3.2.1 简单的三角恒等变换(一)

2cos

2
2 tan 2 cos 2
sin

半角公式：
1 cos sin 2 2 1 cos 2 cos 2 2
2


1 cos sin 2 2 1 cos cos 2 2 1 cos tan 2 1 cos
5 ( 2) x [ , ] 2 x [0, ] 8 4 4 4 3 fmax ( x ) 2 (x ) 8 5 fmin ( x ) 1 (x ) 4
3

x 例4. 已知 x y 3 cos4 ， －y 4 sin2 ，
求证： x y 2 .
2 2
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2 sin 2 sin cos 2
2
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
sin 2 2 sin cos
（升幂公式）
（降幂公式）
学习了和差角公式、倍角公式后，我们就有了 进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、 思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理论证能 力、运算求解能力提供了新的平台. 从本节课开始， 我们主要将在已有的十一个公式的基础上，以推导 和差化积、积化和差、半角公式作为基本的训练过 程，学习三角变换的内容、思路和方法，并归纳三 角变换的特点与方法、技巧.
1 cos tan . 2 1 cos
2

问题2： 求证:
sin 1 cos tan . 2 1 cos sin

sin 证明： 1 cos
2sin

2
cos
2

2 2 2sin sin 1 cos 2 2 tan 2 sin cos 2sin cos 2 2 2 sin 1 cos tan . 2 1 cos sin
1Baidu Nhomakorabea2 1 2
证明：
x y 3 cos4 ， 由 得 x－y 4 sin2 ， 4 1 cos 4 4 sin 2 2 2 si n2 2 2 si n2 2 3 cos 4 4 sin 2 2 x sin sin )sin2 1 (1 2 2 2 22 2 2 1 cos 4 4 sin 2 2 2 si2n 2 4 si n2 2 3 cos 4 4 sin 2 2 sin sin2 )sin2 1 y (1 2 2
3.2.1 简单的三角恒等变换（一）
知识回顾:
和 sin( ) sin cos cos sin （S( )） 差 cos( ) cos cos sin sin （C( ） ) 公 tan tan （T( ） tan( ) ) 1 tan tan 式
1 2 1 2
22
2
x y (1 sin2 ) (1 sin2 ) 2 .
课后作业
1.教材习题3.2A组 1~5
2.《步步高》3.2 3. 预习教材3.2第二部分
, cos , tan . 问题1：. 用 cos 表示 sin 2 2 2 分析： 与 有什么关系？
2 2 2



2
解： 是 的二倍角. 由余弦倍角公式得： 2 2 1 cos 2 cos(2 cos 1 2sin ) , sin . 2 2 2 2 1 cos 2 2 . 1 , cos 又 cos 2cos 2 2 2

1 cos tan 2 1 cos
2


1 cos sin tan 2 1 cos sin
注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一 确定。应根据角的象限定符号！
1 α α 例 1 已知 cos α＝ ，α 为第四象限角，求 sin 、cos 、 3 2 2 α tan . 2
1 1 5 1 . 2 2 4
例3
已知函数 f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1，x∈R.
(1)求函数 f(x)的最小正周期； π 3π (2)求函数 f(x)在区间8， 4 上的最小值和最大值．
解： (1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 π ＝sin 2x－cos 2x＝ 2sin2x－4. 因此，函数 f(x)的最小正周期为 π.
sin2 2 sin cos
倍 角 公 式
（S2）
（C2）
cos 2 cos 2 sin 2
2 cos 2 1 1 2 sin 2 2 tan tan2 1 tan 2
（T2）
由公式： 2 cos
2 cos 1 1 2 sin , sin 2 2 sin cos . 得：
5 5 2 cos cos cos . 例2. 求值 cos 12 12 12 12
2
解：
10 2 1 cos 1 cos 12 12 cos( ) cos 原式 2 2 2 12 12
1 5 1 (cos cos ) sin cos 2 6 6 12 12 1 1 1 ( cos cos ) 2 sin cos 2 6 6 2 12 12 1 1 sin 2 6
解： α sin ＝± 2 1－cos α ＝± 2 1 1－ 3 3 ＝± ， 2 3
α cos ＝± 2 α tan ＝± 2
1＋cos α ＝± 2 1－cos α ＝± 1＋cos α
1 1＋ 3 6 ＝± ， 2 3 1 1－ 3 2 ＝± . 1 2 1＋ 3
α ∵α为第四象限角，∴ 为第二、四象限角． 2
α 当 为第二象限角时， 2 α 3 α 6 α 2 sin ＝ ，cos ＝－ ，tan ＝－ ； 2 3 2 3 2 2
α 当 为第四象限角时， 2 α 3 α 6 α 2 sin ＝－ ，cos ＝ ，tan ＝－ . 2 3 2 3 2 2
小结 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不 θ 能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan ， 2 1－cos θ θ sin θ 还要注意运用公式 tan ＝ ＝ 来求值． 2 1＋cos θ sin θ