高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(填空题：一般)
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
24.已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ________；若 ，则 ________．
25.在正方体 中：
（1）分别给出直线 ， 的一个方向向量；
（2）分别给出平面 ，平面 ，平面 的一个法向量．
26.如图，边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点， .将 ， 分别沿着 ， 折起，使 ， 重合于点 ，且二面角 为直二面角.
B
【考点】
平面的法向量
向量方法证明线、面的位置关系定理
直线的方向向量
【解析】
由已知可得： ，因此 ，再利用线面垂直的判定即可得出．
【解答】
解：∵直线 的方向向量为 ，
平面 的法向量 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
设直线 的一个方向向量为 ，运用向量垂直的条件：数量积为 ，化简可得所求向量．
【解答】
解：设直线 的一个方向向量为 ，
由两平面 与 分别以 与 为其法向量，
可得 ， ，
可得 ， ，
可设 ，则 ， ，
可得 ．
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
数学选修2-1空间向量与立体几何练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1.已知 是空间的一组单位正交基底，而 是空间的另一组基底．若向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标为（）
高中数学选修2-1同步练习-3.1.3空间向量的数量积运算word版含答案
3.1.3空间向量的数量积运算一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )A ．若a ²b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ²b ＝a ²c ，则b ＝c解析： 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ²b ＝0；对于C ，a 2＝b 2只能推得|a |＝|b |，而不能推出a＝±b ；对于D ，a ²b ＝a ²c 可以移项整理推得a ⊥(b －c )．故选B.答案： B2．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→的夹角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析： BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形，∴∠D ′AB ′＝60°，∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°.答案： C3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足A B →²A C →＝0，A C →²A D →＝0，A B →²A D →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定 解析： 如右图所示，设A B →＝a ，A C →＝b ，A D →＝c ，∵C B →²C D →＝(a －b )²(c －b )＝a ²c －b ²c －a ²b ＋b 2＝b 2>0.同理B C →²B D →>0，D B →²D C →>0.故选B.答案： B4.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为( ) A.13 B.43 C.33 D.23解析： ∵AC 1→＝A B →＋A D →＋AA 1→，∴|AC 1→|＝A B →＋A D →＋AA 1→ 2 ＝A B →2＋A D →2＋AA 1→2＋2 A B →²A D →＋A B →²AA 1→＋A D →²AA 1→∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴〈A B →，A D →〉＝90°，〈A B →，AA 1→〉＝〈A D →，AA 1→〉＝60°.∴|A C →|＝1＋4＋9＋2 1³3³cos 60°＋2³3³cos 60° ＝23.故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在空间四边形ABCD 中，A B →²C D →＋B C →²A D →＋C A →²B D →＝________.解析： 设A B →＝b ，A C →＝c ，A D →＝d ， 则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →＝c －b .原式＝0.答案： 06．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________. 解析： m ²n ＝(a ＋b )²(a ＋λb )＝|a |2＋λa ²b ＋a ²b ＋λ|b |2＝18＋λ³32³4³cos 135°＋32³4³cos 135°＋λ³16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－32. 答案： －32三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥A －BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E ，F ，G 是AB ，AD ，DC 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝CG ∶GD ＝1∶2，求下列向量的数量积：(1)A D →²D B →；(2)A D →²B C →；(3)G F →²A C →；(4)E F →²B C →. 解析： (1)|A D →|＝a ，|BD →|＝a ，〈A D →，D B →〉＝120°，所以A D →²D B →＝|AD →||D B →|cos 120°＝－12a 2. (2)因为B C →＝A C →－A B →，所以A D →²B C →＝A D →²(A C →－A B →)＝A D →²A C →－A D →²A B →， 又因为|A D →|＝a ，|BC →|＝a ，〈A D →，A C →〉＝〈A D →，A B →〉＝60°，所以A D →²B C →＝12a 2－12a 2＝0. (3)因为点F ，G 是AD ，DC 上的点，所以G F →＝23CA →＝－23A C →， 所以G F →²A C →＝－23AC 2→， 因为AC 2→＝a 2，所以G F →²A C →＝－23a 2. (4)因为点E ，F 分别是AB ，AD 上的点，所以E F →＝13B D →， 所以E F →²BC →＝13B D →²BC →， 结合图形可知〈BD →，B C →〉＝60°，所以E F →²B C →＝13B D →²B C →＝13³a ³a ³cos 60°＝16a 2. 8．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.解析： ∵M N →＝M B →＋B C →＋C N →＝23A B →＋(A C →－A B →)＋13(A D →－A C →) ＝－13A B →＋13A D →＋23A C →.∴M N →²M N →＝(－13A B →＋13A D →＋23AC →)²(－13A B →＋13A D →＋23A C →) ＝19AB 2→－29A D →²A B →－49A B →²AC →＋49A C →²AD →＋19AD →2＋49AC 2→ ＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|M N →|＝M N →²M N →＝53a . 即|MN |＝53a .尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a .(1)用向量法求A 1B 和B 1C 的夹角；(2)用向量法证明A 1B ⊥AC 1；(3)用向量法求AC 1的长度．解析： (1)因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，所以|A 1B →|＝|B 1C →|＝2a .因为A 1B →＝A B →－AA 1→，B 1C →＝A 1D →＝A D →－AA 1→，所以A 1B →²B 1C →＝(A B →－AA 1→)²(A D →－AA 1→)＝a 2，所以cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝a 22a ²2a ＝12， 即A 1B 和B 1C 的夹角为60°；(2)证明：因为AC 1→＝A B →＋AA 1→＋A D →，A 1B →＝A B →－AA 1→，所以AC 1→²A 1B →＝0，A 1B ⊥AC 1；(3)由(2)知，AC 1→＝A B →＋AA 1→＋A D →，所以AC 1→2＝(A B →＋AA 1→＋A D →)2＝3a 2，所以|AC 1→|＝AC 1＝3a .。
2019年人教A版高中数学选修2-1练习：3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数
姓名，年级：时间：3.1。
1 空间向量及其加减运算3.1。
2 空间向量的数乘运算1。
已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点，则+（+)等于( A ）(A） (B） (C)（D）解析：+（+）=+×(2)=+=。
故选A。
2。
下列命题中正确的个数是( A ）①若a与b共线，b与c共线,则a与c共线；②向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb.（A)0 (B)1 (C)2 （D）3解析：①当b=0时，a与c不一定共线，故①错误;②中a，b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内，故②错误;③当b为零向量,a不为零向量时，λ不存在。
故选A。
3.在平行六面体ABCD EFGH中，若=x—2y+3z,则x+y+z等于( C ）（A）（B)（C）（D）1解析：=++,则x=1,y=—,z=，故选C.4.已知空间向量a,b，且=a+2b，=—5a+6b，=7a—2b,则一定共线的三点是（ A ）(A）A,B，D （B）A,B,C (C)B，C，D (D)A，C,D解析：因为=+=2a+4b=2，所以A，B，D三点共线。
故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n，其中m+n=1,则（ A ）(A)P∈AB (B)P∉AB(C）点P可能在直线AB上（D）以上都不对解析：因为m+n=1,所以m=1—n，所以=（1—n)+n,即—=n（-）,即=n，所以与共线.又有公共起点A,所以P，A,B三点在同一直线上，即P∈AB.故选A。
6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D ）（A）m,n,p共线（B）m与p共线（C)n与p共线(D)m,n，p共面解析:由于(a+b）+（a-b）=2a，即m+n=2p,即p=m+n，又m与n不共线，所以m,n,p共面。
7。
已知i，j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=—i+4j—2k，c=7i+5j+λk，若a，b,c三个向量共面,则实数λ等于( D ）(A) (B）9 （C) (D)解析:因为a，b,c三向量共面,所以存在实数m，n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k）+n(—i+4j-2k）。
高中数学选修2-1 同步练习 专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)
第三章 空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BCD ．1CB2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+-D ．22OP OA OB OC =+-3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OBD ．OC4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD =A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++=A ．BCB ．CGC ．12BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是与的交点,若,则下列向量中与相等的向量是A ．1122-++a b c B ．1122++a b c C ．1122-+a b c D ．1122--+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量，，是A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；④若空间向量a ，b ，c 满足=a b ，=b c ，则=a c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题为________________（填序号）． 10．在四面体O-ABC 中，=a ，=b ，=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= .(用a ,b ,c表示)11．在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ,若BCD △是正三角形，且E 为其中心，则的化简结果为________．12．在长方体1111ABCD A B C D ﹣中，下列各式运算结果为向量1BD 的是________________．（填序号）①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-；③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD -+． 13．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1243OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A ，B ，C 共面，则λ=________________．14．已知两非零向量12,e e ,且1e 与2e 不共线，若12λμ=+a e e (λ,μ∈R ,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是_______.①a 与1e 共线；②a 与2e 共线；③a 与12,e e 共面. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知a =3m -2n -4p ,b =(x+1)m +8n +2y p ,且a ≠0,b ≠0,若a ∥b ,求实数x ,y 的值.16．如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ，BD 的中点，设2AB =-a c ，568CD =+-a b c ，试用a ，b ，c 表示向量EF ．17．如图所示的多面体是以长方形ABCD 为底面的长方体的一部分,其中AB =4,BC =2,BE =2,CF =3,DG =1,求证:A ,E ,F ,G 四点共面..18．（1）已知向量1e ，2e 不共线，122=+a e e ，122=+b e e ，试判断a 与b 是否共线；（2）如图所示，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且2CF FB =，2CG GD =．求证：四边形EFGH 是梯形．19．如图所示，已知几何体1111ABCD A B C D ﹣是平行六面体． （1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ，设1MN AB AD AA αβγ=++，求α，β，γ的值．。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
数学选修2-1空间向量及其运算练习题含答案
数学选修2-1空间向量及其运算练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则EA →⋅EC →的取值范围是（ ） A.[12,1] B.[0,1] C.[−1,0]D.[−12,0]2. 已知向量a →=(3, 5, −1)，b →=(2, 2, 3)，c →=(1, −1, 2)，则向量a →−b →+4c →的坐标为（ ） A.(5, −1, 4) B.(5, 1, −4) C.(−5, 1, 4) D.(−5, −1, 4)3. 已知空间三点坐标分别为A (1,1,1),B (0,3,0),C (−2,−1,4),点P(−3,x,3)在平面ABC 内，则实数x 的值为( ) A.1 B.−2 C.0 D.−14. 如图，在四面体ABCD 中，设G 是CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)等于（ ）A.AD →B.BG →C.CD →D.AG →5. 已知{a →, b →, c →}是空间的一组单位正交基底，而{a →−b →, c →, a →+b →}是空间的另一组基底．若向量p →在基底{a →, b →, c →}下的坐标为(6, 4, 2)，则向量p →在基底{a →−b →, c →, a →+b →}下的坐标为（ ） A.(1, 2, 5) B.(5, 2, 1) C.(1, 2, 3) D.(3, 2, 1)6. 若a →=(2, −3, 1)，b →=(2, 0, 3)，c →=(0, 2, 2)，则a →⋅(b →+c →)=( ) A.4 B.15 C.7 D.37. 已知a →，b →是空间两个向量，若|a →|=|b →|=2，|a →−b →|=√7，则cos ⟨a →,b →⟩=（ ） A.18B.14C.12D.18. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，点P ，Q 为线段B 1B ，AB 上的动点，下列命题正确的是（ ）A.(A 1A →+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→2B.A 1C →⋅(A 1B 1→−A 1A →)=0C.若AC 1→=xAB →+2yBC →+3zC 1C →，则x +y +z =75 D.对任意给定的点Q ，存在点P ，使得CP ⊥D 1Q9. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO →=xAB →+yAC →+zAD →，x ，y ，z ∈R ，则x +y +z =（ ） A.34 B.13C.12D.1410. 下列命题正确的是（ ）A.a →|−|b →|<|a →+b →|是向量a →,b →不共线的充要条件B.在空间四边形ABCD 中，AB →⋅CD →+BC →⋅AD →+CA →⋅BD →=0 C.在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB →⋅BC →=12D.设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP →=13OA →+23OB →+OC →则P ，A ，B ，C 四点共面11. 已知a →=(x, −2, 6)，b →=(2, −1, 3)，a → // b →，则x =________．12. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是上底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，求下列各式中的x ，y 的值：（1）AC 1→=x(AB →+BC →+CC 1→)，则x =________；（2）AE →=AA 1→+xAB →+yAD →，则x =________，y =________；（3）AF →=AD →+xAB →+yAA 1→，则x =________，y =________．13. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，化简：DA →−DB →+B 1C →−B 1B →+A 1B 1→−A 1B →=________．14. 如图，在四边形ABCD 中，DC →=13AB →，E 为BC 的中点，且AE →=x ﹒AB →+y ⋅AD →，则3x −2y =________．15. 设点C(2a +1, a +1, 2)在点P(2, 0, 0)，A(1, −3, 2)，B(8, −1, 4)所确定的平面上，则a =________．16. 已知向量a →=(3,5,0)，b →=(1,2,−1)，则|a →−2b →|等于________．17. 已知点A(1, −2, 11)、B(4, 2, 3)，C(6, −1, 4)，则△ABC 中角C 的大小是________．18. 如图，在三棱锥D −ABC 中，已知AB =AD =2，BC =1，AC →⋅BD →=−3，则CD =________．19. 已知扇形AOB ，点C 在弧AB 上（异于A ，B 两点），线段AB 与OC 交与点M ，设OC →=tOA →+3tOB →(t ≠0)，AM →=mAB →(m ≠0)，则m =________．20. 设a →=(2, 2m −3, n +2)，b →=(6, 2m −1, 4n −2)，且a → // b →，则m +n =________．21. 已知点A(1, −2, 0)和a →=(−3, 4, 12)，求点B 的坐标，使AB → // a →，且|AB|等于|a →|的2倍．22. 已知正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′的边长为a . (1)求AC →⋅AA ′→； (2)求AC →⋅A ′C ′→；(3)求AC →⋅AC ′→.23. 已知向量a →=2e →1−3e →2，b→=2e →1+3e →2，其中e →1、e →2不共线，向量c →=2e →1−9e →2．问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d→=λa →+μb →与c →共线？24. 已知向量a →，b →，c →分别平行于x 轴，y 轴，z 轴，他们的坐标各有什么特点？25. 已知向量a →=(−2, −1, 2)，b →=(−1, 1, 2)，c →=(x, 2, 2).(1)当|c →|=2√2时，若向量ka →+b →与c →垂直，求实数x 和k 的值；(2)若向量c →与向量a →，b →共面，求实数x 的值.26. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO =1，M 是PC 的中点．（1）设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，用a →，b →，c →表示向量BM →；（2）在如图的空间直角坐标系中，求向量BM →的坐标．27. 如图，在棱长为a 的正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，（1）作出面A 1BC 1与面ABCD 的交线l ，判断l 与直线A 1C 1位置关系，并给出证明；（2）证明B 1D ⊥面A 1BC 1；（3）求直线AC 到面A 1BC 1的距离；（4）若以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出C ，C 1两点的坐标．28. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =5，AD =3，AA 1=4，∠DAB =90∘，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘，E 是CC 1的中点，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →．（1）用a →，b →，c →表示AE →；（2）求AE 的长？29. 设空间向量a →=(3, 5, −4)，b →=(2, 1, 8)．（1）计算2a →+3b →，3a →−2b →，a →⋅b →的值，并求a →与b →所成角的余弦值；（2）当λ、μ，满足什么条件时，使得λa →+μb →与z 轴垂直．30. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1C 1 的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB →+BC →−C 1C →；(2)12AB →−12DA →−A 1A →.31. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，点E 、F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和面CC 1D 1D 的中心，求其中x ，y ，z 的值．（1）AC 1→=xAB →+yBC →+zCC 1→；（2）AE →=xAB →+yBC →+zCC 1→；（3）AF →=xBA →+yBC →+zC 1C →．32. 如图所示，在长方体体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．（1）化简：A 1O →−12AB →−12AD →；（2）设E 是棱DD 1上的点，且DE →=23DD 1→，若EO →=xAB →+yAD →+zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．33. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，AD =4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC →⋅ED 1→；(2)BF →⋅AB 1→．34. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，∠BAD =90∘，∠BAA 1=∠DAA 1=60∘．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →（1）用基底{a →，b →，c →}表示向量BM →；（2）求向量AC 1→的长度．35. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，△A 1AC 为等边三角形，AC ⊥A 1B .(1)求证：AB =BC ；(2)若∠ABC =90∘，求A 1B 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.36. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1上的点，且BM =2A 1M ，C 1N =2B 1N ．设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →．（1）试用a →，b →，c →表示向量MN →；（2）若∠BAC =90∘，∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，AB =AC =AA 1=1，求MN 的长．37. 已知六边形ABCDEF 的三对对边都互相平行，并且FC →=2AB →=2DE →，又设AB →=α→，BC →=β→，求CE →和CD →．38. 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA =AD =1，求MN →，DC →的坐标．39. 若M 、A 、B 三点不共线，且存在实数λ1，λ2，使MC →=λ1MA →+λ2MB →，求证：A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ1+λ2=1．40. 如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ:QA 1=4:1，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，用基底{a, b, c}表示以下向量：（1）AP →；（2）AM →；（3）AN →；（4）AQ →．参考答案与试题解析数学选修2-1空间向量及其运算练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 A【考点】 空间向量向量的概念与向量的模【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴， 以DD 1 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，可得点A(1,0,0)，C(0,1,0) 设点E 的坐标为(x,y,1)，则0≤x ≤1，0≤y ≤1 ∴ EA →=(1,−x,−y −1)， EC →=(−x,1−y,−1)，EA →⋅EC →=−x(1−x)−y(1−y)+1=x 2−x +y 2−y +1=(x −12)2+(y −12)2+12． 由二次函数的性质可得，当x =y =12时，EA →⋅EC →．取得最小值12，当x =0或x =1，且y =0或y =1时，EA →⋅EC →取得最大值1， 因此EA →⋅EC →的取值范围是[12,1]，故选A ．2. 【答案】A【考点】空间向量运算的坐标表示【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解即可．【解答】解：向量a →=(3, 5, −1)，b →=(2, 2, 3)，c →=(1, −1, 2)，则向量a →−b →+4c →=(3, 5, −1)−(2, 2, 3)+4(1, −1, 2)=(5, −1, 4)，故选：A ．3.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用点P （−3，x ，3）在平面ABC 内，得到AP →=mAB →+nAC →，利用向量的坐标运算和空间向量基本定理求解即可.【解答】解：点P （−3，x ，3）在平面ABC 内，则AP →=mAB →+nAC →，即（−4，x −1，2）=m （−1,2，−1）+n （−3，−2,3），所以−4=−m −3n ，x −1=2m −2n ，2=−m +3n ，解得m =1，n =1，x =1，故选：A .4.【答案】D【考点】空间向量的加减法【解析】先求出则12(BD →+BC →)=BG →，根据向量的加法运算法则计算即可．【解答】解：∵ G 是CD 的中点，∴ AB →+12(BD →+BC →)=AB →+BG →=AG →，故选：D ．5.【答案】A【考点】空间向量【解析】设向量p →在基底{a →−b →, c →, a →+b →}下的坐标为(x, y, z)，由p →=6a →+4b →+2c →=x(a →−b →)+yc →+z(a →+b →)，列出方程组，求出x ，y ，z 的值即可．【解答】解：设向量p →在基底{a →−b →, c →, a →+b →}下的坐标为(x, y, z)，可得p →=6a →+4b →+2c →=x(a →−b →)+yc →+z(a →+b →)，所以：{6=x +z4=−x +z 2=y∴ x =1，y =2，z =5故选：A ．6.【答案】D【考点】空间向量的数量积运算空间向量运算的坐标表示【解析】先求出 b →+c →，再利用空间向量的数量积公式 a →=(x 1,y 1,z 1)，b →=(x 2,y 2,z 2)，a →⋅b →=x 1⋅x 2+y 1y 2+z 1z 2求出a →⋅(b →+c →)．【解答】解：∵ b →=(2, 0, 3)，c →=(0, 2, 2)，∴ b →+c →=(2, 2, 5)，∴ a →⋅(b →+c →)=2×2+(−3)×2+1×5=3，故选D ．7.【答案】A【考点】空间向量的数乘运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A,B,D【考点】空间向量运算的坐标表示空间向量的数量积运算空间向量的加减法命题的真假判断与应用棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：建立如图的空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A(0,0,1)，C(1,1,1)，A 1(0,0,0)，B 1(0,1,0)，C 1(1,1,0)，D 1(1,0,0)，所以A 1A →=(0,0,1)，A 1D 1→=(1,0,0)，A 1B 1→=(0,1,0)，A 1C →=(1,1,1)，AD →1=(1,0,−1)， (A 1A →+A 1D 1→+A 1B 1→)2=(1,1,1)2=3=3A 1B 1→2，A 正确； A 1C →⋅(A 1B 1→−A 1A →)=(1,1,1)⋅(0,1,−1)=0，B 正确；AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=AB →+BC →−C 1C →=xAB →+2yBC →+3zC 1C →，解得x =1，y =12，z =−13，则x +y +z =76，C 错误；当点P 与B 1重合时，CP ⊥AB 且CP ⊥AD 1，所以CP ⊥平面ABD 1，因为对于任意给定的点Q ，都有D 1Q ⊂平面ABD 1，所以对于任意给定的点Q ，存在点P ，使得D 1Q ⊥CP ，D 正确．故选ABD .9.【答案】A【考点】棱锥的结构特征空间向量的数乘运算空间向量【解析】 根据正四面体的性质求出棱锥的高，根据等体积法求出内切球的半径，建立坐标系，求出各向量的坐标，代入坐标运算即可解出．【解答】解：设正四面体的高为AM ，延长DM 交BC 于E ，则E 为BC 的中点．∴ DE =√32，DM =23DE =√33， ∴ AM =√AD 2−DM 2=√63， 设内切球半径为r，则V A−BCD =13S △BCD ⋅AM =4×13×S BCD ⋅r ，∴ r =AM4=√612，∴ OM =√612， 以M 为原点，建立如图所示的空间坐标系M −xyz ，则A (0,0,√63)，B (12,−√36,0)，C (−12,−√36,0)， D (0,√33,0)，O (0,0,√612) ∴ AO →=(0,0,−√64)，AB →=(12,−√36,−√63)， AC →=(−12,−√36,√63)，AD →(0,√33,√63)， AO →=xAB →+yAC →+zAD → { 12x −12y =0−√36x −√36y +√33z =0−√63x −√63y −√63z =−√64， 解得x =y =z =14． ∴ x +y +z =34． 故选A .10.【答案】B【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的数量积运算共线向量与共面向量【解析】本题考查了空间向量的有关命题，根据向量共线，共面定理，向量数乘运算即可依次判断．【解答】解：若a →，b →为非零的同向向量，则|a →|−|b →|<|a →+b →|，故A 错；在空间四边形中，AB →⋅CD →+BC →⋅AD →+CA →⋅BD →=−BA →⋅(BD →−BC →)+BC →⋅(BD →−BA →)+BD →⋅(BA →−BC →)=−BA →⋅BD →+BA →⋅BC →+BC →⋅BD →−BC →⋅BA →+BD →⋅BA →−BD →⋅BC →=0，故B 正确；在棱长为1的四面体中，AB →⋅BC →=1⋅1⋅cos (π−∠ABC)=−cos ∠ABC ，不一定为12，故C 错；若A ，B ，C 三点不共线，P 与之共面，则OP →=tOA →+mOB →+nOC →，满足t +m +n =1， 而13+23+1≠1，故P ，A ，B ，C 不共面，故D 错误．故选B ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）11.【答案】4【考点】共线向量与共面向量【解析】根据所给的两个向量的坐标和两个向量之间的平行关系，写出向量平行的坐标形式的充要条件，解方程即可．【解答】解：∵ a →=(2, −1, 3)，b →=(2, −1, 3)，a → // b →∴ x 2=−2−1=63∴ x =4故答案为：412.【答案】112,1212,12【考点】空间向量的数乘运算空间向量的加减法【解析】（1）根据向量加法的首尾相连法则求解；（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得AE →=AA 1→+A 1E →和A 1E →=12(A 1B 1→+A 1D 1→)，再由向量相等求解；（3）由向量加法的三角形法则和四边形法则得AF →=AD →+DF →和DF →=12(DC →+DD 1→)，再由向量相等求解．【解答】解：（1）根据向量加法的首尾相连法则，x =1；（2）由向量加法的三角形法则得，AE →=AA 1→+A 1E →，由四边形法则和向量相等得，A 1E →=12(A 1B 1→+A 1D 1→)=12(AB →+AD →)； ∴ AE →=AA 1→+12AB →+12AD →，∴ x =y =12；（3）由向量加法的三角形法则得，AF →=AD →+DF →，由四边形法则和向量相等得，DF →=12(DC →+DD 1→)=12(AB →+AA 1→)；∴ AF →=AD →+12AB →+12AA 1→，∴ x =y =12．13.【答案】BD 1→【考点】空间向量的加减法【解析】根据向量的加减的运算法则即可求出．【解答】解：长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，如图，DA →−DB →+B 1C →−B 1B →+A 1B 1→−A 1B →=BA →+BC →+BB 1→=BD →+BB 1→=BD 1→， 故答案为：BD 1→，14.【答案】1【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出．【解答】解：∵ E 为BC 的中点，∴ BE →=12BC →， 又BC →=BA →+AD →+DC →=−AB →+AD →+13AB →，∴ BE →=12(−23AB →+AD →)=−13AB →+12AD →，∴ AE →=AB →+BE →=AB →−13AB →+12AD →=23AB →+12AD →．而AE →=x ﹒AB →+y ⋅AD →，∴ x =23，y =12．∴ 3x −2y =2−1=1．故答案为：1．15.【答案】16【考点】共线向量与共面向量【解析】利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：由已知，得PA →=(−1, −3, 2)，PB →=(6, −1, 4)．设PC →=xPA →+yPB →(x ，y ∈R )，则(2a −1, a +1, 2)=x(−1,−3,2)+y(6,−1,4)=(−x +6y,−3x −y,2x +4y)，所以{2a −1=−x +6y a +1=−3x −y 2=2x +4y ，解得{x =−7y =4a =16．故答案为：16．16.【答案】 √6【考点】空间向量运算的坐标表示空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算【解析】本题考查空间向量的坐标运算及向量的模．【解答】解：a →−2b →=(3，5,0)−2(1,2,−1)=(1,1,2)，所以|a →−2b →|=√1+1+4=√6故答案为：√6．17.【答案】90∘【考点】空间向量运算的坐标表示【解析】空间两点P 1(x 1, y 1, z 1)，P 2(x 2, y 2, z 2)，则P 1、P 2的距离：P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+(z 1−z 2)2，根据这个公式可以计算出AC 、BC 的长度，再用两个向量的夹角公式，得到∠ACB 的余弦，从而得到角C 的大小【解答】解：∵ A(1, −2, 11)、B(4, 2, 3)，C(6, −1, 4)，∴ |AC →|=√(1−6)2+(−2+1)2+(11−4)2=√75|BC →|=√(4−6)2+(2+1)2+(3−4)2=√14又∵ CA →=(−5,−1,7)，CB →=(−2,3,−1)∴ CA →⋅CB →=(−5)×(−2)+(−1)×3+7×(−1)=0可得cos ∠ACB =|CA|→|×|CB →|˙=0∵ ∠ACB ∈(0∘, 180∘)∴ ∠ACB =90∘故答案为90∘18.【答案】 √7【考点】空间向量的数量积运算【解析】用AB →,AD →表示BD →，根据已知条件列方程得出AC ，∠BAC ，∠DAC 的关系，使用等量代换计算CD 2＝|AD →−AC →|2．【解答】解：设∠BAC =α，∠DAC =β，∵ |AC →−AB →|=BC →=1，∴ AC 2+AB 2−2AC ⋅AB cos α=1，即AC 2−4AC cos α=−3．∵ AC →⋅BD →=−3，∴ AC →⋅(AD →−AB →)=AC →⋅AD →−AC →⋅AB →=−3，即2AC cos β−2AC cos α=−3，∴ 2AC cos β=2AC cos α−3．∴ CD 2=(AD →−AC →)2=AD →2+AC →2−2AC →⋅AD →=4+AC 2−4AC cos β =4+AC 2−4AC cos α+6=7．∴ CD =√7．故答案为：√7.19.【答案】34【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】根据条件及向量加法、减法，及数乘的几何意义及其运算便可得到OM →=(1−m)OA →+mOB →，从而有OC →=kOM →=k(1−m)OA →+kmOB →，由平面向量基本定理便得到{k(1−m)=t km =3t，解出m 即可． 【解答】解：如图，OM →=OA →+AM →=OA →+mAB →=OA →+m(OB →−OA →)=(1−m)OA →+mOB →；O ，M ，C 三点共线；∴ 存在实数k ，OC →=kOM →=k(1−m)OA →+mkOB →；又OC →=tOA →+3tOB →；∴ {k(1−m)=t mk =3t； 解得m =34．故答案为：34．20.【答案】10【考点】共线向量与共面向量【解析】利用向量平行的坐标之间的关系解答．【解答】解：∵ a →=(2, 2m −3, n +2)，b →=(6, 2m −1, 4n −2)，且a → // b →， ∴ 26=2m−32m−1=n+24n−2，解得m =2，n =8；∴ m +n =10；故答案为：10．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：∵ AB → // a →，∴ 可设AB →=na →=(−3n, 4n, 12n)，∵ |a →|=13，∴ |AB →|=|n|⋅|a →|=13|n|∵ |AB →|=2|a →|，13|n|=26，解得n =2或n =−2，当n =2时，OB →=OA →+AB →=(1, −2, 0)+(−6, 8, 24)=(−5, 6, 24)， 当n =−2时，OB →=OA →+AB →=(1, −2, 0)+(6, −8, −24)=(7, −10, −24)，故B 为(−5, 6, 24)或(7, −10, −24)．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式共线向量与共面向量【解析】设AB →=na →=(−3n, 4n, 12n)，由|AB →|=2|a →|，得n =2或n =−2，由此利用OB →=OA →+AB →，能求出点B 的坐标．【解答】解：∵ AB → // a →，∴ 可设AB →=na →=(−3n, 4n, 12n)，∵ |a →|=13，∴ |AB →|=|n|⋅|a →|=13|n|∵ |AB →|=2|a →|，13|n|=26，解得n =2或n =−2，当n =2时，OB →=OA →+AB →=(1, −2, 0)+(−6, 8, 24)=(−5, 6, 24)， 当n =−2时，OB →=OA →+AB →=(1, −2, 0)+(6, −8, −24)=(7, −10, −24)，故B 为(−5, 6, 24)或(7, −10, −24)．22.【答案】解：(1)∵ AA ′⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥AA ′，∴ AC →⋅AA ′→=0.(2)∵ AC // A ′C ′，∴ AC →⋅A ′C ′→=|AC →|⋅|A ′C ′→|⋅cos 0=√2a ⋅√2a =2a 2． (3)AC →⋅AC ′→=|AC →|⋅|AC ′→|cos ∠C ′AC=√2a ×√3a 2222√2a⋅√3a =2a 2．【考点】空间向量的数量积运算【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：(1)∵ AA ′⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥AA ′，∴ AC →⋅AA ′→=0.(2)∵ AC // A ′C ′，∴ AC →⋅A ′C ′→=|AC →|⋅|A ′C ′→|⋅cos 0=√2a ⋅√2a =2a 2． (3)AC →⋅AC ′→=|AC →|⋅|AC ′→|cos ∠C ′AC=√2a ×√3a 2222√2a⋅√3a =2a 2．23.【答案】 解：∵ d →=λ(2e →1−3e →2)+μ(2e →1+3e →2)=(2λ+2μ)e →1+(−3λ+3μ)e →2，若d →与c →共线，则存在实数k ≠0，使d →=kc →，即(2λ+2μ)e →1+(−3λ+3μ)e →2=2ke →1−9ke →2，由{2λ+2μ=2k −3λ+3μ=−9k 得λ=−2μ． 故存在这样的实数λ、μ，只要λ=−2μ，就能使d →与c →共线．【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】先将向量a →、b →代入表示出向量d →，然后假设共线可得：应有实数k ，使d →=kc →．即可得到λ=−2μ的关系式，从而得到答案．【解答】解：∵ d →=λ(2e →1−3e →2)+μ(2e →1+3e →2)=(2λ+2μ)e →1+(−3λ+3μ)e →2，若d →与c →共线，则存在实数k ≠0，使d →=kc →，即(2λ+2μ)e →1+(−3λ+3μ)e →2=2ke →1−9ke →2，由{2λ+2μ=2k −3λ+3μ=−9k 得λ=−2μ． 故存在这样的实数λ、μ，只要λ=−2μ，就能使d →与c →共线．24.【答案】解：向量a →，b →，c →分别平行于x 轴，y 轴，z 轴，所以向量a →的横坐标不为0，横坐标为0，竖坐标为0；向量b →的横坐标为0，横坐标不为0，竖坐标为0；向量c →的横坐标为0，横坐标为0，竖坐标不为0；【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量【解析】直接利用向量与坐标轴的关系，写出结果即可．【解答】解：向量a →，b →，c →分别平行于x 轴，y 轴，z 轴，所以向量a →的横坐标不为0，横坐标为0，竖坐标为0；向量b →的横坐标为0，横坐标不为0，竖坐标为0；向量c →的横坐标为0，横坐标为0，竖坐标不为0；25.【答案】解：(1)当|c →|=2√2时，√x 2+4+4=2√2，解得x =0，且向量ka →+b →=(−2k −1, 1−k, 2k +2).因为向量ka →+b →与c →垂直，所以(ka →+b →)⋅c →=0，即2(1−k)+2(2k +2)=0，解得k =−3，所以实数x 和k 的值分别为0和−3.(2)因为向量c →与向量a →，b →共面，所以设c →=λa →+μb →(λ，μ∈R)，所以(x, 2, 2)=λ(−2, −1, 2)+μ(−1, 1, 2)，所以{x =−2λ−μ，2=μ−λ，2=2λ+2μ，解得{x =−12，λ=−12，μ=32， 所以实数x 的值为−12.【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量的数量积运算共线向量与共面向量【解析】(Ⅰ)直接利用向量的垂直的充要条件的应用求出结果．(Ⅱ)直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．【解答】解：(1)当|c →|=2√2时，√x 2+4+4=2√2，解得x =0，且向量ka →+b →=(−2k −1, 1−k, 2k +2).因为向量ka →+b →与c →垂直，所以(ka →+b →)⋅c →=0，即2(1−k)+2(2k +2)=0，解得k =−3，所以实数x 和k 的值分别为0和−3.(2)因为向量c →与向量a →，b →共面，所以设c →=λa →+μb →(λ，μ∈R)，所以(x, 2, 2)=λ(−2, −1, 2)+μ(−1, 1, 2)，所以{x =−2λ−μ，2=μ−λ，2=2λ+2μ，解得{x =−12，λ=−12，μ=32， 所以实数x 的值为−12.26.【答案】解：（1）∵ BM →=BC →+CM →，BC →=AD →，CM →=12CP →，CP →=AP →−AC →，AC →=AB →+AD →，∴ BM →=AD →+12(AP →−AC →)=AD →+12AP →−12(AB →+AD →) =12AD →+12AP →−12AB → =12b →+12c →−12a →．（2）a →=AB →=(1, 0, 0)，b →=AD →=(0, 1, 0)，∵ O(12，12，0)，P(12，12，1)．∴ c →=AP →=OP →−OA →=(0, 0, 1)，∴ BM →=12b →+12c →−12a →=12(0, 1, 0)+12(0, 0, 1)−12(1, 0, 0)=(−12，12，12)．【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量【解析】（1）利用向量的三角形法则可得：BM →=BC →+CM →，BC →=AD →，CM →=12CP →，CP →=AP →−AC →，AC →=AB →+AD →，代入化简即可得出．（2）由于a →=AB →=(1, 0, 0)，b →=AD →=(0, 1, 0)，c →=AP →=OP →−OA →=(0, 0, 1)，代入即可得出．【解答】解：（1）∵ BM →=BC →+CM →，BC →=AD →，CM →=12CP →，CP →=AP →−AC →，AC →=AB →+AD →，∴ BM →=AD →+12(AP →−AC →)=AD →+12AP →−12(AB →+AD →) =12AD →+12AP →−12AB → =12b →+12c →−12a →．（2）a →=AB →=(1, 0, 0)，b →=AD →=(0, 1, 0)，∵ O(12，12，0)，P(12，12，1)．∴ c →=AP →=OP →−OA →=(0, 0, 1)，∴ BM →=12b →+12c →−12a →=12(0, 1, 0)+12(0, 0, 1)−12(1, 0, 0) =(−12，12，12)．27.【答案】（1）解：在平面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，∵ AC // A 1C 1，AC // BE ，∴ BE // A 1C 1，∴ 面A 1BC 1与面ABCD 的交线l 与BE 重合，即直线BE 就是所求的直线l ．∵ BE // A 1C 1，l 与BE 重合，∴ l // A 1C 1．（2）证明：连接B 1D 1，∵ A 1B 1C 1D 1是正方形，∴ A 1C 1⊥B 1D 1，∵ A 1C 1⊥DD 1，∴ A 1C 1⊥面DBB 1D 1，∴ A 1C 1⊥B 1D ．同理A 1B ⊥面ADC 1B 1，∴ A 1B ⊥B 1D ，∵ A 1C 1∩A 1B =A 1，∴ B 1D ⊥面A 1BC 1．（3）解：∵AC // A1C1，且AC在面A1BC1外，A1C1⊂面A1BC1，∴AC // 面A1BC1，∴直线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，记为ℎ，在三棱锥中A−A1BC1中，V A_A1BC1=V C1−ABA1，∵正方体A1B1C1D1−ABCD棱长为a，∴V A−A1BC1=13⋅S△A1BC1⋅ℎ=13×12×(√2a)2×ℎ×sin60∘=√3a26ℎ，V C1−ABA1=13⋅S△ABA1⋅A1C1=13⋅12⋅a⋅a⋅√2a=√26a3，∵V A_A1BC1=V C1−ABA1，∴ℎ=√63a．（4）解：若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体A1B1C1D1−ABCD的棱长为a，∴C(a, a, 0)，C1(a, a, a)．【考点】点、线、面间的距离计算柱体、锥体、台体的体积计算空间中直线与直线之间的位置关系空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】（1）在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，由AC // A1C1，AC // BE，知BE // A1C1，故直线BE就是所求的直线l．且l // A1C1．（2）由A1C1⊥面DBB1D1，知A1C1⊥B1D．由A1B⊥面ADC1B1，知A1B⊥B1D，所以B1D⊥面A1BC1．（3）AC // A1C1，且AC在面A1BC1外，A1C1⊂面A1BC1，所以AC // 面A1BC1，直线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，记为ℎ，由等积法能求出ℎ=√63a．（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，能写出C，C1两点的坐标．【解答】（1）解：在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，∵AC // A1C1，AC // BE，∴BE // A1C1，∴面A1BC1与面ABCD的交线l与BE重合，即直线BE就是所求的直线l．∵BE // A1C1，l与BE重合，∴l // A1C1．（2）证明：连接B1D1，∵A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，∵A1C1⊥DD1，∴A1C1⊥面DBB1D1，∴A1C1⊥B1D．同理A1B⊥面ADC1B1，∴A1B⊥B1D，∵A1C1∩A1B=A1，∴B1D⊥面A1BC1．（3）解：∵AC // A1C1，且AC在面A1BC1外，A1C1⊂面A1BC1，∴AC // 面A1BC1，∴直线AC到面A1BC1的距离即为点A到面A1BC1的距离，记为ℎ，在三棱锥中A−A1BC1中，V A_A1BC1=V C1−ABA1，∵正方体A1B1C1D1−ABCD棱长为a，∴V A−A1BC1=13⋅S△A1BC1⋅ℎ=13×12×(√2a)2×ℎ×sin60∘=√3a26ℎ，V C1−ABA1=13⋅S△ABA1⋅A1C1=13⋅12⋅a⋅a⋅√2a=√26a3，∵V A_A1BC1=V C1−ABA1，∴ℎ=√63a．（4）解：若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体A1B1C1D1−ABCD的棱长为a，∴C(a, a, 0)，C1(a, a, a)．28.【答案】解：（1）根据向量的三角形法则得到AE →=AB →+BC →+CE →=a →+b →+12c → （2）∵ |AE →|2=(a →+b →+12c →)2 =a →2+b →2+14c →2+2a →⋅b →+a →⋅c →+b →⋅c → =25+9+4+0+(20+12)⋅cos 60∘=54 ∴ |AE →|=3√6，即AE 的长为3√6．【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的夹角与距离求解公式【解析】（1）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．（2）根据上一问表示出的结果，把要求的向量两边平方，把得到平方式展开，得到已知向量的模长和数量积的关系，代入数据做出结果．【解答】解：（1）根据向量的三角形法则得到AE →=AB →+BC →+CE →=a →+b →+12c → （2）∵ |AE →|2=(a →+b →+12c →)2 =a →2+b →2+14c →2+2a →⋅b →+a →⋅c →+b →⋅c → =25+9+4+0+(20+12)⋅cos 60∘=54 ∴ |AE →|=3√6，即AE 的长为3√6．29.【答案】解：（1）∵ 空间向量a →=(3, 5, −4)，b →=(2, 1, 8)，∴ 2a →+3b →=(6, 10, −8)+(6, 3, 24)=(12, 13, 16)，3a →−2b →=(9, 15, −12)−(4, 2, 16)=(5, 13, −28)，a →⋅b →=6+5−32=−21，∴ a →与b →所成角的余弦值为：cos <a →，b →>=√9+25+16⋅√4+1+64=−7√138230． （2）z 轴的方向向量为(0, 0, 1)，λa →+μb →=(3λ+2μ, 5λ+μ, −4λ+8μ)，∵ λa →+μb →与z 轴垂直，则0⋅(3λ+2μ)+0⋅(5λ+μ)+(−4λ+8μ)=0，即8μ−4λ=0，∴ λ=2μ．∴ λ=2μ时，λa →+μb →与z 轴垂直．【考点】空间向量的数量积运算空间向量运算的坐标表示【解析】（1）利用空间向量坐标运算法则能求出2a →+3b →，3a →−2b →，a →⋅b →的值，并能求出a →与b →所成角的余弦值．（2）z 轴的方向向量为(0, 0, 1)，λa →+μb →=(3λ+2μ, 5λ+μ, −4λ+8μ)，由向量垂直的性质，能求出λ=2μ时，λa →+μb →与z 轴垂直．【解答】解：（1）∵ 空间向量a →=(3, 5, −4)，b →=(2, 1, 8)，∴ 2a →+3b →=(6, 10, −8)+(6, 3, 24)=(12, 13, 16)，3a →−2b →=(9, 15, −12)−(4, 2, 16)=(5, 13, −28)，a →⋅b →=6+5−32=−21，∴ a →与b →所成角的余弦值为：cos <a →，b →>=√9+25+16⋅√4+1+64=−7√138230． （2）z 轴的方向向量为(0, 0, 1)，λa →+μb →=(3λ+2μ, 5λ+μ, −4λ+8μ)，∵ λa →+μb →与z 轴垂直，则0⋅(3λ+2μ)+0⋅(5λ+μ)+(−4λ+8μ)=0，即8μ−4λ=0，∴ λ=2μ．∴ λ=2μ时，λa →+μb →与z 轴垂直．30.【答案】解：(1)AB →+BC →−C 1C →=AC →+CC 1→=AC 1→ ，AC 1→如图所示.(2)12AB →−12DA →−A 1A →=12(AB →+AD →)−A 1A →=12AC →+AA 1→=AE →，AE →如图所示.【考点】空间向量的加减法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)AB →+BC →−C 1C →=AC →+CC 1→=AC 1→， AC 1→如图所示.(2)12AB →−12DA →−A 1A →=12(AB →+AD →)−A 1A → =12AC →+AA 1→=AE →，AE →如图所示.31.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，点E 、F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和面CC 1D 1D 的中心，AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=xAB →+yBC →+zCC 1→，∴ x =1，y =1，z =1．（2）AE →=AA 1→+A 1E →=12AB →+12BC →+CC 1→=xAB →+yBC →+zCC 1→，∴ x =12，y =12，z =1．（3）AF →=AD →+DF →=12AB →+BC →+12CC 1→=−12BA →+BC →+12CC 1→=xBA →+yBC →+zC 1C →， ∴ x =−12，y =1，z =12．【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用空间向量三角形法则结构长方体结构特征求解．【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，点E 、F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和面CC 1D 1D 的中心，AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=xAB →+yBC →+zCC 1→， ∴ x =1，y =1，z =1．（2）AE →=AA 1→+A 1E →=12AB →+12BC →+CC 1→=xAB →+yBC →+zCC 1→，∴ x =12，y =12，z =1．（3）AF →=AD →+DF →=12AB →+BC →+12CC 1→=−12BA →+BC →+12CC 1→=xBA →+yBC →+zC 1C →， ∴ x =−12，y =1，z =12．32.【答案】解：在长方体体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点；(1)A 1O →−12AB →−12AD →=A 1O →−12(AB →+AD →) =A 1O →−12AC → =A 1O →−AO →=A 1O →+OA →=A 1A →；（2）∵ E 是棱DD 1上的点，且DE →=23DD 1→，∴ OE →=OD →+DE →=12BD →+23DD 1→ =12(BA →+BC →)+23AA 1→ =12BA →+12BC →+23AA 1→ =−12AB →+12AD →+23AA 1→， ∴ EO →=−OE →=12AB →−12AD →−23AA 1→； 又EO →=xAB →+yAD →+zAA 1→，∴ x =12，y =−12，z =−23． 【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的加减法【解析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，对（1）式进行化简，对（2）式进行线性表示即可．【解答】解：在长方体体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点；(1)A 1O →−12AB →−12AD →=A 1O →−12(AB →+AD →) =A 1O →−12AC → =A 1O →−AO →=A 1O →+OA →=A 1A →；（2）∵ E 是棱DD 1上的点，且DE →=23DD 1→， ∴ OE →=OD →+DE →=12BD →+23DD 1→ =12(BA →+BC →)+23AA 1→ =12BA →+12BC →+23AA 1→ =−12AB →+12AD →+23AA 1→，∴ EO →=−OE →=12AB →−12AD →−23AA 1→； 又EO →=xAB →+yAD →+zAA 1→，∴ x =12，y =−12，z =−23．33.【答案】解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，E(1, 0, 1)，B 1(2, 0, 2)，D 1(0, 4, 2)，F(0, 2, 2)，可得BC →=(0, 4, 0)，ED 1→=(−1, 4, 1)，故BC →⋅ED 1→=0×(−1)+4×4+0×1=16.(2)可得BF →=(−2, 2, 2)，AB 1→=(2, 0, 2)，故BF →⋅AB 1→=−2×2+2×0+2×2=0.【考点】空间向量的数量积运算【解析】建立坐标系，由题意可得相关点的坐标，进而可得向量的坐标，由向量的坐标运算可得结果．【解答】解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，E(1, 0, 1)，B 1(2, 0, 2)，D 1(0, 4, 2)，F(0, 2, 2)，可得BC →=(0, 4, 0)，ED 1→=(−1, 4, 1)，故BC →⋅ED 1→=0×(−1)+4×4+0×1=16.(2)可得BF →=(−2, 2, 2)，AB 1→=(2, 0, 2)，故BF →⋅AB 1→=−2×2+2×0+2×2=0.34.【答案】解：（1）由题意可得BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(A 1D 1→−A 1B 1→)=c →+12(b →−a →)， 故BM →=−12a →+12b →+c →．------- （2）由条件得|a →|=1，|b →|=2，|c →|=3． a →⋅b →=0，a →⋅c →=32，b →⋅c →=3．------- AC 1→=a →+b →+c →．------故|AC →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →=√23．------ 【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12(A 1D 1→−A 1B 1→)，把已知的条件代入化简可得结果． （2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由|AC →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c → 运算求得结果．【解答】解：（1）由题意可得BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(A 1D 1→−A 1B 1→)=c →+12(b →−a →)，故BM →=−12a →+12b →+c →．-------（2）由条件得|a →|=1，|b →|=2，|c →|=3． a →⋅b →=0，a →⋅c →=32，b →⋅c →=3．------- AC 1→=a →+b →+c →．------故|AC →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →=√23．------ 35.【答案】(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接OA 1，OB .∵ 点O 为等边△A 1AC 边AC 的中点，∴ AC ⊥OA 1.∵ AC ⊥A 1B ，OA 1∩A 1B =A 1，OA 1⊂平面OA 1B ，A 1B ⊂平面OA 1B .∴ AC ⊥平面OA 1B ，又OB ⊂平面OA 1B ，∴ AC ⊥OB .∵ 点O 为AC 的中点，∴ AB =BC .(2)解：由(1)知，AB =BC ， 又∠ABC =90∘ ，故△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形.∵ A 1O ⊥AC ，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，面ACC 1A 1∩面ABC =AC ，∴ A 1O ⊥底面ABC以线段OB ，OC ，OA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AC =2，则A(0,－1,0)，A 1(0，0，√3)，B(1，0，0)，C(0，1，0).∴ BC →=(−1，1，0)，BB →1=AA →1=(0，1，√3)，A 1B →=(1，0，−√3).设平面BCC 1B 1的一个法向量n 0=(x 0，y 0，z 0)，则由{n 0⋅BC →=0，n 0⋅BB 1→=0，得{−x 0+y 0=0，y 0+√3z 0=0，令y 0=√3，得x 0=√3，z 0=−1，∴ 平面BCC 1B 1的一个法向量为n 0=√3，√3，−1.设A 1B 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则sin θ=cos ⟨n 0,A 1B⟩=|n 0⋅A 1B →||n 0||A 1B →|=√217.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)证明：如图，取AC的中点O，连接OA1，OB.∵点O为等边△A1AC边AC的中点，∴AC⊥OA1.∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，OA1⊂平面OA1B，A1B⊂平面OA1B.∴AC⊥平面OA1B，又OB⊂平面OA1B，∴AC⊥OB.∵点O为AC的中点，∴AB=BC.(2)解：由(1)知，AB=BC，又∠ABC=90∘，故△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.∵A1O⊥AC，侧面ACC1A1⊥底面ABC，面ACC1A1∩面ABC=AC，∴A1O⊥底面ABC以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，设AC=2，则A(0,－1,0)，A1(0，0，√3)，B(1，0，0)，C(0，1，0). ∴BC→=(−1，1，0)，BB→1=AA→1=(0，1，√3)，A 1B →=(1，0，−√3).设平面BCC 1B 1的一个法向量n 0=(x 0，y 0，z 0)，则由{n 0⋅BC →=0，n 0⋅BB 1→=0，得{−x 0+y 0=0，y 0+√3z 0=0，令y 0=√3，得x 0=√3，z 0=−1，∴ 平面BCC 1B 1的一个法向量为n 0=√3，√3，−1.设A 1B 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则sin θ=cos ⟨n 0,A 1B⟩=|n 0⋅A 1B →||n 0||A 1B →|=√217.36.【答案】解：（1）由图形知MN →=MA 1→+A 1B 1→+B 1N →=13BA 1→+AB →+13B 1C 1→=13(c →−a →)+a →+13(b →−a →)=13a →+13b →+13c →． （2）由题设条件∵ (a →+b →+c →)2=a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5， ∴ |a →+b →+c →|=√5，|MN →|=13|a →+b →+c →=|√53． 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】（1）由图形知MN →=MA 1→+A 1B 1→+B 1N →=13BA 1→+AB →+13B 1C 1→再用a →，b →，c →表示出来即可（2）求MN 的长，即求|MN →|=13|a →+b →+c →|，利用求向量模的方法，求|a →+b →+c →|即可求得MN 的长【解答】解：（1）由图形知MN →=MA 1→+A 1B 1→+B 1N →=13BA 1→+AB →+13B 1C 1→=13(c →−a →)+a →+13(b →−a →)=13a →+13b →+13c →． （2）由题设条件∵ (a →+b →+c →)2=a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，∴ |a →+b →+c →|=√5，|MN →|=13|a →+b →+c →=|√53． 37.【答案】解：如图，根据FC →=2AB →=2DE →知，AB // DE ，AB =DE ，AB // FC ，FC =2AB ； ∴ 四边形ABDE 为平行四边形，连接AD ，BE ，设交于O ；则O 点在线段FC 上；∴ OE →=BO →=BA →+BC →，CO →=BA →；∴ CE →=CO →+OE →=BA →+BA →+BC →=−2AB →+BC →=−2α→+β→； ∴ CD →=CE →+ED →=−2α→+β→+α→=−α→+β→．【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】画出六边形，根据条件知AB // DE ，且AB =DE ，且AB // FC ，FC =2AB ，从而四边形ABDE 为平行四边形，连接对角线，交点O 应在FC 上．结合图形即可看出：OE →=BO →=BA →+BC →，CO →=BA →，从而可以得出CE →=−2α→+β→，而由CE →+ED →即可表示出CD →．【解答】解：如图，根据FC →=2AB →=2DE →知，AB // DE ，AB =DE ，AB // FC ，FC =2AB ； ∴ 四边形ABDE 为平行四边形，连接AD ，BE ，设交于O ；则O 点在线段FC 上；∴ OE →=BO →=BA →+BC →，CO →=BA →；∴ CE →=CO →+OE →=BA →+BA →+BC →=−2AB →+BC →=−2α→+β→；。
选修2-1空间向量与立体几何练习题及答案
选修2-1空间向量及立体几何练习题一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)1.(2013高密高二检测)已知a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a 与b 为共线向量,则( C ) (A)x=1,y=1 (B)x=12,y=-12(C)x=16,y=-32(D)x=-16,y=32解析:∵a=(2x,1,3)与b=(1,-2y,9)共线,故有213129x y ==-, ∴x=16,y=-32.故选C. 2.(2013云南三明高二检测)已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a 与3b 的数量积等于( A )(A)-15 (B)-5 (C)-3 (D)-1 解析:a=(3,2,-1),b=(1,-1,2), ∴5a ·3b=15a ·b=-15.故选A.3.若向量(1,0,z)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则z 等于( A )(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 解析:22331z =⨯+,22331z =+, 解得z=0, 故选A.4.(2013德州高二检测)空间直角坐标系中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB 与CD 的位置关系是( A ) (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)无法确定 解析:∵=(-2,-2,2),=(1,1,-1),=-2, ∴∥,又A,B,C,D 不共线, ∴AB ∥CD.5.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,B 1C 与对角面DD 1B 1B 所成角的大小为( B )(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°解析:设正方体棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系.则C(0,,0),B 1(,0,2), ∴=(-,,-2),又=(0,,0)是平面BB 1D 1D 的法向量. ·=2,且||=2,||=,∴cos<,12222=⨯. ∴B 1C 与平面BDD 1B 1的法向量夹角为60°, ∴B 1C 与平面BDD 1B 1的夹角为30°,故选B.6.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则( B )(A)α⊥β (B)α∥β(C)α与β相交但不垂直(D)以上都不对解析:∵n=-2(3,1,-5)=-2m,∴m∥n,∴α∥β.故选B.7.已知向量a=(1,x,1),b=(2,1,-1),a·b>0,则函数y=x2+4x-1的值域是( C )(A)(-∞,3) (B)(-∞,-3)(C)(-4,+∞) (D)(-∞,-4)解析:由于a·b=1×2+x-1=x+1>0,∴x>-1.∴y=x2+4x-1=(x+2)2-5在(-1,+∞)为增函数,所以y>(-1)2+4×(-1)-1=-4,即y∈(-4,+∞),故选C.8.(2013长春外国语学校高二检测)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,下面结论错误的是( D )(A)BD∥平面CB1D1(B)AC1⊥BD(C)AC1⊥平面CB1D1(D)向量与的夹角为60°解析:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).=(-1,-1,0),=(-1,1,1),=(0,-1,1),=(-1,-1,0),=(1,0,1).对于选项A.由=知结论正确;对于选项B,由·=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0知结论正确;对于选项C,由选项B,易知AC1⊥B1D1,再由·=(-1,1,1)·(-1,0,-1)=0知结论正确;对于选项D,由cos<,>==-2,知结论不正确.29.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为( B )(A)1(B)2(C)2(D)32解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),O12,12,1.∴=12,-12,-1,=(1,0,1).由于B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,∴B1C⊥平面ABC1D1,因此=n=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量, ∴点O到平面ABC1D1的距离d==122=24,故选B.10.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为( C )(A)12,34,13(B)12,32,34(C)43,43,83(D)43,43,73解析:设Q(x,y,z),∵Q在上,故有∥,∴x=λ,y=λ,z=2λ,则Q(λ,λ,2λ),∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴·=6λ2-16λ+10=6(λ-43)2-23,当λ=43时,·取得最小值,此时Q43,43,83,故选C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)11.(2012北京高二模拟)已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,则λ= .解析:由题意知a ∥b,∴366132λλλλ+==+,解得λ=2. 答案:2 12.命题:①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线; ②向量a 、b 、c 共面,则它们所在的直线也共面; ③若a 与b 共线,则存在惟一的实数λ,使b=λa; ④若A 、B 、C 三点不共线,O 是平面ABC 外一点,= 13+13+13,则点M 一定在平面ABC 上,且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是 .解析:当b=0时,①不正确;a,b,c 共面于平面α,a,b,c 所在直线可能异面,但都与平面α平行,所以②不正确;③不正确,a ∥b ⇔b=λa,但 a ≠0;由空间向量基本定理可知④正确. 答案:④13.(2012重庆高二上学期质量检测)空间四点O(0,0,0),A(0,0,3), B(0,3,0),C(3,0,0),O 点到平面ABC 的距离为 . 解析:设平面ABC 的一个法向量为n=(x,y,z),=(0,0,3),=(0,3,-3),=(3,0,-3), 则⇒,.y z x z =⎧⎨=⎩ ∴取n=(1,1,1) 故所求距离为d==.答案:14.(2012政和高二检测)如图,空间四边形OABC,点M,N分别为OA,BC 的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则= .解析:=-=1 2(+)-12=-12a+12b+12c.答案:-12a+12b+12c三、解答题(本大题共4个小题,共50分)15.(本小题满分12分)已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M、N分别在对角线BD、AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求证:MN∥平面CDE.证明:建立如图所示空间直角坐标系,设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则=++=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量=(0,3b,0),由·=0,得到⊥.因为MN不在平面CDE内,所以NM∥平面CDE.16.(本小题满分12分)(2012浙江温州高二上学期期末联考)如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=60°,∠BAA1=∠DAA1=45°.(1)求||;(2)求证:BD⊥平面ACC1A1.(1)解:=++||2=(++)2=+++2(·+·+·)-2+2=2,=1+1+1+2-12∴|BD 1|=.(2)证明:=-,·=·(-)=0,则BD⊥AA1,又BD⊥AC,所以BD⊥平面ACC1A1.17.(本小题满分12分)(2013郴州高二检测)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)证明:AC ⊥BC 1;(2)求二面角C 1AB C 的余弦值大小.解:在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,故AC,BC,CC 1两两垂直,建立空间直角坐标系(如图), 则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4). (1)证明:=(-3,0,0), =(0,-4,4),∴·=0.故AC ⊥BC 1.(2)平面ABC 的一个法向量为m=(0,0,1),设平面C 1AB 的一个法向量为 n=(x,y,z), =(-3,0,4),=(-3,4,0),由得340,340,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令x=4,则y=3,z=3.∴n=(4,3,3), 故cos<m,n>=34=334.即二面角C 1AB C 的余弦值为33434.18.(本小题满分14分)(2011年高考北京卷)如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.解:(2)设AC∩BD=O,∵∠BAD=60°,PA=AB=2,∴BO=1,AO=OC=,如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线为x,y轴,以过O点且垂直平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则:P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0), ∴=(1,,-2),=(0,2,0),设PB 与AC 所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>| =||=64. (3)由(2)知,=(-1,,0),设|PA|=t>0, 则P(0,-,t),∴=(-1,-,t),设平面PBC 的法向量为m=(x,y,z),则·m=0,·m=0, 即30,30,x y x y tz ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩ 令y=,则x=3,z=6t, ∴m=3,,6t, 同理可得平面PDC 的法向量n=-3,,6t,∵平面PBC ⊥平面PDC,∴m ·n=0,即-6+236t =0, ∴t=,即|PA|=.。
选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(选择题、填空题)
空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。
选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_ B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅7可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DS a =，平面DAC 的一个法向量600a OS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且2626),(0,)DS CS ==（. 设,CE tCS = 则226(,(1),)222BE BC CE BC tCS a a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.作 者 于华东 责任编辑 庞保军_ C_ A_S_ F_ BO。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(有答案解析)
一、选择题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-2．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．123．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．22λD ．254．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A 3B 23C ．3πD ．2π 5．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC == ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2176．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，2,22,2AB AD PA ===，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ）A ．55B ．15 C ．25D ．2559．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C 3D 510．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA =,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．15 B ．15 C ．5 D ．5 12．以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 15．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6.16．已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________.17．如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形，则tan ϕ的最小值__________. 18．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．19．已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为_____.20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________三、解答题21．在几何体111ABC A B C -中，点1A 、1B 、1C 在平面ABC 内的正投影分别为A 、B 、C ，且AB BC ⊥，114AA BB ==，12AB BC CC ===，E 为1AB 的中点.（1）求证：//CE 平面111A B C ； （2）求二面角11B AC C --的大小.22．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,,E F G O 分别是,,,PC BC PD AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小． 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=，//AD BC ， PA AD ⊥，PA AB ⊥，122PA AB BC AD ====.（Ⅰ）求证：//BC 平面PAD ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值． （2）点A 到平面BDM 的距离．26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4cos 5||||55AB BC AB BC θ⋅===⋅⋅.∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =， 则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG n d n⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.4．C解析：C 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，4=12， 取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C 【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．5．C解析：C 【分析】先由图形的位置关系得到CDB ∠是二面角C AD B --的平面角，120CDB ∠=，故A不正确；B 由于11132684sin120423323D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭故得到B 错误；易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 4217AD AFD DF ∠===∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，sin ∠BCO=BOBC. 【详解】 沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,42,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得47BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得421DF =. 根据AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角, 120CDB ∠=故A 平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;B 由于11132684sin12042332D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,B 错; C 易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 421AD AFD DF ∠===C 对;D 故如图，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，AF=4217，BD=4，DC=8，AD=4，过O 作BO 垂直BO ⊥CO 于O ，则∠BCO 就是BC 与平面ACD 所成角，3OD=2，2247BO CO +sin ∠BCO=232147BO BC ==． 选.C 【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．6．D解析：D由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】分析：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,22,0),(0,0,2),(0,0,0),(1,2,1)B C P A E ， 则(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==， 设异面直线BC 和AE 所成的角为θ， 则2cos ,224BC AE BC AE BC AE⋅===⋅⋅， 所以异面直线BC 和AE 所成的角为4π，故选B.点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.8．A【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离． 【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)， cos ,||||5n AP n AP n AP ∴<>==设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=，于是P到平面ABCD 的距离为||sin AP α=，即四棱锥P ABCD - 故选：A ． 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．9．D解析：D 【分析】取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角B CD A --的余弦值． 【详解】解：如图取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，令棱形ABCD 的边长为2，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()D，(B 设平面BCD 的法向量为(),,n x y z=，(1,0,BC =-，(BD =330x y z ⎧--=⎪-=令z =y =3x =-即(3,3,n =-平面ACD 的法向量为()0,0,1m = 令二面角B CD A --的夹角为θ3cos 1n m n mθ===⨯ 因二面角B CD A --为锐二面角5cos θ=故选D【点睛】本题考查求二面角二余弦值，关键是准确的建立空间直角坐标系，属于中档题．10．D解析：D 【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,22OE =--，1122(,22OF =-，12EB =，2)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·022m OB x y z m OE x y ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．B解析：B 【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值． 【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则3331(3,1,0),,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3(AE =-，12，)t ，3(BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710，2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t t -∴<>===++， 解得2t =．∴3(AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||152sin 10||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．B解析：B 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求. 【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ， 所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =， 设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅==. 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.14．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面解析：25【分析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =， 则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)， 设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)，由(0,,1)EM a =，设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，sin α25=， 故答案为：25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．15．①②④【解析】①项时为而时线段上同理存在一点与平行此时为四边形且是梯形故命题①为真；②项是等腰梯形故命题②为真；③项当时如图所示∵点是的中点∴∴∴与的交点满足故命题③为假④项如图所示为五边形故命题④解析：①②④ 【解析】 ①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；②项，1AP D Q =，1AD PQ ，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项当34CQ =时，如图所示，0AP DC ⋂=， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==， ∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =， 故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，S 为菱形，面积为22152622222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．16．【解析】设P(00z)由|PA|=|PB|得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2解得z=3故点P 的坐标为(003)解析：()003，， 【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P 的坐标为(0,0,3).17．【解析】如图建系设则可得且故又因为故又故又因为且故故答案为 解析：22【解析】如图建系，设()()0,,,,0,B b m C c n ，则()()222210,,,0,11cos 600b m c n b m c n m n⎧+=+=⎪=⋅⎨⎪<≤⎩，可得12mn =且0m n <≤，故22m ≤，又因为221c n +=，故1n <,又12mn =, 故12m >，又因为212tan 1,22b m m ϕ==-<≤且，故 2tan 2ϕ≥，故答案为22. 18．【详解】试题分析：由两两垂直分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系设则所以其中平面的一个法向量为所以与平面所成角的正弦值为所以；又向量与所成角的余弦值为又所以异面直线与所成角的余弦值是考点230【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以ME与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin EM n EM n α⋅==⋅，所以tan 2α=EM 与AF 所成角的余弦值为cos EM AF EM AFβ⋅=⋅30=(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 30考点：空间向量的运算及空间角的求解．19．【分析】建立空间直角坐标系得到相关点的坐标后求出直线AE 的方向向量=(011)和平面A1ED1的法向量然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A1ED1垂直于是得所求角为【详解】以D 为原点以DADCDD 解析：90【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE 的方向向量AE =(0,1,1)和平面A 1ED 1的法向量()0,1,1n =，然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A 1ED 1垂直，于是得所求角为90． 【详解】以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0),E (1,1,1),A 1(1,0,2),D 1(0,0,2), 于是AE =(0,1,1),1AE =(0,1,-1),11A D =(-1,0,0)． 设平面A 1ED 1的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A E y z n A D x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩得,0,y z x =⎧⎨=⎩令1z =，得()0,1,1n =． 所以AE ∥n ,故直线AE 与平面A 1ED 1垂直,即所成角为90°. 故答案为90° 【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性．20．【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2aPO 为三棱锥的高做PD 垂直于AB 连OD 则PD 为侧面的高OD 为底面的高的三分之一在三角形POD 中构造勾股定理列出方程得到斜高即可详解：设正三棱锥P-AB【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）56π. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明平面111A B C 法向量与向量CE 垂直. （2）求二面角两个半平面的法向量所成角即可. 【详解】（1）因为点1B 在平面ABC 内的正投影为B ，所以1B B BA ⊥，1B BBC ，又AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,4A ，()10,0,4B ，()10,2,2C ，()1,0,2E ，设平面111A B C 的法向量()1,,n x y z =，()112,0,0A B =-，()110,2,2B C =-， 即20,220,x y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得1(0,1,1)n =，又()1,2,2CE =-，()10112210CE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=， 所以1CE n ⊥，又CE ⊄平面111A B C 所以//CE 平面111A B C ；（2）设平面111A B C 的法向量()2,,n x y z =，()12,0,4B A =-，()110,2,2B C =-，即240,220,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1y =，得()22,1,1n =， 同理可求平面1ACC 的法向量()31,1,0n =， 所以2323233cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，由图知二面角11B AC C --的平面角是钝角， 所以二面角11B AC C --的平面角是56π. 【点睛】关键点睛：利用题设垂直条件，建立空间直角坐标系. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3π.【分析】（Ⅰ）通过证明PO AD ⊥和PO CD ⊥，结合线面垂直的判定定理证明出PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）先求解出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，然后求解出法向量夹角的余弦值，由此确定出锐二面角的余弦值，从而锐二面角的大小可求. 【详解】（Ⅰ）因为PAD △是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥， 又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D =，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以,,OA OG OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P--，(1,2,3),(1,0,3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=-，设平面EFG 的法向量为(,,),m x y z =因为00m EF m EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以20230y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，则(3,0,1)m =， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =， 设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ ， 所以||1cos 2||||311m n m n θ⋅===+⋅.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得3AC =,ABC PBC 均为边长为3的等边三角形，且O 为BC 的中点 ,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==. 在PAO 中，已知322PA =， 则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则3330,0,,0,,2P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，3333)2BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3y x ==. ∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|BCn θ∴=<>=.sin θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6【分析】(Ⅰ)解法1.利用线面平行的判定定理证明; 解法2.以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量证明直线BC 与平面PAD 的法向量垂直，从而证明结论.（Ⅱ）建立空间直角坐标系后，后利用空间向量的坐标运算求得两平面的法向量的坐标，进而计算. 【详解】 (Ⅰ)证明：解法1. 因为//BC ADBC ⊄平面PAD AD ⊂平面PAD 所以//BC 平面PAD解法2.因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ， 平面PAD 的法向量为(1,0,0)t， (0,2,0)BC = ，因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥， 所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =(2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，所以2220042020x y z x ym PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩ ， 令1(1,1,2)y m ==得 ，16cos ,616n m n m n m⋅<>===⨯ 设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角， 所以6cos θ=. 【点睛】本题考查利用空间向量证明线面垂直和求二面角问题，关键是平面的法向量的求解和夹角余弦值的计算，注意所求为两平面所成的锐二面角的余弦值，因此对两平面的法向量所成角的余弦值与两平面所成锐角的余弦值要注意区分与联系. 25．（1）225；（2）22 【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n nAM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=，22cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅，∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25； （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =， ∴点A 到平面BDM 的距离|||cos |22||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为22 【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PBn PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解；（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.26．（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接AO ，证明CA ⊥平面PAO ，说明PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，通过证明//OB AC ，推出//OB 平面PAC ．（2）建立直角坐标系求解【详解】解：（1）连AO ，因为PO ⊥平面ABC ，得PO CA ⊥． 又因为CA PA ⊥，POPA P =，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO所以CA ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，所以CA AO ⊥ 因为PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，60PAO ∠=︒． 因为23PA =，得3OA =．在OAB 中，903060OAB ∠=︒-︒=︒，故有OB OA ⊥， 从而有//OB AC ，OB ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC 所以//OB 平面PAC ．（2）以,,OB OA OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系， 则(0,0,3)P ，(0,3,0)A ，(3,0,0)B ，3,0)C(4,0,0),(0,3,3),(3,0,3)AC PA PB ∴==-=- 设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =则40330n AC x n PA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得(0,3,1)n = 2sin cos ,232||||n PB n PB n PB α⋅∴=<>==⨯⋅ 即直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为24.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。
高中数学选修2-1 同步练习 专题3.1.3 空间向量的数量积运算(原卷版)
第三章 空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则()⋅+a b c 的值为 A ．1 B ．0 C ．1-D ．2-2．若非零向量a ，b 满足=|a ||b |，(2)0-⋅=a b b ，则a 与b 的夹角为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒D ．150︒3．设四边形ABCD 为平行四边形，4,3AB AD ==，若点,M N 满足2BM MC =，DN CN +=0，则AM NM ⋅= A ．15 B ．12 C ．9 D ．64．在正方体中，有下列命题： ①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．35．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝4，CD ＝2，则直线a 与b 所成的角是 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°6．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，11120A AB A AD ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为A ．1B ．2C ．3D ．27．如图，已知四面体ABCD 的每条棱长都等于，点分别是的中点，则下列向量的数量积等于的是A ．B ．C ．D ．8．设是空间不共面的四点，且满足，，，则BCD △是A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．已知向量a ，b 满足2=|a |，2=|b |，且a 与b 的夹角为60︒，则2+=|a b |________________． 10．已知空间向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，3=a ，1=b ，4=c ，则⋅a b +⋅+⋅=b c c a _________________．11．若非零向量a ，b 满足(3)(75)+-⊥a b a b ，且(4)(72)--⊥a b a b ，则向量a 与b 的夹角为________________． 12．已知正方体的棱长为，则_________________.13．如图，在平行四边形ABCD 中，4AD =，3CD =，60D ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，6PA =，则PC 的长为________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，6AD =，E 为侧面11AA B B 的中心，F 为11A D 的中点．求下列向量的数量积： （1）1BC ED ⋅； （2）1BF AB ⋅；（3）1EF FC ⋅．15．如图,正四棱锥P-ABCD 的各棱长都为a .(1)用向量法证明BD ⊥PC ; (2)求|+|的值.16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AB AD ⊥，且PA AB BC ===112AD =，求PB 与CD 所成的角．17．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，1G 分别是棱1CC ，BC ，CD ，11A B 的中点．求证：（1）11AD G G ⊥； （2）1A G ⊥平面DEF ．。
高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(简答题：容易)
空间向量及其运算（简答题：容易）1、如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长．2、已知空间中三点，，，设，.（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值．3、（2015秋•河西区期末）已知．（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值．4、已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P—ABCD的体积；（2）不论点E在何位置，是否都有BD AE？试证明你的结论；（3）若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。
5、如图，圆O的直径AB=5，C是圆上异于A、B的一点，BC=3， PA平面ABC，AE PC于E，且PA=2.(1) 求证：AE平面PBC;(2) 求：点A到平面PBC的距离.6、如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．7、在长方体中，,为棱的中点.（Ⅰ）求证面面；（Ⅱ）求三棱锥的体积8、已知向量b与向量a=（2,-1,2）共线，且满足a·b=18,（ka+b）⊥（ka-b）,求向量b及k的值.9、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．10、已知点的坐标为，试在空间直角坐标系中作出点．11、求证：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．12、在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．13、试写出三个点使得它们分别满足下列条件（答案不唯一）：三点连线平行于x轴；三点所在平面平行于xoy坐标平面；在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出所在直线方程14、求点A（1，2，-1）关于坐标平面xoy及x轴对称点的坐标。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(选择题：较易)
空间向量及其运算（选择题：较易）1、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（）A． B．C． D．2、已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）A． B． C． D．3、在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（）A． B． C． D．4、若，，且，则的值是（）A．0 B．1 C．-2 D．25、已知，，若，则（）A．， B．， C．， D．，6、设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A． B． C． D．7、设，向量且，则（）A． B． C．3 D．48、已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．39、已知分别是四面体的棱的中点，点在线段上，且，，则=（）A． B． C． D．10、已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1 B． C． D．11、点A（2，0，3）在空间直角坐标系中的（）A．y轴上 B．xoy平面上 C．xoz平面上 D．yoz平面上12、已知分别是平面的法向量则平面，的位置关系式（）A．平行 B．垂直 C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角13、在四面体中，分别是的中点，若，则（）A． B． C．1 D．214、已知向量且，则的值为A． B． C． D．15、如图，在三棱锥中，分别是的中点，若，且向量与的夹角为，则棱与棱的关系是（）A． B． C． D．无法确定16、在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则( )A． B． C． D．17、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．18、如图，空间四边形中，点分别在上，，，则（）A． B．C． D．19、空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．20、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．21、空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．22、已知空间向量，若与垂直，则等于（）A． B． C． D．23、已知，若向量共面，则（）A． B． C． D．24、如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（）A． B．C． D．25、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（）A． B．C． D．26、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则A． B．C． D．27、设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则A．18 B．12C． D．28、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．29、在四棱锥中，底面是平行四边形，设，则可表示为（）A． B．C． D．30、若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A．1 B．2C． D．31、设向量，则向量的夹角的余弦值为（）A． B．C． D．32、如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点与的中点的距离为（）A． B．C． D．33、已知，，则直线与平面交点的坐标是（）A． B．C． D．34、已知，若与为共线向量，则（）A． B．C． D．35、向量，若，则的值为（）A． B．C． D．36、如图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（）.A． B． C． D．37、若向量、、的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系（是空间任一点），则能使向量、、成为空间一组基底的关系是（）A． B．C． D．38、已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A． B．C． D．39、若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A． B．C． D．40、在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量、、不能构成空间的一个基底，则、、共面；②若两个非零向量、与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则、共线；③若、是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底．A． B． C． D．41、在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记为（）A． B．C． D．42、下列各组向量中不平行的是（）A． B．C． D．43、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．44、已知，且与垂直，则与的夹角为（）A． B． C． D．45、已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（）A． B． C． D．46、已知是正六边形外一点，为正六边形的中心，则等于（）A． B． C． D．47、在直三棱柱中，若，，，则（）A． B． C． D．48、如图，在正方体中，若，则的值为（）A． B． C． D．49、如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．50、已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量与的夹角为（）A．45° B．90° C．30° D．60°51、若，如果与为共线向量，则（）A． B．C． D．52、在空间直角坐标系中，点Ｍ（-1,2,-3）关于yoz面的对称点是（）A．（-1,2,3） B．（1,2,-3） C．（1,2,3） D．（-1,-2,3）53、已知向量，，且与互相垂直，则＝（）A． B． C． D．54、以下四组向量中，互相平行的是．（）（1），；（2），；（3），；（4），．A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）55、＝（1－t，1－t，t），＝（2，t，t），则|－|的最小值是（）A． B． C． D．56、已知向量a＝（0,2,1），b＝（－1,1，－2），则a与b的夹角为（）A．0° B．45° C．90° D．180°57、已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°58、设A（1，－1，1），B（3，1，5），则AB中点在空间直角坐标系中的位置是（）A．y轴上 B．xOy面内 C．xOz面内 D．yOz面内59、已知则的值分别为（）A． B．5，2 C． D．60、已知向量，且与互相垂直，则的值为（）A．1 B． C． D．61、若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（）A．4 B．2 C．4 D．362、设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，则（）A． B． C． D．63、已知点,且,则实数的值是（）A．或4 B．或2 C．3或 D．6或64、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．65、如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A． B．C． D．66、已知空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是（）A． B． C． D．67、已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或468、已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．69、点A（1，2，3）关于xOy平面对称的点B坐标是（）A．（-1，2，3） B．（1，-2，3） C．（1，2，-3） D．（-1，-2，3）70、已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为A．B．C．与相交不垂直D．参考答案1、B2、D3、C4、C5、A6、D7、D8、A9、C10、D11、C12、B13、C14、D15、A16、B17、B18、B19、C20、B21、C22、D23、B24、B25、B26、D27、C28、B29、A30、C31、D32、B33、D34、D35、D36、D37、C38、B39、C40、C41、C42、D43、C44、D45、A46、C47、D48、B49、A50、D51、D52、B53、B54、B55、C56、C57、C58、C59、A60、D61、C62、D63、D64、B65、B66、A67、D68、B69、C70、D【解析】1、试题分析：∵在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，∴点关于轴的对称点的坐标为：．考点：空间点的坐标．2、∵，∴设正方体的棱长为，由题意可得，解得∴正方体的体积为，故选D3、关于面对称的点为4、，,.若，则.即，解得.故选C.5、，，若，则有，即.解得，.故选A.6、选D7、,,,,故选C.8、，易得x=6，故选A9、如图所示：本题选择C选项.10、 =(3,1,6),=(2k−1,k,4k−2)，∵与互相垂直,∴3(2k−1)+k+6(4k−2)=0，解得k=，本题选择D选项.11、纵坐标为0，则点A（2，0，3）在空间直角坐标系中的xoz平面上.本题选择C选项.12、由,可得,所以，而，分别是平面的法向量，所以,故选B.13、如图所示，连接，∵、分别是、的中点，∴，∴，又，∴，故选C.14、由空间向量垂直的充要条件可知：.本题选择D选项.15、如图为所在边的中点， ,故选A.16、根据向量加法的多边形法则以及已知可得：∴，故选B.17、试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.考点：向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.18、 ,故选B .19、点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.20、试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.考点：向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.21、点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.22、由题意可得，又因为与垂直，所以，即，所以得，所以，即，故本题正确答案为D。
人教新课标版数学高二选修2-1 作业 空间向量及其加减运算
1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个．答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有() A ．7个 B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( ) ①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD ； ②(BC ＋1BB )－11D C ＝1BC －11D C ＝1BD ；③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD .答案：A 4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝() A ．－a －b B ．a ＋bC.12a －b D ．2(a －b )解析：如图， ∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________. 解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB )＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB ＋1BA ；(2) AC ＋CB ＋121AA ； (3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB . 又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM . (3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA .向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC＝AB＋AD，AB'＝AB＋AA'，AD'＝AD＋AA'，∴AC＋AB'＋AD'＝(AB＋AD)＋(AB＋AA')＋(AD＋AA')＝2(AB＋AD＋AA')．又∵AA'＝CC'，AD＝BC，∴AB＋AD＋AA＝AB＋BC＋CC'＝AC＋CC'＝AC'，1∴AC＋AB'＋AD'＝2AC'.。
高中数学《空间向量及其运算》同步练习2新人教A版选修2-1
（ 2）设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ ，求 cosθ 的值
图
17．（ 12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．
18．（ 12 分）四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是一个平行四边形， AB ={2 ，－1，－4} ，AD ={4 ，
2， 0} ， AP ={ － 1，2，－ 1}.
中点，则 MN =
A． 1 a 2 b 1 c 232
C． 1 a 1 b 1 c 222
（）
B． 2 a 1 b 1 c 322
2 21 D． a b c
3 32
7．设 A、B、C、D 是空间不共面的四点， 且满足 AB AC 0，AC AD 0，AB AD 0 ，
则 BCD是 A．钝角三角形
B．锐角三角形
5
3
2
C． MA MB MC 0
D． OM OA OB OC 0
3 ． 已 知 平 行 六 面 体 ABCD
''''
'
0
A B C D中 ， AB=4， AD=3， AA 5 ， BAD 90 ，
BAA'
DAA ' 600 ，则 AC ' 等于
（）
A． 85
B． 85
C． 5 2
D． 50
4．与向量 a (1, 3,2) 平行的一个向量的坐标是
A'
B'
| A ' N | 3 | NC ' |，试求 MN的长．
M D
C
y
A B
x
16．（ 12 分） 如图在空间直角坐标系中 BC=2，原点 O是 BC的中点， 点 A 的坐标是 （ 3 , 1 ，
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习空间向量及其加减运算
§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其加减运算一、基础过关1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b3．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→6．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A.AD →B.BD →C.AC →D ．07．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式AB →＋CD →＋BC →＋DA →的结果为________．8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心为O ，①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．则上述结论正确的有__________(填写正确命题的序号)． 二、能力提升10.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方 体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量 中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．11.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →. 12．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，用AB →，AD →，AA ′→表示AC ′→. 三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．答案1．B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.A 7.0 8．－a ＋b －c 9．①③④10．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个． (4)向量AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →共4个． 11．解 如图．DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →) ＝BA →＋BC →＋BB 1→ ＝BD →＋BB 1→＝BD 1→.12．解 如图所示，在△ACC ′中，AC ′→＝AC →＋CC ′→，∵CC ′→＝AA ′→，∴AC ′→＝AC →＋AA ′→. 在△ABC 中，AC →＝AB →＋BC →， ∵BC →＝AD →，∴AC →＝AB →＋AD →. ∴AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→. 13．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点． ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.→＋GD→＋EC→∴AB＝AB→＋BE→＋EF→＝AF→.故所求向量AD→，AF→如图所示．。
苏教版高中数学选修2-13.1空间向量及其运算+同步练测.docx
3.1 空间向量及其运算（苏教版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G 是CD的中点，则AB+ 1()2BD BC= .2.若向量a=(1，1，x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·(2b) =-2，则x= .3.如图，已知空间四边形OABC的每条边和对角线的长都是1，点E，F分别是OA，OC的中点，则·= .4.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别是和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为 .5.已知a=(1，1，0)，b=(1，1，1)，若b=m+n，且m∥a，n⊥a，则m= ，n= .6.在平行六面体ABCD－EFGH中，AG=x AC+ y AF+z AH,则x+ y+z= .二、解答题(共70分)7.（10分）设a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5).(1)若(k a+b)∥(a-3b)，求k的值；(2)若(k a+b)⊥(a-3b)，求k的值.8.（10分）如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简12AA'＋BC＋23AB，并在图中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N在侧面BCC′B′的对角线BC′上，且BN＝3NC′，设MN＝αAB ＋βAD＋γAA'，试求α、β、γ的值．9.（10分）如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求AC1的长；(2)证明：AC1⊥BD10.（14分）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4).(1)求AB＋AC，AB－AC，AB•AC.(2)求AB与AC夹角的余弦值．(3)问是否存在实数x，y，使得AC＝x AB＋y BC成立，若存在，求出x，y的值．11.（14分）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；(2)若k a＋b与k a－2b互相垂直，求k一、填空题1.AG 解析：如图,连接BG ,AG ，1(),2BD BC BG += 1().2AB BD BC AB BG AG ∴++=+=2.2 解析：∵ a =(1,1,x ),b =(1,2,1),c =(1,1,1),∴ c -a =(0,0,1-x ),2b =(2,4,2).∴(c -a )·(2b )=2(1-x )=-2，∴ x =2.3. 解析：因为= ，〈，〉=60°，所以·= ·= ||·||cos 〈，〉= ×1×1×=.4. 解析：以DA ，DC ，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，M (1， ，1)，C (0，1，0)，N (1，1， )，所以=(0， ，1)，=(1，0， )，所以||= = ，||= = ，·= ，所以cos 〈，〉= = × = .所以直线AM 与ＣＮ所成角的余弦值为5.(1，1，0) (0，0，1) 解析：因为m ∥a ，所以m =(λ，λ，0).因为b =(1，1，1) =m +n ，所以n =(1-λ，1-λ，1).由于n ⊥a ，所以n ·a =0，所以1-λ+1-λ=0，所以λ=1，所以m =(1，1，0)，n =(0，0，1).6. 32解析：,AG AB AD AE =++,AC AB AD =+ ,AF AB AE =+,AH AD AE =+ ∴AG xAC y AF z AH =++()()()x AB AD y AB AE z AD AE =+++++()()()x y AB x z AD y z AE =+++++.AB AD AE =++ 又∵ ,,AB AD AE 不共面，∴11,2x y x z y z x y z +=+=+=⇒===∴ 3.2x y z ++=二、解答题7.解：k a +b =(k -2，5k +3，-k +5)，a -3b =(1，5，-1)-3(-2，3，5)=(7，-4，-16).(1)因为(k a +b )∥(a -3b )，所以 = = ⇒k =- .(2)因为(k a +b )⊥(a -3b )，所以(k a +b )·(a -3b )＝０，所以7(k -2)-4(5k +3)-16(5-k )=0⇒k = . 8. 解：(1)如图所示，取AA ′的中点为E ，则12AA '＝EA '. 又BC ＝A D ''， 取F 为D ′C ′的一个三等分点(D F '＝23D C '')，则D F '＝23AB . ∴ 12AA '＋BC ＋23AB ＝EA '＋A D ''＋D F '＝EF .(说明：表示方法不唯一)(2)如图，连接BD ，依题意知M 为BD 的中点，则MN ＝MB ＋BN＝12DB ＋34BC '＝12(DA ＋AB )＋34(BC ＋CC ') ＝12(－AD ＋AB )＋34(AD ＋AA ')＝12AB ＋14AD ＋34AA '. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. 9. (1) 解：∵1AC 2＝(AC ＋1CC )2＝(AB ＋AD ＋1AA )2＝AB 2＋AD 2＋1AA 2＋2AB ·AD ＋2AB ·1AA ＋2AD ·1AA＝a 2＋a 2＋b 2＋2a ·acos 90°＋2abcos 120°＋2abcos 120°＝2a 2＋b 2－2ab. ∴|1AC |＝2222a b ab +-，即1AC 的长为2222a b ab +- . (2)证明：∵ 1AC ·BD ＝(AB ＋AD ＋1AA )·(AD －AB )＝AB ·AD ＋AD 2＋1AA ·AD －AB 2－AD ·AB －1AA ·AB ＝1AA ·AD －1AA ·AB＝bacos 120°－bacos 120°＝0.∴1AC ⊥BD ，即AC 1⊥BD.10. 解：AB ＝(1,1,0)，AC ＝(－1,0,2).(1) AB ＋AC ＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(1－1,1＋0,0＋2)＝(0,1,2)， AB －AC ＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(1－(－1)，1－0,0－2)＝(2,1，－2)， AB •AC ＝(1,1,0)•(－1,0,2)＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1.(2)c os 〈AB ，AC 〉＝AB ACAB AC ⋅＝2222221110(1)02-++⋅-++＝－1010. (3)假设存在x ，y ∈R 满足条件，则由已知可得BC ＝(－2，－1,2)，∴(－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)，∴ (－1,0,2)＝(x －2y ，x －y ,2y )，∴ 12,0,22,x y x y y -=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴1,1.x y =⎧⎨=⎩ ∴ 存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．11. 解：(1)∵ BC ＝(－2，－1,2)，且c ∥BC ， ∴ 设c ＝λBC ＝(－2λ，－λ，2λ)，∴ |c |＝222(2)()(2)-+-+λλλ＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.∴ c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2).(2)∵ a ＝AB ＝(1,1,0)，b ＝AC ＝(－1,0,2)，∴ k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4).∵ (k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴ (k a ＋b )•(k a －2b )＝0.即(k －1，k ,2)•(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0.解得k ＝2或k ＝－52。
高二数学选修2-1空间向量试卷及答案
设 与 的夹角为θ；则由
cosθ=
AE与CD所成角的余弦值为 ．
21．解：（1）略．
（2）如图；建立空间直角坐标系D—xyz；
则知B（1；1；0）；
设
得 则
令 ．
设点A1在平面BDFE上的射影为H；连结A1D；知A1D是平面BDFE的斜线段．
即点A1到平面BDFE的距离为1．
17．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中；E是A1B1的中点；求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共60分）．
18．（15分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1；求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小
19．（15分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中；E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点；求证：平面A1EF∥平面B1MC．
设 ； ； （ 、 、 ；且均不为0）
设 、 分别是平面A1EF与平面B1MC的－1）
由 可得 即
解得 ＝（－1；1；－1）；所以 ＝－ ； ∥ ；
所以平面A1EF∥平面B1MC．
20．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD；∴PA⊥AB；又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD；∴PD⊥平面ABE；故BE⊥PD．
（1）求证：E、F、D、B共面；
（2）求点A1到平面的BDEF的距离；
（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．
参考答案
一、1．C；2．A；3．B；4．A；5．A；6．C；7．A；8．B；9．D；10．B；11．A；12．C；
二、13．314． 15． 16．1；17．
三、
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空间向量及其运算（填空题：一般）1、在空间直角坐标系中，设，，且，则.2、如图，平行六面体中，，则的长为__________>3、已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，则__________.4、如图，已知边长为1的正的顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值__________.…5、若向量，满足条件，则__________．6、已知向量，且与互相垂直，则_____.{7、设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为__________8、设是三棱锥的底面重心，用空间的一组基向量表示向量________________________9、已知向量，满足，，，__________．;10、已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：①；②；③④函数在上是增函数，在上是减函数.其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）11、如图：长方体ABCD—A B C D中，AB=3，AD=AA=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P 为C D上动点，当EF⊥CP时，PC=_________．,12、已知M1（2，5，-3），M2（3，-2，-5），设在线段M1M2的一点M满足=，则向量的坐标为_________。
13、在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为__________．:14、已知三点，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是________________．15、已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是_____________.16、在平行六面体中，若，则__________)17、如图，在正方体中，用，，作为基向量，则__________.18、已知四面体中，，，，的中点分别为，，则______.*19、已知，，，则_____.20、在正方体中，给出以下向量表达式：①；②；③；④.其中能够化简为向量的是________．21、已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为的实数，，，使，那么的值为________．`22、如图，四面体的每条棱长都等于，点，分别为棱，的中点，则__________；__________．23、已知向量，，且，则.~24、在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是__________．25、已知，，，若向量共面，则．.26、已知，，，若向量共面，则．27、若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于_________。
28、已知向量，且，则．《29、已知空间两点P（－1,2，－3），Q（3，－2，－1），则P、Q两点间的距离是______．30、已知，，，若向量共面，则．"31、已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作有下列命题：①已知，则·=0；②已知其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量，的夹角取得最小值；③已知④已知则三棱锥O—ABC的表面积，其中真命题有（写出所有真命题的序号）32、若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于．33、若，，三点共线，则=;34、已知点，，点在轴上，且点到的距离相等，则点的坐标为___________．35、已知向量，若，则;~36、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），则|AB|=_________.37、已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以为边的平行四边形的面积为________．38、已知向量，，.若与共线，则= .、39、[2014·泉州模拟]如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．40、已知向量a=(1,－2)，b=(4,2)，c=(x,y).若|c|的取值范围是[0，5]，则实数=(c-a)∙(c-b)的最大值为.…41、在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足，则点D的坐标为．42、在棱长为1的正方体中ABCD=A1B1C1D1，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于。
43、已知为单位正交基，且，则向量的坐标是______________________．、参考答案1、12、3、34、5、26、7、8、；9、10、①④11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、①②21、022、23、24、25、326、327、28、029、630、331、②③32、33、034、（0,0,3）35、36、.37、38、139、(1,1,1)40、041、（0，0，5 ）42、43、【解析】1、试题分析：，解得：，故填：1.考点：空间向量的坐标运算2、所以3、∵，且平面与平面的法向量分别为，，∴，解得：．4、如图建系，设，则，可得且，故，又因为，故,又, 故，又因为且，故，故答案为.5、因为向量，所以，则，解之得，应填答案。
6、由题意可得：与互相垂直，即，所以，.7、由题意，又，则，所以．8、如图所示，三棱锥中，点是的重心，∴，，∴，∴；∴．故答案为.9、因，且，故，即，应填答案。
10、建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，所以的轨迹的几何意义是以为圆心为半径的球面。
则是的函数，当时，以为圆心为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是，故答案①正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案②不正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案③不正确；由于时，单调递增且当时，最大；当，单调递减，故答案④正确；应填答案①④。
点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解。
难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段），进而求得其长度，以便做出正确的判断。
11、以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵长方体中，，为上一点，且，为的中点，为上动点，∴，设，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∴．故答案为：2．12、由题设可得，即，也即，故应填答案。
13、试题分析：根据两点间距离公式得：．考点：空间两点间距离公式．14、由点在直线上可得存在实数使得，则有，所以，，所以，根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为.考点：空间向量数量积的坐标运算.15、由得，则. 考点：空间向量的坐标运算.16、如图所示，有.又因为,所以解得所以考点：空间向量的基底表示.17、，所以.考点：用向量的线性表达式表示向量.18、如图所示，取的中点，连接，，则.考点：空间向量的基底表示.19、由，得，所以，所以即所以. 考点：空间向量的数量积.20、①中，；②中，；③中，；④中，．考点：空间向量的加减运算.21、∵，，三点共线，∴存在唯一实数，使，即，∴，又，∴，，，则.考点：空间向量的加减运算，数乘运算.22、设中点为，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，∴，，故答案为，.23、试题分析：由，，可得，再由，可得，因，所以，故答案填.考点：空间向量及其模的运算.24、试题分析：，由得，，即．考点：空间向量的坐标运算.25、试题分析：由于三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，解得.考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.26、试题分析：根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．因为，，，所以，考点：共线向量与共面向量27、试题分析：设直线与平面所成的角为．所以．考点：用空间向量解决立体几何问题．28、试题分析：因为，所以，解得．考点：空间向量垂直的充要条件．【知识点睛】空间向量的概念及运算与平面向量类似，向量加减的平行四边形法则、三角形法则以及相关的运算律仍然成立，因此在空间向量中仍有对于向量，，如果＝常数，则；如果，则．29、试题分析：直接利用空间两点的距离公式求解即可．空间两点P（－1,2，－3），Q（3，－2，－1），则P、Q两点间的距离是考点：空间两点的距离公式的应用30、试题分析：由于三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，解得.考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.31、试题分析：①由定义可得，故①错；②由，则，而，根据仿射”坐标的定义可知②正确；③根据仿射”坐标的定义可得，故③正确；④由已知可知三棱锥O—ABC为正四面体，棱长为1，其表面积为，即④不正确考点：新定义概念32、试题分析：设直线与平面所成的角为，．考点：空间向量法解决立体几何问题．33、试题分析：，，两个向量平行的条件，可知,故知，解得，故.考点：空间向量共线的条件，根据空间向量共线来判断多点共线.34、试题分析：设，由题意，所以，解得考点：两点间的距离公式35、试题分析：因为，存在一个实数，使得，可见，则考点：空间向量的坐标运算，共线向量定理；36、试题分析：由两点间的距离公式，得考点：空间中两点间的距离公式37、试题分析：由空间中两点坐标可得，，由两向量间的夹角公式可得，可知，．考点：空间向量的坐标运算．38、试题分析：，因为与共线，所以，解得。
考点：1向量的坐标运算法则；2向量共线问题。
39、设PD＝a，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)．由cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．40、∵=(c-a)∙(c-b)=(1-x,-2-y)∙(4-x,2-y)=x2-5x+y2=(x-)2+y2-()2∴(x-)2+y2=()2+又|c|=∈[0， 5]∴向量c在以原点为圆心,5为半径的圆面上即以(,0)为圆心的圆,其半径最大值为∴的最大值为041、试题分析：由D在z轴上可设,再由两点间距离公式,,因为所以,故考点：两点间距离公式42、如右图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),,,设,则，由得,令y=0,x=0则,即点；令x=1,y=0,则,即点,所以平面与正方体表面的交线构成一个平行矩形EFGH，此四边形的周长为.43、略/。