1.5应变协调方程

分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
§1.5应变协调方程
2 y
面 内
2 2 x xy 2 2 x y xy 2
•应变协调方程
•——圣维南方程 Ve源自文库ant）
z 2 2 y z yz
2 y
2 yz
2 x 2 z 2 xz （Saint 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
§1.5应变协调方程
应变协调是变形连续的
充要条件
如不满足应变协调条件，则
从数序角度讲，几何方程矛盾 从物理角度看，弹性体会产生割裂或嵌入现象。 下一内容，物理方程与材料常数
§1.5应变协调方程
• 例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 • 解：
u 3 x 3x u x 2 f ( y) x 2 v y 2y v y 2 g ( x) y v u xy f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量之间必 须满足一定的条件。
§1.5应变协调方程
六个应变分量必须满足一定的条件
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式 分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加，可得：
2 y
2 x 2 v u 2 xy 2 ( ) 2 x y xy x y xy
§1.5应变协调方程
应变协调方程
• 平衡方程—六个应力分量的三个平衡方程 • 几何方程—6个应变分量与3个位移分量 由六个应变分量求解三个位移分量，其方程 个数多于未知数个数，方程组要么矛盾，要么相 关。由于变形连续，弹性体任意一点的变形必须 受到其相邻单元体变形的约束。 ——应变协调方程—反映应变分量之间的关系
面 间
§1.5应变协调方程
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形 不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新 组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满
足一定的关系。
§1.5应变协调方程
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y， 求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz