(统编版)2020学年高中数学第一章推理与证明3反证法教学案北师大版选修2298

§3反_证_法

[对应学生用书P8]

1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？

提示：说的是“不拥有的人们不幸福”．

2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．

问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？

提示：不能．

问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2＋b2＝c2吗？

提示：a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.

1．反证法的定义

在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．

2．反证法的证题步骤

(1)作出否定结论的假设；

(2)进行推理，导出矛盾；

(3)否定假设，肯定结论．

1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的．

2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．

[对应学生用书P8]

用反证法证明否(肯)定式命题

[例1] 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

[思路点拨] 此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项．

[精解详析] 假设a，b，c成等差数列，

则a＋c＝2b，

即a＋c＋2ac＝4b，

而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，

∴(a－c)2＝0，即a＝c，

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

[一点通]

(1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．

(2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题．

1．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．

证明：假设a不是偶数，则a为奇数．

设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.

∵4(m2＋m)是偶数，

∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾．

∴a一定是偶数．

2.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD

的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．

证明：假设直线BM与A1N共面．

则A 1D 1平面A 1BND 1，且平面A 1BND 1∩平面ABCD ＝BN ， 由正方体特征知A 1D 1∥平面ABCD ，故A 1D 1∥BN ， 又A 1D 1∥BC ，所以BN ∥BC .

这与BN ∩BC ＝B 矛盾，故假设不成立． 所以直线BM 与直线A 1N 是两条异面直线.

用反证法证明唯一性命题

[例2] 求证函数f (x )＝2x ＋1有且只有一个零点． [思路点拨] 一般先证存在性，再用反证法证唯一性．

[精解详析] (1)存在性：因为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝0，所以－12为函数f (x )＝2x ＋1的零点． 所以函数f (x )＝2x ＋1至少存在一个零点．

(2)唯一性：假设函数f (x )＝2x ＋1除－12外还有零点x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f (x 0)＝

0.

即2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＋1＝2x 0＋1

∴x 0＝－12，这与x 0≠－1

2

矛盾．

故假设不成立，即函数f (x )＝2x ＋1除－1

2外没有零点．

综上所述，函数f (x )＝2x ＋1有且只有一个零点． [一点通]

(1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．

(2)“有且只有”的含义有两层①存在性：本题中只需找到函数f (x )＝2x ＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．

3．过平面α上一点A ，作直线a ⊥α，求证：a 是唯一的． 证明：假设a 不是唯一的，则过点A 至少还有一条直线b 满足b ⊥α. ∵a ，b 是相交直线，∴a ，b 可以确定一个平面β.

设α和β相交于过点A的直线c.

∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c，又a∩b＝A，∴c⊥β.

这与cβ矛盾．

故过点A垂直于平面α的直线有且只有一条，即a是唯一的．

4．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行．证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a. 因为b∥a，由平行公理知b′∥b.

这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.

用反证法证明“至多”或“至少”类命题

[例3] 已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋

π

2

，b＝y2－2z＋

π

3

，c＝z2－2x＋

π

6

.求证：a，b，c中至少有一个大于0.

[精解详析] 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.

所以a＋b＋c≤0.

而a＋b＋c

＝

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

x2－2y＋

π

2

＋

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

y2－2z＋

π

3

＋

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

z2－2x＋

π

6

＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.

所以a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.

[一点通]

(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．

(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：

原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个

反设词

一个也没有

(不存在)

至少有两个

至多有n－1

个

至少有n＋1

个5．已知x，y>0，且x＋y>2.