轻松学运筹系列-经典例题及详解

1
分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2
St.⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤+0,242615532
12121x x x x x x 解：①图解法：
由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨
⎧=+=+24
2615
532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：
将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4
St. ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535
421421321x x x x x x x x x x
其约束条件系数矩阵增广矩阵为：
P 1 P 2 P 3 P 4
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到
T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.
2
分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥=++=-+=+)
4,3,2,1(0426343
34213
2121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343
34213
2121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2
Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=≥=++=+-+=++0
,).4,3,2,1(0426343
3214112
321121y y j xj x x x y x x x y x x
(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2
St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0
,).4,3,2,1(0426343
3214112321121y y j xj x x x y x x x y x x
第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到
Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4
3
给出线性规划问题： Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)
4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *
=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：（1）对偶问题为 Min ω=8y 1+6y 2+6y 3+9y 4
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥+≥+++≥++)
4,3,2,1(01
1
432
3
1434321421i yi y y y y y y y y y y y (2)由互补松弛性可知：x 1+x 2+x 3=8<9 为严格不等式 y 4=0. 相反，其对偶问题的约束条件（1），（2），（3）的对偶变量值为非零（对偶问题的对偶即原问题），有
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
==++=+=++143222332121421y y y y y y y y y ⇒y 1=4/5,y 2=3/5,y 3=1
即对偶问题的最优解为Y *
=(4/5,3/5,1,0)
4
已知线性规划问题
Max z=2x 1-x 2+x 3
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤++0,,463
2121321x x x x x x x x 先用单纯型法求出最优解，，再分析在下列条件变化的情况下最优解的变化 （1） 目标函数变为Max z=2x 1+3x 2+x 3; （2） 约束右端项由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46变为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛43；
（3） 增添一个新的约束条件-x 1+2x 32≥.
解：单纯形法求解： 先化为标准形式有
Max z =2x 1-x 2+x 3+0x 4+0x 5
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=++-=+++0,,,,4265
43215214321x x x x x x x x x x x x 系数矩阵的增广矩阵为： P 1 P 2 P 3 P 4 b
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-4002161111 初始基可行解为：x=(0,0,0,6,4)
因此最优解为（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）T
=(6,0,0,0,10),最优值Max z=12.
即最优解变化为（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）T
=（8/3，10/3，0，0，0） （2）由上可得 B
1
-=⎢
⎣⎡11⎥⎦⎤10,而b ∆=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡03
则b ∆＇
=B
1
-b ∆=⎢⎣⎡11⎥
⎦⎤10⎥⎦⎤⎢⎣⎡03=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡33 其反映到最终单纯型表中得：
原问题对偶问题均有可行解，即最优解为（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）T
=（9，0，0，0，13）. (2) 将原问题的最优解代入约束条件，因-6+0<2,即原问题最优解不是本例的最优解.在新的
约束条件中加剩余变量得：-x 2+2x 3-x 6=2,即x 1-2x 3+x 6=-2. 以x
为基变量，将上式反映到最终单纯型表中得：
上表x1列不是单位向量，故需进行变换，得：
即添加新的约束条件使得最优解变为（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）T
=（10/3，0，8/3，0，22/3，0）. 5
求图网络中各顶点间的最短路。

权矩阵：
D=D )
0(=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞091201820014020121650
D (k)=(d (k)ij)n ⨯n=(Min []
kj d ik d ij d k k k )1()1()1(,---+)n ⨯n
则：D (1)
=()
()⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∞
∞∞∞
∞∞∞
∞∞
0912
0182003214360201216
5
其中D (1) =(Min [
]
kj d ik d ij d
)0()0()
0(,+)表示从Vi 点到Vj 点的最短路。

同理，D (2)
=()
()()
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞09
4812320182003214360201219650
D (3)
=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞
∞094812
3201820032143602012191650
其中d (2)ij 与d (3)ij 分别表示从Vi 到Vj 最多经中间点V1,V2与V1,V2,V3的最短路长。

D (4)
=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞
∞0948123201820032143602012191650
D (5)
=()
()⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞094812
32
01820030503214360
2012191650
如上D (5)就给出了任意两点间不论几步到达的最短路长。

6
求图中网络最大流，边上数为（C ij ,f ij ）
.
解：从Vs 出发标号，得到下图：
找到一条增广链，1μ：Vs-V3-V2-Vt
且1=t σ。

在1μ上修改可行流得：f 2t ＇ =6+1=7 .f 32＇
=3+1=4;
.f s3＇
=2+1=3. 修改后的网络图如下：
再对上图进行标号，得到下图：
找到一条增广链，2μ ：Vs-V4-V5-Vt 且2=t σ。

在2μ上修改可行流得：
.f 5t ＇=3+2=5; .f 45＇=2+2=4; .f s4＇=4+2=6. 修改后的网络图如下：
再对上图进行标号，得到下图：
找到一条增广链，:3μVs-V4-V3-V5-Vt 且1=t σ。

在3μ上修改可行流得：
f 5t ＇＇=5+1=6;
.f 35＇=3+1=4; .f 43＇=2+1=3; f s4＇＇=6+1=7. 修改后的网络图如下：
同理，再对上图进行标号，找到一条增广链，
4μ：Vs-V1-V3-V5-Vt 且1=t σ。

在4 上修改可行流，得：f 5t ＇＇＇=6+1=7； f 35＇＇=4+1=5； f 13＇=2+1=3; f s1＇=3+1=4. 修改后的网络图如下:
再对上图标号，进行到V4时无法进行下去。

上述可行流就是最大流。

割集为{（Vs,V 1）,(Vs,V 3),(V 4,V 3),(V 4,V 5)},最大流量为：F=f s1+f s3+f s4=4+3+7=14.
7
下图所示网络中，有向边旁数字为（Cij,dij ）,Cij 表示容量，dij 表示单位流量费用，试求从Vs 到Vt 流值为6的最小费用流。

(图a)
解：构造费用网络图，如下：
（图b ）L(f (0))
Vs-V3-V4-Vt 为最短路。

（图c）f(1)
(图d) L(f(1) ) Vs-V3-V2-Vt 为最短路。

（图e）f(2)
(图f) L(f(2) )
Vs-V1-V2-Vt 为最短路。

（图g）f(3)
（图b）为费用图L(f(0)) ，其中f 0=0为零流，最短路为Vs-V3-V4-Vt，记为μ0。

（图c）为容量图f(1)，在μ0上可增加流量θ1=3，得新的可行流，流量f1=3,边上有序对为（C ij,f ij）.
(图d) 为费用图L(f(1) )，最短路为Vs-V3-V2-Vt，记为μ1。

（图e）为容量图，新增流量θ2=1，f2=4.
(图f) 为费用图L(f(2) )，最短路为Vs-V1-V2-Vt，记为μ2。

（图g）为容量图，新增流量θ3=2，f3=6,此流量图为最大流，即W(f(3))=6.
.d (f(3))=2⨯2+2⨯5+3⨯1+1⨯4+4⨯1+3⨯3+3⨯1=37.
8
对下图所示网络，各项工作旁边的3个数分别为工作的最乐观时间，最可能时间和最悲观时间，确定其关键路线和最早完工时间的概率。

解：根据网络图列出相应的时间表：
→③→④→⑤→⑥→⑧→⑩。

总完工期为41天，由于关键工作为（1，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，8），（8，10）， 所以
∑2
σ
=2
10,828,626,525,424,322,1σσσσσσ+++++
=222222225.0167.2667.0667.0+++++ ≈3.779
最早完工时间为27（最乐观时间），则最早完工时间概率为P(T ≤27)=φ(-3.76)-1-φ(3.76)=0.0001.
9
某项工程各道程序时间及每天需要的人力资源如下图。

图中箭头上的英文字母表示工序代号，括号
内数值是该工序总时差，箭线下边数为工序时，括号内为该工序每天需要的人力数。

若人力资源限制每天只有15人，求此条件下工期最短的施工方案。

解：
甘特图如上所示：
（黑色表示（1，5）时间段网络图，红色表示（5，7）时间段移动后的网络图，绿色表示（7，8）时间段移动后的网络图）
（1）第一阶段为[]5,1，需求量为21人/天，在调整时对各工作按总时差递增顺序排队编号；
工作为（1，5），总时差为零，编号为1#；
工作为（1，2），总时差为1，编号为2#；
工作为（1，3），总时差为2，编号为3#；
工作为（1，4），总时差为7，编号为4#；
限制人力为15人/天，所以把（1，4）移出[]5,1时间段，把（1，3）后移一天（注意到（2，5）需求量为6）。

（2）第二阶段为[]7,5，编号如下：
工作（5，7），总时差为0，编号为1#；
工作为（3，6），总时差为1，编号为2#；
工作为（3，7），总时差为2，编号为3#；
工作为（1，4），总时差为3，编号为4#；
限制人力为15人/天，所以把（1，4）后移3天（注意到（3，7）总时差为2，第七天完成）。

（3）第三阶段为[]8,7，各项工作在人力充分利用情况下，没有超过限制，直至工程结束。

10
已知下列网络图有关数据如表，设间接费用为15元/天，求最低成本日程。

解：首先使用求网络最大流的标号法来确定关键路线：
计算出各工序的成本斜率：（1，2）：10 （2，3）：20 （2，4）：30 （3，4）：不存在
（3，5）：15 （4，6）：25 （4，7）：50 （5，8）：不存在
（6，8）：20 （7，8）：30
本工程的网络图，如下：
如图所示，关键路线为①→②→③→④→⑥→⑧，正常工时下总费用为100+200+0+250+180=730元，
⨯15405元。

总工期为6+9+0+8+4=27天，任务总间接费用为27=
（1）关键路线上，工作（1，2）的成本斜率相比之下最小，应选择在工作（1，2）上缩短工时，由原表可
知最多可以缩短2天，即取工作（1，2），新工时为6-2=4天。

重新计算网络图时间参数，得出关键路线为①→②→③→⑤→⑧，工期为23天，实际缩短34天，增加了直接费用2⨯10=20元。

（2）关键路线变为①→②→③→⑤→⑧，在此路线上，工作（2，3）的成本效率相比之下最小，应选择工作（2，3）上缩短工时，由原表可知，最多缩短4天，新工时为5天。

重新计算网络图时间参数，找出关键路线，计算总直接费用，总间接费用，总成本，总工期。

（3）和（4）的调整过程如上，最后结果如下：
由上表可得，最低成本日程为25天，总成本为1705元。