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浙江省绍兴市2020学年高一数学下学期期中试题

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浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(原卷版)

浙江省A9协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(原卷版)

浙江省A9协作体2022学年第二学期期中联考高一数学试题选择题部分（共60分）一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）．A.2B.2- C.2iD.2i -2.平面向量()1,a x = ，()2,3b =- ，若a 与b共线，那么x 的值为（）A.32-B.23-C.32D.233.平面上四点O ，A ，B ，C ，满足2AC CB =，那么下列关系成立的是（）A.2133OC OA OB=+ B.1233OC OA OB=+C.2133OC OA OB=- D.1233OC OA OB=- 4.若m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）A.若//m α，//m β，那么//αβB.若//m α，n ⊂α，那么//m nC.若//m n ，//n α，那么//m αD.若//αβ，m α⊂，那么//m β5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60A =︒，a =2c =，那么b 的大小是（）A.B.4C.D.36.已知平面向量()1,2a =r ，()3,4b =- ，那么a 在b上的投影向量的坐标是（）A.()3,4- B.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.7.如图扇形AOB 所在圆的圆心角大小为2π3，P 是扇形内部（包括边界）任意一点，若OP xOA yOB =+ ，那么2x y +的最大值是（）A.332B.3C.2213D.8.如图从半径为定值的圆形纸片O 上，以O 为圆心截取一个扇形AOB 卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为（）A.3B.25π3C.D.π二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.9.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，一定有sin sin A B>B.若2220a b c +-<，那么ABC 一定是钝角三角形C.一定有cos cos b C c B a +=成立D.若cos cos a A b B =，那么ABC 一定是等腰三角形10.如图正方体111ABCD A B C D -，E 、F 分别为1CC 、1AA 的中点，M 是线段1D E 上的动点（包括端点），下列说法正确的是（）A.对于任意M 点，1B M 与平面DFB 平行B.存在M 点，使得1A M 与平面DFB 平行C.存在M 点，使得直线1B M 与直线DF 平行D.对于任意M 点，直线1A M 与直线BF 异面11.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C .若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D.若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行12.直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点均位于一个半径为1的球的球面上，已知三棱柱的底面为锐角三角形，π3BAC ∠=，1BC =，那么该直三棱柱的体积可能是（）A.3 B.225C.7D.2非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卡的横线上.13.已知复数23i1iz +=-，那么z =______.14.如图等腰梯形ABCD ，AB CD ，1AB =，2AD =，3CD =，那么该梯形直观图的面积是______.15.平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量a ，b ，令2a b c b a a⋅=-，那么c 就是一个与a 配对组成正交基底的向量.若()1,2a =r ，()3,4b = ，按照上述方法，可以得到的与a配对组成正交基底的向量是______.16.已知平面向量a ，b ，c，若2a a b =-= ，1a c -= ，那么b c ⋅ 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知1-(i 是虚数单位)是方程20x mx n ++=(,R m n ∈)的一个复根,求实数m ,n 的值;（2）在复数范围内解方程:210x x ++=.18.已知平面向量a ，b ，c满足，1a = ，2b = ，c ta b =+ （R t ∈）.（1）若向量a ，b 的夹角为π3，且b c ⊥ ，求t 的值；（2）若c r 的，求向量a ，b 的夹角大小.19.如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边AB 长为18m ，另一边AC 长为16m ，BAC ∠大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在AB ，AC 两边上分别找两点D ，E ，修建一条的电动自行车道路DE ，DE 需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.（1）若设AD x =，AE y =，求x ，y 满足的关系式；（2）如何选择D ，E 可以使得所修道路最短？并求出最小值.20.如图所求，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，F 为PA 的中点，E 为PB 中点.（1）求证：PC 平面BFD ；（2）已知M 点在PD 上满足EC 平面BFM ，求PMMD的值.21.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知cos cos cos sin C A B A B +=，D 是边BC上的点，满足2CD DB =，2AD =.（1）求角A 大小；（2）求三角形面积S 的最大值.22.如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，三个角大小为α，β，γ，球的半径为R .（1）求证：a b c+>（2）①求球面三角形ABC 的面积S （用α，β，γ，R 表示）.②证明：παβγ++>.第6页/共6页。

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

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人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

2021-2022学年第一学期六年级数学期末考试试题及答案(青岛版)

2021-2022学年第一学期六年级数学期末考试试题及答案(青岛版)

2021-2022学年第一学期六年级数学 期末复习考试试题及答案（青岛版）1、（1）2÷（ ）=0.4= （ ）5=8（ ）=（ ）％（2）6÷（ ）=（ ） 12=1 4=（ ）∶（ ）=（ ）（填小数）（3）5∶25=10÷（ ）= （ ）10=（ ）％（4）75％=（ ） （ ）=（ ）÷8=12∶（ ）=（ ）（填小数）2、（1）一根铁丝长 94米，若剪下 2 3，还剩（ ）米；若剪下 2 3米，那么还剩（ ）米（2）包扎花束，一根彩带长8米，用去 3 4米，还剩（ ）米，若用去 34，还剩（ ）米 （3）把 15米长的钢筋锯成同样长的六段，每段占全长的（ ），每段长（ ）米（4）一根绳子长2米，把它平均剪成五段，每段长是（ ）米，每段是这根绳子的（ ） （5）一块玉石重1.8千克，把它截成同样重的9块，每块占这块玉石的（ ），每块重（ ）千克（6）把3吨煤平均分成5份，每份是（ ）吨，每份是这堆煤的（ ） 3、（1）（ ）是45千米的 45，60是（ ）的 59。

（2）40的 45是（ ）的 4 7（3）一个数的 45是28，这个数的 17是（ ）（4）甲数的 13与乙数的 25相等，乙数是60，甲数是（ ）（5）（ ）比40分钟少 15，比20千克多 45的是（ ），20千克比（ ）少 45。

（6）5米比4米多（ ）（ ），4米比5米少（ ）（ ）。

（7）一种商品降价25％，现价是原价的（ ），50米是（ ）米的125％ 4、（1） 34的分子加上6，要使分数大小不变，分母应（ ）或（ ） （2） 2 5的分母乘4，要使分数大小不变，分子应（ ）或（ ）（3）4∶7的后项扩大到原来3倍，要使比值不变，前项应（ ）或（ ） 5、（1）甲数是乙数的1.2倍，甲乙两数的最简整数比是（ ），比值是（ ）（2）乙数是甲数的 34，甲数∶乙数=（ ），如果乙数是2，那么甲数是（ ）（3）五年级女生比男生多 1 4，女生∶男生=（ ），女生占总人数的（ ）（ ）6、（1）学校航模小组与音乐小组人数的比是5:3，航模小组比音乐小组多50人，音乐小组有（ ）人。

菏泽市2022-2023学年高一下学期期中数学试题含答案(A)

菏泽市2022-2023学年高一下学期期中数学试题含答案(A)

保密★启用前菏泽市2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试题（A ）2023.04注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数1z 对应的点与232iz i+=对应的点关于虚轴对称，则1z =（ ） A.23i -- B.23i -+ C.23i - D.23i +2.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，2cos 3BAD ∠=，3CM MD =，则AM MB ⋅=（ ）A.-2B.2C.-4D.4 3.在ABC ∆中，6a =，8b =，40A ∠=︒，则B ∠的解的个数是（ ）A.0个B.2个C.1个D.无法确定4.已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4 ）A.10+B.34C.20+D.685.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度()18v m =，，水流速度()260v =，，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（ ）A.5B.10C.8D. 6.已知正三棱锥A BCD -中，2AE EB =，AD CE ⊥，2AB =，则正三棱锥A BCD -内切球的半径为（ ）7.已知ABC ∆是直径为α满足3cos 5α=，则ABC ∆周长的最大值为（ ）A.20B. C. D.20+8.已知复数12z ,z 1=，3z 2i =，且1z 2=，在复平面内对应向量为1OZ ，2OZ ，3OZ ，（O 为坐标原点），则1213Z Z Z Z ⋅的最小值为（ ）A.4+B.4-C.4D.4-二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ） A.若A B >，则sin sin A B >B.若2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形C.点()13A ，，()41B -，，与向量AB 共线的单位向量为3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.若平面向量a ，b 满足22b a ==，则2a b -的最大值是5 10.设α是给定的平面，A 、B 是不在α内的任意两点，则（ ） A.在α内存在直线与直线AB 相交 B.平面α与直线AB 至多有一个公共点 C.在α内存在直线与直线AB 垂直D.存在过直线AB 的平面与α垂直11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列判断正确的是（ ） A.若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC ∆为钝角三角形 B.若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 C.若ABC ∆的三条高分别为114，110，15，则ABC ∆为钝角三角形 D.若2sin sin a bc B A+≤，则ABC ∆为直角三角形 12.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E ，F 分别为BC ，AD 中点，将ABE ∆沿直线AE 翻折成1AB E ∆，1B 与B 、F 不重合，连结1B D ，H 为1B D 中点，连结CH ，FH ，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）A.CH 的长是定值；B.在翻折过程中，三棱锥1B AEB -的外接球的表面积为4π；C.当130AD B ∠=︒时，三棱锥H CDF -；D.点H 到面1AB E三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，A B C '''∆是斜二测画法画出的水平放置的ABC ∆的直观图，D '是B C ''的中点，且A D y ''轴，B C x ''轴，1A D ''=，2B C ''=，则ABC ∆的周长___________.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A =︒，且ABC ∆b c +=则a =________________. 15.已知()31a =，，设与b 方向相同的单位向量为e ，若a 在b 3e ，则a 与b 的夹角θ=__________.16.已知向量a ，b 的夹角为3π，2b =，若对任意x ∈R ，恒有12b xa b a +≥-，则函数()()12f t tb a tb a t =-+-∈R 的最小值为________________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数13iz 1i+=-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模；（2）若复数()2i z a -在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18.如图，Rt AOB ∆，1OA =，2OB =，点C 是OB 的中点，AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周.设OA 逆时针旋转至OD 时，旋转角为θ，[)0θπ∈，.（1）求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ； （2）当23πθ=时，求点C 到平面ABD 的距离. 19.复数1z 1i =+，2z 12cos i θ=+，i 为虚数单位，()0θπ∈，.（1）若12z z ⋅是实数，求cos 2θ的值；（2）若复数1z ，2z 对应的向量分别是a ，b ，向量a ，b 的夹角为锐角，求θ的范围.20.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin sin cos sin cos sin sin a A a B C c B A c C b A ++=+. （1）求C ； （2）若2A π=，3AC =，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠.21.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M .（1）设AM AF λ=，求λ的值；（2）若点P 自A 点逆时针沿正方形的边运动到C 点，在这个过程中，是否存在这样的点P ，使得EF MP ⊥？若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由.22.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=. （1）证明：2B C =； （2）求a bc+的取值范围.高一数学试题（A ）参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1—4AABC5—8BCDB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9.AD10.BCD11.ACD12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.214.315.6π四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）z 12i =-+，z =；（2）因为()()()()22212i i 12i 1222i a a a a -+=+-=--+-⎡⎤⎣⎦()24322i a a a =-+-+-，所以()2430,220,a a a ⎧-+->⎪⎨-<⎪⎩解得12a <<18.解：（1）设底面半径为1r =，圆锥BO 底面面积为2S r ππ==，底面周长母线2l π=，母线AB ==圆锥BO 的体积11122333V S BO ππ=⋅=⨯⨯=，侧面积1222l S AB π=⨯==.圆锥CO 的体积2111333V S CO ππ=⋅=⨯⨯=，AC ==侧面积2222l S AC π=⨯==. ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积123V V V π=-=ABC ∆旋转一周所得旋转体表面积12S S S π=+=.（2）连接AD ，23πθ=，AD ∴=4AOD S ∆∴=，136B AOD AOD V S OB -∆∴=⋅=，ABD S ∆∴=，设点O 到平面ABD 的距离为h ，13O ABD ABD B AOD V S h V -∆-∴=⋅=，17h ∴=，因为C 是OB 的中点.即点C 到平面ABD 的距离为217h =. 19.解：（1）因为()()1212cos 2cos 1i z z θθ⋅=-++， 因为12z z ⋅为实数，所以2cos 10θ+=，1cos 2θ=-， 21cos 22cos 12θθ∴=-=-；（2）复数1z 1i =+，()2z 12cos i θ=+复数1z 、2z 对应的向量分别是a ，b ，()11a =，，()12cos b θ=，， 12cos 0a b θ⋅=+>，1cos 2θ∴>-， 又()0θπ∈，，203πθ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，，当a 、b 同向时，设a b λ=，0λ>得3πθ=，综上，向量a 、b 的夹角为锐角时，θ的范围是20333πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 20.解：（1）依题意，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得22cos cos a ab C bc A c ab ++=+， 由余弦定理2222cos ab C a b c =+-，2222cos bc A b c a =+-，则222a b c ab +=+，则2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=；（2）如图所示，因为3ACB π∠=，3AC =，所以AB =又因为CD 为ACB ∠的平分线，所以AD =CD DB ==因为DE CD =，所以在BDE ∆中，DB DE == 又3BDE π∠=，所以BDE ∆为等边三角形，所以BE =在ABE ∆中，由余弦定理可得22222cos 213AE AD DE AD DE π=+-⨯⨯=，即AE =在ADE ∆中，由正弦定理可得sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，sin 3π=，得sin 14AEB ∠=.21.解：（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，因为AM AF λ=，则()62AM λλ=，，则()62M λλ，， 又D ，M ，E 三点共线，则设DM tDE =，01t <<，即()()62636t λλ-=-，，，则63266t t λλ=⎧⎨-=-⎩，，解得37λ=（2）由题意得()32EF =，，假设存在点P ，使得EF MP ⊥，①当点P 在AB 上时，设()0P x ，，06x ≤≤，18677MP x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，， 则54123077x --=，则227x =，故2207P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，MP == ②当点P 在BC 上时，设()6P y ，，06y <≤，24677MP y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，则72122077y +-=，307y ∴=-（舍去）； 综上，存在符合题意的点2207P ⎛⎫⎪⎝⎭，，MP =22. 解：（1）22c ac b +=，22c b ac ∴-=-，∴由余弦定理得：2222cos 222a c b a ac a cB ac ac c+---===， 即：2cos c B a c ⋅=-，由正弦定理得：2sin cos sin sin C B A C ⋅=-，()2sin cos sin sin sin cos sin cos sin C B B C C B C C B C ∴⋅=+-=+-，整理得，sin cos sin cos sin 0B C C B C --=，即：()sin sin B C C -=， 又()0B C π∈，，，B C ∴-=，即：2B C =.（2）2B C =，3A C π∴=-，又sin 22sin cos C C C =⋅，()2sin3sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos C C C C C C C C C C C =+=⋅+⋅=⋅+⋅，∴由正弦定理得：()sin 3sin 2sin sin sin 3sin 2sin sin sin C C a b A B C Cc C C Cπ-++++===22sin cos 22sin cos 2sin cos cos 22cos 2cos sin C C C C C CC C C C ⋅+⋅+⋅==++2222cos 12cos 2cos 4cos 2cos 1C C C C C =-++=+-，又0030020300A C B C C C C ππππππππ<<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩， 1cos 12C ∴<<，令cos t C =，则2421a b t t c +=+-，112t <<，2421y t t =+-对称轴为14t =-，2421y t t ∴=+-在112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 当时12t =时，11421142y =⨯+⨯-=；当1t =时，4215y =+-=，15a bc+∴<<，即： a bc+的范围为()15，。

浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数()()1i 3i +-（其中i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=-r ，若a b ⊥r r ，则实数λ=（ ）A ．12 B ．12- C ．2- D ．23．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）A ．,,,m n A A αβααβ=⊂⊂⊂IB ．,,m n m n A αβα⋂=∈⋂=C ．,,m n m n A αβα⋂=⊂⋂=D ．,,,m n A A αβααβ=∈∈∈I4．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若2b =，c =60C =︒，则角B 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．90°5．在平行四边形ABCD 中，AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则用a r ，b r 表示向量AD u u u r 和AB u u u r 分别是（ ）A ．a b +r r 和a b -r rB ．a b -r r 和a b +r rC ．2a b +r r 和2a b -r rD ．2a b -r r 和2a b +r r 6．已知圆台的上、下半径分别为1r ，2r ，1233r r ==.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（ ）A ．5πB ．12πC ．6πD ．36π 7．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若60B =︒，2b =，则边AC 上中线BD 的取值范围为（ ）A ．⎣B ．⎝C ．(D ．(8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形OCD ，其中120AOB ∠=︒，4OD =，1OB =，动点P 在弧CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OP xOC yOD =+u u u r u u u r u u u r ，则下列说法错误的是（ ）A ．若y x =，则2x y +=B ．5AB PQ ⋅>-u u u r u u u rC ．232PA PB ⋅≥u u u r u u u rD ．若3y x =，则0OA OP ⋅=u u u r u u u r二、多选题9．如果a r ，b r 是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）A ．1a b ==r rB ．a b ⊥r rC ．a b r r =D ．1a b ⋅=r r10．对于ABC V ，有如下判断，其中正确的是（ ）A ．若sin sin AB =，则ABC V 为等腰三角形B ．若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰或直角三角形C ．若cos cos A B <，则A B >D ．若tan tan A B >，则A B >11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O ，则下列说法正确的是（ ）A ．球O 的体积为43π B ．球O 内接圆柱的侧面积的最大值为4πC ．球O 在正方体外部的体积小于()413πD ．球O 在正方体外部的面积大于三、填空题12．若复数z 满足()1i 23i z -⋅=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =.13．已知平面向量a r ，b r ，c r 不共线，且两两所成角相等，若2a b ==r r ，1c =r ，0λ>，则()()a b a c λ-⋅-r r r r 的值为. 14．如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线BC ，在点B 处测量这个孔明灯的仰角为45OBA ∠=︒，在C 处测量这个孔明灯的仰角为30OCA ∠=︒，在基线BC 上靠近B 的四等分点处有一点P ，在P 处测量这个孔明灯的仰角为60OPA ∠=︒，则这个孔明灯的高度OA =.四、解答题15．已知复数()()2246i z m m m =-+--，R m ∈，i 是虚数单位.(1)若复数z 是纯虚数，求m 的值；(2)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值.17．如图，在平行四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，G 为BC 上一点且满足2CG GB =u u u r u u u r ，AB a u u u r r =，AD b u u u r r =.(1)试用向量a r ，b r 表示BF u u u r ，DG u u u r ；(2)若60A =︒，3,2AB AD ==，求向量BF u u u r ，DG u u u r 夹角的余弦值.18．在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1A D ，1CD 上各有一个动点M ，N ，使得直线//MN 平面11A ACC .(1)当M ，N 为对角线1A D ，1CD 的中点，T 为CD 的中点时，证明：平面//MNT 平面11A ACC ； (2)当正方体棱长为2时，求线段MN 长度的最小值.19．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b =，sin C A .(1)若ABC V 为锐角三角形时，求边a 的取值范围；(2)求ABC V 面积的最大值；(3)在（1）的条件下，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，连接CE ，BF 交于点O ，求co s E O F ∠的取值范围.。

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}5A x x =<， {}31B x x =-<则A B =I （ ） A ．()2,5- B ．()4,5C ．()2,5D ．(),2-∞2．若复数i(,)12ia b a b +∈+R 为纯虚数，则a b =（ ）A ．52-B ．－2C ．25D ．123．一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为91003m ，若它的两底面边长分别为60m 和50m ，则此时鱼塘的水深（ ） A ．2mB ．3mC ．3.5mD ．4m4．如图，A B C '''V 为水平放置的ABC V 的直观图，其中2A B ''=，A C B C ''''=，则在原平面图形ABC V 中有（ ）A ．AC BC =B ．2AB =C ．BC =D ．ABC S =V 5．已知tan 2α=，则22sin cos 2sin 2cos αααα++的值为（ ）A ．15B ．13 C ．35D ．456．函数())lncos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．正方形ABCD 的边长为6点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE EA =，2=CF FB .如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r成立，那么λ的取值范围为（ ）A ．13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．()3,12D ．1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭8．在ABC V 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC V 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（ ） A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数10．已知O 为坐标原点，点()()()()()()123cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,1,0P P P A ααββαβαβ-++，则（ ）A ．12OP OP =u u u r u u u rB ．12AP AP =u u u r u u u rC ．312OA OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u rD ．312OA OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r11．已知函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（ ）A ．ω的值可能是3B ．()f x 的最小正周期可能是2π3C ．()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 图象的对称轴可能是3π8x =三、填空题12．在△ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，则BC = ；若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC ABλ=-u u u r u u u r u u u r （R λ∈），且4⋅=-u u u r u u u rAD AE ，则λ的值为 . 13．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，则它的外接球的表面积为 ；若E 为11B C 的中点，则过B 、D 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为 .14．函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程120f x t x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭恰好有4个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 .四、解答题 15．求值：(1)2log 30.255218log 102log 5--； (2)已知0a >，0b >，1a b +=，求11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.16．在①π2sin 6a c A b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，②()()3a c b a c b ac +-++=，③sin sin sin A B C a c a b -=-+这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且______． (1)求B ；(2)若3BC AB =，求sin A ．17．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y （单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：(1)给出下列三种函数模型：①(0)y at b a =+<，②(0,01)t y a b c a b =⋅+><<，③log ()(0,1)a y t b c b a =++>>，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型，（i ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：lg30.477,lg50.699≈≈）18．如图所示，ABC V 为等边三角形，AB =I 为ABC V 的内心，点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动.(1)求出()()()222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的值.(2)求PA PB ⋅u u u r u u u r的范围.(3)若()0,,xPA yPB zPC x y z ++=∈R u u u r u u u r u u u r r ，当x y最大时，求z x y +的值.19．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ，…，2n x D ∈，使得()()0i g x f x =（其中1i =，2，…，n ，*n ∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断()221g x x x =-+（[]0,4x ∈）是否为()4f x x =+（[]0,5x ∈）的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由；(2)若()()2231,211,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩为()222log 21x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；(3)函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]22=，[]1.22-=-，若()[]h x a x ax =-，[)0,2x ∈为()21xf x x =+，[)0,x ∈+∞的“2024重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.。

浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

高一数学 试题一、单选题（本大题共8题，每小题4分，共32分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）A. 4B. 8C. D. 4. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数为R 上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）A B. C. D. 以上都不对6. 若，，则下面不等式中成立的一个是（ ）．A. B. C. D.7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）A. B. C. D. 8. 若存在，有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）{}{}0,1,2,3,3A B x x ==<A B = {}3x x <{}3x x ≤{}0,1,2{}0,1,2,32,220x x x ∃∈++<R 2,220x x x ∃∈++≥R 2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∀∉++≥R 2,220∀∈++≥R x x x ()f x x α=()()4,2,16,A B m m =4±8±()0,∞+y x=y x=1y x=2y x =-()f x 0x ≥()22f x x x =-0x <()f x 22x x--22x x-+22x x+a b >c d >a d b c+>+ac bd>d a c b-<-a bc d>(1)y f x ＝＋[12]－，()y f x ＝－[]3,0-[1,2]-[0,3][2,1]-[]0,1x ∈()2130x a x a +-+->a 5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),3-∞(),1-∞-()5,3,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭A. ，B. ，C. ，D. ，10. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ）A. B. C. D. 11. 已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．A. B.D.12. 设，则下列选项中正确有（）A. 若有两个不同的实数解，则B. 若有三个不同的实数解，则C. 的解集是D. 的解集是三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 已知函数，则_____________．14. 已知，则的单调递增区间为______．15. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是______.16. 已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围为_____________．四、解答题（本大题共5小题，共56分）的()f x x =()g x =2()f x x =()g x =()1f x x =+21()1x g x x -=-0()x f x x=2()x g x x =x 2210ax ax -+>R x ∀∈01a ≤<01a <<11a -≤<1a 2-<<,a b R +∈1a b +=14ab …1174ab ab + (11)2a b+…()2(1),04,0x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =[)1,a ∈+∞()f x a =(]0,1a ∈()01f x ≤≤[][)2,04,-+∞ ()()01ff x ≤≤(](],30,1-∞- ()22,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩12f f ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x =()f x ()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭()f x m =+[],(1)a b b a >≥-()f x [],a b []2,2a b m17. 已知集合，.（1）若，求和；（2）若，求实数的取值范围．18 （1）计算：（2）已知，求的值．19. 已知幂函数为偶函数．（1）求解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围.20. 函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定的解析式；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于的不等式．21. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）（1）求出的值，并将表示为的函数；（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？22. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值．的{}2230A x x x =--≤{}122B x a x a =-<<+1a =A B ⋂()R A B ðA B A ⋃=a 20.53182427-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11223a a -+=33221122a a a a--++21()(57)m f x m m x -=-+()f x ()()3g x f x ax =--[2,3]a ()24ax bf x x -=-()2,2-()113f =()f x ()f x ()2,2-t ()()2230f tf t +-<a x ()0x ≥81ka x =-+k 1036a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭y =--k y x ()()221R f x x x x a a =--+∈1a =()f x 0a >()f x []0,2a答案一、单选题（本大题共8题，每小题4分，共32分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1题答案：答案：C2题答案：答案：D3题答案：答案：A4题答案：答案：B5题答案：答案：A6题答案：答案：C7题答案：答案：A8题答案：答案：B二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分）9题答案：答案：BD10题答案：答案：CD11题答案：答案：ABC12题答案：答案：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13题答案：答案：##14题答案：答案：15题答案：答案：16题答案：答案：四、解答题（本大题共5小题，共56分）17题答案：答案：（1），或. （2）18题答案：答案：（1）；（2）19题答案：答案：（1） （2）20题答案：答案：（1）， （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3）21题答案：答案：（1）， （2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元120.5[6,)+∞1233x <<1728m -<≤-{}03A B x x ⋂=<≤()R {|1A B x x =<- ð0}x >1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦34-62()f x x =()4,6()24xf x x=-()2,2x ∈-()f x ()2,2-1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4k =()6413801y x x x =--≥+22题答案：答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）1,13⎛⎫⎪⎝⎭()1,,1,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭a=34a=。

浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷

浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷

浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一下学期创新班期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足z=i （2+z ）（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．1+iB ．1-iC ．-1+iD ．-1-i2．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，2A D ''=，1A B B C ''''==，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（ ）AB C D ．53．已知样本数据12100,,,x x x L 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------L 的平均数与标准差分别为（ ）A ．54-，B ．516-，C ．416，D ．44，4．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π45．光源(3,2,1)P 经过平面Oyz 反射后经过(1,6,5)Q ，则反射点R 的坐标为（ ）A ．75(0,,)22B ．(0,4,3)C ．97(0,,)22D ．(0,5,4)6．若4,2145,,,的第 p 百分位数是4,则 p 的取值范围是（ ）A ．(]4080，B ．[)4080，C ．[]40,80D ．()40,807．如图是棱长均相等的多面体EABCDF ，其中四边形ABCD 是正方形，点P Q M N ，，，分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．12 C ．23 D ．348．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是直线CD AB ，上的动点，点 P 是△11AC D 内的动点（不包括边界），记直线1D P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则1D P 与平面11AC D 所成角的正弦的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A “3件产品都是次品”，事件B “至少有1件是次品”，事件C “至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）A ．A 与C 为对立事件B ．B 与C 不是互斥事件 C ．A B A =ID ．()()1P B P C +=10．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)[)[)[)[]506060707080809090100，，，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间[)5060，内的人数为16．则（ ）A ．图中0.016x =B ．样本容量1000n =C ．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分D ．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a .则（ ）A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为1a ⎛ ⎝⎭C ．勒洛四面体中过A B C ，，三点的截面面积为(212π4aD ．勒洛四面体的体积3312V a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭三、填空题12．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝. 13．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为．14．在三棱锥 A BCD -中，二面角 A BD C --的大小为π 3， BAD CBD ∠∠=，2BD BC ==，则三棱锥外接球表面积的最小值为．四、解答题15．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是以2为边长的菱形，且120BAD ∠=︒，PB PD =，M 为PC 的中点.(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PC =PD 与平面AMD 所成角的正弦值.17．为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2和17.56．(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；(2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．18．如图，已知直角三角形ABC 的斜边//BC 平面α，A 在平面α上，AB ，AC 分别与平面α成30o 和45o 的角，6BC =．(1)求BC 到平面α的距离；(2)求平面ABC 与平面α的夹角．19．如图，四棱锥S ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD SA SC ，，分别交于点,,P Q R ，且AP SQ CR AD SA CS==，点M 在直线SB 上运动，在线段CD 上是否存在一定点N ，使得其满足：（i ）直线//MN α；（ii ）对所有满足条件（i ）的平面α，点M 都落在某一条长为m 的线段上，且m SB =若存在，求出点N 的位置；若不存在，说明理由．。

2023-2024学年浙江省绍兴市高一下学期6月期末数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省绍兴市高一下学期6月期末数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省绍兴市高一下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数1−2i的共轭复数是( )A. 1−2iB. 1+2iC. −1+2iD. −1−2i2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是A. 4B. 22C. 2D. 223.十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是A. 3，17，12B. 5，16，14C. 7，17，14D. 7，17，134.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//α，m//β，则α//βC. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m//n5.已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=CD=1，AD=3，若BD=xBC+yBA，则x−y= ( )A. 34B. 1 C. 54D. 326.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B−b cos A=c+14b，则cos A=A. −18B. 18C. −14D. 147.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(C)=5，n(A∪B)=16，则( )A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立C. 事件A与事件C互为对立D. 事件A与事件C相互独立8.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3.面积为3的平行四边形ACEF绕AC旋转，且E∉平面ABCD，则( )A. 平面EFB⊥平面EFDB. 平面ABF⊥平面ABCC. 平面ABF⊥平面BCFD. 平面ABF⊥平面ADF二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

余姚2023学年第二学期期中检测高一数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i22i z -=+，则z z -=（）A .i- B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（）A. B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意计算可得O C ''，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形O A B C ''''中，//O A B C ''''，24,2O A B C A B ''''='=='，则O C ==''直角梯形O A B C ''''对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，则有//,,24,242BC OA OC OA OA BC OC O C ''⊥====，所以该平面图形的高为42.故选：C.3.在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3BE ED = ，则AE =（）A.1142AD AC + B.1124AD AC +C.3144AD AC +D.1344AD AC +【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O 是AC 的中点，12AO AC ∴= ，又由3BE ED =可得E 是DO 的中点，11112224AE AD AO AD AC ∴=+=+ .故选：B.4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断即可.【详解】依题意可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生；对于A ：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A 正确；对于B ：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B 错误；对于C ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C 错误；对于D ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D 错误.故选：A5.已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．则AB 在BC上的投影向量为（）A.10310,55⎛ ⎝⎭B.10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.13,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．所以()1,1AB =-uu u r，()1,3BC =--，5cos ,5AB BC AB BC AB BC⋅〈〉==-⋅，所以向量AB 与BC的夹角为钝角，因此量AB 在BC上的投影向量与BC 方向相反，而cos ,55AB AB BC ⋅〈〉==，155BC == ，所以AB 在BC 上的投影向量为()11131,3,5555BC ⎛⎫-⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，故选：C6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对应的边，其公式为：ABCS ==若22sin sin C c A =，3cos 5B =，a b c >>，则利用“三斜求积术”求ABC 的面积为（）A.54B.34 C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可得2ac =，由余弦定理可得222625a cb +-=，在结合已知“三斜求积术”即可求ABC 的面积.【详解】解：因为22sin sin C c A =，由正弦定理sin sin a c A C=得：22c c a =，则2ac =又由余弦定理2223cos 25a cb B ac +-==得：22236255a c b ac +-==则由“三斜求积术”得45ABC S == .故选：D.7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.236,48s x =<B.236,48s x =>C.236,48s x ><D.236,48s x <>【答案】B 【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得()()()2221248148363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，而()()()4221222813628843668035s x x x +⎡-⎤=-+>⎣⎦-+ .【详解】设收集的48个准确数据为1248,,x x x ，所以124834383650x x x +++++= ，所以12481728x x x +++= ，所以124824483650x x x x +++++== ，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()22212481363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，()()()42222222183636(2436)(48136536)0s x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-++-+-+- ()()()222281413628848365360x x x ⎡⎤=+-+-+->⎣⎦ ，故选：B.8.在ABC 中，π6A =，π2B =，1BC =，D 为AC 中点，若将BCD △沿着直线BD 翻折至BC D '△，使得四面体C ABD '-的外接球半径为1，则直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值是（）A.3B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BC D '△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD △外接圆半径，由此可知ABD △外接圆圆心O 即为四面体C ABD '-外接球球心，由球的性质可知OG ⊥平面BC D '，利用C OBD O C BD V V ''--=可求得点C '到平面ABD 的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A =，π2B =，1BC =，2AC ∴=，又D 为AC 中点，1AD CD BD ∴===，则1BC C D BD ''===，即BC D '△为等边三角形，设BC D '△的外接圆圆心为G ，ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 中点H ，连接,,,,,C H OH OG OB OC OD ''，π6A =，1BD =，112sin BDOB A∴=⋅=，即ABD △外接圆半径为1，又四面体C ABD '-的外接球半径为1，O ∴为四面体C ABD '-外接球的球心，由球的性质可知：OG ⊥平面BC D '，又C H '⊂平面BC D '，OG C H '∴⊥，22333C G CH '===，1OC '=，3OG ∴=；设点C '到平面ABD 的距离为d ，由C OBD O C BD V V ''--=得：1133OBD C BD S d S OG '⋅=⋅ ，又OBD 与C BD ' 均为边长为1的等边三角形，3d OG ∴==，直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值为3d BC ='.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB 【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解.【详解】对于A ，平均数为12334536+++++=，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为3332+=，A 正确；对于B ，数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，B 正确；对于C ，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为3918312÷=++，C 错误；对于D ，乙数据的平均数为56910575++++=，乙数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.445⎡⎤-+-+-+-+-=>⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是甲组，D 错误.故选：AB.10.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，22sin a bc A =，下列说法正确的是（）A.若1a =，则14ABC S =△B.ABC 外接圆的半径为bc aC.c b b c+取得最小值时，π3A =D.π4A =时，c b b c+值为【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由正弦定理化简2sin a b C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，因为22sin a bc A =，由正弦定理可得sin 2sin sin a A b A C =，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则2sin a b C =，又因为1a =，故1sin 2C b =，故三角形面积为1111sin 12224ABC S ab C b b ==⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B ，2sin a b C =，则sin 2aC b=，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin cR C=，故22c bc R a a b==⨯，故B 正确；对C ，因为22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 42A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b c c b +取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b+的值为，故D 正确；故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B FB D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.【答案】19【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数为27n =，以及所求事件中包含的基本事件个数为3m =，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为3327n ==，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为3m =，则三人恰好参加同一个社团的概率为31279m P n ===.故答案为：19.13.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为______.【答案】3【解析】【分析】利用//CP CD ，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理把AP 、CD 用已知向量AB 、AC表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．【详解】 2AD DB =，∴23AD AB = ，//CP CD，∴存在实数k ，使得CP kCD = ，即()AP AC k AD AC -=- ，又 12AP mAC AB =+ ，则()12123m AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，∴11223m kk -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，34k ∴=，14m =，则()112423AP CD AP AD AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221111611π242cos 33433433AB AC AB AC =--⋅=--⨯⨯ ，故答案为：3．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为______.【解析】【分析】确定正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 与1AB C V 的交点E ，求出EP 确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥，而BD AC ⊥，1DD BD D =I ，1DD ，BD ⊂平面1BDD ，于是AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1AC AB A ⋂=，AC ，1AB ⊂平面1AB C ，因此1BD ⊥平面1AB C ，令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得111133AB C ABC S BE S BB ⋅=⋅ ，即)23142BE AB ⋅⋅=，解得BE AB ==而1BD ==1D E =，因为点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则EP ==因此点P 的轨迹是以点E 为半径的圆在1AB C V 内的圆弧，而1AB C V 为正三角形，则三棱锥1B AB C -必为正三棱锥，E 为正1AB C V 的中心，于是正1AB C V 的内切圆半径111323232EH AB =⨯⨯=⨯=，则cos 2HEF ∠=，即π6HEF ∠=，π3FEG ∠=，所以圆在1AB C V 内的圆弧为圆周长的12，即点P 的轨迹长度为12π2⋅=【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求||z ；（2）若复数2(i)z m +在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（2）()2,2-【解析】【分析】（1）设=+i ,R z a b a b ∈，，根据复数代数形式的乘法法则化简2i z +与(12i)z -，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出a b ，，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长；（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设=+i ,R z a b a b ∈，，()2i=2i z a b +++，因为2i z +为实数，所以20b +=，即2b =-所以(12i)(2i)(12i)42(1)i z a a a -=--=--+，又因为(12i)z -为纯虚数，所以40a -=即4a =，所以42z i =-，所以z ==.【小问2详解】由（1）知，42iz =+所以222(i)(42i i)16(2)8(2)i m m z m m +=++=-+++，又因为2(i)z m +在复平面上所对应的点在第一象限，所以216(2)08(2)0m m ⎧-+>⎨+>⎩，解得：22m -<<所以，实数m 的取值范围为()2,2-.16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知：数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为90820.20.40.5210-+⨯=，则10000.52520⨯=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖17.在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-；②2cos 0cos b a A c C--=；③向量()m c = 与(cos ,sin )n C B = 平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足______.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形,且2c =,求ABC 周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若AB 边中点为D ,求中线CD 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）【答案】（1）条件选择见解析,3π（2）2,6]+（3）3CD <≤【解析】【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和2c =，把ABC 周长转化成π4sin 26A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后再求解范围.（3）根据中线公式和正弦定理，把CD 转化成三角函数求解即可.【小问1详解】选①：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，()()()a c a c b a b ∴+-=-,即222c a b ab =+-，1cos 2C ∴=，()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选②：2cos 0cos b a A c C--=，2sin sin cos sin cos B A A C C-∴=,2sin cos sin cos sin cos B C A C C A ∴-=，1cos 2C ∴=,()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选③：向量()m c = 与(cos ,sin )n C B =平行，sin cos c B C ∴=,sin sin cos C B B C ∴=,tan C ∴=()0,πC ∈ ,π3C ∴=.【小问2详解】π,23C c == ,sin sin sin a b c A B C==,23sin )2sin())2sin )232a b c A B A A A A π∴++=++=+-+=+4sin(26A π=++. ABC 为锐角三角形,π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<，πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.ABC ∴周长的取值范围为2,6]+.【小问3详解】224a b ab =+- ，又由中线公式可得222(2)42()2(4)CD a b ab +=+=+，21624442·sin sin 33CD B A A π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭2161161142·sin cos sin 42·sin 23223426A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即254πsin 2336CD A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<,ππ5π2666A ∴<-<.3CD <≤.18.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，ABAC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，M ，N 分别是BC ，BA 中点.（1）求1A N 与1CC 所成角的余弦值；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成成角的余弦值；（3）求1CC 与平面1C MA 所成角的正弦值.【答案】（1）45（2）23（3）15【解析】【分析】（1）根据题意，证得11//MN A C 和11//A N MC ，得到1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，利用余弦定理，即可求解；（2）过M 作ME AC ⊥，过E 作1EF AC ⊥，连接1,MF C E ，证得ME ⊥平面11ACC A ，进而证得1AC ⊥平面MEF ，得到平面1C MA 与11ACC A 所成角即MFE ∠，在直角MEF 中，即可求解；（3）过1C 作1C P AC ⊥，作1C Q AM ⊥，连接,PQ PM ，由1C P ⊥平面AMC ，得到1C P AM ⊥和1C Q AM ⊥，得到AM ⊥平面1C PQ 和PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，求得23PR =，求得C 到平面1C MA 的距离是43，进而求得1CC 与平面1C MA 所成角.【小问1详解】解：连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，得//MN AC ，且12AC MN ==，在三棱台111ABC A B C -中，可得11//A C AC ，所以11//MN A C ，由111MN A C ==，可得四边形11MNAC 是平行四边形，则11//A N MC ，所以1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，由111CC A N C M CM ====，可得14cos5CC M ∠=.【小问2详解】解：过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ，连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又因为ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，因为1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，且,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，可得1AC MF ⊥，所以平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠，又因为12AB ME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=所以11sin EF CAC =⨯∠=，在直角MEF 中，90MEF ∠=，则MF ==2cos 3EF MFE MF ∠==.【小问3详解】解：过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R ，由11C A C C ==，1C M ==12C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，因为1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ ，又因为PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，因为1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，所以PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅==，因为2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43，设所求角为θ，则43sin 15θ==.19.如图①，在矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为CD 的中点，如图②，将AED △沿AE 折起，点M 在线段CD 上．（1）若2DM MC =，求证AD ∥平面MEB ；（2）若平面AED ⊥平面BCEA ，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥B DEM -的体积，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，169【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】如图，连AC ，交EB 于G ，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，AB EC ∴∥，且2AB EC =，2AG GC ∴=，又2DM MC =，AD MG ∴∥，又MG ⊂平面MEB ，AD ⊄平面MEB ，AD ∴∥平面MEB ．【小问2详解】存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直.在矩形ABCD 中，12DE DA AB ==，45DEA BEC ∴∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒，即AE EB ⊥，已知平面AED ⊥平面BCEA ，又平面AED 平面BCEA AE =，BE ∴⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，BE DE ∴⊥．①取AE 中点O ，则DO AE ⊥，平面AED ⊥平面BCEA ，平面AED 平面BCEA AE =，DO ∴⊥平面BCEA ，由（1）知当2DM MC =时，AD MG ∥，AD DE ⊥ ，MG DE ∴⊥．②而BE MG G ⋂=，,⊂BE MG 平面MEB ，DE ∴⊥平面MEB ，又DE ⊂平面DEB ，∴平面DEB ⊥平面MEB ．即当2DM MC =时，平面DEB 与平面MEB 垂直．依题意有DE AD ==4AE =，2DO =，(2222121116233333329B DEM B DEC D BEC BEC V V V DO S ---∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．。

浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题+答案

浙江省浙南名校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题+答案

绝密★考试结束前2022学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足1i2i 1iz --=+(i 为虚数单位)，则z 的虚部是()A.1B.iC.i -D.1-2.在ABC △中，已知命题p :ABC △为钝角三角形，命题q :0AB BC ⋅>，则p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为()A.1cmB.2cmC.2cmD.22cm 4.在ABC △中，7=AB ，8=BC ，3C π∠=，则边AC 的长为()A.3B.5C.3或5D.以上都不对5.设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是() A.m n ⊥，//n α，则m α⊥ B.//m β，βα⊥，则m α⊥C.m α⊥，αβ⊥，则//m β D.m α⊥，m β⊥，则//αβ6.已知3sin()65πα+=，则sin(2)6πα-的值为()A.725B.725-C.2425D.2425-7.记0.10.20.50.20.1(2)a b c -===，，，则()A.a b c >>B.b c a >>C.a c b >>D.c a b >>8.有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭)，已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是()A.8110B.27210C.2725D.62第8题图二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省绍兴市高一下学期数学期末考试试卷

浙江省绍兴市高一下学期数学期末考试试卷

浙江省绍兴市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知向量， 当 ∥ 时 的值是 （ ）A.3B.4C.5D.62. （2 分） (2016 高一下·佛山期中) （文）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n（n+1）则 a5 的值为（ ）A . 80B . 40C . 20D . 103. （ 2 分 ） (2018 高 一 下 · 蚌 埠 期 末 ) 已 知，则（）中，角的对边分别为，若A.B.C.D.4. （2 分） (2018 高二上·哈尔滨月考) 如图，如图，已知正三棱柱侧棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（ ）的各条棱都相等，M 是第 1 页 共 12 页A. B. C. D.5. （2 分） (2018·中山模拟) 点 D 为 A.内一点，且，则B.C.D. 6. （2 分） 设 PH⊥平面 ABC，且 PA，PB，PC 相等，则 H 是△ABC 的（ ） A . 内心 B . 外心 C . 垂心 D . 重心 7. （2 分） 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）=（ ）第 2 页 共 12 页A . 棱柱 B . 棱台 C . 圆柱 D . 圆台 8. （2 分） 已知 x∈R，下列不等式中正确的是（ ）A. B.C.D.9. （2 分） 如图，四边形是边长为 1 的正方形，， 则 的最大值等于（ ），点 为内（含边界）的动点，设A. B.1 C.第 3 页 共 12 页D.10. （2 分） (2018 高一下·平原期末) 定义数列 的前 项的“平均倒数”为，又A.B.C.D.为 个正数 ，则的“平均倒数”.若已知 等于（ ）11. （2 分） 设向量 、 ，满足| |=| |=1， • =﹣ ，则| +2 |=（ ） A. B. C. D.12. （2 分） (2018·中原模拟) 已知函数，过点，，则且当，且的最大值为 ，则 的值为（ ）A. B.第 4 页 共 12 页C. 和D. 和二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一上·成都期中) 若集合 的整数 为________，，若，则最小14.（1 分）(2016 高二下·芒市期中) 若 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为________．15. （1 分） (2015 高一下·宜宾期中) 等比数列{an}满足 a2a4= ，则 a1 a5=________．16. （1 分） (2019 高三上·牡丹江月考) 如图正方体分别为 、、的中点.则下列命题：①直线与平面的棱长为 ， 、 、 ，平行；②直线与直线 垂直；③平面截正方体所得的截面面积为 ；④点 与点 到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为________.三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2016 高一下·宜春期中) 已知向 ， 满足| |=1，| |=6，且 •（ ﹣ ） =2，求：（1）与 的夹角；（2）第 5 页 共 12 页|2 ﹣ |的模．18. （10 分） 已知公比 ．的等比数列的前 项和为 ，且（1） 若数列是等差数列，求；，数列中，（2） 在（1）的条件下，求数列 的前 项和 ．19. （10 分） (2019 高一上·利辛月考) 在且.中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，（1） 求 ；（2） 若，，求 .20. （5 分） (2019 高一上·柳州月考) 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，为侧棱 的中点，且，．求证：平面．21. （ 15 分 ） (2019 高 一 上 · 纳 雍 期 中 ) 函 数的定义域为 ,且对任意,有,且当时.（1） 证明: 是奇函数;（2） 证明: 在 上是减函数;（3） 求在区间上的最大值和最小值.22. （15 分） (2017 高一下·南京期末) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为 0．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和．若 a1 ， a2 ， a5 是数列{bn}的前 3 项，且 S4=16．第 6 页 共 12 页（1） 求数列{an}和{bn}的通项公式；（2） 若数列{}为等差数列，求实数 t；（3） 构造数列 a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，若该数列前 n 项和 Tn=1821，求 n 的值．第 7 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、 17-2、 18-1、 18-2、 19-1、第 9 页 共 12 页19-2、20-1、 21-1、第 10 页 共 12 页21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

浙江省高一数学学科2023学年第一学期期中考试试题卷（满分：100分，时间：120分钟）（答案在最后）一、选择题：共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{21},{12}A x xB x x =-<≤=-<≤，则A B = （）A.(2,2]-B.[1,2]- C.(]1,1- D.(1,2]【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义求解，并写出区间形式即可.【详解】(]{|11}1,1A B x x ⋂=-<≤=-.故选：C2.已知幂函数()f x 的图象经过点()3,27--，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.12B.14 C.18D.116【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解.【详解】设幂函数()f x x α=，所以()327α-=-，解得3α=，所以()3f x x =，故1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选:C .3.设x ∈R ，则“12x >”是“2210x x +->”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】由题意得，不等式2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以“12x >”是“2210x x +->”的充分而不必要条件，故选A ．考点：充分不必要条件的判定．4.已知函数()223,09,0x x x f x x λ⎧+<=⎨-≥⎩，若((2))8f f -=，则实数λ的值为（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式求得(2)f -，继而可得((2))(2)9f f f λ-==-，可得98λ-=，即可求得答案.【详解】由题意可得2(2)2(2)3(2)2f -=⨯-+⨯-=，故((2))(2)9f f f λ-==-，所以98,1λλ-=∴=，故选:A5.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+.若函数()f x 在区间[1-，2]a -上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.()2,4 B.[]1,3 C.(]1,3 D.[)2,4【答案】C 【解析】【分析】结合二次函数的单调性与奇函数的性质，可推出()f x 在[1-，1]上单调递增，从而得121a -<-≤，解之即可.【详解】当0x ≥时，2()2f x x x =-+，由二次函数的单调性可知()f x 在[0，1]上单调递增，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在[1-，0]上单调递增，综上，()f x 在[1-，1]上单调递增，又函数()f x 在区间[1-，2]a -上单调递增，所以121a -<-≤，解得13a <£，所以实数a 的取值范围是(1，3].故选：C.7.函数()21x f x -=的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为()()22()11x x f x f x xx----==-=--，所以()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，所以排除A ，当0x >时，()210x f x x-=≥，所以排除C ，当1x >时，211()x f x x x x-==-，因为y x =和1y x=-在(1,)+∞上递增，所以()f x 在(1,)+∞上递增，所以排除B ，故选：D8.奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A.72- B.32C.72D.552【答案】A 【解析】【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.已知()431f x x +=+，则()3f 的值为11B.若x ∈R ，则函数y =2C.函数()f x =是偶函数D.函数()2xf x e x =--在区间()2,1--内必有零点【答案】AD 【解析】【分析】令2x =，求得()311f =，可判定A 正确；结合基本不等式，可判定B 错误；根据函数的定义和奇偶性的定义，可判定C 错误；根据函数零点的存在性定理，可判定D 正确.【详解】A 中，由函数()431f x x +=+，令2x =，可得()()13121f f =+=，所以A 正确；B 中，若x ∈R ，由2y =，当且仅当=时，即241x +=时，显然不成立，所以B 错误；C 中，由函数()f x =1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得1x ≥，即函数()f x 的定义域为[1,)+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以C 不正确；D 中，由函数()e 2xf x x =--，可得()()212e0,1e 10f f ---=>-=-<，所以()()210f f -⋅-<，所以函数()f x 在()2,1--内必有零点，所以D 正确.故选：AD.10.下列命题为真命题的是（）A.“2R,10x x x ∀∈++>”的否定为“2R,10x x x ∃∈++<”B.函数()212log 43y x x =-+-的单调递减区间为()1,2C.函数y =3y x =-是同一个函数D.若方程()210x ax a --+=在区间[]2,3上有实数解，则实数a 的取值范围为[]1,2【答案】BD 【解析】【分析】由含量词命题的否定法则可直接判定选项A ；先求定义域，再利用复合函数的同增异减的法则，可求出单调减区间，即可判定选项B ；化简函数3y x ==-，即可判定选项C ；通过分参法即可求解参数a 的范围，则选项D 可判定.【详解】“2R,10x x x ∀∈++>”的否定为“2R,10x x x ∃∈++≤”，故选项A 错误；()212log 43y x x =-+-中2430x x -+->，即()()130x x --<解得13x <<，则定义域()1,3，又243t x x =-+-的增区间为(),2-∞，由复合函数同增异减可得函数()212log 43y x x =-+-的单调递减区间为()1,2，故选项B 正确；由于3y x ==-，可知两者解析式不一致,则函数y =3y x =-不是同一个函数，故选项C 错误；由()210x ax a --+=，可得()211a x x +=-，又[]2,3x ∈，则10x +≠1a x =-，又[]2,3x ∈，所以[]1,2a ∈故选项D 正确；故选：BD.11.给出定义：若11< +22m x m -≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：则下列命题中正确有（）A.()y f x =的定义域是R ，值域是11,22⎛⎤-⎥⎝⎦B.点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心，其中Z k ∈C.函数()y f x =满足()()1f x f x +=D.函数()y f x =在13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦上是增函数【答案】AC 【解析】【分析】根据新定义，得到()f x 值域是11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦，在对各选项由定义逐一判定即可.【详解】因为{}{}11< +22x x x -≤，所以11{}22x x -<-≤，所以可得()f x 值域是11,22⎛⎤-⎥⎝⎦，选项A 正确；由于Z k ∈，(){}0f k k k k k =-=-=，但是由于()f x 值域是11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦，可知()f x 不是中心对称图形故选项B 错误；(){}{}(){}()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，选项C 正确；当11,22x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时(){}0f x x x x x =-=-=，单调增当13,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时(){}1f x x x x =-=-，单调增，可得分段函数()f x 在13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦不单调，故选项D 错误.故选：AC.12.已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对()y f x =，x ∈R ，当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.2-B.1-C.0D.1【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到函数()y f x =为偶函数，且在(0,)+∞上为单调递增函数，把不等式转化为2221ax x <+对任意x ∈R 恒成立，当0x ≠时，得到221122x a x xx+<=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于0x =对称，可得函数()y f x =为偶函数，又因为当(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()y f x =在(0,)+∞上为单调递增函数，由()()2221f ax f x <+对任意x ∈R 恒成立，所以2221ax x <+对任意x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立；当0x ≠时，22111222x a x x xx x+<=+=+，因为12x x +≥=，当且仅当12x x =时，即2x =时，等号成立，所以a <，即实数a 的取值范围为(，结合选项，BCD 项符合题意.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.13.函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃14.已知函数f (x )＝22,0,0x x x ax bx x ⎧+≤⎨+>⎩为奇函数，则a ＋b ＝________.【答案】0【解析】【详解】当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ，－f (x )＝－ax 2－bx ，故x 2－x ＝－ax 2－bx ，所以－a ＝1，－b ＝－1，即a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.15.已知0,0,28x y x y >>+=，则11xx y++的最小值为_______．【答案】79【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为28x y +=，所以82x y =-，则1182182111x y x y x y x y-+=+=+-+++．因为129x y ++=，所以18118128(1)2(12)2116219191y x x y x y x y x y ⎛⎫⎤+⎡+-=+++-=+++- ⎪⎥⎢+++⎣⎝⎭⎦12571722999⎡≥+-=-=⎢⎣，当且仅当28(1)1y x x y +=+，即418,55x y ==时，等号成立．故答案为：7916.设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ∞∞⎧--∈-⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为_______．【答案】6【解析】【分析】分别画出函数()y f x =和()1g x x=的图像，根据图像得出结论.【详解】因为()()10F x xf x =-=，所以()1xf x =，转化为()1f x x=，如图所示，画出函数()y f x =和()1g x x=的图像，当0x <时，有一个交点，当0x >时，()11f =，()11g =此时()()1g 11f ==，故1x =是函数的一个零点，因为()()113122f f ==，()133g =，满足(3)(3)f g >，所以在()2,4有两个交点，因为()()115324f f ==，()155g =，满足(5)(5)f g >，所以在()4,6有两个交点，因为()()117528f f ==，()177g =，()()77f g <，所以在()6,8内没有交点，当7n >时，恒有()()f x g x <，所以两个函数没有交点所以，函数()()1F x xf x =-的零点个数为6.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值()22333273log 362log 2--；（2）解不等式403x x->-；（3）已知[]0,3x ∈，求221y x x =--的值域.【答案】（1）8;（2）()3,4（3）;[]22-,.【解析】【分析】（1）可由指对数的运算公式直接求解；（2）可将403x x->-，化为()()430x x -->，再求解即可；（3）利用配方法可直接求解.【详解】（1）()22333273log 362log 2--()2333333log 36log 4=--+-2333log 99328=-+=-+=；（2）由403x x->-可得()()430x x -->，解得：34x <<，所以不等式的解为()3,4；（3）()222112y x x x =--=--，又[]0,3x ∈，可得22y -≤≤则函数的值域[]22-,.18.已知函数24()2x x a a f x a a+-=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求a 及()2f 的值；（2）求函数()2f x y =的值域.【答案】（1）2a =;()222132215f -==+.（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）可用特值法()00f =先求出a 的值，再检验是否是奇函数，再代值求()2f ；（2）先分离常数得到2()121x f x =-+，接着可用直接法，由x 的范围，得到21x +的范围，再利用不等式的性质得到121x +的范围，最后得到()f x 的范围，继而可求函数()2f x y =的值域.【小问1详解】因为函数24()2x x a a f x a a+-=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，可得2402a a+-=+，则2a =，可得21()21x x f x -=+，经检验：112112212()()121212112xx x x x x x x f x f x -------====-=-++++，所以()f x 为奇函数,()222132215f -==+.【小问2详解】212122()1212121x x x x x f x +--===-+++,因为20,x >所以211,x +>继而101,21x <<+所以1()1f x -<<，则1()222f x -<<，即()1222f x <<，所以函数()2f x y =的值域1,22⎛⎫⎪⎝⎭.19.已知函数()21ax b f x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（3）解不等式：()()10t f t f -+<．【答案】（1）()21xf x x =+（2）证明见解析（3）102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由(0)01225f f =⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩解出,a b ，可确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明函数的单调性；（3）利用奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】由题意，得(0)012212514f b a b f ==⎧⎪⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭+⎪⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩（经检验符合题意），故()21x f x x =+．【小问2详解】证明任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++．∵1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>．又1211x x -<<，∴1210x x ->．∴()()()()121222121011x x x x x x --<++，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1-上是增函数．【小问3详解】由（2）知()f x 在()1,1-上是增函数，又()f x 在()1,1-上为奇函数，()()10t f t f -+<，∴()()()1f f f t t t -<-=-，∴111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得102t <<．∴不等式的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．20.已知函数1()ln1x f x x +=-.（1）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性；（2）对于[]3,4x ∀∈，不等式2(1)()ln 22m x f x x x +≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）,1(),)1(-∞-⋃+∞；()f x 为奇函数（2）5(0,2【解析】【分析】（1）根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；（2）根据题意，利用对数函数的性质，转化为[]3,4x ∀∈，不等式10(1)1m x x <≤-+-恒成立，结合换元法和对勾函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数1()ln 1x f x x +=-，则满足101x x +>-，解得1x <-或1x >，即函数()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，关于原点对称，又由111()ln ln ln ()111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-，所以函数()f x 在定义域,1(),)1(-∞-⋃+∞上的奇函数.【小问2详解】解：因为对于[]3,4x ∀∈，不等式2(1)()ln22m x f x x x +≥-+恒成立，所以对于[]3,4x ∀∈，不等式2(1ln 11)ln 22m x x x x x +≥--++恒成立，所以对于[]3,4x ∀∈，不等式组22101(1)0221(1)122x x m x x x x m x x x x +⎧>⎪-⎪+⎪>⎨-+⎪++⎪≥⎪--+⎩恒成立，可得对于[]3,4x ∀∈，不等式10(1)1m x x <≤-+-恒成立，令1[2,3]t x =-∈，则函数()1g t t t =+在区间[2,3]为单调递增函数，所以()()522g t g ≥=，所以502<≤m ，所以实数m 的取值范围为5(0,2.21.已知二次函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c 为实数）．（1）若()0f x <的解集为()1,2，求不等式20cx bx a ++<的解集；（2）若不等式()2≥+f x ax b 对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值.【答案】（1）1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）2【解析】【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到b c 、与a 的关系，从而解不等式即可求出结果；（2）由题意可得c a ≥，分c a =、c a >讨论进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.【小问1详解】因为()0f x <的解集为()1,2，所以1,2是方程20ax bx c ++=的两个根，所以0a >，且12-=+b a ，12=⨯c a ，可得3b a =-，2c a =，所以()222310cx bx a a x x ++=-+<，解得112x <<，所以不等式20cx bx a ++<的解集为1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】()f x 为二次函数，所以0a ≠，由()2≥+f x ax b 得()220ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立，可得()()20240a b a a c b >⎧⎪⎨---≤⎪⎩，即()204b a c a ≤≤-，可得c a ≥，当c a =时，0b =，2220b a c =+；当c a >，设10c t a =->，则1=+c t a，则()()22222224144111⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤==++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a c a b t a a c a c t ca 4222=≤++t t ，当且仅当2t t=即1==-c t a 且()24b a c a =-时等号成立，所以222b a c+的最大值为2-.22.已知函数()2f x x x a x =-+．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）求所有的实数a ，当()21g x x =+，使得对任意[1,2]x ∈时，()()f x g x <恒成立；（3）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【答案】（1）增区间为5(,)2-∞、[3,)+∞，减区间为5(,3)2；（2）322a <<；（3）918t <<.【解析】【分析】（1）写出()f x 的分段函数形式，结合二次函数的性质确定单调区间；（2）令()()()h x f x g x =-，问题化为在[1,2]x ∈上()0h x <恒成立，讨论4a ≥、24a <<、2a =、12a <<、1a ≤，结合二次函数性质研究恒成立求参数范围；（3）由题意，存在[]2,4a ∈-使()2f x at =有三个不相等的实数根，由[]2,2a ∈-时()f x 递增不符合，只需研究(2,4]a ∈，结合二次函数、对勾函数性质及方程有解求参数范围.【小问1详解】由题设22,3()325,3x x x f x x x x x x x ⎧-≥=-+=⎨-+<⎩，对于2y x x =-在[3,)+∞上递增；对于225255()24y x x x =-+=--+，在5(,)2-∞上递增，在5(,3)2上递减；所以()f x 的增区间为5(,)2-∞、[3,)+∞，减区间为5(,3)2.【小问2详解】由题设22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-≥=⎨-++<⎩，若对任意[1,2]x ∈时，()()f x g x <恒成立，令221,()()()1,x ax x a h x f x g x x ax x a⎧--≥=-=⎨-+-<⎩，在[1,2]x ∈上()0h x <恒成立，当2a >时，则[1,2](,)a ⊆-∞，而2()1h x x ax =-+-开口向下且对称轴为2a x =，若22a ≥，即4a ≥时，()h x 在[1,2]上递增，此时最大值(2)20h a =>，不合题意；若122a <<，即24a <<时，()h x 在[1,)2a 上递增，在(,2]2a 上递减，此时最大值2(024a a h a =+>，不合题意；当2a =时，此时2(1)12110h =-+⨯-=，不合题意；当12a <<时，则[1,)x a ∈时2()1h x x ax =-+-递减，此时2(1)1120h a a =-+-=-<，而(,2]x a ∈时2()1h x x ax =--递增，此时2(2)221320h a a =--=-<即可，故32a >，所以，此时322a <<，满足题设；当1a ≤时，[1,2][,)a ⊆+∞，且2()1h x x ax =--递增，此时(2)320h a =->，不合题意；综上，322a <<.【小问3详解】由题设，存在[]2,4a ∈-，使关于x 的方程()2f x at =有三个不相等的实数根，由（2）知，22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-≥=⎨-++<⎩，()f x 在x a =处连续，当[]2,2a ∈-时，2(2)y x a x =+-开口向上且对称轴为12a x a =-≤，故[,)a +∞上递增，2(2)y x a x =-++开口向下且对称轴为12a x a =+≥，故(,)a -∞上递增，此时，()f x 在整个定义域上递增，故()2f x at =不可能有三个不相等的实数根；当(2,4]a ∈时，此时12a a +<，()f x 在(,1)2a -∞+、[,)a +∞上递增，(1,)2a a +上递减，此时()211222a a f f a a ⎧⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪=⎩，只需2221211(1)282a a t a a at +⇒<+<+<<，根据对勾函数的性质，182a y a =+在(2,4]a ∈上递增，故max 415888y =+=，存在[]2,4a ∈-，使()()f x tf a =有三个不相等的实数根，故918t <<.【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论参数a 的范围，结合二次函数性质确定参数范围；第三问，首先判断出[]2,2a ∈-时()f x 递增，再研究(2,4]a ∈研究()f x 的单调区间，数形结合求参数范围.。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含答案)

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含答案)

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位，复数z =1-i 在复平面上对应的点位于(D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数z =1-i 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1)，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是(C )A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【解析】由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A =“第一枚出现奇数点”={①，②}，事件B =“第二枚出现偶数点”={②，④}，两个事件不相等，排除D ，A ∩B ≠∅，所以不是互斥事件，排除A ，B ，C 选项，事件A =“第一枚出现奇数点”，P (A )=36=12，事件B =“第二枚出现偶数点”，P (B )=36=12，事件AB =“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P (AB )=3×336=14，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )，所以事件A 和事件B 是相互独立事件，故选：C ．【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )即独立，本题属于基础题．3.已知向量a=(1,-2)，b =(2,-4)，则(A )A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.(a +b )⊥aD.(a +b)⊥b【解析】∵向量a =(1,-2)，b =(2,-4)，∴b =2a，∴a 与b同向，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量同向的条件，属于基础题．4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是(D )A.35B.310C.625D.1225【解析】设摸出的2个球颜色不同为事件A ，∵基本事件总数n =5×5=25，事件A 包含的基本事件数为C 12C 12C 13=12，∴p (A )=1225，故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，(C )A.若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳αB.若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α⎳βC.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则m ⊥γD.若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α⎳β【解析】m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A ，若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m ⊥γ，故C 正确；对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α与β相交或平行，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．6.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值是(B )A.0B.14C.64D.22【解析】由题意可知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos <AC 1 ，A 1B >=AC 1 ⋅A 1B |AC 1 ||A 1B |=(AA 1 +A 1C 1 )⋅(A 1A +AB )2×2=-1+0+0+122=-14．∴异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值14．故选：B ．【点评】本题异面直线所成角算法，考查数学运算能力及抽象能力．7.若满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是(B )A.[1，2)B.{1}∪[2，+∞)C.(2,+∞)D.[2，+∞)【解析】∵满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，如图，AB ⊥AC ，或AB ≥2，∴AB =1或AB ≥2，∴边AB 的取值范围是{1}∪[2，+∞)．故选：B ．【点评】本题考查了数形结合解题的方法，属于基础题．8.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a +b |=2|a -b |，则a 在a -b上的投影向量的模长为(A )A.3060B.11210210C.16D.116【解析】因为|a +b |=2|a -b|，所以|a +b |2=(2|a -b |)2，所以a 2+2a ⋅b +b 2=2(a 2-2a ⋅b +b 2)，所以a 2-6a ⋅b +b2=0，所以1-6a ⋅b+22=0，所以a ⋅b =56，所以a ⋅(a -b )=a 2-a ⋅b =12-56=16，所以|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2=1-2×56+22=103，所以a 在a -b 上的投影向量为a ⋅(a -b )|a -b |=16103=3060，故选：A ．【点评】本题考查向量数量积的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)9.已知i 是虚数单位，复数z =(1-i )i ，则(BD )A.z 的实部为-1B.z 的共轭复数是1-iC.|z |=2D.z 2=2i【解析】因为z =(1-i )i =1+i ，所以z 的实部为1，故A 错误，z 的共轭复数为1-i ，故B 正确，|z |=12+12=2，故C 错误，z 2=(1+i )2=2i ，故D 正确，故选：BD ．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的共轭复数以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(CD )A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，则x 1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则s 21<s 22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定【解析】甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则x 1 =16×(9+10+6+7+9+8)=8.17，x 2=16×(6+7+5+5+7+7)=6.17，所以x 1>x 2，故选项A 错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s 21>s 22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D 正确；甲射击成绩的中位数为8+92=7.5，乙射击成绩的中位数为6+72=6.5，故选项C 正确．故选：CD ．【点评】本题考查了折线图的应用，平均数与方差计算公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段B 1C 上动点，F 是BD 1的中点，则(ABC )A.AP ⎳平面A 1DC 1B.AP ⊥BD 1C.直线BB 1与平面BPD 1所成角可以是∠D 1BB 1D.二面角C 1-BD 1-C 的平面角是∠C 1FC【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，对于A ，设P (a ，1，a )，则AP =(a -1,1,a ),A 1D =(-1,0,-1)，DC 1 =(0,1,1)，设平面A 1DC 1的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1D=0n ⋅DC 1 =0，即-x -z =0y +z =0 ，令x =1，则y =1，z =-1，故n=(1,1,-1)，则AP ⋅n=(a -1)×1+1×1-1×a =0，又AP ⊄平面A 1DC 1，所以AP ⎳平面A 1DC 1，故选项A 正确；对于B ，因为B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BD 1 =(-1-1,1),AP=(a -1,1,a )，所以AP ⋅BD 1=0，则AP ⊥BD 1，故选项B 正确；对于C ，当点P 为B 1C 的中点时，直线BB 1与平面BPD 1所成的角可以是∠D 1BB 1，故选项C 正确；对于D ，因为F 为BD 1的中点，所以C 1F ⊥BD 1，但CF 不垂直于BD 1，此时二面C 1-BD 1-C 的平面角不可以是∠C 1FC ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，空间角的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．12.在ΔABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC =6，AD =2，则(BD )A.ΔABC 面积最大值是12B.cos B ≥53C.|AD +BE|不可能是5D.BE ⋅AC ∈112,352【解析】设ΔABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，S ΔABC =12⋅a ⋅h a =12⋅6⋅h a =3h a ≤3⋅AD =6，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以ΔABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，在ΔABD 中，cos B =32+AB 2-42⋅3⋅AB =AB 2+56AB =AB 6+56AB≥2AB 6⋅56AB =53，当AB =5时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为AD +BE =-DA +BD +DA +AE =BD +12AC =DC +12(DC -DA )=32DC -12DA ，所以|AD +BE |=|DC -DA |2=(3DC -DA )22=9|DC |2+|DA |2-6DC ⋅DA 2=85-6DC ⋅DA2=5，解得DC ⋅DA =-52，因为|DC |⋅|DA |=6，所以DC ⋅DA ∈(-6,6)，故|AD +BE|可能是5，故C 错误；对于D ,BE =(AD +BE )-AD =32DC -12DA+DA =32DC +12DA ，AC =DC -DA ，所以BE ⋅AC =32DC +12DA ⋅(DC -DA )=32DC 2-12DA 2-DC ⋅DA =232-DC ⋅DA ，又DC ⋅DA ∈(-6,6)，所以232-DC ⋅DA ∈112,352．故选：BD ．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查平面向量数量积和模的运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是17．【解析】该组数据从小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．故答案为：17．【点评】本题考查了求一组数据的众数问题，通常是先按从小到大排列，再找出现次数最多的数据，是基础题．14.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b )⊥b ，则a 与b夹角的余弦值是32．【解析】∵向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b)⊥b ，∴(2a -b )⋅b =2a ⋅b -b 2=2×1×3×cos <a ,b>-3=0，∴cos <a ,b >=323=32．∴a 与b 夹角的余弦值为32．故答案为：32．【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R 软件的控制平台，输入“sample (0:999，20，replace =F )”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为310．【解析】在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P =620=310．故答案为：310．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA =OB =OC =OD ，则以O 为球心，2为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为1633π．【解析】∵正四面体A -BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4，取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE =4sin60°=23，BF =23BE =433，∴AF =AB 2-BF 2=463，又(AF -OF )2=OF 2+BF 2，∴OF =63，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r =(2)2-63 2=233．而ΔABC 的内切圆半径为233，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2π×233=1633π．故答案为：1633π．【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(m -1,1)，b =(1,3)．(Ⅰ)若m =0，求a ⋅b；(Ⅱ)若|a +b|=5，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)因为m =0，所以a=(-1,1)，所以a ⋅b=-1×1+1×3=2．(Ⅱ)因为a +b =(m ,4)，|a +b|=5，所以|a +b|=m 2+16，所以m 2+16=25，所以m =±3．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．18.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3，AC 1=34．(Ⅰ)求长方体的表面积；(Ⅱ)若E 是棱AA 1的中点，求四棱锥E -BB 1C 1C 的体积．【解析】(Ⅰ)因为AB=AD=3，AC1=34，又AC1=AB2+AD2+AA12=9+9+AA12=34，所以AA1=4，所以，长方体的表面积为S=2×(3×3+3×4+3×4)=66．(Ⅱ)因为AA1⎳平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥E-BB1C1C的体积为V=13S矩形BB1C1C⋅AB=13×3×4×3=12．【点评】本题考查了长方体的表面积和棱锥的体积计算问题，是基础题．19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34．(Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率；(Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．【解析】(Ⅰ)设甲两次都没有击中目标为事件A，则p(A)=1-2 31-23=19．(Ⅱ)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，∵甲恰好击中一次目标的概率为C12×23×1-23=49，乙恰好击中一次目标的概率为C12×34×1-34=38，∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16．【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题．20.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；(Ⅲ)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．因为80+10×0.8-0.70.95-0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n (Ω)=5+4+3+2+1=15．记事件A =“调查对象来自不同分组”，则事件A 包含的样本点个数为n (A )=4×2=8，所以P (A )=n (A )n (Ω)=815．(Ⅲ)设男生成绩样本数据为x 1，x 2，⋯，x 40，其平均数为x =71，方差为s x 2=187.75；女生成绩样本数据为y 1，y 2，⋯，y 60，其平均数为y =73.5，方差为s y 2=119；总样本的平均数为z，方差为s 2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z =40100x +60100y =72.5．因为s 2=110040i =1(x i -z ) 2+60j =1(y j -z ) 2 =110040i =1(x i -x +x -z ) 2+60j =1(y j -y +y -z ) 2 ，又40i =12 (x i -x )(x -z )=2(x -z )40i =1(x i -x )=2(x -z )40i =1x i -40x=0，同理60j =12 (y j -y )(y -z)=0，所以s 2=110040i =1(x i -x ) 2+40i =1(x -z ) 2+60j =1(y j -y ) 2+60j =1(y -z ) 2 =1100{40[s x 2+(x -z )2]+60[s y 2+(y -z )2]}=1100{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2]}=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．【点评】本题主要考查频率分布直方图，概率的计算，百分位数、平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题，21.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ，b =3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =3，求ΔABC 的面积；(Ⅲ)求aca +c的最大值．【解析】(Ⅰ)因为2c-a=2b cos A，又asin A=bsin B=csin C，所以2sin C-sin A=2sin B cos A，所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos，所以2sin A cos B-sin A=0，因为A∈(0,π)，sin A≠0，所以cos B=1 2，可得B=π3．(Ⅱ)因为b2=a2+c2-ac，所以c2-3c-6=0，所以c=23，所以ΔABC的面积为S=12ac sin B=332．(Ⅲ)由a2+c2-ac=9，得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)．设t=a+c，则t∈(3，6]，所以aca+c=t2-93t，设f(t)=t2-93t=13t-9t，则f(t)在区间(3，6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=3 2，所以，aca+c的最大值为3 2．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，基本不等式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．22.如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是矩形，EH=DH=1，AD=2，AB=4，AD⊥DH．(Ⅰ)证明：BC⊥平面DCG；(Ⅱ)设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC又AD⊥DH，且DC∩DH=D，∴AD⊥平面DCG，又∵AD⎳BC，∴BC⊥平面DCG；(Ⅱ)在四棱台ABCD-EFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于S．∵GH⎳AB，GH=12AB，∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG=l，∴P∈l，又D∈l，∴平面ADHE∩平面DBG=DP．过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG=SC，∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．当M与S重合时，DM=SD=2；当M与S不重合时，在RtΔDMS中，0<DM<SD．∴0<DM≤2，又∵DP=SA=22，∴在RtΔMPD中，有sin∠MPD=DMPD=DM22∈0，22．∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是0，22．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．第11页共11页。

浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题一、单选题1．复数12i -的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（ ）A ．4B ．CD 3．十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（ ） A ．3，17，12B ．5，16，14C ．7，17，14D ．7，17，134．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n αα⊂，则//m n B ．若//,//m m αβ，则//αβ C ．若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥D ．若,m n αα⊥⊥，则//m n5．已知平面四边形ABCD ，,1,AB BC AB BC CD AD ⊥===BD xBC yBA =+u u u r u u u r u u u r，则x y -=（ ）A ．34B ．1C ．54D ．326．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c o s c o s 4a B b A c b -=+，则co s A =（ ）A ．18-B ．18C ．14-D ．147．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，其中()24,()12,()8n n A n B Ω===，()5,()16n C n A B ==U ，则（ ）A ．事件A 与事件B 互斥 B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件A 与事件C 互为对立D ．事件A 与事件C 相互独立8．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC =ACEF 绕AC 旋转，且E ∉平面ABCD ，则（ ）A ．平面EFB ⊥平面EFD B ．平面ABF ⊥平面ABC C ．平面ABF ⊥平面BCFD ．平面ABF ⊥平面ADF二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．复数2i +B ．复数1i z =-的虚部为﹣1C ．若122i,i z z ==，则12z z >D ．若复数12,z z 满足22120z z +=，则120z z == 10．已知一组样本数据123456,,,,,x x x x x x 的标准差0s ≠，其平均数3x x =，则下列数据的标准差与s 不相等．．．的是（ ） A ．1234562,2,2,2,2,2x x x x x xB ．123456,,,,,x x x x x x x x x x x x ------C ．12456,,,,x x x x xD ．1234562,2,2,2,2,2x x x x x x x x x x x x ------11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（ ）A ．EG GF ⊥B ．平面EFG 经过棱AB 的中点HC ．平面EFGD ．点D 到平面EFG三、填空题12．抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是．13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，||||1a b ==r r ，则向量a r 在向量a b +r r上的投影向量的模为．14．正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为．四、解答题15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,2),(A B(1)求||AB u u u r 及向量OA u u u r 与OB u u u r夹角的大小；(2)若//(2)AB OA tOB +u u u r u u u r u u u r，求实数t 的值.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面P AB 是正三角形，AD ⊥平面P AB ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．(1)证明：//MN 平面P AD ； (2)求四棱锥P ABCD -的体积．17．某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．(1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；(2)求乙工厂频率分布直方图中a ，b 的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；(3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率． 18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,//,6,4,AB DE AB EF AB BD EF ⊥===3,cos 4EAD EAB EAB ∠=∠∠=．(1)证明：BD ⊥平面ACE ； (2)求点E 到平面ABCD 的距离；(3)求侧面ADE 与侧面BCF 所成二面角的正切值．19．克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O 是凸四边形ABCD 的外接圆，其中CD =．(1)若圆O 的半径为r ，且2CBD ABD ∠=∠， (ⅰ)求ABD ∠的大小；(ⅱ)求AC BD ⋅u u u r u u u r的取值范围(用r 表示)．(2)若2π5π1,2,,36AD BC ADC ⎡⎤==∠∈⎢⎥⎣⎦，求线段BD 长度的最大值．。

中职数学 2022-2023学年浙江省绍兴市中职学校高一(下)期末数学试卷

中职数学 2022-2023学年浙江省绍兴市中职学校高一(下)期末数学试卷

2022-2023学年浙江省绍兴市中职学校高一（下）期末数学试卷一．单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分）A ．y =3•2xB ．y =x -1C ．y =2-xD ．y =（-2）x1．（2分）下列函数中是指数函数的是（ ）A ．（=1B ．lg 1=0C ．3=D ．lo =-32．（2分）下列等式不成立的是（ ）M 2）0a -213a 2g218A ．B ．2C ．D ．53．（2分）已知A （4，6），B （6，2），求|AB |的长度为（ ）M 41M 592A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°4．（2分）直线x =的倾斜角为（ ）M 3A ．（x +2）2+y 2=4B ．（x -2）2+y 2=4C ．（x +2）2+y 2=2D ．（x -2）2+y 2=25．（2分）已知圆C 以点（2，0）为圆心，且经过原点，则圆C 的标准方程为（ ）A ．（0，4），（0，-4）B ．（0，），（0，-）C ．（4，0），（-4，0）D ．（，0），（-，0）6．（2分）椭圆+=1的焦点坐标为（ ）x 29y 225M 34M 34M 34M 34A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，-1）D ．（-1，0）7．（2分）抛物线y =的焦点坐标为（ ）14x 28．（2分）两条平行直线x -2y -3=0与x -2y +7=0之间的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．5M 5M 592A ．B ．-C ．-6D ．39．（2分）若直线l 1：x +3y -1=0与直线l 2：2x -my +5=0垂直，则m =（ ）2323A ．（0，3）B ．（1，4）C ．（-1，2.5）D ．（1，3）10．（2分）函数y =a x -1+2（a >0且a ≠1）过定点，则这个点为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π11．（3分）已知球的半径是2，则该球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．112．（3分）把一枚硬币任意的抛掷一次，则出现反面向上的概率为（ ）121314A ．B ．C ．D ．313．（3分）已知双曲线C ：-=1，其中y =2x 为其中一条渐近线，则此双曲线离心率为（ ）x 2a 2y 2b 2M 5M 2M 3A ．1B ．2C ．3D ．414．（3分）焦点在x 轴上的椭圆+=1的离心率为，则m =（ ）x 24y 2m 12A ．1B ．2C ．3D ．415．（3分）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，且|PF |=4，则点P 的横坐标为（ ）A ．（-，0）B ．（-，）16．（3分）若直线y =kx 与双曲线-=1相交，则k 的取值范围为（ ）x 29y 24232323二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）C ．（-∞，-）∪（，+∞）D ．（0，）232323A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．圆17．（3分）若动点P 到点M （-2，0）与N （2，0）的距离之差为2，则点P 的轨迹为（ ）A ．B ．2C ．1D ．18．（3分）已知点P （x ,y ）是直线x -y +2=0上的动点，O 为坐标原点，则OP 的最小值为（ ）M 2M 2M 3A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条19．（3分）过点M （1，3）作直线l ,与抛物线y 2=4x 只有一个公共点，满足条件的直线有（ ）A ．[-，]B ．[-1，1]C ．[-1，]D ．[-，1]20．（3分）设直线y =x +m 与曲线y =（y ≥0）有公共点，则m 的取值范围为（ ）M 1-x 2M 2M 2M 2M 221．（4分）已知点（m ,n ）在直线3x +y -4=0上，则8m +2n 的最小值为．22．（4分）函数f （x ）=lg （2x -3）+的定义域为．1-42x 23．（4分）若函数f （x ）=，则f [f （3）]= ．{lo x ,x ≥2，x ＜2g 22x 24．（4分）在圆x 2+y 2+2x -4y =0内经过点（0，1）的最短弦的弦长为．25．（4分）抛掷一颗骰子，出现的点数不超过2的概率为 ．26．（4分）设P 为双曲线-=1上一点，F 1，F 2分别为双曲线两焦点，若|PF 1|=7，则|PF 2|= ．x 29y 216三．解答题（本大题共8小题，共72分）27．（4分）已知一个边长为2的正方体，有一个外接球，则此外接球的体积为 ．28．（7分）计算：（×+tan -lo 1+（sin +．12）-2813π3g 125π6）0M （-2）M 3229．（8分）从1，2，3，4，5，6这6个数字中随机抽取2个不同的数字，求：（1）这两个数字都是偶数的概率；（2）这两个数字之和是奇数的概率．30．（9分）对数函数f （x ）=log a x 经过点（8，3），则：（1）求函数解析式；（2）解不等式f （x +2）≥f （3-x ）．31．（9分）一个圆锥侧面展开图是半径为18cm ,圆心角为120°的扇形，求圆锥的侧面积和体积．32．（9分）已知△ABC 的坐标为A （3，2），B （5，-4），C （0，-1）．（1）求以AB 为直径的圆D 的标准方程；（2）直线AC 与圆D 相交，求相交弦的长．33．（10分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （0，），倾斜角为45°的直线l 过右焦点F 2与椭圆交于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求△ABF 1的面积．x 2a 2y 2b212M 334．（10分）已知抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为（1，0）．（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线上的点到直线x +y +3=0的最小距离．35．（10分）已知双曲线与x 2-4y 2=1有相同的渐近线，且过点（4，）．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点P （1，3）作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，P 为AB 的中点，求直线l 的方程．M 2。

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浙江省绍兴市2020学年高一数学下学期期中试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知(1,2),(0,4)A B ，则AB u u u r = （ ）
A ． ()2,1-
B ． ()0,1-
C ． ()0,5
D ．()2,1
2．已知数列{}n a 的首项11=a , 且121+=-n n a a （2≥n ），则5a 为 （ ）
A ．7
B ．15
C ．30
D ．31
3.若平面向量(1,)a x =r 和(23,)b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈.则a b -r r
（ ）
A ．（2,-4）
B ．（-2，4）
C ．（-2,0）或（2，-4）
D ．（-2,0）或（-2，4）
4．已知52
)tan(=+βα，41
)4tan(=-π
β，则)4tan(π
α+等于
（ ）
A ．
183 B ．2213 C ．223 D ．61
5．已知3
3cos sin =-αα则 =-)22cos(απ （ ） A ． 3
2- B ．32 C ．35- D ．
35
6
．若3BC CD =u u u r u u u r ，则
（ ）
A
．
C ．3AC AB A
D =+u u u r u u u r u u u r D ．3AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r
7.在等差数列{a n }中，a 1＝－28，公差d ＝4，若前n 项和S n 取得最小值，则n 的值为 ( )
A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．8或9
8．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 （ ）
A ．18
5 B ．43 C ．23 D ．87 9.下列关于△ABC 的说法正确的是 （ ）
A ．若a=7，b=14，30A =︒,则
B 有两解 B ．若a=6，b=9，45A =︒,则B 有两解
C ．若b=9，c=10，60B =︒,则C 无解
D ．若a=30，b=25，150A =︒,则B 只有
一解
10．给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为120o ，点C 在以O 为圆心的劣
弧AB 上变动，若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r 其中x 、,y R ∈则x y +的最大值是
（ ）
A.1
B ． 2
C ．3
D ．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． sin cos A A 的最大值是____________.
12．若数列{}n a 为等差数列，2a ，11a 是方程0532=--x x 的两根，则85a a +=____________.
13. 2cos10°－sin20°cos20°
=____________. 14．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ， 10413-=S ，则5a 与7a 的等差中项为____________.
15．已知向量a r 、b r 满足a =r ，1,b =r 且对一切实数x ，a xb a b -≥-r r r r 恒成立，则a
r 与b r 的夹角大小为 .
16．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是 .
三、解答题(共52分)
17．（本题10分）在等差数列{}n a 中，已知100,70214-==a a ，
（1）求首项1a 与公差d ，并写出通项公式；
（2）数列{}n a 中有多少项属于区间[]18,18-？
18．（本题10分）已知53)6sin(
-=-θπ，3
26πθπ<<， (1)求θsin 的值；
(2)求θ2cos 的值．
19．（本题10分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23
，
sin B cos C ．
(1)求tan C 的值；
(2)若a ∆ABC 的面积．
20．（本题10分）已知a r 与b r 不共线，
（1）若向量a b +r r 与2a b -r r 垂直，2a b -r r 与2a b +r r 也垂直，求a r 与b r 的夹角余弦值；
（2）若2,a =r 1b =r ，a r 与b r 的夹角为60︒，向量27ta b +r r 与a tb +r r 的夹角为钝角，求
实数t 的取值范围．
21．（本题12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边为c b a ,,，已知cos
24C = （Ⅰ）求C cos 的值；
（Ⅱ）若6ab =，且C B A 222sin 1613sin sin =
+， （1）求c b a ,,的值；
（2）若c b a ,,成等差数列，已知)(2cos )(sin )(2R x x
c a x b x f ∈-+=ωω，其中0
>ω对任意的R t ∈， 函数)(x f 在),[π+∈t t x 的图像与直线1-=y 有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求出函数)(x f 的单调增区间．
答案
一、选择题：
ADCCB ACDDB
二、填空题：
11．2
1 12. 3 13. 14. －6
15. 4
π 16. 三．解答题：
17.（1）1001=a ，10-=d ，n a n 10110-=
（2）181011018≤-≤-n Θ，8.122.9≤≤∴n ，n 取10、11、12.共有三项。

18. 0)62<-<-θππ,5
4)6cos(=-θπ (1))6sin(6cos )6cos(6sin ))6(6sin(sin θπ
πθππθπ
π
θ---=--= 10
33453235421+=⋅+⋅= (2)50
3247sin 212cos 2-=-=θθ
19. （1（2
20.(1) （2）172
t -<<-且t ≠。

21.（1）4
12sin
21cos 2-=-=C C (2)① 6ab =Q 。

C B A 222sin 1613sin sin =+Θ，22216
13c b a =+∴ C ab b a c cos 2222-+=Θ，4,162=∴=∴c c
⎩⎨⎧==∴32b a 或⎩
⎨⎧==∴23b a ②取4.3,2===c b a ，则1)6sin(2)(--=π
ωx x f
由题意得：2,=∴=ωπT ，1)62sin(2)(--=π
x x f
则Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222ππ
π
ππ
， )(3.6Z k k k x ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-∈∴ππππ单调递增。

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