清华附中小升初题及分析

一、填空题Ⅰ1.已知11111111111111112324232009232008A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯+⨯+++⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112342009B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，那么B 与A 的差，B A -= .【分析】 观察到A 的最后一项和B 较相似，所以可以从后往前减：111111111111...1111...12342009200923420081111111...1;2342008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-⨯++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭发现这差又和A 的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到A 的第一项，则结果为1. 2. 甲、乙两包糖的重量之比是21∶，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量之比变为75∶，那么两包糖重量的总和是 克.【分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。

比例从2:1变成7:5，和分别是3和12，所以统一为12，也就是从8:4变成7:5，所以10克是1份，12份是120克。

3. 某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个减价25元出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价 元.【分析】 每个减价25元也就是说每个获利润20元，12件获利润240元。

按定价的70%出售10件也获利润240元，所以每个获利润24元，比定价少21元。

这21元是定价的30%，所以定价是70元。

4. 如图1，在角M O N 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、f 六个点，并且O AB △、ABC △、BCD △、C DE △、D EF △的面积都等于1，则D C F △的面积等于 .【分析】 ::2:1O C B BC D O B BD S S ∆∆==， ::4:1OED DEF O D D F S S ∆∆==所以1333,4444D C F B C D D F O D B D S S ∆∆====。

5.将正整数从1开始依次按如图2所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…….那么在第100个拐角处的数是 .【分析】观察可发现，第2n 个拐角之前有一个(1)n n ⨯+的矩形，所以第2n 个拐角处的数等于21n n ++，第100个拐角处的数为2551。

6. 设101104107200910k A ⨯⨯⨯⨯=⨯ ，这里A ，k都是正整数，那么k 的最大值为 .O图122202119181716141512111098764321图2【分析】 只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多。

101到2009里面共有(2009101)31637-÷+=个数。

其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5。

所以，含有5的因子个数为12525514160++++=。

7. 在1，2，3，4，5的所有排列1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中，满足条件12a a >，32a a >，34a a >，54a a >的不同排列的个数是 . 【分析】 24,a a 中一定有1，另一个只能是2或3。

如果24,a a 是1，2，另外三个数可以任意排列，有2612⨯=种； 如果24,a a 是1，3，则3的两侧只能放4和5，有224⨯=种。

所以，共有16种。

二、填空题Ⅱ8.某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上700∶开始工作，他们将在上午1100∶完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚1小时开始，那么他们完成工作的时刻是 ∶ .【分析】 根据题意，甲晚开始1小时，乙晚开始1个半小时，结果晚完成1小时20分钟，也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量，乙的工效是甲的2倍。

如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10分钟，10:50。

9. 已知正整数N 的八进制表示为812345654321N =（），那么在十进帛下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是 .【分析】288(12345654321)(111111)=。

根据n 进制的弃1n -法，8(111111)被7除余6，所以其平方被7除余1；89(11)=，显然8(111111)被8(11)整除，所以其平方也被8(11)整除。

因此两个余数之和为1。

10. 如图3，四边形ABC D 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB=，14C F BC=，AF与C E 相交于G ，若矩形ABC D 的面积为120，则AEG △与C G F △的面积之和为 .【分析】过F 做C E 的平行线交A B 于H ，则::1:3E H H B C F F B ==， 所以122A E EB E H ==，2A G G F =，122311033942A E G AB F A BCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯= 。

图3同理，过E 做A F 的平行线交B C 于I ，则::1:2F I IB A E E B ==， 所以13C F F B F I ==，C G G E =，1152C G F A E G S S ∆∆=⨯⨯=。

所以两三角形面积之和为15。

11. 如图4，在加法算式中，八个汉字“清华附中龙班大学”分别代表0到9中的某个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“清华附中”的最大值等于 .【分析】为避免显示不兼容问题，现用拼音首字母代替汉字。

原式为20091Q H FZ Q H LB Q H D X ++=，即120097991Q H FZ Q H D X Q H LB D X LB =--=+-。

为了使Q H F Z 最大，则前两位Q H 先尽量大，最大可能为80。

假设80Q H =，则继续化简为9FZ DX LB =--。

9DX LB --最大为9712976--=，此时出现重复数字，需要进行调整，9612975--=，符合题意，所以最大值为8075。

12.设a ，b 是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对,a b （）共有 组.【分析】 5395042311=⨯⨯，(,)a b 所含2的幂的情况可能是(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5)；(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有1173231⨯⨯=种.13.某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到 人.【分析】设原人数为abc ，则有180abc bac -=，即2a b -=。

从大到小尝试，9703626...34÷=，所以所求答案为972。

14. 设A 、E 为正八边形ABC D EFG H 的相对顶点，顶点A 处有一只青蛙，除顶点E 外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个，落到顶点E 时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A 出发恰好跳10次后落到E 的方法总数为 种.【分析】 +学大华清清华龙班中附华清9002图414. 可以使用递推法。

回到A 跳到B 或H 跳到C 或G 跳到D 或F停在E1步 1 2步 2 1 3步 3 1 4步 6 42 5步1046步 20 148 7步 34 14 8步 6848289步11648所以，10步跳到E 有96种方法。

三、解答题(请写出详细解题过程)：15.某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知每生产一件A 产品需甲原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B 产品需甲原料4千克和乙原料10千克.现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A 、B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案.【分析】 设生产A 产品x 件，则生产B 产品(50)x -件。

需要甲原料94(50)2005x x x +-=+千克，需要乙原料310(50)5007x x x +-=-千克。

为避免原料不够用，则20053605007290x x +≤⎧⎨-≤⎩，解得3032x ≤≤。

16.如图5，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立. 【分析】 共有12种可能的扇形，每个数恰好被4个扇形覆盖。

这12个扇形分为4组，同一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。

所以，如果去掉3个，则一定还有一组是完整的，这组的3个扇形覆盖整个表盘。

另一方面，如果从12个扇形中去掉4个扇形，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被盖住。

17. 对四位数abcd ，若存在质数p 和正整数k ，使k a b c d p ⨯⨯⨯=，且5pa b c d p +++=-，求这样的四位数的最小值，并说明理由.【分析】17. 因为2250-<，33522-=，555-太大，所以3p =。

因为abcd 是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9。

观察可知恰好有139922+++=，所以最小的这样的四位数是1399。

图5。