1.2 第1课时 反比例函数y=k÷x(k＞0)的图象与性质
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第1章 1.2 第2课时 y=k╱x(k＜0)的图象与性质
自我诊断 1.已知点 A(－2，y1)、B(3，y2)是反比例函数 y＝kx(k＜0)图象上的
两点，则有( B )
A．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0
B．y2＜0＜y1 D．y2＜y1＜0
求反比例函数解析式
自我诊断 2. 若反比例函数 y＝kx的图象经过点(2，－6)，则 k 的值为( A )
A．－12
12．如图，直线 y＝－3x 与双曲线 y＝m－x 5交于点 P(－1，n)． (1)求 m 的值； (2)若点 A (x1，y1)、B(x2，y2)在双曲线 y＝m－x 5上，且 x1 ＜x2＜0，试比较 y1、y2 的大小．
解：(1)∵点 P(－1，n)在直线 y＝－3x 上，∴n＝3，∵点 P(－1,3)在双曲线 m－5
B．12
C．－3
D．3
易错点：忽略了反比例函数图象的位置而将 k 值求错．
自我诊断 3. 如图，反比例函数 y＝kx的图象经过点 P，则 k＝ －6 .
1．反比例函数 y＝－3x的大致图象是( B )
2．关于反比例函数 y＝－2x的图象，下列说法正确的是( C )
A．经过点(－1，－2)
B．无论 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大
A．－1 C．－3
B．－2 D．－4
7．关于反比例函数 y＝－2x，下列说法正确的是( D ) A．图象过点(1,2) B．图象在第一、三象限 C．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 8．(张家界中考)在同一平面直角坐标系中，函数 y＝mx＋m(m≠0)与 y＝mx (m≠0)的图象可能是( D )
数学 九年级 上册•X
第1章 反比例函数
1.2 反比例函数的图象与性质 第2课时 y＝k╱x(k＜0)的图象与性质
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)
知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值 时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象 的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比 例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
第1课时 反比例函数y=k／x(k＞0)的图象与性质
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
y
=
6 x
…
-1 -1.2 -1.5 -2
-3
-6
6
3
34 5 6… 2 1.5 1.2 1 …
y
6
5
4 3
y
=
6 x
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2
-3
-4 -5
-6
观察图形，y轴右边的 点，当横坐标x逐渐增大 时，纵坐标y如何变化？
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象 限内y值随x值的增大而减小.
课后练习 1
已知圆柱的侧面积是10π cm2,若圆柱底面半径为rcm,
高为hcm,则h与r的函数图象大致是C( )
h/cm
h/cm
h/cm
o
r/cm
(A)
o
r/cm
(B)
o
r/cm
(C)
h/cm
o r/cm (D)
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
反比例函数图像性质
VS
变速运动
对于某些变速运动，如简谐振动，其速度 与位移之间也存在反比关系。利用反比例 函数可以对这类运动进行建模和分析。
其他实际问题应用
1 2 3
电阻、电压和电流关系
在电路中，电阻与电流成反比关系，而电压保持 恒定。通过反比例函数可以描述和求解与电路相 关的问题。
经济学中的供需关系
在经济学中，价格与需求量之间通常存在反比关 系。利用反比例函数可以对市场供需关系进行建 模和分析。
渐近线
对称性
双曲线无限接近但不与坐标轴相交，坐标 轴即为渐近线。
反比例函数图像关于原点对称。易错难点剖析指导与正比 Nhomakorabea函数混淆
01
学生容易将反比例函数与正比例函数混淆，应注意区分两者在
表达式和图像上的不同。
忽略常数 $k$ 的影响
02
常数 $k$ 的正负决定了双曲线所在的象限，忽略 $k$ 的值可能
在第三象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值也逐渐减小。
在第一象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐减小。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
02
03
04
在第二象限内，随着 $x$ 的 增大，$y$ 值逐渐增大。
在第四象限内，随着 $x$ 的 增大，$y$ 值也逐渐增大。
无论 $k$ 取何值，反比例函 数图像都关于原点对称。
交点
反比例函数与一次函数图 像可能有两个交点，也可 能没有交点，取决于函数 的参数。
与二次函数关系比较
图像形状
反比例函数图像为双曲线，而二 次函数图像为抛物线。
增减性
反比例函数在各自象限内单调减少 或增加，而二次函数可能先减后增 或先增后减，取决于函数的参数。
1.2_反比例函数的图像和性质第一课时
3、在反比例函数 的图像上有两点 A(x1, y1)、B(x2, y2), 当x1< 0 <x2 时,有 y1 < y2, 则 m的取值范围是（ C ） A. m < 0 B. m >0 C. m < 1 D. m > 1 2 2
1 - 2m y x
y
y1 y2
y
x1
y2
0
x2
x
x1
0
y1
x2
课堂训练：
课本42页请在同一平面直角坐标系中画出下 列反比例
函数的图象？
⑴
y=
3
x
⑵
y=- 3 x
观察与思考：
y
请观察四个函数图像，回答下面的问题：
1. 你能发现他们的共同特征和不同点吗？
共同点：两条曲线（双曲线）。不同点：所在象限不同。
6 y= x
0
x
2. 反比例函数 y
k 的图象位于哪些象 x
x
6 y= x
0 x
y=
6 x
总结能力大挑战：你能说出反比例函数的性质吗?
形状
图象是双曲线
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内 当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
位置
变化趋势 随着︱x︱的不断增大（或减小），双曲线 无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交. 增减性 当k>0时,在每一象限内，y随x的增大而减小。 当k＜0时,在每一象限内，y随x的增大而增大。
课堂练习：
1.函数 y =
5 x 的图象在第_____象限，
m-2 2.函数 y = x 的图象在二、四象限，则m的 取值范围是 ____ . 1 3.对于函数 y = ，当 x<0时，图象在第 ____象限. 3x
九年级数学 1.2 反比例函数的图像与性质 第1课时 反比例函数y=k╱x(k＞0)的图象与性质
x
－2
－1
－12
1 2
1
2
y －1 －2 －4 4 2 1
12/7/2021
第十六页，共二十六页。
函数图象如答图所示．
12/7/2021
第 5 题答图
第十七页，共二十六页。
6．[2018·甘孜州]如图 1-2-4，已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y ＝8x的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标是 2，点 B 的纵坐标是－2.
12/7/2021
图 1-2-1
第五页，共二十六页。
解：(2)如答图． (3)∵12×12＝6，∴点12，12在 y＝6x的图象上．
12/7/2021
例 1 答图
第六页，共二十六页。
【点悟】 列表时，自变量一般取以 0 为对称中心的互为相反数的几对数，分 别求出相应的 y 的值；连线时，曲线要平滑，不能与 x 轴、y 轴相交．
12/7/2021
第二页，共二十六页。
知识管理
1．画反比例函数 y＝kx(k>0)的图象 步 骤：(1) 列表(liè；biǎ(2o)) 描点 ；(3) ． 连线(lián xiàn) 2．反比例函数 y＝kx(k>0)图象的特征 特 征：(1)由两支曲线组成，它们分别分布在平面直角坐标系的第 一 象 限和第 三 象限内； (2)两支曲线与 x 轴、y 轴都不相交； (3)在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而 减小 ．
2．如果点 A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数 y＝kx(k>0)的图
象上，那么 y1，y2，y3 的大小关系是( B )
A．y1<y3<y2
B．y2<y1<y3
反比例函数的图像和性质说课稿
投资回报率
投资者在投资决策中需要考虑投资 回报率与风险之间的关系。一般来 说，投资回报率与风险成反比，风 险越高，预期回报越低。
工程学中应用
01
杠杆原理
在杠杆平衡时，动力臂与阻力臂成反比。当阻力臂一定时，动力与动力
臂成正比；当动力臂一定时，阻力与阻力臂成正比。
02
流体力学
在管道中流动的流体，其流量与管道截面积成正比，与管道长度成反比
问题，培养学生的应用能力和创新意识。
课堂互动环节设计例函数的性质、图像特点等，激 发学生的学习兴趣和合作精神。
提问与回答
鼓励学生提出问题，通过回答学生的疑问，及时纠正学生的错误理 解，加深学生对反比例函数的认识。
抢答环节
设置抢答环节，让学生积极参与课堂互动，提高学生的注意力和竞争 意识，同时检验学生对所学知识的掌握情况。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比， 与物体质量成反比。这是经典力 学中描述物体运动的基本定律之
一。
经济学中应用
供需关系
在市场中，商品的价格与需求量 通常呈反比关系。价格上升，需 求量减少；价格下降，需求量增
加。
边际效用递减
消费者在一定时间内对某种商品的 需求量是随着消费量的增加而递减 的。这种递减关系可以表示为反比 例函数。
反比例函数的性质
我们深入探讨了反比例函数的性质，包括其在各象限内的 增减性、对称性以及与坐标轴的交点等。
拓展延伸：其他相关数学知识链接
一次函数与反比例函数的比较
一次函数与反比例函数在图像和性质上存在显著差异。一次函数的图像是一条直线，而反 比例函数的图像是双曲线。在性质方面，一次函数具有线性关系，而反比例函数则具有非 线性关系。
反比例函数的图像和性质说课稿
投资者在投资决策中需要考虑投资 回报率与风险之间的关系。一般来 说，投资回报率与风险成反比，风 险越高，预期回报越低。
工程学中应用
01
杠杆原理
在杠杆平衡时，动力臂与阻力臂成反比。当阻力臂一定时，动力与动力
臂成正比；当动力臂一定时，阻力与阻力臂成正比。
02
流体力学
在管道中流动的流体，其流量与管道截面积成正比，与管道长度成反比
问题，培养学生的应用能力和创新意识。
课堂互动环节设计例函数的性质、图像特点等，激 发学生的学习兴趣和合作精神。
提问与回答
鼓励学生提出问题，通过回答学生的疑问，及时纠正学生的错误理 解，加深学生对反比例函数的认识。
抢答环节
设置抢答环节，让学生积极参与课堂互动，提高学生的注意力和竞争 意识，同时检验学生对所学知识的掌握情况。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比， 与物体质量成反比。这是经典力 学中描述物体运动的基本定律之
一。
经济学中应用
供需关系
在市场中，商品的价格与需求量 通常呈反比关系。价格上升，需 求量减少；价格下降，需求量增
加。
边际效用递减
消费者在一定时间内对某种商品的 需求量是随着消费量的增加而递减 的。这种递减关系可以表示为反比 例函数。
反比例函数的性质
我们深入探讨了反比例函数的性质，包括其在各象限内的 增减性、对称性以及与坐标轴的交点等。
拓展延伸：其他相关数学知识链接
一次函数与反比例函数的比较
一次函数与反比例函数在图像和性质上存在显著差异。一次函数的图像是一条直线，而反 比例函数的图像是双曲线。在性质方面，一次函数具有线性关系，而反比例函数则具有非 线性关系。
反比例函数的图像和性质说课稿
1.2_反比例函数的图像和性质第一课时
课堂练习：
k 如图是反比例函数y= (k≠0）的图象的一支 x
（1）判断k是正数还是负数；
y
（-4，2）
0 x
（2）求这个反比例函数的解析式；
练一练
4
2 x
考察函数 y 的图象,当x=-2时,y=
___ -1
,当x<-2
时,y的取值范围是 -1<y<0 ;当y﹥-1时,x的取值范围 _____ 是 _________ . -2<x<0或x>0
课堂练习：
1.函数 y =
5 x 的图象在第_____象限，
m-2 2.函数 y = x 的图象在二、四象限，则m的 取值范围是 ____ . 1 3.对于函数 y = ，当 x<0时，图象在第 ____象限. 3x
课堂练习：
4、下列函数中y随x的增大而减小的是（ ）
A、
9 y （x 0) x
第一课时
东营市实验中学2011级备课组
1.
k ( k 0) 反比例函数的定义：函数 y x
叫做反比例函数. 2. 反比例函数的征： k ≠0， x ≠0. x是－1次 3.反比例函数解析数的求法：待定系数法 3.它的三种常见的表达形式： xy = k（k ≠ 0）
y=kx-1（k≠0）
合作交流,探究新知
限？由什么因素决定？
3.图像与x轴、y轴可能相交吗？
4. 在每个象限内，反比例函数
k y 的图象的变化趋势是怎样的？ x
变化趋势：随着︱x︱的不断增大（或减小），双曲线越来越接近x轴（y轴）
0
x
y=
6 x
观察与思考：
6 5.在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y x 6 和 y 的图象关于x轴对称吗？关于y轴对称 x y 吗？你能说明其中的理由吗？
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
1.2 第1课时 反比例函数y=k÷x(k＞0)的图象与性质
2019/9/21
15
当堂练习
单击此处编母版标题样式
1.
反比例函数
y
8 x
的图象在
( B)
• 单A击. 第此一处、编二辑象母限版文本样B式. 第一、三象限
C• .第第二二级、三象限
• 第三级
• 第四级 • 第五级
D.第二、四象限
2．已知反比例函数y m 2 的图象在第一、三象
x
限内，则m的取值范围是__m____2__.
2019/9/21
16
单击此处编母版标题样式
3.在反比例函数 y k(k>0)的图象上有两点A(
x
x1 , y1 )，
B•(单x•2击第, y此二2 )处级且编x1辑>x母2>版0，文则本y样1-y式2的值为
(B )
A．正• 第数三级
B．负数
• 第四级
C．非正数• 第五级
D．非负数
2019/9/21
• 第四级
2.了解并学会• 第应五级用反比例函数 y k (k 0) 图象的基
x
本性质．(重点、难点)
2019/9/21
2
导入新课
单击此处编母版标题样式
复习引入
我• 单们击已此经处学编习辑过母的版函文数本有样哪式些？你还记得画这些函 数图• 象第•时二第级的三级方法吗？
• 第四级 • 第五级
…
－2
－2.4
－3
－4 －6
6 4 3 2.4 2 …
2019/9/21
5
单击此处y6 编母版标题样式
5 4
y 12 描点：以表中各组对
• 单击此处编3辑母版文本样式x 应值作为点的坐标，
1.2 第1课时 反比例函数y=k÷x(k＞0)的图象与性质
导入新课
观察与思考
问题 某游泳池容积为1000m3,现在需要注满水，每小时水流
量v(m3/h )与时间t(h)之间有怎样的函数关系呢？你能在平面 直角坐标系中画出这个图形吗？ 当容积为1000 m3时,
时间t与每小时水流量
v之间的关系是：
1000 v （t>0） t
讲授新课
k 0) 图象的步骤 一 作反比例函数 y (k x
(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，
并说明理由； (3)当-3<x<-1时，求y的取值范围．
k 解：(1)∵反比例函数 y (k为常数，k≠0)的图象经过点 x
k ∴把点A的坐标代入表达式，得 3 ， 2 解得k=6，
∴这个函数的表达式为 y A(2，3)，
A. y1 > y2
C. y1 < y2
B. y1 = y2
D. 无法确定
解析：由题可知反比例函数解析式为 y 故选C．
均在函数图象上，并且都在第一象限内，根据xA>xB，得y1 < y2
6 ，因为A、B两点 x
当堂练习
m2 １．已知反比例函数 y 的图象在第一、三象限内，则 x m2 m的取值范围是________.
课堂小结
图象的画法（描点法）： 列表、描点、连线
反比例函数 k y (k 0) x
图象：分别位于第一、三象限
性质：在每个象限内，y随 x的增大而减小
课后作业
见《学练优》本课时练习
优翼 课件
学练优九年级数学上（XJ） 教学课件
第1章 反比例函数
1.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数
反比例函数图像和性质ppt课件
压强与面积的关系
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
在气瓶压力一定的情况下，压力的作 用面积与压强成反比关系，即当作用 面积增大时，压强减小；反之，当作 用面积减小时，压强增大。
在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，商品的需求量与价格之间存在反比例关系，即当价格上涨时，需 求量减少；反之，当价格下降时，需求量增加。
投资回报
投资者在考虑投资回报时，通常会选择投资回报率较高的项目，即投资回报与投 资额成反比关系。
与几何知识的结合
与直角坐标系的结合
反比例函数的图像位于直角坐标系的两个象限内，可以通过几何知识来研究其性质，例如对称性和渐 近线。
与圆的结合
在某些条件下，反比例函数的图像与圆的图像相似，可以通过圆的性质来类比研究反比例函数的性质 。
在数学竞赛中的应用
01
反比例函数在数学竞赛中常作为 难题出现，需要学生具备扎实的 数学基础和灵活的思维才能解决 。
05 反比例函数的扩展知识
与其他函数的联系
与一次函数的联系
反比例函数与一次函数在某些条件下可以相互转化，例如$y = kx$（$k neq 0$）可以转化为$y = frac{1}{x}$的 形式。
与二次函数的联系
反比例函数的图像与二次函数图像在形式上有所不同，但它们在某些性质上有相似之处，例如对称性和极值点。
反比例函数的定义域和值域
由于分母不能为0，所以反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域 为{y|y≠0}。
反比例函数的图像
图像特点
反比例函数的图像位于第一象限 和第三象限，呈双曲线状，且随 着k值的正负变化，图像分别位于 x轴的上方和下方。
图像绘制
在直角坐标系中，取点(x,y)满足 xy=k，然后描绘出这些点的轨迹， 即为反比例函数的图像。
新人教版26.1.2反比例函数的图像与性质(第1课时)解读
02
题目二
已知反比例函数 $y = frac{3k - 1}{x}$ 的图像上有两点 $(x_1, y_1)$ 和
$(x_2, y_2)$，且当 $x_1 < x_2 < 0$ 时，有 $y_1 < y_2$，求 $k$ 的
取值范围。
03
题目三
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像与一次函数 $y =
提高题
给出一些较复杂的反比例函数问题， 如涉及复合函数、不等式等，要求学 生综合运用所学知识进行求解。
THANKS
随着x的无限增大或无限减小，反比例函数的y值将无限趋近 于0，但永远不会等于0。同样地，随着y的无限增大或无限减 小，反比例函数的x值也将无限趋近于0，但永远不会等于0。
04
典型例题解析与思路拓展
绘制反比例函数图像方法指导
列表取值法
通过取定自变量的一系列 值，计算出对应的函数值 ，然后在坐标系中描点并 连线。
例函数的解析式，并判断点 $Q(-2, 1)$ 是否在该函数的图像
上。
提高难度挑战题尝试
01
题目一
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像上有两点
$A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，且 $x_1 < 0 < x_2$，试比较 $y_1$
和 $y_2$ 的大小。
函数称为反比例函数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线 ，当 $k > 0$ 时，双曲线的 两支分别位于第一、三象限 ；当 $k < 0$ 时，双曲线的 两支分别位于第二、四象限
。
反比例函数的性质
反比例函数y=k／x(k＞0)的图象与性质PPT课件
课后训练
11．请按照如图所示的实物图画出电路图。 【点拨】根据“先替换后整理”的原则画出电路图，即各 元件位置及导线的走向完全不动，仅将其中的实物图用 相应的符号替换，然后将导线拉直，做到横平竖直。 解：如图所示。
课堂导练
4．串联电路只有一条电流的路径，在串联电路中，各 用电器的工作____互__相__影__响______(填“互相影响”或“不 互相影响”)；并联电路中有__两__条__或__两__条__以__上__电流的 路径，因此各用电器的工作____不__互__相__影__响_______。
课后训练
17．(2020·十堰)某学校有前、后两个大门，在前、后门上 各装有一个按钮开关， 门卫室内有电池组和 甲、乙两盏电灯，前 门来人按下开关时甲 灯亮，后门来人按下 开关时乙灯亮。下列 电路图符合要求的是( )
课后训练
12．请画出如图所示电路的电路图。 解：如图所示。
课后训练
【思路点拨】前门来人按下开关时甲灯亮，后门来人按 下开关时乙灯亮，说明两灯互不影响、能独立工作，即 甲、乙两盏电灯应并联。 【答案】C
课堂导练
6．(2020•天津)如图所示的是一个简化了的玩具警车电 路图。若只让电动机M工作，应( ) A．只闭合S1 B．只闭合S2 C．S1、S2都闭合 D．S1、S2都断开
课堂导练
8．(2020·东莞)根据电路图 连接实物图。
【点拨】由电路图可知，两灯泡并联，开关S1位于干路， 开关S2位于L2所在支路，从电源的正极出发，依次连接L2、 S2、S1回到电源的负极，然后把L1并联在L2和S2两端。
A．a<0
B．a>0
C．a<2
D．a>2
【点拨】∵反比例函数 y＝a－x 2 (a 是常数)的图象在第一、三象
1反比例函数的图像与性质(第1课时)课件(苏科版)
初中数学八年级下册（苏科版）
11.2反比例函数的图象与性质(1)
1.我们已经知道一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象是怎样的图形呢？说一说，应该怎么画呢?
自主探究
1.用描点法画 的图象时，所描点、的横坐标、纵坐标的符号有什么特点？你能由此猜出 的图象在哪些象限呢？
自主探究
共有两种情况:横坐标、纵坐标的符号都 为正号或都为负号．
3. 你会求出 的图象坐标轴的交点吗？要求一求，并说出自已的想法．
自主探究
求不出来的原因是:x、y的值不可能为0．
操作(一) 画出反比例函数 的图象．
D
先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的是否符合条件.
7、反比例函数①y= ；②y= ；③7y=- ④y= 的图象中：(1)在第一、三象限的是 ，在第二、四 象限的是 . (2)在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增 大的是 .
自主合作
1.列表
2.描点
3.连线
步骤:
X
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
…
…
1.列表
a、在取值范围内取值（x不等于0）；b、一定要有代表性（兼顾 正、负）；c、大小要适度（描点时好操作,太大或太小都不宜画图）；d、要尽量多取一些数值（一般情况下取 8~10个点）。
X
越来越接近两条坐标轴
无交点
合作探究
x
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
…
…
1
1.5
2
3
11.2反比例函数的图象与性质(1)
1.我们已经知道一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象是怎样的图形呢？说一说，应该怎么画呢?
自主探究
1.用描点法画 的图象时，所描点、的横坐标、纵坐标的符号有什么特点？你能由此猜出 的图象在哪些象限呢？
自主探究
共有两种情况:横坐标、纵坐标的符号都 为正号或都为负号．
3. 你会求出 的图象坐标轴的交点吗？要求一求，并说出自已的想法．
自主探究
求不出来的原因是:x、y的值不可能为0．
操作(一) 画出反比例函数 的图象．
D
先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的是否符合条件.
7、反比例函数①y= ；②y= ；③7y=- ④y= 的图象中：(1)在第一、三象限的是 ，在第二、四 象限的是 . (2)在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增 大的是 .
自主合作
1.列表
2.描点
3.连线
步骤:
X
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
…
…
1.列表
a、在取值范围内取值（x不等于0）；b、一定要有代表性（兼顾 正、负）；c、大小要适度（描点时好操作,太大或太小都不宜画图）；d、要尽量多取一些数值（一般情况下取 8~10个点）。
X
越来越接近两条坐标轴
无交点
合作探究
x
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
…
…
1
1.5
2
3
1.2反比例函数的图像和性质
（1）求m的值；
（2）求△ABC的面积。
（1）m=4 （2） S△ABC=8
C
y
A
O
B
x
复习
1、判断 k y 为反比例函数（ 错 ） 1） x 2）反比例函数的图象是曲线，与x、y轴有交点( 错 ) 3) 反比例函数的图象是中心对称图形 2、选择、填空 3 1）函数y 2 x A 一、二 过 （ D ）象限 （ 对）
k 4）反比例函数 y x k 0 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且
X1<x2 则y1－y2的值是（ D A 正数 B负数
） D不能确定 y
C非正数
本题要注意A,B是否在同一象限内 o x
若A,B在不同的象限则可能有多 种情况出现
1 1 已知P（2，2 ）为反比例函数 y x 图象上第一象限的点，过P分别作x轴、 y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的 矩形PEOF的面积为多少？
k<0时，都经过二、四象限
暂不能比较的：k>0时正比例函数y随x的增大而增大； k<0时正比例函数y随x的增大而减小。 那么反比例函数有没有这样的类似性质呢，你能不 能帮小明解决这个问题呢？
新课探究：
1、函数
2 y x
k值是几？过哪几个象限？ y
K＝2，过一、三象限
－4－3－2－1
2、我们看第一象限的图象填表并回答
相等
综合演练
k y k 0 的图 如右图，点A在反比例函数 x
A 不变
B增大
C减小
1 y 3）反比例函数 x
的图象上有两点A(1,y1),B(2,y2), ） C非正数 D不能确定
则y1－y2的值是（ A A 正数 B负数
（2）求△ABC的面积。
（1）m=4 （2） S△ABC=8
C
y
A
O
B
x
复习
1、判断 k y 为反比例函数（ 错 ） 1） x 2）反比例函数的图象是曲线，与x、y轴有交点( 错 ) 3) 反比例函数的图象是中心对称图形 2、选择、填空 3 1）函数y 2 x A 一、二 过 （ D ）象限 （ 对）
k 4）反比例函数 y x k 0 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且
X1<x2 则y1－y2的值是（ D A 正数 B负数
） D不能确定 y
C非正数
本题要注意A,B是否在同一象限内 o x
若A,B在不同的象限则可能有多 种情况出现
1 1 已知P（2，2 ）为反比例函数 y x 图象上第一象限的点，过P分别作x轴、 y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的 矩形PEOF的面积为多少？
k<0时，都经过二、四象限
暂不能比较的：k>0时正比例函数y随x的增大而增大； k<0时正比例函数y随x的增大而减小。 那么反比例函数有没有这样的类似性质呢，你能不 能帮小明解决这个问题呢？
新课探究：
1、函数
2 y x
k值是几？过哪几个象限？ y
K＝2，过一、三象限
－4－3－2－1
2、我们看第一象限的图象填表并回答
相等
综合演练
k y k 0 的图 如右图，点A在反比例函数 x
A 不变
B增大
C减小
1 y 3）反比例函数 x
的图象上有两点A(1,y1),B(2,y2), ） C非正数 D不能确定
则y1－y2的值是（ A A 正数 B负数
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