1.5应变协调方程

合集下载

弹性力学公式

2°斜截面上的正应力：

全应力矢量p N 在外法线方向n 上的投影即为斜截面上的正应力σN ：

=r r m n ⋅r r r r r r n

σ=n p n ⋅()()

x y z p i

p j p k li j k ++++(){}{}x T x y z y n p p l p m p n l

n p n p ⎧⎫⎪⎪

=++==⎨⎬l zx yx

x ττσ⎫⎧⎟⎞⎜⎛z p ⎪⎪⎩⎭

}){(}{)(n n n m n m

l ij T

zy y xy

σστττστ=⎪⎭

⎪⎬⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝=即}

){(}{n n ij T N σσ=（2-15）

j 3°斜截面上的切应力：

全应力矢量p N 在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为：

||n n n p τ=×r r ++216或

2222222()()

n n n x y z x y z p p p p p l p m p n τσ=−=++−（2-16）

τx

σz

4-4、弹塑性力学中常用的简化力学模型44、弹塑性力学中常用的简化力学模型

A B

分析计算有困难

与实际符合较好1、理想弹塑性模型：

o ε

σ⎨

⎧>=≤=s

s s

E E εεεσεεεσ当当s

理想弹塑性力学模型

⎩B

1tg −2、线性强化弹塑性力学模型

s σ1

E 计算复杂

⎨

⎧>−+=≤=s

s s s E E εεεεσσεεε

σ当当)(1ε

tg 1−s

ε⎩型

线性强化弹塑性力学模

3、幂强化力学模型：

=n 参数少

想弹性模型n A n

<<=εσ1

=n 便于分析

理想塑性模型

变形与应变计算公式

变形与应变是材料力学中非常重要的概念，它们描述了材料在受力作用下发生

的形变和应力的关系。在工程实践中，对材料的变形和应变进行准确的计算是非常重要的，可以帮助工程师设计出更加安全可靠的结构。本文将介绍变形与应变的基本概念，并给出相应的计算公式。

一、变形与应变的概念。

变形是指材料在受力作用下发生的形状、尺寸或体积的改变。在受力作用下，

材料会产生应力，从而引起变形。应变是描述材料在受力作用下产生的变形程度的物理量，通常用ε表示。应变可以分为线性应变和剪切应变两种。

线性应变是指材料在受拉伸或压缩作用下产生的长度变化，通常用ε表示。其

计算公式为：

ε = ΔL / L。

其中，ΔL为长度变化量，L为原始长度。

剪切应变是指材料在受剪切作用下产生的形变，通常用γ表示。其计算公式为：γ = Δθ。

其中，Δθ为变形角度。

二、应变与应力的关系。

应变与应力是材料力学中的两个重要概念，它们描述了材料在受力作用下的变

形和应力状态。应变和应力之间存在着一定的关系，通常用本构关系来描述。在弹性材料中，应变与应力之间的关系可以用胡克定律来描述，其表达式为：σ = Eε。

其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。

在材料的非线性变形阶段，应变与应力之间的关系可以用应力-应变曲线来描述。应力-应变曲线可以通过实验测得，从而得到材料的应变硬化指数和屈服强度等重要参数。

三、变形与应变的计算公式。

在工程实践中，对材料的变形和应变进行准确的计算是非常重要的。下面将介绍一些常用的变形与应变的计算公式。

1. 拉伸变形计算公式。

1.2 应变分量和协调方程

1
2
xy
y
12zy
1212xyzz
z
11 21 31
12 22 32
13 23 33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴 • 应变主轴—— 切应变为0的方向 • 主应变—— 应变主轴方向的正应变
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求
其位移。
• 解：
x
u x
3x
u3x2 f(y) 2
y
v y
2y
vy2g(x)
x
v u yxyf'(y)g'(x)xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。

应变计算公式范文

应变计算公式是在材料力学中常用的计算方法之一，用于计算材料在受力情况下的形变程度。应变是材料的长度或体积变化相对于初始长度或初始体积的比例，是衡量材料形变程度的物理量。它的计算公式根据材料的性质和受力情况有所不同。下面将从不同角度介绍几种常见的应变计算公式。

1.线性形变的应变计算公式

对于线性弹性材料而言，应变与应力之间存在线性关系。在弹性变形情况下，应变可以根据胡克定律来计算。胡克定律表明，应力与应变之间的关系满足线性关系。

在单轴拉伸变形情况下，应变的计算公式为：

∆L/L=σ/E

其中，∆L是材料的长度变化量，L是材料的初始长度，σ是材料的应力，E是弹性模量。

在体积形变情况下，应变的计算公式为：

∆V/V=3α∆T

其中，∆V是材料的体积变化量，V是材料的初始体积，α是线膨胀系数，∆T是温度变化量。

2.非线性形变的应变计算公式

除了线性形变情况，材料在受力下还可能发生非线性形变，此时应变的计算公式会有所不同。

在剪切变形情况下，应变的计算公式为：

γ = tanθ

其中，γ是材料的剪切应变，θ是剪切应变角度。

在扭转变形情况下，应变的计算公式为：

φ=(Lθ)/R

其中，φ是材料的扭转角，L是材料的长度，θ是扭转角度，R是材料的半径。

3.应变的计算方法

除了上述的计算公式，应变还可以通过测量材料的形变量来获得。通过光学方法、电阻片法、应变计等设备可以实时测量材料的应变，从而得出应变的数值。

在实际应用中，应变计算公式是分析材料性能和设计工程结构的重要工具。通过应变计算公式，可以确定材料在受力情况下的形变程度，为工程设计和材料选型提供科学的依据。同时，研究应变计算公式还可以深入了解材料的力学特性，为材料科学的研究提供基础。因此，熟悉和掌握应变计算公式是材料科学和工程领域的基本功。

saint-venant应变协调方程

1.圣文南应变协调方程描述了固体材料中应变场的变化规律。

The Saint-Venant strain compatibility equation describes the variation of strain field in solid materials.

2.这个方程是连续介质力学中非常重要的方程之一。

This equation is one of the most important equations in continuum mechanics.

3.它可以被用来分析材料的变形和应变。

It can be used to analyze the deformation and strain of materials.

4.圣文南应变协调方程是基于连续体力学的基本原理推导出来的。

The Saint-Venant strain compatibility equation is derived from the fundamental principles of continuum mechanics.

5.它对力学工程领域有着广泛的应用。

It has a wide range of applications in the field of mechanical engineering.

6.这个方程可以帮助工程师设计和分析结构和材料。

This equation can help engineers design and analyze structures and materials.

应变协调方程的物理意义

在物理学中，应变协调方程是描述物体在受力作用下形变情况的重要方程之一。它反映了物体内外各点的应变之间的协调关系，以及应变和应力之间的联系。通过研究应变协调方程，我们可以深入理解物体在外力作用下的形变规律，揭示物体内部微观结构与宏观性能之间的内在联系。

应变是描述物体形变程度的物理量，通常分为线性应变和剪切应变两种。线性应变是指物体在受力作用下沿受力方向发生的长度变化与原长度之比，而剪切应变则是指物体在受力作用下相对于原来形状的扭曲程度。应变协调方程正是用来描述这些应变之间的相互关系，从而揭示物体在受力作用下整体形变的规律。

应变协调方程的物理意义在于帮助我们理解物体受力形变的本质。通过这些方程，我们可以了解物体内部各点的形变情况，预测物体在受力作用下可能发生的变形，进而设计出更加稳定和耐用的结构。在工程领域，应变协调方程被广泛应用于材料力学、结构设计等领域，为工程师提供了重要的理论指导。

应变协调方程还可以帮助我们研究物体的弹性性能。通过对应变协调方程的分析，我们可以探讨物体在受力后是否能够恢复到原来的形状，以及恢复的程度如何。这对于材料的选取、结构设计以及性能评估都具有重要意义。

总的来说，应变协调方程是研究物体受力形变行为的重要工具，其物理意义在于揭示了应变与应力之间的内在联系，帮助我们理解物体在受力作用下的形变规律，为工程实践提供了重要的理论支持。通过深入研究应变协调方程，我们可以更好地认识物体的力学性能，为实际工程问题的解决提供依据，推动科学技术的发展。

saint-venant应变协调方程

1.引言

在结构力学中，saint-venant应变协调方程是描述材料在受力作用下的变形和应变分布的重要方程。本文将重点介绍saint-venant应变协调方程的推导过程、基本概念和应用。

2. saint-venant应变协调方程的推导

saint-venant应变协调方程是由法国数学家Adhémar Jean Claude Barre de Saint-Venant于19世纪提出的。其推导过程主要基于弹性力学的基本原理，即Hooke定律和应变-应力关系。通过将物体在受力作用下的微小变形建模，并应用数学推导，最终得到了saint-venant应变协调方程。

3. saint-venant应变协调方程的基本概念

saint-venant应变协调方程描述了在线弹性条件下物体的应变和位移之间的关系。该方程适用于轴对称体或平面体在受力作用下的变形情况，可以用来计算物体在外力作用下的应变场分布。方程的基本

形式为Δε=∇u+(∇u)^T，其中ε表示应变张量，u表示位移场，Δ

表示拉普拉斯算符，∇表示梯度算符，^T表示转置操作。

4. saint-venant应变协调方程的应用

saint-venant应变协调方程在工程应用中具有重要意义。通过对

结构体在受力情况下的应变分布进行分析，可以预测结构体的强度和

稳定性，从而指导设计和施工工作。此外，saint-venant应变协调方

程还可以应用于材料力学、地震工程和岩土工程等领域，为工程实践

提供理论支持。

5. saint-venant应变协调方程的局限性

1.5应变协调方程(精)

22222yuxvyxyxxy????????????????yxxy?????215应变协调方程应变协调方程zzyyu??zzyyxxxyxzyz????????????????22????将几何方程的四五六式分别对zxy求一阶偏导数?前后两式相加并减去中间一式则对x求一阶偏导数则zyzyxxxxyxzyz???????????????????22分别轮换xyz则可得如下六个关系式15应变协调方程应变协调方程zxxzzy?z?yyx?y?x?2xzzxyzyzxyxy?????????????????????????????2???2222222222222?应变协调方程?圣维南方程saintvenant面内yxzyxzzxzyxyzyzyxxzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyz??????????????????????????????????????????????????????222222面间15应变协调方程应变协调方程?变形协调方程的数学意义?使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾?变形协调方程的物理意义?物体变形后每一单元体都发生形状改变?物体变形后每一单元体都发生形状改变如变形不满足一定的关系变形后的单元体将不能重新组合成连续体其间将产生缝隙或嵌入现象
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量之间必须满足一定的条件。
§1.5应变协调方程
六个应变分量必须满足一定的条件

应变与变形量计算公式

应力=应变X模量。

模量有正弹性模量E切弹性模量G体积弹性模量K。

应变=形变量/未变形时的量，例如e=（L-L'）/L。

o=eE其中E是弹性模量，e是沿轴向的形变量，o是应力，L是长度。

分类

主要有线应变和角应变两类。线应变又叫正应变，它是某一方向上微小线段因变形产生的长度增量（伸长时为正）与原长度的比值；角应变又叫剪应变或切应变，它是两个相互垂直方向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示，角度减小时为正。应变与所考虑的点的位置和所选取的方向有关。

应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场

a,
A

2
a2
C

4a2

1 b2

1 a2
1
,
b

a, C

4
对于第二类边界条件：引入应力函数：
Kirsh的研究（1898）
理论推导
应力分量：
双调和函数：
Kirsh的研究（1898）
理论推导
应力函数的解基本形式：应力分量：
考虑边界条件：
将两类解相加，即可得到无限大板孔洞周边的应力分布
一些特殊情况
2) As =0, r=a

1 2

2

4
c
os
2

4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
-1.00
-2.00 0.00
0.79
1.57
2.36
3.14

Y
r

X
2a
3) As =0, a 0
xx 0 yy xy 0
Kirsh的研究（1898）
2

Y

r
r

X 2a
The general stress field in dimension less form has the structure:

弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程

2020/7/3
弹性与塑性
力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 二维情况变形协调条件即应变协调方程
将x对y, y对x的二阶导数相加得
2x
y2
2x2y
x3uy2
y3xv2
x2yuyxv2xxyy
即
2x
2y
2x2y
2xy
xy
(3-6)
二维情况下用应变分量表示的应变协调方程
就能保证得到单值连续的位移函数
2020/7/3
2 2 z yz
x
yz x
xz y
xy z
弹性与塑性
力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 应变分量只确定物体中各点间的相对位置 ➢ 刚体位移不包含在应变分量之中 ➢ 无应变状态下可以产生任一种刚体移动 ➢ 如能正确地求出物体各点的位移函数u、v、w。根据应变位移方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。 ➢ 因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调。因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足，而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。
2020/7/3
弹性与塑性

弹性力学公式总结

T
x xy xz xy y yz xz yz z
y
1 yz 2
1 xz 2 1 yz 2 z
1.6 一点应力应变状态
表1.10 6 个应力分量确定斜截面应力
fvx、fvy、f vz
名称位移应变平面应力问题未知量已知量平面应变问题未知量已知量
w=0
u v
x y xy
x y xy
w0
xz = yz 0 z
E ( x y )
u v
x y xy
x y xy
xz = yz z 0
f f 2 2 1 x y 1 xy x y y x 2 f y f z 2 1 1 yz yz z y 2 1 2 1 fΒιβλιοθήκη Baidux f z xz xz z x 常体力等式右侧改为0
表2.3 以应变表示应力
名称表达式
平面应力问题
x
E xy x + y 、 y 1 E 2 y + x 、 xy 2 1E 1 2
平面应变问题则 E

2 应变分量与协调方程

2
2
1 N
2
PN方向余弦为l、m、n， dx=ldr dy=mdr dz=ndr
1 N
2
u u u l l m n x y z v v v ml m n x y z w w w nl m n x y z
x-y面上切应变
xy
v u x y
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y
v y y
w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长是正的正应变（大于零）；
N’
z P’ O x N
P y
P点坐标：x, y, z N点坐标：x+dx, y+dy,z+dz PN方向余弦为l、m、n，长dr dx=ldr dy=mdr dz=ndr
P点位移：u, v, w
P’点坐标：x+u, y+v, z+w
z
P’
N’
N
O x
P
y
vN vx dx, y dy, z dz
B x dx, y B ' x dx u( x dx, y), y v( x dx, y)

例题

1 =A1n , 2 =A 2n
代入平衡方程： A1 A 2 P / A
n n
相容条件：
b 1 2 a
b n P n A[( ) 1] 2 a A
b b P 1 1n ( 2 )n ( )n a a A A[( b ) n 1] a P N1 1 A AA1n a [1 ( )n ] b
B 1.5 s : C 0 :
D 0.5 s :
O O / E 0; s 0.5 s B 51 s ; E E' 1.5 s C 51 s 49.5 s E 0.5 s D C 49 s ;
解： (2)线性强化材料：
ab P s s P sA E b N1 1 A A[ s E ( A s )] A s a a E E E 1 b b E P E s s N 2 s A AE 2 A A bE 1 a E
E
1.5s

B A
s
E s :
0.5 s E D 49 s 50 s s E'
O s F 0.5
C
s
D
F 0:
F E
s 0. E
E
s
应变路径为：051s/E 49.5s/E –s/E 0

弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程

§3-6 塑性变形时的不可压缩条件
2020/10/13
弹性与塑性
力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 ➢ 受力的薄板取出一个微小的正平行六面体 ➢ x和y方向尺寸分别为dx和dy，z方向的尺寸取为一个单位长度.
薄板受力图
2020/10/13
弹性与塑性
力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ 由微分体力矩平衡方程，将得出r=r ，又一次证明剪应力互等
性。因此，二维极坐标系下的平衡微分方程为：
r 1r r r 1 r r r
2020/10/13
弹性与塑性
力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 二维情况变形协调条件即应变协调方程
将x对y, y对x的二阶导数相加得
2x
y2
2x2y
x3uy2
y3xv2
x2yuyxv2xxyy
即
2x
2y
2x2y
2xy
xy
(3-6)
变形状态分析
2020/10/13
弹性与塑性
力学基础第三章平衡微分方程及应变协调方程

应变的概念及公式

一、引言

应变是物体在受到外力作用下发生形变的过程，是物体内部结构发生变化的结果。应变的研究是材料力学和结构力学等科学领域的基础，对于工程设计和材料选择具有重要意义。本文将详细介绍应变的概念、表达式以及常见的应变公式。

二、应变的概念

应变通常定义为物体的形变与原始长度或体积之比。根据不同的变形方式，应变分为线性应变、剪切应变等。线性应变是指物体在外力作用下发生的长度变化，剪切应变是指物体发生形变时各部分相对于其他部分的位移。两者的计算方式有所不同，下面将详细介绍。

1. 线性应变

线性应变常用来描述物体的拉伸或压缩形变，在不考虑温度变化等因素的情况下，计算公式为：

ε = (ΔL / L0)

其中，ε代表线性应变，ΔL代表物体的长度变化，L0代表物

体的原始长度。

2. 剪切应变

剪切应变常用于描述物体的切变形变，计算公式为：

γ = (Δx / L)

其中，γ代表剪切应变，Δx代表物体在剪切方向上的位移，L

代表物体在剪切方向上的初始长度。

三、常见应变公式

除了线性应变和剪切应变外，应变还有其他形式，例如变角应变、体积应变等。下面将介绍几种常见的应变公式。

1. 变角应变

物体的变角应变是指物体在外力作用下的角度变化，计算公式为：

θ = (Δφ / l)

其中，θ代表变角应变，Δφ代表物体的角度变化量，l代表物体的初始长度。

2. 体积应变

物体的体积应变是指物体在外力作用下的体积变化，计算公式为：

εv = (ΔV / V)

其中，εv代表体积应变，ΔV代表物体的体积变化量，V代表物体的初始体积。