平面一般力系
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《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
平面一般力系
第四章平面一般力系平面一般力系是静力学的重点。
前面讨论的平面汇交力系和平面力偶系是平面一般力系的特殊情况，它们为学习本章打下基础。
平面一般力系的平衡问题在工程中经常遇到，又是学习材料力学、结构力学部分的基础。
因此，切实掌握好本章内容是学好本课程的关键。
一、内容提要（一）平面一般力系向任一点的简化1. 简化依据力的平移定理当一个力平行移动时，必须附加一个力偶才能与原力等效，附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。
2. 简化方法与初始结果3.简化的最后结果或者是一个力，或者是一个力偶，或者平衡。
熟悉平衡方程各种形式的目的，主要用来求解平衡问题的未知量。
在求解单个物体和物体系统的平衡问题中，首先要确实掌握单个物体的平衡问题。
解决好单个物体平衡问题的关键，在于对物体进行受力分析，正确地画出受力图。
求解物体系统的平衡问题，就是计算出物体系统的内、外约束反力。
解决问题的关键在于恰当地选取研究对象，一般有两种选取的方法：1．先取整个物体系统作为研究对象，求得某些未知量；再取其中某部分物体（一个物体或几个物体的组合）作为研究对象，求出其他未知量。
2．先取某部分物体作为研究对象，再取其他部分物体或整体作为研究对象，逐步求得所有的未知量。
不论取整个物体系统或是系统中某一部分作为研究对象，都可根据研究对象所受的力系的类别列出相应的平衡方程去求解未知量。
（四）考虑摩擦时物体的平衡问题学习这一部分内容时，必须掌握摩擦力的特点。
摩擦力的特点以其大小和方向两方面反映。
摩擦力的大小随主动力的变化而变化，但又不能随主动力的增大而无限度地增大。
根据两物体间相对滑动或相对滑动趋势的不同情况，摩擦力的大小有以下几种可能。
1、当一个物体相对另一个物体静止且没有滑动的趋势时，两物体间不产生摩擦力。
2、当一个物体相对于另一个物体有滑动趋势，但仍保持静止时，两物体间产生静摩擦力，摩擦力的大小由平衡条件确定。
3、当一个物体相对于另一个物体即将滑动而处于临界平衡状态时，两物体间的静摩擦力达到最大值F max=fF N。
平面一般力系
的转向而定。
小
实
验
平面一般力系的简化结果分析：
平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢F ' 和一个 主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以下四 种情况： 1、F'＝0， MO ≠0 表明原力系与一个力偶等效，原力
系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO( F )，此时主矩 MO与简化中心的选择无关。 2、F'≠0， MO ＝0 表明原力系与一个主矢量F' 等效，
d MO F'
4、F' ＝0， MO ＝0 表明原力系为平衡力系，则刚体在此 力系作用下处于平衡状态。
平面一般力系由O点向任意点O’简化：
｛F1，F2 · · · Fn｝简化得｛F’，MO ’ ｝ MO’= MO ± F’ · d （如图所示） 故，只要平面一般力系向某一点简化的结果为： F’＝0， MO ＝0 则，该力系向任一点的简化结果都为： F’＝0， MO ＝0
O为任 意点
图a
图b
图c
平面一般力系的简化过程
O为任 意点
F’
平面一般力系 （未知力系） {F1 , F2 , · · · Fn} 平面汇交力系 平面力偶系
向一点简化
平面汇交力系+平面力偶系 （可知力系） {F1’, F’2 , · · · F’n} + {M1 , M2 , · · · Mn}
合成
下面我们就来证明——
请 Shift+F5
有一力系作用 于刚体平面内
将各力向A点简化 并求出合力 F F1 F3 F2
这是求合力的方法 之一
F2
F3 C B
F3
F F2 A F1
A
A
小
实
验
平面一般力系的简化结果分析：
平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢F ' 和一个 主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以下四 种情况： 1、F'＝0， MO ≠0 表明原力系与一个力偶等效，原力
系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO( F )，此时主矩 MO与简化中心的选择无关。 2、F'≠0， MO ＝0 表明原力系与一个主矢量F' 等效，
d MO F'
4、F' ＝0， MO ＝0 表明原力系为平衡力系，则刚体在此 力系作用下处于平衡状态。
平面一般力系由O点向任意点O’简化：
｛F1，F2 · · · Fn｝简化得｛F’，MO ’ ｝ MO’= MO ± F’ · d （如图所示） 故，只要平面一般力系向某一点简化的结果为： F’＝0， MO ＝0 则，该力系向任一点的简化结果都为： F’＝0， MO ＝0
O为任 意点
图a
图b
图c
平面一般力系的简化过程
O为任 意点
F’
平面一般力系 （未知力系） {F1 , F2 , · · · Fn} 平面汇交力系 平面力偶系
向一点简化
平面汇交力系+平面力偶系 （可知力系） {F1’, F’2 , · · · F’n} + {M1 , M2 , · · · Mn}
合成
下面我们就来证明——
请 Shift+F5
有一力系作用 于刚体平面内
将各力向A点简化 并求出合力 F F1 F3 F2
这是求合力的方法 之一
F2
F3 C B
F3
F F2 A F1
A
A
平面一般力系.ppt
A
2m
2F2 cos60 2F3 3F4 sin30 0.5
（2）、求合成结果：合成为一个
合力R，R的大小、方向与R’相同。 其作用线与O点的垂直距离为：
F1
O
3m
y A
d Mo 0.51m R
Lo O d
R/ R
B
F3
F4 C 30° x
B
C
x
例题 4-2 P 75 (N) Q 100 (N) S 80 (N) M 50 (N m) 求：该力系的最后的合成结果。
§4–3 平面一般力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也等于零。
平衡方程：
Fx 0 , Fy 0 , mo F 0
平衡方程其他形式：
Fx 0 , mAF 0 , mB F 0
A、B 的连线不和x 轴相垂直。
mAF 0 , mB F 0 , mC F 0
A、B、C 三点不共线。
§4–3 平面一般力系的平衡
例题 4-3 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重P=2200N， 吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 A 对臂AB 的水平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。
4、 R=0，而M=0，原力系平衡。
综上所述，可见：
⑴、平面一般力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时， 则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面一般力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零 时，则该力系可以合成为一个力偶。
§4–2 平面任意力系简化结果
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于
平面一般力系
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAx l
tg
P
l 2
Qa
0
FAy 2.1KN
FAx 11.4KN
18
平面一般力系的平衡方程:
① 基本式（一矩式） ②二矩式
③三矩式
Fx 0
Fy 0
MO (Fi ) 0
Fx 0
MA(Fi ) 0
MB(Fi ) 0
MA(Fi ) 0
20
§3-4 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
y
F1
x1
FR'
Mo o
x2
xR xn
F2 FR
Fn
设有F1, F2 … Fn 为一平行力系，
向O点简化得：
主矢 FR Fi
主矩 MO MO(Fi ) Fi xi
合力作用线的位置为：
xR
MO FR
F 对新作用点B的矩。
[证]
'
M
M
力F
力系 F,F ,F
力 F 力偶（ F， F ）
4
说明： ①力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d ②力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶 ③力线平移定理的逆定理成立。力力+力偶 ❖力线平移定理是力系简化的理论基础。 ❖力线平移定理可将组合变形转化为基本变形进行研究。
A
B
②当Q=180kN时，求满载
时轨道A、B给起重机轮子的反
力？
分析：
Q过大，空载时有向左倾翻的趋势。
Q过小，满载时有向右倾翻的趋势。 24
解：⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小Q为：
第3章平面一般力系
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面 内且相互平行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
工程力学 静力学第三章 平面一般力系
∑Y = 0
∑mO ( Fi ) = 0
①一矩式
∑ mB ( Fi ) = 0
②二矩式 条件： 条件：x 轴不⊥ AB 连线
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
注意：不论采用哪种形式的平衡方程， 注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的 三个未知量 个数只有三个，对一个物体来讲, 只能解三个未知量,不得多 个数只有三个，对一个物体来讲 只能解三个未知量 不得多 列！ 14
8
平面一般力系简化结果的应用 简图：
固定端约束的反力
R
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力， 两个正交分力，一个反力偶
9
第二节
平面一般力系的简化结果分析
R=ΣFi 与简化中心无关 MO =ΣMo(Fi) 与简化中心有关
R ——主矢 主矢 MO——主矩
① R =0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专 ， 门讨论。 =0,M ② R =0, O≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故主矩与简化中心位置无关。 ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， ③ R≠0, O =0 简化结果就是合力（这个力系的合力）, R = R 。 （ （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） 此时与简化中心有关， 此时与简化中心有关 换个简化中心，主矩不为零）
R = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2 = 0
M O = ∑mO ( Fi ) = 0
13
∑
X =0
∑X =0
∑ m A ( Fi ) = 0
∑ m A ( Fi ) = 0 ∑ mB ( Fi ) = 0 ∑ mC ( Fi ) = 0
静力学第4章平面一般力系
第四章 平面一般力系
【本章重点内容】
力线平移定理; 平面一般力系向作用面内一点简化; 平面一般力系简化结果分析; 平面一般力系的平衡条件与平衡方程.
第四章 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题
§4-1 工程中的平面一般力系问题
平面一般力系 作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，既
力线向一点平移时所得 附加力偶等于原力对平 移点之矩.
力偶M′与M 平衡.
第四章 平面一般力系
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
一、平面一般力系向作用面内一点简化
rr
F1′ = F1
rr
F2′ r
...=
F2 r
Fn′ = Fn
r M1 = MO (F1)
主矩MO
∑ MO =
MO
r (F
)
=
−1m
⋅
F1
−
3m
⋅
F2
+
2m
⋅
sin
30o
⋅
F3
+
M
= −1m ×1kN - 3m ×1kN + 2m × 1 × 2kN + 4kN ⋅ m 2
= 2kN ⋅ m
§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力 方向 主矩
FR′ = 3.39kN α = −36.2°
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
主矩的计算
主矩的计算方法与力矩和平面力偶系的计算方法相同. 主矩的计算
平面一般力系向一点简化，得到力对简化点的力矩和.
主矩大小
∑r
MO = MO(Fi )
第四章 平面一般力系
点O的力
， ，
（平面汇交力系）
附加力偶
（平面力偶系）
分别合成 这两个力系
（原来各力的矢量和）
（原来各力对点一 个力和一个力偶。
这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量 和
作用线通过简化中心O； 这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简 化中心O的矩的代数和
方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。
平行力系的独立平衡方程的数目 只有两个，即：
或
注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。
平面一般力系平衡的必要和充分条件
平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的 矩的代数和也等于零。
平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)
（三个方程， 求解三个未知数）
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各 以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆 DC与水平线成 角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆 的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。 解：(1)取AB梁为研究对象。 (2)画受力图。 (3)列平衡方程。 (a) (b)
解: (1)当满载时，为使起重机不 绕点B翻倒。在临界情况下 。
当空载时，为使起重机不绕点 A翻倒。在临界情况下 。
(2)当平衡荷重 的反力？
时，求满载时轨道A、B给起重机轮子
解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：
解得
利用多余的不独立方程 来校验以上计算结果是否正确。
第4章：平面一般力系
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
② 求主矩：
L O
m o
F
2F cos60 2F 3F sin30 0.5
2
3
4
（2）、求合成结果：合成为
一个合力R，R的大小、方向与 R’相同。其作用线与O点的垂
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
y A
B
F3
F4 C 30° x
B
直距离为： d Lo 0.51m R
Lo
R/ R
O d
C
x
§4–3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
4、联立求解：
MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAy
NAx= 0
A
NAx
C
T
B
NAy=-19.2 kN （向下）
MA Q
§4–4 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式： Fy 0 , mOF 0
Fx 0 :
N Ax 0
Fy 0 :
N Ay Q ND 0
mAF 0 :
3 2 Q 2ND M 0
4、联立求解：
y
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
② 求主矩：
L O
m o
F
2F cos60 2F 3F sin30 0.5
2
3
4
（2）、求合成结果：合成为
一个合力R，R的大小、方向与 R’相同。其作用线与O点的垂
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
y A
B
F3
F4 C 30° x
B
直距离为： d Lo 0.51m R
Lo
R/ R
O d
C
x
§4–3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
4、联立求解：
MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAy
NAx= 0
A
NAx
C
T
B
NAy=-19.2 kN （向下）
MA Q
§4–4 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式： Fy 0 , mOF 0
Fx 0 :
N Ax 0
Fy 0 :
N Ay Q ND 0
mAF 0 :
3 2 Q 2ND M 0
4、联立求解：
y
平面一般力系
.
4
F BC
FB
B FC
B
M
C
C
F
' A
FA
P
P
为什么钳工攻丝时， 两手要均匀用力？
A
A
牛腿柱的压、弯组合变形
.
5
为 什 么 有 时 滑 轮 不 给 尺 寸
.
6
二、平面一般力系向一点的简化
1、向简化中心平移—得到平面汇交力系和平 面力偶系
Fn
An o
A1
A2 F2
F1
F
' n
Mn o
F
' 2
F B2M P5 32.5P5 420 A F A x
P
FB
B
代入数据解得： FAx=3 kN FAy=5 kN FB=－1 kN
.
20
例3-5 自重为P=100 kN的T字型刚架 ABD，置于铅 垂面内，尺寸及载荷如图。其中 M=20 kN·m ， F=400 kN ， q= 20 kN/m ，l=1 m 。试 求固定端A的 约束反力。
（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重 P3 应为多少？
（2）当平衡荷重 P3=180 kN 时，求满载时轨道 A、 B给起重 机轮子的反力
P3
6m
12 m
P2
P1
AB
.
33
P3
6m
12 m
P1
AB
FA 4 FB
分析：要使起重机不翻倒，应
按临界状态的平衡条件求解。
当满载时，为使起重机不绕 B
F1' M 1 M 2
{F1,F2,,Fn} {F 1',F 2', ,F n', M1,M2,,Mn}
平面一般力系
平面一般力系
若力系中各力作用线在同一平面内，既不完全汇交，也不完全平行，称为平面一般力系。
指的是力系中各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系。
又称为平面任意力系。
平面一般力系的平衡条件是；平面一般力系中，所有各力在力系作用的平面内，两个互相垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即平面一般力系平衡的充分必要条件：主矢量和主矩都为零。
其平衡方程为：ΣFx=0ΣFy=0ΣMo（F）=0.
平面力系分为平面汇交力系、平面力偶系、平面任意力系、平面平行力系。
力系合成三角形法则
当刚体受到两个力的作用时：其中一个力保持不变，将第二个力的起点平移连接在另一个力的末端，然后连接剩下的一个力的起点和另一个力的末端构成一个三角形。
最后连接的那条边就为两力的合力大小，方向为从一个力的起点到另一个力的末端。
工程力学课件 第四章 平面一般力系
第4章 平面一般力系
14
3. 力系平衡
0, MO 0 FR
FR′
O
MO
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
15
证明： 如下图所示，显然有
M O ( FR ) FR d M O , M O M O ( F ), M O ( FR ) M O ( F )
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
1
第4章 平面一般力系
前言 §4-1 力线平移定理 §4-2 平面一般力系向一点简化 §4-3 分布荷载 §4-4 平面一般力系的平衡条件
§4-5 平面平行力系的平衡条件 §4-6 物体系统的平衡问题 §4-7 滑动摩擦
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
2
前言
平面一般力系是指位于同一平面内的诸力其作 用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。 工程计算中的很多实际问题都可以简化为平 面一般力系来处理。
FAx A D
B x
arctan
FA y FA x
E F
FAy
P
思考题 4-4 如果例题4-3中的荷载F可以沿AB梁移动，问： 荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力（FT）最大？ 其值为多少？
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
33
思考题 4-5 (1) 由右图所示的受力图，试按
M A (F ) 0 M B (F ) 0 F
22
(2) 非均布荷载：荷载集度不是常数。 如坝体所受的水压力等。
A qy y
B C
课程：工程力学
工程力学第3节 平面一般力系
• 2）力偶 M 对平面上任意一点的矩为常量。
• 3）应尽量选择各未知力作用线的交点为力矩方 程的矩心，使力矩方程中未知量的个数尽量少。
例2-10 如图所示一可 沿轨道移动的塔式起重 机，机身重G=200kN， 作用线通过塔架中心。 最大起重量FP=80kN。 为防止起重机在满载时 向右倾倒，在离中心线 x 处附加一平衡重FQ， 但又必须防止起重机在 空载时向左边倾倒。试 确定平衡重FQ以及离左 边轨道的距离 x 的值。
i 1 i 1 n i 1 n
n
• 二力矩式：A、B 两点的联线 AB 不能与 x 轴垂直。 • 三力矩式：A、B﹑C 三点不能共线。 • 选用基本式﹑二力矩式还是三力矩式，完全决定于 计算是否方便。不论何种形式，独立的平衡方程只 有三个。
四
平面平行力系的平衡方程
平面平行力系平衡的充分 必要条件是：力系中各力的代 数和等于零，以及各力对任一 点的矩的代数和等于零。 平衡方程 的解析式 （基本式） 注意
Fiy 0 M O ( Fi ) 0
i 1 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
i 1 i 1 n
n
二力矩式中A、B 两点的联线不能与 x 轴垂直。
例2-7 如图所示，数控车床一齿轮转动轴自重 G = 900N，水平安装在向心轴承A和向心推力轴承B 之间。齿轮受一水平推力F 的作用。已知 a = 0.4m， b = 0.6m，c = 0.25m，F = 160N。当不计轴承的宽度 和摩擦时，试求轴上A、B处所受的约束反力。
Fiy 0 M O ( Fi ) 0
i 1 i 1 n
i 1 n
二 力 矩 式 注意
Fix 0 M A ( Fi ) 0 M B ( Fi ) 0
02 平面一般力系
y O
这是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一 力矩式方程。
二、平面任意力系平衡问题的解题步骤
定。确定研究对象。 画。画出分离体受力图。 列。列平衡方程。 校。利用所学知识检查结果的正确性。
§4-3 平面平行力系的平衡方程及其应用
在平面平行力系中，若选择直角坐标轴的y(或x)轴与 力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影 均为零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)。于是平行力系只有两 个独立的平衡方程， 即 Fy 或 Fx 0
(a)
(b)
(c)
平面任意力系的简化，主矢与主矩 力系的主矢
y A1 F1 O A2 F2 An (a) Fn Mn MO
1
y
Fn FR
＝
F1
M2 F2
x
＝
O
O MO
FR
x
d
O
FR
O
d
O
FR (d)
FR (e)
(b)
(c)
平移力组成的平面汇交力系的合力, 称为原平面任意 力系的主矢。 作用点在简化中心O点，大小等于 各分力的矢量和，即
y a E1
a
F2
O
x
F3
F4
2.5 如练习2.5图所示三角支架的铰链A处销钉上悬挂一 重物G，各杆自重不计，已知G=10kN，试求杆AB、 AC所受的力。
B 6 0° G 3 0° C (a) A A B 6 0° 6 0° C
G (b )
2.6 构件的支承和载荷情况如练习2.6图所示，l=4m， 求支座A、B的约束反力。
一、平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的必要与充分条件为: FR′=0， MO=0。即
这是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一 力矩式方程。
二、平面任意力系平衡问题的解题步骤
定。确定研究对象。 画。画出分离体受力图。 列。列平衡方程。 校。利用所学知识检查结果的正确性。
§4-3 平面平行力系的平衡方程及其应用
在平面平行力系中，若选择直角坐标轴的y(或x)轴与 力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影 均为零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)。于是平行力系只有两 个独立的平衡方程， 即 Fy 或 Fx 0
(a)
(b)
(c)
平面任意力系的简化，主矢与主矩 力系的主矢
y A1 F1 O A2 F2 An (a) Fn Mn MO
1
y
Fn FR
＝
F1
M2 F2
x
＝
O
O MO
FR
x
d
O
FR
O
d
O
FR (d)
FR (e)
(b)
(c)
平移力组成的平面汇交力系的合力, 称为原平面任意 力系的主矢。 作用点在简化中心O点，大小等于 各分力的矢量和，即
y a E1
a
F2
O
x
F3
F4
2.5 如练习2.5图所示三角支架的铰链A处销钉上悬挂一 重物G，各杆自重不计，已知G=10kN，试求杆AB、 AC所受的力。
B 6 0° G 3 0° C (a) A A B 6 0° 6 0° C
G (b )
2.6 构件的支承和载荷情况如练习2.6图所示，l=4m， 求支座A、B的约束反力。
一、平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的必要与充分条件为: FR′=0， MO=0。即
第四章平面一般力系
雨棚
RA MA
雨棚
XA A
MA YA
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
简化结果分析
1. R 0 , MO 0
即原力系与一合力偶等效,其
MO
矩为 M=MO。故只有在此时主矩与
O
“O”的位置 无关。
2. R 0 , MO 0
即原力系与R′等效，所以称R′为原 力系的合力，且过点“O ” 。
平面 汇交 力系
R´( 过“O” 但与“O” 无关）
体转动效果的 物理量
主矢 + 主矩
意 向“O” 简化 力 系
平面 力偶 系
MO (与“O” 有关）
描述力系 对物体移 动效果的
物理量
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
固定端约束力 固定端约束 —— 物体受约束的一端既不能沿 任何方向移动，也不能转动。如深埋在地底下 的电线杆、牢固浇筑在基础上的水泥柱及车站 的雨棚等。
MO (Fi )
即：平面任意力系的主矩MO 为力系中各个力对 点“O”力矩的代数和。
很明显，一旦“O ”的位置改变，各力偶矩的 大小和转向也随之而变，因此，MO 与“O ”有关。
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
二、 主矢和主矩
r
大小：MO mO(Fi )
主矩 MO 方向：方向规定 +
合力矩定理
R 0 , MO 0
R´
MO
O
R´
= Od R
R" O'
=
R Od
O'
R R R d MO
R
合力矩定理 Rd MO (R) MO (F )
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
第2章平面一般力系
11
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。 （2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（ 它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心 的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：
主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 (3)将平面力偶系合成：
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
=
MO
mn
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: MO =m1+m2+…+mn
F' n
mO (F1 ) mO (F 2 ) ... mO (F n ) mO ( F i )
F'1 m1
R'
F' 2
=
m2
mn
F' n
（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。 （2）将平面汇交力系合成： R' F'1 F'2 ... F'n F 1 F 2 ... F n Fi 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（ 它是不是原力系的合力？），用 R' 表示，即 R' F i
1
第二章
系。
平面一般力系
平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于 一点的力系。
（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平 行的力系。
（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
2
第二章
平面一般力系
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心 的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
12
过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴
上的投影为：
R'x X 1 X 2 X n X i ' Ry Y1 Y2 Yn Yi 则主矢的大小：
理论力学4 平面一般力系
力F ′+ 力偶（ F ， F ′′）
3
说明： 说明 力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 （例断丝锥） 例断丝锥）
力+力偶 力偶
有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d 力平移的条件是附加一个力偶 ， 与 有关 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 力线平移定理是力系简化的理论基础。
Fx = 0, FAx − FT cos 30 0 = 0 ∑
Fy = 0, FAy + FT sin300 − P −Q = 0 ∑
1 ∑ M A = 0, FT 2 ⋅ 6a − P ⋅ 3a − Q ⋅ 4a = 0 F T = 17 . 33 kN 解得： F Ax = 15 . 01 kN 解得： F 22 Ay = 5 . 33 kN
a a 两力作用线过x1 = 和x2 = 3 2
17
§3-4
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r ′ 即 FR = 0
Mo = 0
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
∑ F = 0, F = 0 ∑ Fy = 0, FAy + FBy − P − q ⋅ 2a = 0
9
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束 说明 ① 认为Fi这群力在同一平面内; 雨搭 ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ FA方向不定可用正交分力FAX, FAY 表示; ④ FAX, FAY, MA为固定端约束反力;
FR FYA FXA
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明德 砺志 博学 笃行
工程中的桁架结构
明德 砺志 博学 笃行 桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。 桁架
节点
杆件
明德 砺志 博学 笃行 桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。 桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接； ③外力作用在节点上。
∑ m i =0
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 ∑mO ( Fi ) = 0 当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目≥ 独立方程数目 未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
明德 砺志 博学 笃行 ⑵求当Q=180kN，满载 求当 ，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 时 由平面平行力系的平衡方程可得： 由平面平行力系的平衡方程可得：
主矢 FR ′
方向： 方向
（移动效应 移动效应） 移动效应
∑F cosα =
′ FR
x
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
明德 砺志 博学 笃行 大小： 大小 M O = ∑mO ( Fi ) 主矩M 主矩 O （转动效应 转动效应） 转动效应 方向： 方向 方向规定 + —
明德 砺志 博学 笃行
§3 - 3
简化结果分析 • 合力矩定理
简化结果： 主矢
① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ， ② FR =0,MO≠0
′
′ FR ，主矩 MO ，下面分别讨论。
即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
′
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③ FR′ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, （
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 外力 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 内力
明德 砺志 博学 笃行
物系平衡的特点： 物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 平衡方程，整个系统可列3 个方程 个方程（ 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 个物体） 有n个物体） 个物体
明德 砺志 博学 笃行
明德 砺志 博学 笃行
第三章
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 平面任意力系 又不相互平行的力系叫∼。 [例] 例
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系向一点简化 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
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第三章 平面任意力系 §3–1 力线平移定理 §3–2 平面任意力系向一点简化 §3–3 简化结果分析 • 合力矩定理 §3–4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §3–5 平面平行力系的平衡方程 静定与静不定问题•物体系统的平衡 §3–6 静定与静不定问题 物体系统的平衡 §3–7 平面简单桁架的内力分析 平面任意力系习题课
由∑ m A ( Fi ) = 0
∑X =0 ∑Y = 0
− P ⋅ 2 a + N B ⋅3a = 0 , ∴ N B =
XA =0
2P 3
YB + N B − P = 0,
∴Y A =
P 3
明德 砺志 博学 笃行
§3 - 5
平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼。 平面平行力系 设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
R
∴ MO (R)=∑mO (Fi )
i=1
而合力对O点的矩 n
mO ( R ) = R ⋅d = M O (主矩)
———合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。 中各力对于同一点之矩的代数和。
明德 砺志 博学 笃行
§3 - 4
由于
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为 平面任意力系平衡的充要条件为： 平面任意力系平衡的充要条件为 力系的主矢 都等于零，即： 和主矩 MO 都等于零
R' = (∑ X ) + (∑ Y ) = 0 M O = ∑mO ( Fi ) = 0
明德 砺志 博学 笃行 [例] 已知：塔式起重机 P=700kN, 例 W=200kN (最大起重量)，尺寸如 图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
明德 砺志 博学 笃行 首先考虑满载时， ⑴ 解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为 重机不向右翻倒的最小 为：
∑mA(F)=0 ∑Fi =0,
Q(6−2)−P⋅2−W(12+2)+NB⋅4=0
−Q−P−W+NA+NB =0
解得： 解得：
N A =210kN, NB =870kN
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§3-6 静定与静不定问题 ⋅ 物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 ∑ X = 0 ∑Y = 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
∑Y = 0 P − S B ⋅ cosα = 0
P ∴S B = , N = P tgα cosα
明德 砺志 博学 笃行
再研究轮
∑mO ( F ) = 0
S A ⋅cosα ⋅ R − M = 0 ∑X =0
X O + S A ⋅sinα = 0
S A ⋅cosα +YO = 0
∑Y = 0
∴ M = PR
FR = FR 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
′
。（此时
明德 砺志 博学 笃行
′ ④ FR≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续简 可以继续简
化为一个合力 FR 。
合力FR的大小等于原力系的主矢 合力FR的作用线位置
MO d= FR
明德 砺志 博学 笃行 结论： 结论： 合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 n O ； ②合力 M O = ∑mO ( Fi ) i =1 合力矩定理：由于主矩 合力矩定理
明德 砺志 博学 笃行
主 F ' = F + F + F +K= ∑F 矢R 1 2 3 i
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +K =mO (F )+mO (F2 )+K ∑mO (Fi ) = 1
2 2 ′2 ′2 大小： ′ 大小 FR = FRx + FRy = (∑ Fx ) + (∑ Fy )
由∑ X = 0, X A = 0
∑mA(F )=0 ;
a RB ⋅a+q⋅a⋅ +m−P⋅2a=0 2 ∑ Y = 0 ∴Y A + RB − qa − P = 0
解得：
qa m 20×0.8 16 RB =− − +2P=− − +2×20=12(kN) 2 a 2 0.8 YA =P+qa−RB =20+20×0.8−12=24(kN)
②二矩式 条件： 条件：x 轴不⊥ AB 连线
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
明德 砺志 博学 笃行 [例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 例 解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上） 解除约束
∑ m A ( Fi ) = 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 ∑ X = 0 恒成立 的未知数。 ，所以只有两个 独立方程，只能求解两个独立
一矩式
二矩式
∑ mB ( Fi ) = 0
条件： 连线不能平行 条件：AB连线不能平行 于力的作用线
明德 砺志 博学 笃行 [例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 例 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
明德 砺志 博学 笃行
§3 - 1
力线平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点 的力 平行移到任一 力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力 F 可以把作用在刚体上点 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 ，但必须同时附加一个力偶。 对新作用点B的矩 的矩。 的矩等于原来的力 F对新作用点 的矩。 [证] 力F 证 力系 F , F ′, F ′′
X O = − P tgα
YO = − P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
明德 砺志 博学 笃行
§4-7 平面简单桁架的内力分析
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架 桁架
明德 砺志 博学 笃行
工程中的桁架结构
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工程中的桁架结构
明德 砺志 博学 笃行
工程中的桁架结构
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端）约束 固定端（插入端） 在工程中常见的
雨搭
车刀
明德 砺志 博学 笃行 固定端（插入端） 固定端（插入端）约束 说明