北师大版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：n次试验分数法的试验设计

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北师大版高中数学选修4-7：优选法与试验设计初步-双因素选优问题_课件1

例2 影响某化工产品产量的主要因素为温度和时间，其试验范围为温度55~75℃，时间30~310min。要求利用优选法选择合适的合成条件，以提高影响某化工产品的产量。
解：
（1）先固定温度为 65 ℃，用单因素优选法优选时间。得最优时间为150min，其收率为41.6%。
（2）固定时间为150min，用单因素优选法优选温度。
附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液
比如我们估出每吨加入量在1克至1000克之间，这样我们就可以借用黄金分割规律来简化试验次数，而不必从1克到1000克做1000次试验，我们用一个有刻度的纸条来表示 1至1000克。在纸条上找到618(1000×0.618)克的地点画一条竖线，做一次试验，然后把纸条对折起来，找到618的对称点382(618×0.618)，再做一次试验，如果382克为最好，则把618以外的纸条裁掉。然后再对折，找到382的对称点 236(382×0.618)做试验，这样循环往复，就可以找到最佳的数值。
得最优温度为67℃，其收率为 51.6% 。（去掉温度小于65℃部分）
（3）先固定温度为67℃，对时间用单因素优选法优选。得最优时间为 80min，其收率为56.9%。（去掉时间大于150min）部分。
（4）再固定时间为80min，再对温度进行优选。此时温度优选范围为65~75℃。优选结果还是67℃。
（4）比较P1和P2的大小。如果P2大，去掉通过P1点的直线所分开的不含P2点的部分，即x(a+b)/2部分。
（5）在通过P2的垂线上找最大值，设为P3。（6）比较P2和P3的大小。
如果P3大，去掉通过P2点的直线所分开的不含P3点的部分。
（7）继续做下去......直至找到最佳点。

北师大版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：常见试验设计方案_课件2

这样，我们作4次试验，就选定了一个较优的试验A2B2C1.
这种试验设计方法成为逐个因素寻找法。
方案分析
这个方案的优点是减少了试验次数，不过，这种方法的缺点也是显而易见的：以因素C为例，在因素A,B固定为A1B1时，水平C1是最好的，但当因素A,B的组合变为A2B2时，因素C选取水平C1好，还是选取水平C2好，就不一定了。
第一组两个实验的结果分别为y1，y3，第二组两个实验的结果分别为y2，y4。
要比较A1与A2的优劣，可比较y1+y3与y2+y4 的大小。
这里，在对y1+y3与y2+y4进行比较的时候，已经基本剔除掉了因素B，C的影响，因为第一组中B1，B2，C1，C2各出现一次，在第二组中， B1，B2，C1，C2也各出现了一次，二者“条件” 相同。
这是一种试验设计方案，我们称之为全面实施方案。
方案分析
这个方案的有点是一定可以找到所有搭配中最优的方案。
不过，它的确点也是明显的——试验次数过多，特别是在因素数目较多、水平选取较多的情况下，全面实施方案是无法实现的。
例如，在某个试验中，影响试验指标的因素有13个，每个因素都取3个水
平，如果把所有的情况都试一遍，则要做313-1594323次试验。
试验结果
y1 y2 y3 y4
这里，以y1，y2，y3，y4分别计这4个具体试验的试验结果。研究每个因素不同水平之间的优劣。
以因素A为例，容易看到，对任何两个实验做比较，都无法判断同一因素两个水平的优劣，为了比较水平的优劣，我们采取下面的方法。
把4个试验分为两组，第1号和第3号试验为第一组，第2号和第4号试验为第二组。
思考交流

高二数学(文)《选修4-7 优选法与试验设计初步(学案)》

选修4-7 优选法与试验设计初步第一节优选法【考纲点击】1．掌握黄金分割—0.618法、分数法及其适应范围，能运用这些方法解决一些简单的实际问题，知道优选法的思想方法；2．了解斐波那契数列}{n F ，通过ω的渐近分数列}{1nn F F -理解分数法与黄金分割法的联系；3．了解对分法、盲人爬山法、分批试验法及目标函数为多峰情况下的处理方法； 4．了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选法及其优选思想．【高考成功方案第1步】〖典题热身〗1．某主要因素对应的目标函数如图所示，若c 是最佳点，则下列说法中正确的是（）A 、,d e 都是好点B 、区间],[d a 是一个存优范围C 、d 不是好点D 、,a b 是分界点2．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8,1.2,K K ΩΩ1.8,3,3.5,4,5K K K K K ΩΩΩΩΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第一个试点值的电阻可以是（） A 、0.8K Ω B 、3K Ω C 、3.5K Ω D 、ΩK 43．现决定优选加工温度，假定最佳温度在60~C70之间，用0.618法进行优选，则前两次的试点温度为． 4．连分数111123=++ ．〖知识必备〗1．优选法的概念利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点，从而解决优选问题的科学试验方法，称为优选法． 2．单峰函数函数()f x 在区间],[b a 上只有唯一的最大值点（或最小值点）C ，而在最大值点（或最小值点） C 的左侧，函数单调；在C 的右侧，函数单调，则称这个函数为区间],[b a 上的单峰函数．规定：如区间],[b a 上的单调函数是单峰函数．3．黄金分割法——0.618法试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法．其中251+-=ω，其近似值为0.618，故又称为0.618法．黄金分割法适用于目标函数为的情形，第1个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点采用的方法确定． 4．分数法（1）定义：在优选法中，用近似代替ω确定试点的方法叫做分数法．（2）适用范围：适用于目标函数为的情形．如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这时只能采用分数法． 5．几种常用的优选法：、、6、多因素方法：、、、【高考成功方案第2步】 [考点一] 单峰函数[做一题] [例1]下列函数是区间]5,1[上的单峰函数的有． ①x y sin =； ②x y =； ③x y ln =； ④x x y 123-=．[悟一法]1．如果函数()f x 在区间),(b a 上有唯一的极值点，则()f x 在区间],[b a 上是单峰函数； 2．如果函数()f x 在区间],[b a 上是单调函数，则()f x 在区间],[b a 上是单峰函数； 3．若函数()f x 在区间],[b a 上是单峰函数，C 是最佳点，如果在区间],[b a 上任取12,x x ，如果在试验中效果较好的点是1x ，则必有C 和1x 在2x 的同侧；若以2x 为分界点，含1x 点的区间范围是函数的一个存优范围．[通一类]1．下列图象表示的函数中是[a,b]上的单峰函数的是．[考点二] 黄金分割法[做一题] [例2] 若某实验的因素范围是[]100,1100，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量．分别以n a 表示第n 次试验的加入量，其中要求21a a >（结果都取整数）．（1）1a = ；（2）若干次试验后的存优范围包含在区间[]700,750内，则5a = ．[悟一法]1．利用黄金分割法寻找最佳点，为了合理地选取实验点，需要注意两点： ①每次要进行比较的两个试验点，应关于存优范围的中心对称； ②每次舍去的区间长与舍去前的区间长的比例数是ω-1．2．在原始的因素范围],[b a 上确定第一个试验点1x 的方法是ω)(1a b a x -+=，在此基础上确定第二个试验点12x b a x -+=，即这可以概括为“加两头，减中间”；3．在确定第n 个试验点n x 时，如果存优区间的好点是m x ，则=n x 小+大m x -； 4．精度是反映试验效率的数值，它与试验次数有关．n 次试验后的精度n δ=1618.0-n ；在达到精度δ条件下的试验的次数n 应满足δ≤-1618.0n ，即1618.0lg lg +≥δn[通一类]2．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，误差不能超过１mL ，则需要做次试验．（lg 0.6180.209≈-） 3. 用0.618法进行优选法时，若某次存优范围[]2,b 上的一个好点是2.382，则b 的值为．[考点三] 分数法[做一题]［例3］卡那霉素以酵液生物测定，国内外通常规定培养温度为C )137(±，培养时间在16小时以上．某制药厂为缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为C29~C50，精确度要求C1±，中间试验点共有20个．现用分数法进行优选，最多需进行多少次试验才能找到最优点，并确定第1、2两个试验点．[悟一法]1．分数法的基本思想是用渐近分数代替ω来确定第一个试验点的值，后续试点都可以用“加两头，减中间”的方法来确定；2．用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个1-n F ，则前两个试点放在因素范围的n n F F 1-和nn F F 2-位置上，即先在1-n F 和2-n F 上做试验；若可能的试点总数大于某一个1-n F ，而小于11-+n F ，先分析能否减少试点数，把所有可能的试点数减少为1-n F ；如果不能减少，则采取试点范围之外，虚设几个试点，凑成11-+n F 个试点；3．在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从11-+n F 个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点．[通一类]4．目标函数是单峰函数，若用分数法需要从7个试验点中找出最佳点，则前两个试验点放在因素范围内的位置为（） A 、52，53 B 、83，85 C 、135，138 D 、218，2113[考点四] 多因素分析法[做一题]［例4］（1）右图是一个纵横对折法某次试验后得到两个试验点1A ,1B ，比较试验结果表明1B 比1A 好，则存优范围（Ⅰ，Ⅱ分别表示两个因素）是．（2）右图是某双因素试验结果图，则这种方法应该是（）A 、纵横对折法B 、从好点出发法C 、平行线法D 、盲人爬山法（1）（2）[悟一法]1．纵横对折法：先用横纵坐标分别表示两个因素，试验的第一步是：先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点，对因素Ⅱ进行单因素优选，得到一个最佳点1A ．再将因素Ⅱ固定试验范围的中点，对因素Ⅰ进行单因素优选，得到一个最佳点1B ，然后比较1A 与1B 的试验结果，丢弃不包括好点平面区域； 2．从好点出发法：对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上（除第一次外）； 6. 平行线法：（1）平行线法用于双因素问题中，若一个因素不容易调整，而另一个因素容易调整的情形；（2）步骤：①先将难以调整的因素（记为因素Ⅱ，并用纵坐标表示）固定在因素范围的0.618处，用单因素方法对另一个因素（记为因素Ⅰ，并用横坐标表示）进行优选，得到最值点A ；②然后再将因素Ⅱ固定在其因素范围的0.382处，再用单因素法对因素Ⅰ进行优选，得到最值点B ；③若点A 比B 点好，则去掉B 以下部分；若A 点比B 点差，则去掉A 以上部分；.④然后按0.618法找出因素Ⅱ的第三好点，对因素Ⅰ进行单因素优选，⋅⋅⋅，如此继续下去，直到找到满意的结果为止．[通一类]5．用平行线法进行双因素单峰问题优选时，在用0.618法先固定某因素，然后再对另一因素进行单因素优选，则每次去掉的试验范围区域面积占存优范围区域面积的（用小数表示）．【高考成功方案第3步】【高考动态】[热点分析]本部分内容主要考查黄金分割法与分数法，属中低档难度的题目，且这两个考点代表着优选法中的一个重要考向． [考题印证]（2011年湖南）已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是．Ⅰ因素Ⅱ因素.0.01Ⅰ【前沿预测】1．用0.618法确定试点，经过四次试验后，存优范围缩小为原来的．2．用0.618法对某一试验进行优选，因素范围是]8000,2000[，则第二个点为．3．营养师在烹制某种食物时，需要对加工温度进行优选，试验范围为C73~60精度要求达到1±，若最佳点为C70，则第三次试验点为．4．某试验因素对应的目标函数是单峰函数，若用分数法需要从33个试验点中找到最佳点，则最多需要做试验的次数是次．【高考成功方案第4步】1．下列函数在]5,1[-上不是单峰函数的为（）A ．132++-=x x yB ．x e y =C ．3x y =D ．x y cos =2．用0.618法寻找某实验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，则此时要做试验的加入点值是（） A ．628＋7742B ．628＋0.618×(774－628)C ．628＋774－718D ．2×718－7743．有一条1 000 m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没有电，现在用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在（） A ．500 m 处 B ．250 m 处 C ．750 m 处D ．250 m 或750 m 处4．下列结论中，正确的结论是．（填上所有正确结论的序号） ①运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点； ②运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点；③运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果；④运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验范围内取不同的点用起点，其效果快慢差别不大． 5．用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为]4,2[，前两次选取的试点分别为1x ，2x )(21x x <，若1x 处结果比2x 处好，则第三个试点为．6．某车床的走刀量（单位：r mm /）共有如下13级：0.3，0.33，0.35，0.40，0.45，0.48，0.50，0.55，0.60，0.65，0.71，0.81，0.91，那么前两的试点为．7．用对分法寻找最佳点，要求精度达到0.01，至少需要做次试验)3010.02(lg =． 8．如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点1A ，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点2A ，若2A 处的试验结果比1A 处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在处．.0.0Ⅰ9．如图，在每批做2个试验的比例分割分批法中，将试验范围7等分，第1批试验先安排在左起第3，4两个点上，若第3个点为好点，则第2批试验应安排在和两个点上．10．在乙酰胺苯的磺化反应中，为了提高乙酰胺苯的产率，利用优选法选择合适的工艺，根据分析，主要因素为反应温度和硫酸浓度，已知其试验范围为：温度40℃~60℃；硫酸浓度60%~80%.某技术员用从好点出发法对工艺进行优选，过程如下：先固定温度为52℃，得最优浓度为68%，产率为38%；然后固定浓度为68%，得最优温度为47℃，产率为43%；再固定温度为47℃，得最优浓度为72%，产率为51%；又固定浓度为72%，得最优温度为47℃，则在实际生产采用的工艺条件中，温度和浓度分别为 ℃和 %． 11．已知函数)0(123)(23≠++=a ax x x f 是]2,1[-上的单峰函数，求实数a 的取值范围．12．某化工厂准备对一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度．试验范围定为C 80~60，精确度要求C 1±，现技术员用分数法进行优选．若最佳点为C 69，试列出各试验点的数值．第二节试验设计初步【考纲点击】1．了解正交实验的思想和方法，会合理地选择正交表，正确安排试验并对试验结果作出正确分析；2．能应用正交实验的思想和方法解决一些简单的实际问题．【高考成功方案第1步】〖典题热身〗1．某试验有2个因素，每个因素可以取3个不同水平，若采取全面实施的方法进行试验，共需进行的试验交数为（）A 、5B 、6C 、8D 、9 2．某正交试验设计所用的正交表是)2(34L ，则不正确的说法是（） A 、这是一个三水平的正交表 B 、这个试验的因素有三个 C 、需要进行四次试验 D 、这是一个二水平正交表 3．下面关于24k 的描述正确的是（）A 、24k 表示正交表中第2列对应的因素的第4个水平所参入的各次试验结果的和B 、24k 表示正交表中第2列对应的因素的第4个水平所参入的各次试验结果的平均值C 、24k 表示正交表中第4列对应的因素的第2个水平所参入的各次试验结果的平均值D 、24k 表示正交表中第4列对应的因素的第2个水平所参入的各次试验结果的和4．已知因素A ，B ，C 对应的1R ，2R ，3R 分别为5，8，3，则影响试验的主要因素是（）A 、AB 、BC 、CD 、不能确定5．从如图所示的8个试验中，选择4个符合搭配原则的试验结果为．〖知识必备〗1．正交试验设计人们在长期的科学试验和生产实践中，总结出了一种解决安排多因素问题的方法——正交试验设计法，它借助预先设计好的“正交表”来安排试验和对数据进行统计分析，帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的试验方案． 2．正交表)2(34L 的含义．符号“L ”表示正交表，L 右下角的数字4表示这张正交表有4行，它意味着需要做4次试验．括号里的指数3表示这张正交表有3列，每列中的数字代表试验因素，每列仅可放一个因素，它意味着最多可安排3个因素．括号内的数字2表示表的主要部分只有两个数字——1和2，它们分别是因素的和的代号，因此)2(34L 是一张2水平的正交表．3．正交试验设计法安排试验的步骤（1）明确试验目的，确定试验指标；（2）选因素，定水平；（3）选适当的下正交表；（4）安排试验方案；（5）对试验结果进行直观分析；（6）获得最佳搭配方案；（7）分析影响结果的主次因素；（8）对分析出的最优搭配进行再试验 4．正交表的特性（1）每一列中，不同的数字出现的次数相等，即同一因素的任一水平在试验中出现的机会；（2）任意两列，将同一行的两个数字看成有序数对时，每个有序数对出现的次数，即任何两个因素的各种水平搭配在试验中出现的机会也．【高考成功方案第2步】 [考点一] 正交试验设计[做一题][A((完成上表，求使得试验结果最优（数值最大）的因素组合，并找出影响试验结果的主要因素．[悟一法] 1．)(n m L α表示一张α水平正交表；2．pq K 表示正交表中第q 列中水平p 的试验结果之和；pq k 表示pq K 的平均值，即pq k 重复的次数列中水平第p q K pq=，反映某一因素中不同水平对试验结果的影响；3．}min{}max{pq pq q k k R -=，反映影响试验结果的主次因素．[通一类]1．在)2(78L 的任意两中，将同一行的两个数字看成“数对”，则这样的“数对”有． 2．用正交表对某化学反应中对反应结果进行分析，所得部分的数据已填写在下表：[考点二] 正交试验设计法的应用[做一题][例2]某农科所培育了一种玉米新品种，为确定该品种的高产栽培条件，科研人员选择了三个试验因素：种植密度、施化肥量、施农药量，分别记为A，B，C，每个试验因素选2个用正交试验设计安排试验，选择适合试验要求的正交表L4(2)，按照正交表安排，需做４次试验，试验安排及结果如下表：试将表中的“？”处填上数据，并指出影响产量的主要因素及高产栽培的最好条件.[悟一法]1．应用正交试验法进行试验设计的步骤：（1）确定试验的因素和水平；（2）根据确定的因素和水平，选择一张正交试验表；（3）根据正交试验表安排试验方案．2．选择正交试验表应遵循的原则：（1）正交表的水平数与试验问题中的水平数相同；（2）正交表的列数不少于参与试验的因素的个数；（3）试验的次数最少．[通一类]3．在利用白地霉生产核酸的工艺试验中，主要的因素有因素Ａ-白地霉的核酸含量；因素Ｂ-腌制时间；因素Ｃ-pH值；因素Ｄ-加水量，各因素的取值如下表：【高考成功方案第3步】【前沿预测】 1．用正交表)3(49L 能安排试验的是（）A 、三因素二水平B 、三因素三水平C 、四因素二水平D 、三因素五水平2．某产品产量与温度、反应时间、催化剂浓度等因素有关．通过正交试验设计，把结果列则=21k ，=13k ．3．一个三因素二水平的正交试验中，数据分析如下：2511=k ，2821=k ，2612=k ，2122=k ，2413=k ，2323=k则三个因素ABC 的最佳组合为． 4那么在此试验中的主要因素是．【高考成功方案第4步】1．某产品的转化率受反应时间h )2,1(，温度C)90,80(，催化剂浓度%)6%,5(三个因素影响，全部安排试验的个数为（）A 、4B 、6C 、8D 、9 2．某同学用)2(34L 安排正交试验，老师一看就知道错了，错误的地方是（）A、第1个试验B列为2B、第2个试验C列为1C、第3个试验B列为2D、第4个试验B列为23．下表是生产某化工产品的正交试验设计表：4则4次产量的平均值为．5．用正交表对某化学反应的部分结果进行分析如下．已知产量列四处有一处错误，则错误的数为（）A、60B、62C、61D、646．某厂生产一种化工产品，其得率很低．经过分析得出，反应时间、反应温度、反应压强这3个因素对生产的影响较大．因此就从这3个因素的每一个因素中抽取3种水平来进行搭配试验，希望通过试验找出最佳水平组合，并了解各个因素对生产指标影响的主次情况，以达到提高生产的目的，各因素的水平情况如下表：（1）这是个水平和个因素的试验，所有可能搭配情况共有种；（2）进行正交试验设计，要选择正交表该表共有个横行，就是要做次试验．第1号试验：（具体内容：反应温度：300C；反映时间：1h；反应压强：大；）第4号试验：（具体内容：反应温度：400C；反映时间：1h；反应压强：；）7．在梳棉机上纺粘棉混纱，为了提高质量，确定3个因素，每个因素有2个水平，因素水平如下表：4依次为0.35，0.20，0.30，0.40，请画出正交表，并根据正交表找出最优组合及各因素影响的大小．。

北师大版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：试验设计

试验设计
实例1 现要对某一艾滋病易感人群进行检测。设人群有1000人，其中共有10个感染者。我们希望通过血样检验的方法，找出这10个感染者。
分析我们可以一个一个地进行检验，在最坏的情况下，需要作999次检验。
为了减少化验次数，常采用分组化验的方法。
即把几个人的血样混在一起，先化验一次，若化验合格，则说明这几个人全部正常；若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对他们作进一步的化验（逐个化验，或者分成小组化验）。
可见，只称量一次，就排除了8个球，下面可以按照方案二中的办法，最多再需2次就可以完成任务。
从上面的两个例子不难看出，试验是需要设计的，如果试验方案选择得好，试验次数就可以减少，我们把设计试验方案的学问叫作试验设计。
这种方法最多要称量10次才能完成任务。
方案二把12个球平均分成6组，把每组的2个球分放在天平两边，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的。
方案三把12个球平均分成3个组（每组4 个），先把其中两组分别放到天平两边，如果平衡，则重一点的球一定在剩余一组中；如果不平衡，那么较重的一边的4个球当中就一定有我们要找的那个球。
思考交流
实例2 在12个外表相同的小球中，11个球的质量都是10g，另一个要重一些（但仅凭手感无法分辨），给定一个没有砝码的天平，请设计一个试验方案，把这个重一点的小球挑出来。
方案一先把两个球放到哦天平两边的盘中，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的；如果平衡，就把其中一个球（哪个都行）作为标准，用它称量其他球，与它不同的就是我们要找的。
例如，把这1000人平均分成100个组，每组10人。
考虑病人分布比较分散的情况，假设这10 个感染者分散在10个组中，对每一组的混合血样进行化验，则至多作99次血样检验，就可以把这10个组找出来。对这10个组（100人）逐个检验，至多90次就可以把这10个病人找到。

选修4-7优选法与试验设计初步

在存优范围内取黄金分割点为试点.
思考2：炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使练出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到 2000g之间，若以1g为间隔，把所有的可能性都做一遍试验来寻找最优点，这种方法称为均分法，利用均分法寻找最优点有什么缺点？
同时舍去两个试点外侧的区间.
思考5：在因素区间[a，b]内选取两个试点x1和x2，且x1＞x2，由点x1和x2关于区间[a，b]的中心对称，可得什么关系？
舍去的区间长度为多少？
a
x2
x1
b
x2－a＝b－x1
思考6：不妨设x2是好点，x1是差点，则舍去的区间是什么？存优范围是什么？
再在存优范围内[a，x1]内做试验要取几个试点？
3.目标函数并不需要f(x)的真正表达式，因素范围可以用a到b的线段来表示. 不断缩小存优范围是寻找最佳点的一个有效办法.
作业：
P3习题1.1：1，2.
P5习题1.2：1，2.
选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法
三.黄金分割法——0.618法
问题提出
t
p
1 2
5730
1.优选法的含意是什么？
面临大量试验.
花费大量人力、财力和时间.
有时可能不具有操作性.
思考5：利用数学原理，合理安排试验，以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法称为优选法.那么使用优选法的目的是什么？需要进一步探究的问题是什么？
目的：减少试验次数.
问题：优选法如何实施.
探究（二）：单峰函数思考1：在军事训练中，发射炮弹要考虑发射角多大时炮弹的射程最远，这是一个优选问题，能否用数学形式表达炮弹的射程与发射角之间的关系？

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必修1第一章集合集合的含义与表示集合的基本关系集合的基本运算第二章函数生活中的变量关系对函数的进一步认识函数的单调性二次函数性质的研究简单的幂函数第三章指数函数和对数函数正整数指数函数指数概念的扩充指数函数对数对数函数指数增长，幂增长，对数增长的比较第四章函数应用函数与方程实际问题的函数建模必修2第一章立体几何初步简单几何体直观图三视图空间图形的基本关系与公理平行关系垂直关系简单几何体的面积和体积第二章解析几何初步直线与直线的方程圆与圆的方程空间直角坐标系必修3第一章统计从普查到抽样抽样方法统计图表数据的数字特征用样本估计总体统计活动：结婚年龄的变化相关性最小二乘估计第二章算法初步算法的基本思想算法框图的基本结构与设计几种基本语句第三章概率随机时间的概率古典概型模拟方法---概率的应用必修4第一章三角函数周期现象角的概念的推广弧度制正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数的性质与图像与弦函数的性质与图像正切函数函数()ϕω+=xAy sin的图像三角函数的简单应用第二章平面向量从位移、速度、力到向量从位移的合成到向量的加法从速度的倍数到数乘向量平面向量的坐标从力做的功到平面向量的数量积平面向量数量积的坐标表示向量应用举例第三章三角函数恒等变换两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数的简单应用必修5第一章数列数列等差数列等比数列数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例第三章不等式不等关系一元二次不等式基本不等式简单线性规划选修I系列（文史）1—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线）第三章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算倒数导数的四则运算法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）1—2 第一章统计案例（回归分析独立性检验）第二章框图（流程图结构图）第三章推理与证明（归纳与类比数学证明综合法与分析法反证法）第四章数系的扩充与复数的引入（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）选修II系列（理工）2—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章空间向量与立体几何（从平面向量到空间向量空间向量的运算向量的坐标表示和空间向量基本定理用向量讨论垂直于平行夹角的计算距离的计算）第三章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线曲线与方程）2—2第一章推理与证明（归纳于类比综合法与分析法反证法数学归纳法）第二章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算导数导数的四则运算法则简单复合函数的求导法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）第四章定积分（定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用）第五章复数（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）2—3第一章计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理排列组合简单计数问题二项式定理）第二章概率（离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率与独立事件二项分布离散型随机变量的均值与方差正态分布）第三章统计案例（回归分析独立性检验）选修III系列（不做高考内容）文化类：选修3-1 数学史选讲代数类：选修3-6 三等分角与数域扩充选修3-4 对称与群几何类：选修3-3 球面几何选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类应用类：选修3-2 信息安全与密码选修IV系列（有高考内容）代数类：选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲选修4-6 初等数论初步几何类：选修4-1 几何证明选讲选修4-2 矩阵与变换分析类：选修4-3 数列与差分应用类：选修4-7 优选法与试验设计初步选修4-8 统筹法与图论初步选修4-9 风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数*代表模块，代表专题，其中2个专题组成1个模块.选修3-6 选修3-5选修3-4 选修3-3 选修3-2 选修3-1 选修4-10选修4-4选修4-3选修4-2选修4-1……（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

1.4.坐标轮换法(或称因素轮换法)-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案

1.4 坐标轮换法（或称因素轮换法）-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.理解坐标轮换法（或称因素轮换法）的基本概念和原理。

2.掌握坐标轮换法的具体应用方法，能够通过实例运用坐标轮换法解决实际问题。

3.了解优选法和试验设计的相关知识，并初步运用到实验设计中。

二、教学重点1.坐标轮换法的基本概念和原理。

2.坐标轮换法的具体应用方法。

3.优选法和试验设计的相关知识。

三、教学难点1.坐标轮换法的应用方法，要求学生能够对实际问题进行分析和解决。

2.优选法和试验设计的实际应用。

四、教学过程1. 引入（5分钟）老师通过实例引入，让学生了解实际应用中的问题，并对坐标轮换法（或称因素轮换法）的用途有一个初步了解。

2. 理论知识（20分钟）1.坐标轮换法的基本概念和原理。

2.坐标轮换法的应用条件和步骤。

3. 实例演练（30分钟）老师将给出两个例子进行演练，并要求学生运用坐标轮换法解决问题。

4. 优选法和试验设计（20分钟）1.优选法的基本原理和应用方法。

2.试验设计的基本概念和方法。

5. 实践应用（30分钟）老师将给出一个实际问题，要求学生通过运用优选法和试验设计的知识，解决问题。

6. 总结（5分钟）老师对本节课的知识点进行简单总结并提出问题，要求学生下节课认真复习，并准备好课堂小测。

五、教学方法1.案例教学法：通过实例解决问题，让学生在实践中掌握知识。

2.问答式教学法：老师通过问答的方式，引导学生深入理解知识点。

3.探究式学习法：引导学生在实践中发掘问题，并探索解决问题的方法。

六、教学评估方式1.课堂测验：每节课结束后进行小测验，巩固学生的知识理解。

2.作业检查：老师对学生布置的作业进行检查和点评。

选考部分选修4-7 优选法与试验设计初步

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7．解析：运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限制在越来越小的范围内，但并不一定能完全确定，故①错；运用分数法寻找最佳点时，通过n次试验能保证从(Fn＋1－1)个试点中找到最佳点，故②正确；③明显错误；盲人爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好可以省好多次试验，故④错．答案：②
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[课时作业] 1．解析：依题意，结合对分法的意义得，第一次检查点离
A处500米，第二次检查点离A处250米或750米．答案：250或750 2．解析：注意到106－85＝21，因此第一个试点应为85＋解析：为了便于用分数法求解，可在两端增设虚点，凑成 13
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例 3：解析：(1)用分数法进行优选，试验范围为[40,61]，将试验范围等分为 21 份，分点为 41,42,43，…，59,60，从而可知，第一个试点是 x1＝40＋1231×(61－40)＝53，或第一个试点是 x1＝61＋1231×(40－61)＝48. (2)由分数法可得，x1＝10＋1231×(31－10)＝23，x2＝10＋31 －23＝18，又 x1 是好点，且 x1>x2，所以第 3 试点应选取的值是 18＋31－23＝26. 答案：(1)53或48(只写出其中一个也正确) (2)26
5．解析：第一个试点为 0＋(80－0)×58＝50(mL)，或第一个试点为 80＋(0－80)×58＝30(mL) 答案：50或30
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6．解析：由0.618法知，第一个试点是x1＝20＋(40－ 20)×0.618＝32.36，或者第一试点是x1＝40＋(20－ 40)×0.618＝27.64. 答案：32.36或27.64
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例 1：解：由基本初等函数的图象知： (1)y＝1x在[1,6]上是单调递减的，所以函数 y＝1x在[1,6]上是单峰函数． (2)y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∵函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,2]上是单调增加，在[2,6]上是单调减少， ∴函数 y＝－x2＋4x－3 在[1,6]上是单峰函数． (3)y＝sinx 在1，π2上是单调增加，在π2，6上单调性不确定． ∴y＝sinx 在[1,6]上不是单峰函数． (4)y＝ x在[1,6]上是单调增加的，所以 y＝ x在[1,6]上是单峰函数．

选修4-7 第一节优选法

2.判断下列函数在区间－1,5]上哪些是单峰函数：判断下列函数在区间[－上哪些是单峰函数：判断下列函数在区间上哪些是单峰函数 (1)y＝ex ＝ (2)y＝－x2＋3x＋1 ＝＋ (3)y＝x3 ＝ (4)y＝cosx ＝
由初等函数的图象可知可知：解：由初等函数的图象可知： (1)y＝ex 在[－1,5]上单调递增，故为单峰函数．＝上单调递增，－上单调递增故为单峰函数． 3 3 (2)y＝－＋3x＋1 在[－1， ]上单调增加，在[ ，5]上单调＝－x 上单调增加，＝－＋－，上单调增加上单调 2 2
3．黄金分割法——0.618法．黄金分割法法 (1)定义：利用黄金分割点确定试点的方法叫做黄金分割法，定义：确定试点的方法叫做黄金分割法，定义法又叫做 0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一．优选法之一． (2)确定试点的方法确定试点的方法 ×大确定第一个试点x 的方法x 确定第一个试点 1的方法 1＝小＋0.618×(大－小) ；确定第二个试点x 的方法x 第二个试点 2的方法 2＝小＋大－x1 ，可概括为加两头，加两头，减中间．确定第n个试点的方法x 确定第个试点xn的方法 n＝小＋大－xm . 个试点
次试验中的最优试验点．最佳点就是 n次试验中的最优试验点． ②在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排在目标函数为单峰的情形，试验，才能通过次试验保证从试验，才能通过n次试验保证从 (Fn＋1－1) ＋找出最佳点．找出最佳点．个试点中
5．其他几种常见的优选法包括对分法、盲人爬山法、．分批试验法． 6．多因素方法有纵横对折法、平行线法、从好点出发．法、双因素盲人爬山法等． 7．目标函数为多峰情况的处理方法． (1)先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理先不管它是“单峰”还是“多峰” 先不管它是单峰的方法去做，找到一个“ 的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，如果达到预先要求，就先用于生产，以后再找其他更高的“ 就先用于生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻即分区寻找)．．

优选法与试验

（五）其他几种常见的优选法
1.对分法 • 案例1 查找输电线路故障
A C E D B
• 类比二分法 • 教学中应结合具体案例，强调这种操作比较简单，选试点的方法是单一的选取中点。这一类试验问题的特点是有已知的试验标准，且能根据一次试验的结果确定下次试验的选择方向。
（五）其他几种常见的优选法
（四）分数法
• 案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某中材料。经验表明，加入量大于130ml 肯定不好。用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每个代表 10ml。用试验法找出这种材料的最优加入量。 • 两个目的：
–0.618法不能用于一切优选问题； –结合具体问题介绍分数法。
说明与建议：
1.本专题要求学生掌握一些优选的方法，尽管没有给予严格的数学证明，目的是让学生理解这些方法的思想和实质。 2.作为一门应用课程，有条件的地方应让学生用所学的方法亲自做一些试验，以便更好地掌握这些方法。 3.使学生认识到，应根据问题的具体情况讨论采用何种方法更为有效，并要与具体问题的专业知识相结合。同时，要能比较不同方法的利弊和适用范围。
内容与要求
6.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。 7.通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4）的分析，理解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。 8.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的整体结构和内容的理解，对试验设计方法及其意义的认识。（2 ）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对某些内容、某些结果和应用进行拓展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看法。

北师大版高中数学选修4-7优选法与试验设计初步：习题 1--1

A1
B1C1
A2 A3(好结果)
如果得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C1，使B变
化，则：
A3C1
B1 B2(好结果)
B3
得出结果B2最好，则固定B于B2，A于A2，使C变化，则：
A3B2
C1 C2 (好结果)
C3
试验结果以C3最好。于是得出最佳工艺条件为 A3B2C2。
B3
B2
（1）试验点代表性强，试验次数少。（2）不需做重复试验，就可以估计试验误差。（3）可以分清因素的主次。（4）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出展望好条件。正交试验（表）法的特点：（1）均衡分散性－－代表性。（2）整齐可比性－－可以用数理统计方法对试验结果进行处理。
用正交表安排试验时，对于例1－1：
二、正交表符号的意义
正交表的代号
L8(27)
正交表的纵列数（最多允许安排因素的个数）
字码数（因素的水平数）正交表的横行数, 表示要做实验的次数
三、正交表的正交性（以L9 (34 )为例）
试验号列号 1 2 3 4 11 1 1 1 21 2 2 2 31 3 3 3 42 1 2 3 52 2 3 1 62 3 1 2 73 1 3 2 83 2 1 3 93 3 2 1
例如，考察温度（A)、反应时间(B)、用碱浓
度（C）对某化学反应转化率的影响。每个因
素在试验范围内分别选取3个水平进行试验。 A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150Min C：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%
通常有两种试验方法：全面实验法简单比较法
一个好的试验，必不可少两个步骤：试验方案的设计试验结果的数据分析

高中数学课程标准素材北师大版

一般高中数学课程标准〔实验〕第一局部前言数学是争辩空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

数学科学是自然科学、技术科学等科学的根底，并在经济科学、社会科学、人文科学的进展中发挥越来越大的作用。

数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在很多方面直接为社会制造价值，推动着社会生产力的进展。

数学在形成人类理性思维和促进个人智力进展的过程中发挥着独特的、不行替代的作用。

数学是人类文化的重要组成局部，数学素养是公民所必需具备的一种根本素养。

数学教育作为教育的组成局部，在进展和完善人的教育活动中、在形成人们生疏世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和进展的进程中起着重要的作用。

在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的根底，是终身进展的需要。

数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使同学把握数学的根底学问、根本技能、根本思想，使同学表达清楚、思考有条理，使同学具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使同学学会用数学的思考方式解决问题、生疏世界。

一、课程性质高中数学课程是义务教育后一般高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最根本的内容，是培育公民素养的根底课程。

高中数学课程对于生疏数学与自然界、数学与人类社会的关系，生疏数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的力气，形成理性思维，进展智力和创新意识具有根底性的作用。

高中数学课程有助于同同学疏数学的应用价值，增加应用意识，形成解决简洁实际问题的力气。

高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的根底。

同时，它为同学的终身进展，形成科学的世界观、价值观奠定根底，对提高全民族素养具有重要意义。

二、课程的根本理念1. 构建共同根底，供应进展平台高中教育属于根底教育。

高中数学课程应具有根底性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为同学适应现代生活和将来进展供应更高水平的数学根底，使他们获得更高的数学素养；其次，为同学进一步学习供应必要的数学预备。

1.2.分数法是在试验次数确定后的最好方法-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案

1.2.分数法是在试验次数确定后的最好方法-人教B版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.了解分数法的基本原理和特点；2.掌握分数法的操作方法；3.学会根据实际情况进行合理设计试验方案的方法。

二、教学重点1.分数法的基本原理和特点；2.分数法的操作方法。

三、教学难点1.分数法在试验设计中的实际应用；2.根据实际情况进行合理设计试验方案的方法。

四、教学内容1.2.1 分数法的基本原理和特点分数法是一种基于对试验数据进行分数处理的贝叶斯统计方法。

它的基本思想是，通过对试验数据进行合理的分数处理，提高对待测试因素的置信度，并从中选择得分最高的那个因素。

这个得分最高的因素就是我们所要寻找的最优解。

分数法的特点在于其只需要一次试验，并且能够根据实验结果进行适当的调整，从而得到更加准确可靠的结论。

1.2.2 分数法的操作方法1.确定试验指标和试验次数；2.计算每次试验的得分；3.对试验数据进行分数处理；4.得出最优解。

五、教学方法1.理论讲解2.案例分析3.小组讨论六、教学资源1.人教B版选修4-7《优选法与试验设计初步》教材。

2.简化版分数法流程图。

七、教学过程1.介绍分数法的基本知识；2.提供简单的案例并进行案例分析，让学生掌握分数法的具体操作方法；3.通过实战案例的讨论，让学生能够更好地理解分数法在实际应用中的优缺点；4.让学生通过小组讨论，思考如何根据实际情况进行合理设计试验方案的方法。

八、教学评价根据学生的思维深度和理解程度，以及他们在案例分析和小组讨论中的表现，给予相应的评价和反馈。

同时对学生在实际适用分数法进行实践操作的能力进行评估。

九、教学建议1.针对学生水平设计案例，注重案例内在思想和操作方法的联系；2.设置更丰富的小组讨论题目；3.充分发挥学生的主体作用。

十、教学反思在教学过程中，需要更加注重实际应用，让学生通过实践操作来发现分数法的优点和不足，对于学生的小组讨论应该有更好的引导和推动。

2.1两次试验分数法的试验设计-北师大版选修4-7优选法与试验设计初步教案

2.1 两次试验分数法的试验设计-北师大版选修4-7 优选法与试验设计初步教案介绍本文介绍了两次试验分数法的试验设计，是北师大版选修4-7的优选法与试验设计初步教案。

该教案是为如何进行两次试验分数法的试验设计而设计的，主要分为实验目的、实验原理、实验方法、实验步骤和实验结果五个部分。

实验目的通过进行两次试验分数法的试验设计，学生可以掌握以下知识：1.掌握两次试验分数法的实验原理和实验方法；2.能够根据实验要求进行实验设计；3.能够根据实验结果进行数据处理和分析。

实验原理两次试验分数法是一种常用的质量控制方法，它是通过对同一产品进行两次试验，然后将两次试验的得分进行比较，从而得出产品的质量水平。

该方法主要分为以下步骤：1.进行第一次试验测试，记录得分Y₁；2.进行第二次试验测试，记录得分Y₂；3.计算两次试验得分之差，得分Δ=Y₂-Y₁；4.根据得分Δ判断产品的质量水平。

实验方法本次实验需要的材料和设备有：试验用品、硬度仪、计时器、计算机等。

具体操作步骤如下：1.将试验用品放在硬度仪上，进行第一次测试；2.将试验用品取下重新放在硬度仪上，进行第二次测试；3.记录两次测试的得分Y₁和Y₂；4.计算得分Δ=Y₂-Y₁；5.根据得分Δ判断产品的质量水平。

实验步骤1.按照实验要求准备试验用品；2.将试验用品放在硬度仪上进行第一次测试，记录得分Y₁；3.将试验用品重新放在硬度仪上进行第二次测试，记录得分Y₂；4.计算得分Δ=Y₂-Y₁；5.根据得分Δ判断产品的质量水平。

实验结果通过两次试验分数法的试验设计，得出以下实验结果：1.得分Δ<0，表示第二次测试得分小于第一次测试得分；2.得分Δ=0，表示第二次测试得分等于第一次测试得分；3.得分Δ>0，表示第二次测试得分大于第一次测试得分。

综上所述，根据得分Δ的值可以判断产品的质量水平，以此来进行质量控制。

结论通过本次两次试验分数法的试验设计，我们可以发现该方法是一种简单有效的质量控制方法，具有较高的精度和准确性。

1.2.优选方案-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案

1.2.优选方案-人教B版选修4-7 优选法与试验设计初步教案一、教学目标本节课程主要目标是让学生了解优选法的基本概念和流程，了解实验设计的基本步骤，以及掌握常用的实验设计方法，为后续深入学习实验设计打下基础。

二、教学重点和难点本节课程的教学重点是优选法以及实验设计的基本步骤，难点在于要求学生对优选法和实验设计进行深入理解，并能运用所学知识解决实际问题。

三、教学内容3.1 优选法3.1.1 基本概念优选法是一种根据试验数据进行多目标优化的方法，目的是在多个因素的影响下寻找最佳实验参数组合。

3.1.2 流程1.确定优选对象和优选指标2.确定优选因素和考虑水平3.制定试验方案4.进行试验5.数据处理，建立模型6.优选结果分析和评价3.1.3 常用方法1.正交试验设计法2.全因子试验设计法3.响应面试验设计法3.2 实验设计3.2.1 实验设计的基本步骤1.确定实验目的和要求2.选择试验对象和实验因素3.制定试验方案4.进行试验5.结果分析和评价3.2.2 常用实验设计方法1.单因素设计法2.多因素设计法3.方差分析法四、课堂练习1.根据课程中介绍的优选法流程，尝试设计一个包装制造企业生产线的优选方案。

2.以汽车发动机调试试验为例，说明如何设计一套合理的实验方案。

3.通过数据分析得出结论：在南方夏季旱季，适宜的室内温度为25℃左右，同时需要适当湿度，否则容易引起冷气病；请尝试运用你所学的知识，设计一份针对此问题的实验方案。

五、课后作业1.阅读相关实验设计论文，了解更多实验设计的方法和应用场景，并写一份读书笔记。

2.组织小组讨论，探讨如何运用课程中所学知识，优化你身边的生活环境。

3.根据课程中介绍的优选法流程，尝试设计一个产品设计优选方案，并对设计结果进行测试分析。