第十一节轨迹方程的求法

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点评：参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易
直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用 一中间变量 ( 参数 ) 表示，得参数方程，再消去参数得普 通方程．
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x2 y2 3 4. (2012· 三明期末)椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2 ， 右 焦点到直线 x＋y＋ 6＝0 的距离为 2 3，过 M(0，－1)的直线 l 交椭圆于 A，B 两点． (1) 求椭圆的方程； 7→ → (2)若直线 l 交 x 轴于 N，NA＝－5NB，求直线 l 的方程．
因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，点 Q 即在
所求的轨迹上运动．
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设 Q(x，y)，因为 R 是 PQ 的中点， x＋4 y＋0 所以 x1＝ 2 ，y1＝ 2 ， 代入方程 x21＋y21－4x1－10＝0，得
x＋42 y 2 x＋4 ＋ －4· －10＝0， 2 2 2
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3．M是抛物线y2＝x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作
正方形MNPO，求动点P的轨迹方程．
解析：设动点 P(x，y)，M(x0，y0)， 因为正方形 MNPO，所以|OM|＝|OP|，OP⊥OM.
2 2 2 2 x ＋ y ＝ x ＋ y ， 0 0 所以有y y0 x0＝－1. x·
(2) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)， 7→ → ∵NA＝－5NB， 7 ∴(x1－x0，y1)＝－5(x2－x0，y2)． 7 ∴y1＝－5y2.① 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时①不成立， 于是设 l 的方程为
y＝kx－1， y＝kx－1(k≠0)，联立 2 2 x ＋ 4 y ＝8，
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化简得 5m2＝16(1＋k2)． |m| 又 O 到直线 ST 的距离为 r＝ 2， 1＋ k 4 5 故 r＝ 5 ∈(0,2)． 经检验当直线 ST 的斜率不存在时也满足．
点评：选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两 动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为 两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做 交轨法．
① ②
又点 M(x0，y0)在抛物线 y2＝x 上，所以 y2 0＝x0.③ x0x 由②得：y0＝－ y 代入③，
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2 x2 y2 0x 得 x0＝ y2 ，所以 x0＝x2，④ 2 2 将③代入①，得 x2 ＋ x ＝ x ＋ y .⑤ 0 0
y4 y2 2 2 将④代入⑤，得：x4＋x2＝x ＋y ， 化简，得 y2＝x4.所以 x2＝± y(y≠0)为所求方程．
高考总复习•数学（理科） 解析：设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)， 则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)， 又|AR|＝|PR|＝
x1－42＋y21 ，
所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)， 即x21＋y21－4x1－10＝0，
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1 半径为 r1＝1－4x0，又圆 x2＋y2＝4 的圆心为 O(0,0)， 半径 r2＝2， 又|OQ|＝ ＝ ＝
x0＋12 y02 ＋ 2 2
3 2 1 2 1 1 1 x 0＋ x0＋ ＋ 3－ x0 4 2 4 4 4 1 2 1 1 16x0＋2x0＋1 ＝1＋4x0，
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， x2 y2 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为 4 ＋ 3 ＝1. x2 y2 答案： 4 ＋ 3 ＝1
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(2)由已知得|NS||NT|＝|ON|2，又 ON⊥ST，则 OS⊥OT. 当直线 ST 的斜率存在时， x2 y2 设直线 ST：y＝kx＋m(m≠±2)，代入16＋ 4 ＝1， 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 设 S(x1，y1)，T(x2，y2)， 4m2－16 8km 则 x1＋x2＝－ 2，x1x2＝ 2 ， 1＋4k 1＋4k 由 OS⊥OT，得 x1x2＋y1y2＝0， 即 km(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋m2＝0，
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变式探究
1．(2012· 襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 1 两点连线的斜率之积为4，则动点 P 的轨迹方程为( ) x2 2 A. 4 ＋y ＝1 x2 2 C. 4 ＋y ＝1(x≠± 2) x2 2 B. 4 －y ＝1 x2 2 D. 4 －y ＝1(x≠± 2)
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
点评：根据题设条件，可以得出动点的轨迹是某种已知
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
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变式探究
2 ．已知两定点 F1( － 1,0) 、 F2(1,0) ，且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
整理得 x2＋y2＝56，这就是所求的轨迹方程．
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点评：相关点代入法(代入转移法)：动点P(x，y)依
赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又 在某已知曲线上，则可先用 x ， y 的代数式表示 x0 ， y0 ， 再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．
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1 解析：依题意有 kPA· kPB＝4， y y 1 即 · ＝4(x≠± 2)， x＋2 x－2 x2 2 整理得 4 －y ＝1(x≠± 2)．故选 D. 答案：D
高考总复习•数学（理科） 用定义法求点的轨迹方程 【例 2】 如图，在平面直角坐标系中， N 为圆 A ： (x ＋
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(2)设点 P(x0，y0)，PB 的中点为 Q，则 |PB|＝ x0－12＋y2 0 ＝ ＝ 3 2 2 x0－2x0＋1＋3－ x0 4 1 2 1 x 0－2x0＋4＝2－ x0， 4 2
x0＋1 y0 ， Q ， 2 2
即以PB为直径的圆的圆心为
，
用相关点代入法求轨迹方程
【例 3】 如图所示，已知 P(4,0) 是圆 x2 ＋ y2 ＝ 36 内的一
点 ， A ， B 是 圆 上 两 动 点 ， 且 满 足 ∠ APB ＝ 90° ， 求 矩 形
APBQ的顶点Q的轨迹方程．
思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程．利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式 建立线段AB中点的轨迹方程．
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高考总复习•数学（理科） 用参数法求轨迹方程 【例4】 设抛物线C：y＝x2的焦点为F，动点P在直线
l：x －y －2＝ 0上运动，过P作抛物线的两条切线 PA， PB且 与抛物线C分别切于A，B两点，求△APB重心G轨迹方程．
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解析：设P(a，a－2)，y′＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为y′|x＝x1＝2x1， 所以AP方程为y－y1＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x. 同理BP方程y＝2x2x－x. 又因为(a，a－2)在两条切线上， 所以a－2＝2ax1－x，a－2＝2ax2－x. 所以x1，x2是方程x2－2ax＋a－2＝0的两根． 所以x1＋x2＝2a，x1x2＝a－2.
2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d2 － d 2 1＝25，
3x－2y＋32 2x－3y＋22 即 － ＝25. 13 13 化简得(x＋1)2－y2＝65. 即为所求的动点 M 的轨迹方程．
高考总复习•数学（理科） 点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变 形得到轨迹方程F(x，y)＝0.
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第七章
第十一节 轨迹方程的求法
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用直接法求点的轨迹方程 【例1】 已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3
＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆 截得的弦长分别是定值26和24，求圆心的轨迹方程． 思路点拨： 弦长通常可与弦心距及半径相联系，因而 可由两个定圆心距与同一个半径的关系而得动圆圆心的几
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解析：(1)设 M(x，y)，由已知得 P(4λ，0)，Q(4，2－2λ)， x 则直线 EP 的方程为 y＝2λ－2， λx 直线 GQ 的方程为 y＝－ 2 ＋2， x2 y2 消去 λ 得点 M 的轨迹 L 方程为16＋ 4 ＝1(x≠0)．
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何特征，从而进一步转化为方程．
自主解答：
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解析：设动圆的圆心为 M(x，y)， 半径为 r，点 M 到直线 l1，l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得，
2 2
r2－d2 1＝26， r2－d2 2＝24，
2 2 r － d 1＝169， 即 2 2 r －d2＝144，
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用交轨法求点的轨迹方程
【例 5】 (2012· 温州市适应性测试)如图，在矩形 ABCD 中， AB＝8，BC＝4，E，F，G，H 分别为四边的中点，且都在坐标轴 → ＝λOF → ，CQ → ＝λCF → (λ≠0)． 上，设OP (1)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 L 的方程； (2)过圆 x2＋y2＝r2(0＜r＜2)上一点 N 作圆的切线与轨迹 L 交 →· → ＋r2＝0，试求出 r 的值． 于 S，T 两点，若NS NT
1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在
→· → ＝ 0. 线段AN上，且 MP BN
(1)求动点P的轨迹方程； (2) 试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 的位置关系， 并说明理由． 自主解答：
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解析：(1)由点 M 是 BN 的中点， →· → ＝0，可知 PM 垂直平分 BN， 又MP BN 所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|， 所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． x2 y2 设椭圆方程为a2＋b2＝1，其中 2a＝4，2c＝2， 可得 a2＝4，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
消去 x 得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，②
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2 于是 y1＋y2＝－ 2 ，③ 4 k ＋1 1－8k2 y1· y2＝ 2 .④ 4 k ＋1 5 7 由①③得，y2＝ 2 ，y1＝－ 2 ， 4 k ＋1 4 k ＋1 代入④整理得 8k4＋k2－9＝0，于是 k2＝1， 此时②的判别式 Δ＞0，于是直线 l 的方程为 y＝± x－1.
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设重心 G 坐标为(x，y)．所以 a－2＋y ＋y . y＝ 3
a＋x1＋x2 x＝ ， 3
1 2 2 2 2 又 y1＋y2＝x2 ＋ x ＝ ( x ＋ x ) － 2 x x ＝ 4 a －2a＋4， 1 2 1 2 1 2
x＝a， 所以 4a2－a＋2 y＝ . 3 4 2 1 2 所以 y＝3x －3x＋3， 即重心 G 轨迹方程．
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解析：(1)设右焦点为(c,0)， |c＋ 6| 则 ＝2 3，c＋ 6＝2 6， 2 ∴c＝ 6(舍去 c＝－3 6)， c 3 6 3 又离心率a＝ 2 ，即 a ＝ 2 ， ∴a＝2 2，b2＝a2－c2＝2. x2 y2 故椭圆的方程为 8 ＋ 2 ＝1.
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