(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第21讲 直角三角形与勾股定理课件 北师大版

图 21－4
第21讲┃ 回归教材
1 [解析] 第1个三角形的面积为 ，第2个三角形的面积 2 1 1 2 为 ×( 2) ＝1，第3个三角形的面积为 ×22＝2，第4个三角 2 2 1 1 2 形的面积为 ×( 8 ) ＝4，第5个三角形的面积为 ×42＝8， 2 2 1 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ＋1＋2＋4 2 31 ＋8＝ . 2
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ பைடு நூலகம்类示例
►
类型之二
实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图21－2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面 爬到柜角C1处．
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据直角三角形的判定，只要两边的平方和等 于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小 的数的平方和是否等于最大数的平方即可． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故 不符合题意； ②∵32＋42＝52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意； ③∵12＋( 3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意． 故构成直角三角形的有②③.故选 D.
第21讲┃ 考点聚焦 考点2 勾股定理及逆定理
勾股 直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边 a2＋b2＝c2 定理 c 的平方．即：____________ 如果三角形的三边长 a、b、c 勾股 逆定理 有关系： ____________ ，那么 a2＋b2＝c2 定理 这个三角形是直角三角形 的逆 (1)判断某三角形是否为直角三 定理 用途 角形； (2)证明两条线段垂直； (3) 解决生活实际问题 勾股 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 数 称为勾股数
第21讲┃ 归类示例
利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所 在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之三 勾股定理逆定理的应用
命题角度： 勾股定理逆定理.
[2012· 广西] 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5； ③1， 3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长， 构成直角三角形的有 A．② C．①③ ( D ) B．①② D．②③
第21讲┃ 归类示例
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是 l1＝ 42＋（4＋5）2 ＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝ （4＋4） 2＋52＝ 89. l1>l2，最短路径的长是l2＝ 89. B1C1 4 20 (3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝ ·AA1＝ ·5＝ AC1 89 89 89.
图21－3
第21讲┃ 回归教材
解：在Rt△ABC中， ∵∠B＝90°，BC＝3厘米，AB＝4厘米， ∴AC＝ 32＋42＝5(厘米)． 在Rt△AFC中， ∵∠FAC＝90°，AC＝5厘米，AF＝12厘米， ∴FC＝ 52＋122＝13(厘米)． ∴正方形CDEF的面积为13×13＝169(厘米2)．
判定 (1)两个内角互余的三角形是直角三角形 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 拓展 1 1 (1)SRt△ABC＝ ch＝ ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 2 2 a＋b－c c (2)Rt△ABC 内切圆半径 r＝ ，外接圆半径 R＝ ，即等于斜边的一半 2 2
第21讲┃ 回归教材
2．[2012· 四川] 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关 系， 其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值． 21－5 是一棵由 图 正方形和含 30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树 主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 S2，…，第 n 个正方形和第 n 个直角三角形的面积之和为 Sn.设第一个正方 形的边长为 1.
图21－2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点B1到最短路径的距离．
第21讲┃ 归类示例
解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1， 和ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
定义
直角三角形的概念、性质与判定
直角 有一个角是________的三角形叫做直角三角形
(1)直角三角形的两个锐角互余
性质
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 ____________ 斜边的一半
斜边的一半 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于____________
第21讲┃ 回归教材
中考变式
1． [2013· 扬州] 如图 21－4， 已知等腰 Rt△ABC 的直角 边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个 等腰 Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰 Rt△AFG， 则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 31 ________． 2
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D， 1 1 又S△ ABC＝ AC·BC＝ AB·CD， 2 2 AC·BC 9×12 36 ∴CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点C到AB的距离是 . 5 故选A.
第21讲┃ 考点聚焦 考点3 互逆命题
互逆 命题 互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其 中一个叫做________，那么另一个叫做它的 原命题 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 逆定理 个定理的________，称这两个定理为互逆定理
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判 断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
第21讲┃ 回归教材
回归教材
巧用勾股定理探求面积关系
教材母题 北师大版八上P26知识技能第4题 在图21－3中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12 厘米．求正方形CDEF的面积．
图 21－5
第21讲┃ 回归教材
请解答下列问题：
3 1＋ (1)S1＝________； 8
(2)通过探究，用含 n 的代数式表示 Sn，则 Sn＝ 3 3n －1 (n 为整数) 1＋ ·4 8 ____________________________.
第21讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
[2013· 四川] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在 一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21 －1，则三角板的最大边的长为 ( D )
第21讲┃ 考点聚焦 考点4 命题、定义、定理、公理
在日常生活中，为了交流方便，我们就要 定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确 的规定，也就是给他们下定义 定义 判断一件事情的句子叫做命题 分类 正确的命题称为________ 真命题 命题 假命题 错误的命题称为________ 组成 每个命题都由______和______两个部分组 条件 结论 成 公理 公认的真命题称为________ 公理 除公理以外，其他真命题的正确性都经过 定理 推理的方法证实，推理的过程称为 定理 ________． 经过证明的真命题称为________ 证明
图 21－1 A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D. 6 2 cm [解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝ 2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝ 2AB＝ 6 2(cm)．
第21讲┃ 归类示例
[2012· 广州] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9， BC＝12， 则点 C 到 AB 的距离是 ( A ) 36 12 9 3 3 A. B. C. D. 5 25 4 4