对数函数及其性质1
对数函数的性质
对数函数的性质
对数函数是幂函数的反函数，具有以下性质：
1. 一次函数性：对数函数是一次函数，包括可以用它的切线求倾斜度和利用它的单调性来求函数的最大值或最小值。
2. 增函数性：对数函数x＞0时在实数轴上单调递增，但任意的实数n 值的对数函数在实数轴上都是凸函数。
3. 平移和缩放性：对数函数的图形不受平移影响，向左平移a，其图像也向左平移a个单位；如果沿x轴缩放k倍，其图像也同时沿x轴缩放k倍。
4. 放缩性：对数函数可以沿y轴放缩，当改变函数中的常数参数时，其函数图形直接受到放缩的影响，如果把常数参数a改变为ka，那么其函数图形会沿y轴放大k倍。
5. 对称性：对数函数具有狭义的对称性，即射线y＝x与y轴上的点(0,a)是函数表达式x＝loga(y)的镜像。
6. 连续性：对数函数是连续函数，即其在域上是连续的，可以在实数轴上画出来。
7. 相似性：对数函数图形存在相似性，当变量a不变时，不论变量b 取何值，该函数的形状都不变，只有比例变化而已。
对数函数及其性质(一)
2.2.2 对数函数及其性质（一）一、教学目的和要求【知识与技能目标】通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图象和性质。
【过程与方法】通过从具体到一般的过程，数形结合的方法，体会研究具体函数及其性质的过程和方法。
【情感、态度与价值观】培养学生数形结合的思想，学会研究函数性质的方法，能应用对数函数的性质解有关问题。
二、重点难点教学重点：对数函数的概念，图像和性质教学难点：利用数形结合的方法从具体到一般地探究，理解对数函数的图象及其性质。
三、教学过程（一）复习引入2.2.1例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。
死亡年数t 就是要得到的碳14的含量P 的函数。
这个函数写成对数的形式是 。
（二）讲授新课 1. 对数函数的定义：函数y ＝log ax (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，定义域为(0,＋∞)，值域为(－∞,＋∞)。
提问：①．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1。
②．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。
判断下列函数是不是对数函数：例1 求下列函数的定义域:2. 对数函数的图象： P t 573021log =x y 2log )1(2=x y 2log )2(-=1log )3(2+=x y 2log )1(x y a =)4(log )2(x y a -=)9(log )3(2x y a -=通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图像。
思考：两图像有什么关系？因为x x y x 2log log log log 212221-===,所以两图像关于x 轴对称。
2.2.2 对数函数及其性质(1) 课件(人教A版必修1)
(1)log13，log13；(2)log67，log76.
2 5
解：(1)∵在 x∈(1，＋∞)上，y＝log1x 的图象在 y
5
＝log1x 图象的上方，∴log13>log13.
2 5 2
(2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1， ∴log67>log76.
类型四 [例 4] [分析]
ห้องสมุดไป่ตู้
定义 底数
y＝logax(a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
图象
定义域 值域 单调性 共点性
{x|x>0} R 增函数 减函数 图象过点(1,0)，即 loga1＝0 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0]
• [分析] 观察各组数的特征，看其是否直接可以利 用对数单调性比较大小． • [解] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， π>0.9， • 所以log2π>log20.9. • (2)由于log20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0， • 所以log20.3<log0.20.3.
• 2．对数函数的图象
图4
• 函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的 影响观察图象，注意变化规律： • (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大， 图象向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象向右 越靠近x轴． • (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐 标越大，对应的对数函数的底数越大．
小结_对数函数及其性质-1
2.换底公式. (1)对数换底公式的证明： 设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数， 得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb. 所以 x＝llooggccba，即 logab＝lloogg运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数 值时，可化为以 10 为底的常用对数进行运算； ②在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算 法则时，可先统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算 法则进行化简与求值.并且这个底数不是唯一的，可由题目的实 际情况选择恰当的底数.
[方法·规律·小结] 1.对数的运算性质. (1)在运算过程中，避免出现以下错误： ①loga(M·N)＝logaM·logaN； ②logaMN ＝llooggaaMN ； ③logaNn＝(logaN)n； ④logaM±logaN＝loga(M±N).
(2)要特别注意它的前提条件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0， 尤其是 M，N 都是正数这一条件.若 M，N 中有一个小于或等于 0，就导致 logaM 或 logaN 无意义.另外还要注意，M＞0，N＞0 与 M·N＞0 并不等价.
对数函数及其性质
当 0 ＜ a ＜ 1 时， y loga x 是减函 数. （4）当 a ＞1 时
x ＞1，则 loga x ＞0
（4）当 a ＞1 时，函数图象在（1， 0＜ x ＜1， loga x ＜0 0）点右边的纵坐标都大于 0，在（1， 0）点左边的纵坐标都小于 0. 当 0 当 0＜ a ＜1 时 ＜ a ＜1 时，图象正好相反，在（1， x ＞1，则 loga x ＜0 0）点右边的纵坐标都小于 0，在（1， 0）点左边的纵坐标都大于 0 . 0＜ x ＜1， loga x ＜0
对数函数及其性质（一）
1. 画出 y 2x 、 y ( ) x 的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 讲授新课： 1.对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当 a＞0 且 a≠1 时，函数 y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如： y 2log 2 x ， y log5 (5 x) 都 不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (a 0 ，且 a 1) ．
5.1
0.9
)
二、填空题 3 －3 3 －3 4 －4 －1 13．化简：(a ＋a )(a －a )÷[(a ＋a ＋1)(a－a )]＝＿＿＿＿＿． 2 x x 14．f(x)＝x －bx＋c 满足 f(1＋x)＝f(1－x)且 f(0)＝3，则 f(b )与 f(c )的大小关系是＿． 1 |x＋1|＋|x－2| 15．y＝( ) 的递增区间是＿＿＿＿递减区间是＿＿＿． 3 16．(2005．北京)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1≠x2，有如下结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) f(x1)－f(x2) x1＋x2 (x1)＋f(x2) ③ ＞0 ④f( )＜ x1－x2 2 2 当 f(x)＝lgx 时，上述结论中正确的序号是＿＿＿＿＿＿． 三、解答题 a －1 17．已知函数 f(x)＝ x (a＞0 且 a≠1) a ＋1 ①求 f(x)的定义域和值域．②讨论 f(x)的单调性．
对数函数及其性质(1)
2.2.2 对数函数及其性质（1）学习目标1.理解对数函数的概念，知道对数函数是一类重要的函数模型；2.理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点；重点难点重点：对数函数的定义、图象及其性质；难点：由对数函数图象总结归纳出对数函数性质。
自主学案预习学案1. 定义：一般地,我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中 是自变量,函数的定义域是2. 对数函数图象与性质a>10<a<1图 象 y0 xy0 x性 质①定义域： ②值域： ③过定点： ④增区间：④减区间：预习思考1. 函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象过定点2.函数2()log 2f x x =-的定义域3.函数5()2+log f x x =(1x ≥)值域是合作探究探究点一：对数函数的概念 一、概念一般地，我们把函数log (0a y x a =>,且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0+∞，. 二、概念理解1、在函数的定义中，为什么要限定0,a >且1a ≠？2、为什么对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的定义域是()0+∞，？3、下列函数是不是对数函数？①2-log y x =，②212log y x =，③3log (1)y x =+，④31log y x=，⑤log 5x y = 三、典例剖析例1. 求下列函数的定义域(1)22log (45)y x x =-- (2) log (22)y x =-(5-x)类题突破2 (1) 23log (31)2x y x x +=++-2 （2）0.5log (43)y x =-探究点二：对数函3数的图象和性质 一、对数函数2log y x =与12log y x =的图象请用描点法分别作出两个函数图象！ “列表——描点——连线”x121 2 4 8 162log y x =12log y x =y y2log y x = 12log y x =0 1 x 0 1 x思考：函数2log y x =与12log y x =的图象有什么关系？y 1.注意结合x 、y 对应值表以及2log y x = 函数图象观察分析！关系：2.如何证明这种关系？1 x12log y x =二、探究对数函数的性质在同一直角坐标系下分别作出函数13log y x =，12log y x =，2log y x =，3log y x =的图象，观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？y0 1 x三、对数函数log (0a y x a =>,且1)a ≠的图象及性质a>1 0<a<1图 象性 质①定义域： ②值域：③过定点 ，即当x= 时，y= ④在(0,+∞)上是 函数④在(0,+∞)上是 函数四、典例剖析例3、比较大小：①2log 3与2log 4；②12log 5与12log 3；③log 2a 与log 5a .例4、已知下述4个函数图象是底数分别为 A 、B 、C 、D 的对数函数图象，试比较 A 、B 、C 、D 的大小.例5、若函数log (34)a y x =+（0<a<1）的函数值恒大于0，求x 的取值范围？类题突破6 求使函数log (34)a y x =+的值恒为负值的x 的取值范围？概括整合1、对数函数的概念，底数、真数的取值范围；2、对数函数的图象及其性质的应用；3、用数形结合的方法解决问题.4、。
2.2.2 对数函数及其性质(一)
1 >0 1 1－3x (3)由 ，得 x< ； 3 1－3x≠0
1 ∴所求函数定义域为x|x< ； 3
x>0 (4)由 log3x≥0 x>0 ，得 x≥1
；
∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}．
小结
此题主要利用对数函数 y＝logax 的定义域为(0，
2.2.2 对数函数及其性质（一）
问题： 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4
个,……,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的
个数 y 与 x 的函数关系是:
y2 .
x
现在我们来研究相反的问题.如果要求这种细胞 经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个…… 细胞，那么，分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数. 即 x log y .
∴ 函数的定义域为 (1，2)∪(2，3) .
例 2：比较大小 例3：
（1） log2 3 , log2 3.5 （3） log3 2 ， log3.5 2 （2） log0.7 1.6 , log0.7 1.8 （4） log1.6 0.7 , log1.8 0.7
( 解：1) y log2 x 在 (0 ， ) 上是增函数，
∴函数 y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3<x<3}． (4)由 16－4x>0，得 4x<16＝42，由指数函数的单调性得
x<2， ∴函数 y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
例2.求下列函数的定义域 :
(1) y loga x ;
2
(2) y loga (4 x 2 );
否
否 否
对数函数及其性质
.2对数函数及其性质1．对数函数的概念1定义：一般地,我们把函数y＝log a xa＞0,且a≠1叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是0,＋∞．2对数函数的特征：特征错误!判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y＝log7x是对数函数,而函数y＝－3log4x和y＝log x2均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点．例1－1函数fx＝a2－a＋1log a＋1x是对数函数,则实数a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1,解得a＝0,1．又a＋1＞0,且a＋1≠1,∴a＝1．答案：1例1－2下列函数中是对数函数的为__________．1y＝log a＞0,且a≠1；2y＝log2x＋2；3y＝8log2x＋1；4y＝log x6x＞0,且x≠1；5y＝log6x．解析：答案：52．对数函数y＝log a xa＞0,且a≠1的图象与性质1图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧,其单调性取决于底数．a＞1时,函数单调递增；0＜a＜1时,函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．2指数函数与对数函数的性质比较3底数a对对数函数的图象的影响①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时,对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时,对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿,1,0点处把花扎,若是底数小于1,左上穿点渐右下,若是底数大于1,左下穿点渐右上,绕点旋转底变化,顺时方向底变大,可用直线y ＝1来切,自左到右a 变大．例2如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a 43,35,110中取值,则相应曲线C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为A 43,35,110B 43,110,35C ．4335,110D ．43110,35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4,43,35,110．答案：A点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 1方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”,在x 轴下方“底大图左”；2方法二：作直线y ＝1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小．3．反函数1对数函数的反函数指数函数y＝a x a＞0,且a≠1与对数函数y＝log a xa＞0,且a≠1互为反函数．2互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．3求已知函数的反函数,一般步骤如下：①由y＝fx解出x,即用y表示出x；②把x替换为y,y替换为x；③根据y＝fx的值域,写出其反函数的定义域．例3－1若函数y＝fx是函数y＝a x a＞0,且a≠1的反函数,且f2＝1,则fx＝A．log2x B．12xC．12log x D．2x－2解析：因为函数y＝a x a＞0,且a≠1的反函数是fx＝log a x,又f2＝1,即log a2＝1,所以a＝2．故fx＝log2x．答案：A例3－2函数fx＝3x0＜x≤2的反函数的定义域为A．0,＋∞ B．1,9C．0,1 D．9,＋∞解析：∵ 0＜x≤2,∴1＜3x≤9,即函数fx的值域为1,9．故函数fx的反函数的定义域为1,9．答案：B例3－3若函数y＝fx的反函数图象过点1,5,则函数y＝fx的图象必过点A．5,1 B．1,5 C．1,1 D．5,5解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称,而点1,5关于直线y＝x的对称点为5,1,所以函数y＝fx的图象必经过点5,1．答案：A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝log a xa＞0,且a≠1中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知fm＝n或图象过点m,n等等．通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式fx＝log a xa＞0,且a≠1,利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如log a m＝n,这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m,把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n k＞0,且k≠1,则解得a＝k＞0．还可以直接写出1na m=,再利用指数幂的运算性质化简1nm．例如：解方程log a4＝－2,则a－2＝4,由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12a=±．又a＞0,所以12a=．当然,也可以直接写出124a-=,再利用指数幂的运算性质,得11212214(2)22a---====．例4－1已知f e x＝x,则f5＝A．e5B．5e C．ln 5 D．log5e解析：方法一令t＝e x,则x＝ln t,所以ft＝ln t,即fx＝ln x．所以f5＝ln 5．方法二令e x＝5,则x＝ln 5,所以f5＝ln 5．答案：C例4－2已知对数函数fx的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭,试求f3的值．分析：设出函数fx的解析式,利用待定系数法即可求出．解：设fx＝log a xa＞0,且a≠1,∵对数函数fx的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭,∴11log299af⎛⎫==⎪⎝⎭．∴a2＝19．∴a＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴fx＝13log x．∴f3＝111331log 3log3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．例4－3已知对数函数fx的反函数的图象过点2,9,且fb＝12,试求b的值．解：设fx＝log a xa＞0,且a≠1,则它的反函数为y＝a x a＞0,且a≠1,由条件知a2＝9＝32,从而a＝3．于是fx＝log3x,则fb＝log3b＝12,解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解1对数函数的定义域为0,＋∞．2在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1．若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地,判断类似于y＝log a fx的定义域时,应首先保证fx＞0．3求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集．例5求下列函数的定义域．1y ＝log 51－x ；2y ＝log 2x －15x －4；3y =．分析：利用对数函数y ＝log a xa ＞0,且a ≠1的定义求解．解：1要使函数有意义,则1－x ＞0,解得x ＜1,所以函数y ＝log 51－x 的定义域是{x |x ＜1}．2要使函数有意义,则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1,所以函数y ＝log 2x －15x －4的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭1,＋∞．3要使函数有意义,则0.5430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1,所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解1充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．2对于形如y ＝log a fxa ＞0,且a ≠1的复合函数,其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ,u ＝fx 这两个函数；②求fx 的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．3对于函数y ＝f log a xa ＞0,且a ≠1,可利用换元法,设log a x ＝t ,则函数ftt R 的值域就是函数f log a xa ＞0,且a ≠1的值域．注意：1若对数函数的底数是含字母的代数式或单独一个字母,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论．2求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围．例6－1求下列函数的值域：1y ＝log 2x 2＋4；2y ＝212log (32)x x ＋－．解：1∵x 2＋4≥4,∴log 2x 2＋4≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2x 2＋4的值域为2,＋∞．2设u ＝3＋2x －x 2,则u ＝－x －12＋4≤4．∵u ＞0,∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在0,＋∞上为减函数,∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为－2,＋∞．例6－2已知fx ＝2＋log 3x ,x ∈1,3,求y ＝fx 2＋fx 2的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝fx 2＋fx 2的定义域,然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数,利用一元二次函数求最值．解：∵fx ＝2＋log 3x ,x ∈1,3,∴y ＝fx 2＋fx 2＝log 3x 2＋6log 3x ＋6且定义域为1,3．令t ＝log 3xx ∈1,3．∵t ＝log 3x 在区间1,3上是增函数,∴0≤t ≤1．从而要求y ＝fx 2＋fx 2在区间1,3上的最大值,只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间0,1上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在－3,＋∞上是增函数,∴当t ＝1,即x ＝3时,y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知,当x ＝3时,y ＝fx 2＋fx 2的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题1与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a xa ＞0,且a ≠1过定点1,0,即对任意的a ＞0,且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y＝b＋k log a fxk,b均为常数,且k≠0,令fx＝1,解方程得x＝m,则该函数恒过定点m,b．方程fx＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．2对数函数的图象变换的问题①函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝log a x＋ba＞0,且a≠1②函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝log a x＋ba＞0,且a≠1③函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝log a|x|a＞0,且a≠1④函数y＝log a xa＞0,且a≠1错误!函数y＝|log a x|a＞0,且a≠1例7－1若函数y＝log a x＋b＋ca＞0,且a≠1的图象恒过定点3,2,则实数b,c的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点3,2,∴将3,2代入y＝log a x＋b＋ca＞0,且a≠1,得2＝log a3＋b＋c．又∵当a＞0,且a≠1时,log a1＝0恒成立,∴c＝2．∴log a3＋b＝0．∴b＝－2．答案：－2,2例7－2作出函数y＝|log2x＋1|＋2的图象．解：第一步作函数y＝log2x的图象,如图①；第二步将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得函数y＝log2x＋1的图象,如图②；第三步将函数y＝log2x＋1在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得函数y＝|log2x ＋1|的图象,如图③；第四步将函数y＝|log2x＋1|的图象,沿y轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图象,如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：1底数相同,真数不同．比较同底数是具体的数值的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．2底数不同,真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时,可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象,再进行比较,也可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．3底数不同,真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时,常借助中间量0,1进行比较．4对于多个对数式的大小比较,应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大小情况,进行分组,再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论．例8－1比较下列各组中两个值的大小．1,log32；2log23,；3log aπ,．分析：1构造函数y＝log3x,利用其单调性比较；2分别比较与0的大小；3分类讨论底数的取值范围．解：1因为函数y＝log3x在0,＋∞上是增函数,所以f＜f2．所以＜log32．2因为log23＞log21＝0,＜＝0,所以log23＞．3当a＞1时,函数y＝log a x在定义域上是增函数,则有log aπ＞；当0＜a＜1时,函数y＝log a x在定义域上是减函数,则有log aπ＜．综上所得,当a＞1时,log aπ＞；当0＜a＜1时,log aπ＜．例8－2若a2＞b＞a＞1,试比较loga ab,logbba,log b a,log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1,∴0＜ab＜1．∴loga ab＜0,log a b＞log a a＝1,log b1＜log b a＜log b b,即0＜log b a＜1．由于1＜ba＜b,∴0＜logbba＜1．由log b a－logbba＝2logbab,∵a2＞b＞1,∴2ab＞1．∴2logbab＞0,即log b a＞logbba．∴log a b＞log b a＞logb ba＞logaab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式1根据对数函数的单调性,当a＞0,且a≠1时,有①log a fx＝log a gx fx＝gxfx＞0,gx＞0；②当a ＞1时,log a fx ＞log a gx ⇔fx ＞gxfx ＞0,gx ＞0；③当0＜a ＜1时,log a fx ＞log a gx ⇔fx ＜gxfx ＞0,gx ＞0．2常见的对数不等式有三种类型：①形如log a fx ＞log a gx 的不等式,借助函数y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a fx ＞b 的不等式,应将b 化为以a 为对数的对数式的形式,再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a fx ＞log b gx 的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集．④形如f log a x ＞0的不等式,可用换元法令t ＝log a x ,先解ft ＞0,得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．例9－1解下列不等式：11177log log (4)x x >-；2log x 2x ＋1＞log x 3－x ．解：1由已知,得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．2当x＞1时,有21>3,21>0,3>0,x xxx+-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x＜3；当0＜x＜1时,有21<3,21>0,3>0,x xxx+-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．例9－2若22log3a⎛⎫⎪⎝⎭＜1,求a的取值范围．解：∵22log3a⎛⎫⎪⎝⎭＜1,∴－1＜2log3a＜1,即12log log log3a a aaa<<．1∵当a＞1时,y＝log a x为增函数,∴123aa<<．∴a＞32,结合a＞1,可知a＞32．2∵当0＜a＜1时,y＝log a x为减函数,∴12>>3aa．∴a＜23,结合0＜a＜1,知0＜a＜23．∴a的取值范围是230<<>32a a a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．2关于形如y＝log a fx一类函数的单调性,有以下结论：函数y＝log a fx的单调性与函数u＝fxfx＞0的单调性,当a＞1时相同,当0＜a＜1时相反．例如：求函数y＝log23－2x的单调区间．分析：首先确定函数的定义域,函数y＝log23－2x是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成,求其单调区间或值域时,应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手,并结合函数y＝log2u的单调性考虑．解：由3－2x＞0,解得函数y＝log23－2x的定义域是错误!．设u＝3－2x,x 错误!,∵u＝3－2x在错误!上是减函数,且y＝log2u在0,＋∞上单调递增,∴函数y＝log23－2x在错误!上是减函数．∴函数y＝log23－2x的单调减区间是错误!．例10－1求函数y＝log a a－a x的单调区间．解：1若a＞1,则函数y＝log a t递增,且函数t＝a－a x递减．又∵a －a x ＞0,即a x ＜a ,∴x ＜1．∴函数y ＝log a a －a x 在－∞,1上递减．2若0＜a ＜1,则函数y ＝log a t 递减,且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0,即a x ＜a ,∴x ＞1．∴函数y ＝log a a －a x 在1,＋∞上递减．综上所述,函数y ＝log a a －a x 在其定义域上递减．析规律 判断函数y ＝log a fx 的单调性的方法 函数y ＝log a fx 可看成是y ＝log a u 与u ＝fx 两个简单函数复合而成的,由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是,在求复合函数的单调性时,首先要考虑函数的定义域,即“定义域优先”．例10－2已知fx ＝12log x 2－ax －a 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数,求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数fx 的递增区间,说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间,由于是对数函数,还需保证真数大于0．令ux ＝x 2－ax －a ,∵fx ＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数,∴ux 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数,且ux ＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a a a ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩ ∴－1≤a ≤12． ∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：1求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f －x 与fx 或－fx 是否相等；2当f －x ＝fx 时,此函数是偶函数；当f －x ＝－fx 时,此函数是奇函数；3当f －x ＝fx 且f －x ＝－fx 时,此函数既是奇函数又是偶函数；4当f －x ≠fx 且f －x ≠－fx 时,此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如,判断函数fx＝log )a x x ∈R ,a ＞0,且a ≠1的奇偶性．解：∵f －x ＋fx ＝＝log )a x＋log )a x＝log a x 2＋1－x 2＝log a 1＝0,∴f－x＝－fx．∴fx为奇函数．例11已知函数fx＝1log1axx+-a＞0,且a≠1．1求函数fx的定义域；2判断函数fx的奇偶性；3求使fx＞0的x的取值范围．分析：对于第2问,依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第3问,利用函数的单调性去掉对数符号,解出不等式．解：1由11xx+-＞0,得－1＜x＜1,故函数fx的定义域为－1,1．2∵f－x＝1log1axx-+＝1log1axx+--＝－fx,又由1知函数fx的定义域关于原点对称,∴函数fx是奇函数．3当a＞1时,由1log1axx+-＞0＝log a1,得11xx+-＞1,解得0＜x＜1；当0＜a＜1时,由1log1axx+-＞0＝log a1,得0＜11xx+-＜1,解得－1＜x＜0．故当a＞1时,x的取值范围是{x|0＜x＜1}；当0＜a＜1时,x的取值范围是{x|－1＜x＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等,可以用对数函数模型来研究．此类题目,通常给出函数解析式模型,但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：1审题：弄清题意,分清条件和结论,抓住关键的词和量,理顺数量关系；2建模：将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,求出函数解析式模型中参数的值；3求模：求解函数模型,得到数学结论；4还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看,直接给定参数待定的函数模型时,利用待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质,是解答此类问题的方法精髓．例12我国用长征二号F型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船,实现了中国历史上第一次的太空漫步,令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家其中,翟志刚完全出舱,刘伯明的头部和手部部分出舱．在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y单位：km/s关于燃料重量x单位：吨的函数关系式为y＝k ln m＋x－k＋4ln 2k≠0,其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．－1m吨时,火箭的最大速度是4 km/s．1求y＝fx；2已知长征二号F型运载火箭的起飞重量是吨箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料,火箭的最大速度为8 km/s,求装载的燃料重量e＝,精确到．解：1由题意得当x－1m时,y＝4,则4＝k ln m－1m－k＋4ln 2,解得k＝8．所以y＝8ln m＋x－＋4ln 2,即y＝8ln m xm+．2由于m＋x＝,则m＝－x,令479.888ln479.8x=-,解得x≈．故火箭装载的燃料重量约为吨．。
对数函数及其性质
对数函数及其性质对数函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于科学和工程领域。
它的性质包括增减性、定义域、值域等。
本文将详细介绍对数函数及其性质，帮助读者深入理解并运用该函数。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个固定的正数（底数）为底，将任意的正数（真数）映射到另一个数上的函数。
对数函数的常见表示形式为y=logₐx，其中底数a>0且a≠1，真数x>0。
二、对数函数的性质1. 增减性对数函数的增减性与底数a的大小有关。
当底数a>1时，对数函数随着真数的增加而增加；当底数0<a<1时，对数函数随着真数的增加而减小。
2. 定义域和值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
值域为实数集，即y∈R。
3. 特殊值当真数x=1时，对数函数的值为0，即logₐ1=0。
当底数a=1时，对数函数无定义。
4. 对数函数的基本关系（1）对数函数和指数函数的互逆关系：对于任意的正实数x和底数a>0且a≠1，有aⁿ=x⇔logₐx=n。
（2）对数函数的乘积法则：logₐ(xy)=logₐx+logₐy，其中x、y>0。
（3）对数函数的商法则：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy，其中x、y>0。
（4）对数函数的幂法则：logₐ(xⁿ)=nlogₐx，其中x>0，n为任意实数。
5. 对数函数的图像当底数a>1时，对数函数的图像呈现典型的递增曲线；当底数0<a<1时，对数函数的图像呈现典型的递减曲线。
对数函数在x轴的正半轴上的图像称为对数曲线。
三、对数函数的应用1. 数据压缩与展示对数函数可以用于对数据进行压缩和展示。
当数据的幅度较大时，可以通过对数函数对其进行压缩，从而使得数据更易读取和呈现。
2. 指数增长模型对数函数常用于描述指数增长模型，如人口增长、物种繁殖等。
对数函数能够将指数增长转化为线性关系，便于模型的建立和求解。
3. 信号处理对数函数在信号处理中有广泛的应用，如音频信号处理、图像处理等领域。
对数函数及其性质(1)(精)
对数函数及其性质（1）一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。
二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。
由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。
教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。
三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。
对数函数及其性质(1)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 对数函数
a>1 图 象
o y (1, 0) x y
0<a<1
（1, 0) o
x
(1) 定义域： (0,+∞) 定义域： (2) 值域：R 值域： 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 性 (3) 过点 (4) 当0<x<1时, y<0; 时 (4) 当0<x<1时, y>0; 时 当x>1时, y>0 时 当x>1时, y<0 时 上是增 上是减 上是 在 上是 质 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
我们在研究指数函数性质 研究了哪些方面？ 时，研究了哪些方面？通过 什么来研究? 什么来研究?
二.对数函数图象 对数函数图象
作出函数y=log 的图像， 作出函数y=log2x与 y = log 1 x 的图像，并观察这两
2
个函数图象之间有怎样的关系。 个函数图象之间有怎样的关系。
三.对数函数的性质 对数函数的性质
y 0 1
㈠
a>1 x
㈡ 图象特征 图象都在__轴的右侧 图象都在y __轴的右侧 __ 这些图象都经过______点 这些图象都经过______点 ______ a>1， x∈(0,1)时图象在x a>1，当x∈(0,1)时图象在x轴 时图象在 下 ____方 x∈(1,+∞)时图象 的____方； x∈(1,+∞)时图象 轴的____ ____方 0<a<1,正好 在x轴的____方; 0<a<1,正好 上 相反 从左向右看: 从左向右看: a>1时图象 逐渐上升 a>1时图象 ________; 0<a<1时图象 逐渐下降 时图象_________; 0<a<1时图象_________;
高一数学对数函数及其性质1
1 y log2 x 2 x 3 ; 2 2 y log0.1 2 x 5x 3 .
2
分析：关键是把握好复合函数单调性的判断.
例3 若实数
a
2 满足 log a 1 3
，求
a
的取值范围.
分析：一是要把握住对数函数的单调性；
2 2 a 1时， loga <1=log a a, a ,即a 1. 3 3 2 2 2 0 a 1时, loga <1=log a a a ,即0<a< . 3 3 3 2 a 0, 1, . 3
3 2 5
分析：把握好对数函数的单调性以及底数对图象 的影响的结论是关键，还要注意中间量的选取.
1 log1.5 3.4 log1.5 8.5; 2 log 0.4 1.8 log 0.4 2.7; 3 log a 5.1, log a 5.9 a 0, a 1
8
y
y log2 x
y log3 x
x
0 1
y log 1 x
3
x 1
y log 1 x
2
•O<a<1 时a的值越大图象在 x 1 的 部分越远离 x 轴
• a>1 时a的值越大图象在 x 1 的
部分越靠近
x轴
例2 求下列函数的定义域
1 y 3 2 y 3 y
1 y f 用常用形式表示（即互换），有： x
( x C , y A)
试举几对互为反函数的例子：
1 1 y log 1 x, y ; 2 2
x
2 y log a x, y a
对数函数及其性质
答案 : (1){ x | x 0}; ( 2){ x | x 4};
( 2) y l oga ( 4 x ).
课堂练习： (1){ x | 3 x 3}; 1 ( 2){ x | x 且x 1}; 3 3 ( 3){ x | x 1}. 4
课 堂 练 习 ： 求 下 列 函的 数 定 义 域: (1) y loga (9 x 2 ); 1 ( 2) y logx ; 3x 1 ( 3) y log0.5 (4 x 3) .
( 0,+∞) R
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是：减函数
猜猜: 对数函数 y 2 1
0
y log3 x和y log1 x 的图象
3
y log2 x
y log3 x
11 42
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
-1 -2
3
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
1 1 log 7 2 log 7 5
log 2 7 log 5 7
y
y log2 x y log5 x
o
1
7
x
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
1.利用对数的运算，取倒数后转化为同底问题. 2.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断 大小.
例4:比较下列各组数中两个值的大小：
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
y log2 x和y log1 x 的图象
2
作图步骤:
①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接
作y=log2x 图象
第1课时 对数函数及其图象、性质(一) 高一数学
B.[2,3]
D.[-3,2]
解析:因为 f(x)=lo x 在区间 , 上单调递减,
且f
=lo =2,f(27)=lo 27=-3,
所以 f(x)的值域为[-3,2].
答案:D
)
三、反函数
给出函数f(x)=2x,g(x)=log2x.
1.这两个函数的定义域、值域之间有什么关系?
4.下列函数是对数函数的是(
A.y=log3(x+1)
B.y=log2
C.y=lo x-1
D.y=lo x
答案:D
)
二、对数函数的图象与性质
1.指数函数的性质包括哪些?如何探索对数函数的性质?
提示:指数函数的性质包括定义域、值域、单调性、图象过
定点等.先通过列表、描点、连线的方法画具体的对数函数
(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称.
4.若函数 f(x)=logax(a>0, 且 a≠1)的反函数为 g(x),且 g(-2)=9,
则f
=
.
解析:依题意可知 g(x)=ax(a>0, 且 a≠1).
因为 g(-2)=9,所以 a-2=9,
解得 a=.
所以 f(x)=lo x.所以 f
(
)
A.y=log5x+1
B.y=logax2(a>0,且 a≠1)
C.y=lo(√-) x
D.y=lo x
(2)函数 f(x)=(-)的定义域为
.
解析:(1)只有选项 C,D 中的函数符合对数函数的定义.
32702_《对数函数及其性质》教案1(一)
2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标 （一） 教学知识点1． 对数函数的概念；2． 对数函数的图象与性质．（二） 能力训练要求1． 理解对数函数的概念；2． 掌握对数函数的图象、性质；3． 培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；2．用联系的观点看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系：2、)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质．3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =.引出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；（3）)9(log 2x y a -=．分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x ；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33|<<-x x ． 2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图象：思考：x y 2log =与x y 21log =的图象有什么关系？3．练习：教材第73页练习第1题．1.画出函数y =3log x 及y =x 31log 的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.解：相同性质：两图象都位于y 轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x =1,y =0.不同性质：y =3log x 的图象是上升的曲线，y =x 31log 的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．三、讲解范例：例2．比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log ,4.3log 22；⑵7.2log ,8.1log 3.03.0；⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确定所要考查的对数函数；②根据对数底数判断对数函数增减性；③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<<a 时，x y a log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log 1.5log a a >． 小结2：分类讨论的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练习1。
对数函数及其性质(1)
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
2、对数函数的图象与性质：
函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 1
0 loga N 0 图象 0
底数
a N 0 ＜ a,＞ 1 (0,1)或a, N (1,a) ＜
y y
o
N 1 a, N中一个在(0,1),另一个在(1, )中
1
1
0.5
0
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
log0.3 1.8 log0.3 2.7
-1.5
-2
-2.5
（3） log 3 3.4, log 2
解：（3）
0 .5
3.4 0.5
（4）
1
log 2 1.5, log 3 8.5
3 2.5 2 1.5
log 3 log 3 0 log 2 log 2 0
求解对数函数定义域问题的关键是要 （2） y loga (4 x)
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4 时，可将其看作一个整体单独提出来,
（３） y log (49 7 x ) 求其大于零的解集,即该函数的定义域.
( x1)
【练习】 求下列函数的定义域：
y log2 x
-1
3
2.5
2
1.5
因为它的底数2>1，所以它在 （0，+∞）上是增函数，于是
1 0
1
0.5
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
高中数学课件-2 对数函数及性质(1)
; 1
(3)y loga (x2 1) 2x 1
义的x的取值范围, 其中需真数大于0, 底数大于0且不等 于1
例3.计算函数值
（1）计算对数函数 y log 3 x对应于x取1,3,27时得函数值；
解： 当 x 1 时，y log3 x log3 1 0,
当 x 2 时，y log3 x log3 3 1, 当x 27 时，y log3 x log3 27 3,
1
1
0
a
h(x) logb x
b
x
（2）左右比较：比较图像 与直线y=1的交点，交点 的横坐标越大，对应的对 数函数的底数越大。
思考：
a<1
c,d的大小与图像的 关系。
（1）上下比较：在 直线x=1的右侧， 0<a<1时，a越小， 图像越靠近x轴。
y （2）左右比较：比较图像 与直线y=1的交点，交点 的横坐标越大，对应的对 数函数的底数越大。
例1.判断下列函数是否为对数函数
(1) y 2 log3 x (3) y log2 x 1
（2）y log3(x 1)
(4) y log x x
判断依据：①形如 y log a x; ②底数 a 满足 a 0, a 1 ；
③真数为 x ,而不是x的函数；
④定义域为 (0,) .
例2：求下列函数的定义域 :
对数函数及其性质1
回顾：对数函数y=logax (a＞0,
且a≠1)
图 象 性 质
y
x =1
的图象与性质
y
x =1
a＞1
y loga x (a 1)
0＜a＜1
X
(1,0)
O
O
(1,0)
y loga x (0 a 1)
X
( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R 过定点: (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
解：（1）根据对数函数的运 算性质，有 lg[ H ] lg PH lg[ H ]
1
1 [H ]
此函数为增函数，所以溶液中的氢离子浓 度越大，日夜的酸碱度就越大.
（2）当[H+]=10-7时，PH=-lg10-7 =7,所以，纯净水的PH是7
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是：
指 数 函 数 、 对 数 函 数 性 质 比 较 一 览 表
名称 一般形式
指数函数 y = ax
对数函数 y = Log a x
a>1
图像
0<a<1
定义域 值 域 a>1 0<a<1 单调性
R (0，+∞） 增函数 减函数
(0，+∞） R 增函数 减函数
作业：P73;3
P74;7、8
思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a
的取值变化图象如何变化？有规律吗？
y 2
11 42
y log2 x
规律：在第一象限 图象自左向右底数越来 1 越大！
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a>1
0<a<1
y
图
象 性
o
y
(1, 0)
x
o
（1, 0)
x
(1) 定义域： (0,+∞)
(2) 值域：R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) 0<x<1时, y<0; x>1时, y>0 (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
2
的单调区间
例2．求函数的值域
1 f ( x) log2 x
x [1,2]
2 f ( x) loga x
2
x [1,2]
3 f ( x) log2 ( x 2) 2 4 f ( x) log2 (8 x x 7)
x x 5 f ( x ) (log2 )(log2 ) ( 2 x 8) 2 4
例3．函数的奇偶性
2 y log ( x x 1)(x R) 的奇偶性为 函数 2
（ ） A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数 C y log ( x x 2) 的单调递减区间 1.求函数 1
2.求函数y=loga(ax-1) （a>0且a≠1）的单调性 3.已知函数 y loga (2 ax) 在[0，1]上是 减函数，则a的取值范围是（ ） A.（0，1） B.(1,2) C(0,2) D[2,+∞）
质
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
练习: 2 1.已知函数 f ( x) lg( x 3x 2) 的定义域是F, 函数
g ( x) lg( x 1) lg( x 2)
的定义域是N,
确定集合F、N的关系？
2.求下列函数的定义域：
1 1 f ( x) lg( x 1) 3
2 f ( x)
log 1 x 3 2
2
3 f ( x)
lg x lg(5 3x)
例1．溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. PH的计算公 + pH = lg[ H ],其中 [ H + ]表示溶液中氢 式 为 离子的浓度,单位是摩尔/升. ⑴根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的 变化关系; ⑵已知纯洁水中氢离子的浓度为 [ H + ] = 10- 7 摩尔/升,计算纯洁水的pH.
2
作业： 1.已知函数 y lg( x ax 1) ,
2
(1)当定义域为R时,求a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围. 2.求函数 f ( x) lg 8 x x 7 x 2,6
2
的值域
3.求函数 f ( x ) log2 (8 x x 7) x [2,6]