西城区2015-2016学年度第一学期期末九年级数学试题

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(完整word版)2015-2016学年度上学期期末质量检测九年级数学试卷

2015-2016学年度上学期期末质量检测九年级数学试卷说明：1.本卷共六大题，全卷共 24题，满分120分，考试时间为120分钟2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答, 否则不给分c +d b c B . cCD.—221.下列各数中，为有理数的是（ ▲ )A . nB . \ 3C.3.14D .—、32.已知5个正数a , b , c , d , e ,且 a v b v c v dv e ,则新一组数据的中位数是（▲）、选择题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）每题只有一个正确的选项0，a ，b , c , d ，e3.某几何体的主视图和左视图完全一样如图所示, 则该几何体的俯视图不可能是（▲）A .4.关于x 的一元 A . 1Z I C.次不等式 x — b v 0恰有两个正整数解，则 B . 2.5C. 2D. 5.如图，△ ABC 中, BD=5, DC=2,AE 交BC 于点D ,DE 的长等于（▲AD=3,10 3b 的值可能是（3.56. 如图是二次函数 ①二次三项式 ax ③ 一元二次方程④ 使y<3成立的x 的取值范围是x 淘. 2y 二ax bx c 的图象，下列结论：2■ bx ' c 的最大值为 4 :②4a + 2b + c v 0;2ax bx 1的两根之和为一2；其中正确的个数有（ A . 1 个 B▲） .2个 C8个小题，每小题.3个 D . 4个 3分，共24分） 8•点A （m,m - 3）在第一象限，则实数m 的取值范围为 ____ ▲9.已知:二均为锐角，且sin 。

-1 2(tan -1)^0，则：二 ▲:B.O D. ▲)10.如图，直线a // b,直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q,且PM垂直于I,若/仁58°则/ 2= ▲;11. 从—1, 0, 2,这三个数中，任取两个数分别作为系数a, b代入ax2•bx：：；,2 = 0中.在所有可能的结果中，任取一个方程为有实数解的一元二次方程的概率是▲; 12. 如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线y = x2 - 4x • 6上运动.过点A作AC丄x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为▲;613. 如图，已知点A在双曲线y 上，过点A作AC丄x轴于点C, OC=3，线段0A的x垂直平分线交0C于点8，则厶ABC的周长为▲;14. 菱形ABCD的对角线AC=6 cm，BD=4 cm，以AC为边作正方形ACEF，贝U BF长为三、解答题(本大题共4小题，每小题各6分，共24分)15.计算：(—73 $ +(J2015 — J2016 X J2016 + J2015 )—2誓—tan”45.16. ( 1)如图，六边形ABCDEF满足：AB£EF，AF丄CD.仅用无刻度的直尺画出一条直线I，使得直线l能将六边形ABCDEF的面积给平分；(2)假设你所画的这条直线l与六边形ABCDEF的AF边与CD边(或所在的直线)分别交于点G与点H，则下列结论：①直线I还能平分六边形ABCDEF的周长；②点G与点H恰为AF边与CD边中点；③AG=CH ，FG=DH ;④AG=DH，FG=CH .其中，正确命题的序号为▲.217.已知关于x的一元二次方程x -(k-2)x，2k=0 .(1 )若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根;2(2)当k=—1时，求X j -3X2的值.18.在不透明的袋子中有四张标着数字1, 2, 3，4的卡片，这些卡片除数字外都相同•甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加•如图是他所画的树状图的一部分.(1 )帮甲同学完成树状图；(2)求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率.第18题图四、(本大题共4小题，每小题各 8分，共32分) 19.如图，四边形 ABCD 为菱形，M 为BC 上一点, 且/ABM=2/ BAM . (1) 求证：AG=BG ;(2) 若点M 为BC 的中点，且S B MG =1 , 试求△ ADG的面积.20.据报道，历经一百天的调查研究，景德镇 PM 2.5源解析已经通过专家论证.各种调查显示，机动车成为 PM 2.5的最大来源，一辆车每行驶 20千米平均向大气里排放 0.035 千克污染物.校环保志愿小分队从环保局了解到景德镇 100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数(天)10a 12 825 b(2)彤彤是环保志愿者，她和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米.已知景德镇市 2016年机动车保有量已突破 50万辆, 请你通过计算，估计 2016年景德镇市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？21.如图ABCD 为正方形，点 A 坐标为(0, 1),点B 坐标为(k y的图象经过点 C , 一次函数y=ax + b 的图象经过 A 、x开始第一次 1234 /N 第二次2 3 4第19题图2016年景德镇市100天空气质量等级天数统计表(1)表中a= ▲, b= ▲ ,图中严重污染部分对应的圆心角n= ▲2016年景德镇市100天空气质量等级天数统计图第20题图(1) 求反比例函数与一次函数的解析式；(2) 若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标.22.小敏将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO 后，电脑转到AO B位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C丄OA 于点C, O' C=2cm.(1)求/ CAO的度数；(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少？第22题图五、(本大题共1小题，每小题10分，共10分)23.如图，抛物线y = -x2• bx • c交x轴于点A (- 3, 0)和点B,交y轴于点C (0, 3).(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点P在抛物线上，且S AOP =4S.BOC，求点P的坐标；(3) 如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ丄x轴，交抛物线于点D, 求线段DQ长度的最大值.六、(本大题共1小题，每小题12分，共12分)M , N分别是AD , CD的中点，连接24.如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90°, AC=6, BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动, MN，设点D运动的时间为t.(1) 判断MN与AC的位置关系；(2) 求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3 )若厶DMN是等腰三角形，求t的值.2016学年第一次质量检测试卷九年级数学答案、选择题（本大题共 6小题，每小题3分，共18分）• x f - 3x 2 = -3x 4 2 - 3x 2 二-3(x 1 x 2) 2=11.(1 )补全树状图如图所示：.一…第一次 1 2/N z1\第二次 2 3 41 3 4（2）由树状图得：共有12种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有四、（本大题共4小题，每小题各 8分，共32分） 19. （1）证明：•••四边形 ABCD 是菱形， •••/ABD = / CBD ,•••/ ABM =2 / BAM , ABD =Z BAM ,• AG=BG ;(2)解：T AD // BC ,ADG MBG ,•••点M 为BC 的中点， •竺=2,BM故P （两次抽到的数字之和为偶数）4 = 112 3ii.12. ____ 2 13.5 ____ 14.4小题，每小题各6分,共24分）15解原=2 .16解: (1) 如图；(2) ③. 17解: (1)k=-3，另一根为-6;(2) 当k= - 1时，方程变形为x 2 3x 2 =0 ,_3 X i18.解: 4种,• AG ADGM " BM32° 、解答2二 X i• BMG =1, 二 S A ADG =4.20.解：（1） a=25, b=20, c=72;答：2016年景德镇市一天中出行的机动车至少要向大气里排放21.解：(1 )•••点A 的坐标为(0, 1)，点B 的坐标为(0,— 2),••• AB=1 + 2=3.即正方形 ABCD 边长为 3,二 C (3,— 2). 将C 点坐标代入反比例函数可得：k= — 6.丁八6•反比例函数解析式： y 二-丄.x（a ~ -1 将 C（ 3, — 2）, A （ 0, 1）代入 y=ax + b 解得：2 = 1• 一次函数解析式为 y=— x + 1.111•••—X 1 X | t |= 3 X 3，解得 t =± 18. • P 点坐标为（18, ）或（-18,）.23 322.解：（1 ）• O' C 丄 OA 于 C , OA=OB=24cm ,OC OC 1 • sin / CAO = -------- = -------- = — ,•/ CAO=30OA OA2(2)过点B 作BD 丄AO 交AO 的延长线于 D .• O' C 丄 OA , / CAO=30°, •/ AO C=60° • / AO B' 120°, •/ AO B'+/ AO C = 180° .• O B + O' C — BD= 24 + 12— 12 3 =36 - 12上 3 . •显示屏的顶部 B'比原来升高(2)根据题意得:50 X 0.035 X 10000X=21875 （千克）20(2)设P(t, -• △ OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,21875千克污染物•/ sin / BOD =电OB '• BD=OB • sin / BOD ,• / AOB=120°, •/ BOD= 60• BD=OB • sin / BOD= 24 X了（36 —12、刁）cm.五、(本大题共1小题，每小题10分，共10分)2 223.解：(1 )将A (- 3, 0)、C (0, 3)代入y = —X +bx + c ,解得：y = —X — 2x + 3 .(2)由(1 )知，该抛物线的解析式为y = _x2_2x3，则易得B( 1, 0). 设P(x，-x2 -2x • 3 )，1 2 1•/ S^O^4S^OC，二｛汇3汇一x _2x+3 = 4X[X1><3 . 解得：x - -1 或x - -1 二2'、2 .则符号条件的点P的坐标为(-1, 4)或(-1 2,2 , - 4)或(-1 -2、. 2 , - 4).(3)易知直线AC的解析式为y=x+ 3.设Q点坐标为(x, x+ 3) (- 3< x w 0),则D点坐标为(x, _ x^ 2x 3 ),2 23 2 9QD= ( -x - 2x 3 ) -( x + 3) =-x -3x=-(x )2 4•••当x =「3时，QD有最大值-.2 4六、(本大题共1小题，每小题12分，共12分)24. ( 1)v在厶ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，• MN // AC ;(2)如图1,分别取△ ABC三边AC, AB, BC的中点E, F , G,并连接EG, FG ,根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是平行四边AFGE的面积，•/ AC=6, BC=8, • AE=3, GC=4,•••/ ACB=90 °二S 四边形AFGE=AE?GC=3 X 4=12.•线段MN所扫过区域的面积为12.1 1 1(3)据题意可知：MD=—AD , DN= —DC, MN = — AC=3 ,2 2 2①当MD=MN=3时，△ DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6 , • t=6 ,1②当MD=DN时，AD=DC ,如图2,过点D作DH丄AC交AC于H ,则AH = — AC=32 ，-cosA= AD 爲• 3 6AD 一10 '解得AD=5 ,••• AD=t=5 .③如图3,当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，贝U CM丄AD , •/ coA=如一竺，即刎」,AC AB 6 1018 36AM= , • AD=t=2AM=^ ,5 5综上所述，当t=5或6或36时，△ DMN为等腰三角形.5DG。

北京市西城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．二次函数 y=（x﹣5）2+7 的最小值是（） A．﹣7 B．7 C．﹣5 D． 52．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为（）
（） A．30° B．60° C．xOy 中，点 A 的坐标为（﹣1，2），AB⊥x 轴于点
B．以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 2 倍，得到△OA1 B1 ，且点 A
1
在第二象限，则点 A1 的坐标为（）
A．（﹣2，4） B．（，1） C．（2，﹣4） D．（2，4） 7．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向，距离灯塔 40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处．这时， B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为（）
21．某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？
22．已知抛物线 C1 ：y1 =2x2﹣4x+k 与 x 轴只有一个公共点．（1）求 k 的值；（2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2 ：2y =2（x+12）﹣4k ？请写出具体的平移方法；（3）若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 2C ：2y =2（x+21﹣）4k 上，且 n ＜t，直接写出 m 的取值范围． 23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= ．点 C，E 分别在⊙O 上，且 OC⊥ AB 于点 D，∠E=30°，连接 OA．

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北京市西城区2015届九年级上期末考试数学试题及答案九年级数学2018.1【一】选择题(此题共32分，每题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意旳、 1、二次函数2(+1)2y x =--旳最大值是A 、2-B 、1-C、1D 、22、如图，四边形ABCD内接于⊙O ，E为CD 延长线上一点，假如 ∠ADE =120°，那么∠B 等于 A 、130° B 、120° C 、80° D 、60°3、以下手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形旳是ABCD4、把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A 、()231y x =+-B 、()233y x =++ C 、()231y x =--D 、()233y x =-+5、△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′旳位似比是1∶2，假如△ABC 旳面积是3，那么△A ′B ′C ′旳面积等于 A 、3B 、6C 、9D 、126、假如关于x 旳一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 旳取值范围是 A 、m ＞2B 、m ≥3C 、m ＜5D 、m ≤57、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠旳值是 A、512B 、513C 、1213 D 、1258、如图，在10×10旳网格中，每个小方格差不多上边长为1旳小正方形，每个小正方形旳顶点称为格点、假如抛物线通过图中旳三个格点，那么以这三个格点为顶点旳三角形称为该抛物线旳“内接格点三角形”、设对称轴平行于y 轴旳抛物线与网格对角线OM 旳两个交点为A ，B ，其顶点为C ，假如△ABC是该抛物线旳内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C旳横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件旳抛物线条数是 A 、7B 、8C 、14D 、16【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-旳图象上，AB ⊥x 轴于点B ，那么△AOB 旳面积等于、10、如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ，CB ，AC ′旳延长线相交于点D ，假如∠D =28°，那么BAC ∠=°、 11、如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边旳交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 旳对应点为A ，C ，那么线段CE 旳长应等于、12、在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m 〔其中0m >〕，点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2旳圆上，假如动点P 满足90APB ∠=︒，〔1〕线段OP 旳长等于〔用含m 旳代数式表示〕；〔2〕m 旳最小值为、【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒、 14、解方程：2410x x -+=、15、如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 旳延长线上，PC ，PD与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E 、假如⊙O 旳半径等于1tan 2CPO ∠=，求弦CD 旳长、16、如图，正方形网格中旳每个小正方形旳边长差不多上1，每个小正方形旳顶点叫做格点、△ABC 旳三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''、〔1〕在正方形网格中，画出△AB C ''；〔2〕计算线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域旳面积、〔结果保留π〕17、某商店以每件20元旳价格购进一批商品，假设每件商品售价a 元，那么每天可卖出(80010)a -件、假如商店打算要每天恰好盈利8000元，同时要使每天旳销售量尽量大，求每件商品旳售价是多少元、18、假如关于x 旳函数2(2)1y ax a x a =++++旳图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 旳值、【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、如图，小明同学在东西方向旳环海路A 处，测得海中灯塔P在它旳北偏东60°方向上，在A 旳正东400米旳B 处，测得海中灯塔P 在它旳北偏东30°方向上、问：灯塔P 到环海路旳距离PC 取1.732，结果精确到1米〕20、如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上、〔1〕求证：△EBF ∽△FCD ；〔2〕连接DH ，假如BC=12，BF =3，求tan HDG ∠旳值、21、如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称、E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M 、〔1〕请依题意补全图形；〔2〕求证：AOC DBC ∠=∠；〔3〕求BMBC旳值、 22、抛物线C ：2=23y x x +-.〔1〕补全表中，两点旳坐标，并在所给旳平面直角坐标系中画出抛物线C ；〔2〕将抛物线C 上每一点旳横坐标变为原来旳2倍，纵坐标变为原来旳12，可证明得到旳曲线仍是抛物线，〔记为1C 〕，且抛物线1C 旳顶点是抛物线C 旳顶点旳对应点，求抛物线1C 对应旳函数表达式.【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕23、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数my x=〔m 为常数〕旳图象G 上，连接AO 并延长与图象G 旳另一个交点为点C ，过点A 旳直线l 与x 轴旳交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E 、〔1〕求m 旳值及直线l 对应旳函数表达式；〔2〕求点E 旳坐标；〔3〕求证：BAE ACB ∠=∠、24、如图，等边三角形ABC 旳边长为4，直线l 通过点A 并与AC 垂直、当点P 在直线l上运动到某一位置〔点P 不与点A 重合〕时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，记点P 旳对应点为Q ，线段PA 旳长为m 〔0m >〕、（1） ①QBC ∠=︒；②如图1，当点P 与点B 在直线AC 旳同侧，且3m =时，点Q 到直线l 旳距离等于；（2）当旋转后旳点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 旳位置分别记为0P ，0Q 、在图2中画出现在旳线段0P C 及△0BCQ ，并直截了当写出相应m 旳值；〔3〕当点P 与点B 在直线AC 旳异侧，且△PAQ 时，求m 旳值、 25、如图1，关于平面上不大于90︒旳MON ∠，我们给出如下定义：假设点P 在MON ∠旳内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，那么称PE PF +为点P 相关于MON ∠旳“点角距离”，记为(),d P MON ∠、如图2，在平面直角坐标系xOy 中，关于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上旳动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成旳图形记为图形G 、〔1〕满足条件旳其中一个点P 旳坐标是，图形G 与坐标轴围成图形旳面积等于；〔2〕设图形G 与x 轴旳公共点为点A ，(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠旳值；〔3〕假如抛物线212y x bx c =-++通过〔2〕中旳A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间旳抛物线上〔点Q 可与A ，B 两点重合〕，求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q旳坐标、北京市西城区2018-2018学年度第一学期期末九年级数学试卷参考【答案】及评分标准2018.1【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕 9、3、10.28、11.415、12.〔1〕m ；〔2〕3. 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232=-⎝⎭3分 121.2=…………………………………………………………………………………5分 14、解：2410x x -+=、∵1a =，4b =-，1c =，………………………………………………………1分∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=、………………………………………………2分∴x ==………………………………………………3分422±== ∴原方程旳解是12x =+22x =5分15、解：连接OC 、〔如图1〕∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴OC ⊥PC ，………………………………………………………………………1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD 、∴CD ⊥OP ，CD =2CE 、…………………………2分∵21tan =∠CPO ， ∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=、……………3分设OE=k ，那么CE=2k ，OC =、〔0k >〕 ∵⊙O 旳半径等于=3k =、∴CE=6、…………………………………………………………………………4分 ∴CD =2CE=12、…………………………………………………………………5分16、〔1〕画图见图2、……………………………2分〔2〕由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，因此AB=5、……………………3分线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域是一个扇形，且它旳圆心角为90°，半径为5、………………………………………4分 ∴221125ππ5π444AB B S AB '=⨯=⨯=扇形、 ……………………………………5分因此线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域旳面积为25π4、 17、解：依照题意，得(20)(80010)8000a a --=、〔20≤a ≤80〕……………………1分整理，得210024000a a -+=、可得(40)(60)0a a --=、解方程，得140a =，260a =、……………………………………………………3分当140a =时，800108001040400a -=-⨯=〔件〕、当260a =时，800108001060200a -=-⨯=〔件〕、因为要使每天旳销售量尽量大，因此40a =、…………………………………4分答：商店打算要每天恰好盈利8000元，同时要使每天旳销售量尽量大，每件商品旳售价应是40元、………………………………………………………………………5分 18、解：〔1〕当0a =时，函数21y x =+旳图象与x 轴只有一个公共点成立、…………1分〔2〕当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 旳二次函数、∵它旳图象与x 轴只有一个公共点，∴关于x 旳方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等旳实数根、………2分∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=、………………………………………………3分整理，得2340a -=、解得a =、……………………………………………………………5分综上，0a =或a =、【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、解：如图3，由题意，可得∠PAC =30°，∠PBC =60°、 …………………………………………2分∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒、∴∠PAC=∠APB 、∴PB =AB =400、……………………………3分在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.4PC PB PBC =⋅∠==≈346〔米〕、………………4分答：灯塔P 到环海路旳距离PC 约等于346米、……………………………………5分 20、〔1〕证明：如图4、∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，BC =CD ，GH=EF=FG 、又∵点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴∠EFB =∠FDC 、……………………1分 ∴△EBF ∽△FCD 、……………………2分〔2〕解：∵BF =3，BC =CD =12，∴CF =9，15DF 、由〔1〕得BE CFBF CD=、 ∴399124BF CF BE CD ⨯⨯===、……………………………………………3分∴154GH FG EF ==、……………………………………4分454DG DF FG =-=、 ∴1tan 3GH HDG DG ∠==、…………………………………………………5分21、〔1〕补全图形见图5、…………………………………………1分〔2〕证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴∠DBC =2∠ABC 、……………………………2分又∵2AOC ABC ∠=∠，∴AOC DBC ∠=∠、……………………………3分〔3〕解：∵，∴∠A =∠D 、又∵AOC DBC∠=∠，∴△AOE ∽△DBM∴OE BMOA BD=、 ∵3OC OE =，OA=OC ， ∴13BM OE OE BD OA OC ===、 ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴BC =BD 、BF=BF∴13BM BM BC BD ==、…………………………………………………………5分 22、解：〔1〕(1,4)A --，(3,0)B -、………………………………………………………2分画图象见图6、………………………………………………………………3分〔2〕由题意得变换后旳抛物线1C 旳相关点旳坐标如下表所示：设抛物线1C 对应旳函数表达式为2(2)2y a x =+-、〔a ≠0〕 ∵抛物线1C 与y 轴交点旳坐标为(0, 1.5)-，∴3422a -=-、解得18a =、∴221113(2)28822y x x x =+-=+-、………5分∴抛物线1C 对应旳函数表达式为2113822y x x =+-说明：其他正确解法相应给分、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕 23、解：〔1〕∵点1(,2)2A 在反比例函数my x=〔m 为常数〕旳图象G 上， ∴1212m =⨯=、………………………………………………………………1分 ∴反比例函数m y x =〔m 为常数〕对应旳函数表达式是1y x=、设直线l 对应旳函数表达式为y kx b =+〔k ，b 为常数，k ≠0〕、∵直线l 通过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 对应旳函数表达式为44y x =-+、………………………………2分〔2〕由反比例函数图象旳中心对称性可知点C 旳坐标为1(,2)2C --、…………3分 ∵CE ∥x 轴交直线l 于点E ， ∴E C y y =、∴点E 旳坐标为3(,2)2E -、…………………………………………………4分〔3〕如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 旳y 轴旳垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH ⊥BG 于点H ，那么BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠、 ∵1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E -，∴点F 旳坐标为1(,2)2F -、∴CF =EF 、 ∴AC =AE 、∴∠ACE =∠AEC 、…………………………5分∵点(3,)B n 在图象G 上，∴13n =，∴1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -、在Rt △ABG 中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-，在Rt △BCH 中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ABH CBH ∠=∠、…………………………………………………………6分 ∴BCE ABH ∠=∠、∵BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠， ∴∠BAE =∠ACB 、……………………………………………………………7分24、解：〔1〕①QBC ∠=90︒；………………………………………………………………1分②m =3时，点Q 到直线l 旳距离等于、………………………………2分〔2〕所画图形见图8、…………………………3分m =4分〔3〕作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 旳垂线交l∵CA ⊥直线l ，∴∠CAP =90︒、易证四边形ADFG 为矩形、∵等边三角形ABC 旳边长为4，∴∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒、 ∵将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ 、∴AP =BQ =m ，∠PAC =∠QBC =90︒、 ∴∠QBF =60︒、在Rt △QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ，∴QF =、……………………………………………………………5分要使△PAQ 存在，那么点P 不能与点A ，0P 重合，因此点P 旳位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P 在〔2〕中旳线段0P A 上〔点P 不与点A ，0P 重合〕时，可得0m <<Q 在直线l 旳下方、∴2DQ DF QF =-=、∵1APQ S APDQ ∆=⋅=∴1(2)2m =、240m -+=、解得1m=或2m=经检验，m =0m <<7分② 如图10，当点P 在〔2〕中旳线段0AP 旳延长线上〔点P 不与点A ，0P 重合〕时，可得m >Q 在直线l 旳上方、 ∴22DQ QF DF =-=-、∵12APQS AP DQ ∆=⋅=∴.12)2m -=、整理，得2330m --=、解得m 〔舍负〕、经检验，m =在3m >8分综上所述，m =32132+时，△PAQ 、25、解：〔1〕满足条件旳其中一个点P 旳坐标是(5,0)；…………………………………1分〔说明：点(,)P x y 旳坐标满足5x y +=，0≤x ≤5，0≤y ≤5均可〕图形G 与坐标轴围成图形旳面积等于252、…………………………………2分〔2〕如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，那么MF =1，作MD ∥x 轴，交OB于点D ，作BK ⊥x 轴于点K 、由点B 旳坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应旳函数关系式为43y x =、 ∴点D 旳坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=、 ∴OB =5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=、 ∴13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=、 ………………………………………3分 ∴1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=、 ………………………………………4分〔3〕∵抛物线212y x bx c =-++通过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线对应旳函数关系式为215222y x x =-++、………………………5分如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H 、作QN ∥x 轴，交OB 于点N 、设点Q 旳坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5，那么215222QH n m m ==-++、同〔2〕得4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=、 ∴点N 旳坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-、 ∴43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-、 ∴4342(,)5555d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+ 24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++ 2121(4)55m =--+、 ∴当4m =〔在3≤m ≤5范围内〕时，(),d Q AOB ∠取得最大值〔215〕、 …………………………………………………………6分现在点Q 旳坐标为5(4,)2、…………………………………………………7分。

2015年北京西城初三上期末数学试卷

2015年北京西城初三上期末数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是（）．A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果120ADE ∠=︒，那么B ∠等于（）． A ．130︒ B ．120︒ C ．80︒ D ．60︒3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）． A ．2(3)1y x =+- B ．2(3)3y x =++C ．2(3)1y x =--D ．2(3)3y x =-+5．ABC △与A B C '''△是位似图形，且ABC △与A B C '''△的位似比是1:2，如果ABC △的面积是3，那么A B C '''△的面积等于（）． A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是（）． A ．2m >B ．3m ≥C ．5m <D ．5m ≤7．如图，在Rt ABC △中，sin 90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）．A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1258．如图，在1010⨯的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果ABC △是该抛物线的内接格点三角形，32AB =，且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A C B x x x <<，那么符合上述条件的抛物线条数是（）．A ．7B ．8C ．14D ．169．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，AB x ⊥轴于点B ，那么AOB △的面积等于__________．10．如图，将ABC △绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到AB C ''△，使AB CB '∥，CB ，AC '的延长线相交于点D ，如果28D ∠=︒，那么BAC ∠=__________︒．11．如图，点D 为ABC △外一点，AD 与BC 边的交点为E ，3AE =，5DE =，4BE =，要使BDE ACE ∽△△，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于__________（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒．14．解方程：2410x x -+=．15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于35，1tan 2CPO ∠=，求弦CD 的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC △的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC △绕点A 顺时针方向旋转90︒得到AB C ''△．（1）在正方形网格中，画出AB C ''△．（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60︒方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30︒方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于多少米？（3取1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．（1）求证：EBF FCD ∽△△．（2）连接DH ，如果12BC =，3BF =，求tan HDG ∠的值．21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．（1）请依题意补全图形．（2）求证：AOC DBC ∠=∠．（3）求BMBC的值．22．已知抛物线C ：2=23y x x +-．抛物线顶点坐标与x 轴交点坐标与y 轴交点坐标抛物线C ：2=23yx x +-( )A ( )B (1,0)(0,3)-变换后的抛物线1C（1）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ．（2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为1C ），且抛物线的顶点是抛物线C 的顶点的对应点，求抛物线对应的函数表达式．1C 1C五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数m y x=（m 为常数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE x ∥轴交直线l 于点E ．（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式．（2）求点E 的坐标．（3）求证：BAE ACB ∠=∠．24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l 上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将ACP △绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到BCQ △，记点P 的对应点为Q ，线段PA 的长为m （0m >）．（1）①QBC ∠=__________︒．②如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离等于__________．（2）当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2中画出此时的线段0P C 及0BCQ △，并直接写出相应m 的值．（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PAQ △的面积等于时，求m 的值．3425．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为(,)d P MON ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足(,)5d P xOy ∠=，点P 运动形成的图形记为图形G ．（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是__________，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于__________．（2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(,)d M AOB ∠的值．（3）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(,)d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．2015年北京西城初三上期末数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案A BBCDDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．310．2811．415．12．（1）m ；（2）3三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒23233()2322=⨯+-⨯1332=+-12=．14．解：2410x x -+=． ∵1a =，4b =-，1c =，∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=． ∴2441222b b ac x a -±-±==423232±==±． ∴原方程的解是123x =+，223x =-．15．解：连接OC ．∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ， ∴OC PC ⊥，PC PD =，OPC OPD ∠=∠． ∴CD OP ⊥，2CD CE =．∵1tan 2CPO ∠=，∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．设OE k =，则2CE k =，5OC k =．（0k >） ∵⊙O 的半径等于35， ∴535k =，解得3k =． ∴6CE =． ∴212CD CE ==．16．（1）画图如图所示．（2）由图可知ABC △是直角三角形，4AC =，3BC =，所以5AB =．线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域是一个扇形，且它的圆心角为90︒，半径为5． ∴ 221125ππ5π444AB BSAB '=⨯=⨯=扇形．所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25π4．17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（2080a ≤≤）整理，得210024000a a -+=．可得(40)(60)0a a --=．解方程，得140a =，260a =．当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）．当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =．答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．（2）当0a ≠时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数． ∵它的图象与x 轴只有一个公共点，∴关于x 的方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根．∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．整理，得2340a -=．解得233a =±．综上，0a =或233a =±．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图，由题意，可得30PAC ∠=︒，60PBC ∠=︒． ∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．∴PAC APB ∠=∠． ∴ 400PB AB ==．在Rt PBC △中，90PCB ∠=︒，60PBC ∠=︒，400PB =，∴3sin 4002003346.43462PC PB PBC =⋅∠=⨯==≈（米）．答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米．20．（1）证明：如图．∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴90B C ∠=∠=︒，90EFG ∠=︒，BC CD =，GH EF FG ==．又∵点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴90DFC EFB ∠+∠=︒，90DFC FDC ∠+∠=︒， ∴EFB FDC ∠=∠．（2）解：∵3BF =，12BC CD ==， ∴9CF =，2215DF CF CD =+=．由（1）得BE CFBF CD=． ∴399124BF CF BE CD ⨯⨯===．∴22154GH FG EF BE BF ===+=． 454DG DF FG =-=． ∴1tan 3GH HDG DG ∠==．21．（1）补全图形见图．（2）证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴2DBC ABC ∠=∠．又∵2AOC ABC ∠=∠， ∴AOC DBC ∠=∠．（3）解：∵»»BF BF =， ∴A D ∠=∠．又∵AOC DBC ∠=∠， ∴AOE DBM ∽△△．∴OE BMOA BD=． ∵3OC OE =，OA OC =，∴13BM OE OE BD OA OC ===． ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴BC BD =． ∴13BM BM BC BD ==．22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -．画图象见图．（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：抛物线顶点坐标与x 轴交点坐标与y 轴交点坐标变换后的抛物线1C(2,2)A '--(6,0)B '- (2,0)(0, 1.5)-设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（0a ≠） ∵抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-， ∴3422a -=-．解得18a =． ∴221113(2)28822y x x x =+-=+-． ∴抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵点1(,2)2A 在反比例函数m y x=（m为常数）的图象G 上， ∴1212m =⨯=．∴反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x=．设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）．∵直线l 经过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴1220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得44k b =-⎧⎨=⎩．∴直线l 对应的函数表达式为44y x =-+．（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2C --． ∵CE x ∥轴交直线l 于点E ， ∴E C y y =．∴点E 的坐标为3(,2)2E -．（3）如图，作AF CE ⊥于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH BG ⊥于点H ，则BH CE ∥，BCE CBH ∠=∠． ∵1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E-，∴点F 的坐标为1(,2)2F -． ∴CF EF =． ∴AC AE =．∴ACE AEC ∠=∠．∵点(3,)B n 在图象G 上，∴13n =， ∴1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -．在Rt ABG △中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-，在Rt BCH △中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ABH CBH ∠=∠． ∴BCE ABH ∠=∠．∵BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠，∴BAE ACB ∠=∠．24．解：（1）①90QBC ∠=︒； ②3m =时，点Q 到直线l 的距离等于32+32．（2）画图如图所示． 433m =．（3）作BG AC ⊥于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ． ∵CA ⊥直线l ， ∴90CAP ∠=︒．易证四边形ADFG 为矩形． ∵等边三角形ABC 的边长为4，∴60ACB ∠=︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒． ∵将ACP △绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到BCQ △，∴ACP △≌BCQ △．∴AP BQ m ==，90PAC QBC ∠=∠=︒ ︒． ∴60QBF ∠=︒．在Rt QBF △中，90QFB ∠=︒，60QBF ∠=︒，BQ m =， ∴32QF m =．要使PAQ △存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两种情况：如图，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得4303m <<，此时点Q 在直线l 的下方．∴322DQ DF QF m =-=-． ∵1324APQ S AP DQ =⋅=△， ∴133(2)224m m -=．整理，得23430m m -+=．解得133m =或23m =．经检验，33m =或3在4303m <<的范围内，均符合题意．如图，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得433m >，此时点Q 在直线l 的上方．∴322DQ QF DF m =-=-． ∵1324APQ S AP DQ =⋅=△， ∴133(2)224m m -=．整理，得 234330m m --=．解得23213m ±=（舍负）．经检验，23213m +=在433m >的范围内，符合题意．综上所述，33m =或3或23213+时，PAQ △的面积等于34．25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=，05x ≤≤，05y ≤≤均可）图形G 与坐标轴围成图形的面积等于252．（2）如图，作ME OB ⊥于点E ，MF x ⊥轴于点F ，则1MF =，作M D x ∥轴，交OB 于点D D ，作BK x ⊥轴于点K ．由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43y x =． ∴点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=．∴OB=5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=．∴13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=．∴1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=．（3）∵抛物线212y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点，∴221055214332b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩．∴抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．如图，作QG OB ⊥于点G ，QH x ⊥轴于点H ．作QN x ∥轴，交OB 于点N ．设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中35m ≤≤，则215222QH n m m ==-++．同（2）得4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=． ∴点N 的坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-．∴43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-． ∴4342(,)5555d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++2121(4)55m =--+．∴当4m =（在35m ≤≤范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值215．此时点Q 的坐标为5(4,)2．2015年北京西城初三期末上数学试卷部分解析一、选择题 1．【答案】A【解析】二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是2-．故选A ．2．【答案】B【解析】四边形ABCD 内接于⊙O ，120B ADE ∠=∠=︒．故选B ． 3．【答案】B【解析】既是轴对称图形又是中心对称图形的是只有B ，选项A 、C 是轴对称图形，选项D 是中心对称图形．故选B ． 4．【答案】C【解析】把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为2(3)1y x =--．故选C ． 5．【答案】D【解析】ABC △与A B C '''△是位似图形，且ABC △与A B C '''△的位似比是1:2，面积比等于相似比的平方，即ABC △的面积是3，则A B C '''△的面积等于12．故选D ． 6．【答案】D【解析】关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，114(1)1404m m ∆=--=-+≥，解得5m ≤．故选D ．7．【答案】B【解析】∵90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， ∴BCD A ∠=∠．在在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，13AB =． 5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．故选B ． 8．【答案】C【解析】当(1,1)A ，(4,4)B ，(2,0)C 时，过A 、B 、C 三点的抛物线为2(2)y x =-，符合题意．将此抛物线依次向右平移，再向上平移1个单位，都符合题意，当(4,4)B 依次平移到(5,5)B 、(6,6)B 、(7,7)B 、(8,8)B 、(9,9)B 、(10,10)B ，一共有7个；同理，当(0,0)A ，(2,4)B ，(3,3)C 时，过A 、B 、C 三点的抛物线为2(2)4y x =--+，符合题意．将此抛物线依次向右平移，再向上平移1个单位，都符合题意，当(3,3)B 依次平移到(4,4)B 、(5,5)B 、(6,6)B 、(7,7)B 、(8,8)B 、(9,9)B ，一共有7个．故符合上述条件的抛物线一共有7714+=条．故选C ．二、填空题 9．【答案】3【解析】点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，32AOB k S ==△．答案为3． 10．【答案】28【解析】依题可知，AB CB '∥，28D B AC ''∠=∠=︒．有旋转的性质可知28BAC B AC ''∠=∠=︒．故答案为28．11．【答案】415【解析】∵BDE ACE ∽△△，∴43DE BE CE AE ==，∵3AE =，5DE =，4BE =，∴31544CE DE ==．故答案为415．12．【答案】（1）m ；（2）3【解析】∵90APB ∠=︒，AO BO =，∴12PO AB OA OB m ====． OC CP PO OC CP -+≤≤，(3,4)C ，5OC =，2CP r ==， ∴OP 最小值为3．故答案为（1）m ；（2）3．。

北京市西城区九年级上学期期末考试数学试题(含答案).pdf

17．某商店以每件 20 元的价格购进一批商品，若每件商品售价 a 元，则每天可卖出 (800 −10a) 件．如果商店计划要每天恰好盈利 8000 元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．
18．如果关于 x 的函数 y = ax2 + (a + 2)x + a +1的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a 的值．
解方程，得 a1 = 40， a2 = 60 ．…………………………………………………… 3 分
当 a1 = 40时， 800 −10a = 800 −10 40 = 400 （件）．
当 a2 = 60时， 800 −10a = 800 −1060 = 200 （件）．
因为要使每天的销售量尽量大，所以 a = 40． ………………………………… 4 分
北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末试卷
九年级数学
2015. 1
一、选择题(本题共 32 分，每小题 4 分)下面各题均有四个选项，其中只．有．一．个．是符合题意的．
1．二次函数 y = −(x+1)2 − 2 的最大值是（
）
A． −2
B． −1
C．1
D．2
2．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 CD 延长线上一点，如果 ADE=120°，那么∠B 等于（）
2
x
连接 AO 并延长与图象 G 的另一个交点为点 C，过点 A 的直线 l 与 x 轴的交点为点 D(1,0) ，过点 C 作 CE∥x
轴交直线 l 于点 E．
（1）求 m 的值及直线 l 对应的函数表达式；（2）求点 E 的坐标；（3）求证： BAE = ACB ．

2016西城区初三(上)期末数学

2016西城区初三（上）期末数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（）A．2 B．8 C． D．4．（3分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°7．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A．5 B．C．3 D．8．（3分）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．（3分）当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2010．（3分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），则a的取值范围是（）A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜D．＜a＜二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．（3分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）13．（3分）如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m（k≠0）与抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．（3分）考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（2）写出作图的依据：．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a （x﹣h）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．（5分）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．（5分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．（5分）测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（1）求证：AM=BM ；（2）若AM ⊥BM ，DE=8，∠N=15°，求BC 的长．26．（5分）阅读下列材料：有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x 2+bx +c=0（a ＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a ，b ，c 满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ＞0）对应的二次函数为y=ax 2+bx +c （a ＞0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a ，b ，c 满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx 2﹣（2m +3）x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．27．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x 2+mx +n 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若△OCP 是等腰直角三角形，求点P 的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2），若x 1＜2，x 2＞2，x 1+x 2＞4，试判断y 1与y 2的大小，并说明理由．28．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN 最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2+1，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】∵y=（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．【解答】∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2．故选D．5．【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴=，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．6．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．【解答】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r﹣1）2，r=，故选D．8．【解答】图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．【解答】AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．【解答】根据图象得：a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】根据题意得△=（﹣2）2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．【解答】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．【解答】∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为：3．14．【解答】∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为：0≤x≤3．15．【解答】∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．【解答】（1）如图所示，点O即为所求作的圆心；（2）作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【解答】原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．【解答】（1）y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=（x+2）2﹣1；（2）列表：如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．20．【解答】（1）证明：∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）解：由（1）△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．【解答】设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．22．【解答】（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．设这条抛物线的表达式为y=a（x﹣4）（x+4）．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．（2）当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．【解答】（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．【解答】（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．【解答】（1）证明：∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；（2）连接AO，BO，如图，由（1）可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．【解答】（1）补全表格如下：故答案为：方程有一个负实根，一个正实根，，；（2）解：设一元二次方程mx 2﹣（2m +3）x ﹣4m=0对应的二次函数为：y=x 2﹣（2m +3）x ﹣4m ， ∵一元二次方程mx 2+（2m ﹣3）x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．【解答】（1）抛物线 y=﹣x 2+mx +n 的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点 A （﹣5，0），点B （﹣1，0）．∴抛物线的表达式为y=﹣（x +5）（ x +1）∴y=﹣x 2﹣6x ﹣5．（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=﹣x 2+bx ．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x 正半轴交于点C （b ，0）． ∴b ＞0．记平移后的抛物线顶点为P ，∴点P 的坐标（，﹣+）， ∵△OCP 是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=180°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由（2）知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即：EN的最大值为，最小值为．29．【解答】（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．∵A（1，1），⊙O的半径为1，∴四边形AEOF是正方形，∴点A关于⊙O的“视角”为∠EAF=90°，设直线y=2与y轴的交点为P，过点P作⊙O的切线，切点分别为M、N．在Rt△POM中，∵PO=2OM，∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°，∴∠MPN=60°，∴直线y=2关于⊙O的“视角”为60°，故答案分别为90°，60°．②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，∴B（0，2），根据对称性点B得到坐标还可以为（2，0）或（﹣2，0）或（0，﹣2）（本题答案不唯一）（2）解：①如图1中，∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2+1，0），∴（﹣2+1）k+b=0，∴b=2k﹣k，∴直线l：y=kx+2k﹣k，对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点．∴CP⊥直线l．则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作CH⊥x轴于点H，∴点H的坐标为（1，0），∴DH=．∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，可求得点P的坐标（﹣+1，3）．∴3=（﹣+1）k+2k﹣k，∴k=．②如图2中，当⊙C与直线y=x+相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，∵直线y=x+与x轴的交点为A（﹣1，0），与y轴的交点为（0，），∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，∵PC⊥AP，在Rt△APC中，PC=1，∴AC=PC÷cos30°=，∴OC=﹣1，如图3中，设直线y=x+关于⊙C的“视角”为120°，作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切线，E、F是切点，则∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=，在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=，∴OC=﹣1=，∴直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°时，圆心C的横坐标x C的取值范围﹣1＜x C＜．。

2015~2016学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷附答案

2015~2016学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷说明：1、全卷共4页，五道大题。

2、考试时间100分钟，满分120分。

一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D2、下列事件是必然事件的是（）A、明天太阳从西边升起B、掷出一枚硬币，正面朝上C、打开电视机，正在播放“新闻联播”D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°3、一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋里随机摸出一个球，摸出的球是红色的概率是（）A 、B 、 C、D 、4、在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A、 B、2 C、4 D、65、用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A、（x+5）2=16B、（x+5）1=1C、（x+10）2=91D、（x+10）2=1096、若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为（）A、－1B、－2C、－3D、－47、如图，∠O =30°，C为OB上的一点，且OC=6，以点C为圆心、半径为3的圆与OA的位置关系是（）A、相离B、相交C、相切D、以上三种情况均有可能8、如图，在⊙O中直径垂直于弦AB，若∠C=25°则∠BOD的度数是（）A、25°B、30°C、40°D、50°9、某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场所，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列出的方程为（）A、x（x－11）=180B、2x+2（x－11）=180C、x（x+11）=180D、2x+2（x+11）=18010、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图像见如图，关于该函数的说法错误的是（）A、函数有最小值第7题图第8B 、对称轴是直线x=1/2C 、当x ﹤1/2，y 随x 增大而减小D 、当－1﹤x ﹤2时，y ﹥0二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11、如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得△ADE ，则∠BAD= 度。

2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误！未找到引用源。

2015-2016学年第一学期期末考试九年级数学附答案

14．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为每平方米7800元，设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为▲．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝130°，则扇形OBAD的面积为▲．
16．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2－2mx+1(m≠0)的图像时发现：无论m如何变化，该图像总经过两个定点（0，1）和（▲，▲）．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）解方程：3x(x-2)=x-2（2）x2－4x－1＝0
18．（6分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？
25．（8分）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．
26．（10分）如图①，A、B、C、D四点共圆，过点C的切线CE∥BD，与AB的延长线交于点E．
2015－2016学年第一学期期末考试九年级数学
（满分：120分考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．方程x(x＋2) =0的解是（▲）
A．－2
B．0，－2
C．0，2
D．无实数根
2．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是（▲）

2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2015-2016学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.二次函数y=（x-5）2+7的最小值是（）A. B. 7 C. D. 52.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为（）A.B.C.D.3.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A. 12B.C.D.4.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=（x-h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.5.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12πcm，则此扇形的圆心角等于（）A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为（）A.B.C.D.7.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A. 40海里B. 海里C. 海里D. 海里8.如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A.B.C.D.9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A. B.C. D.10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A. 8B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若，则的值为______．12.点A（-3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为______．14.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=______．15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=116.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．18.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．19.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22.已知抛物线C1：y1=2x2-4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．23.如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=，sin A=，求PC的长．26.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（-3，-1）两点．观察图象可知：①当x=-3或1时，y1=y2；②当-3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＜；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x-1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为______；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x-4＞0的解集为______．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=-x+3与二次函数y=-+bx+c 的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=-+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．28.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=______，NM与AB的位置关系是______；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小29.在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为______°；②自点A（-1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=（x-5）2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选B．根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-，函数最大值y=．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】C【解析】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选：C．连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．4.【答案】C【解析】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=（x-3）2-4，故选：C．运用配方法把一般式化为顶点式即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵点A的坐标为（-1，2），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1的坐标为（-2，4）．直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A1的坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；故选D．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8.【答案】C【解析】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，故选：C．根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60-x）（300+20x），故选：B．根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．10.【答案】D【解析】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D 选项带入其中，并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=-2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘老师能够采纳．解：∵抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴m＜0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，令y=0，则2x2-8x-42=0，解得x1=-3，x2=7，则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；故选：D．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．熟练应用比例的合比性质．12.【答案】＞【解析】解：当x=-3时，y1=x2-5x=24；当x=2时，y2=x2-5x=-6；∵24＞-6，∴y1＞y2．故答案为：＞．分别计算自变量为-3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】90【解析】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．14.【答案】10【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．15.【答案】102+（x-5+1）2=x2【解析】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x-5+1）2=x2．故答案为：102+（x-5+1）2=x2．设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解．16.【答案】直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．17.【答案】解：原式=4××-（）2=6-=．【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC-BD=15-6=9，∴AD=，∴tan C=．即tan C的值是．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19.【答案】解：（1）令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3．则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则对称轴是x=1，顶点C的坐标是（1，4）；（2）D的坐标是（1，-4）．AB=3-（-1）=4，CD=4-（-4）=8，则四边形ACBD的面积是：AB•CD=×4×8=16．【解析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．20.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【解析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．21.【答案】解：设人行道的宽度为x米，由题意得，2××（8-2x）=60，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.【答案】解：（1）根据题意得：△=16-8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2-4x+2=2（x-1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2-8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2-8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2-8中，令y=0，解得：x=1或-3．则当n＜t时，即2（x+1）2-8＜0时，m的范围是-3＜m＜1．【解析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△=0，据此即可求得k的值；（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；（3）首先求得t的值，然后求得等y=t时C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m的范围是关键．23.【答案】解：（1）∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；（2）如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，则∠BAF′=∠OAF′-∠OAB=15°，∴∠BAF的度数是75°或15°．【解析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．24.【答案】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【解析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25.【答案】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA=∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°．∴∠AED=∠B．∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB=10，sin A=，∴BC=AB•=6．∴AC==8．∵DE=，sin A=，∴AE=．∴EC=AC-AE=8-=．∵PC=PE，PF⊥EC，∴EF=．∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，∴△AED∽△PEF．∴，．解得：EP=．∴PC=．【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．26.【答案】±1和-4；x＞1或-4＜x＜-1【解析】解：（2）；（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4．则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4．故答案是：±1和-4；（4）不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，此时x的范围是：x＞1；当x＜0时，x2+4x-1＜，则-4＜x＜-1．故答案是：x＞1或-4＜x＜-1．（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；（3）根据图象即可直接求解；（4）根据已知不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，根据图象即可直接写出答案．本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，分成两种情况讨论是本题的关键．27.【答案】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y=-x2+x-2；（2）联立抛物线与直线，得，解得，，即B（2，1），C（5，-2）．由勾股定理，得AB==；（3）如图：，四边形ABCN是平行四边形，证明：∵M是AC的中点，∴AM=CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，∵M是线段AC的中点，∴MA=MC.∴四边形ABCN是平行四边形．一次函数y=-x+3的图像于x轴交于点E.当y=0时，x=3.∴点E的坐标为（3，0）∴DE=1=DB.在Rt BDE中，DBE=DEB=45同理DAB=DBA=450∴ABE=DBA+DBE=900∴四边形ABCN是矩形.【解析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．28.【答案】；垂直；BD为6，ME最小为7.【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴AD==2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∵N为ED的中点，∴AN=DE=，∵M为AB的中点，∴AM=AB=2，∵=，==，∴，∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，同理=，∴，∵∠DAC=45°-∠CAN=∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN=∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4，MB=2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是7．（1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD==2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．29.【答案】45；（-，【解析】解：（1）答案如图：（2）①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光与切线的夹角为45°．②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形，∴入射光线与反射光线夹角为150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（-，）．（3）如图：当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1-（2-m）2，∴PO2=m2+1-（2-m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2-m2，∴OC=PN+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2-m2=（+）2，∴m1=2-，（m2=2+，m3=4，不合题意舍弃），∴根据左右对称性得到：满足条件的反射点P的纵坐标：1．（1）（2）两个问题，要根据题意，画出图象，可以解决．（3）当反射光线平行X轴时，反射光线与坐标轴没有交点，只要求出这样的反射点，就可以解决这个问题了．这是个几何，代数综合题．考查的知识点比较多，用到数形结合的思想，要求作图能力强，学会用方程的思想去思考．。

北京市西城区九年级数学上学期期末考试试题

北京市西城区2015届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1- C．1 D ．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，E为CD 延长线上一点，如果∠ADE =120°，那么∠B 等于 A ．130° B ．120° C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104xx m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是A ．7B ．8C ．14D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，那么△AOB 的面积等于．10．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ， CB ，AC ′的延长线相交于点D ，如果∠D =28°，那么BAC ∠= °．11．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于．12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒． 14．解方程：2410x x -+=．15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于1tan 2CPO ∠=，求弦CD 的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''．（1）在正方形网格中，画出△AB C ''；（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．（1）求证：△EBF ∽△FCD ；（2）连接DH ，如果BC=12，BF =3，求tan HDG ∠的值．21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．（1）请依题意补全图形；（2）求证：AOC DBC ∠=∠；（3）求BMBC的值．22．已知抛物线C ：2=23y x x +-.（1）补全表中，两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ；（2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数表达式.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数my x=（m 为常数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与 x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E ．（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式；（2）求点E 的坐标；（3）求证：BAE ACB ∠=∠．24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，记点P 的对应点为Q ，线段PA 的长为m （0m >）．（1） ①QBC ∠= ︒；② 如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离等于；（2）当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2中画出此时的线段0P C 及△0BCQ ，并直接写出相应m 的值；（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△PAQ 时，求m 的值．25．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于 MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成的图形记为图形G ．（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于；（2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠的值；（3）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3． 10.28． 11.415． 12.（1）m ；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： 23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒232=-⎝⎭ (3)分 121.2= ………………………………………………………………………………… 5分14．解：2410x x -+=．∵ 1a =，4b =-，1c =， ……………………………………………………… 1分∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=．……………………………………………… 2分∴ 42x ±==……………………………………………… 3分 2==± ∴ 原方程的解是12x =22x =……………………………………5分15．解：连接OC ．（如图1）∵ PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴ OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．∴ CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分∵ 21tan =∠CPO ， ∴ 1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．……………3分设 OE=k ，则CE=2k ，OC =．（0k >） ∵ ⊙O 的半径等于 ∴=3k =．∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD =2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分16．（1）画图见图2． …………………………… 2分（2）由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，所以AB=5．…………………… 3分线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．……………………………………… 4分 ∴ 221125ππ5π444AB B S AB '=⨯=⨯=扇形． …………………………………… 5分所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25π4． 17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（20≤a ≤80） …………………… 1分整理，得 210024000a a -+=．可得 (40)(60)0a a --=．解方程，得140a =，260a =．…………………………………………………… 3分当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）．当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =． ………………………………… 4分答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．……………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．…………1分（2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，∴ 关于x 的方程 2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根． ………2分∴ 2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．………………………………………………3分整理，得 2340a -=．解得a =．…………………………………………………………… 5分综上，0a =或a =．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图3，由题意，可得∠PAC =30°，∠PBC =60°．………………………………………… 2分 ∴ 30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．∴ ∠PAC=∠APB ．∴ PB =AB = 400．…………………………… 3分在Rt△PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.4PC PB PBC =⋅∠===≈346（米）．………………4分答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分 20．（1）证明：如图4．∵ 正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴ ∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，BC =CD ，GH=EF=FG ．又∵ 点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴ ∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴ ∠EFB =∠FDC ． …………………… 1分 ∴ △EBF ∽△FCD ．…………………… 2分（2）解：∵ BF =3，BC =CD =12，∴ CF =9，15DF ．由（1）得BE CFBF CD=． ∴ 399124BF CF BE CD ⨯⨯===． …………………………………………… 3分∴154GH FG EF ==．……………………………………4分454DG DF FG =-=．∴ 1tan 3GH HDG DG ∠==． ………………………………………………… 5分21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分（2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴ ∠DBC =2∠ABC ． ……………………………2分又∵2AOC ABC ∠=∠，∴ AOC DBC ∠=∠．……………………………3分（3）解：∵，∴ ∠A=∠D ．又∵ AOC DBC ∠=∠，∴ △AOE ∽△DBM ．∴OE BMOA BD=． ∵ 3OC OE =，OA =OC ，∴ 13BM OE OE BD OA OC ===．BF=BF∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴ BC =BD ． ∴13BM BM BC BD ==．………………………………………………………… 5分 22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -． ……………………………………………………… 2分画图象见图6．……………………………………………………………… 3分（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（a ≠0） ∵ 抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-， ∴ 3422a -=-．解得 18a =． ∴ 221113(2)28822y x x x =+-=+-．……… 5分 ∴ 抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-说明：其他正确解法相应给分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点1(,2)2A 在反比例函数my x =（m 为常数）的图象G 上，∴ 1212m =⨯=．………………………………………………………………1分∴ 反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x=．设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）．∵ 直线l 经过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴ 12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 对应的函数表达式为44y x =-+． ………………………………2分（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2C --． ………… 3分 ∵ CE ∥x 轴交直线l 于点E ，∴ E C y y =．∴ 点E 的坐标为3(,2)2E -．………………………………………………… 4分（3）如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH ⊥BG 于点H ，则BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠．∵ 1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E -，∴ 点F 的坐标为1(,2)2F -．∴ CF =EF ． ∴ AC =AE ．∴ ∠ACE =∠AEC ．………………………… 5分∵ 点(3,)B n 在图象G 上，∴ 13n =，∴ 1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -．在Rt△ABG 中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-，在Rt△BCH 中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ ABH CBH ∠=∠．………………………………………………………… 6分 ∴ BCE ABH ∠=∠．∵ BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠，∴ ∠BAE =∠ACB ． …………………………………………………………… 7分24．解：（1）①QBC ∠= 90︒；………………………………………………………………1分② m =3时，点Q 到直线l 的距离等于．……………………………… 2分（2）所画图形见图8．………………………… 3分 m =4分（3）作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ．∵ CA ⊥直线l ，∴ ∠CAP =90︒．易证四边形ADFG 为矩形．∵ 等边三角形ABC 的边长为4， ∴ ∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒． ∵ 将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ， ∴ △ACP ≌△BCQ ．∴ AP = BQ = m ，∠PAC =∠QBC =90︒． ∴ ∠QBF =60︒．在Rt△QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ， ∴QF =．…………………………………………………………… 5分要使△PAQ 存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得0m <<，此时点Q 在直线l 的下方． ∴2DQ DF QF =-=．∵12APQ S AP DQ ∆=⋅=∴1(2)2m -=．240m -+=．解得1m =或2m经检验，m =0m <<的范围内，均符合题意．… 7分② 如图10，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得m >Q 在直线l 的上方． ∴2DQ QF DF =-=-． ∵12APQ S AP DQ ∆=⋅=∴.12)2m -=．整理，得2330m --=．解得m =．经检验，m =m >的范围内，符合题意．…………8分综上所述，m =32132+时，△PAQ．25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；………………………………… 1分（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=， 0≤x ≤5，0≤y ≤5均可）图形G 与坐标轴围成图形的面积等于252．…………………………………2分（2）如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，则MF =1，作MD ∥x 轴，交OB于点D ，作BK ⊥x 轴于点K ．由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43y x =． ∴ 点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=． ∴ OB =5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=．∴ 13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=．……………………………………… 3分∴ 1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=．……………………………………… 4分（3）∵ 抛物线212y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴ 221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩∴ 抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．………………………5分如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．作QN ∥x 轴，交OB 于点N ．设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5，则215222QH n m m ==-++．同（2）得 4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=． ∴ 点N 的坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-．∴ 43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-． ∴ 434(,)5555d Q AOB QG QH m n n ∠=+=-+=24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++2121(4)55m =--+．∴ 当4m =（在3≤m ≤5范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值（215）． ………………………………………………………… 6分此时点Q 的坐标为5(4,)2．…………………………………………………7分。

2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

西城区2015-2016学年度第一学期期末九年级数学试题(含答案)

北京市西城区2015- 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学 2016.1一、选择题（本题共30分,每小题3分）下面各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7-B ．7C ．5-D ．52．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45 D ．343．如图,⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．C ．D ．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式,下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°6．如图,在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1-，2）， AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的2倍，得到△OA 1B 1,且点A 1在第二象限,则点A 1 的坐标为A ．(2-，4）B ．（12-，1)C ．（2,4-）D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时,B 处与灯塔P 的距离BP 的长可以表示为A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图,A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是的中点，连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为A ．30°B ．45°C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后,每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件:当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方,则m 的值为A ．8B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =,则a bb+的值为． 12．点A （3-，1y ），B （2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“〉”,“<”或“="）13．△ABC 的三边长分别为5,12,13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°,AB =20．点D 在射线AC 上,且∠ADB 是钝角,写出一个满足条件的AD 的长度值：AD = ．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起,踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇,算出索长有几?” 【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高,如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时,踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗?” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺,人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为．BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题:小敏的作法如下:老师认为小敏的作法正确．请回答:连接OA ，OB 后,可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题(本题共72分,第17﹣26题，每小题5分，第27题7分,第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12,BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°．求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴;（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（1）求证：△ABD ∽△DCB ；（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21米,宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1)求k 的值；（2)怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3)若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =点C ，E 分别在⊙O 上,且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ．（1）求OA 的长；(2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下:如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0。

北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷

北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数()257y x=-+的最小值是（）．A．7-B．7C．5-D．5【答案】B【解析】当5x=时y取得最小值，最小值为7．2．如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，3AC=，4BC=，则cos A的值为（）．A．35B．53C．45D．34【答案】A【解析】在Rt ABC△中，由勾股定理得：5AB=．∴3 cos5ACAAB==．3．如图，⊙C与AOB∠的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若90AOB∠=︒，6OP=，则OC的长为（）．A．12B．C ．D ．【答案】C【解析】如图，连接C 点与切点，则QCPO 为正方形，∴CO ==4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是（）．A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-【答案】C【解析】22265(3)95(3)4y x x x x =-+=--+=--．5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12πcm ，则此扇形的圆心角等于（）． A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 【答案】D 【解析】∵π180n rl =， ∴18018012π120ππ18l n r ⨯===︒⨯．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)-，AB x ⊥轴于点B ．以原点O 为位似中心，将OAB △放大为原来的2倍，得到11OA B △，且点1A 在第二象限，则点1A 的坐标为（）．A ．(2,4)-B ．1(,1)2-C ．(2,4)-D ．(2,4) 【答案】A【解析】将OAB △放大为原来的2倍，且点A 的坐标为(1,2)-， ∴1A 坐标为(2,4)-．7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37︒方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与灯塔P 的距离BP 的长可以表示为（）．A ．40海里B ．40tan37︒海里C ．40cos37︒海里D ．40sin37︒海里【答案】D【解析】由图像知cos 40cos5340sin 37BP AP APB =⋅∠=⋅︒=⋅︒．8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在ABC △中，70ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 是BAC 的中点，连接DB ，DC ，则DBC ∠的度数为（）．A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．70︒ 【答案】C【解析】由题知18080BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴80BDC BAC ∠=∠=︒， ∵D 是BAC 的中点， ∴BD CD =， ∴180502BDCDBC ︒-∠∠==︒．9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为（）．A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =-- 【答案】B【解析】由题知y 与x 的关系式为(60)(30020)y x x =-+．10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（）．A ．8B ．10-C ．42-D ．24-【答案】D【解析】函数对称轴为直线22bx a=-=．又当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，∴222(2)8(2)026860m m ⎧⨯--⨯-+⎪⎨⨯-⨯+⎪⎩≤≥，解得24m =-．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb +的值为．【答案】74【解析】34a b =，∴34a b =，∴3(1)744ba b b b ++==．12．点1(3,)A y -，2(2,)B y 在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）【答案】>【解析】函数对称轴为直线5522x -=-=，且函数开口向上， 3-离对称轴更远，∴12y y >．13．ABC △的三边长分别为5，12，13，与它相似的DEF △的最小边长为15，则DEF △的周长为．【答案】90【解析】ABC △与DEF △相似，且DEF △的最小边长为15， ∴相似比为51153=， ∵ABC △的周长为5121330++=， ∴DEF △的周长为33090⨯=．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，30A ∠=︒，20AB =．点D 在射线AC 上，且ADB∠是钝角，写出一个满足条件的AD 的长度值：AD = ．【答案】10【解析】如图，过点B 作BE AC ⊥交AC 于点E ，∴cos30AE AB =⋅︒=∵点D 在射线AC 上，且ADB ∠是钝角， ∴0AD AE <<． ∴AD 可以为10．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步5=尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知1AC =尺，10CD EB ==尺，人的身高5BD =尺．设绳索长OA OB x ==尺，则可列方程为____________．【答案】222(4)10x x =-+【解析】∵5EC BD ==尺，1AC =尺，∴514EA EC AC =-=-=尺，(4)OE OA AE x =-=-尺，在Rt OEB △中，(4)OE x =-尺，OB x =尺，10EB =尺，根据勾股定理得：222(4)10x x =-+．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证90OAP OBP ∠=∠=︒，其依据是____________；由此可证明直线PA ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是____________．【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：24cos30tan 60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，ABC △中，12AB =，15BC =，AD BC ⊥于点D ，30BAD ∠=︒．求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，A BDC ∠=∠．（1）求证：ABD DCB ∽△△；（2）若12AB =，8AD =，15CD =，求DB 的长．21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点(1,)A t 和点(,)B m n 都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙xOy 上，且OC AB ⊥于点D ，30E ∠=︒，连接l ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙P 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为BAF ∠的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45︒，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58︒．请帮助他们计算出最高塔的高度1P 约为多少米．（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）25．如图，ABC △内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD AB⊥于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：PCE PEC ∠=∠；（2）若10AB =，32ED =，3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于(1,3)A 和(3,1)B --两点．观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集．有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->；当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A ，且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式；（2）连接AB ，求AB 的长；（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．28．在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当2BD =时，AN = _______，NM 与AB 的位置关系是____________；（2）当48BD <<时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．29．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙C 上一点P 作⊙C 的切线l ．当入射光线照射在点P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l 的夹角和入射光线与切线l 的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C ，即当入射光线在⊙C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C 外反射的示意图如图1所示，其中12∠=∠．（1）自⊙C 内一点出发的入射光线经⊙C 第一次反射后的示意图如图2所示，1P 是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C 第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O 的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x 轴，且自⊙O 的外部照射在其上点P 处，此光线经⊙O 反射后，反射光线与y 轴平行，则反射光线与切线l 的夹角为__________︒；②自点(1,0)A -出发的入射光线，在⊙O 内不断地反射．若第1个反射点1P 在第二象限，且第12个反射点12P 与点A 重合，则第1个反射点1P的坐标为______________；（3）如图4，点M 的坐标为(0,2)，⊙M 的半径为1．第一象限内自点O 出发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P 的纵坐标的取值范围．北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式24= 162=- 112=．18．解：∵AD BC ⊥于点D ， ∴90ADB ADC ∠=∠=︒．∵在Rt ABD △中，12AB =，30BAD ∠=︒， ∴162BD AB ==， cos 12cos30AD AB BAD =⋅∠=⋅︒=∵15BC =，∴ 1569CD BC BD ==-=-． ∴在Rt ADC △中，tan AD C CD ===19．解：（1）令0y =，则2230x x -++=．解得 11x =-，23x =． ∵点A 在点B 的左侧，∴(1,0)A -，(3,0)B ．对称轴为直线1x =．（2）∵当1x =时，4y =，∴顶点C 的坐标为(1,4)． ∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为(1,4)-． ∵4AB =，∴1=442162ACB DCB ACBD S S S +=⨯⨯⨯=四边形△△．20．（1）证明：∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠． ∵A BDC ∠=∠， ∴ABD DCB ∽△△．（2）解：∵ABD DCB ∽△△，∴AB ADDC DB=． ∵12AB =，8AD =，15CD =， ∴12815DB =． ∴10DB =． 21．解：根据题意，得(213)(82)60x x --=．整理得211180x x -+=．解得12x =，29x =． ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．答：人行通道的宽度是2米．22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根． ∴2(4)420k ∆=--⨯=．解得 2k =．（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为(1,0)，抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为(1,8)--，∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．（3）31m -<<． 23．解：（1）∵OC AB ⊥于点D ，∴AD DB =，90ADO ∠=︒．∵AB =∴AD =∵2AOD E ∠=∠，30E ∠=︒， ∴60AOD ∠=︒．∵在Rt AOD △中，sin ADAOD OA∠=，∴4sin AD OA AOD ===∠．（2）75BAF ∠=︒或15︒．24．解：（1）∵在Rt ADB △中，90ADB ∠=︒，45B ∠=︒，∴9045BAD B ∠=︒-∠=︒． ∴BAD B ∠=∠． ∴AD DB =．设AD x =，∵在Rt ADC △中，tan ADACD DC∠=，58ACD ∠=︒， ∴tan58xDC =︒．∵ DB DC CB AD =+=，90CB =，∴90tan58xx +=︒．将tan58 1.60︒≈代入方程，解得240x ≈．答：最高塔的高度AD 约为240米．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵PC 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴OC PC ⊥．∴1290PCO ∠=∠+∠=︒． ∵PD AB ⊥于点D ， ∴90EDA ∠=︒．∴390A ∠+∠=︒． ∵OA OC =， ∴1A ∠=∠． ∴23∠=∠． ∵34∠=∠， ∴24∠=∠．即PCE PEC ∠=∠．（2）解：作PF EC ⊥于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒．∵在Rt ABC △中，10AB =，3sin 5A =， ∴sin 6BC AB A =⋅=．∴8AC ==． ∵在Rt AED △中，32ED =， ∴5sin 2ED AE A ==． ∴112EC AC AE =-=． ∵24∠=∠， ∴PE PC =．∵PF EC ⊥于点F ，∴11124FC EC ==，90PFC ∠=︒．∴2590∠+∠=︒．∵21290A ∠+∠=∠+∠=︒． ∴5A ∠=∠． ∴3sin 55∠=． ∴在Rt PFC △中，55sin 512FC PC ==∠． 26．解：（2）抛物线如图所示；（3）x =4-，1-或1；（4）41x -<<-或1x >．27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++，当0x =和5x =时所对应的函数值相等，∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A ，∴10252b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．解得 252c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩．∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．（2）过点B 作BD x ⊥轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，∴2153222x x x -+=-+-．解得 12x =，25x =． ∴交点坐标为(2,1)，(5,2)-． ∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为(2,1)． ∴点D 的坐标为(2,0)．在Rt ABD △中，1AD =，1BD =，∴AB（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，∴M 是线段BN 的中点．∴ MB MN =．∵M 是线段AC 的中点， ∴ MA MC =． ∴四边形ABCN 是平行四边形．∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，当0y =时，3x =． ∴点E 的坐标为(3,0)． ∴1 DE DB ==．∴在Rt BDE △中，45DBE DEB ∠=∠=︒．同理45DAB DBA ∠=∠=︒． ∴90ABE DBA DBE ∠=∠+∠=︒． ∴四边形ABCN 是矩形．28．解：（1（2）①补全图形如图所示；②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =， ∴45CAB B ∠=∠=︒． ∴ 45CAN NAM ∠+∠=︒．∵AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ， ∴AD AE =，90DAE ∠=︒． ∵N 为ED 的中点，∴1452DAN DAE ∠=∠=︒，AN DE ⊥． ∴ 45CAN DAC ∠+∠=︒，90AND ∠=︒． ∴ NAM DAC ∠=∠．在Rt AND △中，cos cos 45AN DAN AD =∠=︒=在Rt ACB △中，cos cos 45AC CAB AB =∠=︒=． ∵M 为AB 的中点，∴2AB AM =．∴2AC AC AB AM ==．∴AM AC =． ∴AN AD =AMAC． ∴ANM ADC ∽△△．∴AMN ACD ∠=∠．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴18090ACD ACB ∠=︒-∠=︒． ∴90AMN ∠=︒． ∴NM AB ⊥．（3）当BD 的长为6时，ME 的长的最小值为2．29．解：（1）所得图形，如图1所示．（2）①45︒；②1(,)2或1(2-．（3）①如图5，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH x ⊥轴于点H ． ∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ， ∴MQ OQ ⊥．∴90MQO ∠=︒． ∵2MO =，1MQ =， ∴在Rt MQO △中，1sin 2MQ MOQ MO ∠==． ∴30MOQ ∠=︒．∴OQ OM cos MOQ =⋅∠= ∵QH x ⊥轴， ∴90QHO ∠=︒．∵9060QOH MOQ ∠=︒-∠=︒，∴在Rt QOH △中，3sin 2QH OQ QOH =⋅∠=． …………………………6分 ②如图6，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE OD ⊥于点E ，过点O 作OF PD ⊥于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线， ∴MD l ⊥．∴12 90OPD NPD ∠+∠=∠+∠=︒． ∵12∠=∠，∴OPD NPD ∠=∠． ∵PN x ∥轴，∴NPD PDO ∠=∠．∴OPD PDO ∠=∠． ∴OP OD =． ∵OF PD ⊥，∴ 90MFO ∠=︒，PF FD =．∵cos OMF ∠=MF MOMO MD=，设PF FD x ==，而2MO =，1M P =， ∴12212x x+=+．解得x =． ∵0x >，∴x =∵PE OD ⊥，∴ 90PED MOD ∠=︒=∠． ∴PE MO ∥．∴ EPD OMF ∠=∠．∴cos cos EPD OMF ∠=∠． ∴PE MFPD MO=． ∴MFPE PD MO=⋅ 122xx +=⋅ (1)x x =+=可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵32P y <．。

2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)、小升初数学试卷

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是 A ．m ＞2 B ．m ≥3 C ．m ＜5 D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。