北京理工大学珠海学院概率统计历年真题(五)含参考答案

4．(12 分,每题 4 分)设随机变量 X ∼ f ( x) = ⎨
x>0 ,求 ≤ 0 x 0 ⎩ (1) P (0 < X < 1) ,(2) X 的分布函数 F ( x ) ,(3) X 的方差 DX .
第 1 页 共 3 页
⎧ Ae − x
解：先求 A ， 1 =
∫
+∞
−∞
f ( x)dx = ∫
（1）取得的 1 件是次品的概率；(8 分) （2）若已知所取的 1 件为次品，求其来自丙厂的概率。(6 分) 解： （1）设 B ={取得的是次品}； A1 ={所取得的箱是甲厂生产}；
A2 ={所取得的箱是乙厂生产}； A3 ={所取得的箱是丙厂生产}
则由全概率公式得： P ( B ) =
∑ P( A ) ⋅ P( B A ) = 6 ⋅ 10 + 6 ⋅ 15 + 6 ⋅ 20 = 360
概率论与数理统计综合检测（五）参考答案
（时间 120 分钟）
一、填空题（18分）
1．设 A, B 为二事件，则 A, B 相互独立的充要条件是 P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B ) . 2．随机变量 X 的分布函数定义为 F ( x ) = P{ X ≤ x} . 3．设 2 个独立随机变量 X 1 , X 2 均服从分布 N ( μ ,σ
⎧k (6 − x − y ) 0 < x < 1,0 < y < 1 0, 其它 ⎩
求：(1)参数 k ； (2) X 及 Y 的边缘概率密度； (3) X 与 Y 是否独立，为什么？ 解： （1） 1 =
∫ (∫
+∞ −∞
+∞
−∞
f ( x, y )dx dy = ∫
)
1
0
( ∫ k (6 − x − y)dx )dy = 5k ⇒ k = 1 5
0 ≤ x1 , x2 , other
xn ≤ 1
xn ;θ ) =
d ln L( x1 , x2 , dx
n n ln θ + ( θ − 1)∑ ln xi 2 i =1 n 1 1 n xn ;θ ) = ⋅ + ∑ ln xi = 0 2 θ 2 θ i =1
⎛ ⎜ n 解得极大似然估计量 θ = ⎜ n ⎜ ln X i ⎜∑ ⎝ i =1
+∞
E( X 2 ) = ∫
−∞ +∞ −∞
xf ( x)dx = ∫
2
0
xe − x dx = − xe
+∞ 0 2
− x +∞ 0
+ ∫ e− x dx = 1
0 0
+∞
x 2 f ( x)dx = ∫
x 2 e− x dx = − x e
2 − x +∞
+ 2∫ e− x dx = 2
0
+∞
故 D ( X ) = E ( X ) − ( EX ) = 1 5. (16 分)设连续型随机变量 ( X , Y ) ∼ f ( x, y ) = ⎨
i =1 i i
3
3 1
2 1
1 1
29
1 1 ⋅ P( A3 ) ⋅ P( B A3 ) P( A3 B ) 3 = 3 = 6 20 = （2）由贝叶斯公式得： P ( A3 B ) = 29 29 P( B) P( Ai ) ⋅ P( B Ai ) ∑ 360 i =1
3. (10 分)游戏规则规定每个人独立向目标投 4 个球，若 4 次全不中得 0 分，中 1 个得 20 分，中 2 个得 30 分，中 3 个得 60 分，中 4 个得 100 分。某人每次投掷命中率为 0.6。问他能期望得到多少分？ 解：设投中个数为 X ，得分为 Y 显然 X 服从 B (4, 0.6) ，故由题意
N (σ ,
σ2
2n
) ，证明： σ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
⎛ ⎜ S S ⎜ , Zα Zα ⎜ 1− 2 ⎜ 1+ 2 2n 2n ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ S −σ
证明：由假定，样本标准差 S 近似服从分布 N (σ ,
σ2
2n
) ，找枢轴量
σ2
2n
∼ N (0,1)
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ S −σ 故可得 P ⎜ − Z α ≤ ≤ Z α ⎟ = 1 − α （利用标准正态分布关于 y 轴对称） ⎜ 2 ⎟ σ2 2 ⎜ ⎟ 2n ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ S −σ S −σ P ⎜ −Zα ≤ ≤ Z α ⎟ = 1 − α ⇔ P ⎜ − Z α ≤ 2n ≤ Zα ⎟ = 1 − α ⎜ 2 ⎟ σ σ2 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎜ ⎟ 2n ⎝ ⎠ Zα ⎞ ⎛ Zα ⎛ ⎞ ⎛S ⎞ ⎛S ⎞ ⎜ 2 ⇔ P ⎜ − Z α ≤ 2n ⎜ − 1⎟ ≤ Z α ⎟ = 1 − α ⇔ P − ≤ ⎜ − 1⎟ ≤ 2 ⎟ = 1 − α ⎜ ⎟ 2n ⎝ σ 2n ⎟ ⎝σ ⎠ ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎜ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ Z Z ⎛ α α ⎞ ⎜ ⎟ S S S ⎜ ⎟ P 1− 2 ≤ ≤ 1+ 2 = 1− α ⇔ P ⎜ = 1−α ≤σ ≤ ⎜ Zα Zα ⎟ 2n σ 2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1− 2 ⎟ ⎜ 1+ 2 2n 2n ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ S S ⎟ 。 故得 σ 置信度为 1 − α 的置信区间为 ⎜ , Zα Zα ⎟ ⎜ 1− 2 ⎟ ⎜ 1+ 2 2n 2n ⎠ ⎝
第 3 页 共θ ) + ( Eθ ) = θ
2
θ = θ ，而 E θ
2
( )
2
= D(θ ) + Eθ
2
( )
2
= θ 2 + D(θ )
+ D(θ ) > θ 2 ，故 θ 不是 θ 2 的无偏估计量。
近似服从分布
2. 设 有 来 自 正 态 总 体
N ( μ ,σ 2 ) 的 样 本 ， 假 定 样 本 容 量 n ≥ 30 时 ， 样 本 标 准 差 S
1 0
(4) P {0 < X < 1, 0 < Y < X } .
数 θ 的矩估计量和极大似然估计量。 解：(1)令 X = EX = （2）似然函数
1 11 ⎧1 1 ⎪ ∫0 (6 − x − y )dy = ( − x), 0 < x < 1 （2） f X ( x ) = ∫ f ( x, y ) dy = ⎨ 5 5 2 −∞ ⎪ 0, other ⎩ 1 11 ⎧1 1 +∞ ⎪ ∫0 (6 − x − y )dx = ( − y ), 0 < y < 1 fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ⎨ 5 5 2 −∞ ⎪ 0, other ⎩ （3）∵ f ( x, y ) ≠ f X ( x) ⋅ fY ( y ), ( x, y ) ∈ {( x, y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1} ，所以 X 与 Y 不独立 1 1 x 1 1 3 1 （4） P (0 < X < 1, 0 < Y < X ) = ∫ ∫ (6 − x − y ) dy dx = ∫ (6 x − x 2 ) dx = 5 0 0 5 0 2 2 θ − 1 ⎧ ⎪ θ x , 0 < x <1 ， X 1 , X 2 , , X n 为其一个样本，求未知参 6．(10 分)设总体 X 服从分布 f ( x ) = ⎨ 其它 ⎪ ⎩ 0,
2 n ⎛ Xi − X ⎞ ⎛ Xi − μ ⎞ 2 2 ∼ χ ( n ) ， ⎜ ⎟ ∼ χ (n − 1) . ∑ ∑ ⎜ ⎟ σ ⎠ σ ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎝ n
值 与 样 本 方 差 , 则
2
二、计算题（72分） 1．(10 分)10 个球中有 2 个红球，从中任取 4 个，求恰好取得一个红球的概率。
+∞
0
Ae− x dx = A
−x
（1）P (0 < X < 1) = （3） E ( X ) =
∫e
0
1
−x
dx = ( −e
+∞
)
1 0
= 1− e ； （2）F ( x) = ∫
−1
x
−∞
x −x −x ⎧ ⎪ ∫0 e dx = 1 − e f ( x)dx = ⎨ ⎪0 ⎩
x≥0 x<0
∫
1 3 C2 C8 8 解：设事件 A ={恰好取得一个红球}，则 P ( A) = = 4 C10 15
2．(14 分)某仓库有同样规格的产品 6 箱，其中有 3 箱、2 箱和 1 箱依次是由甲、乙和丙厂生产，且三厂 的次品率依次为
1 1 1 、 和 。现从 6 箱中任取 1 箱，再从所取得的箱中任取 1 件，求： 10 15 20
2
) ，记 M = max{ X 1 , X 2 } 则用标准正态分布函数
Φ 表示概率 P{M ≤ b} = ⎧ ⎨Φ (
⎩
b−μ ⎫ )⎬ . σ ⎭
2
⎛1 3 ⎞ 1 . 4．设 X 1 , X 2 , X 3 ∼ N (1,3) 且相互独立，则 D ⎜ ∑ X i ⎟ = ⎝ 3 i =1 ⎠ 2 2 5 ． 设 总 体 X ∼ N ( μ ,σ ) ， X , S 分 别 是 容 量 为 n 的 样 本 均
+∞
(
)
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫ x θ x
0
1
θ −1
1 ⎛1 ⎞ dx = ，解得矩估计量 θ = ⎜ − 1⎟ θ +1 ⎝X ⎠