1.5.3 Fourier级数的性质及收敛定理的证明
Fourier级数和Fourier积分
Fourier 级数和Fourier 积分1， 设)(x f 是以π2为周期的函数，形如∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a 的三角级数，称为)(x f 的Fourier 级数，其中⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1，,...)3,2,1,0(=n⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1，,...)3,2,1(=n 2， Riemann 引理：设函数)(u ψ在],[b a 上可积和绝对可积，那么下列极限式成立： 0cos )(lim=⎰+∞→bap pudu u ψ， 0sin )(lim=⎰+∞→bap pudu u ψ。
3， Fourier 级数的性质性质1 局部性定理 函数)(x f 的Fourier 级数在x 点的收敛和发散情况，只和)(x f 在这一点的充分邻近区域的值有关。
性质2 可积和绝对可积函数的Fourier 系数n n b a ,趋向于零，即0cos )(1lim=⎰-+∞→πππnxdx x f n ，0sin )(1lim =⎰-+∞→πππnxdx x f n 。
性质3 积分⎰+πϕπ02sin2212sin)(1du u un u ，⎰+πϕπ02212sin )(1du u u n u 的收敛情况相同，即0212sin )12sin21)((1lim 0=+-⎰+∞→πϕπudu n u u u n 。
这里s u x f u x f u 2)()()(--++=ϕ。
4， Dini 定理（Dini 判别法）：设能取到适当的s ，使得由函数)(x f 以及x 点所作出的s u x f u x f u 2)()()(--++=ϕ满足条件：对某正数h ，使在],0[h 上，uu )(ϕ为可积和绝对可积，那么)(x f 的Fourier 级数在x 点收敛于s 。
Lipschitz 判别法：如果函数)(x f 在点x 点连续，并且对充分小的正数u ，在一点的Lipschitz 条件αLu x f u x f <-±|)()(|，)0(h u ≤<成立，其中L ，α皆为正数，且1≤α那么)(x f 的Foueier 级数在x 点收敛于)(x f 。
收敛定理的证明
1 写出
的简缩形式.
称这一简缩形式为
的积分形式, 或称为
Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式
可化为
+
,
于是把问题归结为证明
,
.
这两式的证明是相同的, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把 为 Dirichlet 积分
表示为积分,即把
15.3 收敛定理的证明
Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 ,
的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右
极限的算术平均值, 即
其中
和
为
的 Fourier 系数.
证明思路: 设
对每个
～
, 我们要证明
.
.
即证明
.
方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零.
.
.
综上即得所证 .
Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数 是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积 函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数 的Fourier级数 ) 的必要条件为:
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
比如正弦级数 法), 由级数
表示
.பைடு நூலகம்
于是又把上述1中所指的第一式左端化为
.
4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上 述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最后的 式子化为
.
5
函数的fourier级数展开
函数的fourier级数展开Fourier级数展开是应用数学中一种非常重要的展开形式，它可以将任意周期函数表示为由正弦和余弦函数组成的无穷级数的和。
其基本的数学原理是利用Fourier定理，将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数的线性组合，这样就可以将任意复杂的函数表示为一个简单的函数的和。
（1）Fourier级数展开的概念Fourier级数展开是在函数分析领域中非常有用的一种展开技术，它可以将一个周期函数表示为无穷多正弦函数和余弦函数的线性组合。
其基本原理就是根据Fourier定理，将一个周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。
由Fourier定理可以推出正弦函数和余弦函数构成级数的系数，并且当正弦函数和余弦函数的频率越高时，其系数越小，因此任意复杂的函数可以利用Fourier级数展开的方法表示成一个由简单函数构成的无穷级数的和。
（2）Fourier级数展开的用途Fourier级数展开的用途很广泛，几乎在所有研究中都有用到。
其中最常用到的是数学分析，特别是在解决各类偏微分方程时，通常都会用到Fourier级数展开。
此外，Fourier级数展开也经常用在信号处理的研究中，例如图像压缩、声音和音乐的处理等，都会用到这种技术。
Fourier级数展开也广泛应用于工程科学中，对于对于复杂的物理系统的理解和数值模拟也都需要利用Fourier级数展开技术来进行研究。
（3）Fourier级数展开的特性Fourier级数展开有很多优越的特点，首先它具有良好的精度。
在计算上，由于Fourier级数展开可以将复杂的函数简化成由简单函数构成的线性组合，因此Fourier级数展开对高精度的计算是非常有用的。
其次，Fourier级数展开可以最大程度地增加函数信息的传递效率。
可以说，Fourier级数展开最主要地优势在于复杂函数的快速精确展开。
（4）Fourier级数展开的方法Fourier级数展开的方法非常的多，大致可以分为几种类型。
第三次课、Fourier级数的性质
的完备序列，如果对任意 f L ([ , ]), 0， 存在
n
的有限线性组合
c
n n 1
k
n
使得
c
n n 1
k
n
f .
定义3.3 如果
n
是 L ([ , ]) 中的完备序列，
2
而且其中的元素两两正交，则称 L ([ , ]) 的正交基。
则 f ( x) 是周期为 2 的连续函数（读者自己证
明），而且在 f ( x) 的连续点处 F ( x) 是可导的。
对于 f ( x) 的第一类间断点 x0 有
F ( x0 ) lim
' x 0
F ( x0 x) F ( x0 ) x
x0 a0 a0 1 x0 x lim f (t ) dt f (t ) 2 dt x 0 x 2
dt
n 1
x
( an cos nt bn sin nt )dt.
说明 该定理的一般性证明已经超出了本课程的范 围，下面只对一种特殊情形进行证明。
我们假设 f ( x) 只有有限个第一类间断点，并考 虑函数 F ( x)
x
a0 f (t ) 2 dt ,
2
3
4
k 1
(1) n
2
cos nx.
2.逐项求导定理
且 f '( x) 在 [- , ] 上可积或绝对可积， f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx),
n 1
定理3.2 设 f ( x) 在 [ , ] 上除了有限个点外可导，
Fourier级数的收敛条件
Keywords:Fourier series；Dirichlet integral；Dini conditions；Jordan conditions
1 引言
1.1 Fourier级数的诞生
人们普遍认识的简单函数主要有两类：幂函数和三角函数。早在18世纪初期，英国伟大的数学家Taylor就发现了可以用幂函数的线性组合来表示一般函数 ，也就是我们现在所说的利用Taylor展开将函数化为幂级数形式： 。然而，一般函数 的Taylor展开在实际应用中会受到一定的限制，因为我们在实际问题中总会使用Taylor级数的部分和，也就是 的n次Taylor多项式 来近似代替函数 。要做到这点就必须要求函数 有至少n阶导数，但是这个条件对于实际问题过于严苛，为此人们有必要寻找对于函数的新的级数展开方法。
1.1 Fourier级数的起源……………………………………………………………………1
1.2 收敛性的发展 ……………………………………………………………………2
2 Fourier级数的收敛性 ………………………………………………………………2
2.1 理论背景 ……………………………………………………………………2
4.4 Fourier级数的平方收敛性质………………………………………………………10
4.5 Fourier级数的应用…………………………………………………………………11
5 结语……………………………………………………………………………………12
主要参考文献…………………………………………………………………………………12
入学时间： 2015 年 9 月
导师姓名： 黄华鹰 职称/学位： 副教授
第十六部分傅里叶Fourier级数教学-精品
对可积. 如果f(x)为奇函数,则
an
0,n0,
2
bn0 f(x)sin nx,n dx1
此时, f (x)的Fourier级数称为正弦级数,即
f (x) ~ bn sinnx
n1
2020/2/24
5. 正弦级数和余弦级数
如果f(x)为偶函数,则
an 20 f(x)consx,n dx 0,bn 0,n1
2020/2/24
2. 基本三角函数系
定义1 设平方可积函数f(x)和g(x)定义
于区间[a,
b]上.
称数(f,g) bf(x)g(x)dx a
为函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上的内积.
若 (f,g)0, 则称函数f(x)和g(x20/2/24
2. 基本三角函数系
此时, f (x)的Fourier级数称为余弦级数,即
f
(x)
~a0 2
an
n1
cosnx
2020/2/24
例3 将下列函数展成 Fourier 级数
1 )f(x)x,x ( ,];
2 )f(x ) sg x ,x n( ,];
3)f(x)x,x[,];
4)f(x)x2,x [,]
{2 1 ,cx o ,s s x i,c n 2 o x ,s s 2 ix ,n ,c n o,s x s n i,n x }
是区间 [,]上的标准正交函数系.
2020/2/24
3. 正交级数展开
假设{gn (x)}是区间[a, b]上的正交函数系. 如果 f (x)定义于区间 [a, b]上, 能否找到 系数 cn,n0,1,2,使得
n0,1,2,
Fourier级数
x
16
( cos n 1) 2 0 n
2
4 ( 2 k 1) 2
, n 2k 1
,
n 2k ( k 1 , 2 , )
f ( x) sin nx d x
1
2
1
cos x
cos 3 x 2 cos 5 x 3 5
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0
3
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
o
x
将 f (x) 展成Fourier级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x) d x x d x 2 2
an
1
f ( x) cos nxdx
x cos nx d x
y n 1
an
1
(n )
6. Bailey-Borwein-Plouffe算法（BBP，1995）
Fabrice Bellard（ 1997年）
20
3. 正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的Fourier级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的Fourier系数为
f ( x) d x
1
ak
cos 2 k x d x
Fourier级数的收敛性和计算方法
Fourier级数的收敛性和计算方法傅里叶级数是一种用于描述周期性函数的函数级数，它由一组基函数构成，这些基函数是余弦函数和正弦函数。
傅里叶级数可以用来表达任何周期性函数，无论它的形态如何，而且可以对这些函数进行分析和处理。
在这篇文章中，我们将探讨傅里叶级数的收敛性和计算方法。
一、傅里叶级数的定义傅里叶级数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omegax)+b_n\sin(n\omega x)]$其中，$f(x)$是一个周期为$T$的函数，$\omega=\frac{2\pi}{T}$是角频率，$a_0$、$a_n$和$b_n$是常数，称为傅里叶系数。
$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值，$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的振幅。
二、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数是否收敛是一个重要的问题。
如果它收敛，那么我们可以用级数来逼近原函数；但如果它不收敛，那么级数就不能用来逼近原函数，我们需要采用其他方法。
我们知道，一个函数的收敛性可以通过其四个部分来评估，即其绝对值函数、相邻两个极差之和、偏导数的和以及傅里叶系数的和。
如果这几个部分都可以收敛，那么函数就是可积的，其傅里叶级数也是收敛的。
傅里叶级数收敛的一个重要性质是，如果$f(x)$是$L^2$函数，那么其傅里叶级数就一定收敛。
这是因为$L^2$函数的傅里叶系数是有界的，而且其级数收敛于$L^2$空间中的$f(x)$。
因此，$L^2$函数的傅里叶级数对于绝大多数函数而言都是收敛的。
三、傅里叶级数的计算方法在计算傅里叶级数时，我们通常需要计算它的各个傅里叶系数。
这是一项相对简单但繁琐的工作，需要计算许多积分和三角函数。
下面介绍一些常见的计算方法：1.奇偶拓展法如果$f(x)$是一个偶函数，那么它可以表示为一个余弦级数，其$b_n$都为0。
数学公式知识：微积分中的Fourier级数展开及其应用
数学公式知识：微积分中的Fourier级数展开及其应用Fourier级数展开在微积分中是一个非常重要的概念，它可以通过将任何周期函数分解为无限个正弦或余弦函数之和，从而使得对周期函数的分析更加容易。
本文将介绍Fourier级数展开的原理、计算方法及其应用。
1. Fourier级数展开的原理Fourier级数展开的基本思想是将任何周期为T的函数f(x)表示为以下无限级数的形式：f(x) = a0 + ∑(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中ω=2π/T，而a0、an和bn均为待定系数。
在该级数中，a0是函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn分别表示正余弦函数的振幅。
为了得到a0、an和bn的具体值，我们需要利用如下公式：a0 = (1/T)*∫(0->T) f(x)dxan = (2/T)*∫(0->T) f(x)cos(nωx)dxbn = (2/T)*∫(0->T) f(x)sin(nωx)dx2. Fourier级数展开的计算方法对于一个给定的周期函数f(x)，我们可以通过计算其a0、an和bn来得到其Fourier级数展开式。
具体方法如下：（1）计算a0：根据上述公式，将f(x)在一个周期内的积分求出，并除以周期长度T即可得到a0的值。
（2）计算an和bn：同样根据上述公式，可以将f(x)乘以cos(nωx)和sin(nωx)分别后再在一个周期内积分，并除以周期长度T即可得到an和bn的值。
（3）代入Fourier级数展开式：将所求的a0、an和bn代入Fourier级数展开式中，即可得到f(x)的Fourier级数展开式。
需要注意的是，由于Fourier级数展开式是无限级数，因此可以用其前几项来逼近一个给定的周期函数f(x)，但要得到较为准确的结果，需要计算更多的项。
3. Fourier级数展开的应用Fourier级数展开在微积分中的应用非常广泛，以下简要介绍几个具体的应用：（1）信号处理：将一个信号用Fourier级数展开式表示后，可以根据需要选择一定的频率范围，从而实现信号的滤波、去噪等处理。
fourier函数 -回复
fourier函数-回复Fourier函数的基本原理和应用中括号内的内容为主题，我们将探讨Fourier函数，这是一种在信号处理、图像处理和数学分析中广泛应用的函数。
我们将逐步回答以下问题，帮助读者初步了解Fourier函数的基本原理和应用：1. Fourier函数的定义和特性Fourier函数是以法国数学家Jean-Baptiste Joseph Fourier的名字命名的，他发现了这个函数的奇妙特性。
在数学中，Fourier函数是指一组完备的正交函数集合。
对于一个连续函数f(t)，它可以通过Fourier变换分解为一系列正弦和余弦函数的叠加形式，即：f(t) = ∑(A_n * cos(nωt) + B_n * sin(nωt))其中，A_n和B_n是系数，n是正整数，ω是角频率。
这个分解过程被称为Fourier级数展开。
2. Fourier级数展开的原理和推导过程Fourier级数展开的原理是基于奇函数和偶函数的性质。
任何连续函数f(t)都可以表示为奇函数和偶函数的和：f(t) = f_odd(t) + f_even(t)其中，f_odd(t)是f(t)的奇部分，此部分满足f_odd(-t) = -f_odd(t)；f_even(t)是f(t)的偶部分，此部分满足f_even(-t) = f_even(t)。
通过数学推导，我们可以得到奇函数和偶函数的Fourier级数展开：f_odd(t) = ∑(B_n * sin(nωt))f_even(t) = ∑(A_n * cos(nωt))将奇函数和偶函数的展开式相加，即可得到原函数f(t)的Fourier级数展开。
3. Fourier函数的应用Fourier函数在信号处理、图像处理和数学分析等领域有广泛的应用，下面我们介绍一些常见的应用场景：- 信号分析：通过Fourier变换，可以将时域上的信号转换为频域上的频谱，从而更好地分析信号的频率特性。
Fourier级数与Fourier变换的概念及应用
Fourier级数与Fourier变换的概念及应用Fourier级数与Fourier变换是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。
本文将为大家详细介绍这两个概念的含义、性质以及应用。
一、Fourier级数Fourier级数是一种将周期函数用三角函数的和表示的方法。
它的基本思想是，将任意一个周期为T的函数f(x)展开成如下的三角级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，T = 2π/ω是函数f(x)的周期；an和bn是函数f(x)的各阶余弦和正弦系数；a0是函数f(x)在一个周期内的平均值。
这个级数称为Fourier级数，其中n为奇数或偶数正整数。
其中，an和bn系数可以由如下公式计算：an = (2/T) ∫f(x)cos(nωt)dxbn = (2/T) ∫f(x)sin(nωt)dx其中∫表示积分。
这个公式被称为Fourier系数公式。
Fourier级数是一种十分常见的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、声学等领域。
例如，我们可以用Fourier级数分析音乐，找出其中的各个音调和音高。
此外，Fourier级数也在计算机图形学中被广泛使用，用于图像压缩等方面。
二、Fourier变换Fourier变换是一种将非周期函数分解成各个频率分量的方法。
它的基本思想是，将任意一个函数f(x)在全实数轴上分解成各个频率的复指数的和：F(ω) = ∫f(x) e^-iωxdx其中，F(ω)是函数f(x)的频率域表示。
它表示的是不同频率的分量在该函数中所占的权重，即振幅和相位信息。
如果知道了F(ω)，我们可以通过它还原函数f(x)。
这个过程被称为Fourier逆变换：f(x) = (1/2π) ∫F(ω) e^iωxdωFourier变换在信号处理、图像处理、物理、工程等领域有着非常广泛的应用。
例如，我们可以用Fourier变换分析信号传输中的误差和失真情况，从而优化数据传输的效果。
fourier 定律
fourier 定律Fourier定律是指在物理学和数学中，一种将任意重复的函数分解成一系列简单正弦和余弦函数的方法。
这个定律是由法国数学家傅立叶在19世纪初提出的，被广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
Fourier定律的核心思想是任何一个周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。
这个和的形式可以用复数的指数函数表示。
具体来说，一个周期为T的函数f(t)可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an和bn是系数，n是一个整数，ω是角频率，定义为2π/T。
这个级数中的每一项都是一个正弦或余弦函数，它们的频率是基频频率的整数倍。
Fourier定律的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们经常需要对信号进行分析和处理。
通过对信号进行Fourier变换，可以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解信号的特性和结构。
例如，我们可以通过分析音频信号的频谱，来识别不同的乐器或声音。
在图像处理中，Fourier变换可以用来提取图像的频域特征，并应用于图像压缩、滤波等方面。
除了信号处理领域，Fourier定律在物理学和工程学中也有广泛应用。
在物理学中，我们可以通过Fourier变换来研究波动现象，如声波、光波等。
在电路分析中，Fourier变换可以帮助我们理解电路中的交流信号和频率响应。
Fourier定律的应用不仅限于连续函数，也适用于离散信号。
在离散信号处理中，我们可以使用离散Fourier变换（DFT）来将离散信号转换到频域。
这样，我们就可以对离散信号进行频谱分析和处理。
尽管Fourier定律在信号处理和物理学中有着广泛的应用，但它也有一些局限性。
例如，在处理非周期信号时，Fourier级数无法完全表示信号的特性。
在这种情况下，我们可以使用Fourier变换来处理非周期信号，但需要注意变换后的信号是连续频谱。
总结起来，Fourier定律是一种将周期函数分解成一系列简单正弦和余弦函数的方法。
Fourier级数知识点总结
Fourier级数知识点总结1. Fourier级数的定义Fourier级数是将某个周期为T的函数f(x)表示成一系列正弦和余弦函数的和的方法。
具体表达式如下：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0、an、bn是函数f(x)的系数，ω0是基本频率，n为正整数。
在实际应用中，我们通常使用欧拉公式将正弦和余弦函数用指数函数表示，即：f(x) = a0 + Σ(cn*e^(inω0x))其中，cn是函数f(x)的系数，n为整数。
这样的表达形式更加便于进行分析和计算。
2. Fourier级数的性质Fourier级数具有一系列重要的性质，其中最重要的是其线性性质和正交性质。
线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，它们的Fourier级数可以分别表示成：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))g(x) = c0 + Σ(cn*cos(nω0x) + dn*sin(nω0x))那么，对于任意实数α和β，αf(x) + βg(x)的Fourier级数就是：αf(x) + βg(x) = (αa0 + βc0) + Σ(αan*cos(nω0x) + αbn*sin(nω0x)) + Σ(αcn*cos(nω0x) +αdn*sin(nω0x))这个性质使得Fourier级数在表示线性系统的瞬态响应、信号处理、图像处理等方面具有重要作用。
正交性质：对于周期为T的函数f(x)，其对应的Fourier级数可以表示成：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))那么，对于不同的正整数m和n，有如下关系成立：∫[0, T]cos(mω0x)cos(nω0x)dx = {0, (m ≠ n), T/2, (m = n)}∫[0, T]sin(mω0x)sin(nω0x)dx = {0, (m ≠ n), T/2, (m = n)}∫[0, T]cos(mω0x)sin(nω0x)dx = 0这个性质使得我们可以很方便地计算Fourier系数，也为Fourier级数的收敛性提供了理论基础。
考研高数总复习Fourier变换性质(讲解)
F1
2E
e
j
2
sin
2
2E sin
且 F F1
2
.
F1
E
2π
4π
6π
三、微分性质
上连续或只有 如果f t 满足： 在 ，
有限个可去间断点, 且当 t 时, f t 0 则
1
j0t
（
）
它表明频谱函数 F
沿 轴向左或向右位移
j t0
0的 Fourier 逆变换等于原来的函数（ f t）乘以 e
.
E，0 t 求矩形单脉冲 f (t ) 的频谱函数. 0，其他
根据Fourier变换的定义，有
F
f (t )e
2
Parseval等式
六、能量积分
证明： 由乘积定理，有
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
1 F1 ( )F2 ( )d 2π
六、能量积分
令 f1 (t ) f 2 (t ) f (t )，则
1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π 1 f1 ( t ) f 2 ( t )dt F1 ( )F2 ( )d 2π
其中 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及 F2 ( ) 是 f1 ( t ), f 2 ( t ), F1 ( )及F2 ( )的共 轭函数.
它表明时间函数 f t
fourier级数收敛定理
fourier级数收敛定理
Fourier级数收敛定理主要有：
1. 狄利克雷收敛定理：
如果函数f(x)在(-π,π)上满足：
(1)具有连续性或者只有有限个第一类间断点;
(2)有限个最大值和最小值;
(3)在区间端点处具有有限边界值;
则其Fourier级数在函数连续点收敛于该点上的函数值，在间断点收敛于该点的平均值。
2. 黎曼-莱贝格收敛定理：
如果函数f(x)在(-π,π)上满足狄利克雷条件，并且满足黎曼积分条件：
则其Fourier级数在(-π,π)上处处收敛于f(x)。
3. 舍尔定理：
如果f(x)在(-π,π)上可积，且满足黎曼积分条件和狄利克雷条件，则其Fourier级数收敛速度为O(1/n),n为倒数项的序数。
这三个定理概括了Fourier级数的收敛情况。
Fourier级数一致收敛性的几个证明
两个定理, 并给予充分的证明。
定义 1: 若 f ( x) 的导函数 f c( x ) 在[- P, P] 上 连续, 则称 f ( x) 在[- P, P] 上光滑[ 1] 。
定理 1: 设 f ( x) 为[ - P, P] 上的 光滑函数,
f (- P) = f ( P) , 则 f ( x) 的 F our ier 级数[ - P, P] 上
Sn[ f ( x) ] 为 f ( x) 的 Fourier 级数前 n 项和, 则易知
[-
P,
P] 上每一点 x 处有 lim[ f ( x) ny ]
Sn[ f ( x) ] ] =
0, 因此 f ( x) 的 Fourier 级数[- P, P] 上一致收敛于
f ( x) , 定理 1 证毕。
一致收敛于 f ( x) 。
证明: 由 f ( x) 在[ - P, P] 上光滑, 则 f ( x ) 的
Fourier 级数存在, 记为
E f ( x) ~
a0 2
+
]
( ak cos kx +
k= 1
bk sin kx )
Q 其中ak =
1 P
P
f ( x) cos kx dx ( k =
数学《Fourier级数》讲义
第十五章 Fourier 级数1 Fourier 级数上一章讨论的幂级数实质上是一种“解析”函数(即其存在任意阶导数), 这种函数类组成了一个无穷维线性空间, 21,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 是它的一个线性无关的 无穷子集, 而幂级数就是这个集元素的线性组合, 但是这种函数太少(条件太强), 下面我们讨论的是种更广泛的函数项级数,它是由三角函数列所产生的三角级数.一、三角级数1、背景与三角级数形式在某些实验和应用中，常碰到一类周期运动，简谐振动，它可用正弦函数 sin()y A x ωϕ=+表示，A —振幅，ϕ—初相角，ω—角频率，周期T απω= 较复杂的周期运动则是由几个简谐振动叠加sin()k k k y A k x ωϕ=+ 1,2,k n =⋅⋅⋅11sin()n nk k k k k y y A k x ωϕ====+∑∑易见, k y 的周期为T k，1,2,k n =⋅⋅⋅，y 的周期仍为T , 对无穷多个简谐振动叠加就 可得到函数项级数01sin()n n n A A n x ωϕ∞=++∑ (1)若上述级数收敛, 则它所描述的运动是更一般的周期运动. 下面仅对1ω= 讨论, 由于sin()sin cos cos sin n n n nx nx nx ϕϕϕ+=+,01sin()n n n A A nx ϕ∞=++∑01(sin cos cos sin )n n n n n A A nx A nx ϕϕ∞==++∑ 记002a A = sin n n n A a ϕ= cos n n n Ab ϕ= 1,2,n =⋅⋅⋅ 故级数(1)可写成01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ (2) 它是由三角函数列1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,cos ,sin x x x x nx nx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅所产生的一般形式的三角级数. 易见, 若级数(2)收敛, 则其和函数一定是以2π为周期的周期函数.我们下面主要讨论两个问题:1) 什么样的函数可用三角级数表示?2) 如果可表示, 系数0,,n n a a b 如何确定?2、 三角级数的收敛性定理1 若级数01||(||||)2n n n a a b ∞=++∑收敛，则级数(2)在整个R 上绝对且一致收敛.二、三角函数正交系统1、内积与正交如3R 中， 123(,,)x x x x =， 123(,,)y y y y =，112233,x y x y x y x y =++， ,0x y x y ⊥⇔=区间[,]a b 上所有Riemann 可积函数按通常的加法与数乘运算构成线性空间, 记作[,]R a b ，定义[,]R a b 中的内积为,()()ba f g f x g x dx 〈〉=⎰，,[,]f g R ab ∈ 若函数,f g 满足,0f g 〈〉=，则称,f g 在[,]a b 上正交, 简称f 与g 正交.2、正交函数系若函数列{}[,]n f R a b ⊂, 0, ,,,0, .i j i j f f i j ≠⎧〈〉=⎨≠=⎩ 则称{}n f 为[,]R a b 中的正交系. 进一步, 如果还有,1i i f f 〈〉=, 1,2i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立, 那么称{}n f 为[,]R a b 中的标准正交系.3、 三角函数正交系三角函数系{1,cos ,sin ,cos 2,sin 2}x x x x ⋅⋅⋅为区间[,]ππ-上的正交系, 事实上1,cos cos 0kx kxdx ππ-==⎰; 1,sin sin 0kx kxdx ππ-==⎰; sin ,cos sin cos 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ ,1,2k h =⋅⋅⋅对,1,2k h =⋅⋅⋅且k h ≠有sin ,sin sin sin 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ cos ,cos cos cos 0kx hx kx hxdx ππ-==⎰ 1([cos()cos()])2k h x k h x dx ππ-=++-⎰ 同时 1,12π=，22sin cos kxdx kxdx πππππ--==⎰⎰.但上述系统不是标准正交系, 而,,}x x nx nx ⋅⋅⋅ 为一标准正交系.三、以2π为周期的函数的Fourier 级数1、三角级数的系数与其和函数的关系定理 2 若在整个R 上, 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，且等式右边级数 一致收敛，则有如下关系式成立:1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅》2、 F ourier 系数与Fourier 级数设函数f 在[,]ππ-上可积且以2π为周期，称公式1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅为Euler Fourier -公式，并称由此得到的,n n a b 为f 的Fourier 系数，同时称以Fourier 系数,n n a b 为系数的三角级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 为函数f 的Fourier 级数，记为01()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 记号“~”表示上式右边是左边函数的Fourier 级数.由定理2知, 若右边三角级数在R 上一致收敛于和函数f , 则此三角级数就是f 的Fourier 级数，此时“~” 应该就是“=”，但从f 本身出发由Euler Fourier -公式得到f 的Fourier 系数及Fourier 级数是否就是f ?注 由积分值唯一，f 只能有一种形式的Fourier 级数，而同一Fourier 级数可以 表示不同的函数，也就是说g f ≠，但g 与f 可能有完全相同的Fourier 级数.下面我们需要讨论f 的Fourier 级数是否收敛? 若收敛, 又收敛于什么函数? 其与f 又有什么关系? 这就是收敛性问题.四、收敛定理1、按段光滑函数若f 的导函数f '在[,]a b 上连续，则称f 为[,]a b 上光滑函数; 若f 在[,]a b 上至多有有限个第一类间断点, 且f '在[,]a b 上仅有有限个点不连续且为第一类间断点, 则称f 在[,]a b 上按段光滑.若f 在[,]a b 上按段光滑, 则1) f 在[,]a b 上可积;2) [,]x a b ∀∈, (0)f x ±存在, 且0()(0)lim (0)t f x t f x f x t+→+-+'=+ 0()(0)lim (0)t f x t f x f x t -→+--'=- 3) f '在[,]a b 上可积.2、收敛定理定理 3 设函数f 是以2π为周期的周期函数, 且在[,]ππ-上按段光滑, 则 [,]x ππ∀∈-，f 的Fourier 级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 收敛于f 在点x 处的左右极限的算术平均值，即(0)(0)2f x f x ++-=01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑， 其中,n n a b 为函数f 的Fourier 系数.推论 若f 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按段光滑，则f 的Fourier 级数在R 上收敛于f .3、 函数的周期延拓在讨论函数的Fourier 展式时，常常只给出函数f 在(,]ππ-(或[,)ππ-)上的解析表达式，此时我们可以理解为它是定义在整个数轴上以2π为周期的函数，即在(,]ππ-以外的部分可按f 在(,]ππ-上的关系式作周期延拓，即作(), (,], ˆ()(2), ((21),(21)],f x x f x f x k x k k πππππ∈-⎧=⎨-∈-+⎩ 1,2,k =±±⋅⋅⋅.五、一些例子例 1 设, 0,()0,0,x xf xxππ≤≤⎧=⎨-<<⎩求f的Fourier展式.例 2 将函数()||f x x=，[,]xππ∈-展成Fourier级数.注设f是以2π为周期的可积函数.1) 若f为奇函数，则其Fourier级数中仅含正弦函数sin的项，而若f为偶函数，其Fourier级数仅含常数及余弦函数cos的项,2)1()cosna f x nxdxπππ-=⎰21()cosccf x nxdxππ+=⎰0,1,2n=⋅⋅⋅1()sinnb f x nxdxπππ-=⎰21()sinccf x nxdxππ+=⎰1,2n=⋅⋅⋅例 3 将函数22, 0,()0, ,, 2,x x f x x x x ππππ⎧<<⎪==⎨⎪-<≤⎩展成Fourier 级数.例 4 设函数f 满足：()()f x f x π+=-，问此函数在(,)ππ-内的Fourier 级数 具有什么性质.六、Fourier 级数的一致收敛性定理 4 设函数f 在[,]ππ-上连续，以2π为周期，且其导函数可积，则f 的Fourier 级数一致收敛于f .推论 若f 在[,]ππ-上可积，以2π为周期，则f 的Fourier 级数总可逐项积分，且所得到的级数一致收敛 (不论f 的Fourier 级数是否收敛). 例 5 将展开式11sin 2(1)n n nx x n∞+==-∑ ()x ππ-<<逐项积分.2 以2l 为周期的函数展开式一、以2l 为周期的函数的Fourier 级数上一节讨论的函数f 是以2π为周期的或者是定义在(,]ππ-上, 作以2π为周期的周期延拓函数, 本节主要讨论以2l 为周期的函数的Fourier 展式以及奇偶函数的Fourier 展开式.设函数()f x 以2l 为周期,在[,]l l -上可积,作代换l x t π=, 则函数()()lt F t f π=以2π为周期, 在[,]ππ-上可积(l x t π=为线性函数,可通过可积充要条件证明).函数()F t 的Fourier 系数为 1()cos n a F t ntdt πππ-=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅ 1()sin n b F t ntdt πππ-=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅ 01()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑ (还原成自变量x ) 注意到()()()l F t f t f x π==，t x lπ=, 则 01()()cos sin 2n n n a n n f x F t a x b x l l ππ∞==++∑ 其中 1()cos n a F t ntdt πππ-=⎰1()cos l l n f x xdx l lπ-=⎰， 0,1,2n =⋅⋅⋅ 1()sin n b F t ntdt πππ-=⎰1()sin l l n f x xdx l l π-=⎰， 1,2n =⋅⋅⋅ 若()f x 在[,]l l -上按段光滑，则f 可展成Fourier 级数, 且由收敛性定理知(0)(0)2f x f x ++-=01cos sin 2n n n a n n a x b x l l ππ∞=++∑ 注 可以验证三角函数系22{1,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin }n n x x x x x x l l l l l lππππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 是[,]l l -上的正交函数系.例 1 将函数0, 50, ()3, 05x f x x -<<⎧=⎨≤<⎩展成Fourier 级数.注2 我们可将任一有限区间上定义的按段光滑函数展成Fourier 级数 (可首先 进行周期延拓) 此条件比幂级数展开条件弱得多.二、正弦级数与余弦级数1、正弦级数与余弦级数设f 是以2l 为周期的偶函数或是定义在[,]l l -上的偶函数，则在[,]l l -上，()cos n f x x l π为偶函数，()sin n f x x lπ为奇函数，因而f 的Fourier 系数为 02()cos l n n a f x xdx l lπ=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅ 0n b = 1,2n =⋅⋅⋅因而f 的Fourier 级数仅有余弦函数的项，即01()~cos 2n n a n f x a x lπ∞=+∑ 此级数称为余弦级数. 类似地, 若f 为[,]l l -上的奇函数(以2l 为周期), 则可得1()~sinn n n f x b x lπ∞=∑ 其中 02()sin l n n b f x xdx l lπ=⎰，1,2n =⋅⋅⋅ 称之为正弦级数.例 2 将()|sin |f x x =，x ππ-≤<, 展成余弦级数.2、奇展开与偶展开若f 仅在[0,]π([0,]l )上定义, 此时我们可将f 偶延拓(或奇延拓)到[,]ππ- (或[,]l l -)上，然后再根据前面的方法求其余(正)弦级数 例3 将()sin f x x =，[0,]x π∈分别展成正余弦级数. .例 4 将[0,]π上的函数 1 0 1() 20x h f x x h h x π<<⎧⎪⎪==⎨⎪<≤⎪⎩(0)h π<<展成正弦级数.例 5 将()f x x =在(0,2)内展成 1) 余弦级数; 2) 正弦级数; 3) 一般级数.注 同一函数在同一区间上可用正弦级数、余弦级数与一般级数分别表示.例 6 将2()f x x =(0)x π<<分别展成正弦和余弦级数.例 7 如何将定义在[0,]2π上的可积函数f 延拓到(,)ππ-上，使得其Fourier 级数剧院形式211cos(21)n n a n x ∞-=-∑小 结1、将[,]a b 上可积函数f 展为Fourier 级数最基本方法是 i) 按系数公式计算系数1()cos b n a n a f x xdx l l π=⎰ 0,1,2n =⋅⋅⋅1()sin b n a n b f x xdx l lπ=⎰ 1,2n =⋅⋅⋅ 其中2b al -=; ii) 将系数代入级数 01()~cossin 2n n n a n n f x a x b x l lππ∞=++∑; iii) 根据收敛性定理判定可改为等号的范围. 若f 在[,]a b 上分段光滑，则其Fourier 级数的和函数为() (,)(0)(0) (,) 2()(0)(0) 2f x f x a b f x f x x a b f S x f a f b x a b ∈⎧⎪++-⎪∈⎪=⎨++-⎪=⎪⎪⎩的连续点为的间断点或 呈周期状 其它 特别地，若f 为[,]l l -上的奇函数，则0n a =, 0,1,2n =⋅⋅⋅; 若f 为[,]l l -上的偶函数，则0n b =，1,2n =⋅⋅⋅; 若f 仅在[0,]l 上有定义, 则可将f 作奇偶延拓, 得到相应的正弦或余弦级数.注 可积函数在指定区间上的Fourier 展式是唯一的，而三角级数是无限多 (其系数不要求是此区间上的Fourier 系数).2、由Fourier 级数的定义和积分性质知Fourier 级数具有可加性.3、由Fourier 级数的定义及正余弦函数的正交性，三角多项式01cos sin 2nk k k a a kx b kx =++∑ 在[,]ππ-上的Fourier 级数就是其本身. 4、若f 在[,]ππ-上可积，则f 有Fourier 级数01()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑则不论此级数是否收敛(或收敛,也不论是否收敛于f ), 都可以逐项积分01()(cos sin )2xx n n n a f t dt a nt b nt dt ∞=-=+∑⎰⎰, [,]x ππ∈-.并且上式就是0()()2xa x f t dt ϕ=-⎰在[,]ππ-上的Fourier 展式. 5、若f 在[,]ππ-上连续, 按段光滑, ()()f f ππ=-，则01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑. [,]x ππ∈-.而逐项求导之后，可得到f '的Fourier 级数()~(cos sin )n n n f x a nx b nx ∞=''+∑若f '仍分段光滑，则f '的Fourier 级数收敛于(0)(0)2f x f x ''++-，(,)x ππ∈-.若f '还是连续的，则1()(cos sin )n n n f x a nx b nx ∞=''=+∑ (,)x ππ∈-.3* 收敛定理的证明定理 (收敛定理) 设f 以2π为周期且在[,]ππ-上按段光滑，则在[,]x ππ∈-处，f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 处的左右极限的平均值, 即(0)(0)2f x f x ++-01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞==++∑ 其中,n n a b 为f 的Fourier 系数.预备定理1 (Bessel 不等式) 若f 在[,]ππ-上可积，则2222011()2n n n a a b f x dx πππ∞-=++≤∑⎰.推论1 (Riemann Lebesgue -定理) 若f 为可积函数, 则lim ()cos 0nf x nxdx ππ-=⎰; lim ()sin 0nf x nxdx ππ-=⎰.注 由预备定理1 知220nn a b +→, 进而0,0n n a b →→. 推论2 若f 为可积函数, 则01lim ()sin()02n f x n xdx π+=⎰, 01lim ()sin()02n f x n xdx π-+=⎰.预备定理2 若f 是以2π为周期的函数, 在[,]ππ-上可积, 则其Fourier 级数的 部分和()n S x 写成1sin()12()()2sin2n n tS x f x t dt t πππ-+=+⎰当0t =时，被积函数中的不定式由极限01sin()12lim22sin2t n tn t →+=+确定.例 1 直接证明Riemann Lebesgue -定理. 若f 在[,]a b 上可积，则lim ()sin lim ()cos 0b baaf x xdx f x xdx λλλλ→∞→∞==⎰⎰.例2 证明：若,f g 在[,]ππ-上可积，且它们的Fourier 级数在[,]ππ-上分别 一致收敛于f 和g ，则0111()()2n n n n n a f x g x dx a b ππααβπ∞-==++∑⎰，其中,n n a b 为f 的Fourier 系数，,n n αβ为g 的Fourier 系数.注 若g f =, 则有若f 的Fourier 级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则Parseval 等式成立2222011()2n n n a f x dx a b πππ∞-==++∑⎰(Bessel 不等式中等号成立)例 3 证明：若三角级数01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数,n n a b 满足33sup{||,||}n n nn a n b M ≤,则上述三角级数收敛且其和函数具有连续导数.例 4 设周期为2π的可积函数(),()x x ϕψ满足()()x x ϕψ=-，则,ϕψ的Fourier 系数,,,n n n n a b αβ有何关系?例5 设()f x 是以2π为周期的可积函数，在[,]ππ-上的Fourier 级数为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑证明：平移后的函数()f x h +的Fourier 级数为01()~cos sin 2n n n a f x h nx nx αβ∞=+++∑其中 cos sin n n n a nh b nh α=+，0,1,2n =⋅⋅⋅cos sin n n n b nh a nh β=-，1,2n =⋅⋅⋅例 6 将下列函数展为Fourier 级数. 1. ()x f x e = x ππ-≤<;2. 0() 0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩.例 7 将下列函数展为指定的Fourier 级数. 1) ()2xf x π-=，[0,]x π∈ 正弦级数;2) ()f x x =，0x l ≤≤ 别展为正弦余弦级数.例 8 证明：在[0,]π上, 2221cos 1(362)12n nx x x n ππ∞==-+∑.。
Fourier级数
函数。利用函数 g 的 Fourier 级数，我们可以推出函数 f 的 Fourier 级数为
f (x)
=
a0 2
+
∑ ∞ [ an
() nπx
cos l
+
bn
( )] nπx
sin l
，
n=1
(1.10)
其中 an
=
1 l
∫l
−l
f
(x)
cos(nπx/l)
dx，bn
=
1 l
∫l
−l
f
(x)
sin(nπx/l)
N →∞
N →∞
N →∞
n=0
n=0
n=0
此级数（或部分和 SN f ）在 L2(−π, π) 中收敛到 f 。 由于
einx + e−inx
ϕ2n−1 = cos(nx) =
, 2
einx − e−inx
ϕ2n = sin(nx) =
， 2i
1 如果我们定义复值函数 ψn(x) = √
einx，n ∈ Z，则容易验证
定理 1.1 如果 f ∈ Cper[−π, π], 则 ∥AN f ∥C ≤ ∥f ∥C 且 AN f 在 Cper[−π, π] 中收敛到 f ： lim ∥AN f − f ∥C = 0 。
N →∞
证明： 由于 f 在区间 [−π, π] 一致连续，所以存在 δ > 0 使得当 |t| ≤ δ 时 sup |f (x + t) − f (x)| < ϵ/2，
练习 4.1： 假设 f 是以 2π 为周期的函数，试推导
1 ∫ π sin[(N + 1/2)t]
(完整版)15.3收敛定理的证明
2
2
sin
t 2
[ f ( x t) f ( x 0)]
t 2
,t 0,
t
sin
t 2
首页
上页
下页
返回
结束
(12)
21
铃
Mathematical Analysis
绵阳师范学院
由§1(13)式得
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0)
t 0
再令(0) f ( x 0)，则函数 在点t 0右连续,因
3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue定2理的形
,
式,
即令
t
(t)
f
(x
t) t
f
(x
0) 2 sin
t
,
2
t (0 , ]
7
首页
上页
下页
返回
结束
铃
Mathematical Analysis
绵阳师范学院
则
1
lim
n
0
f ( x 0) f ( x t)
sin 2n 1t
f ( x 0) f ( x 0) 2
f ( x 0) f ( x 0) 2
Sn(x 1
) f
(
x
t
)
sin 2n 2
2sin t
1
t
dt
2
3
首页
上页
下页
返回
结束
铃
Mathematical Analysis
绵阳师范学院
f ( x 0) 1
2
0
sin 2n 1t
f (x t)
首页
上页
153Fourier级数的性质及收敛定理的证明
定理 若以 2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
lim
sin
n
1 2
t
n
1
t0 2sin t
2
来确定.
2
9
证 在傅里叶级数部分和
Sn( x)
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
中, 用傅里叶系数公式代入, 可得
Sn(x)
1 2π
π π
f
(u)du
1 π
n k 1
π
f (u)cos kudu cos kx
π
π
π
π F1( x) sin nxdx 0 F2( x) cos nxdx, (7)
7
其中
F1( x)
f
( x)cos
x 2
,0
x
π
,
0
,π x 0,
F2
(
x)
f
(
x)
sin
x 2
,
0
xπ
,
0 ,π x 0.
显见F1与 F2和 f 一样在 [π, π]上可积.由推论1,(7) 式右端两项积分的极限在 n 时都等于零. 所以
π π
f (u)sin kudu
sin
kx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
现在证明 (收敛定理).重新叙述如下:
定理 若以2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
π
π
π F1( x) sin nxdx 0 F2( x) cos nxdx, (7)
7
其中
F1( x)
f
( x)cos
x 2
,0
x
π
,
0
,π x 0,
F2
(
x)
f
(
x)
sin
x 2
,
0
xπ
,
0 ,π x 0.
显见F1与 F2和 f 一样在 [π, π]上可积.由推论1,(7) 式右端两项积分的极限在 n 时都等于零. 所以
13
证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:
lim
n
f
(x
0) 2
f
(x
0)
Sn( x)
0,
即
lim
f
(x
0)
f
(x
0)
1
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n
2
π π
2sin t
2
或证明同时有
14
lim
f
(
x
0)
1
π
f
(x
t)
sin
n
1 2
t
dt
左边的极限为零.
同样可以证明
lim
n
0 π
f
(
x ) sin
n
1 2
xdx
0.
8
定理2 若 f 是以2 π为周期的函数, 且 在 [π, π]
上可积, 则它的傅里叶级数的部分和 Sn( x)可写成
Sn
(x
)=
1 π
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
,
π
2sin t
(8)
2
当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限
收敛定理:
定理 若以 2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
bn2 )
1 π
π f 2 ( x)dx.
π
(Parseval等式)
2
证 令
Sm( x)
a0 2
m
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
π π
[
f
(
x
)
Sm
(x
)]2dx
考察积分
π π
f
2 ( x)dx
2
π π
f
( x)Sm (x)dx
π π
Sm2
(x
)dx.
(2)
由于
π π
f
( x)Sm (x)dx
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
0,
(6)
lim
n
π π
f
(
x
)sin
n
1 2
xdx
0,
证 由于
sin
n
1 2
x
cos
x 2
sin
nx
sin
x 2
cos
nx,
所以
π 0
f
(
x)
sin
n
1 2
xdx
π 0
f
(
x)cos
x 2
sin
nxdx
π 0
f
(
x
)
sin
x 2
cos
nxdx
2
由于上式左边为偶函数, 因此两边乘以 f ( x 0) 后
又得到
f ( x 0) 1
π
f
(x
0)
sin
n
1 2
t
dt .
2
π0
2sin t
2
16
从而(10)式可改写为
lim 1
π
[
f
(x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0)
f
(x
t
)]
sin
n
1 2
t
dt
0.
π n 0
2sin t
(12)
2
令
(t)
f
(x
t) f (x 2sin t
因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n 时, 通项
an2 bn2 0, 亦即有an 0 与 bn 0, 这就是 (5) 式, 这个推论称为Riemann引理.
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π π
f 2( x)dx.
(1)
6
推论2 若 f 为可积函数,则
lim
n
π 0
0)
2
t
f (x t) t
f ( x 0) 2 sin t
,
t (0, π].
2
17
取极限得到
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0).
t 0
再令(0) f ( x 0), 则函数 在点 t 0 右连续.
因为 在 [0, π]上至多只有有限个第一类间断点,
所以 在 [0, π]上可积. 根据定理1和推论2,
而
1 π
π [ f ( x)]2dx为有限值,
π
所以正项级数
a02 2
(an2
n1
bn2 )
的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立. 5
推论1 若 f 为可积函数, 则
lim
n
π π
f ( x)cos nx dx 0,
π
(5)
lim
n
-π
f ( x)sin nx dx 0,
a0 2
π
f ( x)dx
π
m
π
π
(an
π f ( x)cos nxdx bn
f ( x)sin nxdx),
π
n1
根据Fourier系数公式可得
π π
f
( x)Sm (x)dx
π 2
a02
m
π (an2
n1
bn2 ).
(3) 3
根据Fourier系数公式可得
π π
f
( x)Sm (x)dx
nxdx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
(4)
4
将(3), (4)代入(2)，可得
0
π
[
π
f
(
x
)
Sm
(x)]2dx
π π
f
2( x)dx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
因而
a02 2
m
(an2
n1
bn2 )
1 π
π [ f ( x)]2dx,
π
它对任何正整数m成立.
0.
这就证得 (12)式成立, 从而(10)式成立.
用同样方法可证 (11) 也成立.
19
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π
(t
0
)sin
n
1 2
tdt
0.
18
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π 0
(t
)
sin
n
1 2
tdt
1
1.5.3 Fourier级数的性质
定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在
[π, π] 上可积, 则
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π f 2( x)dx.
π
(1)
其中 an , bn为 f 的傅里叶系数. (1)式称为Bessel不等
式.
a02
2
(an2
n1
lim
sin
n
1 2
t
n
1
t0 2sin t
2
来确定.
2
9
证 在傅里叶级数部分和
Sn( x)
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
中, 用傅里叶系数公式代入, 可得