2018-2019年上海市复旦附中高三下二模模拟数学试卷及答案

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2018-2019学年上海市复附浦分高三下学期开学考数学试卷

复附浦分高三开学考数学试卷2019.03一. 填空题1. 若复数z 满足(12i)1i z +=-，其中i 是虚数单位，则||z =【答案】52. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =-，若{1}A B =，则实数a 的值为【答案】1或-23. 不等式22log ()1x x -<的解集为【答案】(1,0)(1,2)x ∈-4. 5(2x +的展开式中，3x 的系数是（用数字作答）【答案】105. 设向量a 、b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅= 【答案】16. 已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若1a 、3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S = 【答案】637.已知2sin122cos 2cos2θθθ=，则tan θ= 【答案】3或13-8. 在平面直角坐标系中，M 为不等式组360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩所表示的区域上一动点，已知点(1,2)A -，则直线AM 斜率的最小值为【答案】-29. 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙在同一路口的分配方案种数为（用数字作答）【答案】3610. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为【答案】45π11. 在平面内定点A 、B 、C 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P 、M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值为【答案】494【解析】ABCD 位置关系如图，长度为2，两两夹角均为120︒以点D 为原点，DA 为y 轴建系，则()()()0,2,3,1,3,1A B C---，设()cos ,2sin P αα+，则3cos 1sin ,2M αα⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，3cos 1sin 3,122BM αα⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭，故()2BM 的最大值为49412. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是【答案】123[,]{}334【解析】()f x 在R 上单调递减，∴分段均为单调递减，且前一段的最小值大于等于后一段的最大值，34020131a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，作出()y f x =与2y x =-的图像，由图像知，()f x 与2y x =-在(),0-∞和[)0,+∞上均需要有一解。

2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（）（A ）(]02，（B ）(]12，（C ）[]12，（D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”；（2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ；（3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+，因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈），即14n a >（n N *∈）．于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合．故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<，又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

上海市上海师范大学附属中学2018-2019学年高三下学期质量检测数学试题(解析版)

上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三数学质量检测试卷一：填空题（本大题共有12题，满分54分）．1.已知函数20()210xx x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩ ，则11[(9)]f f ---=_________．【答案】-2 【解析】()193f --=，则()()111932f f f ---⎡⎤-==-⎣⎦。

2.若复数z 满足401z z-=，则z 的值为________.【答案】2i ± 【解析】【分析】由行列式运算，可得240z +=，由此求得z ，得到答案．【详解】由行列式401z z-=，可得240z +=，解得2z i =±．故答案为：2i ±【点睛】本题主要考查了行列式的运算，以及复数的求法，其中解答中主要二阶行列式性质的合理运用，着重考查了基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入1n =，则输出S =_________．的【答案】3log 19 【解析】【分析】模拟程序的运行，当19n =时满足条件3n >，退回循环，即可求解，得到答案．【详解】模拟程序的运行，可得1n =，不满足条件3n >，执行循环体，3n =，不满足条件3n >，执行循环体，19n =，满足条件3n >，推出循环，可得3log 19S =，故答案为：3log 19．【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的计算与输出，其中解答中模拟程序框图的运算，准确运算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 【答案】5【解析】321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()3121rn rr r n T C xx -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()351r rn r n C x --，令5350,3n r n r -==，3r =时，n 有最小值5，故答案为5.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 【答案】96 【解析】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种考点：排列、组合及简单计数问题【此处有视频，请去附件查看】6.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是___．【答案】35【解析】试题分析:因,故由22265tan ac B a c b=+-可得,即.故应填答案35.考点：余弦定理及同角关系得的运用．7.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________【答案】2n 【解析】试题分析：当n=1时，11a s ==2；当2n ≥时，221[(1)(1)]n n n a s s n n n n -=-=+--+-=2n ；而n=1时，适合上式，所以，它的通项公式为2n a n =。

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：选考内容

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：选考内容本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷(选择题共60分)【一】选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结A E 交CD 于F ，那么图中共有相似三角形( )A 、 1对B 、 2对C 、 3对D 、 4对【答案】C 2．，那么使得都成立的取值范围是()A 、〔，〕B 、〔，〕C 、〔，〕D.〔，〕【答案】B 3．假设点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t ⎧=,⎨=⎩(t 为参数)上,那么|PF|等于( )A 、2B 、3C 、4D 、5 【答案】C4．x,y ∈R 且122=+y x ，a,b ∈R 为常数，22222222y a x b y b x a t +++=那么( )A 、t 有最大值也有最小值B 、t 有最大值无最小值C 、t 有最小值无最大值D 、t 既无最大值也无最小值【答案】A5．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，那么△ABC 的边长是( )[来源:学.科.网]A 、32B 、364 C 、473 D 、32126．假设关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，那么实数a 的取值范围为( )A 、(,1)(3,)-∞+∞UB 、(1,3)C 、(,3)(1,)-∞--+∞UD 、(3,1)-- 【答案】A7．点P 的极坐标是(1,π),那么过点P 且垂直于极轴的直线方程是( ) A 、1ρ= B 、ρ=cos θC 、1cos ρθ=- D 、1cos ρθ=【答案】C8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为( )A 、313-B 、33C 、314-D 、12【答案】A9．圆内接三角形ABC 角平分线CE 延长后交外接圆于F ，假设2,FB =1EF =，那么CE =( )A 、 3B 、 2C 、 4D 、 1[来源:1]【答案】A10．假设不等式｜2x 一a ｜＞x －2对任意x ∈(0,3)恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A 、 (－∞, 2] U [7, +∞)B 、 (－∞, 2) U (7, +∞)C 、 (－∞, 4) U [7, +∞〕D 、〔－∞, 2) U (4,+ ∞)【答案】C11．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是( )A 、 ⎪⎭⎫⎝⎛4,21πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D 、⎪⎭⎫⎝⎛4,2π【答案】B 12．设0a >，不等式||ax b c +<的解集是{|21}x x -<<，那么::a b c 等于()A 、1:2:3B 、 2:1:3C 、3:1:2D 、3:2:1第二卷(非选择题共90分)【二】填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．不等式32>++x x 的解集是 . 【答案】 ),21()25,(+∞⋃--∞14．曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，那么曲线C 上的点到直线t t y t x (21⎩⎨⎧=+-=为参数〕的距离的最大值为____________ 【答案】4555+15．如图：假设PA PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 交于点D ，且4PB =，3PD =，那么AD DC ⋅= .【答案】716．如图：在ACD 直角三角形中，AC=1,延长斜边CD 至B,使DB=1,又知030=∠DAB .那么CD= 。

上海市上海师范大学附属中学2018-2019学年高三下学期质量检测数学试题含答案

上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三数学质量检测试卷一：填空题（本大题共有12题，满分54分）．1.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩ ，则11[(9)]f f ---=_________．2.若复数z 满足401z z-=，则z 的值为________.3.执行如图所示的程序框图，若输入1n =，则输出S =_________．4.若321()n x x -展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .6.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是___．7.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________8.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅； ②{,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅； ③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅； ④{,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是___．的9.已定义,(,),a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是_________．（写出所有真命题的序号）① 若(),()f x g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数． ② 若(),()f x g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数． ③ 若(),()f x g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数． ④ 若(),()f x g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数．10.矩阵1211222232332123i n i n i n n ninn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2n n n S n →∞=⋅___________．11.对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点A ，B 恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线0):20)x C y x ≥=<⎪⎩相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 _________.12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n ∈N ），若121(1)nn n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.二、选择题（每题5分，共20分）13.已知函数()()f x x R ∈满足()f x =()4f x -,若函数y =241x x -+与()y f x =图象的交点为()()()()112233,,,,,,,,,n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑A. 0B. nC. 2nD. 4n14.关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（）A. 12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行B. 12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平C 12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行D. 12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平行15.在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（）A.12B.13C.14D.1816.若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为（）A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17.已知直三棱柱111A B C ABC -中，111,90AB AC A A BAC ===∠=︒（1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.18.设数列{}n a ，{}n b 及函数()f x （x ∈R ），()n n b f a =（n *∈N ）．（1）若等比数列{}n a 满足11a =，23a =，()2f x x =，求数列{}1n n b b +的前n （n *∈N ）项和；（2）已知等差数列{}n a 满足12a =，24a =，()(1)xf x q λ=+（λ、q 均为常数，0q ＞，且1q ≠），122(...)n n c n b b b =+++++（n *∈N ）．试求实数对(λ，q )，使得{}n c 成等比数列．19.已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹..记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=. （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM 面积S 的最大值.20.如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数()x g t =，使得函数()y f g t ⎡⎤=⎣⎦的值域仍是A ，那么称()x g t =是函数()y f x =的一个等值域变换．（1）判断下列函数()x g t =是不是函数()y f x =的一个等值域变换？说明你的理由；()2log ,0f x x x =>，()1,0x g t t t t==+>；()21,f x x x x R =-+∈，()2,t x g t t R ==∈．（2）设函数()y f x =定义域为D ，值域为A ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1A ，那么“1D A =”是否为“()x g t =是()y f x =的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；（3）设()2l o g f x x =的定义域为[]2,8x ∈，已知()2231mt t nx g t t -+==+是()y f x =的一个等值域变换，且函数()y f g t ⎡⎤=⎣⎦的定义域为R ，求实数m n 、的值．的上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三数学质量检测试卷一：填空题（本大题共有12题，满分54分）．1.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩ ，则11[(9)]f f ---=_________．【答案】-2 【解析】()193f --=，则()()111932f f f ---⎡⎤-==-⎣⎦。

上海市复旦大学附属中学2018届高三9月月考数学试题含答案

复旦附中高三月考数学卷2018.9.29一. 填空题 1. 不等式113x <的解为 2. 已知集合2{|1,}A y y x x R ==-∈，{|lg(1)}B x y x ==-，则AB =3. 已知奇函数()g x ，当0x <时，2()g x x x =+，则0x >时，()g x =4. 函数34y x x=-，[1,4]x ∈的值域为 5. 若lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值为6. 若z 是关于x 的一元二次方程220x x m -+=()m R ∈的一个虚根，且||2z =，则实数m 的值为7. 设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23z i =-，若x A ∈，则||x z -最大值是 8. 若二项式2(3n x -*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 9. 已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是10. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，要使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中{5,6,7,8,9}k ∈）的概率是25，则k = 11. 已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是12. 已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值是 13. 不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=14. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的x R ∈，(1)(1)f x f x +=-恒成立，当[0,1]x ∈时，()2f x x =，若关于x 的方程()f x ax =有5个不同的解，则实数a 的取值范围是二. 选择题15. 若,,a b c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（） A.11a b < B. 22a b > C. 2211a b c c >++ D. ||||a c b c >16. 集合2{|,}A y y x x R ==∈，{2,1,1,2}B =--，则下列结论正确的是（） A. (0,)AB =+∞ B. ()(,0]RC A B =-∞C. [0,)R A C B =+∞D. (){2,1}R C A B =--17. 对任意复数z x yi =+(,)x y R ∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（） A. ||2z z y -= B. 222z x y =+ C. ||2z z x -≥ D. ||||||z x y ≤+18. 已知函数()f x a 为常数，且*a N ∈），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有12|()()|1f x f x -<成立，则正整数a 可以取的值有（）个A. 4B. 5C. 6D. 7三. 解答题19. 设复数z a bi =+(,)a b R ∈，若1zz +是纯虚数，求|2|z -的取值范围；20. 已知函数2()1xf x x -=+；（1）若关于x 的方程()30x f x m --=在[1,)x ∈+∞上有解，求实数m 的最大值；（2）是否存在00x <，使得00()3xf x =成立？若存在，求出0x ，若不存在，说明理由；21. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为15000.82001000⨯-=（元），购买某商品得到的实际折扣率＝实际付款额商品的标价，设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ；（1）写出当(0,1000]x ∈时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500,3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于23？22. 已知函数2()log ()f x x a =+；（1）当1a =时，若10(12)()2f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[3,1]--上的反函数()h x ；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围；23. 设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作12(,,,,,)i n A a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中i a (1,i =2,,)n ⋅⋅⋅称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标，如果数组S 中的每个“元”都是来自数组 A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组，定义两个数组12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅和1(,B b =2,,)n b b ⋅⋅⋅的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =++⋅⋅⋅+；（1）若11(,)22A =-，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S的最大值；（2）若A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c++=，S 为B 的含有三个“元” 的子数组，求(,)C A S 的最大值；（3）若数组123(,,)A a a a =中的“元”满足2221231a a a ++=，设数组m B *()m N ∈含有四个“元”1234,,,m m m m b b b b ，且12342222m m m m b b b b m +++=，求A 与m B 的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值；参考答案一. 填空题 1. (,0)(3,)-∞+∞ 2. [1,1)- 3. 2x x -+ 4. [3,63]-5.15 6. 47. 8. 7 9. [0,8) 10. 7 11. 2[,)3-+∞12. 1{2- 13. 1- 14. 222(,){}375--二. 选择题15. C 16. D 17. D 18. B三. 解答题 19. [2,3]； 20.（1）52-；（2）不存在； 21.（1）0.8,06251000.8,6251000x y x x <<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，1000x =时，0.7y =；（2）[2500,3000)[3125,3500]；22.（1）133x -<<；（2）21,[0,1]()23,[1,0]xx x h x x -⎧--∈⎪=⎨-∈-⎪⎩；（3）[4,20]-；23.（1）2；（2）1；（3；。

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：不等式

上海复旦大学附中2019年高三数学二轮练习单元练习：不等式本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷(选择题共60分)【一】选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设M ＝2a(a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，那么有( ) A 、M ＞N B 、M≥N C 、M ＜ND 、M≤N【答案】B$2．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是( )A 、)2,2(-B 、]2,2(-C 、]2,(-∞D 、)2,(--∞【答案】B3．今有甲、乙、丙、丁四人通过〝拔河〞进行〝体力〞较量。

当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。

那么，甲、乙、丙、丁四人的〝体力〞由强到弱的顺序是( )A 、丁、乙、甲、丙B 、乙、丁、甲、丙C 、丁、乙、丙、甲D 、乙、丁、丙、甲【答案】A4．不等式222xy ax y ≤+，假设对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，那么实数a 的范围是( )》A 、3519a -≤≤- B 、31a -≤≤- C 、3a ≥- D 、1a ≥-【答案】D5．0,0>>b a ，以下三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a baab+≥+22，其中正确的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、3【答案】D6．设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，那么)(x f ( ) A 、有最大值B 、有最小值C 、是增函数D 、是减函数；【答案】A7．实数,a b 满足01a b <<<，那么以下不等式正确的选项是( ) A 、b a a b < B 、b b a b --< C 、a b a b --< D 、b b b a < 【答案】A8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，那么这套生产设备最多使用( )年报废最划算。

2018年上海市高三数学下册第二次调研考试试题

2018年上海市高三数学下册第二次调研考试试题数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上．．．．.1、已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为2、若复数i i a i z (),)(2(--=为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为3、一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为的圆，则该几何体的表面积为4、如图，给出一个算法的伪代码， Read x If Thenx 0≤ ()x x f 4← Else()x x f 2← IfEnd ()x f int Pr 则=+-)2()3(f f5、已知直线2121//,023)2(:6:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++的充要条件是a=6、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为7、在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为8、设方程=+-∈=+k k k x x x x则整数若的根为),21,21(,4200 9、已知函数)2009(.4)20091(,2log log )(32f f b a x f xx 则若=+-=的值为 10、已知平面区域}{}{02,0,4),(,0,0,6),(≥-≥≤=≥≥≤+=y x y x y x A y x y x y x U ，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为11、已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=12、已知平面向量b c b a c b a c b a 与，的夹角为与且满足0135,0,,=++的夹角为0120，==a c则,213、函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为 14、如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签22009的格点的坐标为二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--.(1)求角A ； (2)若2cos sin >CB，求角C 的取值范围。

2019年最新(统考)上海市高考数学二模试卷及答案解析

（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，b1=8，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立；
（3）设，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N*均有Rn＜λ恒成立，求λ的最小值．
5．设点（9，3）在函数f（x）=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．
6．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．
7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣6=0，圆C的参数方程为，则圆心C到直线l的距离为．
8．双曲线 =1的左右两焦点分别是F1，F2，若点P在双曲线上，且∠F1PF2为锐角，则点P的横坐标的取值范围是．
上海市高考数学二模试卷
一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题．
2．若关于x，y的方程组无解，则a=．
3．已知{an}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{an}的通项公式为．
4．设集合A={x||x﹣2|≤3}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是．
A．小于 B．等于 C．大于 D．大于1.6
16．如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）
A．a：b：cB．
C．sinA：sinB：sinCD．cosA：cosB：cosC
三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）
【考点】84：等差数列的通项公式．

上海师范大学附属中学2019年高三下第二次质量检数学卷

f x1 f x2 0 恒成立； x1 x 2
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② f x 4 f x ； ③ y f x 4 是偶函数；若 a f 6，b f 11，c f 2017 ，则 a, b, c 的大小关系正确的是( A. a b c B. b a c C. a c b D. c b a B )
4 圆(半径为 1 的圆)交于第二象限内的点 A( xA , ) ，则 sin 2 ＝ 5
-
24 25
．(用数值表示)
9 1 1 kx b 恒成立，当且仅当 x 时取等号，则 k 16 8、已知：当 x 0 时，不等式 3 1 x
9、已知直线 3x 4 y 2 0 与圆 x 1 y 2 r 2 相切，则该圆的半径大小为
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上海师范大学附属中学 2019 年高三第二次质量检测数学试题
出卷人：王维安一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）． 2019.4.10
1 1、已知集合 A= 1, 2，，集合 B= y | y x 2 , x A ，则 A B 2
1
．．
a6 ( x 1)6 则 a3 的值等于
5、某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 18 ．
6、向量 a 2,3 , b 1, 2 ，若 ma b 与 a 2b 平行，则实数 m =____-0.5___ 7、已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位
（2）若 sin A

(完整word)上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷(7页)

上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题, 满分54分）只要求直接填写结果, 第1-6题每题填对得4分, 第7-12题每天填对得5分, 否则一律得零分.1.不等式13的解集为________x2.一个单位共有职工200人, 其中不超过45岁的有120人, 超过45岁的有80人. 为了调查职工的健康状况, 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本, 应抽取超过45岁的职工________________人.3.已知, 则________4.一个等差数列/前4项之和是40, 最后4项之和是80, 所有项之和是210, 则项数________5.若一个正三棱柱的三视图如图所示, 则这个正三棱柱的体积为________6.若, 则________7.已知变量满足约束条件, 则的最大值为____________.8.已知点为的外心, 且, 则 .9.甲、乙两人玩猜数字游戏, 先由甲心中任想一个数字, 记为, 再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为, 且, 若, 则称甲乙“心有灵犀”, 现任意找两个人玩这个游戏, 得出他们“心有灵犀”的概率为________10.在中, 点在上, 且, 则实数的取值范围是__________.11.已知函数是上的单调增函数, 则关于的方程的实根为________12.已知是满足下列性质的一个排列（, ）, 性质: 排列有且只有一个（）, 则满足性质的所有数列的个数________二、选择题（本大题共有4题, 满分20分）每题都给出代号A 、B 、C 、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的, 选对得5分, 否则一律得零分.13.“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.直线与双曲线（, ）的交点个数最多为（）A.1个B.2个C.3个D.4个15.若对任意, 都有/, 那么//上………………（）A.一定单调递增B.一定没有单调减区间C.可能没有单调增区间D.一定没有单调增区间16.在数列{an}中, 对任意, 都有（k 为常数）, 则称{an}为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为的数列一定是等差比数列, 其中正确的判断为（）A.①② B .②③ C.③④ D .①④三、解答题（本大题满分76分）17.如图, 一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行, 已知圆环的半径为1米, 圆环的圆心距离地面的高度为1.5米, 蚂蚁爬行一圈需要4分钟, 且蚂蚁的起始位置在最低点处.h t；（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h（米）关于时刻t（分钟）的函数关系式()（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内, 有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？18.如图, 已知圆锥的侧面积为, 底面半径和互相垂直, 且, 是母线的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线与所成角/大小.（结果用反三角函数值表示）19.设常数, 若函数存在反函数.（1）求证: , 并求出反函数；（2）若关于/不等式对一切恒成立, 求实数的取值范围.20.已知、是双曲线: （, ）的两个顶点, 点是双曲线上异于、的一点, 为坐标原点, 射线交椭圆: 于点, 设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是, 且过点, 求的方程；（2）在（1）的条件下, 如果, 求△的面积；（3）试问：是否为定值？如果是, 请求出此定值；如果不是, 请说明理由.21.定义: 若数列满足, 存在实数, 对任意, 都有, 则称数列有上界, 是数列的一个上界, 已知定理: 单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.（1）数列是否存在上界？若存在, 试求其所有上界中的最小值；若不存在, 请说明理由；（2）若非负数列满足, （）, 求证: 1是非负数列/一个上界, 且数列的极限存在, 并求其极限；（3）若正项递增数列无上界, 证明：存在, 当时, 恒有.。

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题(解析版)

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（） A.,a b 都能被5整除 B.,a b 都不能被5整除 C.,a b 不都能被5整除 D.a 不能被5整除【答案】B【解析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2．已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-； ③()4y f x =+是偶函数；若()6a f =， ()11b f =， ()2017c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据题意，由①分析可得函数()f x 在区间[]4,8上为增函数，由②分析可得函数()f x 的周期为8，由③分析可得函数()f x 的图象关于直线4x =-和4x =对称，进而分析可()6a f =，()11b f =， ()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，结合函数在[]4,8上的单调性，分析可得答案．【详解】由①得()f x 在[]4,8上单调递增；由得②()()()84f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为8的的周期函数，所以()()()2017252811c f f f ==⨯+=，()()113b f f ==；再由③可知()f x 的图像关于直线4x =对称，所以()()()1135b f f f ===， ()()17c f f ==．结合()f x 在[]4,8上单调递增可知， ()()()567f f f <<，即b a c <<．故选B ．【点睛】解析式不知道的函数成为抽象函数，解决抽象函数问题的基本思路有两个：（1）取特殊值.对于求函数值的问题可选择定义域内的特殊值代入解析式验证求解；（2）运用所给的性质.解题时要用好所给的函数的性质进行适当的变形，同时要灵活运用函数的其他性质，如周期性、单调性、奇偶性等，并在此基础上将抽象问题转化为函数问题求解.二、填空题3．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B =________．【答案】{}1【解析】先由x A ∈得出集合B ，再求得A B .【详解】因为1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，当x A ∈时，2y x =得1y =，或4y =，或14y =，所以11,4,4B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以AB ={}1，故填：{}1. 【点睛】本题考查根据集合的描述法转化为用列举法表示集合和集合间的交集运算，属于基础题.4．设m R ∈，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =______．【答案】1-【解析】()()()()1111mi i m m i ++=-++，复数()()11mi i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为零，10m +=，解得：1m =-. 5．若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122lim nn a a a n →∞+++= .【答案】32【解析】设出等差数列的公差，由已知求得公差，然后求等差数列的前n 项和后代入122nn a a a limn →∞+++得答案．【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2+a 3+a 4＝21，得 3a 1+6d ＝21，即3+6d ＝21，d ＝3．∴()122231133132222nn n n n n n n a a a n n limlimlim lim n n n →∞→∞→∞→∞--++++-====．故答案为：32．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了数列极限的求法，是基础题．6．若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于___________．【答案】20【解析】令1x t -=，则1x t =+，所以()62601261t a a t a t a t +=++++，所以3a 就是3t 的系数，因为661661k k k k k k T C t C t --+==，所以当3k =时，33620a C ==。

2019届上海市复旦大学附属中学高三下学期期末考试数学试题(解析版)

2019届上海市复旦大学附属中学高三下学期期末考试数学试题一、单选题1．“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】将曲线分为椭圆或双曲线两类，利用椭圆或双曲线的性质列不等式，由此求得λ的取值范围，进而判断出充分、必要条件.【详解】若圆锥曲线22152y x λλ-=+-，即22152y x λλ+=+-为椭圆，则()2527c λλ=+--=，即焦距与λ无关.此时502052λλλλ+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得2λ>.若圆锥曲线22152y x λλ-=+-为双曲线，则()2527c λλ=++-=，与λ无关.此时()()520λλ+->，解得52λ-<<.所以当()()5,22,λ∈-⋃+∞时，圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关.所以“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.2．直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的交点个数最多为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】将直线和双曲线联立方程，得到二次方程，最多两个解. 【详解】2222222222222222222()()201y kx m b x a kx m a b b a k x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒-+=⇒----=⎨-=⎪⎩2220b a k -=时：方程有一个解或者无解。

2220b a k -≠时：二次方程最多有两个解，即交点最多两个故答案选B 【点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，也可以通过直线和双曲线的渐近线的关系讨论得到答案.3．若对任意x R ∈，都有，那么在R 上………………（）A ．一定单调递增B ．一定没有单调减区间C ．可能没有单调增区间D ．一定没有单调增区间【答案】C【解析】试题分析：()[]f x x =对任意x R ∈，都有，但在R 上不单调递增，且没有单调增区间，()f x x =对任意x R ∈，都有，且有单调增区间，()2,[,1),f x n x x n n n Z =-∈+∈对任意x R ∈，都有，且有单调减区间，选C 【考点】函数单调性4．在数列{a n }中，对任意*n N ∈，都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{a n }为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为·(0,0,1)nn a a b c a b =+≠≠的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【解析】由分母不能为0，可判断出①②③；把④通项公式代入题设中，满足条件，进而推断④正确. 【详解】对于①，若k ＝0，则分母必为0，故k ≠0，故①正确；当等差数列为常数列时,分母为0,不满足题设的条件，故②不正确；当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确；对于④，把a n ＝a •b n+c 代入211n n n na a a a +++--结果为b ，为常数，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了数列的递推式，考查新定义，考查了学生综合分析问题的能力．属于基础题.二、填空题5．不等式13x >的解集为________ 【答案】1(0,)3【解析】将常数移到左边，通分得到答案. 【详解】11133113300003x x x x x x x -->⇒->⇒>⇒<⇒<< 故答案为1(0,)3【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型.6．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．【答案】10【解析】试题分析：因为超过岁的职工为人，占比例为，所以抽取的人中超过岁的职工为人.【考点】分层抽样的方法与运算.7．已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ，则lim n n a →∞=________ 【答案】12【解析】直接利用数列极限法则得到答案. 【详解】110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩1111lim lim lim222n n n n n n a n →∞→∞→∞+⇒==+= 故答案为12【点睛】本题考查了分段数列的极限，属于简单题型.8．一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________【答案】14【解析】根据等差数列性质得到130n a a +=，再利用公式1()2n n a a nS +=得到答案. 【详解】123440a a a a +++= 12380n n n n a a a a ---+++=两式相加：12132431()()()()4()120n n n n n a a a a a a a a a a ---+++++++=+= 130n a a +=1()15210142n n a a nS n n +===⇒= 故答案为14 【点睛】本题考查了数列的前n 项和，通过数列性质进行计算较为简单，如果采用其他方法则计算量较大.9．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________【答案】【解析】直接利用三棱柱体积公式得到答案. 【详解】底面积142S =⨯=2V Sh ===【点睛】本题考查了三视图，三棱柱的体积公式，属于基础题型. 10．若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________ 【答案】0或2【解析】方程变形为(2sin cos )cos 0ααα-⋅=，分为两种情况得到答案. 【详解】22sin cos cos 0(2sin cos )cos 0cos 0ααααααα⋅-=⇒-⋅=⇒=或2sin cos 0αα-=当cos 0α=时：cot 0α=当2sin cos 0αα-=时：cot 2α= 故答案为0或2 【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.11．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．【考点】简单的线性规划．12．已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==，则·AO BC = ．【答案】6【解析】试题分析：由题点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==，则()cos ,cos ,AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AC AO AB AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅〈〉-⋅〈〉()11144226222AC AC AB AB =⋅⋅-⋅⋅=⨯-⨯=【考点】平面向量数量积的运算13．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}ab n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________ 【答案】725【解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a ﹣b |≤2的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果．【详解】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，则|a ﹣b |≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有10×10＝100， ∴他们”心有灵犀”的概率为P 10028257==．故答案为：725【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题． 14．在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k的取值范围是__________．【答案】57,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】不妨设3AB =，1AC =，AD k =，∵2DC AB =，从而2BD DC =，即()2AC AD AD AB -=-，从而2133AD AB AC =+，2224199AD AB AC =+49AB AC +⋅，21124cos 99k θ=++，又1c o s θ1-<<，从而2254999k <<，即5733k <<，故答案为57,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15．已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 【答案】0【解析】化简211sin 2cos488x x x x -+=，得到1sin 202x x -=再利用题目中函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，得到答案.【详解】22221111sin 2cos4sin 2sin 20(sin 2)08842x x x x x x x x x x -+=⇒-+=⇒-= 1sin 202sin 202x x x x -=⇒-=验证知：0x =是方程的解.函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，(2)f x 单调递增，最多有一个零点. 故0x =是方程的唯一解故答案为0【点睛】本题考查了方程的解，三角恒等变换，函数的单调性，函数零点，综合性强，需要灵活掌握各个知识点，综合运用.16．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________ 【答案】21n n --【解析】先根据题意得到()f n 和(1)f n -之间的关系：()2(1)1f n f n n =-+-，再计算()f n 【详解】考虑()f n 和(1)f n -之间的关系，为此考虑两种情况下的()f n ：第一种为1到1n -符合性质T 排列，不妨设1i i a a +>，此时n 要么放在末尾要么放在i a 和1i a +之间，这一共有2(1)f n - 种情况；第二种为1到1n -不符合性质T 排列，此时若想插入数n 使得序列满足性质T ，则前1n -个数只能递增排列，然后插入n ，有1n -种情况；故()2(1)1f n f n n =-+-()2(1)1()12[(1)]f n f n n f n n f n n =-+-⇒++=-+设1()12n n n a f n n a a -=++⇒=易知22(2)14422n n n f a a -=⇒=⇒=⨯=1())2(2n n f n n --≥=故答案为：21n n -- 【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案.三、解答题17．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O 距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点0P 处.（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h （米）关于时刻t （分钟）的函数关系式()h t ；（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？【答案】（1） 1.5cos()2h t π=-；（2）83分钟.【解析】（1）先计算圆心角，再通过三角形边角关系得到答案. （2）计算 1.5cos()12h t π=->，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：蚂蚁爬行一圈需要4分钟⇒在时刻t 所转过的圆心角为：242t t ππ= cos() 1.5cos()22OB t h t ππ=⇒=-（2）152101.5cos()1cos()22232333h t t t t πππππ=->⇒<⇒<<⇒<< 持续时间为：1028333-= 【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过边角关系建立函数关系式是解题的关键，意在考查学生的应用能力.18．如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】（1）12π.（2）arctan4.【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS =，从而求出4SO =，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB 中点H ，连结PH AH 、，由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角，由此能求出异面直线SO 与PA 所成角的大小．试题解析：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，故4SO == ，从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图，取OB 中点H ，连结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得2AH ==；在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，AH =则tan AH APH PH ∠==，∴异面直线SO 与PA所成角的大小arctan4. 19．设常数a ∈R ，若函数()()|1|f x a x x =--存在反函数1()f x -. （1）求证：1a =，并求出反函数1()f x -；（2）若关于x 的不等式121()()2f x m f mx ---+<对一切[2,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，110()10x f x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩；（2）4m >-.【解析】（1）分别讨论1, 1.1a a a ><=三种情况得到答案.（2）反函数1()f x -单调递减，关于(0,1)中心对称. 将121()()2f x m f mx ---+<转化为20x m mx -+>,利用恒成立问题解得答案. 【详解】（1）()(1),1()()1()(1),1a x x x f x a x x a x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩当1a >时，函数图像如下：函数没有反函数.同理可得1a <，函数没有反函数. 当1a =时，有反函数，22(1),1()()1(1),1x x f x a x x x x ⎧--≥=--=⎨-<⎩反函数为：110()10x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ （2）由（1）知，原函数单调递减，故反函数1()f x -单调递减，且关于(0,1)中心对称.21212()()201x f x m f mx x m mx m x ---+<⇒-+>⇒>-- 设1([1,2])x t t -=∈22(1)1(2)1x t m t x t t+>-=-=-++-恒成立即求1(2)t t -++的最大值1(2)(22)4t t-++≤-+≤-1t =时等号成立. 4m >-【点睛】本题考查了函数的反函数，恒成立问题，根据函数的中心对称将121()()2f x m f mx ---+<转化为20x m mx -+>恒成立是解题的关键.20．已知A 、B 是双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22221x y a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程；（2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积；（3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）1617；（3）定值为0. 【解析】（1）设双曲线方程为224x y λ-=，将点1)2代入方程，得到答案.（2）设00(,)P x y ，根据12158k k +=得到00415x y =，，Q 在OP 上，则11415x y =代入方程解得1817y =，利用面积公式得到答案. （3）设00(,)P x y ，11(,)Q x y ，20112342012()x x b k k k k a y y +++=-，,,O P Q 三点共线20011201012()0y x y x b x x a y y ⇒=⇒-=，得到答案.【详解】（1）双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±设双曲线方程为224x y λ-=，将点1)2代入方程，解得1λ=1C 的方程为2214x y -=.（2）设00(,)P x y00001220002152248y y x y k k x x x +=+==+-- 220014x y -= 化简得到：00415x y =根据对称性不妨设11(,)Q x y 在第一象限，Q 在OP 上，则11415x y =代入方程2214x y +=得到1817y =1816421717ABQ S ∆=⨯⨯=（3）设00(,)P x y ，11(,)Q x y000011111234222200110122y y x y y y x yk k k k x a x a x a x a x a x a+++=+++=++-+--- 2200221x y a b -= 2211221x y a b += 22200001111222222201010122222()x y b x x x y b x x b x a x a a y a y a y y +=-=---,,O P Q 三点共线20011201012()0y x y x b x x a y y ⇒=⇒-=12340k k k k +++=【点睛】本题考查了双曲线和椭圆的知识，计算量大，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.21．定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 有上界，M 是数列{}n a 的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.（1）数列{cos(sin )}2n π是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；（2）若非负数列{}n a 满足10a =，22111n n n a a a +++-=（n *∈N ），求证：1是非负数列{}n a 的一个上界，且数列{}n a 的极限存在，并求其极限；（3）若正项递增数列{}n a 无上界，证明：存在k *∈Ν，当n k >时，恒有112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+<-. 【答案】（1）存在，1；（2）见解析，极限1；（3）见解析. 【解析】（1）确定{}sin 0,1,12n π∈-，{}{}cos(sin )cos0,cos11,cos12n π∈=得到上界的最小值.（2）用数学归纳法证明1n a <，再证明数列单调递增，得到极限存在，最后计算极限.（3）假设结论不成立，取2nn a =，4039k =，推出矛盾，得到证明.【详解】（1）易知：{}sin 0,1,12n π∈-，{}{}cos(sin )cos0,cos11,cos12n π∈=数列{cos(sin)}2n π存在上界，上界中的最小值为1 （2）非负数列{}n a ，先证明1n a < 当1n =时：10a =成立. 假设当n k =时成立，即1k a <当1n k =+时：22211111112001k k k k k k a a a a a a ++++++-=<⇒+-<⇒<<即1n k =+也成立所以1n a <恒成立，1是非负数列{}n a 的一个上界，得证.22221111111110()()0n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++-=⇒-=->⇒+->⇒>数列单调递增故数列{}n a 的极限存在设lim n n a m →+∞= 222211111n n n a a a m m m m +++-=⇒+-=⇒=lim 1n n a →+∞=（3）证明：假设k *∀∈Ν，当n k >时，恒有112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+≥-. 取2nn a =满足正项递增数列无上界.1122312n n a a a n a a a --++⋅⋅⋅+=取4039k =，当4039n >时，11223120192n n a a a n n a a a --++⋅⋅⋅+=<- 这与题设112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+≥-矛盾假设不成立故存在k *∈Ν，当n k >时，恒有112232019n na a a n a a a -++⋅⋅⋅+<-. 【点睛】本题考查了三角函数的值，数列的递推公式，数列的单调性，数学归纳法，反证法，综合性强，技巧高，需要学生灵活应用各个知识和方法，意在考查学生的阅读理解能力，解决问题的能力.。

2019年上海市高考第二次模拟考试理科数学试题及答案

2019年上海市高考第二次模拟考试数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2019年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(4月份)解析版

2019年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（本大题共有12题，满分33分）．1．（3分）方程的解x＝．2．（3分）已知复数z满足z+＝0，则|z|＝．3．（3分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b＝．4．（3分）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）．5．（3分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1＝24，a2＝51，a k＝0，则k＝．6．（3分）＝7．（3分）△ABC所在平面上一点P满足，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为．8．（3分）若对任意x∈R，不等式sin2x+2sin2x﹣m＜0恒成立，则m的取值范围是．9．（3分）设n∈N*，a n为（x+4）n﹣（x+1）n的展开式的各项系数之和，c＝，t∈R，b n＝[]+[]+…+[]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则（n﹣t）2+（b n+c）2的最小值为10．（3分）如图所示：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为．11．（3分）把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k＝2015，则k＝．二、选择题（每题5分，共20分）12．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800B．6000C．6200D．640013．（5分）下列不等式中，与不等式≥0同解的是（）A．（x﹣3）（2﹣x）≥0B．（x﹣3）（2﹣x）＞0C．≥0D．≥014．（5分）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A＝R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a＝a×1＝a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A＝R，运算“⊕”为普通减法；②A＝{A m×n |A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A．①②B．①③C．①②③D．②③三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）16．（14分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长AB＝2，BC＝1，AA1＝2，求：（1）异面直线BC1与CD1所成角的大小；（2）点B到平面ACD1的距离．17．（14分）已知函数为实数．（1）当a＝﹣1时，判断函数y＝f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的最小值．18．（14分）某公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C＝90°，AB的长为2百米，BC 的长为1百米．（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（1），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF内喂食，求当△DEF的面积取最大值时EF的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，记∠FEC＝α，求△DEF 边长的最小值及此时α的值．（精确到1米和0.1度）19．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（18分）若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p+1＝a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，a n＝b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1＝b n+sin a n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．2019年上海市复旦附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分33分）．1．（3分）方程的解x＝2．【分析】利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可．【解答】解：方程，化为：3•2x+5＝4x+1，解得（2x+1）（2x﹣4）＝0，即2x﹣4＝0，解得x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，指数运算法则的应用，方程的解法，考查计算能力．2．（3分）已知复数z满足z+＝0，则|z|＝．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入z2＝﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．【解答】解：由z+＝0，得z2＝﹣3，设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝﹣3，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝﹣3，即，解得：．∴．则|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．3．（3分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a+b＝﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}＝{a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a＝1，b＝1，此时集合{1，1}不满足条件．若b＝a2，a＝b2，则两式相减得a2﹣b2＝b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．4．（3分）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【解答】解：从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．（3分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1＝24，a2＝51，a k＝0，则k＝50．【分析】根据题意，将a n+1＝a n﹣1﹣变形可得a n+1a n﹣a n﹣1a n＝﹣n，据此可得（a3a2﹣a2a1）＝﹣2，（a4a3﹣a3a2）＝﹣3，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2＝﹣（k﹣1），用累加法分析可得a k a k﹣1﹣a1a2＝﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450＝0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1＝a n﹣1﹣，变形可得：a n+1a n﹣a n﹣1a n＝﹣n，则有（a3a2﹣a2a1）＝﹣2，（a4a3﹣a3a2）＝﹣3，（a5a4﹣a4a3）＝﹣4，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2＝﹣（k﹣1），相加可得：a k a k﹣1﹣a1a2＝﹣[2+3+……（k﹣1）]，又由a1＝24，a2＝51，a k＝0，则有k2﹣k﹣2450＝0，解可得：k＝50或﹣49（舍）；故k＝50；故答案为：50．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是对a n+1＝a n﹣1﹣的变形．6．（3分）＝2【分析】变形得到，而，从而求出该极限的值．【解答】解：．故答案为：2．【点评】考查数列极限的定义及求法，知道．7．（3分）△ABC 所在平面上一点P 满足，若△ABP 的面积为6，则△ABC 的面积为 12 ．【分析】由已知中P 是△ABC 所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m ＝2，C 到直线AB 的距离等于P 到直线AB 的距离的2倍，故S △ABC ＝2S △ABP ，结合已知中△ABP 的面积为6，即可得到答案．【解答】解：取AC 的中点O ，则，∵，∴m ＝2， ∴C 到直线AB 的距离等于P 到直线AB 的距离的2倍，故S △ABC ＝2S △ABP ＝12．故答案为：12．【点评】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m＝2，得到S △ABC ＝2S △ABP ，是解答本题的关键． 8．（3分）若对任意x ∈R ，不等式sin2x +2sin 2x ﹣m ＜0恒成立，则m 的取值范围是（+1，+∞）．【分析】由条件利用三角恒等变换可得 m ＞sin （2x ﹣）+1，再根据sin （2x ﹣）+1 的最大值为+1，从而求得m 的范围．【解答】解：不等式sin2x +2sin 2x ﹣m ＜0，即 m ＞sin2x ﹣cos2x +1＝sin （2x ﹣）+1．由于sin （2x ﹣）+1 的最大值为+1，∴m ＞+1，故答案为：（+1，+∞）．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，属于中档题．9．（3分）设n ∈N *，a n 为（x +4）n ﹣（x +1）n 的展开式的各项系数之和，c ＝，t ∈R ，b n＝[]+[]+…+[]（[x]表示不超过实数x的最大整数），则（n﹣t）2+（b n+c）2的最小值为【分析】令x＝1可得，，[]＝，b n＝，则（n ﹣t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，）的距离，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．【解答】解：令x＝1可得，，[]＝，b n═[]+[]+…+[]＝1+2+…+（n﹣1）＝，则（n﹣t）2+（b n+c）2的几何意义为点（n，）（n∈N*）到点（t，）的距离的平方，最小值即（2，1）到的距离d的平方，∵d＝，∴（n﹣t）2+（b n+c）2的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题．10．（3分）如图所示：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为．【分析】通过题意易得直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半，直接得出答案．【解答】解：根据题意，易得直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半，∴所求即为平面A1B1C与平面A1B1C1所成的二面角，即为∠C1B1C，又∵△B1C1C为等腰直角三角形，∴∠C1B1C＝，故答案为：．【点评】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC﹣A1B1C1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．11．（3分）把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列{a n}，若a k＝2015，则k＝1030．【分析】由题意可以得出，图1中第n行有2n﹣1个数，且每行的最后一个数恰好是行号的平方，由此可以确定出a k＝2015在图1中的位置，图2中每行的数字数等于行号，由此可以计算出前n行共有多少个数字，结合图1即可求出2015在图2中的位置，从而得出k的值【解答】解：由题意，图1中第n行有2n﹣1个数，前n行有n×＝n×n＝n2个数，图2知各行数字个数等于行数，故前n行共有n×＝，∵图1每行的最后一个数恰好是行号的平方，45×45＝2025，故2015是第45行倒数第11个数，由图2知各行数字个数等于行数，故前45行共有45×＝＝1035，由于最后一个数是奇数，按图2规则知，2015是第45行倒数第6个数，故k＝1035﹣5＝1030，故答案为：1030．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、选择题（每题5分，共20分）12．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800B．6000C．6200D．6400【分析】由已知能求出8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，由此能求出结果．【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为＝5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为＝6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．【点评】本题考查中位数的求法及判断，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数性质的合理运用．13．（5分）下列不等式中，与不等式≥0同解的是（）A．（x﹣3）（2﹣x）≥0B．（x﹣3）（2﹣x）＞0C．≥0D．≥0【分析】将不等式进行等价变形进行对比即可．【解答】解：不等式≥0等价为，即≥0，故选：D．【点评】本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础．14．（5分）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质和面面平行的判断和性质，可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D．【解答】解：若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．故选：C．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．15．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A＝R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a＝a×1＝a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A＝R，运算“⊕”为普通减法；②A＝{A m×n |A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A．①②B．①③C．①②③D．②③【分析】根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可．【解答】解：①若A＝R，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A＝{A m×n |A m×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③A＝{X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，其单位元素为集合M．故选：D．【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）16．（14分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长AB＝2，BC＝1，AA1＝2，求：（1）异面直线BC1与CD1所成角的大小；（2）点B到平面ACD1的距离．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与CD1所成角的大小．（2）求出平面ACD1的法向量，利用向量法能求出点B到平面ACD1的距离．【解答】解：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长AB＝2，BC＝1，AA1＝2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，2，0），C1（0，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2），＝（﹣1，0，2），＝（0，﹣2，2），设异面直线BC1与CD1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线BC1与CD1所成角的大小为．（2）A（1，0，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，2），设平面ACD1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，1），∴点B到平面ACD1的距离d＝＝＝．【点评】本题考查异面直线所成我的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．（14分）已知函数为实数．（1）当a＝﹣1时，判断函数y＝f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的最小值．【分析】（1）f（x）＝|x﹣|＝x﹣在（1，+∞）上单调递增，利用f′（x）＝1+＞0可得；（2）a≤0时，x＝时，函数取得最小值0；a＞0时，f（x）＝x+时，利用基本不等式求出y＝f（x）的最小值为2．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣|＝x﹣在（1，+∞）上单调递增．∵f′（x）＝1+＞0，∴y＝f（x）在（1，+∞）上在（1，+∞）上单调递增；（2）a＜0时，x＝时，函数取得最小值0；a＝0时函数无最小值；a＞0时，f（x）＝x+≥2，当且仅当x＝时，y＝f（x）的最小值为2．【点评】本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．18．（14分）某公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C＝90°，AB的长为2百米，BC 的长为1百米．（1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（1），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF内喂食，求当△DEF的面积取最大值时EF的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，记∠FEC＝α，求△DEF 边长的最小值及此时α的值．（精确到1米和0.1度）＝x（1﹣），x∈（0，【分析】（1）设EF＝x，则可求CE，BE，DE，求得S△DEF2），由基本不等式可得：（1﹣）≤（）2当且仅当x＝1时等号成立，从而可求当△DEF的面积取最大值时EF的长；（2）设等边三角形边长为EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，由正弦定理及三角函数的性质可得y＝≥≈0.65，即可求得△DEF边长的最小值及此时α的值．【解答】（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题（6分），第（2）小题（8分）．解：（1）设EF＝x，则CE＝，故BE＝1﹣，所以DE＝（1﹣），…（2分）S＝x（1﹣），x∈（0，2），…（4分）△DEF＝（1﹣）≤（）2当且仅当x＝1（即EF长100米）因为S△DEF时等号成立，）max＝．…（6分）即（S△DEF（2）设等边三角形边长为EF＝ED＝DF＝y，在△EBD中，∠B＝60°，∠EDB＝α，…（8分）由题意可知CE＝y cosα，…（9分）则EB＝1﹣y cosα，所以，…（11分）即y＝≥≈0.65，即△DEF边长的最小值是65米，…（13分）此时tanφ＝，φ≈40.9°，α≈49.1°…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质以及基本不等式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t＝8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ＝﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+＝，求得E点坐标，则（）2＝8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|＝＝t+2，∴|BF|＝t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|＝t+＝t+2，∴|BF|＝t+2；（2）F（2，0），|FQ|＝2，t＝3，则|FA|＝1，∴|AQ|＝，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF＝＝﹣，则直线PF方程：y＝﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12＝0，解得：x＝，x＝6（舍去），∴△AQP的面积S＝××＝；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF＝＝，k FQ＝，直线QF方程为y＝（x﹣2），∴y Q＝（8﹣2）＝，Q（8，），根据+＝，则E（+6，），∴（）2＝8（+6），解得：y2＝，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．20．（18分）若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p+1＝a q+1，则称{a n}具有性质P．（1）若{a n}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6+a7+a8＝21，求a3；（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1；b5＝c1＝81，a n＝b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1＝b n+sin a n（n∈N*），求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．【分析】（1）利用已知条件通过a2＝a5＝2，推出a3＝a6，a4＝a7，转化求解a3即可．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b n，c n得到a n的表达式，推出a2≠a6，说明{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n＝C，通过a n+1＝C+sin a n，证明a p+1＝a q+1，得到{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，得到a2＝b1+sin a1，设函数f（x）＝x﹣b1，g （x）＝sin x，说明b n+1＝b n，即可说明{b n}是常数列．【解答】解：（1）∵a2＝a5＝2，∴a3＝a6，a4＝a7＝3，∴a5＝a8＝2，a6＝21﹣a7﹣a8＝16，∴a3＝16．（2）设无穷数列{b n}的公差为：d，无穷数列{c n}的公比为q，则q＞0，b5﹣b1＝4d＝80，∴d＝20，∴b n＝20n﹣19，＝q4＝，∴q＝，∴c n＝∴a n＝b n+c n＝20n﹣19+．∵a1＝a5＝82，而a2＝21+27＝48，a6＝101＝．a1＝a5，但是a2≠a6，{a n}不具有性质P．（3）充分性：若{b n}是常数列，设b n＝C，则a n+1＝C+sin a n，若存在p，q使得a p＝a q，则a p+1＝C+sin a p＝C+sin a q＝a q+1，故{a n}具有性质P．必要性：若对于任意a1，{a n}具有性质P，则a2＝b1+sin a1，设函数f（x）＝x﹣b1，g（x）＝sin x，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1＝sin a1，∴a2＝b1+sin a1＝a1，∴a n＝a n+1，故b n+1＝a n+2﹣sin a n+1＝a n+1﹣sin a n＝b n，∴{b n}是常数列．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．。