四川省绵阳市南山中学2016届高三上学期零诊数学试(理科)

2015-2016学年四川省绵阳市南山中学高三（上）零诊数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则( )
A．A⊇B B．A=B C．A⊆B D．A∩B=ϕ
2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=( )
A．1 B．2 C．4 D．8
3．甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
A． B．y=﹣tanx C．D．y=﹣x3（﹣1＜x≤1）
5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是( )
A．f（x）=﹣x3B．f（x）=+x3C．f（x）=﹣x3D．f（x）=﹣
﹣x3
6．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是( )
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣）
7．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是()
A． B．0 C．D．
8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．B．C．D．
9．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB 的面积分别为，x，y，则的最小值为( )
A．16 B．18 C．20 D．24
10．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm3
11．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）
12．已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，
使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3]D．（﹣∞，3]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.
13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为__________．14．已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=__________．
15．2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为__________ 米．
16．如果f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”，给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f=1；
③若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，则函数y=f（x）是周期函数；
④若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
其中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p为真，且q为假，求实数a的取值范围．
18．已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．
19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．
20．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．
21．已知函数f（x）=mx﹣，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．
（Ⅱ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．
22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
2015-2016学年四川省绵阳市南山中学高三（上）零诊数
学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，则( )
A．A⊇B B．A=B C．A⊆B D．A∩B=ϕ
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合．
【分析】分别化简集合A，B，即可得出结论．
【解答】解：∵，∴A={x|x＞1或x＜0}，
∵2x＜1，∴B={x|x＜0}，
∴B⊆A．
故选：A．
【点评】本题考查利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．
【解答】解：由题意可得=a4a10=16，又数列的各项都是正数，
故a7=4，故a6===2
故选B
【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
3．甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．
若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．
∴甲是乙成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键．
4．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
A． B．y=﹣tanx C．D．y=﹣x3（﹣1＜x≤1）
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．y=在定义域上不是单调函数，
B．y=﹣tanx在定义域上不是单调函数，
C．f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数为减函数，
f（x）===﹣1，则函数f（x）为减函数，满足条件．
D．定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是( )
A．f（x）=﹣x3B．f（x）=+x3C．f（x）=﹣x3D．f（x）=﹣
﹣x3
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求
【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，
当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，
当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．
故选：A．
【点评】本题主要考查了识图能力，数形结合的思想，属于基础题
6．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是( ) A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣）
【考点】单位向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用与向量的方向相反的单位向量=即可得出．
【解答】解：=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），==5．
∴与向量的方向相反的单位向量===．
故选：A．
【点评】本题考查了与向量的方向相反的单位向量=，属于基础题．
7．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是( )
A． B．0 C．D．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数
z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
=F（，）=
∴z
最大值
故选：C
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．B．C．D．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
9．已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB 的面积分别为，x，y，则的最小值为( )
A．16 B．18 C．20 D．24
【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．
【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．
【分析】由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式
==即可得出．
【解答】解：∵，∠BAC=，
∴，∴bc=4．
∴S△ABC===1．
∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．
∴，化为x+y=．
∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．
故的最小值为18．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
10．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm3
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】应用题；函数思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），可表示出盒子的容积，利用导数可求得其最大值．
【解答】解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），
则盒子的容积V=（10﹣2x）（16﹣2x）x=4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），
V'=12x2﹣104x+160=4（3x﹣20）（x﹣2），
当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，
∴x=2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2=144（cm3），
故选：B．
【点评】本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查学生的阅读理解能力及利用数学知识解决问题的能力．
11．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．
【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，
∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），
∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）
极大值
故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．
从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．
故选B．
【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
12．已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3]D．（﹣∞，3]
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g （a）=0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．
【解答】解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，
∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，
∵y=2a2﹣4a，a∈R，
=﹣2，
∴当a=1时，y
最小值
∵函数f（x）=，
f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，
∴值域为[﹣2，6]
∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，
∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，
即﹣1≤a≤3，
故选；C
【点评】本题综合考查了函数的性质，图象，对数学问题的阅读分析转化能力，数形结合的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上. 13．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1，}．
【考点】分段函数的应用；函数的零点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．
【解答】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．
若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，
由log2x=，解得x=．
由log2x=﹣，解得x==．
故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．
14．已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式化简，求出角的大小，然后求解所求函数值．
【解答】解：cos（﹣φ）=，可得sinφ=，
∵|φ|，∴0＜φ，φ=．
tan=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．
15．2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为10（﹣
）米．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】解三角形．
【分析】过B作BD∥AM交MN与D，由三角形的边角关系可得AN，进而在△ABN中由正弦定理可得．
【解答】解：如图过B作BD∥AM交MN与D，
则由题意可得∠NAM=60°，∠NBD=45°，
∠ABD=∠CAB=15°，MN=30，
∴∠ABN=45°+15°=60°，∠ANB=45°﹣30°，
在△AMN中可得AN==，
在△ABN中=，
∴AB=×sin（45°﹣30°）÷=10（﹣）
故答案为：10（﹣）
【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及正弦定理的应用和三角形的边角关系，属中档题．
16．如果f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”，给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f=1；
③若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，则函数y=f（x）是周期函数；
④若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．
【考点】函数的周期性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由条件：f（x+a）=f（﹣x）成立可得：函数f（x）的图象关于直线x=对称，是
轴对称图形，
①根据正弦函数的对称轴即可判断；
②由“P（2）性质”得：f（x+2）=f（﹣x），由奇函数的性质推出函数的周期，由周期性求出f的值；
③由“P（0）性质”和“P（3）性质”列出等式，即可求出函数的周期；
④由“P（4）性质”得f（x+4）=f（﹣x），则f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），由偶函数的性质和图象关于点（﹣1，0）成中心对称，即可得到答案．
【解答】解：若对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，
则函数f（x）的图象关于直线x=对称，是轴对称图形，
①函数y=sinx的对称轴是x=，则具有“P（a）性质”，①正确；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，则f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），
所以f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是4，
由f（1）=1得，f=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，②不正确；
③∵恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f （x+3）=f（﹣x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，且周期为3，③正确；
④∵函数y=f（x）具有“P（4）性质”，则f（x+4）=f（﹣x），
∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），
∵图象关于点（1，0）成中心对称，
∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），
则f（x）=f（﹣x），即f（x）为偶函数，
∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，
∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，
根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增，④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考是新概念的题目，考查函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性的综合应用，主要运用抽象函数性质进行推理判断，难度较大，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p为真，且q为假，求实数a的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】利用“三个二次”的关系和指数函数的单调性对命题p、q进行化简，再根据p为真且q为假，即可求出a的取值范围．
【解答】解：①对于命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，∴△=4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2．
②对于命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，∴3﹣2a＞1，解得a＜1．
∵p为真，且q为假，∴，解得1≤a＜2．
故a的取值范围是[1，2）．
【点评】熟练掌握“三个二次”的关系和指数函数的单调性及命题的真假是解题的关键．
18．已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【专题】综合题；转化思想．
【分析】（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d
由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，
从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；
（II）由（I）可知a n=3﹣2n，
所以S n==2n﹣n2，
进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，
即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，
又k∈N+，故k=7为所求．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．
19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】综合题；数形结合法．
【分析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[﹣2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．
（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，
代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣﹣1，根据g（a）的在[1，+∞）上单
调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．
【解答】解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两实根．
∴，解得a=1，b=﹣2
∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，
f（x）min=f（1）=1，即m=1；
当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10．
（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，
根据韦达定理得到：，即，
∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其对称轴方程为x==1﹣
又a≥1，故1﹣
∴M=f（﹣2）=9a﹣2
m=
则g（a）=M+m=9a﹣﹣1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=
【点评】考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．
20．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．
【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求；
（Ⅱ）由结合
可得，，由余弦定理可
得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，
代入三角形面积公式可求．
【解答】解：（Ⅰ）
=
=:因为ω=2，所以
（Ⅱ）
因为，所以，
则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0
则b=2
从而
【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大．
21．已知函数f（x）=mx﹣，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．
（Ⅱ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）m=1时，令，求导数，证明h（x）在（0，+∞）上为增函数，利用h（1）=0，可得结论；
（Ⅱ）恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，构造函数，只需m小于G（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）m=1时，令，…
，…
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数…
又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根…
（Ⅱ）恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，恒成立，…
令，只需m小于G（x）的最小值，
，…
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，
∴当x∈（1，e]时，G′（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为，
则m的取值范围是…
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数，构造函数求最值是关键．
22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，对判别式讨论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣
x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣2x+2lnx，，
则f（1）=﹣1，f'（1）=2，所以切线方程为y+1=2（x﹣1），
即为y=2x﹣3．
（Ⅱ）（x＞0），
令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，
（1）当△=4﹣8a≤0，即时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当△=4﹣8a＞0且a＞0，即时，由2x2﹣2x+a=0，得，由f'（x）＞0，得或；
由f'（x）＜0，得．
综上，当时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当时，f（x）的单调递增区间是，；单调递减区间是．
（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，
由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，，，
由，可得，，
==1﹣x1++2x1lnx1，
令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=﹣1﹣+2lnx，
由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣＜﹣1，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减，
即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2，
即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．。