集合代数

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康托尔的基本理论
康托尔集合论中的许多证明的一切定理均能从三个公理得 出．这三个公理是: ①外延公理: 如果两个集合中各个元都是相同的则它们相等． ②抽象公理: 任给一个性质，都有一个满足该性质的客体所组 成的集合． ③选择公理: 每个集合都有一个选择函数． 但是, 毛病却出在抽象公理上.
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全集
全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE ) 注意 E={x|p(x) ∨p(x)}，p(x)为任何谓词。 全集的概念相当于论域 含有n个元素的集合的子集个数为2n个。
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实例（续）
例3 假定(A)=(B)，证明A=B 证 任意a aA {a}A {a}(A) {a}(B) {a}B aB 所以A =B。
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集合论的起源与发展（续）

在此基础上以后就逐步形成了公理化集合论和抽象集合论， 使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。

集合论观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论以及
信息论、排队论等现代数学各个领域。

集合中的元素不一定同类。
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幂集
定义 (A) = { x | xA }，或记为(A),2A 实例 () = {}， ({}) = {,{}} ({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数：如果 |A| = n，则 | (A)| = 2n
集合之间的关系
包含（子集） A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 AB 真包含 ABABAB (x)(xA→xB) ∧(x)(xB∧xA) 不真包含 AB 思考： 和 的定义 注意 和 是不同层次的问题
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实例
例2 证明对每个集合S，{,{}}(S)成立。
证 由幂集的定义知，
S (S) {}(S) {}(S) 又 (S) (S) 所以{,{}}(S) {,{}}(S)
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本篇的主要内容
集合 集合的基本概念与表示方法 子集与集合相等 集合的运算及其性质 集合的幂集 笛卡尔积 包含排斥原理 关系的定义及表示 关系的性质 复合关系和逆关系 关系的闭包运算 集合的划分与覆盖 等价关系与等价类 序关系 相容关系
集合论部分
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集合论的起源与发展


集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到 16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究． 集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立 的．康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨， 提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了 集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始 人．
文氏图 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
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集合基本运算的定义
并 交 相对补 A∪B = { x | xA xB } A∩B = { x | xA xB } AB = { x | xA xB }
对称差 绝对补
AB = (AB)∪(BA)
= (A∪B)(A∩B)
A = EA
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文氏图表示
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关于运算的说明
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隶属关系的层次结构
例1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
注意：集合的元素也可以是集合.
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集合论的起源与发展（续）

到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了 关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推 陈出新，大量涌现． 在同一时代，美国数学家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集 理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊 集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成 果．还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡 献．
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关于集合的说明

集合的元素还可以允许是一个集合。
如：S={a,{1,2},p,{q}}，q∈{q},但qS，同理1∈{1,2}， 但1S。{{1,2},4} ≠{1,4,2}

集合中的元素互异。 例如：{1,2,4}={1,2,2,4} 集合中的元素无次序和大小之分。如： {1,2,4}={1,4,2}
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集 合 与 关 系
关系
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集合代数

集合的概念和表示 集合的基本运算 集合的计数——包含排斥原理
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3-1 集合的概念和表示法
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罗素悖论
罗素悖论：由“不为自身的成员这一性质的所有客体的集合” 会导出矛盾. 论证 把抽象公理符号化为： (y)(x)(x∈y(x)) (1) 其中, (x)是不以y为自由变元的公式. 把(x)取为“x不为x的成员”,即(x)=(x∈x). 则罗素悖论符号化为 (y)(x)(x∈y(x∈x)) (2) 在(2)中取x＝y，可得 (y)(y)(y∈y(y∈y)) (3)
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集合与元素
集合与元素的关系：隶属关系，属于∈，不属于 1、a∈A表示a属于集合A ，亦称A包含a，或a在A之 中，或a是A的成员。 2、aA表示元素a不属于A ，亦称A不包含a，或a不 在A中，或a不是A的成员。 实例， A={ x | xRx2-1=0 }, A={-1,1}，1A, 2A 注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)， xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
证明 设A={a1,a2,…,an},把a1a2…an与一个n位二进制数b对应, ai对应于b的第i位。定义二进制数b所对应A的子集B ：与b 中的1对应的A中元素组成的集合。这样B与该二进制一一 对应，有多少个不同n位二进制就有多少个不同的子集。
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幂集（续）
用编码Leabharlann Baidu唯一地表示有限集幂集的元素
以S={a,b,c} 为例。 (S)={Si|i∈J}，J={i|i是二进制数且00…0≤i≤11…1} 例如S3=S011={b,c}, S6=S110={a,b}等。 一般地
( S ) {S0 , S1 ,, S 2 1}
n
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x((x∈A→x∈C))
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空集
空集 不含任何元素的集合， ={x|p(x) ∧p(x)}，p(x)是任意谓词。 实例 {x | x2+1=0xR} 就是空集 定理 空集是任何集合的子集 A x (xxA) T A的平凡子集 和A 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2 思考： ≠{}， ∈{}，为什么？
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集合的表示方法
集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4}, D={桌子，灯泡，自然数，老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如， P(x) 表示x是正奇数，则B是所有正奇数的集合.
实例（续）
例4 证明若BC，则(B) (C) 证 任取X
X(B)
XB XC X(C) 所以(B)(C)
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3-2 集合的运算

集合基本运算的定义
∪ ∩


运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1∪A2∪…An= {x | xA1xA2…xAn} A1∩A2∩…An= {x | xA1xA2…xAn}



集合的定义与表示 集合与元素 集合之间的关系 空集 全集 幂集
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集合的定义
集合 没有精确的数学定义 理解：一些具有共同性质的东西 汇集成的整体 如：教室内的桌椅；图书馆的藏书，全国的高等学校、自然 数的全体、直线上的点子等。 元素 组成集合中的事物 集合的字符表示 集合 A、B、C… 元素 a,b,c… 集合的分类 无限集：组成集合的元素个数是无限的 有限集：组成集合的元素个数是有限的
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集合论的起源与发展（续）


随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的 讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的 悖论，如著名的罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击 了或者说动摇了集合论的发展． 许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化 集合论体系，其中尤以20世纪初、中期的ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gö del)公理化体系最为流行.
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包含关系的性质
自反性：A A 传递性：(A B) ∧(BC)(A C)
证明： (A B) ∧(BC)
x(x∈A→x∈B) ∧x(x∈B→x∈C)
x((x∈A→x∈B) ∧ (x∈B→x∈C))