几何概型中几种常见的几何量度

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几何概型中几种常见的几何量度

例 3 一海豚在水池中自由游弋, 水池为长 30 m, 宽 20 m 的长方形, 求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率.
0 [ z [ 1} , 而随机事件 A = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 < 1, x \ 0, y \0, z \0} 对应的几何图形为
哪个位置是等可能的, 所以本题是与面积有关的
几何概型的概率问题.
解如图 1, 是长 30 m 、宽 20 m 的长方形. 图
中阴影部分表示事件 A : / 海豚嘴尖离岸边不超过
2 m0, 问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴
影部分的概率. 由于水池的面积为 30 @ 20 =
600( m2) , 阴影部分的面积为 30 @ 20 - 26 @ 16 =
5
=
1 4
,
即此人等待上车时间不多于 10 min 的概率为
1 4
.
点评正确求出事件 A 发生的区域的长度及
试验发生的总长度是解决此类问题的关键. 和单
个时间有关的问题, 常将其转化为与长度有关的
44
数学通讯 ) ) ) 2010 年第 7 期( 上半月)
# 辅教导学 #
几何概型来解决. 本题主要考查几何概型的实际应用, 将实际问题抽象为数学模型是解题的关键, 也是本题的难点. 3. 与面积有关的几何概型
概率( 假设电台每隔一小时报时一次) .
2. 一个球形容器的半径为 3cm, 里面装有纯净
水, 因为实验人员不小心混入了一个 SARS 病毒, 从
中任取 1ml 水, 含有 SARS 病毒的概率是多少?
3. 在等腰 Rt v A BC 中, 在斜边 AB 上任取一

几何概型的定义

几何概型的定义
几何（Geometry）是数学的一个分支，也被称为几何学，是计算物体在空间中的位置，形状及大小的研究，看待空间结构。

它是研究物体形状及图形之间映射关系，主要研究内
容是图形，解析几何，计算几何，代数几何，向量几何。

几何概念复杂，也十分重要。

几何概念是数学中一个重要的组成部分，也是几何研究的核心概念。

几何概念涵盖了
物理或虚拟物体的形状和位置，以及它们之间的关系。

几何概念的定义可能很抽象，然而
它的用途十分广泛，从求解平面或空间的图形到建筑设计等都会用到。

几何概念定义了物体的基本性质。

物体通常可以用形状，大小，以及位置来进行描述，而几何概念则定义了物体之间相互关系。

map，投影变换也是几何概念中的内容。

几何概
念中的概念包含圆形，椭圆形，正多边形，矩形等几何形状；平面，曲面，螺线管等形状；测量距离，面积，体积等变量；和角度，圆心，半径，对称等几何线性关系。

几何概念的定义不仅可以用于表示物体，还可以用于非几何形状的描述。

举例来说，
在电路设计中，将采用多重连接技术用于表示多种复杂关系，比如多次相加，做出比例变换，以及更加复杂的操作。

几何概念也可以用于表示数学模型，比如决策树，时标图等，
用于解决具有复杂内容的数学问题。

因此，可以概括地说，几何概念是描述物体大小及位置，以及物体之间的关系的抽象
概念，它的定义涉及多个不同的领域，研究的内容不仅仅限于物体的形状及图形之间的映
射关系，还包括物体的大小，距离，位置，以及非几何形状的描述。

几何概型的常见类型

1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3、几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等、
4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。

这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。

因此，用几何概型求解的
概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。

下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

几何概型的概率计算公式

几何概型的概率计算公式
几何概型是指在随机试验中，样本空间中的事件是由几何图形表示的情况。

比如投掷一枚硬币，其几何概型为一个二元组成的集合{正面，反面}，用几何图形表示就是一个圆，圆内分别标有正面和反面。

对于几何概型，我们可以使用概率计算公式来计算事件发生的概率。

下面介绍两种常见的几何概型及其概率计算公式。

一、均匀分布的几何概型
均匀分布的几何概型是指样本空间中所有可能的事件发生概率相等的情况。

比如扔一个骰子，其几何概型为{1,2,3,4,5,6}，每个数字出现的概率都是1/6。

对于均匀分布的几何概型中的某个事件A，其概率计算公式为：
P(A) = 面积(A) / 面积(样本空间)
其中，面积(A)是事件A所对应的几何图形的面积，面积(样本空间)是样本空间所对应的几何图形的面积，两者都必须是可测量的。

二、正态分布的几何概型
正态分布的几何概型是指事件在一个连续的区间内发生的概率，符合正态分布的概率密度函数。

比如身高和体重等连续型随机变量的分布，常常使用正态分布的几何概型进行概率计算。

对于正态分布的几何概型，设事件A在区间[a,b]内发生的概率为P(A)，则其概率计算公式为：
P(A) = ∫a~b f(x) dx
其中，f(x)是正态分布的概率密度函数，a和b分别是区间的上下界，∫a~b代表对x从a到b的积分。

通过以上公式，我们可以对几何概型中的事件概率进行准确计算。

几何概型的类型及解法教案

几何概型的类型及解法教案几何概型是几何学中的一种问题类型，通常通过已知条件来确定未知几何量的值。

根据问题的类型，几何概型可以分为以下几类：相似三角形、直角三角形、圆、多边形和平面几何等。

下面将对几何概型的类型和解法进行详细介绍。

一、相似三角形概型相似三角形概型是几何概型中最常见的一类。

相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的概型通常包括已知条件，例如角度和边长，通过这些已知条件求解未知条件。

解决相似三角形概型的方法主要有以下几种：1.根据已知条件的比例关系求解：根据相似三角形的性质，可以得到两个相似三角形的任意两边之比等于另一个两边之比。

通过已知条件的比例关系，可以求解未知条件。

2.利用相似三角形的角度关系求解：通过已知条件的角度关系，可以确定一个相似三角形中的角度，进而求解未知条件。

二、直角三角形概型直角三角形概型是另一类常见的几何概型。

直角三角形是一个角度为90度的三角形，其中直角就是一个90度的角。

解决直角三角形概型的方法主要有以下几种：1.利用勾股定理求解：勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理，根据勾股定理可得：直角三角形斜边的长度的平方等于两个直角边长度的平方和。

通过已知条件的边长关系，可以求解未知条件。

2.利用特殊三角函数求解：在直角三角形中，正弦、余弦和正切是常用的三角函数。

通过已知条件的三角函数关系，可以求解未知条件。

三、圆概型圆概型是几何概型中的一类，主要涉及与圆有关的问题。

解决圆概型的方法主要有以下几种：1.利用圆的面积和周长的计算公式求解：根据圆的半径或直径，可以计算圆的面积和周长。

2.利用与圆有关的角度关系求解：在圆上的角可分为弧度角和圆心角。

通过已知条件的角度关系，可以求解未知条件。

四、多边形概型多边形概型主要涉及与多边形有关的问题。

解决多边形概型的方法主要有以下几种：1.利用多边形的内角和定理求解：对于n边形，其内角和等于180度乘以n-2、通过已知条件的内角和关系，可以求解未知条件。

几何概型常见题型归类

ｚ】
ＧｘＵＪＡ（ＥＣＮＫＡＯＥＩＵＡ
复习指津
何型常见题型类概归
山西霍州市第一中学（３４０杨爱平０１０）
几何概型的特点是实验的基本事件是无限多个，每
一
好事件发生的分界点．解：圆的半径为ｒ当弦长恰好设，为ｒ－，－它所对的圆心角恰为９。则ｍｊＯ，要使弦长大于
分析：图２所示，如设
图２
ＡＡＣ的ＢＢｃ边上的高为ＡＤ，Ａ在Ｂ边上任取一点Ｐ，
由点Ｐ￣ＰＥ￣Ｂ，Ｃ垂足为Ｅ，易知当ｐ＞ＩＡＤ［则Ｅｔ４，；
，
的体积可看做实验的所有结果构成的区域，可用体积比
公式计算其概率．
Байду номын сангаас
ＡＰＣ的面积大于，马Ｐ１时Ｂ即，Ｂ，
．
大于．由几何概型的公式，Ｐ（Ｂ的面积大于得 △Ｐｃ
３
）车一３故选Ｃ一１一口．Ａ答案 ’ ’ ．
点评：决本题的关键是将面积的比转化为长度型解
的几何概率问题．
的体积有关，因而只需要求得取出水样的体积与原有水
一
Ｃ
上任取一点Ｐ则△Ｐ的面积大于的概率是（．
）・
是２５，．２那么该方程精确到００．１的实数解就是２５，．２从中可看出“ 精确度” 精确到” 和“ 是有区别的，精确到” “ 往往和有效数字 “ 形影不离 ” 是一个近似值， “ ，而精确度”

高考中的概率和统计问题

1．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是( )A ．总体是指这箱2 500件包装食品B ．个体是一件包装食品C ．样本是按2%抽取的50件包装食品D ．样本容量是50 答案 D解析总体、个体、样本的考查对象是同一事，不同的是考查的范围不同，在本题中，总体、个体是指食品的质量，而样本容量是样本中个体的包含个数．故答案为D.2．在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是( )A.π8B.π4C.π6D.π2 答案 B解析依题意可行域为正方形AOCD ，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为：P ＝14π⎝⎛⎭⎫22222·22＝π4.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8， ∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C 解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．答案甲解析根据茎叶图，可得x 甲＝16×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x 乙＝16×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.s 2甲＝16×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333， s 2乙＝16×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393. 因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适．题型一古典概型与几何概型例1 (1)(2015·陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π答案 B解析由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.(2)有9张卡片分别写着数字1,2,3,4,5,6,7,8,9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回)，试求： ①甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； ②甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率．解 ①甲、乙二人依次从9张卡片中抽取一张的可能结果有C 19·C 18，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有C 15·C 14种，设“甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片”的概率为P 1，则P 1＝C 15·C 14C 19·C 18＝2072＝518.②方法一甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的事件包含下面的三个事件：“甲抽到写有奇数数字的卡片，乙抽到写有偶数数字的卡片”有C 15·C 14种； “甲抽到写有偶数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片”有C 14·C 15种； “甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有C 15·C 14种．设甲、乙二人至少抽到一张写有奇数数字卡片的概率为P 2，则P 2＝C 15·C 14＋C 14·C 15＋C 15·C 14C 19C 18＝6072＝56. 方法二甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片，设为P 2，则P 2＝1－P 2＝1－C 14C 13C 19C 18＝56.思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．(1)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： ①甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；②决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列和均值．解 ①设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.②随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415，P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215，P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115. 随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1341515215115因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.(2)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分．所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.题型二求离散型随机变量的均值与方差例2 (2015·四川)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为X 1 2 3 P153515因此，X 的均值为E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3) ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如二点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x (年)0<x ≤1 1<x ≤2 x >2 0<x ≤2 x >2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125350910X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．题型三概率与统计的综合应用例3 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的均值．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E (T )＝45 000×0.1＋思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组乙组 9 9 0 X 8 9 111(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和均值． (注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116. (2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为Y 17 18 19 20 21 P1814141418E (Y )＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.题型四概率与统计案例的综合应用例4 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：将2×2列联表的数据代入公式计算： χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(30×10－45×15)245×55×75×25＝10033≈3.030. 因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.思维升华统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．为了解大学生观看湖南卫视综艺节目“快乐大本营”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：喜欢看“快乐大本营”不喜欢看“快乐大本营”合计女生 5 男生 10 合计50若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“快乐大本营”的有6人．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜欢看“快乐大本营”的10位男生中，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5还喜欢看新闻，B 1，B 2，B 3还喜欢看动画片，C 1，C 2还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：P (χ2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)由分层抽样知识知，喜欢看“快乐大本营”的同学有50×610＝30人，故不喜欢看“快乐大本营”的同学有50－30＝20人，于是可将列联表补充如下：喜欢看“快乐大本营”不喜欢看“快乐大本营”合计女生 20 5 25 男生 10 15 25 合计302050(2)∵χ2＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢看“快乐大本营”节目与性别有关．(3)从喜欢看“快乐大本营”的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有N ＝5×3×2＝30个，用M 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于M 由(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 4，B 1，C 1)，(A 5，B 1，C 1)5个基本事件组成，所以P (M )＝530＝16.由对立事件的概率公式得 P (M )＝1－P (M )＝1－16＝56.(时间：80分钟)1．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.1 7 92 0 1 5 3(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和均值； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7(k ＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的均值E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340.P (A 2)＝P (X ＝2)＝740.P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.3．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.4．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列．解 (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)． (2)依题意，Y 的可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴Y 的分布列为Y 0 1 2 P63130286511130(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3，令X 为任取的2件产品中重量超过505克的产品数量，则X ～B (2,0.3)， ∴X 的分布列为X 0 1 2 P0.490.420.095．如图所示，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；(3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．解 (1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意得P (A )＝14.(2)依题意知，X ～B (3，14)，从而X 的分布列为(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1,2,3.依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316.6．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的分布列和均值．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60. P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148.X 的分布列为E (X )＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.。

几何概型(正式)

答案：B 设点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A. 则事件 A 发生时，点 P 位于以点 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部． 4 1 2 ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝3π·13×2＝3π. 2 23－3π π ∴P(A)＝ 23 ＝1－12.
[规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
[变式训练]
如图 1064，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内
1 随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于6的概率为________.
图 1064
1 设四棱锥 MABCD 的高为 h，由于 V 正方体＝1. 2 1 1 则3· SABCD· h＜6， 1 又 SABCD＝1，∴h＜2，即点 M 在正方体的下半部分， 1 2V正方体 1 ∴所求概率 P＝＝2. V正方体
变式：以等腰直角三角形的直角顶点为圆心作圆，
使这个圆与斜边相交，则截得的弦长不小于直角边的概率为 ------。解法一：
设直角边长为a，易得圆与斜边相交，半径的范围是 ( 2 a, a] ；而弦长不小于a 时，半径的
2
--
范围是 3 a, a] ，则其概率为
2
解法二：
3 a 2 3 2 2 2 2 a a 2 a
故 P＝
变式训练：
甲、乙两辆车去同一货场装货物，货场
每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为 20 分钟，倘若甲、乙两车都在某 1 小时内到达该货场(在此期间货场没有其他车辆)，求至少有一辆车需要等待装货物的概率．

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型知识归纳1.古典概型（1）定义：如果某类概率模型具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有______；②每个基本事件出现的______均等。

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型。

（2）古典概型的特点：①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有______；②等可能性：每个基本事件出现的______均等。

（3）古典概型的概率计算公式：mPn=，其中m表示_________________，n表示_________________2.几何概型（1）如果某个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型。

（2）几何概型的特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果是无限的；②等可能性：每个结果的发生的机会均等。

（3）几何概型的概率计算公式：_______________.p=3.几何概型与古典概型的区别：4.解答概率题的步骤：（1）弄清试验是什么，找出基本事件的构成。

（2）判断概率类型。

（3）找出所求事件，同时弄清所求事迹的构成，并用符号表示。

（4）求概率。

巩固基础1.下列试验是古典概型的是（）。

A 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件；B为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件；C从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率；D抛掷一枚均匀的硬币到首次出现正面为止。

2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有的种数（）。

A 3B 4C 6D 123.将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是（）。

A 12B14C34D134.在区间（1,3）内的所有实数中，随机取一个实数x，则这个实数是不等式250x-<的解的概率为（）。

A 34B12C13D235.在半径为2的球O内任取上点P，则||1OP≤的概率为（）。

高考数学一轮复习第10章概率第3节模拟方法—概率的应用教学案文(含解析)北师大版-北师大版

第三节模拟方法—概率的应用[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论] 几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．12B ．134B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．]4．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为________．12 [在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设M ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD×h ＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )63C ．23D ．45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.] 2．(2017·某某高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.]3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠A 内时，AM ＜AC ．又∠A ＝45°，所以∠A ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.] [规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A ．14B ．12C ．23D ．34A [依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m ∈[0,1]，n ∈[0,2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4B ．π4C ．π－32D ．π2－1(2)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0－2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14 B ．34 C ．13D ．23(1)A (2)B [(1)方程有实数根，即Δ＝16m 2－16(－n 2＋2n )≥0，m 2＋n 2－2n ≥0，m 2＋(n －1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.]与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC＜12V S ABC 的概率是( ) A ．78 B ．34 C ．12D ．14A [当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD 内的概率为( )A ．34B ．23 C ．13D ．12D [由题图可知V F AMCD ＝13×S四边形AMCD×DF ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F AMCD内的概率为14a 312a 3＝12.][规律方法] 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A ．710B ．58C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.]六概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心. 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，统计与概率内容相互渗透，背景新颖．统计与统计案例以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的分析、抽象概括，作出估计、判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识．【例1】已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005 x0 2.706 3.841 6.6357.879χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.[解](1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10×0.035＋0.025＋c ＋2b ＋a ＝1，2b ＝a ＋c ，解得b ＝0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n ＝60.01×10＝60.(2)由于2b ＝a ＋c ，而b ＝0.01，可得a ＋c ＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x 人，则男生有x －4人，于是x ＋x －4＝48，解得x ＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：及格不及格总计男 22 8 30 女 26 4 30 总计481260所以χ2＝60×22×4－8×26230×30×48×12＝1.667＜2.706，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[规律方法] 独立性检验的方法 (1)构造2×2列联表； (2)计算χ2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．易错提示：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的临界值与求得的χ2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p .近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．患三高疾病不患三高疾病总计男630女总计36下面的临界值表供参考：P (χ2≥x 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：患三高疾病不患三高疾病总计男 24 6 30 女 12 18 30 总计362460在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人)．(2)根据2×2列联表，则 χ2＝60×24×18－6×12230×30×36×24＝10＞7.879.所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．常见概率模型的概率概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或对立事件的概率求解．【例2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法] 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖．(1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．[解] (1)记“中二等奖”为事件A ．从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110.所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)．事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，故P (x ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.统计与概率的综合应用统计和概率知识相结合命题统计概率解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计知识初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算．【例3】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数13249265日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)频数151310165(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[信息提取]看到作频率分布直方图，想到作频率分布直方图的作图规则；看到求概率，想到利用频率分布直方图求概率的方法；看到估计节水量，想到求使用节水龙头前后的用水量． [规X 解答] (1)如图所示．4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，6分因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.7分 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.11分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3).12分 [易错与防X] 作频率分布直方图时注意纵轴单位是“f iΔx i”，计算平均数时运算要准确，避免“会而不对”的失误．[通性通法] 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．[解] (1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；B 班样本数据的平均值为15(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时．所以B 班学生上网时间较长．(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)，2种，故a >b 的概率P ＝29.[大题增分专训]1．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 总计频数b 频率 a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)X 围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)X 围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．[解] (1)由茎叶图知成绩在[50,70)X 围内的有2人，在[110,130)X 围内的有3人，∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)X 围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)X 围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个，∴P (A )＝1021.2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃)101113128程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .)[解] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以P (A )＝1－410＝35，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为35. (2)由数据，求得x ＝13×(11＋13＋12)＝12，y ＝13×(25＋30＋26)＝27，∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434，所以b ＝∑3i ＝1x i y i －3x y∑3i ＝1x 2i －3x2＝977－3×12×27434－3×122＝52，a ＝27－52×12＝－3. 所以回归直线方程为y ＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ＝22，|22－23|＜2，同理当x ＝8时，y ＝17，|17－16|<2. 所以该研究得到的线性回归方程是可靠的．。

几何概型中常见的3种情况

维普资讯
・
３－４
中学教研（学）数
２００８年第９期
本点充满正方形域［，；，］可分为ｌ１２１２，６个小方格，如图５
一
一
业
。
— — —
一亘缝里
・
所示．
Ｊｎ）已（一边长为。的正六面体体积
所以
ｐ＝ ÷ ＝＝
的定义，握几何概型中事件的概率计算公式，掌问题是不难
解决的．几何概型中的３种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，把问题作合理转化．要根据问题，建
除一个单点，则其出现的概率为１但它不是必然事件．，笔者就几何概型中常见的３种情况举例如下．
１一维几何概型问题
方形域．由组成三角形的边的关系，可知ｌ一＜，ｙ ÷ 即
一＜Ｙ‘ ５－
例１某轻轨车站每隔５分有一轻轨车通过，乘客随机
（）见车就乘 ” 映为图５中的网格区域，以１“ 反所
ｎ一
一
煦
（力）一１ — ４‘ ６
一一一
÷ 孚。・．
— 一
’
（）约定最多等一班车 ” 映为图５中的阴影区域，２“ 反
几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型
朋友能见面的概率．
评注
一维几何概型问题常见的有与数、度、长时间相
关的问题．这些问题只要弄清问题中变化的因素，然后取一维几何量——长度作几何测度．

高中数学_几何概型

几何概型知识图谱几何概型知识精讲一．几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型几何概型，可以将每个基本事件看成从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会一样；这里区域可以是线段、平面图形、立体图形等．2．特点：（1）结果的无限性，即在一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）的个数可以是无限的，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）等可能性，每个基本事件的发生的可能性是均等的．二．几何概型的计算公式几何概型中，事件A的概率定义为：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）三点剖析一．方法点拨1.几何概型与古典概型的联系与区别在古典概型及几何概型中，基本事件的发生都是等可能的；在古典概型中基本事件的个数是有限的，而在几何概型中基本事件的个数是无限的.2．几何概型求解的一般步骤（1）首先要判断几何概型，尤其是判断等可能性，这方面比古典概型可能更难于判断；（2）把基本事件转化为与之对应的区域；（3）计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积、体积等）；（4）利用公式代入求解．3．几何概型的应用要把实际问题转化成几何概型，精读问题，注意适当选择观察角度，抓住关键词，把问题转化为数学问题，几何概型问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．注意分辨清楚属于一维、二维或三维问题．尤其是二维问题一直是考试的重点．一维情形例题1、将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，则事件T发生的概率为（）A.1 2B.15C.25D.35例题2、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45例题3、在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为_________．例题4、如图，在三角形AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，求△AOC为钝角三角形的概率．（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1随练1、某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____．随练2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）A.1 4B.13C.12D.23随练3、在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A.1 6B.13C.23D.45二维情形例题1、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.1-2πB.12-1πC.2πD.1π例题2、二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．例题3、设有-4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．例题4、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是____（用数字作答）．随练1、分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（）A.7 10B.310C.35D.25随练2、设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于1的概率为____．随练3、小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．三维情形例题1、在500mL的水中有一个细菌，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是（）A.0.004B.0.002C.0.04D.0.02例题2、在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为（）A.12π B.1-12π C.6π D.1-6π随练1、1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）A.0.01 B.0.19 C.0.1 D.0.2随练2、一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A.18 B.116 C.127 D.38拓展1、在区间[﹣4，4]上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x 2≤m 的概率为34，则实数m 的值为________2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________．(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．3、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S 的概率是（）A.13 B.12 C.34 D.144、在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与281cm 之间的概率为（）A.56 B.12 C.13 D.165、已知圆O ：x 2+y 2=4（O 为坐标原点），点P （1，0），现向圆O 内随机投一点A ，则点P 到直线OA 的距离小于12的概率为（）A.23 B.12 C.13 D.166、在区间[0，1]上随机取两个数m ，n ，求关于x 的一元二次方程x 2n 有实根的概率．7、假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A.425 B.825 C.1625 D.24258、已知函数：f （x ）=x 2+bx+c ，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f （x ）满足条件：(2)12(1)3f f ≤⎧⎨-≤⎩的事件为A ，则事件A 发生的概率为（）A.58 B.516 C.38 D.129在棱长为a的正方体－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（）A.22B.22C.16D.16π。

几何概型讲义

几何概型的常见题型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题.一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型1．与长度有关的几何概型例1．(2009山东卷·文理)在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ).A.31 B.π2C.21D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos2xπ的值介于0到21之间, 需使223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A.练1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是.A.21 B.31C.41D.不确定 3. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.2. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.4. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，硬币不与任一条平行线相碰的概率.5. 在半径为1的圆周上，有一定点A ，以A 为端点任连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，求弦长超过√3 的概率。

高考数学第一轮知识点总复习第七节随机数与几何概型

1.
举一反三
（2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x,
cos的 x值介于0到12之间的
2
概率为
()
A. 1 B.
C.2
1
D.
2
3
2
3
解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x，cos 的x值位于［0,1］区间，若使
2
的值co位s 于x
2
公式可知
答案：A
区间，取0到, 12的实数x应在2 区1间 p 3
第七节随机数与几何概型
基础梳理
1. 几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量成正比，而与A的位置和形状无关，此种试验称为几何概型.
2. 几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的. （2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是均等的.
6. 均匀随机数的应用（1）用随机模拟法估计几何概率; （2）用随机模拟法计算不规则图形的面积.
典例分析
题型一与长度、角度有关的几何概型
【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
分析因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.
因此,阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即
P S阴影部分 S单位正方形
1-（ 1 ）2
3 12
8. 9
学后反思对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.

3.4 几何概型

规3-4-4
返回
事件A发生的条件是0 事件A发生的条件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即图中阴影部分, 6,即图中阴影部分, 即图中阴影部分则μΩ=242,μA=242-182. µ A 24 2 − 182 7 = = , ∴P(A)= 2 µ 24 16 7 即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是 .
返回
学点一与长度有关的几何概型的求法某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过( 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆车带走站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的, ),乘客到达汽车站的时间是任意的站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率. 候车时间不超过3分钟的概率. 【分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法. 分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法. 【解析】这是一个几何概型问题.记A=“候车时间不超解析】这是一个几何概型问题. 候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车分钟” 表示乘客到车站的时刻, 站后来到的第一辆汽车的时刻,作图3 站后来到的第一辆汽车的时刻,作图3-4-3.据题意,乘客必 3.据题意, 据题意然在［ 5,t 内来到车站, ={x 然在［t-5,t］内来到车站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.
解:按照约定,两人在6点到7点之间任何时刻到达会面点按照约定,两人在6点到7 是等可能的,因此是一个几何概型,设甲、是等可能的,因此是一个几何概型,设甲、乙两人到达的时间为x,y,则|x-y|≤15是能够会面的先决条件. |≤15是能够会面的先决条件. 是能够会面的先决条件以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 人能够会面的充要条件是| 人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.

浅谈几何概型的四种测度

浅谈几何概型的四种测度几何概型是古典概型的进一步发展。

与古典概型相比较，相同点在于：每一种结果发生的可能性相等。

不同点在于：在一次试验中，古典概型中等可能事件只有有限个，几何概型中等可能事件有无限个。

在近年高考题中,几何概型难度要求并不高,通常以填空或选择题的形式出现..处理几何概型问题不仅要明确概念,掌握公式,更主要的是及时把问题转化为相应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.因此，正确选择恰当的几何概型决定了问题解决的成败,下面就几何概型的四种测度简单谈谈自己的看法。

一、角度型例1.设A为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点B与A连结,求弦长超过半径的2倍的概率.分析:在圆周上任取一点是随机的且是等可能的,符合几何概型的条件.关键是选择恰当的几何量,确定好事件发生的分界点.解:设圆的半径为r,当弦长恰好为2r时,它所对的圆心角恰为90°,则要使弦长大于2r,圆心角必大于90°且小于270°所以所求事件的概率为评注:本题是一个与角度有关的几何概型,关键是建立好几何图形与概率问题的联系.二、长度型例2、在等腰直角三角形中，在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率。

分析: 在斜边AB上任取一点是随机的且是等可能的,符合几何概型的条件。

解：以点A为圆心作一个小圆，交AB于，不妨设AC=a,使从而所求的概率为这是与长度有关的几何概型问题。

但是，如果上题作以下变形：在等腰直角中，过点C作一条射线CM，交AB于M点，求AM＜AC的概率。

有不少同学可能还是会用以上思路求解。

但事实上，如果在AB上再取两点E,D使得AE=ED=DB,但是∠ACE≠∠ECD≠∠DCB，则过点C作一条射线CM在∠ACE和在∠ECD内的条数不相等，与基本事件的可能性相等矛盾。

在变后的题目中基本试验的前提过点C作一条射线CM。

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，是常以角的大小作为区域度量来计算概率的。

艺术生高考数学专题讲义：考点50 几何概型

考点五十几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性． 4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．答案 35解析在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________．答案 34解析由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.解题要点基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．题型二与面积有关的几何概型例2(2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.变式训练(2015福建文)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x≥0，－12x＋1，x＜0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案14解析由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四边形ABCD＝6，S阴＝12×3×1＝32.∴P＝326＝14.解题要点求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．题型三与体积有关的几何概型例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．答案1－π12解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.变式训练有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.解题要点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________．答案 14－12π解析由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．答案127解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.3. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为________．答案 13解析由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.4．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为________．答案 45解析由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________．答案 23解析由3a －1＞0得a ＞13，由几何概型知P ＝1－131＝23.课后作业一、填空题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为________．答案 15解析可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间为事件A ，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A 构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm ，则P (A )＝210＝15.2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是________．答案310解析这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.3．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为________．答案 23解析由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.4．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．答案235解析据题意得S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝235.5．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为________．答案334π解析设圆O 的半径为R ，“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则P (A )＝34AB 2πR 2＝34(3R )2πR 2＝334π. 6．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为________．答案 2－ 2解析如图，E 为斜边AC 上的点，且AE ＝1cm ，则蚂蚁应在线段AE 及边AB 上爬行，所求概率P ＝22＋2＝2－ 2. 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则________．答案 p 1<12<p 2解析在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE，而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2.8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________．答案512解析选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝______.答案 3解析由图知要使|x |≤m 的概率为56，易得m ＝3.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18.∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．答案 π4解析记“豆子落入圆内”为事件A ，则P (A )＝μA μΩ＝圆面积正方形面积＝πa 24a 2＝π4.二、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解析 (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解析 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8. 因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，所求概率为P 2＝S 2S ＝12.。

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几何概型什么是几何概型？几何概型是数学中一个重要的概念，它涉及到几何图形的分类和属性描述。

通过几何概型，我们可以更好地理解和研究各种几何图形之间的关系，并推导出它们的性质和定理。

几何概型的基本元素在几何概型中，有一些基本的元素是不可或缺的，它们包括：1.点：点是几何图形的基本单位，通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

2.直线：直线是由无数个点组成的无限延伸的对象，通常用一个小写字母表示，例如l、m、n等。

3.线段：线段是直线上两个点之间的有限长度部分，通常用两个点的名称表示，例如AB、CD等。

4.角：角是由两条射线共享一个端点组成的图形，通常用大写字母表示，例如∠ABC。

5.圆：圆是由一条封闭的曲线所围成的图形，通常用大写字母表示，例如O。

这些基本元素是几何概型中最基本的构成部分，其他更复杂的几何图形都可以由它们组合而成。

几何概型的分类根据几何图形的性质和特点，几何概型可以分为不同的分类。

以下是一些常见的几何概型分类：1.平面几何：平面几何是研究二维几何图形的概型，它考虑的是在一个平面内的图形和属性。

例如，研究点、线段、角以及平行、垂直等关系。

2.立体几何：立体几何是研究三维几何图形的概型，它考虑的是空间内的图形和属性。

例如，研究三角形、立方体、球体等图形的体积、表面积等。

3.解析几何：解析几何是利用数学的代数方法来研究几何图形的概型，它将几何问题转化为代数方程的问题。

例如，通过坐标系和方程来描述和分析几何图形。

4.非欧几何：非欧几何是指与欧氏几何不同的几何体系，它研究的是不满足欧氏公设的几何图形。

例如，研究超几何、椭圆几何、双曲几何等。

这些不同的几何概型分类，为我们研究和理解各种几何图形提供了不同的视角和方法。

几何概型的应用领域几何概型在众多学科和领域中都有广泛应用，以下是一些典型的应用领域：1.建筑设计：在建筑设计中，几何概型被广泛用于规划建筑物的形状、结构和布局。

通过几何概型，建筑师可以分析和优化建筑物的几何属性，确保其稳定性和美观性。

几何概型中几种常见的几何量度