相对论2-3
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 于是爱因斯坦引力场方程在弱场情形下可写为牛 顿引力场方程（泊松方程）：
G 8GT 8G
2
• 而爱因斯坦引力场方程最后可写为
G 8GT
§3-8引力辐射（引力波）
• 已知在弱场近似下，场方程可写为
R , ,
1 g R kT 2
T • 若对真空（无物质分布）情形， 0
R k (T g T) 2
G R 0
§3-6场方程的牛顿近似
• 先看方程左边的几何量： R R , , ∵
00
T 00 u 0 u 0 g
T 0i 0 T ij
T T T00
• 现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分 布，于是利用场方程
1 R g R kT 2 1 g R kT R 2 1 R k (T g T) 12
加速度 惯性力 • 引力的几何化 0 ， ——空间弯曲 存在引力 即引力将导致空间的弯曲
§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程
• 思路： 等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示 广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量 表示 • 物质的能量—动量分布→动力学状态
F T
又 R g g R R ∴ R 00 R 00 ， 0i R 0i ， R
R ij R ij
1 R 00 h 00,ij 2 1 R 0i (h k 0,ik h 0i ,kk ) 2
1 R ij (h kk ,ij h ki, jk h kj, jk h ij,kk ) 2
1 , (h , h, h , h, ) 2
取变换，（为方便计）
h h 1 h 2
2
or h h h 1 h
∴
1 R R R 8GT 2
, , , , h , h h , h , 16 GT
有
R k (T g T) 2 1 R 00 k (T 00 g 00 T) 2
左= R 00 1 h 00,ii 2
右= k( g 1 g 00 ()) k(g 00 1 g 00 ) k g 00 k 2 2 2 2 故有 h 00,ii k 4°注意到 1
00
g00 1 2 , h00 2
∴ 上述方程变为
,ii 1 k 2 k 2 2
将之与牛顿引力方程比较
2 4G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 8G
• 可见，在弱场，静态情形，爱因斯坦引力场方程 还原到牛顿的引力方程——广义相对论包含了牛
顿引力论为其极限情形。
• 广义相对性原理 • 真实的物理规律在一切参考系都应有相同的数 学形式——一切参考系平权。 ①取消了惯性系的优越地位； ②一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响。
§3-3引力几何化 •
在平直空间（如闵氏空间），一质点在惯性系中 作自由运动的方程（惯性运动——匀速直线运动） 为
d 2X 0 ds 2
第三章
相对论性的引力理论
广义相对论理论是一个协变的引力理论。它包 含两个部分。一部分是等效原理，它说明有引 力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度 规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引 力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分 布的依赖关系。
§3-1 引力质量与惯性质量的等同性
• 惯性质量与引力质量 • 牛二： F m I a m I —惯性质量, 反映物体保持原有运动状态本领 的量度。 • 牛万： F Gm g M
• 引入广义坐标（非惯性关系）
x x ( X )
则运动方程变为
d 2 x dx dx 0 ds ds ds 2
• 式中
2 X x x x X
or
d 2 x dx dx ds 2 ds ds
1 g (g , g , g , ) 2
对弱场情形，有 1°
g h
h ——小量，
| h | 1
——闵氏度规张量
∴
1 ( h )(h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , ) 2
mg mI 1 0(10 8 )
•
因此，实验结果支持
mI mg
§3-2 等效原理
• 1908年，爱因斯坦以 m I m g 为基础提出等效
原理。 • 等效原理（弱）：在局域范围内，引力和惯性力 的力学效果相同； • 等效原理（强）：在局域范围内，引力与惯性力 等效。
• 爱因斯坦电梯
1 (h , h , h , ) 2 1 , (h , h , h , ) 2 0(h 2 )
,
1 R , , (h , h , h , h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , h , ) 2
2°对理想流体，有能量—动量张量
T U U
式中
——物质密度
dx ——四维速度， u d d ——固有时
且
d 2 ds 2 g dx dx
g u u 1
3°取共动坐标系（co-moving frame）
u
∴
1 (1,0,0,0) g 00
引
r2
m g —引力质量, 反映物体具有引力大小的量度。
☆考虑自由落体： m I a m g g g——地球重力加速度
a mg mI g
——伽俐略比萨斜塔实验 mI mg ☆牛顿摆（金，银等）：
mg mI T 2 , 周期相同 1 0( to 3 ) mgg mI
☆厄阜（ Etvs 匈牙利中学教师）扭摆： o o
• 可见
h A e
——引力辐射波
与电磁波在形式上一样。
引入谐和坐标条件：
g
0
x 0
则引力场方程化为
h , 16 GT
,
——波动方程
• 对无源区域（引力波传播空间）有
h ,, 0
谐和条件（or洛仑兹规范条件）为
h
,
1 0 h h, 0 2
,
i ( k r t )
几何量 物质分布
F R g R g
• 利用能量—动量张量守恒律
T ; 0
F R g R g
最后得爱因斯坦场方程
G R
1 R k (T g T) or 21
G 8GT 8G
2
• 而爱因斯坦引力场方程最后可写为
G 8GT
§3-8引力辐射（引力波）
• 已知在弱场近似下，场方程可写为
R , ,
1 g R kT 2
T • 若对真空（无物质分布）情形， 0
R k (T g T) 2
G R 0
§3-6场方程的牛顿近似
• 先看方程左边的几何量： R R , , ∵
00
T 00 u 0 u 0 g
T 0i 0 T ij
T T T00
• 现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分 布，于是利用场方程
1 R g R kT 2 1 g R kT R 2 1 R k (T g T) 12
加速度 惯性力 • 引力的几何化 0 ， ——空间弯曲 存在引力 即引力将导致空间的弯曲
§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程
• 思路： 等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示 广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量 表示 • 物质的能量—动量分布→动力学状态
F T
又 R g g R R ∴ R 00 R 00 ， 0i R 0i ， R
R ij R ij
1 R 00 h 00,ij 2 1 R 0i (h k 0,ik h 0i ,kk ) 2
1 R ij (h kk ,ij h ki, jk h kj, jk h ij,kk ) 2
1 , (h , h, h , h, ) 2
取变换，（为方便计）
h h 1 h 2
2
or h h h 1 h
∴
1 R R R 8GT 2
, , , , h , h h , h , 16 GT
有
R k (T g T) 2 1 R 00 k (T 00 g 00 T) 2
左= R 00 1 h 00,ii 2
右= k( g 1 g 00 ()) k(g 00 1 g 00 ) k g 00 k 2 2 2 2 故有 h 00,ii k 4°注意到 1
00
g00 1 2 , h00 2
∴ 上述方程变为
,ii 1 k 2 k 2 2
将之与牛顿引力方程比较
2 4G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 8G
• 可见，在弱场，静态情形，爱因斯坦引力场方程 还原到牛顿的引力方程——广义相对论包含了牛
顿引力论为其极限情形。
• 广义相对性原理 • 真实的物理规律在一切参考系都应有相同的数 学形式——一切参考系平权。 ①取消了惯性系的优越地位； ②一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响。
§3-3引力几何化 •
在平直空间（如闵氏空间），一质点在惯性系中 作自由运动的方程（惯性运动——匀速直线运动） 为
d 2X 0 ds 2
第三章
相对论性的引力理论
广义相对论理论是一个协变的引力理论。它包 含两个部分。一部分是等效原理，它说明有引 力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度 规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引 力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分 布的依赖关系。
§3-1 引力质量与惯性质量的等同性
• 惯性质量与引力质量 • 牛二： F m I a m I —惯性质量, 反映物体保持原有运动状态本领 的量度。 • 牛万： F Gm g M
• 引入广义坐标（非惯性关系）
x x ( X )
则运动方程变为
d 2 x dx dx 0 ds ds ds 2
• 式中
2 X x x x X
or
d 2 x dx dx ds 2 ds ds
1 g (g , g , g , ) 2
对弱场情形，有 1°
g h
h ——小量，
| h | 1
——闵氏度规张量
∴
1 ( h )(h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , ) 2
mg mI 1 0(10 8 )
•
因此，实验结果支持
mI mg
§3-2 等效原理
• 1908年，爱因斯坦以 m I m g 为基础提出等效
原理。 • 等效原理（弱）：在局域范围内，引力和惯性力 的力学效果相同； • 等效原理（强）：在局域范围内，引力与惯性力 等效。
• 爱因斯坦电梯
1 (h , h , h , ) 2 1 , (h , h , h , ) 2 0(h 2 )
,
1 R , , (h , h , h , h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , h , ) 2
2°对理想流体，有能量—动量张量
T U U
式中
——物质密度
dx ——四维速度， u d d ——固有时
且
d 2 ds 2 g dx dx
g u u 1
3°取共动坐标系（co-moving frame）
u
∴
1 (1,0,0,0) g 00
引
r2
m g —引力质量, 反映物体具有引力大小的量度。
☆考虑自由落体： m I a m g g g——地球重力加速度
a mg mI g
——伽俐略比萨斜塔实验 mI mg ☆牛顿摆（金，银等）：
mg mI T 2 , 周期相同 1 0( to 3 ) mgg mI
☆厄阜（ Etvs 匈牙利中学教师）扭摆： o o
• 可见
h A e
——引力辐射波
与电磁波在形式上一样。
引入谐和坐标条件：
g
0
x 0
则引力场方程化为
h , 16 GT
,
——波动方程
• 对无源区域（引力波传播空间）有
h ,, 0
谐和条件（or洛仑兹规范条件）为
h
,
1 0 h h, 0 2
,
i ( k r t )
几何量 物质分布
F R g R g
• 利用能量—动量张量守恒律
T ; 0
F R g R g
最后得爱因斯坦场方程
G R
1 R k (T g T) or 21