8）---高斯求和（二）情景导入：前面我们已经研究了等差数列，还记得求和、项数、末项和公差的具体计算方法吗?老师给出一个等差数列：5，8，11，14，17，20。

8是怎样得来的？（5+3）11呢？（5+3×2）20呢？（5+3×5）你发现了什么？（有几个空就加几个3）我们要灵活的运用它们之间的关系解决问题。

例1．小明同学在数18和30之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，你知道插入的这5个数分别是多少吗？解：设公差为d18+6d=30，d=25个数分别是20、22、24、26、28。

【例2】某电影厅有25排座位，第一排有20个座位，以后每一排都比前一排多2个座位，这个电影厅一共有多少个座位？解：最后一排座位数是：（25-1）×2+20=68（个）座位数：（20+68）×25÷2=1100（个）。

【例3】小马虎在计算从1到20的连续自然数的和时，把其中一个数漏掉了，得出的和是200，请你帮助他找出漏掉的数。

解：1-20相加的和：(1+20)×20÷2 =210，漏掉的数是：210-200=10。

【例4】小马虎在计算从1开始的连续自然数的和时，把其中一个数漏掉了，得出的和是192，请你帮助他找出漏掉的数并求出正确的和。

解：利用等差数列求和：可以设末项为n和=（1+n）×n÷2 > 1921+2+3+……+19=190（小于192）1+2+3+……+20=210（刚好大于192）和为：（1+20）×20÷2 =210，漏掉数是210-192=18。

【例5】李志同学把收集到的40张画片从1到40编上了序号，让王聪同学从中取两张，并算出两张画片序号相加之和。

要使和大于40，王聪能有多少种不同的取法？解：从小开始：1只能和40相加，一种；2可以和40、39相另加有两种；3可以和40、39、38相加有三种；以此类推，达到20时最多是20个，以后分别是19、18、17、…3、2、1。

四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和的数学故事

高斯求和的数学故事1785年，8岁的小高斯在德国农村的一所小学里念一年级。

数学老师是城里来的。

他有一个偏见，总觉得农村孩子不如城里孩子聪明。

不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。

他最讨厌在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用鞭子敲打他们。

孩子们很爱听他的课，因为他经常讲一些非常有趣的东西。

有一天，他出了一道算术题。

他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少?谁算不出来，就不准回家吃饭。

”说完，他就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。

不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了……”没等小高斯说完，老师就不耐烦的说:“不对!重新再算！”小高斯很快的检查了一遍，高声说:“老师，没错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。

老师低头一看，只见上面端端正正的写着“5050"，不禁大吃一惊。

他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。

要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。

他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。

就问小高斯:“你是怎么算的?”小高斯回答说：“我不是按照1,2,3的次序一个一个往上加的。

老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的:1加100是101,2加99时101,3加98也是101.....一前一后的数相加，一共有50个101,101乘50，得到5050。

”小高斯的回答使老师感到吃惊。

因为他还是第一次知道有这种算法。

他惊喜的看着小高斯，好像刚刚才认识这个穿着破烂不堪的，砌砖工人的儿子。

不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯，鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给当地教育局，使他得到免费教育的待遇。

后来，小高斯成T世界著名的数学家。

人们为了纪念他，把他的这种计算方法称为“高斯定理”。

这个计算题相信大家在数学学习中都有所涉猎了，这还只是高斯其中一个较小的成就，他在数学上的成就颇多。

四年级奥数《高斯求和》答案解析

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和公式,分组计算

整数巧算问题 2- 高斯求和与分组求和授课时间：年月日错题题型错题题号一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。

和 =（首项 +尾项）项数项数 =（尾项 - 首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。

（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。

二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题 1】计算 1+2+3+⋯⋯ +99练习 1：1、1+2+3+⋯⋯ +198+1992、2+3+4+⋯⋯+199+2003、2+3+4+⋯⋯ +997+998【例题 2】现在有一组数字为2,4,6 ⋯⋯ 98,100 请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5 ⋯⋯ 98,917 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102 ⋯⋯ 1234,1236 请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,102 请问这组数一共有多少个数字？【例题 3】计算 2+4+6+⋯⋯ +998+1000练习 3：1、1+3+5+⋯⋯ +97+992、3+6+9+⋯⋯+198+2013、7+14+21+⋯⋯ +994+1001【例题 4】有一组数为1，3,5 ⋯⋯ 97,99, 这组数中的第30 项是多少？1、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 在这组数中的第40 项是多少？2、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99, 在这组数中的第20 项和第 30 项的差是多少？3、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99 ⋯⋯ 999,1001, 在这组数中的第400 项和第 100 项的差是多少？【例题 5】 1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+97+98-99-100+101练习 5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+197+198-199-200+2013、1+3－ 5－7＋ 9＋ 11－ 13－ 15＋⋯⋯ -1999+2001【例题 6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10⋯⋯100,150,这组数的和是多少？练习 5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+⋯⋯ +66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+⋯⋯ +201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,189 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 请问这组数中的第25 项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数中的第48 项是多少？5、1+8+15+⋯⋯ +2101+210186、2+4+6+⋯⋯+20007、1+4+7+⋯⋯ +1008、10+11+12+⋯⋯+20099、1+10+20+30+⋯⋯ +200+21010、（ 1-9 ） - （ 2-10 ）- （ 3-11 ）- （ 4-12 ）- ⋯⋯ - （9-17 ） - （ 10-18 ）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+⋯⋯ +251+100。

高斯求和

高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99（3）8，15，22，29，36，…，71想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？思考与讨论：首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。

例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。

思考与讨论：怎么计算比较简便？1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999例5、3＋7＋11＋…＋99练习：1、计算下面各题。

（1）2＋4＋6＋…＋200 （2）17＋19＋21＋…＋39 （3）5＋8＋11＋14＋…＋50 （4）3＋10＋17＋24＋…＋1012、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

等差数列小练习班级：姓名：1、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少？（2）47是其中的第几项？2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。

3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。

4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？6、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－547、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？平均数平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。

四年级奥数《高斯求和》答案及解析讲课教案

四年级奥数《高斯求和》答案及解析高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和2

第六课时高斯求和（2）教学目标1.进一步理解数列、首项、末项、等差数列、公差的概念，理解高斯的巧算方法，理解并会运用等差数列的求和公式。

2.学会灵活运用高斯求和的知识解决实际问题。

3.提高学生的分析、推理能力，训练学生的混合运算能力。

教学重点高斯求和的实际运用。

教学难点解决问题时对题意规律的分析，找到等差数列。

教学过程一、例题讲解，学习新知。

例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。

（2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。

因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

高斯求和

德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 + 2+ 3+ 4+-+ 99+ 100=?老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：文档来自于网络搜索1 + 100=2 + 99= 3+ 98 = ••• = 49+ 52= 50+ 51。

1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)X 100-2= 5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：文档来自于网络搜索(1)1, 2, 3, 4, 5, (100)(2)1, 3, 5, 7, 9, (99)(3)8, 15, 22, 29, 36, (71)其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。

文档来自于网络搜索由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和二(首项+末项)X项数+ 2。

例 1 1 + 2+ 3 + -+ 1999=?分析与解：这串加数1, 2, 3,…，1999是等差数列，首项是1,末项是1999, 共有1999个数。

由等差数列求和公式可得文档来自于网络搜索原式二（1+ 1999）X 1999-2= 1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例 2 11 + 12 + 13 + •••+ 31 = ?分析与解：这串加数11, 12, 13,…，31是等差数列，首项是11,末项是31 , 共有31-11 + 1 = 21 （项）。

高斯求和习题及答案

高斯求和习题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高斯求和习题若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99（3）8，15，22，29，36，…，71末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。

例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。

例4、1＋2＋3＋4＋…＋19992例5、3＋7＋11＋…＋99练习：1、计算下面各题。

（1）3＋10＋17＋24＋…＋101 （2）17＋19＋21＋…＋392、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少（2）47是其中的第几项5、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。

36、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。

7、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

8、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少9、①7＋10＋13＋…＋37＋40②2000－3－6－9－…－51－5410、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位答案：例1、39,99 例2、34例3、5,12,19,26,33,40,47,54,61例4、1999000 例5、12754练习1（1）780 （2）3362、11273、25654、（1）38（2）165、516、11277、3225 8、（1）282 （2）14879、12545。

奥数高斯求和2

高斯求和（等差数列）二
1、2，9，16，23……求这组数列前20项的和。

2、4＋7＋10＋13＋……(共30项)
3、4＋7＋10＋13＋……（共20项）
4、1＋4＋7＋10＋13＋…（共41项）
总结：末项＝首项＋×
我们把按一定次序排成列的一列数称为（）。

数列中的每一个数都叫做这个数列的（）。

如果在这个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为（），其中第一个数称为这个数列的
（），通常也叫做（），最后一个数也就是最后一项，称为（），项的个数称为（），相邻两个数之间的差称为（）。

等差数列中常用公式：
和=_______________________________________________
末项=_____________________________________________
项数=_____________________________________________
（首项=___________________________________________）
在等差数列中，常用a1表示首项，a n表示第n项的数，n表示项数，s n表示前n项的和，d表示公差。

①1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50
②1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99
③2＋4＋6＋…＋200
④17＋19＋21＋…＋39
⑤5＋8＋11＋14＋…＋50
⑥3＋10＋17＋24＋…＋101
⑦2，9，16，23……求这组数列前20项的和。

⑧ 4＋7＋10＋13＋……(共30项)。

《高斯求和》

· · · · · · · · · · · · · · 末项：4 和37之间有 11 个间隔，相差（37- 4）3× 11
项数＝相隔数＋1 项数＝（末项－首项）÷公差＋1
【例3】计算 4+7+10+13+ · · · · · ·+28+31+34+37
项数＝（37－4）÷（7－4）＋1 ＝ 33÷3＋1 ＝ 11＋1 ＝ 12 和＝（37＋4）×12÷2 ＝ 41×12÷2 ＝ 41×6 ＝ 246
项数 = （19－1）÷ （2－1）＋1 = 18÷ 1＋1 = 19＋1 = 19
题组五
（2） 420－38－36－34 －· · · · · ·－4 －2
= 420－（38＋36＋34 ＋ · · · · · · ＋4 ＋2） = 420－（38＋2）×19÷2 = 420－40×19÷2 = 420－760÷2 = 420 － 380 = 40 项数 = （首项－末项）÷ 公差＋1
题组四
末项＝公差×（项数－1）＋首项（1）5+10+15+20+· · · · · · （共有11项）末项 = （10－5）×（11－1）＋5 = 5×10＋5 = 50＋5 = 55 和 = （5+55）× 11÷2 = 60×11÷2 = 30×11
= 330
题组四
（2）3+6+9+15+· · · · · · （共有15项）末项 = （6－3）×（15－1）＋3
3+4+5+6+· · · · · · （共有10项）末项 = 1 ×（10－1）＋3 = 1×9＋3 和 = （3+12）× 10÷2 = 9＋3 = 15×10÷2 = 12 = 15×5 = 75（根）

小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考

小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考高斯求和公式是小学奥数非常重要也是应用非常多的一个公式，要求学生们必须掌握。

记住公式的同时，还应该了解公式背后的原理，深刻的理解并能够灵活是我们追求的目标，从小就打下坚实的基础。

引言我们先计算一道简单的数学题：1+2+3+4+5=先不要说答案，告诉我你是怎么做的？一个数字一个数字相加吗？没关系，'不管黑猫白猫，能捉老鼠的就是好猫。

'实用最重要！问题升级：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=题目依然简单，可如果还是一个数字一个数字相加就需要有点耐心。

有的人可能会打点其他的注意，比如开始找点捷径。

不管用的什么方法，总之你做出来了，这题目还难不倒你。

问题再再升级：1+2+3+4+5+ (100)这下，似乎有点麻烦了，必须打点其他的注意，我们需要专门为这类题目打造专用工具——高斯求和公式（也叫等差数列求和公式）。

一、高斯求和公式（等差数列求和公式）(1).什么是等差数列？像前面的3组数，都是连续的自然数，他们排列整齐，依次增加或者依次减少，有一种和谐且治愈的美感。

又如：3，6，9，12，15，18；40，38，36，34，32，30，28，26。

第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，数列中数的个数也叫数列的项数。

(2).等差数列求和回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。

思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。

找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：3×5=15(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。

)有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=没有代表，我们也要造出一个代表来。

冀教版数学七年级上册第2章高斯求和公式课件

形
数
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。
解： Sn 1 2 3 (n 1) n 又 Sn n (n 1) 3 2 1
2Sn (n 1) (n1) (n 1) n个
n(n 1)
Sn 2
高斯求和公式
线段AB上的点数（不包括A、B两点）
图例
1
AC
B2Biblioteka ACDB3
AC D EB
线段条数 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算。只有小高斯不急不慌的思考着，想了一会儿，小高斯很快给出了答案：5050。
高斯为什么算得又快又准呢？本来小高斯通过细心视察发现：
1＋2＋3＋4＋…+50+51+…＋97+98+99＋100＝？
4
A CDE F B
1+2+3+4+5=15
n
A CD
… B
1+2+3+…+（n+1)= [1 (n+1)] (n+1)
2 = (n+2)(n+1)
2
A
……
O
一条射线：1+2=3 二条射线：1+2+3=6 三条射线：1+2+3+4=10

二年级高斯求和目标

二年级高斯求和目标
摘要：
1.二年级高斯求和的目标
2.高斯求和的公式
3.高斯求和的实际应用
正文：
【二年级高斯求和的目标】
二年级高斯求和目标是指，在数学中，求解一系列数的和的问题。

这个问题可以被广泛地应用于许多实际生活场景中，例如在统计学中，求解一组数据的和是一种常见的计算方式。

【高斯求和的公式】
高斯求和的公式是求解一系列数的和的一种方法，也被称为等差数列求和公式。

这个公式是由德国数学家高斯发现的，它的公式为：(首项+ 末项) × 项数÷ 2。

通过这个公式，我们可以快速地求解一系列数的和。

【高斯求和的实际应用】
高斯求和的公式在实际生活中有许多应用，例如在计算一个星期的菜钱，我们可以用高斯求和的公式来计算。

假设每天菜的价格都是一样的，那么我们只需要将每天的菜价相加，然后除以天数，就可以得到每天的平均菜价。

另外，高斯求和的公式也可以用于计算一个三角形的面积，或者用于解决一些计算机算法问题。

高斯求和（等差数列）

高斯求和（等差数列）同心教育·三升四高斯求和（等差数列）(1)________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______ 例一：1+2+3+4+5+…+98+99+100(直接求和)1、1+2+3+4+5+…+23+24+252、10+11+12+13+14+…+33+34+353、65+64+63+62+61+…+42+414、1+2+3+4+5+…+19+205、1+2+3+4+5+…+49+506、第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，，以此类推，第四十行放了40颗糖，第一——四十行一共放了多少颗糖？例二：1+3+5+…17+19（先求项数，再求和）1、1+3+5+...+1992、2+4+6+...+2003、5+9+13+ (81)4、2+4+6+…+48+505、1+3+5+7…+97+996、5+8+11+14+……+29+327、3+7+11+……+43+47 8、5+10+15+……+90+95+1009、美羊羊做蛋糕，第一天了5个，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天一共做了多少个蛋糕？例三：已知数列5,8,11,14,17，……求：这个数列的第100项是多少？（只求末项或先求末项，再求和）1、在等差数列2，5,8,11,14,17，……中，第50项是多少？2、等差数列1，5,9,13,17，……中， 205是第几项是多少？3、在数列1,4,9,16,25,36，……中，第79个数是多少？4、有一列数按如下规律排列：10、17、24、31……这列数中前80个数的和是多少？5、有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？6、小明练习写毛笔字，第一天写了8个大字，以后每一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少个毛笔字？例四:已知等差数列的末项是162，公差为7，项数为22。