1.5应变协调方程
1.2 应变分量和协调方程
•证 明 —— 应 变 协 调 方 程 是 变 形 连 续 的 必 要 和 充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u x dx, y u x, y u dx
x
u x, y dy u x, y u dy
y
v x dx, y v x, y u dx
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
n n i'j'
ii' jj' ij
• 应变张量
x
ij
1
2
yx
12zx
1
2
xy
y
12zy
1212xyzz
z
11 21 31
12 22 32
13 23 33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
§1.2 应变分量
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
弹性力学-第三章-应变状态
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
1 2
ui,j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
将几何方程
x
u, x
y
v y
,
z
w z
,
中的第 1，2，4 式：
xy
vu, x y
yz
wv, y z
zx
uw z x
作如下求偏导运算：
2 x
y 2
3u xy 2
2 y
x2
3v x2y
2 xy
xy
2 u
yx
y
v x
3u xy 2
3v x 2y
§3.3 应变协调5
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
1.2 应变分量和协调方程
( 2
yz
x )dy
xdz
x
0 x
P0 P
x dx x dy x dz
x
y
z
y
0 y
P0 P
y dx y dy y dz
x
y
z
续的条件是 积分与积分 路径无关
z
0 z
P0 P
z dx z dy z dz
x
y
z
是单值连续的，则问题可证。
根据格林公式
1(xzxy)yz
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连 续的必要和充分条件。
•变形协调方程—— •单连通域位移单值连续的必要和充分条件 •多连通域位移单值连续的必要条件 •充分条件是位移的连续补充条件
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
yzxzxy22u
x y z yz
对x求一阶偏导数，则
(yzx zx)y22x
x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y x2
2 x y2
2 xy xy
2 z 2y
2 y z2
2 yz yz
2 x 2 z 2 xz z2 x2 xz
•应变协调方程 •——圣维南 （Saint Venant）方程
应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场
Inglis的理论 （1913）
A点应力分布：
Inglis C E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Transactions of the institute of naval architects, 1913, 55(219-241): 193-198.
Kirsh的研究 （1898）
The 2-D stress field in a large body under uniform remote tensile load and containing a circular hole is given by (Kirsch, 1898)
r
Kirsh的研究 （1898）
理论推导：一般情况
平面极坐标下的应力分量：
双调和函数：
Kirsch E G. Die Theorie der Elastizit t und die Bed rfnisse der Festigkeitslehre. Zeitshrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, 42: 797-807.
1. 基本假设与研究内容
• 基本假设
– 线弹性 – 小变形 – 均匀性 – 各项同性 – 连续性 – 无处应力（可省略）
• 研究内容：线弹性体的裂缝尖端应力
2. 材料强度与缺陷
为什么材料有强度?
使两个原子分开需要一定的拉应力 克服黏聚力或者翻越能量势垒：
将黏聚力与距离之间的关系简单假设为 满足三角函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
利用叠加原理，边界条件分解：
1.5应变协调方程(精)
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量之间必 须满足一定的条件。
§1.5应变协调方程
六个应变分量必须满足一定的条件
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式 分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加，可得：
2 y
2 x 2 v u 2 xy 2 ( ) 2 x y xy x y xy
§1.5应变协调方程
应变协调方程
• 平衡方程—六个应力分量的三个平衡方程 • 几何方程—6个应变分量与3个位移分量 由六个应变分量求解三个位移分量，其方程 个数多于未知数个数，方程组要么矛盾，要么相 关。由于变形连续，弹性体任意一点的变形必须 受到其相邻单元体变形的约束。 ——应变协调方程—反映应变分量之间的关系
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§1.5应变协调方程
2 y
面 内
2 2 x xy 2 2 x y xy 2
•应变协调方程
•——圣维南方程 Venant）
z 2 2 y z yz
2 y
2 yz
2 x 2 z 2 xz （Saint 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
面 间
§1.5应变协调方程
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，Байду номын сангаас变形 不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新 组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满
应变协调方程的物理意义
应变协调方程的物理意义
在物理学中，应变协调方程是描述物体在受力作用下形变情况的重要方程之一。
它反映了物体内外各点的应变之间的协调关系，以及应变和应力之间的联系。
通过研究应变协调方程，我们可以深入理解物体在外力作用下的形变规律，揭示物体内部微观结构与宏观性能之间的内在联系。
应变是描述物体形变程度的物理量，通常分为线性应变和剪切应变两种。
线性应变是指物体在受力作用下沿受力方向发生的长度变化与原长度之比，而剪切应变则是指物体在受力作用下相对于原来形状的扭曲程度。
应变协调方程正是用来描述这些应变之间的相互关系，从而揭示物体在受力作用下整体形变的规律。
应变协调方程的物理意义在于帮助我们理解物体受力形变的本质。
通过这些方程，我们可以了解物体内部各点的形变情况，预测物体在受力作用下可能发生的变形，进而设计出更加稳定和耐用的结构。
在工程领域，应变协调方程被广泛应用于材料力学、结构设计等领域，为工程师提供了重要的理论指导。
应变协调方程还可以帮助我们研究物体的弹性性能。
通过对应变协调方程的分析，我们可以探讨物体在受力后是否能够恢复到原来的形状，以及恢复的程度如何。
这对于材料的选取、结构设计以及性能评估都具有重要意义。
总的来说，应变协调方程是研究物体受力形变行为的重要工具，其物理意义在于揭示了应变与应力之间的内在联系，帮助我们理解物体在受力作用下的形变规律，为工程实践提供了重要的理论支持。
通过深入研究应变协调方程，我们可以更好地认识物体的力学性能，为实际工程问题的解决提供依据，推动科学技术的发展。
不同应变率对应的应力应变曲线
不同应变率对应的应力应变曲线
以下是根据不同的应变率将材料施加应力后得到的应力应变曲线：
1. 慢应变率：在这种情况下，材料有足够的时间进行自我调整和恢复，所以它通常表现出线性和弹性响应，应力应变曲线接近直线。
2. 中等应变率：随着应变率的增加，材料开始表现出一定的非线性行为，曲线开始弯曲。
这是因为应变率的增加导致材料内部的摩擦和塑性变形增加，从而使得应力应变关系不再是线性的。
3. 快应变率：在非常高的应变率下，材料几乎没有时间进行自我调整和恢复，它表现出高度非线性和塑性行为。
在这种情况下，曲线几乎是水平的，意味着应力几乎不随应变的增加而增加。
此外，根据材料的类型和性质，可能还有其他类型的应力应变曲线。
例如，有些材料在应变率增加时可能表现出更强的刚性和脆性行为。
因此，针对特定的材料类型和测试条件，应采用适当的模型或理论来描述其应力应变关系。
saint-venant应变协调方程
saint-venant应变协调方程1.引言在结构力学中，saint-venant应变协调方程是描述材料在受力作用下的变形和应变分布的重要方程。
本文将重点介绍saint-venant应变协调方程的推导过程、基本概念和应用。
2. saint-venant应变协调方程的推导saint-venant应变协调方程是由法国数学家Adhémar Jean Claude Barre de Saint-Venant于19世纪提出的。
其推导过程主要基于弹性力学的基本原理，即Hooke定律和应变-应力关系。
通过将物体在受力作用下的微小变形建模，并应用数学推导，最终得到了saint-venant应变协调方程。
3. saint-venant应变协调方程的基本概念saint-venant应变协调方程描述了在线弹性条件下物体的应变和位移之间的关系。
该方程适用于轴对称体或平面体在受力作用下的变形情况，可以用来计算物体在外力作用下的应变场分布。
方程的基本形式为Δε=∇u+(∇u)^T，其中ε表示应变张量，u表示位移场，Δ表示拉普拉斯算符，∇表示梯度算符，^T表示转置操作。
4. saint-venant应变协调方程的应用saint-venant应变协调方程在工程应用中具有重要意义。
通过对结构体在受力情况下的应变分布进行分析，可以预测结构体的强度和稳定性，从而指导设计和施工工作。
此外，saint-venant应变协调方程还可以应用于材料力学、地震工程和岩土工程等领域，为工程实践提供理论支持。
5. saint-venant应变协调方程的局限性尽管saint-venant应变协调方程在工程应用中具有广泛的适用性，但其也存在一定的局限性。
首先，该方程建立在线弹性条件下，无法描述非线性和大变形情况。
其次，在某些特定的边界条件下也存在一定的不足，需要结合实际情况进行修正和补充。
6.结论saint-venant应变协调方程作为描述材料变形和应变分布的基本方程，在工程应用中具有重要的意义。
弹性力学基本方程及原理
z 猜应力解：
y
l
Fz g
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
x x
采用应力法及逆解法
解：1）设应力： x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0 满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件
0
2、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：
由于P的分布关系不知，
用等效力系代替：
A
zz
dA
PdA P AA
满足
解2： 解：1）设位移：
2）检查是否满足位移表示的平衡微分方程
(
G)
x
G2u
Fx
0
(
G)
y
G2v
Fy
0
(
G)
z
G2w
Fz
0
3）求应变分量：
由几何方程
满足
x
u x
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
p(1 2 )
泛定方程+定解条件 =定解问题
常见的定解条件 ：
应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场
a,
A
2
a2
C
4a2
1 b2
1 a2
1
,
b
a, C
4
对于第二类边界条件： 引入应力函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
应力分量：
双调和函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
应力函数的解基本形式： 应力分量：
考虑边界条件：
将两类解相加，即可得到无限大板孔洞周边的应力分布
The energy release rate can be calculated from the change in compliance and that the result for the fixed grip approach is exactly the same as that for the constant load method.
应力强度因子的计算校核裂缝和试件尺寸的影响7几种典型受力条件下的k值计算线弹性断裂力学基本假设与研究内容强度与缺陷能量释放率尖端应力应力强度因子k与三种断裂形式i型裂缝的应力位移场应力强度因子的计算校核几种典型应力强度因子叠加原理k与g的关系断裂破坏准则1
1. 基本假设与研究内容
• 基本假设
– 线弹性 – 小变形 – 均匀性 – 各项同性 – 连续性 – 无处应力（可省略）
Kirsh的研究 （1898）
理论推导：一般情况
平面极坐标下的应力分量：
双调和函数：
Kirsch E G. Die Theorie der Elastizit t und die Bed rfnisse der Festigkeitslehre. Zeitshrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, 42: 797-807.
1.2 应变分量与协调方程
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u u x dx, y u x, y dx x u u x, y dy u x, y dy y u v x dx, y v x, y dx x v v x, y dy v x, y dy y
体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求 其位移。 • 解： u 3 2
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
2 2
2 xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
1 u x 2 vx 2 1
正应变
u x
v x dx v tan 1 1 u x dx x
u tan 2 1 v y dy y u y dy
xy
v u 1 2 tan1 tan 2 x y
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
2 应变分量与协调方程
N’点坐标： x+dx+uN, y+dy+vN,z+dz+wN
P' N ' xP ' x N ' y P ' y N ' z P ' z N '
2 2 2
2
u u u dx dx dy dz x y z
刚体位移：物体内部 各点位置变化，但仍 保持初始状态相对位 置不变（无变形）。
M’(x’,y’,z’) M(x,y,z)
x x u u x, y , z
'
变形位移：位移不仅使 得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相 对位置。
z ' z w w x, y , z
2 2 2
2
2
x轴方向正应变
u x x
u v 根据小变形假设， , x x
是微量，故
u v 1 x x
注意一种习惯的表达（记法）
u u u v ux , u y , ux , v y x y x y
x-y面上切应变
xy
v u x y
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y
v y y
w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长是正的正应变（大于零）；
2
2
1 N
2
PN方向余弦为l、m、n， dx=ldr dy=mdr dz=ndr
根据应变协调关系推导受弯构件界限破坏判别式
根据应变协调关系推导受弯构件界限破坏判别式好啦，今天咱们来聊聊一个稍微专业一点的话题，就是受弯构件的界限破坏判别式，听起来有点拗口，但别担心，我会尽量把它讲得轻松点。
想象一下，你在看一根木板，它在承重的时候，随着压力的增加，会发生一些变化。
你是不是觉得，这就像我们生活中经常遇到的压力？没错，压力一大，有些人就“崩”了，有些人却能“屹立不倒”。
所以，受弯构件的表现也是这个道理，理解了这一点，就没那么复杂了。
咱们说的受弯构件，其实就是像梁、板这种构件，它们在承受外力的时候，会发生弯曲。
就像你家里的书架，放上几本重书，架子就开始有点变形。
如果变形过大，就可能断掉，这就是破坏了。
咱们要怎么判断它是否要“扛不住”呢？这里就涉及到应变协调关系。
这听起来很专业，但其实可以简单理解为，构件内部各部分之间的“相处模式”。
你可以想象成一场舞蹈，大家都在这个舞台上，谁都想要表演得好。
一个舞者如果动作不协调，整个舞蹈就会显得乱糟糟的。
受弯构件也是如此，当外力作用下，构件内部各部分的应变不再协调，就像舞蹈队员们走样了，整根梁也就该“出事”了。
应变协调关系就像是这场舞蹈的节拍，只有保持一致，才能舞出美丽的曲线。
如何推导出这个界限破坏判别式呢？咱们得搞清楚构件的几何形状和材料性质。
这就像你要做一道菜，得先准备好食材和配方。
不同的材料，比如钢、混凝土，或者木头，它们的“性格”都不一样。
你不能拿豆腐去做麻辣火锅，那肯定不行。
这个时候，要计算一下，构件在最大荷载下的应变和应力，看看它们是不是都在安全范围内。
咱们就要考虑“极限状态”。
这个概念就像是给构件设置的“红线”。
只要一跨过去，就意味着危险。
为了不让构件超线，我们得制定出一些明确的判别式，帮助我们判断这个“红线”在哪儿。
这就像开车时，遇到红灯要停下，别硬闯，那样肯定是出事儿。
在推导这些判别式的时候，数学的作用就像是你的“GPS”，带你找到正确的路。
通过一系列的公式和关系式，我们可以把复杂的问题简单化。
弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程
由于外部因素（载荷或温度），物体内部 各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为 位移。 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
B
'
x
dx
u
u x
dx,
y
v
v x
dx
AB dx
A'B'
dx
u x
dx
2
v x
dx
2
A' B ' AB
x
AB
dx
u x
2
dx
v x
2
dx
dx
dx
1
u x
2
v x
2
1
1
u x
2
1
x轴方向正应变
x
u x
根据小变形假设，u , v
是微量，故
x x
1
u x
v x
y ux 2 1 vx 2 1 1 vx 2 1
vx
v y
y轴方向正应变
y
v y
tan 1
vxdx
1 ux dx
v x
tan2
u y dy 1 vy dy
u y
xy
1
2
tan 1
tan 2
v x
u y
x-y面上切应变
xy
弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 ➢ 微分体切向平衡方程
ddrdrr
r d(rd)rd
rrdr r ddrd2 rdrd2 Krddr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
1 r rr2rrK0
2 x y 2
2 y x2
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
➢ 当六个应变分量
2 z x2
2 x z2
2
2 x yz
x
2 xz
zx yz x
xz y
xy z
(3-7)
满足以上应变协 调方程(3-7)时，
2 2 y zx
y
弹性与塑性力学基础
第三章
平衡微分方程及应变协调方程
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-1 平衡微分方程的概念
3.1.1 平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 3.2.2 平面应变状态
➢ 通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴，力矩平衡方程 MC＝0：
xy xxyd x d y1d 2 xxd y y1d 2x
yx y yxd y d x 1d 2 yyd x x 1d 2 y0
将上式除以dxdy，得到ຫໍສະໝຸດ y1 2xyx
dx
=
yx
1 2
yx
x
dy
2020/10/略13 去微量，(亦即dx、dy都趋于零时)，得出
应变和力的关系公式
应变和力的关系公式嘿，咱来聊聊应变和力的关系公式这事儿。
先说说啥是应变。
比如说，你拉一根橡皮筋，它变长了，这变长的程度就是应变。
而力呢，就是让这橡皮筋变长的那个“家伙”。
那应变和力到底啥关系？这就得提到那个神奇的公式啦！简单来讲，应变和力是成正比的。
力越大，应变也就越大。
我给您举个例子哈。
有一次我在家收拾东西，发现了一根旧弹簧。
我就好奇，这弹簧在不同大小的力作用下会有啥变化。
于是我找来一个小秤砣，一点点地增加重量挂在弹簧上。
一开始挂一点点重量的时候，弹簧拉伸得不多，应变很小。
随着我挂的秤砣越来越重，那弹簧拉伸得就越来越厉害，应变也就越来越大。
这就像我们学的应变和力的关系，力增加，应变跟着增加。
在实际生活中，应变和力的关系到处都能体现。
像建房子的时候，工程师得清楚材料能承受多大的力，产生多大的应变，要不然房子可就不安全啦。
再比如说汽车的悬挂系统。
您想想，车在路上跑，遇到坑洼不平的地方，车轮受到的力不断变化，如果悬挂系统设计不好，不能根据力的变化产生合适的应变，那您坐在车里就会颠得难受。
在物理学的世界里，应变和力的关系公式可是基础中的基础。
学生们在学习的时候，可得把这个搞清楚。
不然，后面的知识就像没打好地基的房子，容易摇摇欲坠。
学习这玩意儿的时候，别死记硬背公式，得多结合实际想想。
就像我摆弄那个弹簧，亲自感受一下，理解就能更深刻。
总之，应变和力的关系公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多观察、多思考，就能发现它其实就在我们身边，实实在在地影响着我们的生活。
希望大家都能把这个知识掌握好，让它为我们的生活和学习服务！。
弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。
1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。
1—1)1。
2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2） 由式(6。
1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 （6.1—3） 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。
1—4a ） 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。
应变的概念及公式
应变的概念及公式
应变是指物体在受到外力作用时的形变程度。
公式主要有以下几种：
1. 线性应变：
线性应变是最常见的应变形式，其公式为：
ε = ΔL / L0
其中，ε表示线性应变，ΔL表示物体的长度变化量，L0表示物体的初始长度。
2. 非线性应变：
非线性应变指物体在受到外力作用时，其形变和受力并不呈现线性关系。
非线性应变没有一个统一的公式，而是根据具体的材料性质和受力方式来确定。
3. 剪切应变：
剪切应变是材料在受到剪切力作用时的形变程度。
其公式为：γ = Δx / h
其中，γ表示剪切应变，Δx表示物体初始位置上两点之间的水平位移，h表示物体的厚度。
4. 体积应变：
体积应变是指物体在受到体积变化的外力作用时的形变程度。
其公式为：
ε = ΔV / V0
其中，ε表示体积应变，ΔV表示物体的体积变化量，V0表示物体的初始体积。
需要注意的是，应变一般是一个无单位的物理量，用于描述物体的形变程度。
在许多应用中，应变常以百分比或小数的形式表示。
弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程
0 � zdydxd x K � ydxd xz � �
x z � � � xd zd xy � �
程方分微衡平的下系标坐角直维三 4-3§
� � � � y� x� � xy � x x � � � � � xd zd � y d � � z d y d � z d y d x d � � x �� xy � � � � � � �0=XF�程方衡平的矩力出列 �
� yx � � � �
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§
态状力应面平 1.2.3
程方调协变应及程方分微衡平 章三第
础 基 学 力 性塑与性弹
�程 方 分 微 的 似 相 个 一 得 可 � 0 � y F � 程 方 衡 平 由 � 样 同
0 � xK �
y�
xy
��
�
x
x�
��
� � yd x � � 0 � 1 � ydxd x K � 1 � xd xy � � 1 � xd � xy � � �
础 基 学 力 性塑与性弹
心中的积体的它在用作�布分匀均是为认以可力应的受所上面各 � 数 函 的 y 和 x标 坐 置 位 是 量 分 力 应 �
图力受板薄 析分力受元微
.度长位单个一为取寸尺的向方z�yd和xd为别分寸尺向方y和x � 体面六行平正的小微个一出取板薄的力受 � 态状力应面平 1.2.3
��
)式 形 化 简 中 题 问 面 平 程 方 叶 维 纳 或 ( 程 方 分 微 衡 平 的 中 题 问 面 平 � 式系关的间之量分力体与量分力应题问面平 � 态状力应面平 1.2.3
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§
弹性力学第3章—应变
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.5应变协调方程
应变协调是变形连续的
充要条件
如不满足应变协调条件，则
从数序角度讲，几何方程矛盾 从物理角度看，弹性体会产生割裂或嵌入现象。 下一内容，物理方程与材料常数
§1.5应变协调方程
应变协调方程
• 平衡方程—六个应力分量的三个平衡方程 • 几何方程—6个应变分量与3个位移分量 由六个应变分量求解三个位移分量，其方程 个数多于未知数个数，方程组要么矛盾，要么相 关。由于变形连续，弹性体任意一点的变形必须 受到其相邻单元体变形的约束。 ——应变协调方程—反映应变分量之间的关系
面 间
§1.5应变协调方程
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形 不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新 组合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满
足一定的关系。
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量之间必 须满足一定的条件。
§1.5应变协调方程
六个应变分量必须满足一定的条件
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式 分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加，可得：
2 y
2 x 2 v u 2 xy 2 ( ) 2 x y xy x y xy
§1.5应变协调方程
• 例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 • 解：
u 3 x 3x u x 2 f ( y) x 2 v y 2y v y 2 g ( x) y v u xy f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
§1.5应变协调方程
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y， 求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§1.5应变协调方程
2 y
面 内
2 2 x xy 2 2 x y xy 2
•应变协调方程
•——圣维南方程 Venant）
z 2 2 y z yz
2 y
2 yz
2 x 2 z 2 xz （Saint 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy