2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用（综合题）

一、解答题（共12题；共110分）

1.（2019•江苏）设函数、 ′为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 ′的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．

2.（2019•浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0

（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间

（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围

3.（2019•天津）设函数，其中.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

4.（2019•天津）设函数为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明

.

5.（2019•全国Ⅲ）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当0

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。

7.（2019•全国Ⅲ）已知曲线C: ，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，

B.

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 8.（2019•卷Ⅱ）已知函数，证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

9.（2019•卷Ⅱ）已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线. 10.（2019•北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.

（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；

（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；

（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.

11.（2019•卷Ⅰ）已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。

（1）证明：f'(x)在区间(0, π)存在唯一零点；

（2）若xϵ[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。

12.（2019•卷Ⅰ）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：

（1）f’(x)在区间(-1, )存在唯一极大值点；

（2）f(x)有且仅有2个零点。

答案解析部分

一、解答题

1.【答案】（1）解：因为，所以．因为，所以，解得

（2）解：因为，

所以，

从而′．令′，得或．

因为，都在集合中，且，

所以．

此时，′．

令′，得或．列表如下：

所以的极小值为

（3）解：因为，所以，′．

因为，所以，

则′有2个不同的零点，设为．

由′，得．

列表如下：

所以的极大值．

解法一：

．因此．

解法二：

因为，所以．

当时，．

令，则′．

令′，得．列表如下：

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此

2.【答案】（1）当时，．

′，

所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ∞）．（2）由，得．

当时，等价于．

令，则．

设，则

．

（i）当∞时，，则

．

记，则

′.

故

所以，．

因此，．

（ii）当时，．

令，则′，

故在上单调递增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得对任意∞，∞，

即对任意∞，均有．

综上所述，所求a的取值范围是．

3.【答案】解：（Ⅰ）解：由已知，的定义域为∞，且

因此当时，，从而′，所以在∞内单调递增. （Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知′.令，由，

可知在∞内单调递减，又，且

.

故在∞内有唯一解，从而′在∞内有唯一解，不妨设为，则.当时，′，所以在内单调递增；当∞时，′，所以在∞内单调递减，因此是

的唯一极值点.

令ℎ，则当时，ℎ′，故ℎ在∞内单调递减，从而当时，ℎℎ，所以.从而

ℎ，

又因为，所以在∞内有唯零点.又在内有唯一零点1，从而，）在∞内恰有两个零点.

（ii）由题意，′

即，从而，即.

因为当时，，又，故，两边取对数，得

，于是

，

整理得.

4.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有′.因此，当

时，有，得′，则单调递减；当时，有，得′，则单调递增.

所以，的单调递增区间为的单调递减区间为

.

（Ⅱ）证明：记ℎ.依题意及（Ⅰ），有，从而

′.当时，′，故

ℎ′′′′.

因此，ℎ在区间上单调递减，进而ℎℎ.

所以，当时，.

（Ⅲ）证明：依题意，，即.记，则，且.

由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，当时，′，所以在上为减函数，因此.又由（Ⅱ）知，

，故

.

所以，