例说线段倍半关系的证明方法
2022年初中数学利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
现在如果把两开关C和D都按上，两条电路都接通，此时应该是1＋1，但小灯泡B只会发出同样的亮光，所以此时还是1．
这个过程我们用数学式子来表示，就是：
1＋1=1．
这正是逻辑代数的加法．
0和1这些数字，本来是代表数的．在逻辑代数里，我们知道0和1不只表示数，而且更代表一种情况．正因为这样，所以得出了1＋1不等于2的结果．1＋1不光只等于2或等于1．在采用二进制的计算方法中，1＋1是等于10．可见，我们习惯的数字计算法那么，在一些数学新概念中得出的结果不再是人们预料的．。
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。
$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。
八年级数学期末复习三角形中位线定理证明线段的相等或倍分关系
八年级数学期末复习三角形中位线定理证明线段的相等或倍分
关系
知识点清单【三角形中位线定理】
【定义】
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
【定理】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【作用】位置关系：可以证明两条直线平行；
数量关系：可以证明线段的相等或倍分关系.
例题
【张老师解析】
首先作出辅助线，连接DB，延长DA到F，使AD=AF，连接FC．根据三角形中位线定理可得AE=½CF，再利用勾股定理求出BD 的长，然后证明可得到△FDC≌△BCD，从而得到FC=DB，进而得到答案．
具体解题过程：
【张老师小结】
三角形中位线定理：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的.
在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况按需选用。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
怎样证明线段倍分题
怎样 证 明 线 段 倍 分 题在题设条件或结论中含有一条线段是另一条线段的2倍的问题， 我们可以称之为线段倍分问题. 本文介绍几种证明这类问题的方法.一、利用 直角三角形的相关性质直接证明 ：1. 利用含30°角的直角三角形的性质证明例1.已知：如图1，△ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上分别取点 D 、E ，且AD=CE ，连结AE 、BD 交于点N ，过B 作BM ⊥AE ，垂 足为M ，求证：MN = 21BN.（提示：先证 ∠BNE = 60 °） 略证：由条件易证 △ABD ≌△CAE ，∴∠1=∠2 ， 那么 ∠BNE=∠1+∠3=∠2+∠3 =60°，∵BM ⊥AE ， ∴ MN = 21BN. 2.利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边之半”证明例2. 已知:如图2，在△ABC 中 , ∠C = 2∠B , AD ⊥BC 于D ,M 是BC 的 中点 .求证: AC = 2DM证明：取AC 的中点E ，连结DE 、ME ，则在Rt △ACD 中，AC = 2DE ，及 ED= EC ， ∴ ∠EDC =∠C =2∠B ，又 M 是BC 的 中点, ∴ EM ∥AB ，∴ ∠EMC =∠B ， ∴ ∠EDC = 2∠EMC ，又∠EDC =∠EMC + ∠MED ，∴ ∠EMC =∠MED ， ∴ED = MD ，∴ AC = 2DM .3. 利用 三角形中位线性质证明例3.题同例2 ( 如图3)，取AB 的中点G ，连结GM 、GD ，仿例2易证二、利用等线段代换例4. 如图4，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，BD 是AC 边上的中线，AF ⊥BD ，F 为垂足. 过C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E ，求证：AB = 2CE ；（吉林中招 ）分析： 由于AB = AC=2AD=2CD ，所以，要证 AB = 2CE, 只要证明CE = AD ，或CE = CD∵ CE ∥AB ， ∠BAC = 90°， ∴∠ACE= 90° ，∴ ∠E+∠EAC= 90°，由 AF ⊥BD 知∠ADB+∠EAC = 90°，∴∠E =∠ADB ，又AB = AC ， ∴△AEC ≌△BDA ， ∴CE = AD从而 AB = AC=2AD=2CE .这里，实际是取长线段AB 的等线段AC ，取其一半AD ，再证AD 与CE 相等，是常用的等量代换.三、 取半法: 即 取倍（长）线段的 一半等于分（短）线段，简称“取半法”例5.已知：如图5，四边形ABCD 中, ∠D = 90 °,对角线 AC 平分∠BAD , AC= BC,求证：AD = 21 AB ； 证明：作CE ⊥AB 于E ，由 AC = BC 知，AE =21AB ，所以只要证 AE= AD 即可， ∵∠1=∠2，AC = AC ， ∠AEC =∠D=90° ∴ △AEC ≌△ADC ， ∴ AD = AE =21AB. 四、倍半法:延长分（短）线段，使延长部分等于该线段， 再证这条“加长线段”等于倍（长）线段. 简称“加倍法”.例6. 如图6，已知△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E.求证: AE =21BD (江苏15届初中竞赛第2试改编） 证明：延长AE ，交BC 的延长线于M ，∵∠ACB = 90°，AE ⊥BD ，∴ ∠ACM = ∠ACB = 90°, ∴ ∠1=∠2，又 AC = BC ，∴ △AMC ≌△BDC ,∴ AM = BD ，又 BD 平分∠ABC ， AE ⊥BD∴△ABE ≌△MBE ，∴ AE = EM =21AM =21BD 附 练习题1. 如图7,在△ABC 中 , AB =AC, AD 和BE 是高, 它们相交于点H ,且AE =BE . 求证: AH = 2BD.(湖北黄冈中招)2.如图8-1，图8-2中，在△ABC 中, 已知∠C = 2∠B ，BC = 2AC ，求证：∠BAC =90°.3. 如图10，已知：△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，且AB=AD ，CM ⊥AD ，交AD 的延长线于点M. 求证：AM =21(AB+AC ） 4. 如图11，在△ABC 中, AB = AC ，∠BAC = 120°, AB 边的 垂直平分线交AB 于点D ，交 CA 的延长线于点E. 求证：DE =21BC 5. 如图12， 已知MN ∥PQ ，AC ⊥PQ 于C ， DE=2AB ， 求证：∠ABC = 3∠DBC.（例题的变式：）6. 如图2，在例2中，求证：⑴ ∠ABD =∠FAD ； （吉林中招题）7 .如图3，已知：四边形ABCD 中, 对角线 AC 平分∠BAD , AC = BC, AB = 2 AD.求证： AD ⊥CD. （例3之逆）8 .如图6，已知△ABC 中，AC= BC ，∠ACB = 90°，D 是AC 上 一点，AE ⊥BE 交BD 的延长线于E ，且，AE =21BD ， 求证:BD 是∠ABC 的平分 线.(江苏15届初中竞赛第2 试）证明： 延长AE ，交BC 于M ，则△AMC ≌△BDC …部分解答2. 证法1：如图6，作∠C 的平分线CE 交AB 于E ，再作EF ⊥BC 于F ， 则 ∠ACB = 2∠1 = 2∠2，∠EFC = 90°，∵∠ACB=2∠B ， ∴∠B=∠2，EB= EC ，∵EF ⊥BC ， ∴BC=2CF ，又BC= 2AC ， ∴AC = CF .从而△ACE ≌△FCE ， ∴∠A =∠EFC = 90°证法2：分析如图7，延长BC 到E ，使CE = AC ，连结AE ，取BC 的中点D ，连结AD ， 只要证明△ACD 是等边三角形，则 ∠BAC =∠DAE = 90°.3.证明：常用倍半法，将短线段CE 加倍 ：延长CE 与BA 的延长线交于点M ，由 AB = AC ， BD 平分∠ABC ， BE ⊥CE ，知 △BME ≌△BCE ， ∴ CM = 2CE ，类似例2 ，易证△BDA ≌△CMA得 BD=CM=2CE.。
证明线段倍半关系四种常用方法
证明线段倍半关系四种常用方法题：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE．这是线段倍半关系的证明，它是几何中常见的问题之一，如何解决这类问题呢？下面介绍四种常用的方法：方法一：利用比例法其思路是：欲证线段a＝nb（n为常数），只须证明a/b＝n即可．因此，问题解决的关键在于寻找发现与a、b有关的比例式．在本题中，欲证CD＝2CE，只须证明CD/CE=2．因此，从一只条件出发，努力寻找与CD、CE相关的比例式，而要寻找线段比例式，就得先寻找平行线、相似三角形．但题目中显然没有这样的条件，因此，需要从已知出发去挖掘和发现．如图1，在ΔACE与ΔADC中，由E是AB的中点，得：AE=AB/2，又AB=AC，所以AE/AC=（AB/2）/AC=1/2，因为BD=AB，所以AD=2AB=2AC，所以AC/AD=1/2，所以AE/AC=AC/AD，这表明ΔACE与ΔADC有两边对应成比例；又∠A是它们的公共角，即∠A＝∠A，ΔACE与ΔADC两边对应成比例，且夹角相等，所以ΔACE∽ΔADC，所以CE/CD=AC/AD=1/2，所以CD＝2CE．方法二：利用折半法其思路是：欲证线段b＝2a，取较长线段b的中点，将较长的线段b分成相等的两条线段，然后证明其中一条线段与较短的线段a相等．在本题中，欲证CD=2CE，取CD的中点F，接下来只需要想办法证明CF=CE（或DF=CE）即可．而要证明线段相等，最常用的方法是利用'全等三角形对应边相等'，因此，先找出含有边CE、CF（或DF）的三角形，再设法证明它们全等．如图2，连结BF．在ΔBFC与ΔBEC中，显然有BC为公共边，想办法证明它们全等．因为B是AD的中点，所以BF∥AC，BF＝AC/2，所以∠FBC＝∠ACB，因为AB＝AC，所以∠EBC＝∠ACB，所以∠FBC＝∠EBC，因为E是AB的中点，所以BE＝AB/2，所以BF＝BE，又BC＝BC，所以ΔBFC≌ΔBEC，所以CF＝CE，所以CD＝2CF=2CE．方法三：利用加倍法其思路是：欲证线段b＝2a，将较短的线段a延长一倍，再证延长后所得线段与较长的线段b相等．在本题中，欲证CD=2CE，将CE延长到F，使EF＝CE（如图3），则CF＝2CE．接下来只需要证明CF＝CD即可．而要证明CF=CD，仿照方法二去寻找全等三角形．连结AF、BF．因为E是AB的中点，所以四边形AFBC是平行四边形，所以BF∥AC，所以∠FBA＝∠BAC，所以∠FBC＝∠FBA＋∠ABC＝∠BAC＋∠ABC，因为∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，而AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠FBC＝∠DBC，又BF＝AC＝AB＝BD，BC＝BC，所以ΔBCF≌ΔBCD，所以CF＝CD，所以CD＝2CE．方法四：利用中位线法其思路是：从'三角形的中位线等于第三边的一半'入手，欲证线段b＝2a，构造以较长的一条b为第三边的三角形的中位线，再证明较短的一条a与中位线相等．当题目条件恰好有'中点'时，这种方法显得尤为珍贵．在本题中，如图4，考虑到B是△ACD的边AD的中点，取AC的中点F，连结BF．则BF是△ACD的中位线，从而BF＝CD/2，即CD=2BF，因此，欲证CD=2CE，只需要证明BF＝CE．因为E是AB的中点，AB＝AC，所以CE和BF都是等腰△ABC腰上的中线，所以BF＝CE，所以CD=2CE．。
暑假突破：证明线段间的关系技巧
暑假突破：证明线段间的关系技巧名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．一、证明两线段的数量关系(类型1) 证明两线段的相等关系1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO 与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.证明：∵DE∥BC，(类型2) 证明两线段的倍分关系2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，则：又∵BA＝2BD，所以CF＝2CE.又AM平分角BAC，所角BAM＝角CAM.角CAM＝角F.则AC＝CF.因此AC＝2CE.二、证明两线段的位置关系(类型1) 证明两线段平行3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC，易知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.所以∵E为AB的中点，EF∥BC，所以F为AC的中点．又∵DF∥AB，则D为BC的中点．所以BD＝CD.所以EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，所以N为EC的中点．从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，则ED∥AC.所以MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，易得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.所以 EM\BD＝ AM\AD)＝ MF\DC.所以EM\MF＝ BD\DC.又∵DF∥AB，所以BD\DC＝EN\NC.EM\MF＝EN\NC.所以EM：EF＝EN：EC.又∵角MEN＝角FEC，所以△MEN∽△FEC.所以角EMN＝角EFC.则MN∥AC.(类型2) 证明两线段垂直4．如图，已知矩形ABCD，AD＝1\3AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG垂直于DF.证明：∵AD＝1\3AB，点E，F把AB三等分，MJ 设AE＝EF＝FB＝AD＝k(k>0)，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，则角DCG＝角FAG，角CDG＝角AFG.则△AFG∽△CDG.△AFD∽△FEG.。
线段的和差倍半证明技巧
线段的和差倍分问题的证明证明技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例1如图，△ABC中，∠BAC=90°，AE是经过点A的一条直线，交BC于F，且B、C在AE在的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：DB=DE+CE。
二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上.求证：FG =AB -DE三、证线段或角的和差方法1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。
方法2、延长一短者，使其等于二短者之和。
证明延长后与长者相等。
3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD .求证：AP =BP +DQ .4、如图所示，已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 是BAC ∠的平分线， 求证：AB=AC+CD ．5、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 21=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．MADBCADBC四、证线段或角的和差倍分方法：1、先作出和差，再证明倍分。
方法：2、先证明倍分，再计算和差。
（此法多用于证线段）方法：3、用计算的方法——纯代数法——证明和差倍分。
几何证明之线段倍分关系(一)
中考专题复习
几何证明之线段倍分关系（一）
（导学案）
（一）、自学预检（用简短的语言或图形表示）
1、几何证明题的解题步骤是：
2、线段的中点有哪些常见的用法：
3、证明线段的2倍关系除以上中点的基本图形外还有什么方法：
4、证明线段相等有哪些常见的方法：
（二）、合作探究
例1：如图，在菱形ABCD中,∠BAD=60°，M为线段AC上一点(M不与A,C重合)，以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ.
请同学们标上已知条件，并思考以下问题：
1、由菱形ABCD你在图中能得到哪些结论？结合∠BAD=60°你又能得到时哪些结论？把你认为有用的结论标在图上。
2、由等边三角形AMN你能得出哪些结论？
3、中点有哪些常见的用法？结合图形和已知条件猜想中点Q可以怎么用？
4、线段的2倍关系有哪些常见的证明方法？结合图形和已知条件你认为有哪些可能的方法？
5、你还有其他方法吗？请写出简要解题思路（可不写证明过程）。
我的收获：
（三）当堂达标：
如图，在RT △ABC 中，∠ABC=90°，在RT △BDE 中，∠BDE=90°，AB=DB ，∠
BAC=∠BDE ，连接CD ，连接AE 交BD 于点F ，点F 恰好为AE 的中点。
求证：CD=2BF 。
备用图
备用图。
数学人教版八年级上册倍长中线巧解题
倍长中线巧解题
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．
一、证明线段不等
一、证明线段不等
例1如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．
分析：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE．
易证△ABD≌△ECD．所以AB=EC．
在△ACE中，因为AC+EC＞AE=2AD，所以AB+AC＞2AD．
二、证明线段相等
例2如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．
分析：可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．
则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．
又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．
三、证明线段倍分
例3如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．
分析：延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．
则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．
因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．
再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD．。
人教版数学八年级上册第十三章利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. 一、证明线段相等例1 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .分析 由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以要证明DE ＝DF ，只要证明点D 是∠BAC 的平分线上的点，于是连结AD ，而由AB ＝AC ，BD ＝CD 即可证明AD 是∠BAC 的平分线.证明 连结AD .因为AB ＝AC ，BD ＝CD ，所以AD 是等腰三角形底边BC 上的中线，即AD 又是顶角的平分线.又因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF . 二、证明两条线垂直例2 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD . 分析 由已知条件AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，显然只要连结AC 、AD ，则△ABC ≌△AED ，于是AC ＝AD ，而CF ＝DF ，则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明AF ⊥CD .证明 连结AC 、AD .因为AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，所以△ABC ≌△AED （SAS ），所以AC ＝AD ，又因为CF ＝DF ，所以AF 是等腰三角形底边CD 的中线， 所以AF 也是CD 边上的高，即AF ⊥CD .F E 图3D C BACD EF 图1BAF D 图2BECA三、证明角的倍半关系例3 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝12∠BAC . 分析 要证明∠DBC ＝12∠BAC ，只要作出∠BAC 的平分线，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证明证明 作∠BAC 的平分线AE .因为AB ＝AC ，所以由等腰三角形的“三线合一”可知AE ⊥BC .又因为BD ⊥AC ，所以∠ADB ＝90°，而∠BFE ＝∠AFD ，所以∠DBC ＝∠CAE ， 故∠DBC ＝12∠BAC . 四、证明线段的倍半关系例4 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D .求证：BF ＝2CD .分析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，可想到等腰三角形的“三线合一”性质，于是延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，从而问题获解.证明 延长线BA 、CD 交于点E .因为BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，所以可得BC ＝BE ，DE ＝DC ，又因为∠BAC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，所以可得∠ABF ＝∠DCF ， 又AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，所以△ABF ≌△ACE （SAS ），即BF ＝CE ， 故BF ＝2CD .图5ABCDE图4BF DECAD 图6CE BA。
第6讲线段倍分关证明与应用
【知识准备】1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；2. 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【典例分析】例1.（潍坊）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结0C,则0C的长的最大值是_____________________ .例2如图所示，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, BD=2AD , E、F、G分别是0C、0D、AB的中点.求证：⑴ BE丄AC;⑵EG=EF .3已知，△ ABC中，/ / ACB=90。
，/ BAC=15°, CD 丄AB 于D .求证：CD 二丄AB .4例4如图，锐角△ ABC中，BE、CF是高，点M、N分别为BC、EF的中点, 求证：MN丄EF .【课堂作1直角三角形的两边长为3、4,则斜边上的中线长为_____________________ .2. （2012济南）如图，/ MON=90 °，矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M , ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边0M 上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2 , BC=1，运动过程中，点D到点0的最大距离为（）A.、. 2 1B. 5 C .卫 D. §523.如图，E, F分别为四边形ABCD的对角线AC, BD的中点，求证: EF ::丄（AB CD）.2C4.如图，E是口ABCD外一点，且AE丄CE , BE丄DE , □ ABCD是矩形吗？试说明理由5.如图，在△ ABC中，AD丄BC于D, E、F、G为三边中点求A证：/ EDF = /FGE.6.如图，已知：四边形ABCD是矩形,E是CB延长线上的一点,O是AE的中点.求证：OC=OD .7.如图，锐角△ ABC中，两条高BD、CE交于点F，点M、N分别为BC、AF的中点，求证：MN垂直平分ED.8.已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , AD // BC, BD 与AC 交于点E,且DE=2AB. 求证：/ ABD=2/ CBD .9.如图，已知：△ ABC中,B=2/C, AD丄BC于D, M是BC的中点.1 求证：DMAB210.（海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB）,斜靠在与地面（0M ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点0的距离是否变化，并简述理由•⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值•11.如图，在△ ABC 中，AB=AC，/ ABD= / CBD , BD丄DE 于D, DE 交BC 于E.求证：CD =-BE .212.如图，已知在厶ABC中，CE丄AD于E, BD丄AD于D, BM=CM .求证：ME=MD .13.（安庆市初中数学竞赛题•河南高一）已知五边形ABCDE 中，/ ABC= / AED=90°,Z BAC= / EAD , M 是CD 的中点. 求证：MB=ME。
数学人教版八年级上册探究三角形中线段间的倍半关系
中考专题复习之探究三角形中线段间的倍半关系教学重点：探究三角形中线段间的倍半关系，以及常规添辅助线的方法。
教学难点：运用三角形中线段间的倍半关系来求线段长和一些证明问题。
一、知识回顾一线段¨中点”相关知识点：1．在直角三角形中，斜边上的中线等于________________________·如图，在RtΔABC中，∠ABC=900，点D是AC的中点，·∴AD=CD=_______________=_______________2．三角形的中位线平行且等于______________________________如图，在ΔABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE=____________，且____________//____________C=900，∠A=300∴BC=____________4．等腰三角形“三线合一”的性质：如图，已知AB=AC，AD⊥BC ∴BD=CD=____________，∠BAD=∠____________5．一种常见的关于中点的辅助线思想一一“倍长中线法刀“如图：在ΔABC中，点D是BC边的中点，我们可以将AD延长至A'，使A'D=AD，连接A'B(A'C)∴ΔACD≌____________ (ΔABD≌____________)二、典型例题例1：如图，ΔBCD和ΔHCE都是等腰直角三角形，其中∠BCD=∠HCE=900，点E在线段BD上，且∠ECD=150。
CH的延长线与DB的延长线交于点A。
求证：(1)ΔCDE≌ΔBCH(2)AH=2ED例2：如图：∠BAC=∠DAE=900，AB=AC，AD=AE，旋接BE、CD，M为BE的中点，连接AM，求证：CD=2AM三、课堂小结：中点相关知识：1．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2．三角形的中位线平行且等于第三边的一半．3．在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半．4．等腰三角形的“三线合一”5．“倍长中线法"．四、限时检测：1．如图：等边ΔABC中，点E在AC上，且AE=CE，连接BE，点D在BC的延长线上，且CE=CD，连接ED、AD．点F是BE的中点，连接FA,FD。
证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法
如何证明线段相等或成倍数关系一【典型例题】（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。
在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。
下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。
例1. 已知：四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD。
求证：OA＝OB2. △ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。
求证：DF＝EFAB＝AD求证：求证：DE＝BF例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。
6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。
（二）线段倍、倍或、倍的关系：241214这部分证明中常用到的定理有：（1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）中位线定理。
下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。
例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF⊥AC 。
求证：EM ＝FM例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。
求证：BD AB14D 。
9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B =︒15，求证：AB 上的高线等于AB 的一半。
【试题答案】1. BF FC BC CE FC EF +=+=，BF CEBC EF=∴=在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，2. MQ PN MNP ⊥∠=︒，45∴=︒∴=∴==︒--=︒--==∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠NMQ MNP NMQ QM QNPMQ MRH MHR HNQ NHQ NQH MHR NHQ MRH NQH PMQ HNQ45180180∠∠∠∠PMQ HNQ MQ NQNQH MQP MPQ NHQ HN PM===⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∆∆3. 过B 作BG//CD 交EF 于GDE DF E GB CD E EB GB BE CF GB CF=∴=∴=∴=∴==∴=，∠∠，∠∠∠∠1122//∠∠，∠∠3456=∴=GB CD //∴≅∴=∆∆GBA ACF AC AB4. AB AC =，AD 平分BC ∴==︒∠∠BAD CAD 60 ∵AE 平分∠BAD∴==︒∠∠BAE EAD 30 ∵AB//DF∴==︒∴==︒∴==︒∴=︒∠∠∠∠∠∠BAE F EAD F DF AD ADC C 30309030在Rt △ADC 中，AD AC cm ==1245. ∴=DF cm 45. 5. ∵∠CBM ＝∠CBA ∵CD//MN∴∠CBM ＝∠DCB ∴∠CBA ＝∠DCB ∴OC ＝OB同理可证：OB ＝OD ∴OC ＝OD ∵OA ＝OB∴ADBC 是平行四边形∠∠∠∠CBM CBO OBD DBN +++=︒180 ∵∠OBC ＝∠CBM ，∠OBD ＝∠DBN∴+=︒∴+=︒2218090∠∠∠∠CBO OBD CBO OBD∴ADBC 是矩形 ∴CD ＝AB6. ∵BE ＋EC ＋BC ＝24，BC ＝10 ∴BE ＋EC ＝14∵DE 是AB 垂直平分线 ∴BE ＝AE∴AC ＝BE ＋EC ＝14 ∵AB ＝AC ∴AB ＝147. 延长DC 、AE 交于O 点∵ABCD 是正方形∴==︒∴====⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠B BCO EB CE AEB OEC EB EC B ECOABE OCE BAE COE O FAE 90∆∆∴===∴=∴=+CO AB BCFAO O AF FO AF FC BC∠∠8. ∵EFCD 是平行四边形∴===︒=∴=∴=EF DC BC BAC BD CD AD BC AD EF 129012∠，9. ∵AB ＝AC∴==︒∴=︒∴=︒⊥∴=∴=∠∠∠∠B C BAC DAC CD DACD AC CD AB1515030121210. 取CD 中点F ，连接EF ，则EF 为∆ACD 中位线 ∵EF 为△ACD 中位线∴=∴⊥∠=︒∴=∴=EF ADEF BCEBD EF BE AD BE //123012。
线段和、差、倍、分的几种证明方式
线段和、差、倍、分的几种证明方式谢群峰【期刊名称】《数学学习》【年(卷),期】2003(000)006【摘要】线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1 如图 ,已知△ABC中,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分∠ACB ,∴∠ACD =∠DCE .又∵CD =CD ,∴△ACD≌△ECD .∴∠A =∠CED ,AD=DE .∵∠A =2∠B ,∴∠CED =2∠B .∵∠CED =∠ 1 +∠B ,∴∠ 1 =∠B .∵EB =ED=AD .∴CE +BE =CA +AD .即BC =AC +AD .如用“补短法”如何证 ?大家试一试 !例 2 △ABC中,∠A =90°,AB =AC ,∠C的平分线交AB于D ,求证 :BC =AC+AD .分析 :...【总页数】3页(P)【作者】谢群峰【作者单位】海南省那大二中【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶2.平面几何中线段“和差倍分”问题的证明 [J], 倪建荣;3.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶;4.关于线段和、差、倍、分关系的证明 [J], 冼词学5.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
三角形中的倍半关系+复习回顾
八下预习第11讲 三角形中的倍半关系 回顾与复习【核心讲解】直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半。
直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半。
三角形中，连接两边中点的线段叫作三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
这三条定理是初中阶段研究“倍半”关系的重要定理，也是研究中点问题或是进行几何计算的重要定理。
【原理与方法】1. 直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半。
∵ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30A∴AC BC 21=结合勾股定理，我们进一步推出231：：：：=AC AB BC .2. 直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半。
在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，易得OD=OC=OB 。
由此，我们可以推导出BCD Rt ∆中，斜边BD 上的中线OC 是斜边BD 的一半.∵BCD Rt ∆中，︒=∠90BCD ，点O 是BD 中点。
∴BD OC 21= 3. 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么DE 叫作ABC ∆ 的中位线。
显然，每一个三角形都有三条中位线.将中位线DE 延长一倍到点F ，即DE=EF.易证ADE ∆≌CFE ∆，进一步可证四边形BCFD 是平行四边形，则有BC DE 21=，且DE ∥BC.∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴BC DE 21=，且DE ∥BC 【知识与技能】【例1】1．（2013秋•龙岗区期末）如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．（2014秋•南京校级期中）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm ，4cm ，则它的面积是 cm 2．3．如图，△ACB 、△CDE 为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F 为BE 的中点，求证：AF ⊥DF ，AF=DF ．A B FB【例2】1．（2013秋•南海区校级月考）如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=（）米．A．10 B．15 C．20 D．602．（2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【举一反三】1．（2014•浠水县校级模拟）△ABC中，三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长是cm．2．（2010秋•金坛市校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则四边形ADEF是四边形．3．（2015•邵阳）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．回顾与复习一．选择题（共7小题）1．（2015•江都市模拟）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC．x2﹣9=（x+3）（x﹣3） D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣42．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2bC．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣23．（2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD4．（2014•庆阳）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（）A．21°B．45°C．42°D．24°5．（2014秋•屏东县校级月考）如图，四边形OABC是平行四边形，O是坐标原点，A，C坐标分别是（1，2），（3，0），则B点坐标是（）A．（4，2）B．（4，3）C．（3，2）D．无法确定6．（2015•镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48 B．96 C．84 D．427．（2014秋•海门市校级月考）如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，E是CD的中点，则EO等于（）A．3 B．4 C．1.5 D．2二．填空题（共5小题）8．（2015•呼和浩特一模）分解因式：2a3﹣8a=．9．（2014秋•孝义市期末）当x时，分式有意义．10．（2014秋•洪江市期末）甲班人数比乙班人数多2人，甲、乙两班人数不足100人．设甲班x人，则x 应满足的不等式是．11．（2015春•滨海县校级月考）已知菱形ABCD，两条对角线AC=6cm，DB=8cm，则菱形的周长是cm．12．（2013•牡丹江）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．三．解答题（共6小题）13．（2015•莆田模拟）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．14．（2015•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．15．（1）计算：÷．（2）计算：﹣．16．（2014秋•西城区校级期中）解分式方程：﹣=4．17．（2014秋•浦东新区校级期末）如图，正六边形ABCDEF是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中（1）三角形AOB沿着方向平移厘米能与三角形FEO重合；（2）三角形AOB绕着点顺时针旋转度后能与三角形EOF重合；（3）三角形AOB沿着BE所在直线翻折后能与重合；（4）写一对中心对称的三角形：．18．（2015春•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且DF=BE．求证：AE=CF．四、拓展题（可以选作）19．（2012•孝感）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；（2）请证明你的结论．20．（2015春•繁昌县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）若AB=3cm，求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？（3）探究：当线段AB的长为多少时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形？21．如图所示，BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，MN⊥ED于N，BC=10，DE=6，求MN 的长．。
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例说线段倍半关系的证明方法
线段之间倍半关系指的是一条线段等于另一条线段的2倍或者12
，这类问题在四边形一章中最为常见.其证明思路主要有以下两种.
一、利用直角三角形斜边中线的性质
例1如图，090BAC ∠=，AC DC =，M 为BC 中点，MN ∥AD 交AC 于N .求证：12DN BC = 分析：观察图形，结论中的两条线段似乎没有丝毫联系，
注意到已知中BC 为Rt ABC 的斜边且M 为BC 中点由此联想到 直角三角形斜边中线的性质，为此连结AM ，则12AM BC =，问题就转化为 证明DN AM =.
证明：连结AM ，∵090BAC ∠=，M 为BC 中点，∴12AM BC =. ∵AC DC =，∴CAD CDA ∠=∠.∵MN ∥AD ，∴MNC DAC ∠=∠, NMC ADC ∠=∠，∴MNC NMC ∠=∠,∴CM CN =.则ACM ≌DCN ，∴12
DN AM BC == 二、利用正方形对角线性质
例2、如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线,AC BD 相交于点O ，四边形AEFC 是菱形，EH AC ⊥于H ，求证：12
EH FC = 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，又∵EH AC ⊥， ∴EH ∥OB ,∵四边形AEFC 是菱形, ∴AC ∥EF ,
∴四边形OBEH 为矩形，∴EH OB =，∵四边形ABCD 是正方形， ∴1122EH OB BD AC ==
=，∵四边形AEFC 是菱形，∴FC AC = ∴12EH FC =
.
点悟：本题利用了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，
A B D M C N D
化到正方形的对角线上来，借助正方形对角线的性质把疑难问题解决.。