湘教版九年级数学上3.2平行线分线段成比例同步试题及答案
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿1
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿1一. 教材分析《平行线分线段成比例》是湘教版数学九年级上册第三章第二节的内容。
本节课主要介绍平行线分线段成比例的定理及其应用。
通过学习，学生能够理解平行线分线段成比例的原理，并能运用该定理解决实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究平行线分线段成比例的规律。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对图形的变换有一定的了解。
但是，对于平行线分线段成比例的定理，他们可能初次接触，需要通过实例和推理来加深理解。
因此，在教学过程中，我要关注学生的认知基础，引导他们积极参与，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握平行线分线段成比例的定理，能运用该定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、合作交流的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定理及应用。
2.难点：理解平行线分线段成比例的原理，并能运用该定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作交流、启发引导等教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示平行线分线段成比例的原理，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的平行线分线段成比例的例子，如桥梁、楼梯等，引发学生对平行线分线段成比例的好奇心，激发学习兴趣。
2.新课导入：介绍平行线分线段成比例的定理，引导学生通过观察、操作、推理等过程，理解并证明该定理。
3.实例分析：分析生活中常见的平行线分线段成比例的实例，让学生体会定理的应用价值。
4.巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生运用定理解决问题，提高他们的实际应用能力。
5.拓展提高：引导学生探讨平行线分线段成比例在实际工程中的应用，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿一. 教材分析《平行线分线段成比例》是湘教版数学九年级上册第三章第二节的内容。
本节内容是在学生掌握了平行线的性质，相交线段的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用这个定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，然后引导学生通过观察，推理，验证等方法发现平行线分线段成比例的定理，最后通过一些练习题让学生巩固这个定理的应用。
整个章节内容难度适中，学生通过观察，实践，思考，交流等活动，能够提高自己的空间想象能力和逻辑推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，相交线段的性质等知识，具备了一定的空间想象能力和逻辑推理能力。
但是，对于一些抽象的概念和定理的理解还是有一定的难度，需要通过具体的实例和实践活动来帮助理解。
同时，学生的学习兴趣和积极性也是影响学习效果的重要因素。
因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，设计一些有趣，富有挑战性的活动，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与，积极思考。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用这个定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察，推理，验证等方法发现平行线分线段成比例的定理，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，引导学生主动参与，积极思考，培养学生的合作意识和团队精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用这个定理解决一些实际问题。
2.教学难点：对于一些抽象的概念和定理的理解，如何引导学生通过具体的实例和实践活动来帮助理解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，让学生在具体的情境中感受和理解这个概念。
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》教学设计1
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》教学设计1一. 教材分析《平行线分线段成比例》是湘教版数学九年级上册3.2的内容，本节内容是在学生掌握了平行线的性质，平行线公理及推论的基础上进行学习的。
本节课主要让学生通过观察、操作、探究等活动，发现并证明平行线分线段成比例的定理，培养学生直观推理的能力，提高学生空间想象的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，平行线公理及推论，对于通过观察、操作、探究等方法获取结论的活动已经比较熟悉。
但是，对于平行线分线段成比例的定理，学生可能还比较陌生，需要通过具体的活动来理解和掌握。
三. 教学目标1.理解平行线分线段成比例的定理。
2.能够运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。
3.培养学生的直观推理能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定理的理解和运用。
2.难点：平行线分线段成比例的定理的证明。
五. 教学方法采用观察、操作、探究的教学方法，让学生在活动中发现问题，提出假设，通过推理和证明得出结论。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于导入和巩固环节。
2.准备平行线分线段成比例的定理的证明素材，用于操练和拓展环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示相关的图片和实例，引导学生观察和思考，提出问题：“你能发现这些图片和实例中的线段有什么特殊的关系吗？”让学生初步感知平行线分线段成比例的现象。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现平行线分线段成比例的定理，并用文字和图形的形式进行解释，让学生理解和记忆定理的内容。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组提供一份证明素材，让学生通过推理和证明来验证平行线分线段成比例的定理。
在活动中，教师进行巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）通过一些相关的例题和练习题，让学生运用平行线分线段成比例的定理来解决问题，巩固所学的内容。
5.拓展（10分钟）让学生思考和探究平行线分线段成比例的定理在实际生活中的应用，提出一些实际问题，让学生运用定理来解决。
湘教版九年级上册数学作业课件 第3章 图形的相似 平行线分线段成比例 (2)
B．AABC ＝DDEF
C．ABDE ＝BCEF
D．FEDF ＝CBAC
5．(2019·淮安)如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A， B，C和点D，E，F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝____．4
6．如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点 D，E，F，且l1∥l2∥l3. (1)如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； (2)如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．
解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DDEF ＝AABC ，即3＋3 6 ＝A4C ，解得：AC＝12 (2)∵l1∥l2∥l3，∴BCEF ＝OOBC ＝13 ，∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8， ∴OB＝2，∴OABB ＝24 ＝21
15．如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F.
是B( )
A．OOAD ＝OOCB
B．OAAD ＝OBCB
C．OOAB ＝OODC
D．AODD ＝BCOO
8．(2019·内江)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝ 2，则AC＝___8_．
9．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB＝1∶3，AE＝3. (1)求EC的值； (2)求证：AD·AG＝AF·AB.
(1)解：∵DE∥BC，∴AADB ＝AACE ，又AADB ＝31 ，AE＝3，∴A3C ＝13 ， 解得 AC＝9，∴EC＝AC－AE＝9－3＝6 (2)证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴AADB ＝AACE ＝AAGF ，∴AD·AG＝ AF·AB
10．如图，在△ABC 中，AD∥BC，点 E 在 AB 边上，EF∥BC，交
九年级数学竞赛培优专题及答案 14 平行线分线段成比例(含答案)
专题14平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF 交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ． 求证：PQ •PT ＝P R •PS ．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQPS＝PR PT ，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明PE AB ＋PF AB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．图2图1（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且AMAB＝13，ANAC＝13，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．能力训练A级1．设K＝a b cc+-＝a b cb-+＝a b ca-++，则K＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．第2题第3题第4题第5题图1 图2 图33．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ；第9题 第10题 第11题第6题 第7题第8题（2）求OEAD＋OEBC的值；（3）求证：1AD＋1BC＝2EF．（宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．求证：∠AFN＝∠DME．（全国初中数学联赛试题）B级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）第7题 第8题 第9题第5题 第6题第2题 第3题第1题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD+＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）12．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，过D 点的直线PQ 交边AC 于点P ，交边AB 的延长线于点Q ．（1）如图1，当PQ ⊥AC 时，求证：11AQ AP +； 第11题第10题（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）专题14 平行线分线段成比例例1aba b+提示：由AP DQ aPF QF b==,推得PQ∥AD。
湘教版九年级数学上册 第3章知识梳理
本章总结提升
问题5 位似及其作图
如何利用位似将一个图形放大或缩小？你能说出平移、轴 对称、旋转和位似之间的异同，并举出一些它们的实际应用 的例子吗？
例6 如图3－T－4，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单 位的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平 面直角坐标系．
(1)将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画 出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为 (a，b)，直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
为( B )
A．4
4．如图，E(－4,2)，F(－1，－1)，以 O 为位似中心，按比例尺 1∶2，把△
EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标为( A )
A．(2，－1)或(－2,1)
B．(8，－4)或(－8,4)
C．(2，－1)
D．(8，－4)
(第 4 题图)
本章总结提升
(2)以原点 O 为位似中心，在第三象限内画出将△ABC 缩小为原来的12得到的△A2B2C2，并写出点 A2 的坐标．
图 3－T－4
本章总结提升
解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求，点 M1 的坐标为(a－7，b－3)．
(2)如图所示，△A2B2C2 即为所求，点 A2 的坐标为(－1，－4)．
二、填空题
5．在比例尺为 1∶500000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 25cm，则两
地的实际距离是 125 km.
6．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内
角是 80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是 100°的两个
等腰三角形．其中一定是相似图形的是 ②⑤⑥(填序号)．
3.2.1 线段的比,成比例线段(湘教版)
3.2
线段的比
——3.2.1 线段的比， 成比例线段
自主探究
做一做
图3-7的(1)和(2)都是故宫某宫殿的照片，(2) 是由(1)缩小得到的，因此这两张照片是相似的. 在照片(1)中任意取两个点P，Q，在照片(2) 中找出对应的两个点P′，Q′，量出线段PQ， P′Q′的长度.计算它们的长度的比值.
图3-9
中考 试题
例1
如图6.3-1，已知AB∥CD∥EF.那么下列结论 正确的是（ A ）.
AD A. D F = BC CE
B.
BC = DF CE AD
C.
CD = BC EF BE
D. C D EF
= BC CE
= AD AF
解
由平行线分线段成比例，可知 A D DF 故选A.
.
中考 试题
，BC ；
B C
A B 1 .8 0 9 ， B C 0 .8 5 1 7 . 答： A B 1 .6 0 8 BC 0 .7 0 1 4
B （2）线段 A B ，AB， C ，BC是成比例线段吗？
答： A B ，AB，B C ，BC 不是成比例线段.
判断下列各组线段是否成比例？
1、a=2，b=3，c=4，d=1； 2、a=1.1，b=2.2，c=3.3，d=4.4； 3、a=20cm，b=10cm，c=20cm，d= 40cm; 4、a 2 ,b
5 ,c
1 5 ,d 2 3; 3.
5、a
2 ,b 3 ,c 2 ,d
例2
已知△ABC∽△DEF，且AB:DE=1:2，则△ABC的 面积与△DEF的面积之比为（ B ）. A.1:2
解
中考数学每日一练：平行线分线段成比例练习题及答案_2020年综合题版
中考数学每日一练：平行线分线段成比例练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_图形的相似_平行线分线段成比例练习题~~第1题~~(2020宁波.中考模拟) 已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n）是抛物线上的一个动点．（1）如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，请通过测量或计算，比较PA 与PB 的大小关系：PAPB （直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；（2） 请利用（1）的结论解决下列问题：①如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，简单说明理由；②如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．考点： 两点间的距离;垂线段最短;平行线分线段成比例;~~第2题~~(2020青浦.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上一点，AE 与BD 交于点F， DE ∶EC=2∶3．（1）求BF ∶DF 的值；（2） 如果 ， ，试用 、 表示向量 ．考点： 平面向量;平行线分线段成比例;~~第3题~~(2020青浦.中考模拟) 已知：如图，在△ABC中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ， BE 与AD 、AC 分别相交于点F、G ，．（1） 求证：△CAD ∽△CBG ；（2） 联结DG ，求证： ．考点： 平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;~~第4题~~(2020松江.中考模拟) 已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ， .答案答案（1） 求证：EF ∥BD ；（2） 如果，求证：.考点： 平行线的性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;~~第5题~~(2020长宁.中考模拟)如图，在梯形ABCD 中，点E， F 分别在边AB ， CD 上，AD ∥EF ∥BC ， EF与BD 交于点G ，AD ＝5，BC ＝10，＝．（1）求EF 的长；（2） 设 ＝ ， ＝，那么 ＝， ＝．（用向量 、 表示）考点： 平面向量;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学：图形的变换_图形的相似_平行线分线段成比例练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》教学设计
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》教学设计一. 教材分析《平行线分线段成比例》是湘教版数学九年级上册3.2的内容，本节课主要通过探究平行线分线段成比例的性质，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的判定方法，为后续几何学习打下基础。
教材通过丰富的情境图和例题，引导学生发现平行线分线段成比例的规律，从而培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行线的性质、线段的性质等基础知识，具备一定的观察、思考、归纳能力。
但部分学生对几何图形的直观理解仍有一定困难，对平行线分线段成比例的判断方法和证明过程可能感到困惑。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习需求，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.理解平行线分线段成比例的定义和性质。
2.掌握平行线分线段成比例的判定方法。
3.能够运用平行线分线段成比例的性质解决实际问题。
4.培养学生的观察、思考、归纳能力。
四. 教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定义和性质。
2.难点：平行线分线段成比例的判定方法和证明过程。
五. 教学方法1.情境教学法：通过情境图和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生发现平行线分线段成比例的规律。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考、提问，培养学生的探究精神。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力。
4.归纳总结法：引导学生总结平行线分线段成比例的性质和判定方法，加深学生对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关情境图和实例，用于导入和呈现。
2.准备平行线分线段成比例的判定方法和证明过程的讲解资料。
3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展。
4.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用情境图，引导学生观察并提问：请问图中AB和DE的关系是什么？2.呈现（10分钟）呈现平行线分线段成比例的定义和性质，引导学生主动思考并提问。
同时，讲解判定方法和证明过程。
《平行线分线段成比例》课件 初中数学湘教版九年级上册
A₂，C₂. 由于a∥b∥c， l₃∥ l₂ ，因此由 B
B₁ b
“夹在两平行线间的平行线段相等”可知， C C₂
C₁ c
A₂B=A₁B₁， BC₂=B₁C₁.
l₁ l
l₂
₃
新知讲解
在△BAA₂和△BCC₂中， ∠ABA₂=∠CBC₂， BA=BC， ∠BAA₂= ∠BCC₂ . 因此，△BAA₂≌△BCC₂. 从而 BA₂=BC₂. 所以，A₁B₁=B₁C₁.
3.2 平行线分线段成比例
湘教版九年级上册
教学目标
1. 能推导并记住基本事实：“两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例”.
2. 能探究、理解结论：“平行于三角形一边的直线截其他两 边，所得的对应线段成比例”.
3. 能利用本节基本事实和结论列出比例式解决相关问题. 4. 培养学生用数形结合思想解决问题的能力.
B
A
D
E
C
新知讲解
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE. M
∵ MN∥BC， D
∴ MN∥DE∥BC.
因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截， B 则由平行线分线段成比例可得，
，
.
A
N
E
C
，
.
同时还可以得到
新知讲解
由此，得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，
所得的对应线段成比例.
由于 a∥d∥b∥e∥f ∥c， 所以 A₁D₁=D₁B₁=B₁E₁=E₁F₁ = F₁C₁.
从而 = ，
即.
A D B E F C
l₁
A₁ a D₁ d B₁ b E₁ e F₁ f
C₁ c
l₂
新知讲解
湘教版九年级上册数学第三章 图形的相似 单元测试题(含答案)
湘教版九年级数学上册第三章图形的相似单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）.A. 18米B. 16米C. 20米D. 15米2.△ABC∽△A,B,C,，相似比为3：4，那么面积的比是_____。
A. 3:4B. 9:16C. 6:8D. 4:53.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形面积是（）A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm24.在上科学课时，老师让同学利用手中的放大镜对蜗牛进行观察，同学们在放大镜中看到蜗牛与实际的蜗牛属于什么变换（）。
A. 相似变换B. 平移变换C. 旋转变换D. 轴对称变换5.如图，在△ABC中，DE∥BC ，，DE=4，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 11D. 126.若相似△ABC与△DEF的相似比为1 ：3，则△ABC与△DEF的面积比( ）A. 1 ：3B. 1 ：9C. 3 ：1D. 1 ：7.如图，在ΔABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），直线y= 与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（）A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：410.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：1二、填空题（共10题；共30分）11.已知8：x =6：9，则x的值等于________。
湘教版九年级上册数学比例线段专题
比例线段专题1.线段的比定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
说明：（1）统一单位：如果用同一长度单位量得线段a 、b 的长度分别是m 、n ，那么n m b a ::=或nmb a =。
（2）前项后项：在b a :或ba 中，a 叫比的前项，b 叫比的后项。
（3）应用：（比例尺）若实际距离是250m ，图上距离是5cm ，求比例尺. 解析： 比例尺＝实际距离图上距离，50001250005＝∴， ∴比例尺为1：5000.注意：（1）若k b a =:，说明a 是b 的k 倍；（2）两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长单位必须一致。
（单位要统一）；（3）两条线段的比值是一个没有单位的正数； （4）线段的比是有顺序性，即a b b a ::≠。
2.比例线段定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
图解：注意：（1）顺序性：如dcba=叫做线段a、b、c、d成比例，而不能说成是b、a、c、d成比例。
如dcba=中，线段d叫做a、b、c的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b、a、c的第四比例项”。
3．比例性质（1）基本性质：adbdbbabcaddcba=⇔==⇔=2::::（简称：外项积等于内项积）深层推导：①dcba=⇒②dbca=（交换bc）；③acbd=（交换ad）；④cdab=（上下对称）；⑤badc=（左右对称）；⑥cadb=（左右对称）；⑦bdac=（左右对称）；⑧abcd=（左右对称）。
（2）更比性质：①dcba=⇒②dbca=（交换bc）；③acbd=（交换ad）。
（3）合比性质：dcba=⇔ddcbba+=+（4）分比性质：dcba=⇔ddcbba-=-（5）合分比性质：dcdcbaba-+=-+或dadcbaba+-=+-深层解析： 方法一：解析： d c b a =∴11+=+d cb a ∴dd c b b a +=+……① 同理，ddc b b a -=-……② 由①÷②得，d c dc b a b a -+=-+ 由②÷①得，da dc b a b a +-=+- 方法二： dcb a =∴可令k dcb a ==，则bk a =，dkc =∴11-+=-+=-+k k b bk b bk b a b a 同理，11-+=-+k k d c d c 故，d c dc b a b a -+=-+ 同理，da dc b a b a +-=+- （6）等比性质：d c b a =⇔)0(≠+++==d b db ca d cb a深层解析： 方法一：d cb a = dbc a =∴（更比性质）d d b c c a +=+∴（合比性质）dc d b c a =++∴（更比性质） 故，)0(≠+++==d b db c a d c b a方法二：dc b a = ∴可令kd cb a ==，则bk a =，dkc =∴k d b dk bk d b c a =++=++ 故，)0(≠+++==d b db c a d c b a深层推导：)0(≠+++===n d b n m d c b a ⇔b an d b m c a =++++++解析： )0(≠+++===n d b n md c b a∴可令k nmd c b a ==== ，则bk a =，dk c =，…，nk m =∴k n d b nk dk bk n d b m c a =+++++=++++++ 故，ba n db mc a =++++++4.经典习题考点1：比例基本性质1. 若4x=5y,则x ∶y ＝ .( 45) 2. 已知3∶x ＝8∶y ，求yx = （83）3. 等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .（2:1）4. 正方形对角线的长与它的边长的比是 。
湘教版初中数学九年级上册平行线分线段成比例定理ppt课堂课件
AB BC
DE EF
（平行线分线段成 比例定理）。
A
D
l1
AB BC DE EF
因为
BC AC
EF DF
（平行线分线段成 比例定理）。
BE FC
l2
l3
BC AC EF DF
AB BC AC DE EF DF
！
上下全 上下全
湘教版（2012）初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
ADAE42 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
38
3
33
湘教版（2012）初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
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一、平行线分线段成比例定理：
小结
三条平行线截两条直线，所得的线段对应
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C
湘教版（2012）初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
D E
F
DA
BE
C
F
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推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
湘教版九年级数学上册同步练习：3.1~3.4.
湘教版九年级数学上册同步练习：3一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分)1．以下各组线段中，不是成比例线段的是( )A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝1，b ＝2，d ＝3，c ＝ 6C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D ．a ＝2，b ＝5，d ＝2 3，c ＝152．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实践长度约为( )A ．320 cmB ．320 mC ．2021 cmD ．2021 m3．如图3－G －1，在△ABC 中，点D ，E 区分在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，假定BD ＝2AD ，那么( )A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝12图3－G －1图3－G －2.如图3－G －2，点P 在△ABC 的边AC 上，要判定△ABP ∽△ACB ，需添加一个条件，不正确的选项是( )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB5．如图3－G －3①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB ，CD 交于点O ，关于各图中的两个三角形而言，以下说法正确的选项是( )图3－G －3A ．都相似B ．都不相似C ．只要①相似D ．只要②相似图3－G －46．如图3－G －4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，那么DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．如图3－G －5，P 是▱ABCD 的边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延伸线于点E ，那么图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对图3－G －5图3－G －68．如图3－G －6，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共6小题，每题4分，共24分)9．x y ＝34，那么x －y y＝________． 10．如图3－G －7，假定△ABC ∽△DEF ，那么∠D ＝________°.11．一根2米长的竹竿直立在广场上，影长为1.6米，在同一时辰，测得旗杆的影长为17.6米，那么旗杆高________米．图3－G －7图3－G －812．如图3－G －8，△ABC 中，E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，假定以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么需求添加的一个条件是________．(写出一个即可)13．如图3－G －9，E 为▱ABCD 的边AB 延伸线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，衔接DE 交BC 于点F ，那么CF ∶AD ＝________．图3－G －9图3－G －1014．如图3－G －10，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延伸线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)如图3－G －11，在▱ABCD 中，M ，N 为BD 的三等分点，衔接CM 并延伸交AB 于点E ，衔接EN 并延伸交CD 于点F ，求DF ∶AB 的值．图3－G －1116．(10分)如图3－G －12，AB AD ＝BC DE ＝AC AE. 求证：∠BAD ＝∠CAE .图3－G －1217．(12分)如图3－G －13，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 区分在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC .图3－G －1318．(12分)如图3－G －14，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，衔接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，失掉线段PE ，且PE 交BC 于点F ，衔接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 交AB 的延伸线于点Q .(1)求线段PQ 的长；(2)当点P 在何处时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由．图3－G －14详解详析1．C 2.D 3．B [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ＝13，那么AE EC＝12.应选B. 4．D [解析] 选项A ，B ，C 中结合条件∠A ＝∠A 均可判定△ABP ∽△ACB ，只要选项D 无法失掉△ABP ∽△ACB ，应选D.5．A [解析] 图①中，∵∠A ＝35°，∠B ＝75°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵∠E ＝75°，∠F ＝70°，∴∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ；图②中，∵OA ＝4，OD ＝3，OC ＝8，OB ＝6，∴OA OD ＝OC OB. 又∵∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC ∽△DOB .6．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ＝AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.应选C. 7．D [解析] △EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，∴共有3对相似三角形．应选D.8． C [解析] 如图，区分过点M 作△ABC 三边的垂线l 1，l 2，l 3，易证此时区分构成的三角形均与原三角形相似，所以共有3条．9．－1410.30 11．22 [解析] 设旗杆的高为x 米，∵在同一时辰物高与影长成正比，∴x 17.6＝21.6，∴x ＝22.12．答案不独一，如AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC 等 13.35 [解析] 由题意可知CD ∥AE ，CD ＝AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴CD BE ＝CF BF. ∵CD BE ＝AB BE ＝32，∴CF BF ＝32，∴CF BC ＝35. ∵AD ＝BC ，∴CF BC ＝CF AD ＝35. 14 43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ， ∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种状况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，BA CE ＝AC CD，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，BA CD ＝AC CE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3. 15．解：由题意可得DN ＝NM ＝MB ，△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ， ∴DF ∶BE ＝DN ∶NB ＝1∶2，BE ∶DC ＝BM ∶MD ＝1∶2.又∵AB ＝DC ，∴DF ∶AB ＝1∶4＝14. 16．[解析] 将已有的比例线段归属在两个三角形中观察，以寻觅相似三角形，应用相似三角形的对应角相等证明．证明： ∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .17．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，又∵∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF ，∴CE DE ＝CF EF. 又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC .18． (1)依据题意，得PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE .∵EQ ⊥AB ，∴∠Q ＝90°＝∠A .在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，∴△ADP ≌△QPE (AAS)，∴PQ ＝AD ＝1.(2)假定△PFD ∽△BFP ，那么有PB BF ＝PD PF. ∵∠ADP ＝∠BPF ，∠FBP ＝∠A ， ∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF. ∴AP ＝PB ，∴AP ＝12AB ＝12. 即当P 为AB 的中点时，△PFD ∽△BFP .。
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湘教版九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.2 平行线分线段成比例 同步测试题
1．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，若AB ＝1，BC ＝2，DE ＝1.5，则EF 的长为( )
A ．1.5
B ．2
C ．2.5
D ．3
2．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，
C
，E ，B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( )
A ．7
B ．7.5
C ．8
D ．8.5
3．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )
A.AD DF ＝BC CE
B.BC CE ＝DF AD
C.CD EF ＝BC BE
D.CE EF ＝AD AF
4．如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列结论不正确的是( )
A.AC CE ＝BD DF
B.AC AE ＝BD BF
C.BD CE ＝AC DF
D.AE CE ＝BF DF
5．如图，已知a ∥b ∥c ，若AB ＝BC ，则DE ＝_______．
6．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，BC ＝3，DE ∶EF ＝2∶1，则AC ＝______．
7．如图，如果l 1∥l 2∥l 3，AC ＝12，DE ＝3，EF ＝5，那么BC ＝_______．
8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，下列不能成立的比例式一定是( )
A.AD
DB＝AE
EC B.AB
AD＝
AC
AE
C.AC
AB＝
EC
DB D.
AD
DB＝
DE
BC
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，AD
BD＝3
4，则
EC的长是()
A．4.5 B．8
C．10.5 D．14
10．如图，若DE∥BC，AD＝3 cm，DB＝2 cm，AC＝10 cm，求AE的长．
13．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB ＝3，DE＝4，EF＝2，则()
A ．BC ∶DE ＝1∶2
B ．B
C ∶DE ＝2∶3 C ．BC ·DE ＝8
D ．BC ·D
E ＝6
14．如图，直线A 1A ∥BB 1∥CC 1，若AB ＝8，BC ＝4，A 1B 1＝6，则线段B 1C 1的长是______．
15．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AC ∶CE ＝2∶3，BF ＝15，那么BD ＝______．
16．如图，直线CD ∥EF ，若OC ＝3，CE ＝4，则OD OF 的值是_______．
18．如图，已知AB ∥MN ，BC ∥NG ，求证：OA OM ＝OC OG .
19．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断AD
DB＝BF
FC成立吗？并说明理由．
答案：
1---4 DBAC
5. EF
6. 9
7. 7.5
8. D
9. B
10. 解：6 cm
11. A
12. A
13. D
14. 3
15. 6
16. 37
17. 解：根据题意有AD DB ＝AE EC ，∴AD 4＝1AD
，∴AD ＝2 cm ，∴EC ＝2 cm ，∴AC ＝AE ＋EC ＝3 cm 18. 解：∵AB∥MN，∴OA OM ＝OB ON
.又∵BC∥NG，∴OB ON ＝OC OG ，∴OA OM ＝OC OG 19. 解：AD DB ＝BF FC 成立．理由如下：∵DE∥BC，∴
AD DB ＝AE EC .∵EF∥AB，∴BF FC ＝AE EC .∴AD DB ＝BF FC。