4.2换底公式
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《3.4.2换底公式》课件1-优质公开课-北师大必修1精品
自
课
主 导
一般，推导、证明、应用对数的换底公式，培养学生分析、
时 作
学
业
综合解决问题的能力．教学中要充分发挥课本这些材料的作
课
堂 互
用．
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
分 析
●教学建议
法 技
巧
教 学
本课主要学习对数换底公式，它在以后的学习中有着非 当
方
堂
案 设
常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法 分
【解】 由 0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得 e－λ＝ 0.90，
析
方 法 技
教
又 0.50μ0＝μ0(e－λ)t，
巧
学
当
方 案 设
则12＝( 0.90)t，两边取常用对数，得 lg12＝2t lg 0.90，
当 堂 双 基
计
课 前 自 主
＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189
达 标
课 时
导
学 课
＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋ －ba.
堂
互
动
探
究
作 业
教 师 备 课 资 源
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BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
高中数学 3.4.2换底公式课件 北师大版必修1
log363 1y＝log1436＝log13636＝log364，
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．
§4.2 换底公式
§4.2 换底公式【学习目标】 1、掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
2、培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力。
【学习重点】：对数运算的性质与换底公式的应用【学习难点】：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值预习案Ⅰ、相关知识用常用对数表示：2log 152lg15:log 15,15lg 2lg15lg 2t t t t ==∴=∴=分析设则2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想㏒b N=bN a a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0). ⒈ 换底公式：aN N m m a log log log = ( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aN N m m a log log log = 两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a2︒ b mn b a n a m log log =（ a , b > 0且均不为1） ()n n a a :logb =log b 特例 请用换底公式证明上面两个推论：Ⅱ、预习自测⑴ 9log 27 ⑵ 827log 9.log 322．计算25100lg 20log +的结果是（ ）A ．5B ．10C ．2D ．43．若3log log 5b aa ⋅=，则b 等于（ ）A ．3aB ．5aC ．53D ．35探究案Ⅰ、知识探究1．设a 、b 、c 都是正数，且346a b c ==，那么（）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+ D ．212c a b =+2．计算：（1）2549235log log g lo ⋅⋅=（2）1164g 2791log ()4lo +=3．已知35log ,54b a ==，求1225log 的值. 1．计算训练案1. ⑴ 21log log 9log 7log 414923=⋅⋅x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 52. 已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）3. 已知3632==n m ，则=+n m 114. 求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅。
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
高中数学第三章指数函数与对数函数第4节4.2换底公式课件北师大版必修1
用已知对数表示其他对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. 【导学号：04100057】 【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以 18 为底的对数． 【尝试解答】 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a， 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818.
又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198 ＝1＋1－1log189＝2－1 a， 所以原式＝a2＋ －ba.
法二：∵18b＝5， ∴log185＝b， ∴log3645＝lloogg11884356＝lloogg118854××99 ＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189 ＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋－ba.
某城市现有人口数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答 下面的问题．
(1)写出该城市 x 年后的人口总数 y(万人)与年数 x(年)的函数关系式； (2) 计 算 大 约 多 少 年 以 后 ， 该 城 市 人 口 将 达 到 120 万 ？ ( 精 确 到 1 年)(lg1.012≈0.005 2，lg1.2≈0.079 2) 【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出 y 与 x 的函数关系式，再利用对数 求值．
【提示】 依题意得 y＝a1－110x＝a190x，其中 x≥1，x∈N.
探究 2 探究 1 中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱 到原来强度的12以下？(根据需要取用数据 lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)
【提示】 依题意得 a190x≤a×12⇒190x≤12 ⇒x(2lg 3－1)≤－lg2⇒x≥1－02.×3001.4077 1≈6.572， ∴xmin＝7. 即：通过 7 块以上(包括 7 块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以 下．
4.2换底公式
换底公式学案
江西省龙南中学 何燕燕 一、问题导入 问题1、对数运算性质
（1）log ()a MN = （2）log a
M
N
= （3）log ()n a N = 问题2、你能使用科学计算器计算lg2、lg3、 ln2、ln3吗？
问题3、你能使用科学计算器计算log 23吗？
二、合作探究
1、如何证明换底公式:()0,1,,0,log log log >≠>=
N b a b a b
N
N a a b . 法一： 法二：
2、证明结论：①b log b log =1(,b>0,,b 1)a a a a ⋅≠且.
②m n n
log b =
log b (,b>0,,b 1)m
a a a a ≠且.
三、典例点评
例7： 计算：（1）㏒927； （2）㏒89㏒2732.
例8：计算下列对数（精确到0.001）：（1）㏒248 ； （2）㏒310.
四、拓展训练
1.已知lg 2a =,lg 2b =,请用a b ，表示4log 36.
2、求值：4839(log 3+log 3)(log 2+log 2).
五、典例点评
例9：一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
六、当堂训练 1. 练习P86 T2、T4.
七、课堂总结。
4.2 换底公式
六、公式推论
推论1
1 logb a loga b
如何证明
推论2
logam bn
n m loga b
如何证明
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值 例 1 计算：（1） log9 27 ； （2） log8 9 log27 32
解法二:
(1)
log9
27
log32
33
3 2
log3
3
证 两证明边明取: 设二以x：aN=为l=设o底bgxb.lN的loo,g根g对aa据N数b 对,得数x,定义,有换 换底 成根 写 两2公新x据 成 边对 指 取1式底5数 数 常的 式 用好可定 ， 对神任义 得 数,,得奇意
而 由因则所所l于为ogl以b以xoa≠b=gll1xlooNl=oa,ogg则xggNaalbbNNolNogN==bg,ax所lxbaolxb,og所以≠lgalol0aboo以bg,xglxg解..oaaagb出NbblNox.得globllogoNggaaxabNbx原 真.lloogg底 数aa所xNb加加l以g.2x底底lgl变变lgg11525分分. 母子
98logll5gg133227
lglgll1gg21232523
llgllggg32313235
lg lg
1
3 5
lg 53 lg 2
lg32lg5 lg23lg
23lglg5335llgg1
3 2
19105
法法二二：：lloogg928121lo5g
l3o2 g273
(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用 运算法则时，可统一化成同一个底数为底的对数，再根 据运算法则进行化简或求值.
换底公式
则 x=log0.840.5 = ln0.84/ln0.5 ≈3.98
所以经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。
推广公式：
1 a 0, b 0, a 1, b 1. (1) loga b logb a m m (2) log a n b log a ba 0, b 0, a 1. n
log a N 换底公式： log b N log a b
x 证明：设 log b N x, 则：b N log a b log a N x log a b log a N
x
log a N x log a b
loga N 即logb N loga b
练习1.利用换底公式把下列各式转化为
常数对数和自然对数：
log3 4
log2 2.5
log0.2 3
logc d (c 0且c 1, d 0)
练习2.化简：
log5 3 log5 4
log2 2.5 log2 0.2
lg 5 lg 2
ln 0.1 ln 3
换底公式
练习3.利用换底公式计算下式
log 4 log 5 log 3 3 4 5
换底公式：
log a N log b N (a 0, a 1, b 0, b 1, N 0) log a b
log a a 1 特例： N a 时，log b a log a b log a b
即loga b logb a 1
lg N 通常我们取以10为底的对数 loga N lg a
特别的 log bn log ba 0, b 0, a 1. a a
n
1 log a n b log a ba 0, b 0, a 1. n
3.4.2换底公式 课件(北师大版必修一)
【题型示范】 类型一 用换底公式表示对数式
【典例1】
(1)(2014·九江高一检测)已知log73=a,log74=b,log4948=
(用a,b表示).
(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.
【解题探究】1.如何建立log4948同a,b的关系? 2.题(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示? 【探究提示】1.借助换底公式统一底数. 2.借助对数的定义求解b,然后利用换底公式把log3528换成以 14为底的对数.
1 ,b=log436= 1 . log36 3 log36 4
【巧妙解法】 等式3a=4b=36两边都取以10为底的对数,得lg3a= lg4b=lg36, 即alg3=blg4=lg36, 所以 2 =log369, 1 =log364,
a 所以 2＋ 1 =1. a b b
答案：1
【方法对比】 常规方法切入点简单,但步骤有点复杂,倘若对对数的运算性质 不熟,则会导致运算错误,而巧妙解法直接统一底数,思路清晰, 方便快捷.
【教你一招】
处理“指数式和对数式”问题的换底技巧
题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,为 了便于运算,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同 底数的对数,如本例中直接取常用对数,然后应用对数运算性质 进行计算.
【类题试解】设3a＝5b＝ 15 ，则 1 ＋ 1 ＝______. a b 【常规解法】将3a＝5b＝ 15 的两边取以15为底的对数得， alog153=blog155= 1 ,
1 所以 1 2log15 3， 2log15 5, 2 a b 所以 1 ＋ 1 ＝2log15 3 2log15 5＝2. a b
4.2.2换底公式课件-高一上学期数学北师大版(2019【02】)
典例剖析
规律方法
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一 般来讲，对数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为 a 为底．
2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； loganbm＝mn logab.
典例剖析
典例剖析
巩固练习
1．思考辨析
(1)logab＝llgg
4.2.2 换底公式
问题导入
有些计算器上只有常用对数键“LOG” 即“lg”自然对数键“LN”(即“In”).对一
般的底数a>0,且a≠1和b>0,要计算 loga b ,必
须将它转换成常用对数或自然对数.如何转换 呢?
分析理解
例如,用计算器求 log2 5的值。
设 log2 5 x, 则 2x 5 . 在 2x 5 的两边取常用对数，得
x lg 2 lg 5,
所以
x lg 5 , lg 2
这样就可以用计算器中的常用对数键“LOG”算出 log2 5的值:
log 5 lg 5 2.32192809489. lg 2
分析理解
因为计算器显示的数位是有限的,所以得到的结果一般是近似值。
同理可得
x ln 5 . ln 2
这样就可以用计算器中的自然对数键“LN”算出 log2 5的值。
探究新知
换底公式 阅读教材有关内容，完成下列问题．
换底公式：_l_o_g_bN__＝__lloo_g_ga_aNb_ (a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba＝__1，logba＝
.
探究新知
思考：换底公式的作用是什么？
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运 用对数的性质进行运算．
什么是换底公式换底公式怎么推导来的
什么是换底公式换底公式怎么推导来的换底公式是数学中的一个重要概念，用于解决对数运算中不同底数的情况。
在本文中，我将详细讲解什么是换底公式，并介绍它是如何推导出来的。
换底公式是指将对数的底数做变换，使其与常用对数（底数为10）或自然对数（底数为e）等进行计算。
它能够将一个底数为a的对数转换为底数为b的对数形式。
具体来说，对于任意正数a、b，以及任意正实数x，换底公式可以表达为：log（x）以a为底 = log（x）以b为底 / log（a）以b为底其中，log（a）以b为底表示以底数为b的对数a的值。
接下来，我们将推导换底公式的过程。
首先，设y = log（x）以a为底。
根据对数的定义，我们可以将y表示为：a^y = x。
然后，我们取对数，底数为b，得到：log（a^y）以b为底 = log（x）以b为底。
利用对数的性质，将a^y表示为（b^log（a）以b为底）的形式，即：log（b^log（a）以b为底）以b为底 = log（x）以b为底。
再利用换底公式，将右侧的对数形式转化为以常用对数或自然对数为底的形式。
假设常用对数为底数10，那么换底公式可以写为：log（b）以b为底 = 1，log（a）以b为底 = log（a）以10为底 / log （b）以10为底，log（x）以b为底 = log（x）以10为底 / log（b）以10为底。
将这些结果代入原等式中，得到：log（b^（log（a）以10为底 / log（b）以10为底））以b为底 = log（x）以10为底 / log（b）以10为底。
继续运用对数的性质，将指数与对数互换，得到：（log（a）以10为底 / log（b）以10为底）log（b）以b为底 = log（x）以10为底。
化简后可得：log（x）以10为底 = （log（a）以10为底 / log（b）以10为底）log（b）以b为底。
最后，我们可以总结出换底公式的最终形式：log（x）以a为底 = log（x）以b为底 / log（a）以b为底。
中职数学基础模块上册：4.2.3换底公式(共13张PPT)
注：计算过程中的近似数的精确度一般比结果要求的多 取一位小数.
一般地，有下面的换底公式：
log b
N
log a N log a b
试一试：请尝试证明换底公式？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
数学
基础模块（上册）
教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.3 换底公 式
学习目标
知识目标 理解换底公式概念与证明方法
能力目标
学生运用分组探讨、合作学习，掌握换底公式运算法则，提高学生的数学运 算能力
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
所以 x log a N ，即
log a b
log b
N
log a N log a b
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 1. 求log89×log2732的值.
解
log8
9 log 27
32
lg lg
9 8
我们设log35=x，写成指数形式，得 3x=5.
两边取常用对数，得
lg3x=lg5,
即xlg3=lg5，所以
即lg≈1.465.
x lg 5 0.6990 1.465 ,
lg 3 0.4771
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
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＝
(2)法一：由 3 ＝ 4 ＝ 36，得 log336＝a，log436 法一： 法一 ， ＝ ， ＝ b， ， 1 由换底公式可得 a＝log336＝ ＝ ＝ ， b＝log436 ＝ log363 1 ＝ ， log364 2 1 所以 ＋ ＝ 2log363＋log364＝log369＋log364 ＋ ＝ ＋ a b ＝ log3636＝1. ＝
思路点拨】 【思路点拨】 先利用对数的性质及运算法则 把各式化成统一的表示形式，然后再求值． 把各式化成统一的表示形式，然后再求值．
1 43 法一： 【 解】 (1)法一：原式＝ (5lg2－2lg7)－ · lg2 法一 原式＝ － － 2 32 1 5 1 ＋ (2lg7＋lg5)＝ lg2－lg7－2lg2＋lg7＋ lg5 ＋ ＝ － － ＋ ＋ 2 2 2 1 1 1 1 1 ＝ lg2＋ lg5＝ (lg2＋lg5)＝ lg10＝ . ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 2 2 2 2 2 4 2 法二：原式＝ 法二：原式 ＝ lg － lg4＋lg(7 5) ＋ 7 4 2×7 5 × 1 ＝ lg ＝ lg( 2· 5)＝lg 10＝ . ＝ ＝ 2 7×4 ×
log225 log25 法一：原式＝ )(log52 解 ：法一 ：原式 ＝(log25 ＋ ＋ log24 log28 log54 log58 1 ) ＝ (3log25 ＋ log25 ＋ ＋ ＋ log525 3log55 3 log25)(log52＋log52＋log52) ＋ ＋
3
1 log22 ＝ (3＋1＋ )log25·(3log52)＝13log25· ＋ ＋ ＝ ＝ 13. 3 log25
对数换底公式
log a N (a, b > 0, a, b ≠ 1, N > 0). log b N = log a b
证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx. 两边取以a为底的对数,得 logaN=logabx. 而logabx=xlogab,所以 logaN=xlogab. log a N x= . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得
巩固提高
1.已知 1.已知 log 3 4 ⋅ log 4 8 ⋅ log8 m = log 4 2, 求 m的值. 的值. 的值
m= 3
2.已知 2= 7=b, 9.8的值 的值. 2.已知lg2= ,lg7= ,求log89.8的值. 已知 2=a, 7= 解: lg 9.8 = lg 98 − lg10 = lg 2 + 2lg 7 −1
指数式、 指数式、对数式的综合运算 指数式与对数式之间有必然的联系， 指数式与对数式之间有必然的联系 ， 二者可以 相互转化求值． 相互转化求值．
根据已知条件，解答下列各题． 根据已知条件，解答下列各题． (1)已知 log189＝a,18b＝ 5， 已知 ＝ ， 试用 a， 表示 log3645； ， b ； 2 1 (2)设 3 ＝4 ＝36，求 ＋ 的值 ． 的值． 设 ， a b
lg a 2 lg a • lg a = lg a =2 lg(c + b ) • lg(c − b ) lg(c + b ) • lg(c − b )
自我挑战 1
计算下列各式的值
1 －1 (1) lg25＋lg2＋lg 10＋lg(0.01) ； ＋ ＋ ＋ 2 32 (2)2log32－log3 ＋ log38－3log55； － － ； 9 (3)2(lg 2)2＋ lg 2·lg5＋ ( lg 2)2－ lg2＋1； ＋ ) ＋ ； (4)(lg2)3＋(lg5)3＋ 3lg2·lg5.
a b
例3
思路点拨】 【思路点拨】
将指数式化为对数式后， 将指数式化为对数式后，
再利用对数运算性质、换底公式等求解． 再利用对数运算性质、换底公式等求解．
【解】 log189＝a，
18b＝ 5，得 log18 5＝b.又 (1) 由
log18 45 log18( 5× 9) 则 log36 45＝log 36＝ log18( 18×2) 18 log18 5＋ log189 log185＋ log189 ＝ ＝ 18 1＋ log182 1＋ log18 9 log185＋ log189 2－ log189 a ＋b . ＝ 2 －a
a
b
名师点评】 【 名师点评 】 解答带有附加条件 的对数式求值问题， 的对数式求值问题 ， 通常需要指数 式与对数式互化或对等式两边取对 数等， 数等 ， 但要注意对底数的合理选取 及化同底． 及化同底．
方法感悟
1． ． 准确地掌握对数的运算性质是正确地进行对 数运算的前提，利用对数运算，可以把乘、 数运算的前提，利用对数运算，可以把乘 、除 、 乘方、开方运算转化为对数的加、 乘方、 开方运算转化为对数的加 、减 、乘 、除 运算． 运算． logm N 2．关于对数的换底公式 ： logaN＝ ．关于对数的换底公式： ＝ ， (a， ， logm a m>0，a，m≠1，N>0)应熟记并会运用． 应熟记并会运用． ， ， ≠ ， 应熟记并会运用 3．在解题过程中不断深化对转化思想的理解． ．在解题过程中不断深化对转化思想的理解．
1 + log 18
为直角三角形的三边长， 4、设a,b,c为直角三角形的三边长，其中 为 , , 为直角三角形的三边长 其中c为 斜边， ≠1,求证 求证： 斜边，且c≠1,求证：
log(c+b)a+ log(c-b)a=2 log(c+b)a · log(c-b)a
提示:c2-b2=a2→(c-b)(c+b)=a2 lg a lg a lg(c + b ) + lg(c − b ) + = lg a • lg(c + b ) lg(c − b ) lg(c + b ) • lg(c − b )
2lg 3+ 2lg 2 2a + 2b 4.log1236= = lg 3+ 2lg 2 2a 的值：
1 32 4 (1) lg － lg 8＋lg 245； ＋ ； 2 49 3 2 2 2 (2)lg5 ＋ lg8＋lg5·lg20＋(lg2) ； ＋ ＋ 3 lg 2＋lg3－lg 10 ＋ － (3) . lg1.8
【名师点评】 名师点评】
这类问题一般有两种处理方法： 这类问题一般有两种处理方法：
一种是将式子中真数的积、 一种是将式子中真数的积、商、幂、方根运用对 数的运算性质将它们化为对数的和、 数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商， 然后化简求值． 然后化简求值． 另一种方法是将式中的对数的和、 另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运 用对数的运算性质将它们化为真数的积、 用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、 方根，然后化简求值． 方根，然后化简求值．
小结
log a N 对数换底公式 log b N = log b (a, b > 0, a, b ≠ 1, N > 0). a
log b a • log a b = 1
常用结论
log b a • log b c • log c a = 1
n log a m b = log a b m
n
2
2
－5
3
＝－1. ＝－
(3)原式＝ lg 2(2lg 2＋lg5)＋ ( lg 2－1)2 原式＝ 原式 ＋ ＋ － ) ＋ ＝ lg 2(lg2＋ lg5)＋ 1－ lg 2＝ lg 2＋ 1－ lg 2 ＋ － ＝ ＋ － ＝ 1. (4)原 式 ＝ (lg2＋ lg5)[(lg2)2 － lg2·lg5＋ (lg5)2]＋ 原 式＝ ＋ ＋ ＋ 3lg2·lg5 ＝ (lg2)2 － lg2·lg5 ＋ (lg5)2 ＋ 3lg2·lg5 ＝ (lg2＋lg5) ＝ 1. ＋
lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 法二： 原式＝ 法二 ： 原式 ＝ ( ＋ ＋ )( ＋ ＋ lg4 lg8 lg5 lg25 lg2 lg8 ) lg125 3lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2 )( ＋ ) ＝( ＋ ＋ ＋ lg2 2lg2 3lg2 lg5 2lg5 3lg5 13lg5 lg2 )(3 )＝13. ＝( ＝ 3lg2 lg5
log a b
因为x=logbN,所以
log a N log b N = . log a b
推广
log b a • log a b = ? 1
lg a lg b log b a • log a b = • =1 lg b lg a
(a,b>0,且a,b≠1)
log b a • log b c • log c a = ? 1
lg b lg c lg a log a b • log b c • log c a = • • =1 lg a lg b lg c
n log a m b = ? log a b m lg b n n lg b n n log a m b = = = log a b m lg a m lg a m
n
换底公式
高一数学组 俞凯
复习与回顾 对数的运算性质
问题提出 已知lg2=0.3010, 3=0.4771,求 2=0.3010,lg3=0.4771, 已知 2=0.3010, 3=0.4771,求log23 解:设log23=x,则2x=3,两边取常用对数得:
xlg2=lg3⇒ x=lg3/lg2=0.4771÷0.3010=1.5850 即：log23=1.5850为所求. 由上述计算你可得出什么结论？ 由上述计算你可得出什么结论？ 什么结论
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 原式＝ 原式 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 2lg10＋(lg5＋lg2)2 ＋ ＋ ＝ 2＋(lg10)2＝ 2＋1＝3. ＋ ＋ ＝ 1 ( lg2＋lg9－lg10) ＋ － ) 2 (3)原式＝ 原式＝ 原式 lg1.8 18 lg 10 lg1.8 1 ＝ ＝ ＝ . 2 lg1.8 2lg1.8 2