寒假作业五点、直线、平面之间的位置关系

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点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1、了解平面的基本性质即三条公理，能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系，2、掌握直线平面之间的位置关系，理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.一、空间点、直线、平面之间的位置关系【思维导图】一、平面的基本性质(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．二、空间两直线的位置关系 1.位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．三、异面直线所成的角 1.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：.2.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．四、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内---有无数个公共点；相交---有且只有一个公共点；平行---没有公共点．后两种情况直线不在平面内，也称直线在平面外.(2)平面与平面的位置关系有两种情况：平行---没有公共点；相交---有一条公共直线．二、直线、平面平行的判定及性质【思维导图】]2,0(π【考点总结】一、空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥b a ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b 结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2. 面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ， a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，a ⊂β 结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α3.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．二、平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 三、直线、平面垂直的判定及性质【思维导图】【考点总结】一、直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.三、二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)范围：[0，π]．四、平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊂β⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【题型汇编】题型一：空间点、直线、平面之间的位置关系题型二：直线、平面平行的判定和性质题型三：直线、平面垂直的判定和性质【题型讲解】题型一：空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题1．（2022·上海长宁·二模）如图，已知A B C D E F 、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）．A ．直线AB B ．直线BC C ．直线CD D ．直线DA ．【答案】A 【解析】【分析】通过空间想象直接可得. 【详解】如图，易知,AFHG HG BE ，所以AF BE ∥，且12AF BE =，所以ABEF 为梯形，故AB 与EF 相交，A 正确；因为,,BCMH MH NL NL EF ，所以BC EF ∥，故B 错误；因为平面CDH 平面EFNL ，CD ⊂平面CDH ，EF ⊂平面EFNL ，所以直线CD 与直线EF 无公共点，故C 错误；因为AD ⊂平面ADF ，EF 平面ADF F =，故AD 与EF 异面，D 错误.故选：A2．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若11AA AC BC ===，则异面直线1,A C AB 所成角的大小是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】【分析】连接1B C ，则11B AC ∠即为异面直线1,A C AB 所成角，再分别求出11B A C 的边长即可求出11B AC ∠，得到答案【详解】如图所示，连接1B C11A B AB // ,11B A C ∴∠即为异面直线1,A C AB 所成角11AA AC BC ===，112,2AC BC ∴又AC BC ⊥，112AB A B ∴==在11B A C 中，11112A B AC BC === 11B A C ∴是正三角形11π3B AC ∴∠= 故选：C3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，过点C 作平面1BMC 的平行平面α，记平面α与平面11BCC B 的交线为l ，则1A C 与l 所成角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知平面α与平面11BCC B 的交线为l ，与平面1BMC 与平面11BCC B 的交线平行，即求解平面1BMC 与平面11BCC B 的交线与1A C 所成角的大小即可.【详解】因为平面1//BMC 平面α，平面1BMC ⋂平面111BCC B BC =，平面α平面11BCC B l =，则1BC l ∥；在正方体中，易证1BC ⊥平面11A B CD ，故11BC A C ，所以1A C l ⊥，即1A C 与l 所成角的大小为2π. 故选:D .4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，22AB AA AD '==，M 、N 分别是A B ''、D C ''的中点.则直线CN 与DM 是（）A ．相互垂直的相交直线B ．相互垂直的异面直线C ．相互不垂直的异面直线D ．夹角为60°的异面直线【答案】B【解析】【分析】连接,,,BM MN BD MD '，可证直线CN 与DM 为异面直线，并可求其所成的角.【详解】设222AB AA AD a '===，连接,,,BM MN BD MD '，因为NC ⊂平面CC D D ''，MD ⋂平面CC D D D ''=，D NC ∉，故直线CN 与DM 异面直线.在矩形A B C D ''''中，因为,M N 为所在棱的中点，故//,=MN B C MN B C ''''，而//,BC B C BC B C ''''=，故//,BC MN MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，故//CN BM ，所以BMD ∠或其补角为异面直线CN 与DM 所成的角，在BMD 中，222,5,23BM a BD a MD a a a =+=，故222BD BM MD =+，故90BMD ∠=︒，故选：B5．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知P 、Q 、R 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 、BC 和11C D 的中点，由点P 、Q 、R 确定的平面β截该正方体所得截面为（）．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】【分析】分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质可得答案.【详解】如图，分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质//RF PQ ，所以、、、∈R F P Q 平面α，且////RF PQ MN ，又、、QF RP EM 交于同一点O ，所以、∈E M 平面α，所以点P 、Q 、R 确定的平面β即为六边形RFEPQM 故选：D ．6．（2022·北京东城·三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CC 1，D 1C 1的中点，则下列直线中与直线BE 相交的是（）A ．直线1A FB ．直线1ADC ．直线11CD D ．直线1AA【答案】A【解析】【分析】利用正方体的性质可得111//,2EF A B EF A B =，进而可判断A ，根据经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线可判断BCD.【详解】连接11,,EF CD A B ，则111//,2EF CD EF CD =，由1111//,A D BC A D BC =，可得四边形11A D CB 为平行四边形，∴11//A B CD ，11A B CD =，所以111//,2EF A B EF A B =，即四边形1EFBA 为梯形，故直线1A F 与直线BE 相交，直线1AD 与直线BE 为异面直线，直线11C D 与直线BE 为异面直线，直线1AA 与直线BE 为异面直线. 故选：A.二、多选题1．（2022·重庆·三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段1BC 上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是（）A ．1ABB ．1AC C ．1A AD ．1AD【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，当P 为1BC 的中点时，1//OP AB ，故A 不正确；对于BCD ，根据异面直线的判定定理可知都正确.【详解】对于A ，当P 为1BC 的中点时，11////OP DC AB ，故A 不正确；对于B ，因为1AC ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A C ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A C 与直线OP 一定是异面直线，故B 正确；对于C ，因为1A A ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A A ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A A 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；对于D ，因为1AD ⊂平面1AD C ，O ∈平面1AD C ，O ∉1AD ，P ∉平面1AD C ，所以直线1AD 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；故选：BCD题型二：直线、平面平行的判定和性质一、单选题1．（2022·山西·一模（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G 分别是棱AD ，1C C ，11B C 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．BE ⊥平面DFGB ．1//A E 平面DFGC ．//CE 平面DFGD ．平面1//A EB 平面DFG【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系分别判断.【详解】由1111ABCD A B C D -为正方体，且F ，G 分别是棱1C C ，11B C 的中点，则1//FG A D ，则平面DFG 即为平面1A DFG ，A 选项，如图连接1D G ，由正方体可知1//D G BE ，又11D G AG ⊥不成立，所以1BE A G ⊥不成立，即A 选项错误；B 选项，由1A E 平面11A DFG A =，故1A E 与平面1A DFG 不平行，B 选项错误；C 选项，连接CE ，则1//CE A G ，又1AG ⊂平面1A DFG ，CE ⊄1A DFG ，所以//CE 平面1A DFG ，C 选项正确；D 选项，平面1A EB 与平面1A DFG 有公共点1A ，故D 选项错误；故选：C.2．（2022·浙江杭州·二模）设,αβ为两个不同的平面，则α∥β的充要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行B ．,αβ垂直于同一平面C ．,αβ平行于同一条直线D ．α内的任何直线都与β平行【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A 选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A 选项错误.B 选项，,αβ垂直于同一平面，α与β可能相交，B 选项错误.C 选项，,αβ平行于同一条直线，α与β可能相交，C 选项错误.D 选项，α内的任何直线都与β平行，则//αβ，D 选项正确.故选：D3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下面四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；②若m α⊥，m β⊥，则αβ∥；③若m α∥，n α⊥，则m n ∥；④若αβ⊥，a m β⋂=，n m ⊥，则n β⊥．其中所有正确命题的序号是（）A ．①②B ．②C ．④D ．②③【答案】B【解析】【分析】对①，α与β需考虑平行与相交两种情况；对②，线面垂直证面面平行；对③，线面平行得线线平行，线面垂直得线线垂直；对④，不符合面面垂直证线面垂直的条件【详解】对①，若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交，故①错；对②，若m α⊥，m β⊥，则αβ∥，②对；对③，若m α∥，n α⊥，则m n ⊥，③错；对④，若αβ⊥，a m β⋂=，n m ⊥，则n 不一定垂直β，④错故选：B4．（2022·上海奉贤·二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（）A ．1CC ∥平面11A ABBB ．AF ∥平面111A BC C ．EF ∥平面11A ABBD ．AE ∥平面11B BCC【答案】D【解析】【分析】由线面平行的判定定理，面面平行的性质定理依次判断各选项即可得出结果.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ∥1AA ,1CC ⊄平面11A ABB ,1AA ⊂平面11A ABB ,所以1CC ∥平面11A ABB ，A 正确；因为平面ABC //平面111A B C ，AF ⊂平面ABC ，所以AF ∥平面111A B C ，B 正确；取AB 中点G ,连接1,A G GF ,因为点G ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以12//GF AC ,且11//2A E AC ,所以1//GF A E ，四边形1GFEA 为平行四边形，所以EF ∥1A G ,EF ⊄平面11A ABB ，1AG ⊂平面11A ABB ,所以EF ∥平面11A ABB ,C 正确；取AC 中点H ,连接1C H ,可证得四边形1AHC E 为平行四边形，所以EA ∥1C H ,1C H 与平面11C CBB 相交,所以AE 与平面11C CBB 相交,D 不正确；故选:D.5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形且//PQ AC ，则在下列说法中，错误的为（）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°【答案】C【解析】【分析】 A 由题设易得//QM BD ，根据平行线的性质可证AC BD ⊥；B 由线面平行的判定可证//AC 截面PQMN ；C ：,P Q 为特殊位置的点时成立；D 将异面直线平移到截面上即可知夹角大小.【详解】A ：由题设，易知//QM BD ，又PQ QM ⊥，//PQ AC ，即有AC BD ⊥，正确；B ：由//PQ AC ，PQ ⊂截面PQMN ，AC ⊄截面PQMN ，则//AC 截面PQMN ，正确； C ：仅当,P Q 为中点时AC BD =，故错误；D ：由A 知：异面直线PM 与BD 所成的角为4PMQ π∠=，正确.故选：C二、多选题1．（2022·河北邯郸·一模）如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==，则（）A ．BD ∥平面EGHFB ．FH ∥平面ABC C ．AC ∥平面EGHFD ．直线GE ，HF ，AC 交于一点【答案】AD【解析】【分析】由条件可得GH BD ∥，FH 与AC 为相交直线，即可判断ABC ，EG 与FH 必相交，设交点为M ，然后可证明M AC ∈，即可判断D 正确.【详解】因为::BG GC DH HC =，所以GH BD ∥.又E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF BD ∥，且12EF BD =，则EF GH ∥. 易知BD ∥平面EGHF ，FH 与AC 为相交直线，即A 正确，B ，C 错误.因为EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，所以EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，则M 是平面ABC 与平面ACD 的一个交点，所以M AC ∈，即直线GE ，HF ，AC 交于一点，即D 正确.故选：AD2．（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图所示，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．【详解】解：对于A ，如图所示，点E ，F 为正方体的两个顶点，则////MN EF AC ，所以N 、M 、C 、A 四点共面，同理可证//AM BC ，即B 、C 、M 、A 四点共面，MN ∴⊂平面ABC ，故A 错误；对于B ，如图所示，D 为正方体的一个顶点，则//AC MD ，//BC ND ，AC ⊂平面ABC ，DM ⊄平面ABC ，所以//DM 平面ABC ，同理可证//DN 平面ABC又MD ND D =，MD 、ND ⊂平面DMN ，∴平面//ABC 平面DMN ，又MN ⊂平面DMN ，//MN ∴平面ABC ，故B 正确；选项C ，如图所示，G 为正方体的一个顶点，则平面//ABC 平面GMN ，MN ⊂平面GMN ，//MN ∴平面ABC ，故C 正确；对于D ，连接CN ，则//AB CN ，A ∴，B ，C ，N 四点共面，MN ∴平面ABC N =，与//MN 平面ABC 相矛盾，故D 错误．故选：BC ．题型三：直线、平面垂直的判定和性质一、单选题1．（2022·四川·石室中学三模（文））已知直线l 和平面α，β满足l α⊄，l β⊄.在l β，l a ⊥，αβ⊥这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】将l β，l a ⊥，αβ⊥三个关系分别以其中两个作为条件，余下一个作为结论判断命题的正误即可.【详解】当l β且l α⊥时，αβ⊥成立；当l β且αβ⊥时，l α⊥不一定成立；当l α⊥且αβ⊥时，结合l β⊄，得l β成立.故选：C.2．（2022·山西晋中·一模（文））如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD ，母线4BC =，若点E 是母线BC 的中点，F 是AB 的中点，则下列说法正确的是（）A ．EF AC ∥B ．点F 到平面ABCD 的距离为2C ．BF ⊥ACD ．BF 与平面ABCD 所成的角的大小为3π 【答案】B【解析】【分析】证得OE AC ∥，即可判断A 选项；证得OF ⊥平面ABCD ，即可判断B 选项；证得∠ABF 是BF 与平面ABCD 所成的角，并求出角度，即可判断D 选项；由BF 与AB 不垂直，即可判断D 选项．【详解】如图所示，设O 是AB 的中点，连接OE ，OF ，在正方形ABCD 中，4BC =，可得2OB =，在△ABC 中，可得OE AC ∥，则EF 与AC 不平行，选项A 错误；因为F 是AB 的中点，所以OF ⊥平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离为2，选项B 正确；∠ABF 是BF 与平面ABCD 所成的角，因为OF ⊥OB ，且OF =OB ，∠ABF =4π，选项D 错误； BF 与AB 不垂直，因此也推不出BF ⊥AC ，选项C 错误．故选：B.3．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O 的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O 的表面积为（）A ．12πB ．43πC ．6πD ．26π【答案】A【解析】【分析】作出图形，设在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】如下图所示：在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且2BC CD ==，2AB =，因为AB ⊥平面BCD ，BC 、BD 、CD ⊂平面BCD ，则AB BC ⊥，AB BD ⊥，CD AB ⊥，CD BC ⊥，AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC CD ∴⊥，所以，三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，且2222BD BC CD +2223AD AB BD =+=设线段AD 的中点为O ，则12OB OC AD OA OD ====，所以，点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，设球O 的半径为R ，则132R AD ==O 的表面积为2412R ππ=. 故选：A.4．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的取值不可能为（）A 5B 23C 6D 35 【答案】A【解析】【分析】根据点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点且BD AP ⊥，确定点P 的轨迹，然后求出线段AP 长度的取值范围即可.【详解】如图，连接11A C 交11B D 于点O ，连接OC由正方体1111ABCD A B C D -知BD ⊥平面11AAC C又因为点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，所以点P 的轨迹为线段OC （不含端点），又因为6OA =2AC =A 到OC 23，所以线段AP 长度的取值范围是332⎡⎢⎣. 所以线段AP 5. 故选：A.5．（2022·北京·北师大二附中三模）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的个数是（）①平面11D A P ⊥平面1A AP②1APD ∠的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦③三棱锥11B D PC -的体积为定值④11DC D P ⊥A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断．判断①，举反例判断②，利用体积公式，判断③，利用垂直关系的转化判断④.【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，①正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，22129148D P ⎛=+= ⎝⎭，此时222111152cos 458AP AA A P AA A P =+-⨯⨯=，22211D P AP AD +<，此时1D PA ∠为钝角，②错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，③正确；而11⊥D C DC ，11//D C A B ，所以11DC A B ⊥，且111DC A D ⊥,1111A B A D A =，所以1DC ⊥平面11A PD ,1D P ⊂平面11A PD ，因此11DC D P ⊥，④正确．故选：C ．二、多选题1．（2022·广东惠州·二模）已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面边长分别为4，62，E 是11A B 的中点，则（）A ．正四棱台1111ABCD ABCD -522 B ．平面1BC D ⊥平面11AAC CC ．AE ∥平面1BC DD ．正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为104π【答案】BCD 【解析】【分析】A.由题意，利用棱台体积公式求解；B.利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断；C.取11D A 的中点F ，连接,AF EF ，且11EF AC G ⋂=，连接AG ，易知四边形12C GAO 是平行四边形，得到12//AG C O ，再由11//EF B D ，利用面面平行的判定定理判断； D. 由球心O 在12O O 上，分外接球的球心O 在正四棱台的内部和外部判断.【详解】如图所示：连接,AC BD 交于点2O ，连接1111,AC B D 交于点1O ，A.正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()()11221176216163636233==+⨯=V S S S S h B.易知12,BD AC BD O O ⊥⊥，又122AC O O O ⋂=，则BD ⊥平面11AAC C ，又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11AAC C ，故正确；C.如图所示：取11D A 的中点F ，连接,AF EF ，且11EF AC G ⋂=，连接AG ，易知2//CG AO ，232CG AO == 所以四边形12C GAO 是平行四边形，则12//AG C O ，又AG ⊄平面1BC D ，12⊂C O 平面1BC D ，则//AG 平面1BC D ，又11//EF B D ，EF ⊄平面1BC D ，11B D ⊂平面1BC D ，则//EF 平面1BC D ，又EF AG G ⋂=，所以平面//AEF 平面1BC D ，则AE ∥平面1BC D ，故正确；D. 如图所示：若外接球的球心O 在正四棱台的内部，则O 在12O O 上，因为122OO 4，6，则111121122,3222D O B D DO BD ==== 222221112D O D O DO DO O O -+-=， 228182--R R则若外接球的球心O 在正四棱台的外部，如图所示：228182--=R R 226=R ，所以外接球的表面积为24104ππ=R ，故正确；故选：BCD2．（2022·广东佛山·三模）如图，若正方体的棱长为2，点M 是正方体1111ABCD A B C D -在侧面11BCC B 上的一个动点（含边界），点P 是1AA 的中点，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥1P DD M -的体积为定值B ．若5PM =，则点M 在侧面11BCC B 运动路径的长度为2πC ．若1D M DP ⊥，则1A M 的最大值为2D ．若1D M DP ⊥，则1A M 65 【答案】AD【解析】【分析】对于A ，三棱锥1P DD M -的体积11P DD M M PDD V V --=，由已知得三角形PDD 1的面积是定值，且点M 到面PDD 1的距离是正方体的棱长，由此可判断；对于B ，过点P 作1PQ BB ⊥，由已知有点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的半圆弧，根据圆的周长公式计算可判断；对于C 、D ，过点P 作1PQ BB ⊥，则点Q 是1BB 的中点，连接QC ，取BC 的中点N ，连接NC 1，A 1N ，A 1C 1，由线面垂直的判定和性质得点M 的轨迹是线段1C N ，解11A C M ，可求得1A M 的最大值和最小值，由此可判断C 、D 选项.【详解】解：对于A ，三棱锥1P DD M -的体积11P DD M M PDD V V --=，而因为点P 为1AA 的中点，所以三角形PDD 1的面积是定值，且点M 到面PDD 1的距离是正方体的棱长，所以三棱锥的体积是定值，故A 正确；对于B ，过点P 作1PQ BB ⊥，则由正方体的性质得PQ ⊥平面11BB C C ，所以PQ MQ ⊥，又5PM 2，所以()2222521MQ PM PQ =--，所以点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的半圆弧，所以点M 在侧面11BCC B 运动路径的长度为22ππ=，故B 不正确；对于C 、D ，过点P 作1PQ BB ⊥，则点Q 是1BB 的中点，连接QC ，取BC 的中点N ，连接NC 1，A 1N ，A 1C 1，则//QC PD ，1C N QC ⊥，因为1D M DP ⊥，所以1D M QC ⊥，11D C ⊥平面11BB C C ，所以11D C QC ⊥，又1111D C D M D =，所以QC ⊥平面11D C M ，所以1QC C M ⊥，所以点M 的轨迹是线段1C N ，在11A C M 中，221111225AC C N NC CC ==+，22211+3A N AA AB BN =+，所以1A M 的最大值为3，故C 不正确；在11A C M 中，22235225cos 235N +-∠=⨯⨯25sin N ∠= 所以点A1到C1N 有距离为12565sin 3d A N N =⋅∠==，所以1A M 65D 正确，故选：AD.。

高中数学点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行平行解析：如图所示，。

点线面的位置关系知识点

点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。

这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。

本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。

一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。

例如，点A在直线AB上。

2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。

例如，点C在直线AB的两侧。

3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。

例如，点D在直线AB的延长线上。

4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。

例如，直线CD平行于直线AB。

二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。

例如，点A在平面P上。

2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。

例如，点B不在平面P上。

3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。

例如，点C在平面P的延长线上。

4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。

例如，直线EF垂直于平面P。

三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。

例如，直线L与平面P相交于点A。

2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。

例如，直线M平行于平面P。

3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。

例如，直线N被包含于平面P 中。

4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。

点、直线、平面之间的位置关系

α l αAl αlαβα βl β α ,////,//a b a b P a b ββαβαα⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭点、直线、平面之间的位置关系一、点、直线、平面之间的位置关系：1、平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。

点与直线的位置关系、点与平面的位置关系：属于的关系。

直线与平面的位置关系：包含的关系。

2、平面的基本性质：公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。

公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.(不共线的三点有且只有一个平面) 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。

推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。

推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。

（两个平面相交，有且只有一条公共直线。

） 2、直线与平面的位置关系： ①、直线l 上的所有点都在平面α上，称直线l 在平面α内，或称平面α通过直线l.记为：l α⊆②、直线l 与平面α只有一个公共点A 时，称直线l 与平面α相交。

记为：l A α= ；③、直线l 与平面α没有公共点时，称直线l 与平面α平行。

记为：l α=∅ 或l α 。

3、平面与平面的位置关系： ①、当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合。

②、当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成集合l ，称平面α与平面β相交。

记： α∩ β＝l 。

(l 为这两个平面的公共直线) ③、当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行。

记： α∩ β＝φ或α∥β。

二、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质： 1、直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

(线线平行⇒线面平行，即要证线面平行，得在面内找一条线，使其与平面外的另一条直线平行。

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

空间点直线平面之间的位置关系例题

空间点直线平面之间的位置关系例题空间几何是数学中一个非常重要的分支，在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素。

它们之间的位置关系既复杂又深刻，需要我们用深度和广度兼具的方式进行全面评估。

在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨空间点、直线和平面之间的位置关系，以及解决一些典型的例题。

一、空间点、直线和平面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它是没有大小，没有形状，只有位置的。

点在空间中是唯一的，通过坐标来表示。

2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中是一条无限延伸的路径。

直线有方向和长度，可以根据方向向量来表示。

3. 平面：平面是由无数个点和直线组成的，在空间中是没有边界的二维图形。

平面可以通过点和法向量来表示。

二、点、直线和平面之间的位置关系1. 点和直线的位置关系：（1）点是否在直线上：给定点P(x,y,z)，直线L:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在直线L上，可以将点P的坐标代入直线方程，若等式成立，则点P在直线L上。

（2）点到直线的距离：点P到直线L的距离可以通过点到直线的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和直线的位置关系还包括点在直线的上、下、左、右、内、外等方面。

2. 点、直线和平面的位置关系：（1）点是否在平面上：给定点P(x,y,z)，平面π:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在平面π上，可以将点P的坐标代入平面方程，若等式成立，则点P在平面π上。

（2）点到平面的距离：点P到平面π的距离可以通过点到平面的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和平面的位置关系还包括点在平面的前、后、内、外等方面。

三、例题解析：空间点、直线、平面的位置关系1. 例题一：已知点A(1,2,3)、直线L:2x-3y+z+4=0和平面π:3x+y-2z-7=0，判断点A是否在直线L上和平面π上，若不在，求点A到直线L和平面π的距离。

点直线平面之间的位置关系

点直线平面之间的位置关系以点、直线和平面之间的位置关系为题，我们来探讨一下它们之间的联系和特性。

一、点与直线的位置关系：1. 在一个平面上，点与直线可以有三种位置关系：点在直线上、点在直线外、点在直线内。

- 当一个点在直线上时，我们说该点与直线重合。

- 当一个点在直线外时，我们说该点与直线相离。

- 当一个点在直线内时，我们说该点与直线相交。

2. 判断点与直线的位置关系有多种方法：- 使用坐标系：设直线方程为 Ax + By + C = 0，点的坐标为 (x0, y0)，将点的坐标代入直线方程，若等式成立，则点在直线上，否则点在直线外。

- 使用向量：设直线上两点的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，点的坐标为 (x0, y0)，计算向量 (x0 - x1, y0 - y1) 和 (x2 - x1, y2 - y1) 的叉积，若叉积为0，则点在直线上，否则点在直线外。

3. 点到直线的距离：- 设点的坐标为 (x0, y0)，直线的方程为 Ax + By + C = 0，点到直线的距离为d。

可以使用以下公式计算点到直线的距离：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。

二、点与平面的位置关系：1. 在三维空间中，点与平面可以有四种位置关系：点在平面上、点在平面外、点在平面内、点在平面上方或下方。

- 当一个点在平面上时，我们说该点与平面重合。

- 当一个点在平面外时，我们说该点与平面相离。

- 当一个点在平面内时，我们说该点与平面相交。

- 当一个点在平面上方或下方时，我们说该点与平面平行。

2. 判断点与平面的位置关系有多种方法：- 使用平面方程：设平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为 (x0, y0, z0)，将点的坐标代入平面方程，若等式成立，则点在平面上，否则点在平面外。

- 使用向量：设平面上三点的坐标分别为 (x1, y1, z1)，(x2, y2, z2) 和 (x3, y3, z3)，点的坐标为 (x0, y0, z0)，计算向量 (x0 - x1, y0 - y1, z0 - z1) 与向量 (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 的点积和向量 (x0 - x1, y0 - y1, z0 - z1) 与向量 (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) 的点积，若两个点积均为0，则点在平面上，否则点在平面外。

高中数学-点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 注意: 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的二、空间直线与直线的位置关系1、位置关系: ①共面与否 ②公共点个数2、公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.3、公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4、异面直线的夹角:①定义:已知两条异面直线a 、b 经过空间任意一点O 作直线a ′∥a,b ′∥b,我们把两相交直线a ′,b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).②范围:θ∈ 特别地:如果两异面直线所成的角是90°,我们就称这两条直线互相垂直,记作a⊥b.三、空间中的直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系有两种【例1】下列命题中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析:A 、B 、C 均不满足公理2及其推论,故D 正确. 【例2】若A 表示点,a 表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误的是( ) A.a ?α,A ∈a ?A ∈α B.a ?α,A ∈a ?A ?α(1)(2)⎫⎪⎬过一条直线和直线外一点经过两条相交直线均有且只有一个平面⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩平行共面相交异面:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩一个公共点相交平行无公共点异面0,.2π⎛⎤ ⎥⎝⎦----⎧⎨⎩平行无公共点相交有一条公共直线C.A∈α,A∈β,α∩β=a?A∈aD.A∈a,A?α?a?α解析:a?α的含义是a上所有点都在平面α上,故A正确;反之直线a上有一点不在α上,就说明a?α,故D正确,但是a?α并不代表所有点都不在α上,故B 错误.C就是公理3,故C正确. 答案:B【例3】给出下面四个命题:①如果直线a∥c,b∥c,那么a,b可以确定一个平面;②如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以确定一个平面;④直线a过平面α内一点与平面α外一点,直线b在平面α内不过该点,那么a和b是异面直线.上述命题中,真命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正确;②中,a,b可能异面,故②错误;③中,a,b 可能异面,故③错误;④正确. 答案:B【例4】在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E?F分别为棱AA′?CC′的中点,则在空间中与三条直线A′D′?EF?CD都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条【例5】三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有( )①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直线不可能共面;④其中必有两条在同一平面内A.4个B.3个C.2个D.1个解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明必有结论②不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论③正确;三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两条都异面(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故结论④不正确.故选D.类型一点共线问题解题准备:证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.【例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E?F分别为D1C1?C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D?B?F?E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P?Q?R三点共线.[解] (1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D?B?F?E四点共面.(2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,则R∈PQ,故P?Q?R三点共线.类型二线共点问题解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.【例2】如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E?F分别为棱AB,AA1的中点.求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点.证明：直线DA?平面AD1,直线D1F?平面AD1,显然直线DA与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与直线CE相交于点M′.又E?F为棱AB?AA1的中点,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M?M′为直线AD上的同一点,因此,三条直线DA?CE?D1F交于一点.类型三线共面问题证明共面问题的常用方法：证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合. 类型四异面直线所成的角解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:①直线平移,②中位线平移,③补形平移.2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值.【例3】在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=且AD⊥BC,对角线==BD AC求AC 和BD 所成的角.解：作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间问题转化为平面问题.如图,分别取AD ?CD ?AB ?BD 的中点E ?F ?G ?H,连接EF ?FH ?HG ?GE ?GF.由三的中位线定,EF ∥AC,且∥BD,且和EF 所成的锐角(AC 和BD 所成的角.同理, GH ∥AD,HF ∥BC.又AD ⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF2=GH2+HF2=1.实战演练一、选择题：.1．以下命题正确的是（） A ．两个平面可以只有一个交点B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合 2．下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是（） A ．A 、M 、O 三点共线 B ．M 、O 、A 1、A 四点共面 C ．A 、O 、C 、M 四点共面 D ．B 、B 1、O 、M 四点共面 4．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（） A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β相交 5．两等角的一组对应边平行，则（） A ．另一组对应边平行 B ．另一组对应边不平行C ．另一组对应边也不可能垂直D ．以上都不对 6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（） A ．1 B ．2C ．22D ．21 7．平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 与α的关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．不能确定1,2GH HF ==8．经过平面外两点与这个平面平行的平面（） A ．只有一个 B ．至少有一个 C ．可能没有 D ．有无数个9．已知ABCD 是空间四边形形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC ＝4，BD ＝2，那么EG 2＋HF 2的值等于（）A ．10B ．15C ．20D ．2510．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（） A ．三个平面共线；B ．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C ．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D ．三个平面两两相交。

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系直线与平面是几何学中常见的两类图形，它们之间的位置关系至关重要。

本文将探讨直线与平面的位置关系，并通过几几种经典的例子来说明。

一、直线在平面内当一条直线完全位于一个平面内时，它们被称为共面关系。

具体来说，如果直线的所有点都位于平面上，那么我们可以说这条直线在平面内。

例如，在平面上绘制一条线段AB，我们可以断定线段AB是共面的。

另一种情况是，直线与平面相交于一点，并且直线上的其他点均位于平面之外。

在这种情况下，我们可以认为直线在平面内。

例如，假设给定一个平面P和一条直线l，当直线l与平面P相交于点A且直线上的其他点均在平面P之外时，我们可以说直线l在平面P内。

二、直线与平面相交直线与平面的相交关系是几何学中最常见的情况之一。

当一条直线与平面相交于一点时，我们可以说这条直线与平面相交。

例如，给定一个平面P和一条直线l，当直线l与平面P相交于点A，我们可以断言直线l与平面P相交。

三、直线与平面平行直线与平面平行是指直线与平面之间没有交点，且直线上的所有点与平面都保持着固定的距离。

当一条直线与平面平行时，我们可以说直线与平面平行。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l与平面P之间没有交点，且直线上的所有点与平面P保持着固定的距离时，我们可以说直线l与平面P平行。

四、直线与平面垂直直线与平面垂直是指直线与平面之间存在一个直角，即直线与平面的夹角为90度。

当一条直线与平面垂直时，我们可以说直线与平面垂直。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l与平面P之间的夹角为90度时，我们可以说直线l与平面P垂直。

五、直线包含于平面直线包含于平面是指直线上的所有点都位于平面上。

当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们可以说直线包含于平面。

例如，给定一条直线l和一个平面P，当直线l上的所有点都在平面P上，我们可以说直线l包含于平面P。

在几何学中，直线与平面的位置关系是一门深入研究的领域。

通过了解直线与平面在空间中的相互作用，我们可以更好地理解几何学的基本原理和定理。

点、直线、平面的位置关系and直线与平面平行的判定和性质

第二章——点、直线、平面之间的位置关系【知识点小结】一、空间中点、直线、平面之间的位置关系1、点和直线的位置关系：点在直线上；点在直线外2、点与平面的位置关系：点在平面内；点在平面外3、直线与直线的位置关系：相交、平行、异面，相交4、直线与平面的位置关系：直线在平面内；直线在平面外平行（没有公共点）平行5、平面与平面的位置关系：二、平面相交（有一条公共直线）公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈⇒⊂公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,,C C ααααA B ⇒A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.l l αβαβP∈⇒=P∈且公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. //,////a b b c a c ⇒二、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面，（1）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线。

（2）平行直线的传递性：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。

即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（3）等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（4）异面直线所成的角（00 ,900]:一作二证三求五、线线、线面、面面之间的判定定理和性质定理1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

数学符号表示： ,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．（线线平行线面平行）2、线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

点.直线.平面之间的位置关系

点.直线.平面之间的位置关系四个公理：1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内.2.公理二：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.、3.公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.4.公理四：平行同一条直线的两条直线互相平行.三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面②经过两条相交直线，有且只有一个平面③经过两条平行直线，有且只有一个平面两条直线之间的位置关系：平行.相交.异面直线与平面的位置关系：直线在平面内，相交，平行平面与平面的位置关系：相交，平行线线平行传递性：a//b, a//c →c//b面面平行传递性：α//β, γ//β→α//γ面面垂直，线面垂直→线面平行：αￌβ，βￌα a¢α→a//α线面垂直→线线平行: aￌα, bￌα→a//b线面垂直→面面平行：aￌα, aￌβ→α//β线面垂直，面面平行→线面垂直：α//β,a ￌα→aￌβ线线平行，线面垂直→线面垂直：a//b, aￌα, bￌα线面垂直，线面平行→面面垂直：α//βαￌa→αￌβ符号化语言表：1.线面平行：a//b, bÇα, a¢α→a//α; α//β, aÇβ→a//α; αￌβaￌβ, a¢α→ a// α2.线线平行:a//α, aÇβ, α∩β=b→a//b; a⊥α, b⊥α→a//b; α//βα∩γ=a, β∩γ=b→a//b; a//b, a//c →c//b3.面面平行:aÇα, bÇβ, a∩b=0, a//β, b//β→α//β; a⊥α, a⊥β→α//β; α//β, γ//β→α//γ4.线线垂直:a⊥α, bÇα→a⊥b5.线面垂直:açα bçα a∩b l⊥a, l⊥b→l⊥α; α⊥β, α∩β=l, αçα, a⊥l→α⊥β6.面面垂直:二面角90°；açβ, a⊥α→α⊥β; a//β, a⊥α→α⊥β基础：1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．2.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．3.如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是()A．A、B、C、D四点中必有三点共线B．A、B、C、D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形③圆心和圆上两点可确定一个平面④三条平行线最多可确定三个平面A．1 B．2C．3 D．44．如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D5．两两相交的三条直线最多可确定__ ______个平面．6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDC1的交线是_____ ___．7．如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点．8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的中点，作出过E、F、G的截面10.已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.如图，在空间四边形ABCD 中，AD =BC =2a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF =3a ，求AD 、BC 所成的角．1．若a 、b 是异面直线，和a 、b 同时相交的两直线c 、d 一定是( ) A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．异面或相交直线2．已知在三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD )3．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④4．若∠AOB＝45°，直线a∥OA，直线a与OB异面，则a与OB所成的角是________．5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组直线：①AA1与BC；②A1C1与BD；③AC与BD1；④BD与B1C，其中异面角为90°的有______．6．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F=∠E1CF1.7．如图，在四面体ABCD中，E、F、M分别是棱AD，BC，AC上的点，且AEED=BFFC=AMMC=23，已知AB=CD=5，EF=13，求异面直线AB和CD所成的角．8．在长方体ABCD－A′B′C′D′的面A′C′上有一点P，如图所示，其中P点不在对角线B′D′上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图，并说明理由．(2)过P点在平面A′C′内作一直线l′，使l′与直线BD成α角，这样的直线有几条？下列命题中,正确命题的个数是（）①平行于同一条直线的两个平面平行.②平行于同一个平面的两个平面平行.③一个平面内有一条直线与另一平面平行,则这两个平面平行.④两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行.A. 0B. 1C. 2D. 34．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个8．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．求证：BC⊥AD；提升：1.在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值2.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连)结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.3. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是所求二面角的棱.)4. 斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1 上取一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)高考真题：1.如图，在四棱锥p-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD, BC=1, PC=2√3，PD=CD=2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值。

空间几何中的点直线与平面的位置关系

空间几何中的点直线与平面的位置关系在空间几何中，点、直线和平面是三个基本的要素。

它们之间的位置关系在解决几何问题中起着重要的作用。

本文将探讨空间几何中的点、直线和平面的位置关系。

一、点与直线的位置关系1. 点在直线上：当一个点与一条直线共线时，该点就在直线上。

直线可以通过过该点的两个不重合的点来确定，这两个点也在该直线上。

2. 点在直线的外部：如果一个点不在一条直线上，并且不在直线的延长线上，那么该点就在直线的外部。

3. 点在直线的内部：如果一个点在一条直线上，并且在直线的延长线上，那么该点就在直线的内部。

二、点与平面的位置关系1. 点在平面上：如果一个点在一个平面上，那么该点就在这个平面上。

平面可以通过平面上的三个不共线的点来确定，这三个点也在该平面上。

2. 点在平面的外部：如果一个点不在一个平面上，并且不在平面的延长线上，那么该点就在平面的外部。

3. 点在平面的内部：如果一个点在一个平面上，并且在平面的延长线上，那么该点就在平面的内部。

三、直线与平面的位置关系1. 直线在平面上：如果一条直线与一个平面有交点，并且这个交点在直线上，那么该直线在平面上。

2. 直线与平面相交：如果一条直线与一个平面相交，并且它们没有共同的交点，那么该直线与平面相交。

3. 直线与平面平行：如果一条直线与一个平面相交，并且它们的交点在无限远处，那么该直线与平面平行。

4. 直线在平面的内部：如果一条直线与一个平面有交点，并且这个交点在直线的延长线上，那么该直线在平面的内部。

通过以上的讨论，我们可以清楚地了解到点、直线和平面在空间几何中的位置关系。

这些位置关系是进行数学推导和解决几何问题的基础。

在实际应用中，我们可以利用这些位置关系来准确定位物体的位置、计算物体之间的距离等等。

空间几何的研究在工程、建筑、计算机图形学等领域发挥着重要的作用。

综上所述，空间几何中的点、直线和平面的位置关系是研究空间中物体位置的重要内容，对于解决几何问题具有重要的指导意义。

点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】：1.空间点、直线、平面的位置关系（1）空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角（2）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a α a∩α＝A a∥α（3）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β相交——有一条公共直线。

α∩β＝b2、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行⇒线面平行符号表示：a αb β => a∥αa∥b线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行⇒线线平行符号表示：a∥αa β =>a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），符号表示：a βb βa∩b = P =>β∥αa∥αb∥α（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

理解以下判定定理：(1)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。

(3)如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

(4)如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。

理解以下性质定理，并能够证明。

(1)如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行。

(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。

3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【基础知识】一、平面公理公理1：如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

平行直线的（公理4）唯一性：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

点、直线、平面之间的位置关系

1、平面含义：平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）。

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1的作用：判断直线是否在平面内。

4、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2的作用：确定一个平面的依据。

5、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据6、空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

7、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4的作用：判断空间两条直线平行的依据。

8、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。

9、两条异面直线所成的角θ∈(0， )。

10、计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

D CB A α L A · αC · B · A · α P ·α L β 共面直线 => a ∥c211、当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形。

点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系1.平面（公理1、公理2、公理3、公理4）（1）公理1.如果一条直线上的，那么这条直线在此平面内。

（2）公理2.过不在的三点，有且只有一个平面。

推论1.过，有且只有一个平面。

推论2.过，有且只有一个平面。

推论3过，有且只有一个平面。

（3）公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么。

（4）公理4.平行于同一直线的两条直线。

（5）等角定理.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角。

2.空间直线、平面的位置关系（1）空间两条直线的位置关系：相交直线：，有且只有一个公共点。

平行直线：同一平面内，没有公共点。

异面直线：，没有公共点。

其中，相交直线和平行直线统称为直线。

（2）直线与平面的位置关系：直线在平面内——有个公共点。

直线与平面相交——个公共点。

直线与平面平行——公共点。

其中，直线与平面相交或平行的情况统称为。

（3）两个平面之间的位置关系：两个平面平行——没有公共点。

两个平面相交——。

3.空间平行关系之间的转化（1）直线与直线平行⇒直线与平面平行定理.平面外一条直线，则该直线与此平面平行。

（2）直线与平面平行⇒直线与直线平行定理. ，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

（3）直线与平面平行⇒平面与平面平行定理.一个平面内与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（4）平面与平面平行⇒直线与平面平行定理.两个平面，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（5）平面与平面平行⇒直线与直线平行定理.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么。

4.空间垂直关系之间的转化（1）直线与直线垂直⇒直线与平面垂直定理.一条直线，则该直线与此平面垂直。

（2）直线与平面垂直⇒直线与直线垂直定理.一条直线与一个平面垂直，则。

（3）直线与平面垂直⇒平面与平面垂直定理.一个平面过，则这两个平面垂直。

（4）平面与平面垂直⇒直线与平面垂直定理.两个平面垂直，则的直线与另一个平面垂直。

点与直线点与平面的位置关系

点与直线点与平面的位置关系以点与直线、点与平面的位置关系为题，我们将探讨这两个几何概念之间的联系和特点。

让我们来看点与直线的位置关系。

在平面几何中，点是最基本的几何概念，没有大小和形状，只有位置。

直线是由无数个点组成的，它是平面上无限延伸的路径。

点与直线之间的位置关系可以分为三种情况：点在直线上、点在直线外、点在直线延长线上。

当一个点位于直线上时，我们可以说这个点在直线上。

在数学中，我们用符号“∈”表示。

例如，点A在直线l上可以表示为A∈l。

这意味着点A是直线l的一个元素，也就是说，点A是直线l的一部分。

当一个点在直线外时，我们可以说这个点不在直线上。

同样，我们用符号“∉”表示。

例如，点B不在直线l上可以表示为B∉l。

这意味着点B不是直线l的一个元素，也就是说，点B不属于直线l。

当一个点位于直线的延长线上时，我们可以说这个点在直线的延长线上。

延长线是指直线上的一部分被无限延伸的情况。

同样，我们用符号“∈”表示。

例如，点C在直线l的延长线上可以表示为C∈l。

接下来，让我们来看点与平面的位置关系。

平面是由无数个点组成的，它是一个二维的几何对象。

点与平面之间的位置关系可以分为三种情况：点在平面上、点在平面外、点在平面的延长线上。

当一个点位于平面上时，我们可以说这个点在平面上。

同样，我们用符号“∈”表示。

例如，点D在平面P上可以表示为D∈P。

这意味着点D是平面P的一个元素，也就是说，点D属于平面P。

当一个点在平面外时，我们可以说这个点不在平面上。

同样，我们用符号“∉”表示。

例如，点E不在平面P上可以表示为E∉P。

这意味着点E不是平面P的一个元素，也就是说，点E不属于平面P。

当一个点位于平面的延长线上时，我们可以说这个点在平面的延长线上。

同样，我们用符号“∈”表示。

例如，点F在平面P的延长线上可以表示为F∈P。

需要注意的是，点与直线、点与平面的位置关系是相对的。

这意味着同一个点在不同的直线或平面上的位置关系可能不同。

点、直线、平面的位置关系

第一节：空间点、直线、平面之间的位置关系“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系。

推理依据的4个公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

一、直线与直线的位置关系：异面直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。

空间中两条直线的位置关系有三种：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧一个平面没异面直线：不同在任何面内，没有公共点平行直线：在同一个平共点面内，有且只有一个公相交直线：在同一个平共面直线注意：为了表示异面直线a,b 不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。

公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

用符号语言表示如下：设a,b,c 是三条直线，若c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫注：c b a ,,三条直线两两平行，可以记为c b a ////这个公理实质上就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。

二、直线与平面的位置关系：一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：小结：①证线面平行的基本方法：线线平行线面平行 ②证线线平行的基本方法：线面平行线线平行三、平面与平面的位置关系：⎩⎨⎧公共直线两个平面相交：有一条共点两个平面平行：没有公强调作图的要求：（1）画两个平行平面时，表示平面的平行四边形对应边平行；（2）画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的小脚两边，画表示两个平面的交线线段，而后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成虚线或不画。

平面平行的判定：方法一：根据定义；方法二：实例引入（木工师傅用水平仪检查桌面是否水平的方法）检测方法：将水平仪在桌面上交叉放两次，如果两次气泡都在中间，就能判断桌面水平。

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