新课标精品试题 黑龙江省哈六中2012届高三第二次模拟理科数学试题及答案
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析)新人教A版
2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数代数形式的混合运算．【分析】：化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．【解析】：解：复数=故选C．【点评】：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．2．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）已知抛物线方程为y=4x2，则该抛物线的焦点坐标为（） A．（0，1） B． C．（1，0） D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标．【解析】：解：由题意，x2=，故其焦点在y轴正半轴上，p=．∴焦点坐标为（0，）．故选：B．【点评】：本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的时候注意抛物线的焦点在x轴还是在y 轴．3．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（） A． B． C． D． 4【考点】：向量的模；数量积表示两个向量的夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：本题已知两个向量的模及它们的夹角，求其线性组合的模，宜采取平方法求模，本题中采取了恒等变形的方法间接达到平方的目的．【解析】：解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴====．故选C．【点评】：本题考查向量模的求法，求向量的模一般先求其平方，或者恒等变形，将其拿到根号下平方，以达到用公式求出其值的目的，解此类题时注意总结此规律，这是解本类题的通用方法，切记！4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于（） A． 30 B． 45 C． 90 D． 186【考点】：等差数列．【专题】：压轴题．【分析】：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得a n，进而得到b n，然后利用前n项和公式求解即可．【解析】：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；∴a n=3n，∴b n=a2n=6n，且b1=6，公差为6，∴S5=5×6+=90．故选C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件；（2）若a＞0，b＞0，且，则ab≥4；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则． A． 4 B． 3 C． 2 D． 1【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；充要条件．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：（1）求出cosα≠0的解，可得结论；（2）利用基本不等式可得ab≥8；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则平均数加上常数，样本的方差不变，；（4）由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p，从而可得P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p，由此可得结论．【解析】：解：（1）cosα≠0的充分必要条件是，故（1）不正确；（2）若a＞0，b＞0，且，则，∴ab≥8≥4，故（2）正确；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则平均数加上常数，样本的方差不变，故（3）正确；（4）由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p，∴，故（4）正确，综上知，正确命题为（2）（3）（4）故选B．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查四种条件、基本不等式的运用，考查统计知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（[x]表示不超过x的最大整数）（）A． 4 B． 5 C． 7 D． 9【考点】：程序框图．【专题】：图表型．【分析】：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，不满足然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解析】：解：n=0不满足判断框中的条件，n=1，s=1，n=1不满足判断框中的条件，n=2，s=2，n=2不满足判断框中的条件，n=3，s=3，n=3不满足判断框中的条件，n=4，s=5，n=4不满足判断框中的条件，n=5，s=7，n=5满足判断框中的条件输出的结果为7，故选C．【点评】：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．7．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）如图可能是下列哪个函数的图象（）A． y=2x﹣x2﹣1 B．C． y=（x2﹣2x）e x D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数解析式得出当x＜0时，y=2x﹣x2﹣1有负值，y=有无数个零点，y=，的图象在x轴上方，无零点，可以得出答案．【解析】：解：根据函数的图象得出：当x＜0时，y=2x﹣x2﹣1有负值，故A不正确，y=有无数个零点，故B不正确，y=，y′=，y′==0，x=ey′=＞0，x＞ey′=＜0，0＜x＜e故（0，e）上单调递减，（e，+∞）单调递增，x=e时，y=e＞0，∴y=，的图象在x轴上方，故D不正确，排除A，B，D故选：C【点评】：本题考查了运用函数的图象解决函数解析式的判断问题，整体把握图象，看单调性，零点，对称性．8．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A． B． C． D．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解析】：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．【点评】：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．9．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（） A．（，5） B．（，5） C．（，25） D．（5，25）【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：综合题；导数的概念及应用．【分析】：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解析】：解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3x2+2bx+c，∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，∴f′（x）=3x2+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即，在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，（b+）2+（c﹣3）2表示点A（﹣，3）与可行域内的点连线的距离的平方，点A（﹣，3）到直线3+2b+c=0的距离为=，由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（﹣4.5，6），与点A（﹣，3）的距离为5，∴（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25），故选：D．【点评】：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．10．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为（）A． 96 B． 120 C． 132 D． 240【考点】：计数原理的应用．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果．【解析】：解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为=18，剩下2人选其余主食，方法为=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3=6；若没有人选甲选的主食，方法为=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：C．【点评】：本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是分类讨论．11．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）在平行四边形ABCD中，，且，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（） A．16π B．8π C．4π D．2π【考点】：球内接多面体．【专题】：计算题．【分析】：平行四边形ABCD中，，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，AC为外接球直径，利用，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．【解析】：解：由题意可知，折成直二面角后，AC为外接球直径，因为，所以（2R）2=AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4，R2=1，S=4πr2=4π；故选C【点评】：本题是基础题，考查平行四边形折叠为三棱锥的外接球的表面积，求出球的半径是本题的核心问题，仔细分析，灵活解题．12．（5分）若函数f（x）=|a x+x2﹣x•lna﹣m|﹣2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（）A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：令g（x）=a x+x2﹣x•lna，先讨论a＞1，0＜a＜1求出单调区间，进而判断函数g （x）的极小值，再由y=|g（x）﹣m|﹣2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有2个根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，即可得到m的取值范围．【解析】：解：令g（x）=a x+x2﹣x•lna，g′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，①当a＞1，x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，则g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，x∈（﹣∞，0）时，lna＞0，a x﹣1＜0，所以g′（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；②当0＜a＜1时，x＞0，lna＜0，a x﹣1＜0，所以g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，lna＜0，a x﹣1＞0，所以g′（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．故当a＞0且a≠1时，g（x）在x＜0时递减；g（x）在x＞0时递增，则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1．又函数f（x）=|g（x）﹣m|﹣2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有二个根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，解得m∈（﹣1，3），故选A．【点评】：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于﹣270 ．【考点】：二项式定理的应用．【分析】：根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r 的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．【解析】：解：在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，又由题意可得，（﹣2）n=﹣32，则n=5，则（﹣3）5的展开式的通项为T r+1=C5r（）5﹣r（﹣3）r，令5﹣r=2，可得r=3，则含的为T4=C53（）2（﹣3）3=﹣270，故答案为﹣270．【点评】：本题考查二项式系数的性质，关键是用赋值法求出n的值，由此得到该二项式展开式的通项．14．（5分）某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是2（π+）．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：首先判断三视图复原的几何体的形状，然后利用三视图的数据，求出几何体的表面积．【解析】：解：三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，如图，圆锥的底面半径为1，母线长为2，该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，高为：．S=2S截面+S圆锥侧=2××+π×1×2=．故答案为：．【点评】：本题是中档题，考查三视图与直观图的关系，直观图的表面积的求法，三视图复原的几何体的形状是解题关键，考查计算能力，空间想象能力．15．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）已知S n和T n分别为数列{a n}与数列{b n}的前n项的和，且a1=e4，S n=eS n+1﹣e5，a n=e bn（n∈N*）．则当T n取得最大值时，n的值为4或5 ．【考点】：数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：根据数列性质得出=，n≥2，=．数列{a n}是等比数列．得出b n=lne5﹣n=5﹣n．运用等差数列公式判断即可．【解析】：解：S n和T n分别为数列{a n}与数列{b n}的前n项和，S n=eS n+1﹣e5，S n﹣1=eS n﹣e5，n≥2，相减得出：a n=ea n+1，=，n≥2，∵a1=e4，S n=eS n+1﹣e5，∴a2=e3，=．∴数列{a n}是等比数列．a n=e5﹣n，∵a n=e bn（n∈N*）．∴b n=lne5﹣n=5﹣n．∵b n+1﹣b n=﹣1．∴数列{b n}是等差数列．∴T n==，对称轴n=根据函数的性质得出：n=5，n=4时最大值．故答案为：4或5．【点评】：本题考查了数列的性质，判断数列的等比性，求和公式的运用，结合函数的性质判断单调性，最值．属于中档题．16．（5分）（2015•哈尔滨校级二模）在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则= ．【考点】：余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】：综合题；解三角形．【分析】：利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．【解析】：解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以bc，得﹣3×﹣1=0，③，解③得=或=（舍），所以=．故答案为．【点评】：本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015•哈尔滨校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若函数的值域．【考点】：余弦定理；正弦函数的图象．【专题】：解三角形．【分析】：（I）由，利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，可得cosA=．（II）y=sinB+sin=2，利用锐角三角形的性质可得，再利用正弦函数的单调性即可得出．【解析】：解：（I）由，利用正弦定理可得2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A∈，∴．（II）y=sinB+sin=sinB+cosB=2，∵B+C=，，∴，∴，∴∈，∴y∈．【点评】：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生 2100人 120人 y人社会人士 600人 x人 z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．（Ⅱ）由题设知第一组在校学生人数ξ=1，2，3，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解析】：解：（I）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴=0.05，解得x=60．…（2分）∴持“无所谓”态度的人数共有3600﹣2100﹣120﹣600﹣60=720．…（4分）∴应在“无所谓”态度抽取720×=72人．…（6分）（Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为=4人，社会人士为=2人，于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3，…（8分）P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，即ξ的分布列为：ξ 1 2 3P…（10分）∴Eξ=1×+2×+3×=2．…（12分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．19．（12分）（2015•哈尔滨校级二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（1）求证：CD⊥平面CPAC；（2）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所E，F成角的正弦值为，求的值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】：（1）根据AB=AC=2，BC=2便得到AB⊥AC，从而CD⊥AC，而由PA⊥底面ABCD便得到CD⊥PA，由线面垂直的判定定理从而得出CD⊥平面PAC；（2）三条直线AB，AC，AP两两垂直，从而可以这三条直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可求出A，B，C，D，M，P的坐标．可设N（x，0，0），平面MAB的法向量设为，而由即可求出，设直线CN和平面MAB所成角为α，从而由=即可求得x，从而求出AN，NB，从而求出．【解析】：解：（1）证明：AB=AC=2，BC=2；∴AB⊥AC；CD∥AB；∴CD⊥AC；PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD；∴PA⊥CD，即CD⊥PA，AC∩PA=A；∴CD⊥平面PAC；（2）如图以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系；则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0）；因为M是棱PD的中点；所以M（﹣1，1，1）；∴，；设为平面MAB的法向量；∴；∴，令y=1，则；∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），（0≤x≤2），；设直线CN与平面MAB所成角为α；因为平面MAB的法向量；所以sinα===；解得x=1，或﹣1（舍去）；∴AN=1，NB=1；所以．【点评】：考查直角三角形边的关系，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角的方法，能求空间点的坐标，理解平面法向量的概念，两向量垂直的充要条件，以及直线和平面所成角和直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，两向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．【考点】：圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=﹣2y H=﹣4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值．法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．【解析】：解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=，∴，∴抛物线C的方程为y2=x．（2分）（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2y H=﹣4．（5分）∴．（7分）法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，∴直线HA的方程为，联立方程组，得，∵∴，．（5分）同理可得，，∴．（7分）（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，∴，，（9分）∴直线AB的方程为，令x=0，可得，∵，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当y0=1时，t min=﹣11．（12分）法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．（9分）当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），∵，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当m=1时，t min=﹣11．（12分）【点评】：本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）将f（x）的表达式重新组合，即f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，分别研究函数m（x）=（2﹣a）（x﹣1），h（x）=2lnx，x＞0，讨论当a＜2时和当a≥2时的情况．（2）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域；对于f（x），讨论当a＜2时和当a≥2时的情况，只有当f（x）在（0，e]上不单调的情况才可能满足题意，结合着g（x）的值域，和数形结合，要使在（0，e]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实根，只需满足，即，进一步通过求导的方法证明当a≤2﹣时，a+ln（2﹣a）﹣ln2≤0恒成立，从而确定a的取值范围．【解析】：解：f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）令m（x）=（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）=2lnx，x＞0，则f（x）=m（x）﹣h（x），①当a＜2时，m（x）在（0.）上为增函数，h（x）在（0，）上为增函数，结合图象可知，若f（x）在（0，）无零点，则m（）≥h（），即（2﹣a）×（﹣1）≥2ln，∴a≥2﹣4ln2，∴2﹣4ln2≤a＜2．②当a≥2时，在（0，）上，m（x）≥0，h（x）＜0，∴f（x）＞0，∴f（x）在（0，）上无零点．由①②得a≥2﹣4ln2．∴a min=2﹣4ln2；（2）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．∵f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，∴f′（x）=2﹣a﹣=．①当a≥2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]单调递减，且f（1）=0，不符合题意，②当a＜2时，令f′（x）=0，x=，i）当≥e时，即当2﹣≤a＜2时，f′（x）＜0，不符合题意．ii）＜e时，即当a＜2﹣时，令f′（x）＞0，则＜x＜e；令f′（x）＜0时，则0＜x＜，又∵当x∈（0，）∩（0，）时，f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＞a﹣2﹣2lne=1，∴要使f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不相等的实根，需使即下证：当a≤2﹣时，a+ln（2﹣a）﹣ln2≤0恒成立，设t（x）=x+ln（2﹣x）﹣ln2，x≤2﹣，则t′（x）=+=，当x∈（﹣∞，0）时，t′（x）≥0，x∈（0，2﹣）时，t′（x）＜0．∴t（x）≤t（0）=0．∴a+ln（2﹣a）﹣ln2≤0恒成立，又∵2﹣＞2﹣，∴a≤2﹣．综上，得a∈（﹣]．【点评】：本题难度较大，较灵活，第一问是将原函数分成两个函数的差，再进一步通过数形结合进行谈论研究，学生也可以直接用求导的方式讨论研究．第二问中需要多次分类讨论和数形结合的思想给出思路的方向，并利用求导的方法进行验证研究，对于学生来说是一个难题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】：圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF ∥CD．【解析】：解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【点评】：本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•哈尔滨校级二模）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：选作题；坐标系和参数方程．【分析】：（1）消去参数，可得曲线C1的普通方程，利用曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，可得曲线C2的普通方程；（2）曲线C1的极坐标方程为，代入，可得的值．【解析】：解：（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．【考点】：绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．【分析】：（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．【解析】：解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，解之得x；②当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解；③当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f（x ）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）+（x﹣5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（﹣∞，4）．【点评】：本题给出含有绝对值的对数形式的函数，求函数的定义域并讨论不等式恒成立．着重考查了函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法与性质等知识，属于中档题．- 21 -。
黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析
黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。
2012年高考理科数学(新课标卷)试题及答案
2012年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54 【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为11312O ABC V -==，26S ABC O ABC V V --== 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1l n 2-.所以d=1x e x -=，min d =所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b2410=-=+b，解得=b14. 设yx,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-31yxyxyx则yxZ2-=的取值范围为.【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y=-经过点()1,2时，Z取最小值3-；当直线2Z x y=-经过点()3,0时，Z取最大值3.故2Z x y=-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{na满足12)1(1-=-++naannn，则}{na的前60项和为.【解析】1830.由1(1)21nn na a n++-=-得，22143k ka a k--=-……①21241k ka a k+-=-……②,再由②-①得,21212k ka a+-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a-=-+-+-+奇偶…()6059a a+-159=+++ (117)+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为0x =.所以坐标原点到m ，n3=.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++- ()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第二次模拟考试 理综
哈尔滨市第六中学校2012届第二次模拟考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷第33－40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 Fe 56 Cu 64 Ca 40 Al 27 Cl 35.5第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.物质进出细胞的方式有跨膜运输（自由扩散、协助扩散和主动运输）和非跨膜运输（胞吞和胞吐），下列有关叙述正确的是（）A．胞吞和胞吐体现了膜的流动性特点B．只有协助扩散需要载体C．只有主动运输需要消耗能量D．只有协助扩散是顺浓度梯度进行2.下列实验中，既需要使用显微镜，也需要染色剂染色的是（）A．叶绿体中色素的提取和分离B．观察紫色洋葱表皮细胞的质壁分离与复原C．观察DNA和RNA在细胞中的分布D．探究酵母菌的细胞呼吸方式3. 在二倍体生物的有性生殖过程中，双亲通过生殖细胞分别向子代传递了（）A．双亲的遗传性状B．精原细胞和卵原细胞中全部的染色体C．细胞中的全部DNA D．每对同源染色体中的一条染色体4.下列关于真核细胞蛋白质的合成的叙述正确的是（）A.遗传信息的传递方向是：DNA→mRNA→蛋白质的氨基酸序列B.转录和翻译过程碱基互补配对的方式相同C.一种密码子可以与多种反密码子发生碱基互补配对D．转录时DNA聚合酶能识别DNA中特定碱基序列5.假设你流落荒岛，随身尚存的食物只有一只母鸡，15kg玉米，下列哪种策略能让你维持更长时间来等待救援？A．先吃玉米，同时用一部分玉米喂鸡，吃鸡肉B．先吃鸡，然后吃玉米，减少鸡的能量消耗C．先吃玉米，同时用一部分玉米喂鸡，吃鸡蛋D．玉米只用来喂鸡，每天吃鸡蛋6.右图表示两种不同抗原刺激机体所引起的免疫强度的变化，下列有关叙述错误的是（）A．A抗原再次侵入机体免疫强度增强主要是由于记忆细胞的增殖分化引起的B．参与图中免疫反应的细胞都起源于胸腺，具有识别、呈递抗原及增殖分化的功能C．记忆细胞对抗原的识别作用具有特异性，所以首次注射B抗原免疫强度弱于二次注射A抗原D．不同记忆细胞记忆的时间不同，所以有些疫苗要多次注射才能产生较长时间的免疫能力7.具有一定化学素养的公民，在工作和生活中就比较容易识破某些据有“噱头”性质的广告宣传或不合实际甚至具有欺诈性的宣传，下列有关媒体的报道无错误的是（）A.“白雪牌”漂粉精可令所有有色物质黯然失“色”，没有最白，只有更白B.这种物质具有神奇的功能，将少量的该物质加入水中可以使水大量地转化为汽油C.灾后防疫部门利用明矾对饮用水进行消毒杀菌，从而解决了灾民饮水安全问题D. 该科研机构改进了一种用植物秸秆生产乙醇的新工艺8. 下列各组有机化合物中，肯定属于同系物的一组是（）A．C3H6与C5H10 B．C3H8与C5H12C．C4H6与C5H8D．C2H2与C6H69.对有机物：的叙述不正确的是（）A．常温下，与Na2CO3溶液反应放出CO2B．能发生碱性水解，1mol该有机物完全反应消耗8molNaOHC．与稀H2SO4共热，生成两种有机物D．该有机物的分子式为C14H10O910．已知：25°C时，K sp[Mg(OH)2]＝5.61×10－12，K sp[MgF2]＝7.42×10－11。
哈六中届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)
哈尔滨市第六中学2015届高三第二次模拟考试（理）试卷综述：命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。
试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。
注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义 【答案】D 【解析】∵==1﹣i ，∴数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．故选D ．【思路点拨】利用复数的代数运算将转化为1﹣i ，即可判断它在复平面内的位置．2. 已知抛物线方程为24y x =，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A . )1,0( B . )161,0( C . )0,1( D . )0,161( 【知识点】抛物线的简单性质H7 【答案】B【解析】由题意，x 2=，故其焦点在y 轴正半轴上，p=． ∴焦点坐标为（0，）．故选：B ．【思路点拨】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标．3. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=（ ）A .B .C . 4D . 13【知识点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模F3【答案】A 【解析】∵均为单位向量，它们的夹角为60°,∴||=1，||=1，=cos60°,∴||===,故选A ．【思路点拨】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30 B ．45 C ．90 D ． 186 【知识点】等差数列D2 【答案】C【解析】设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得，解得；∴a n =3n ，∴b n =a 2n =6n ，且b 1=6，公差为6，∴S 5=5×6+=90．故选C ．【思路点拨】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，解出a 1，d ，可得a n ，进而得到b n ，然后利用前n 项和公式求解即可． 5. 下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件；（2）|cos ||sin |)(x x x f +=，则)(x f 的最小正周期是π; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （4）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-. A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；充要条件 【答案】C【解析】（1）cosα≠0的充分必要条件是，故（1）不正确；（2）|cos ||sin |)(x x x f +=，则)(x f 的最小正周期是2π;，故（2）不正确；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则平均数加上常数，样本的方差不变，故（3）正确；（4）由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p，∴，故（4）正确，综上知，正确命题为（3）（4）故选C．【思路点拨】（1）求出cosα≠0的解，可得结论；（2）利用基本不等式可得ab≥8；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则平均数加上常数，样本的方差不变，；（4）由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p，从而可得P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p，由此可得结论．6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（[]x表示不超过x的最大整数）（）A. 4B. 5C. 7D. 9【知识点】循环结构【答案】C【解析】n=0不满足判断框中的条件，n=1，s=1，n=1不满足判断框中的条件，n=2，s=2，n=2不满足判断框中的条件，n=3，s=3，n=3不满足判断框中的条件，n=4，s=5，n=4不满足判断框中的条件，n=5，s=7，n=5满足判断框中的条件输出的结果为7， 故选C ．【思路点拨】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，不满足然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．7.下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A . 221x y x =--B . 2sin 41x xxy =+ C . 2(2)x y x x e =-D . ln x y x=【知识点】函数的图象 【答案】C【解析】根据函数的图象得出：当x ＜0时，y=2x ﹣x 2﹣1有负值，故A 不正确，y=有无数个零点，故B 不正确， y=，y′=，y′==0，x=ey′=＞0，x ＞ey′=＜0，0＜x ＜e故（0，e）上单调递减，（e，+∞）单调递增，x=e时，y=e＞0，∴y=，的图象在x轴上方，故D不正确，排除A，B，D故选：C【思路点拨】根据函数解析式得出当x＜0时，y=2x﹣x2﹣1有负值，y=有无数个零点，y=，的图象在x轴上方，无零点，可以得出答案．8.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b.则方程22221x ya b+=表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（）A.12B.1532C.1732D.3132【知识点】椭圆的简单性质【答案】B【解析】∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．【思路点拨】表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．9.已知函数32()f x x bx cx d =+++(,,b c d 为常数), 当(0,1)x ∈时()f x 取得极大值, 当(1,2)x ∈时()f x 取得极小值, 则221()(3)2b c ++-的取值范围是（ ）A . ⎫⎪⎪⎭B .)C . 37,254⎛⎫⎪⎝⎭D . (5,25)【知识点】利用导数研究函数的极值 【答案】D【解析】∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，∴f′（x ）=3x 2+2bx+c ，∵函数f （x ）在x ∈（0，1）时取得极大值，当x ∈（1，2）时取极小值， ∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即，在bOc 坐标系中画出其表示的区域，如图，（b+）2+（c ﹣3）2表示点A （﹣，3）与可行域内的点连线的距离的平方， 点A （﹣，3）到直线3+2b+c=0的距离为=，由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（﹣4.5，6），与点A （﹣，3）的距离为5，∴（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25），故选：D．【思路点拨】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．10. 2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级.某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为（）A. 96B. 120C. 132D.240【知识点】计数原理的应用【答案】C【解析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为=18，剩下2人选其余主食，方法为=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3=6；若没有人选甲选的主食，方法为=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：C．【思路点拨】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果。
黑龙江省哈三中2012届高三第二次模拟理科数学试题
2012年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
（4）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
参考公式：圆锥侧面积。
第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知复数，则复平面内表示z的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合，，则A．P B．Q C．D．3．二项式的展开式中，含x4的项的系数为A．5 B．10C．-5 D．-104．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．3 B．C．D．5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为A．k > 4？B．k > 5？C．k > 6？D．k > 7？6．已知数列为等差数列，且，则A．B．C．D．7．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为A．B．C．D．8．已知是周期为2的奇函数，当时，。
设，，，则A．B．C．D．9．函数在上有零点，则实数m的取值范围是A．B．C．D．10．数列满足，则A．B．C．D．11．已知点P是双曲线右支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，I是PF1F2的内心，成立，则A．B．C．D．12．若直角坐标平面内P、Q两点满足条件：①点P、Q都在函数的图象上；②点P、Q关于原点对称，则称（P、Q）是函数的一个“和谐点对”（点对（P、Q）与（Q、P）可看做同一个“和谐点对”）。
哈三中高考二模考试理科数学参考答案
2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13. 1- 14. 2 15. []1,0 16. (]3,2三、解答题：17. (Ⅰ)整理得21=--n n a a ……………………………… 4分 又11=a 得12-=n a n ……………………………… 6分(Ⅱ)由（1）知 )121121(21+--=n n b n …………………………… 8分 所以12+=n nT n …………………………………… 12分 18. 解: (Ⅰ) 第六组08.0=p ···························2分 第七组06.0=p ···························4分 估计人数为180 ··························6分 (Ⅱ) X 可能的取值为0,1, 2, 3. ························7分425)0(3935===C C x P 4220)1(392514===C C C x P 4215)2(391524===C C C x P 422)3(3934===C C x P 所以X 的分布列·············10分)(X E =34. ····················· 12分 19.(Ⅰ) ,//CD AB ,AD CD ⊥22===AB CD AD ，F 分别为CD 的中点，ABFD ∴为矩形，BF AB ⊥ ················· 2分 EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF AB CD AB ⊥∴,// ⊥∴=AE E EF BF , 面BEF ,⊂AE 面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF ····················· 4分(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF PD //，PD AB CD AB ⊥∴,//又PD AB ⊥,所以⊥AB 面PAD ,PA AB ⊥ ··················6分 法一：建系AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴,)0,2,0(),0,0,1(D B ),0,0(a P ，)0,2,2(C ,)2,1,1(aE平面BCD 法向量1(0,0,1)n =，平面EBD 法向量)2,,2(2-=a a n ··········9分]22,21[452cos 2∈+=a θ，可得]5152,552[∈a . ·············12分 法二：连AC 交BF 于点K ,四边形ABCF 为平行四边形，所以K 为AC 的中点，连EK ,则PA EK //,⊥EK 面ABCD ,EK BD ⊥,作BD KH ⊥于H 点，所以⊥BD 面EKH ,连EH ,则EH BD ⊥,EHK ∠即为所求 ············· 9分在EHK Rt ∆中，515221=⨯=HK ,]3,1[25512tan ∈==a aθ解得]5152,552[∈a ·············12 分 20. (Ⅰ)由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+21143322222a c c b aba 解得42=a ，32=b ，方程为13422=+y x ·······3 分 (Ⅱ) 设),(),,(2211y x B y x A ，则)3,2(),3,2(2211y x Q y x P （1）当直线l 的斜率存在时，设方程为m kx y +=⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 联立得：0)3(48)43(222=-+++m kmx x k 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+=∆22212212243)3(44380)43(48k m x x k km x x m k ① 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得：0432121=+y y x x · 整理得：04)(4)43(221212=++++m x x km x x k ②将①式代入②式得：22243m k =+, ··········· 6 分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线m kx y +=的距离21km d +=2222222221223414334143433411m mk k m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=·········· 8 分所以32322122===∆mm d AB S OAB·········· 10 分 (2) 当直线l 的斜率不存在时，设方程为m x =（22<<-m ）联立椭圆方程得：4)4(322m y -=代入0432121=+y y x x 得到04)4(3322=--m m 即552±=m ，5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB 综上：OAB ∆的面积是定值3又ODE ∆的面积33221=⨯⨯=，所以二者相等. ·······12分 21. (Ⅰ) 由原式b x xx ≥--⇔ln 11， ················ 1分 令xxx x g ln 11)(--=，可得)(x g 在(]1,0上递减，在[)+∞,1上递增，所以0)1()(min ==g x g即0≤b ···············3分（Ⅱ）)0(,ln 2)(>-='x x ax x f x x a x f ln 2,0)(≥≥'得令，x x x h ln )(=设，时当e x =e x h 1)(max=ea 21≥∴当时，函数)(x f 在),0(+∞单调递增 ···············5分e a 210<<若，x a x g x x ax x g 12)(),0(,ln 2)('-=>-=a x x g 21,0)('==，0)(),,21(,0)(),21,0(//>+∞∈<∈x g a x x g a xax 21=∴时取得极小值即最小值 时而当e a 210<< 021ln 1)21(<-=aa g ，必有根0)(/=x f ，)(x f 必有极值，在定义域上不单调··············8分 ea 21≥∴ ················9分 （Ⅲ）由(I)知xxx g ln 11)(+-=在(0,1)上单调递减∴11<<<y x e时，)()(y g x g >即y y x x ln 1ln 1+<+ ················ 10分而11<<<y x e时，0ln 1,0ln 1>+∴<<-x x x y x y ln 1ln 1++<∴ ··············· 12分 22.（I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠，∴EDF ∆∽PAE ∆∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅···5分 （II ）3=BE ，29=CE ，415=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ·······10分 23.（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为：)4sin(22πθρ+= ·········5 分（Ⅱ）圆心到直线距离为1，圆半径为2，所以弦长为2 ··········· 10分 24.（Ⅰ）0)(>x f 的解集为：),32()4,(+∞⋃--∞ ·········· 5分 （Ⅱ）213-<a ·········· 10 分。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x 对称得：|PQ |最小值为．故选：B ．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算；9S ：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得 故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x ，y 满足约束条件：；则z=x ﹣2y 的取值范围为 ．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x ﹣2y 可得，y=，则﹣表示直线x ﹣2y﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形可求z 的最大与最小值，从而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x ﹣2y 可得，y=，则﹣表示直线x ﹣2y ﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合函数的图形可知，当直线x ﹣2y ﹣z=0平移到B 时，截距最大，z 最小；当直线x ﹣2y ﹣z=0平移到A 时，截距最小，z 最大由可得B （1，2），由可得A （3，0）∴Z max =3，Z min =﹣3则z=x ﹣2y ∈[﹣3，3] 故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii ）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD ﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD ∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln （a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．祝福语祝你考试成功!。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高三数学第二次模拟考试试题理
- 1 -高三数学第二次模拟考试试题理考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足3(1)()2izii??? (i为虚数单位)，则z的共轭复数为( ) A．1i? B．12i? C．1i? D．12i?2．已知集合A={x|2()lg(6)fxxx???}，B={x|()gx=xm?}，若AB??I，则实数m的取值范围是( )A．(?∞，3) B．(?2，3) C．(?∞，?2) D．(3，+∞)3．已知双曲线22221xyab??(a>0，b>0)的右顶点与抛物线2y=8x的焦点重合，且其离心率e=32，则该双曲线的方程为( )A22145yx?? B22154xy?? C22145xy?? D22154yx??4．已知在各项均为正数的等比数列{n a}中，13aa=16，3a+4a=24，则5a=( ) A．128 B．108 C．64 D．32- 2 -5．已知?是第四象限角，且1sin cos5????，则tan2?=( )A13 B13? C12 D12?6．已知命题p：存在nR?，使得()fx=22nn nx?是幂函数，且在(0,)??上单调递增；命题q：“2,23xRxx????”的否定是“2,23xRxx????”．则下列命题为真命题的是( )A．pq? B．pq?? C．pq?? D．pq???7．函数()fx=2ln||2xx?的图象大致为( ) ABCD8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”，执行该程序，若输入6n?，则输出C=( ) A．5 B．8C．13 D．219．从,,,,ABCDE五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A．51种 B．45种C．42种 D．36种10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )- 3 -A14? B34?C12? D32?11．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆22221xyab??上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A51(0,)2? B51(,1)2?C．31(,1)2? D．31(0,)2?12．已知()fx?为函数()fx的导函数，且()fx=212x?(0)f x+(1)f?1x e?，()gx= ()fx?212xx?，若方程2()xgxa??x=0在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数a的取值范围是（）A． (0，1] B．(?∞，?1] C． (?∞，0)∪{1} D．[1，+∞)第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(iii)不能同时关闭3号阀门和4号阀门．现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是14．若实数x，y满足约束条件42yxyxyk??????????，且22xy????的最小值为4?，则k=15．若9290129(1)(1)(1)xaaxaxax????????L，则7a的值为- 4 -16．已知首项为13的数列{n a}的前n项和为n S，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数()fx，对任意的x，y∈R，都有()fx·()fy=()fxy?．若点(n，n a)(n∈N*)在函数()fx的图象上，且不等式2m+23m<n S对任意的n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为______________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)在ABC?中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足(2)coscoscbAaB??．（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且满足2,23BDDCAD??uuuruuur，3,b?求a．18．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD中，//ABCD，,EF分别为底,ABCD 上的点，且EFAB?，112,22EFEBFCEAFD????，沿EF将平面AEFD折起至平面AEFD?平面EBCF，如图2所示．（1）求证：平面ABD⊥平面BDF；（2）若二面角B?AD?F的大小为60°，求EA的长度．图图1 图2- 5 -19．(本小题满分12分)小张经营一个抽奖游戏。
黑龙江哈尔滨第六中学高三第二次模拟考试数学理科
111 14.函数f (x) (x 21)1(x 1)的反函数为( A . f 1(x) C . f 1(x)5.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践, 可自由选择，则不同的分配方案有(1(x 1),x —1(x > 1)B . f 1(x) D . f 1(x).X 1(x > 1) .x _1(x1)其中工厂甲必须有班级去, 每班去何工厂哈尔滨市第六中学2009届高三第二次模拟考试数学(理工类)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第I 卷(选择题共60分)注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真 核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2 •每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3•本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式： 如果事件AB 互斥，那么P(A B) P(A) P(B) 如果事件A,B 相互独立，那么 P(A B) P(A) P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率R k C ：P k、选择题球的表面积公式 4 R 2 ，其中R 表示球的半径 球的体积公式VR 3, 其中R 表示球的半径1. cos( )4 6■■ 6 一 2A .44 2 2i 2. 计算(——1 .3)2的值为( 2、、3iC ./31 1 ”是“ 一1 ”成立的aA .充分不必要条件C .充分必要条件3. “aB .必要不充分条件 D .既非充分也非必要条件<6 <3 C.-2第U 卷注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码 .请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 .2. 请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3 .本卷共10小题，共90分.A . 16 种B . 18 种C . 37 种D . 48 种u r ur r r ur r r u r6•已知| p | 2、、2,|q|3, p 与q 的夹角为一,则以 a 5p 2q, b P 3q 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为( )A . ,15B . 14C . 15D . 16 7.连续掷--枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6) o 现定义数列设S n 是其前n 项和，那么S 5 3的概率是(1,点数不是3的倍数80A.-243243C .竺243D .40 2438.各项均为正数的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S n 2,务14 ,则S 4n 等于(A . 169.已知球 面距离为B . 26O 的半径为2cm , A 、B 、C 为球面上三点, 2——cm ，那么三棱锥 O —ABC 的体积为(32 3 3cm32 3cm 310.已知函数f(x)的导数 f (x)a(x 1)(x A . (, 1) 1,0)C . 30A 与 C .D . 80B , B 与C 的球面距离都是 cm , A 与C 的球4 3 3cm3D .4 3cm 3a),若f (x)在x a 处取到极大值,则 a 的取值范围是()11.在Rt △ ABC 中，AB=AC=1，若一个椭圆通过 AB 上，则这个椭圆的离心率为(C . (0,1)(0,)A 、B 两点，它的一个焦点为点C ,另一个焦点在线段12. 对于函数f(x)x 1 、丄 厂，设f 2(x)f[f(x)], f 3(x)f[f 2(X )],L , f n 1(x)f[f n (x)] (nN 且2),令集合Mx f 2009 (x) x, xR ，则集合M 为( )A .空集B.实数集C.单元素集D.二元素集二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.3BX 1 , X 2若| X 1 X 2 |的最小值为③函数y f (x)的图象与直线 ,则的值为2,的值为i ； x a 至多有一个交点；④函数y 2sin(2x )的图象的一个对称点是(一 ,0).6 12其中正确命题的序号是 _______________________ 。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高三数学第二次模拟考试试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．在复平面内，复数i iz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于A .第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. 已知抛物线方程为24y x =，则该抛物线的焦点坐标为A . )1,0(B .)161,0( C . )0,1( D . )0,161( 3. 已知,a b r r均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=r rA .B .C . 4D . 134. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A ．30B ．45C ．90D ． 186 5. 下列命题中正确命题的个数是（1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件；（2）|cos ||sin |)(x x x f +=，则)(x f 的最小正周期是π; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （4）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-.A ．4B ．3C ．2D ．16．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 （[]x 表示不超过x 的最大整数）yxA . 4B . 5C . 7D . 97.下图可能是下列哪个函数的图象A . 221x y x =--B .2sin 41x xx y =+ C . 2(2)xy x x e =-D .ln x y x =8.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离A .12B .1532C .1732D .31329.已知函数32()f x x bx cx d =+++(,,b c d 为常数), 当(0,1)x ∈时()f x 取得极 大值, 当(1,2)x ∈时()f x 取得极小值, 则221()(3)2b c ++-的取值范围是 A. ⎫⎪⎪⎭ B. )C .37,254⎛⎫⎪⎝⎭ D . (5,25)10. 2015年开春之际，六中食堂的伙食在百升老师的带领下进行了全面升级.某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食.每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种.花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为A . 96B . 120C . 132D .24011.在平行四边形ABCD 中，220,240AB BD AB BD ⋅=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，若将其沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BDC A -的外接球的表面积为A ．π16B .π8C .π4D .π212. 若函数2()|ln |2x f x a x x a m =+---，（0a >且1a ≠）有两个零点，则m 的取值范围是A . (1,3)-B .(3,1)-C .(3,)+∞D .(,1)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13.在3)n-()n N *∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于 .14. 如图是某几何体的三视图，其中正视图 是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径 为1的半圆，则该几何体的表面积是_________.15. 已知n S 和n T 分别为数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，且41a e =，51n n S eS e +=-，n b n a e =（*n N ∈）.则当n T 取得最大值时，n 的值为____________.16．在ABC ∆中,sin cos 2)sin(,sin 32sin 22C B C B A A =-=则=AB AC ________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且A Ca cb cos cos 2=-. （I ）求角A 的大小；（II 求函数)6sin(sin 3π-+=C B y 的值域.18．（本小题满分12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问正视图 俯视图D而且已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0。
黑龙江哈尔滨第六中学高三第二次模拟考试数学理科
哈尔滨市第六中学2009届高三第二次模拟考试数学（理工类）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n k k k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题 1.cos()46ππ+=( )A B C - D ． 2.计算2的值为( )A ．1+B ．2-C ．1-D ． i3.“1a >”是“11a<”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）A ．1()11)f x x -=+>B ．1()11)f x x -=-≥C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)f x x -=->5.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种6.已知|||3,,52,34p q p q a p q b p q π===+=-u r r u r r r u r r r u r r 与的夹角为则以 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）AB ．14C ．15D ．167.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)。
黑龙江省哈六中高三数学第二次模拟考试试题 文
哈尔滨市第六中学2013届高三第二次模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120 分钟1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 做答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3. 做答第II 卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无 效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I 卷（选择题共60分）一、选择題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合A = {x|lg(x-3)≤0},B = {x|x2-5x + 4<0}则A B=( )(A) (1，4)(B) (1，4](C) (∞-4](D) (∞-4)2.已知R a ∈，若复数i ia z +-=12为纯虚数，则=-|3|ai （ ）（A ）13 （B ）13 （C ）10 （D ）10 3.己知向: b a ,满足0.=b a ，)4,3(-=-b a 则||b a +=( )(A) 25 (B) 5 (C) 3 (D) 44.己知),0(π∈a 22)3cos(-=+πa ，则 tan 2a =()(A) 33 (B)－33 (C)3①）－35. 曲线y=sinx+ex+2在x = 0处的切线方程为（） (A) y = x+3 (B) y=x + 2 (C) y = 2x + l (D) y=2x + 36 己知某程序框囝如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）(A) -1 (B) 21(C) 2(D) 17.已知函数22cos sin sin 21cos 21)(22+--=x x x x x f ，则（ ）（A ）)(x f 在83π=x 时取得最小值2，其图像关于点)0,83(π对称 （B ）)(x f 在83π=x 时取得最小值0，其图像关于点)0,85(π对称（C ）)(x f 在)87,83(ππ单调递减，其图像关于直线8π-=x 对称 （D ）)(x f 在)87,83(ππ单调递增，其图像关于直线8π-=x 对称 8. 某林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质呈，都会对树苗进行检测。
黑龙江省哈六中2012届高三第二次模拟考试 数学理
哈尔滨市第六中学2012届高三第二次模拟考试数学（理工类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，试卷满分150分，答题时间为120分钟．注意事项：1．答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷(选择题,共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上)1。
已知i为虚数单位，则1ii+的实部与虚部的乘积等于（)A. 14B. 14-C。
14i D. 14i-2.设非零向量b a,满足==,则a与b a-的夹角为( ）A。
30 B. 60C。
120 D. 1503.右图是表示分别输出22222222221,13,135,,1352011+++++++的值的过程的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上（ ）A. i ≤2011?,1i i =+B. i ≤1006?，1i i =+ C 。
i ≤2011?，2i i =+ D 。
i ≤1006?,2i i =+ 4。
右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,由此我们可以估计出阴影部分的面积约（ )A ．516 B ．521C ．523D ．5195.已知直线a 和平面,αβ,,,l a a αβαβ⋂=⊄⊄,且a 在,αβ内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是（ ） （第4题图）A 。
相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D 。
相交﹑平行或异面 6。
一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为（ ） A.()334π+ B.()34π+ C. ()238π+ D 。
2012届高三第二次六校联考理数试题(正式)
2012届高三第二次六校联考理数试题(正式)2013届高三数学（理科）试题本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22 （ ） A ．i --1B ．i +-1 C．i+1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)A B =+∞B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =-D ．(){1,2}UCA B =3． 右图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ （ ）A ．指数函数：ty 2=B ．对数函数：t y 2log =C ．幂函数：3t y =D ．二次函数：22t y =4．已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()2012g a =，则()2012f -=A. 2 B . 2012201222-- C.2012201222--D. 2a5．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]6．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 A ．15B ．14C ．13D ．127．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）第15题图OB CA是 ．12．已知||=||=|-|=2，则|2a b -|的值为 13．在实数的原有运算法则中，定义新运算3a b a b⊗=-，则()()418x x x x ⊗-+-⊗>的解集为(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线1:C22x t ay t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 曲线2:C 2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.若曲线1C 、2C 有公共点，则实数a 的取值范围____________．15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点, 且2,6,120AB BC CAB ==∠=,则AOB∠对应的劣弧长为 ．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知函数()sin(sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值.17．（本题满分12分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人）100 173 y男生（人）x177 z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15。
黑龙江省哈六中高三数学第二次模拟考试 文
哈尔滨市第六中学2012届高三第二次模拟考试数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，试卷满分150分，答题时间为120分钟． 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形 码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.已知i 为虚数单位,则1ii+的实部与虚部的乘积等于( ) A. 14 B. 14- C. 14i D. 14i -2．在下列结论中，正确的结论为（ ）（1）“q p ∧”为真是“q p ∨”为真的充分不必要条件 （2）“q p ∧”为假是“q p ∨”为真的充分不必要条件 （3）“q p ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件 （4）“p ⌝”为真是“q p ∧”为假的必要不充分条件A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4） 3.设非零向量,==a 与b a -的夹角为（ ） A. 60 B. 30 C. 120 D. 1504.︒-︒20sin 2135sin 2的值为 （ ）A.21 B. 1- C. 21- D. 1 5.右图是表示分别输出：22222222221,13,135,,1352012+++++++的值的过程的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上( )A. i ≤2012?;1i i =+B. i ≤1006?;1i i =+C. i ≤2012?;2i i =+D. i ≤1006?;2i i =+ 6.在(0,2π)内，使sin cos x x ≥成立的x 的取值范围为（ ） A.[3,44ππ] B.[5,44ππ] C.[57,44ππ] D.[,42ππ] 7．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象( ) A ．向右平移π6个单位 B ．向左平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 8.已知直线a 和平面,αβ,,,l a a αβαβ⋂=⊄⊄,且a 在,αβ内的射影分别为直线b 和c ,则b 和c 的位置关系是( )A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交﹑平行或异面9.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( ) A.()334π+ B.()34π+ C.()638π+ D.()238π+10．若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．1B ．32 C ．34D ．74 11.已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()[]1+=x f f y 的零点个数（ ）A.4B.3C. 2D. 112.已知点P 是椭圆)0,0(181622≠≠=+y x y x 上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ． C ． D ．(0,4)BA1C1A1BDCBA 'CBA第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与直线y x =相切的圆的标准方程为____ ． 14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）。
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哈尔滨市第六中学2012届高三第二次模拟考试数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，试卷满分150分，答题时间为120分钟． 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形 码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.已知i 为虚数单位,则1ii+的实部与虚部的乘积等于( ) A. 14 B. 14- C. 14i D. 14i -2.设非零向量b a ,满足b a b a +==，则a 与b a -的夹角为（ ） A.30 B. 60 C. 120 D. 1503.右图是表示分别输出2222221,13,135,,1352+++++++ 的值的过程的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上( )A. i ≤2011?,1i i =+ B. i ≤1006?,1i i =+ C. i ≤2011?,2i i =+ D. i ≤1006?,2i i =+4.右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约（ ） A ．516 B ．521 C ．523D ．5195.已知直线a 和平面,αβ,,,l a a αβαβ⋂=⊄⊄,且a 在,αβ内的射影分别为直线b 和c ,则b 和c 的位置关系是( ) (第4题图) A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交﹑平行或异面 6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( ) A.()334π+ B.()34π+ C.()238π+ D.()638π+是否结束②输出S开始1=i0=S①2i S S +=7.某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度,决定将这六列高速列车编成两组,每组三列,且1G 和2G 两列列车不在同一小组,如果1G 所在小组三列列车先开出,那么这六列列车先后不同的发车顺序共有( )A. 162种B.108 种C. 216种D. 432种 8．在下列结论中，正确的结论为（ ）（1）“q p ∧”为真是“q p ∨”为真的充分不必要条件 （2）“q p ∧”为假是“q p ∨”为真的充分不必要条件 （3）“q p ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件 （4）“p ⌝”为真是“q p ∧”为假的必要不充分条件A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4） 9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>在1x =处取得最大值,则( ) A.函数(1)f x -一定是奇函数 B. 函数(1)f x -一定是偶函数 C.函数(1)f x +一定是奇函数 D. 函数(1)f x +一定是偶函数 10.设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足:“当()2k k f ≥成立时，总可推出()()211+≥+k k f 成立”，那么，下列命题总成立的是（ ）A.若()11<f 成立，则()10010<f 成立B. 若()93≥f 成立，则当1≥k 时，均有()2k k f ≥成立C.若()42<f 成立，则()11≥f 成立D.若()416f ≥成立，则当4≥k 时，均有()2k k f ≥成立11.已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()[]1+=x f f y 的零点个数（ ）A.4B.3C. 2D. 112.已知点P 是椭圆)0,0(181622≠≠=+y x y x 上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(0,22)C ．(22,3)D ．(0,4)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.在1(3)n x-()n N *∈的展开式中，所有项系数的和为32-，则1x 的系数等于 .14.从抛物线24y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =，设抛物线的焦点为F ，则cos MPF ∠= . 15.已知函数113()sin cos 244f x x x x =--的图像在点00(,)A x y 处的切线斜率为1，则0tan x = .16.设,(0,2]x y ∈，且2xy =，且62(2)(4)x y a x y --≥--恒成立，则实数a 取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分12分）已知数列的前n 项和为n S ，且满足()*∈+=N n S a n n 121. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若n n a b 2log =,11+=n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.18. （本小题满分12分）要从甲,乙两名运动员中选拔一人参加2012年伦敦奥运会跳水项目,对甲乙两人进行培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出成绩茎叶图如图所示.(1)从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员更合适?7 8 9甲 乙 9 8 4 1 5 35 0 3 5 2 5BA1C1A1BC(2)若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次的比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形，︒=∠90ACB ,点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，且CA BC =. (1)求证:平面11A ACC ⊥平面CB C B 11;(2)若二面角11C AB B --的余弦值为75-,设λ=BC AA 1,求λ的值.20. （本小题满分12分）已知圆221:(2)4C x y ++=及点2(2,0)C ,在圆1C 上任取一点P ,连接2C P ,做线段2C P 的中垂线交直线1C P 于点M .(1)当点P 在圆1C 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程;(2)设轨迹E 与x 轴交于12,A A 两点,在轨迹E 上任取一点00(,)Q x y 0(0)y ≠，直线12,QA QA 分别交y 轴于,D E 两点，求证：以线段DE 为直径的圆C 过两个定点,并求出定点坐标.21．（本小题满分12分） 设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2aF x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．四、选做题（本小题满分10分，请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△ABC 内接于⊙O ,AB AC =,直线MN 切⊙O 于点C , 弦//BD MN ,AC BD 与相交于点E . (1)求证:△ABE ≌△ACD ;(2)若6,4AB BC ==,求AE 长.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中,已知曲线221:1C x y +=,将曲线1C 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍和3倍后,得到曲线2C (1)试写出曲线2C 的参数方程;(2)在曲线2C 上求点P ,使得点P 到直线:450l x y +-=的距离最大,并求距离最大值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()122f x x x =-++(1)解不等式()3f x <; (2)若不等式()f x a <的解集为空集，求实数a 的取值范围.二模理科数学考试答案一、选择题1.A 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.D 10.D 11.A 12.B 二、13.-270 14.3515.3- 16.(,1]-∞ 17.(1)当1n =时,11112a S =+,解得12a = ……………1分 当2n ≥时,11112n n a S --=+……① 112n n a S =+ ……② ……………3分②-①得112n n n a a a --= 即12n n a a -= ……………5分∴数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列 ∴2n n a = ……………6分(2)22log log 2n n n b a n === ……………7分 11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++ ……………8分 11111111 (223341)n T n n =-+-+-++-+=111n -+ ……………10分BA1C1A1BCn N *∈ 110,12n ⎛⎤∴∈ ⎥+⎝⎦ 1,12n T ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭……………12分 18.(1)1=787981849395856x +++++甲（）= ……………1分1=(758083859295)856x +++++=乙 ……………2分()()()()()()22222221133=78-85+79-85+81-85+84-85+93-85+95-85=63s ⎡⎤⎣⎦甲………3分()()()()()()2222222113975858085838585859285958563s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙…4分 22s s < 乙甲 ∴甲的发挥更稳定 ∴选派甲更合适 6分(2)甲成绩高于80分的概率23P =……………7分 ξ可能取0,1,2,3 由题意得ξ～23,3B ⎛⎫⎪⎝⎭ ……………9分()3321,0,1,2,333kkk p k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………10分ξ0 123P127 627 1227 827 ()2323E ξ=⨯= ……………12分19. 解:（本小题满分12分）(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥面ABC ，11BB C C ABC ∴⊥面面11BC BB C C ABC =⋂ 面面，AC BC ⊥ 11AC BB C C ∴⊥面 11AC ACC A ⊂ 面1111ACC A BCC B ∴⊥面面……………4分（2）以CA 为ox 轴,CB 为oy 轴,过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系……5分设2AC BC ==，1B M t =则(2,0,0),(0,2,0),(0,1,),(0,1,)A B C t C t -即111=2,1,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB B C -=-=-（设面1A B B 法向量1(,,)n x y z = 11(1,1,)n t∴= ；面11AB C 法向量2(,,)n x y z = 2(,0,1)2tn ∴= ……………9分125cos ,7n n =- 3t ∴=……………11分12,1BB λ∴==即……………12分20. （本小题满分12分）解:（1）2MC MP = ， 又1MP MC r =+122(24)MC MC ∴-=±<M ∴点轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线22,24a c ==22113x y ∴-=……………4分 （2）010:(1)1y QA y x x =++00(0,)1yD x ∴+020:(1)1y QA y x x =--00(0,)1y E x -∴-03(0,)DE y -∴中点……………8分以DE 为直径的圆方程22200033()()x x y y y ++=……………9分0y ∴=时，2202200993x x y y =-=……………11分定点为(3,0)±……………12分21.（本小题满分12分）解: （1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞），当21==b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=， xx x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=……………2分 令)('x f =0，解得1=x ．（∵0>x ）因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g ，当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。