高考数学课堂学案配套课件 3.3.2 简单的线性规划问题

作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直 线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．
2019/10/10
23
解方程组34xx＋ ＋150y＝y＝230000，， 得 M 点的坐标为(20,24)． 答：应生产甲种产品20千克，乙种产品24千克，才能 获得最大经济效益．
2019/10/10
13
(2)v＝x－y 5表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D(5,0)的连线的斜 率．由图可知，kBD 最大，kCD 最小． 又 C(3,8)，B(3，－3)， ∴vmax＝3－－35＝32，vmin＝3－8 5＝－4.
2019/10/10
14
变式训练 2：已知变量 x，y 满足约束条件xx－ ≥y1＋，2≤0， x＋y－7≤0，
2019/10/10
31
2019/10/10
2
自主探究： 线性目标函数z＝2x＋3y最大值的几何意义是什么？
【答案】由 y＝－23x＋3z知，直线经过平面区域的截距最大时， 目标函数有最大值．
2019/10/10
3
课堂讲练互动
解决线性规划问题的一般方法 解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下： (1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域，注意作图准确； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
【答案】6
9 5
2019/10/10
16
题型三 线性规划的实际应用 例3：某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损 率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要 求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两 个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【答案】B
2019/10/10
28
x≥0，
2.约束条件为yx≥ ＋0y≥，4， 则目标函数 z＝4x＋5y(
)
2x＋y≥6.
A．无最大值有最小值 B. 无最小值有最大值 C．无最大值和最小值 D．有最大值和最小值
【解析】可行域无上界．
【答案】A
2019/10/10
29
3．在如图所示的区域内，z＝x＋y的最小值为________．
2019/10/10
24
课堂总结： 1．常见的几种目标函数的最值的求法： ①利用截距的几何意义； ②利用斜率的几何意义； ③利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出 (x，y)的可行域，利用(x，y)的条件约束，数形结合求得目标函 数的最值．
2019/10/10
25
2．线性规划应用题主要体现在两个方面：一是在人力、 物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最 多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．通常 是根据题意设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线 性目标函数，再利用图象，在线性约束条件下找出决策变 量，使线性目标函数达到最大(或最小).
则yx的
最大值是________，最小值是________．
2019/10/10
15
【解析】由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数 z＝yx表示坐 标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点 C 与 O 连线斜率最 大；B 与 O 连线斜率最小，又 B 点坐标为52，92，C 点坐标为(1,6)， 所以 kOB＝95，kOC＝6.故yx的最大值为 6，最小值为95.
2019/10/10
19
此时 z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当 x＝4，y＝6 时，z 取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能 在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
2019/10/10
20
变式训练3：某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg 要用煤9吨，电力4 kW，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品 1 kg要用煤4吨，电力5 kW，劳力10个．又知制成甲产品1 kg可 获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只有煤 360吨，电力200 kW，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙 两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
2019/10/10
12
解：画出满足条件的可行域． (1)令t＝x2＋y2.则对t的每个值，x2＋y2＝t表示一簇同心圆(圆心为 原点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．由图可知：
当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆过C点时u最大，过(0,0)
时u最小．又C(3,8)，∴umax＝73，umin＝0.
2019/10/10
21
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg，利润 z 万元，
9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， 则依题意可得约束条件：3x＋10y≤300， x≥0， y≥0.
利润目标函数为 z＝7x＋12y.
2019/10/10
22
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．
2019/10/10
10
【解析】如图所示，作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平 移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．
【答案】B
2019/10/10
11
题型二 求解非线性目标函数的最值 x－y＋5≥0，
例 2：设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； (2)求 v＝x－y 5的最大值与最小值．
课前自主学习： 1．关于x，y的不等式(组)称为对变量x，y的约束条件， 如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，则称约束条 件为__线__性____约束条件． 2．把要求最大(小)值的函数z＝f(x，y)称为__目__标__函数．
2019/10/10
1
3．在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，称为__线__性____规划问题．满足线性约束条件的解(x，y) 叫做__可__行____解，由所有可行解组成的集合叫做__可__行____ 域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 最优解．
识调整最优解，最后筛选出整点最优解．
③由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优
解，此时将可能的数逐一检验即可．
2019/10/10
6
典例剖析
题型一 求线性目标函数的最值 例 1：求 z＝3x＋5y 的最小值，使 x，y 满足约束条件 x＋2y≥3， 7x＋10y≥17， x≥0， y≥0.
2019/10/10
26
课堂检测：
x－y≥－1， 1.设变量x，y满足约束条件x＋y≥1，
3x－y≤3.
则目标函数 z＝4x＋
y 的最大值为( ) A．4 C．12
B. 11 D．14
2019/10/10
27
【解析】只需画出线性规划区域，如下图．
可知z＝4x＋y在A(2,3)处取得最大值11.
2019/10/10
5
特别提醒：寻找整点最优解的方法
①平移找解法：先打网格、描整点、平移直线l，最先经过或最后
经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整数最优解的信
息，结合精确的作图才行．当可行域是有限区域且整点个数又较

少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
②调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知
2019/10/10
4
(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注 意抓住“整数解”这一关键点)． 说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数 所表示的平行直线系中的任意一条直线l. ②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数， 求出目标函数的最值．
2019/10/10
7
解：画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的 阴影部分(包括边界直线)．
2019/10/10
8
作直线 l：3x＋5y＝0，把直线向右上方平移至 l1 的位置时， 直线经过可行域上的点 M，此时，l1：3x＋5y－z＝0 的纵截距 最小，此时 z＝3x＋5y 取最小值．
【解析】当直线x＋y－z＝0经过原点时，z最小，最小值为0. 【答案】0
2019/10/10
30
4．在如图所示的区域内，z＝－x＋y的最大值为________．
【解析】因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要使z最大，
只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点时，直线的纵截距
最大，最大值为2.
【答案】2
解方程组x7＋x＋2y1＝0y3＝，17， 得 M(1,1)． 故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
2019/10/10
9
2x＋y≥4， 变式训练 1：设 x，y 满足x－y≥－1， 则 z＝x＋y( )
x－2y≤2，
A．有最小值 2，最大值 3 B．有最小值 2，无最大值 C．有最大值 3，无最小值 D．既无最大值，也无最小值
2019/10/10
17
解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
x＋y≤10， 由题意知x0≥.30x，＋0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即
可行域．
2019/10/10
18
作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y ＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大，这里 M 点是直线 x＋y＝ 10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点． 解方程组x0＋.3xy＋＝01.01，y＝1.8， 得xy＝＝46，，