第二章恒定电场09

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例2.5.1 求同轴电缆的绝缘电 阻。设内外的半径分别为R1、R2，长 度为 ,中间媒质的电导率为 ，介
l
电常数为

。
图2.5.1
同轴电缆横截面
33

I

S
J dS
34
解法一

直接用电流场的计算方法
解：设同轴电缆长为， L 假设漏电流为 . I

I
J
I 2l
R1 R2
U E dl
电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P UI I R
2
（W）—— 焦耳定律的积分形式
11
小结:
I

S
J dS
欧姆定律的微分形式
J
J E
I
S 面：用与I 流动的 方向垂直的平面去 切导电媒质得到的 截面。
焦耳定律的微分形式
p J E
（W/m3 ）
12
体分布dV JdV ( dV )v 面分布 s dS KdS ( s dS )v 线分布 l dl Idl ( dl )v v )dl (
分布的线电荷沿着导线以速
度 v 运动形成的电流
I=
v
。
7 图2.1.4 媒质的磁化电流
4. 元电流的概念：
元电荷dq以速度v 运动，则dqv （C m / s或A m） 定义为元电流段。
不同分布的元电荷运动后形成的元电流段：
体分布dV JdV ( dV )v
15
2.3 恒定电场的基本方程 2.3.1

分界面上的衔接条件 边值问题
恒定电场的基本方程
1. J 的散度 电流的连续性定律
q J dS S t
• 定义：由电荷守恒定律，从
任一闭合面流出的传导电流， 应等于该面所围体积内电荷 的减少率：
16
q J dS t S q I J dS dV t t V S
R2
（R1 r R2 )
E
J


I 2l
I
R1
R2 d ln 2l 2 l 35 R1
I
电导
绝缘电阻
解法二
I 2l G R2 U ln R1 1 1 R2 R ln G 2l R1
静电比拟法


I
R1
由静电场解得
C 关系式得 则根据 G 2l 同轴电缆电导 G R2 ln R1
dq I dt
A
I 是通量,并不反映电流在 每一点的流动情况。
4
2.1.1 电流强度
1.电流体密度
分布的体电荷以速度v 作匀速运动形成的电流。
J v
亦称电流面密度
电流
Am
2
I

S
J dS
5
2. 电流面密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。
K v
电流
Am
线电流密度矢量
定义：流经导体的电流与导体两端的电压之比称为电导，用 G表示 G I U 其单位为S或（西门子）。
R U I 1 G
电导的倒数称为电阻 单位为（欧姆）。
导体的电导或电阻的大小与导体的电导率、形状、几何尺 寸以及电极的位置等因素相关。一般情况下导体的形状并 不规则，难于用解析的方法计算其电导或电阻，此时，可 采用图解法或数值计算方法。
S
不含场源
20
l
2.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
E dl 0
L
S


E1t E 2t J1n J 2 n
J dS 0
说明分界面上电场强度的切向分 量是连续的，电流密度法向分量是连 续的。
折射定律为
tan 1 1 tan 2 2
图2.3.1 21 电流线的折射
31
2.5.1 电导的计算(Conductance) 1. 直接用电流场计算
I 设 I J E U E dl G U 设 U ( 或 ) E J E I J dS G I U
2. 静电比拟法
J
当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容 计算电导。
I ( K en )dl
l
I
l：用与I 流动的方向垂直的平
面去切导电媒质得到的截线。
en 是垂直于dl，且通过dl与
曲面相切的单位矢量
6 图2.1.3 电流线密度及其通量
工程意义：
• 同轴电缆的外导体视为电流面密度分布；
• 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流面密度表示, 如图示；
• 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分 布，可用电流面密度表示。 3、线电流
E, 与 无关，是 的函数。
26
2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 2.4.1 静电比拟 表1 两种场所满足的基本方程和重要关系式 静电场
( 0)
导电媒质中恒定电场（电源外）
E 0 E D 0
D E
E 0 E J 0
4 1U 0 2 ( 1 2 )
电场强度
4 2U 0 E1 e ( 1 2 )
4 1U 0 E2 e ( 1 2 )
电荷面密度
4 0U 0 0 E1 0 E2 ( 1 - 2 ) ( 1 2 )
散度定理
J dS J dV
S V
JdV V t dV S
J t
电流连续性方程
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0 在恒定电场中 t
J t
对于恒定电流场,电荷分布不随时间变化: 故
J 0
恒定电场是一个无源场，电流线是 连续的。
例2.3.1 特殊情况分界面上的电场分布。
解：媒质1是良导体，
1 5 10 s / m
7
媒质2是不良导体, 由折射定理得
2 102 s / m
t an 1 1 ，则 2 0 t an 2 2
表明，只要
1
，电流
2
线垂直于良导体表面穿出，良 导体表面近似为等位面。
• 即:
J dS 0
S
I 0
• Kirchhoff’s law.
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2. E 的旋度
所取积分路径不经过电源，则:

得
l
E dl 0
斯托克斯定理
( E ) dS 0
s
E 0
恒定电场是无旋场。
3. 恒定电场（电源外）的基本方程

s
J dS 0
0 ,

0
U0
方程通解为
界条件，可得
C1 C2 ，代入边
电位函数
(
U0
图2.5.2 弧形导电片
U0 E e e 37

) ,
电流密度
电流
U 0 J E e
R2
I J dS
22
2.3.4 恒定电场的电位(不含电源的区域）
E 0
由基本方程出发
E
E 0
拉普拉斯方程
23
J 0
对于均匀媒质： 得
J E
常数
2 0
2.3.5 恒定电场的边值问题 分界面衔接条件
1 2
2 2 1 2 n n
元电荷dq
元电流dqv
面分布KdS KdS (dS )v 线分布Idl Idl (dl )v
(v)dl
8
2.1.3 欧姆定律的微分形式
U 欧姆定律： I R
电场是维持恒定电流的必要 条件。可以证明
J E
式中 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。
S
R1
U 0 U 0 h R2 (e ) hd (e ) ln R1
电导
I h R2 G ln U 0 R1
( S m)
图2.5.2 弧形导电片
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2.5.2 接地电阻
为了保证电气设备正常工作和操作人员人身安全，应使用接 地装置将用电设备的某一部分接地。 接地装置包括接地体和接地线。接地体是埋入地下的金属导 体（如圆钢、扁钢、钢管等），接地导线将设备连接到接地 体上。 工作电流、短路电流或雷电电流通过接地线流向接地体，再 分散流入大地。 接地电阻等于设备接地点对地电压与通过接地线、接地体流 入大地的电流之比，它包括接地线、接地体的电阻，接地体 与土壤之间的接触电阻，以用电设备大地接地体及电流所流 经土壤的电阻。其中土壤的电阻占主要部分，通常我们把这 一电阻近似作为接地电阻。
J E
2 0
q D D dS
S
2 0
I
E1t E2t D1n D2n
E1t E2t J1n J 2n
27
J dS
S
表2 两种场对应物理量 静电场 ( 0) 导电媒质中恒定电场（电源外） E

D
q


E
J
I
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，
l
Ee dl
(V )
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。
考虑局外场强
J ( E Ee )
因此
Ee
( E E ) dl E dl E