重庆市九龙坡区学年高二上期末数学试卷理科

重庆市九龙坡区2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知点，，则直线AB 的倾斜角是 A(1,3)B(−1,33)()A.B. C. D.60∘30∘120∘150∘【答案】C【解析】解：点，，则直线AB 的斜率：．A(1,3)B(−1,33)3−331+1=−3，． ∴tan α=−3α=120∘故选：C ．直接求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查． 2.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为的是 y =±2x ()A.B. C.D.x 2−y24=1x 24−y 2=1y 24−x 2=1y 2−x24=1【答案】C【解析】解：由A 可得焦点在x 轴上，不符合条件； 由B 可得焦点在x 轴上，不符合条件；由C 可得焦点在y 轴上，渐近线方程为，符合条件； y =±2x 由D 可得焦点在y 轴上，渐近线方程为，不符合条件． y =±12x 故选：C ．对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． 3.下列说法错误的是 ()A. “”是“”的充分不必要条件x >0x ≥0B. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则x 2−3x +2=0x =1x ≠1x 2”−3x +2≠0C. 若为假命题，则p ，q 均为假命题p ∧q D. 命题p ：，使得，则：，均有∃x ∈R x 2+x +1<0￢p ∀x ∈R x 2+x +1≥0【答案】C【解析】解：“”是“”的充分不必要条件，正确，故A 正确， A.x >0x ≥0B.命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”x 2−3x +2=0x =1x ≠1x 2−3x +2≠0正确，C.若为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故C 错误，p ∧q D.命题p ：，使得，则：，均有，正确， ∃x ∈R x 2+x +1<0￢p ∀x ∈R x 2+x +1≥0故错误的是C ， 故选：C ．A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B.根据逆否命题的定义进行判断，C.根据复合命题真假关系进行判断，D.根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的运算和推理能力． 4.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此x 2a2−y 2b 2=12y 2=8x 双曲线的方程是 ()A.B.C.D.x 22−y 24=1x 24−y 22=1x 24−y 24=1x 22−y 22=1【答案】D【解析】解：抛物线的焦点为， y 2=8x (2,0)可得双曲线的，即， c =2a 2+b 2=4由， e =ca =2解得，a =b =2则双曲线的方程为．x 22−y 22=1故选：D ．求得抛物线的焦点，可得双曲线的c ，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5.设m 、n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是 αβ()A. ，， B. ，， α∩β=n m ⊂αm//β⇒m//n α⊥βα∩β=m m ⊥n⇒n ⊥βC. ，，D. ，，m ⊥n m ⊂αn ⊂β⇒α⊥βm//αn ⊂α⇒m//n 【答案】A【解析】解：由m 、n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，知：αβ在A 中，，，，则由线面平行的性质定理得，故A 正确； α∩β=n m ⊂αm//βm//n 在B 中，，，，则n 与相交、平行或，故B 错误； α⊥βα∩β=m m ⊥n βm ⊂β在C 中，，，，由与相交或平行，故C 错误； m ⊥n m ⊂αn ⊂βαβ在D 中，，，则m 与n 平行或异面，故D 错误． m//αn ⊂α故选：A ．在A 中，由线面平行的性质定理得；在B 中，则n 与相交、平行或；在m//n βm ⊂βC 中，由与相交或平行；在D 中，m 与n 平行或异面．αβ本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 6.已知双曲线，直线l 交双曲线于A 、B 两点，若线段AB 的中点坐标为x 24−y 22=1(12，则直线l 的方程为 ,−1)()A.B. C. D.4x +y−1=02x +y =02x +8y +7=0x +4y +3=0【答案】C【解析】解：设以点为中点的弦与双曲线交于，，则P(12,−1)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)x 1+x 2，，=1y 1+y 2=−2分别把，代入双曲线方程双曲线，再相减可得A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)x 24−y22=1(x 1+x 2)(x 1−x 2， )−2(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，∴(x 1−x 2)+4(y 1−y 2)=0k =−y 1−y 2x 1−x 2=−14点为中点的弦所在直线方程为， ∴P(12,−1)y +1=−14(x−12)整理得：． 2x +8y +7=0故选：C ．设以点为中点的弦与双曲线交于，，则，P(12,−1)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)x 1+x 2=1y 1+y 2，分别把，代入双曲线，再相减可得=−2A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)x 24−y 22=1(x 1+x 2)(x 1−x 2，，求出k ，然后求解直线l 的方程即)−2(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0(x 1−x 2)+4(y 1−y 2)=0可．本题考查了双曲线与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于中档题．7.某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示圆柱.表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 ()A.B. C. D.172552【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图： 如图所示：由于底面周长为8， 得到：， 2πr =8解得：，r =4π所以：点M 到N 在下地面上的射影的弧长为， l =90π180⋅4π=2所以：MN 的最小值为． |MN|=22+1=5故选：C ．首先求出底面的半径，进一步利用弧长公式和勾股定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，弧长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 8.椭圆的焦点为，，P为椭圆上一点，若，则x 225+y 216=1F 1F 2∠F 1P F 2=60∘△F 1P F 2的面积是 ()A.B.C. D.16333233163323【答案】A【解析】解：由椭圆，得，，， x 225+y 216=1a =5b =4c =3在中，，△F 1P F 2∵∠F 1P F 2=60∘由余弦定理可得：， ∴|F 1F 2|2=|P F 1|2+|P F 2|2−2|P F 1||P F 2|cos 60∘则，即， 4c 2=(2a )2−3|P F 1||P F 2|36=100−3|P F 1||P F 2|． ∴|P F 1||P F 2|=643的面积是． ∴△F 1P F 2S =12|P F 1||P F 2|sin 60∘=1633故选：A ．由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，然后利用椭圆定义及余弦定理求得，代入三|P F 1||P F 2|角形面积公式求解．本题考查椭圆的简单性质，涉及焦点三角形问题，往往是考查椭圆定义与余弦定理的应用，是中档题．9.如图，在所有棱长均为2的直三棱柱中，D 、E ABC−A 1B 1C 1分别为、的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余B B 1A 1C 1弦值为 ()A. 12B. 32C. 15D.45【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，0，，1，，0，， A(0,−1,0)D(3,1)C(0,0)E(0,2)所以1，，， ⃗AD =(3,1)⃗CE =(0,−1,2)设，的夹角为，⃗AD ⃗CE θ则，cos θ=⃗AD ⋅⃗CE|⃗AD ||⃗CE|=15则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为， 15故选：C ．先建立空间直角坐标系，则有：，0，，1，，0，，所以A(0,−1,0)D(3,1)C(0,0)E(0,2)1，，，设，的夹角为，则，则异面直线⃗AD =(3,1)⃗CE =(0,−1,2)⃗AD ⃗CE θcos θ=⃗AD ⋅⃗CE |⃗AD ||⃗CE|=15AD ，CE 所成角的余弦值为，得解 15本题考查了异面直线所成角，属中档题．10. 动圆M 与定圆C ：相外切，且与直线l ：相切，则动圆x 2+y 2+4x =0x−2=0M 的圆心的轨迹方程为 ()A. B. C.D.y 2−12x +12=0y 2+12x−12=0y 2+8x =0y 2−8x =0【答案】B【解析】解：圆C 的标准方程为，圆心为，半径为2． (x +2)2+y 2=4C(−2,0)如下图所示，设圆M 的半径为r ，则，点M 到直线l 的距离为r ，由题意可知，点M 到|MC|=r +2点C 的距离等于点M 到直线的距离，x =4设动点M 的坐标为，则，化简得． (x,y)(x +2)2+y 2=4−x y 2+12x−12=0因此，动点M 的轨迹方程为． y 2+12x−12=0故选：B ．设动点M 的坐标为，根据题意得知点M 到点C 的距离等于点M 到直线的距(x,y)x =4离，然后利用距离公式列等式可得出点M 的轨迹方程．本题考查动点的轨迹方程，考查距离公式的应用，解决本题的关键在于处理圆与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题．11. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很.多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平(x−a )2+(y−b )2面上点与点的距离结合上述观点，可得M(x,y)N(a,b).f(x)=x 2+4x +20+的最小值为 x 2+2x +10()A.B. C. D.32425272【答案】C【解析】解： f(x)=x 2+4x +20+x 2+2x +10，=(x +2)2+(0−4)2+(x +1)2+(0+3)2表示平面上点与点，的距离和， M(x,0)N(−2,4)H(−1,−3)连接NH ，与x 轴交于，则， M(x,0)M(−107,0)的最小值为， ∴f(x)(−2+1)2+(4+3)2=52故选：C ．，表示平面上点与点f(x)=(x +2)2+(0−4)2+(x +1)2+(0+3)2M(x,0)N(−2,4)，的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．H(−1,−3)本题考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．12. 已知椭圆与双曲线有相同C 1：x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的左、右焦点，，若点P 是与在第一象限内的交点，且，F 1F 2C 1C 2|F 1F 2|=4|P F 2|设与的离心率分别为，，则的取值范围是 C 1C 2e 1e 2e 2−e 1()A.B. C. D.(13,+∞)(13,1)(12,+∞)(12,2)【答案】B【解析】解：设，，由椭圆的定义可得， |P F 1|=m |P F 2|=n m +n =2a 1由双曲线的定可得， m−n =2a 2解得，， m =a 1+a 2n =a 1−a 2由，可得， |F 1F 2|=4|P F 2|n =12c 即，a 1−a 2=12c 由，，可得， e 1=c a 1e 2=c a 21e 1−1e 2=12由，可得， 0<e 1<11e 1>1可得，即， 1e 2>121<e 2<2则，e 2−e 1=e 2−2e 22+e 2=e 222+e 2可设，则， 2+e 2=t(3<t <4)e 222+e 2=(t−2)2t=t +4t −4由在递增，可得． f(t)=t +4t −43<t <4f(t)∈(13,1)故选：B ．运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线：，：平行，则______． l 1x +my +6=0l 23x +(m−2)y +2m =0m =【答案】−1【解析】解：直线：，：平行， l 1x +my +6=0l 23x +(m−2)y +2m =0则， 1×(m−2)−3m =0解得． m =−1故答案为：．−1根据两直线平行时，列方程求出m 的值． A 1B 2−A 2B 1=0本题考查了两直线平行的应用问题，是基础题．14. 在四面体中，面BCD ，，，若四面体A−BCD AB ⊥BC ⊥CD AB =BC =CD =2的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______． A−BCD 【答案】12π【解析】解：，所以，直角的外接圆直径为∵BC ⊥CD △BCD BD =BC 2+CD 2=22．平面BCD ，所以，四面体ABCD 的外接球直径为． ∵AB ⊥2R =AB 2+BD 2=23因此，该球的表面积为． 4πR 2=π×(2R )2=12π故答案为：．12π先计算出直角的外接圆直径BD ，再利用公式可得出外接球的△BCD 2R =AB 2+BD 2直径，再利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．15. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为______． 【答案】163【解析】解：根据几何体的三视图： 转换为几何体，如图所示：所以：． V 三棱锥C−ABD =13⋅12⋅4⋅4⋅2=163故答案为：．163首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的运算求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16. 已知，是椭圆的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点F 1F 2C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)P 在过A 且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C 的37△P F 1F 2∠F 1F 2P =1200离心率为______． 【答案】15【解析】解：如图所示，直线AP 的方程为：，y =37(x +a)直线的方程为：，即P F 2y =tan 60∘⋅(x−c)y =．3(x−c)联立，解得，． {y =37(x +a)y =3(x−c)x =a +7c 6y =3(a +c)6∴P(a +7c 6,3(a +c)6).为等腰三角形，， ∵△P F 1F 2∠F 1F 2P =1200． ∴|P F 2|=|P F 1|=2c ， ∴(a +7c 6−c )2+(3(a +c)6)2=4c 2化为：． a =5c ． ∴e =ca =15故答案为：．15如图所示，直线AP 的方程为：，直线的方程为：y =37(x +a)P F 2y =tan 60∘⋅(x−c)，即联立，解得P 点坐标根据为等腰三角形，y =3(x−c).{y =37(x +a)y =3(x−c).△P F 1F 2∠F 1，可得利用两点之间的距离公式即可得出．F 2P =1200|P F 2|=|P F 1|=2c.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题；命题q ：关于x 的方程有两个不p ：{m|2m >2,m ∈R}x 2−2x +m 2=0同的实数根．若为真命题，求实数m 的取值范围；(1)p ∧q 若为真命题，为假命题，求实数m 的取值范围．(2)p ∨q p ∧q 【答案】解：当命题p 为真时，得分 (1)m >12.…………………………………………(1)当命题q 为真时，则，解得分 △=4−4m 2>0−1<m <1.…………………………(3)若为真，则p 真q 真，p ∧q，解得， ∴{m >12−1<m <112<m <1即实数m 的取值范围为分 (12,1).………………………………………………(5)若为真命题，为假命题，则p ，q 一真一假，(2)p ∨q p ∧q 若p 真q 假，则，解得；分{m >12m ≤−1或m ≥1m ≥1…………………………………(7)若p 假q 真，则，解得分{m ≤12−1<m <1−1<m ≤12.…………………………………(9)综上所述，实数m 的取值范围为分 (−1,12]∪[1,+∞).……………………………(10)【解析】先求出p 和q 为真时，m 的范围，然后再相交；(1)若为真命题，为假命题等价于p ，q 一真一假，按照p 真 q 假和p 假q 真(2)p ∨q p ∧q 两种情况解不等式组再相交．本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18. 已知圆C ：内有一点，直线l 过点P 且和圆C 交于A ，B 两x 2+y 2=8P(−1,2)点，直线l 的倾斜角为．α当时，求弦AB 的长；(1)α=135∘当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．(2)【答案】解：当时，直线l 的方程为：即， (1)α=135∘y−2=−(x +1)x +y−1=0圆心到直线l 的距离，即直线l 过圆心，所以．(0,0)d =|−1+2−1|1+1=0|AB|=42当弦AB 被平分时，，，， (2)P(−1,2)OP ⊥l ∵k OP =−2∴k l =12直线l 的方程为：，即∴y−2=12(x +1)x−2y−5=0【解析】先求出直线l 的方程，由圆心到直线的距离为0知，AB 为圆的直径，故(1)；|AB|=42当弦AB 被点P 平分时，，由此可得直线l 的斜率，再由点斜式可得直线l 的(2)OP ⊥l 方程．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．19. 如图所示，在直三棱柱中，为正三角ABC−A 1B 1C 1△ABC 形，，M 是的中点，N 是中点．A A 1=2A 1C A 1B 1证明：平面；(1)MN//BC C 1B 1若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边(2)N−MAB 3长．【答案】解：证明：如图，连接 C ，(1)B 1是的中点，∵M A 1C又N 是的中点，A 1B 1C ，∴MN//B 1又平面， 平面，MN⊄BC C 1B 1B 1C ⊂BC C 1B 1平面∴MN//BC C 1B 1解：，(2)V N−MAB =V M−ABN 是的中点，∵M A 1C 到平面的距离是C 到平面的距离的一半，∴M AB B 1A 1AB B 1A 1如图，作交AB 于P ，CP ⊥AB 由正三棱柱的性质，易证平面，CP ⊥AB B 1A 1设底面正三角形边长为a ，则三棱锥的高，M−ABN h =12CP =34a ， S △ABN =12×a ×2=a ∴V N−MAB =V M−ABN =13S △ABN ⋅h =312a 2=3解得．a =23故该正三棱柱的底面边长为．23【解析】连接，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；(1)B 1C 设底面边长为a ，转化三棱锥的顶点为M ，利用体积不难列出方程求得a 值． (2)此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．20. 已知抛物线的焦点为F ，点为抛物线上一点，且．y 2=2px(p >0)A(1,m)|AF|=4求抛物线的方程．(1)直线l ：与抛物线交于两个不同的点P 、Q ，若，求实数m 的(2)y =x +m OP ⊥OQ 值．【答案】解：已知抛物线过点，且，，(1)y 2=2px(p >0)A(1,m)|AF|=4∴1+p 2=4，∴p =6故抛物线的方程为；y 2=12x 设，，(2)P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)联立，得，，则． {y =x +m y 2=12x x 2+(2m−12)x +m 2=0∴△=(2m−12)2−4m 2>0m <3且，，x 1+x 2=12−2m x 1x 2=m 2由，则OP ⊥OQ ⃗OP ⋅⃗OQ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2或．=2m 2+m(12−2m)+m 2=0∴m =−12m =0经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不合题意， m =0由，m =−12<2综上，实数m 的值为．−12【解析】由抛物线的定义求出p 的值，从而可得出抛物线的方程；(1)设点，，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，由得出m 的(2)P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)△>0取值范围，并列出韦达定理，将转化为，利用向量数量积的坐标运OP ⊥OQ ⃗OP ⋅⃗OQ=0算，并代入韦达定理求出m 的值，并对答案进行检验可得出最终答案．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，以及韦达定理法在抛物线综合问题中的能力，考查计算能力与转化能力，属于中等题．21. 如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧棱，P−ABCD PAD ⊥PA =PD =2，底面ABCD 为直角梯形，其中，，，O 为PA ⊥PD BC//AD AB ⊥AD AB =BC =1AD 中点．求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值．(1)求B 点到平面PCD 的距离．(2)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角的余弦值为？若存在，求(3)Q−AC−D 63出的值；若不存在，请说明理由． PQ QD【答案】解：在中，O 为AD(1)△PAD PA =PD 中点，所以，PO ⊥AD 又侧面底面ABCD ，平面平面PAD ⊥PAD ∩，平面PAD ，ABCD =AD PO ⊂所以平面ABCD ．PO ⊥又在直角梯形ABCD 中，易得；OC ⊥AD 所以以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP为z 轴建立空间直角坐标系．则0，，，，0，，1，；P(0,1)A(0,−1,0)B(1,−1,0)C(1,0)D(0,0)所以，易证：平面POC ，⃗PB =(1,−1,−1)OA ⊥所以，平面POC 的法向量，⃗OA =(0,−1,0)COS <⃗PB ,⃗OA >=⃗PB ⋅⃗OA |⃗PB ||⃗OA |=33所以PB 与平面POC 所成角的余弦值为 分63….(4)，设平面PDC 的法向量为，(2)⃗PB =(1,−1,−1)⃗u =(x,y,z)则，取得{⃗u ⋅⃗CP =−x +y =0⃗u ⋅⃗PD=y−z =0z =1⃗u =(1,1,1)B 点到平面PCD 的距离分d =|⃗BP ⋅⃗u||⃗u |=33….(8)假设存在，则设 (3)⃗PQ =λ⃗PD(0<λ<1)因为1，，所以．⃗PD =(0,−1)Q(0,λ,1−λ)设平面CAQ 的法向量为b ，，则， ⃗m =(a,c){a +b =0(λ+1)b +(1−λ)c =0所以取， ⃗m =(1−λ,λ−1,λ+1)平面CAD 的法向量0，，⃗n =(0,1)因为二面角的余弦值为， Q−AC−D 63所以，|⃗m ⋅⃗n ||⃗m ||⃗n |=63所以．3λ2−10λ+3=0所以或舍去，λ=13λ=3()所以-------------分PQ QD =12(12)【解析】先证明直线PO 垂直平面ABCD 中的两条相交直线垂直，可得平面(1)PO ⊥ABCD ，建立空间直角坐标系，确定平面POC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值．求出平面PDC 的法向量，利用距离公式，可求B 点到平面PCD 的距离．(2)假设存在，则设，求出平面CAQ 的法向量、平面CAD 的法向(3)⃗PQ =λ⃗PD(0<λ<1)量0，，根据二面角的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得⃗n =(0,1)Q−AC−D 63结论．本题主要考查直线与平面的位置关系、直线与平面所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．22. 已知A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 为椭圆C 的下顶C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)点，F 为其右焦点点M 是椭圆C 上异于A 、B 的任一动点，过点A 作直线轴.l ⊥x 以线段AF 为直径的圆交直线AM 于点A 、N ，连接FN 交直线l 于点点G 的坐.H.标为，且，椭圆C 的离心率为．(−b,0)|PF|⋅|PG|=2612求椭圆C 的方程；(1)试问在x 轴上是否存在一个定点T ，使得直线MH 必过该定点T ？若存在，求(2)出点T 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】解：由题意得(1)|PF|=a,|PG|=2b ，，∴{a ⋅2b =26c a =12∴a =2,b =3所求椭圆的方程为．∴x 24+y 23=1假设在x 轴上存在一个定点，(2)T(t,0)使得直线MH 必过定点，T(t,0)设动点，由于M 点异于A ，B ，故，M(x 0,y 0)y 0≠0由点M 在椭圆上，故有，x 204+y 203=1∴y 20=3(4−x 20)4.①又由知，，(1)A(−2,0)F(1,0)直线AM 的斜率，∴k AM =y 0x 0+2又点N 是以线段AF 为直径的圆与直线AM 的交点，∴AM ⊥FN ．∴k AM ⋅k FN =−1⇒k FN =−1k AM =−x 0+2y 0直线FN 的方程，∴y =−x 0+2y 0(x−1)，即，∴{y =−x 0+2y 0(−2−1)x =−2H(−2,3(x0+2)y 0)，H 两点连线的斜率，∴M k MH =y 0−3(x 0+2)y 0x 0+2=y 20−3(x 0+2)y 0(x 0+2)②将式代入式，并整理得， ①②k MH =−3(x 0+2)4y 0又P ，T 两点连线的斜率．k PT =y 0x 0−t 若直线MH 必过定点，则必有恒成立，T(t,0)k MH =k PT 即，−3(x 0+2)4y 0=y 0x 0−t整理得，4y 20=−3(x 0+2)(x 0−t)③将式代入式，①③得，4×3(3−x 20)4=−3(x 0+2)(x 0−t)解得，故直线MH 过定点．t =2(2,0)【解析】根据题意可得，解得即可， (1){a ⋅2b =26c a =12假设在x 轴上存在一个定点，设动点，直线与直线的垂直的斜率的关(2)T(t,0)M(x 0,y 0)系，以及直线的斜率公式即可求出本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。