固体热容量的爱因斯坦理论

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晶格比热容的爱因斯坦模型

晶格比热容的爱因斯坦模型引言晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构，具有特定的晶格。

晶体中的原子或分子在晶格中以振动的方式存在，这种振动称为晶格振动。

晶格振动对于物质的热力学性质具有重要影响，其中之一就是比热容。

比热容是描述物质吸收或释放热量能力大小的物理量。

爱因斯坦模型是一种简化的理论模型，用来解释固体中原子或分子的振动行为，并计算固体的比热容。

本文将介绍爱因斯坦模型及其在计算晶体比热容方面的应用。

爱因斯坦模型爱因斯坦模型假设晶体中所有原子（或分子）都以相同频率和相同强度进行振动。

这个频率被称为爱因斯坦频率ωE。

根据量子力学理论，每个振动模式都对应一个能级。

根据玻尔兹曼统计分布，我们可以得到处于能级E n上的概率为：P(E n)=e−E n/kTQ其中，k是玻尔兹曼常数，T是温度，Q是配分函数。

爱因斯坦模型假设晶体中只存在一个能级，即能量为ℏωE的振动模式。

根据这个假设，我们可以得到配分函数：Q=e−ℏωE kT晶格比热容晶格比热容是指单位质量的晶体在单位温度变化下吸收或释放的热量。

根据统计物理学中的基本原理，晶格比热容可以通过配分函数计算得到。

晶格比热容C v与配分函数之间的关系为：C v=k(∂2lnQ ∂T2)将爱因斯坦模型中的配分函数代入上式，并对温度求导，我们可以得到晶格比热容的表达式：C v =3k (ℏωE kT )2e ℏωE /kT(e ℏωE /kT −1)2结论爱因斯坦模型提供了一种简化的方法来计算固体的比热容。

通过假设所有振动模式具有相同频率和强度，我们可以得到晶格比热容的表达式。

然而，爱因斯坦模型也存在一些局限性。

它无法描述晶体中不同振动模式之间的耦合效应，以及频率分布的影响。

因此，在实际应用中，我们需要考虑更复杂的模型来计算比热容。

总之，爱因斯坦模型为我们理解固体的比热容提供了一个简化的框架。

通过进一步发展和改进模型，我们可以更准确地预测物质在不同温度下的热力学性质。

理想固体的爱因斯坦模型

理想固体的爱因斯坦模型理想固体是一个理论物体，它在外力作用下不发生形变且存在内部微观结构。

其考虑了物体内部原子之间的相互作用，因此在物体受外力时，其原子内部的运动状态也会发生改变。

在分子动力学和固体物理学中，人们通过使用多项式形式的原子之间势函数模拟了这种微观结构。

然而，这种方法需要处理大量的非线性项，因此具有很高的计算复杂度。

为了解决这个问题，爱因斯坦提出了一种基于简单谐振子模型的理论，被称为爱因斯坦模型。

其基本思想是将固体中的原子看做是一些简单谐振子，从而可以将固体的理论描述转化成谐振子的计算。

爱因斯坦模型假设原子在所有空间方向上的振动是相同的。

因此，其谐振子具有相同的振动频率。

这种假设的基础是固体中的振动模式在频率上非常密集，采用一个平均值来代替实际情况不会对结果产生太大影响。

基于这个假设，可以得出固体中每个谐振子能量的计算公式。

在爱因斯坦模型中，每一个谐振子的能量可以用以下公式表示：E = ℏω+1/2 ℏω+1/2 ℏω+1/2 … + 1/2 ℏω其中，E是谐振子的总能量，ℏ是普朗克常数，ω是频率。

公式中的第一项ℏω表示最低能量的谐振子，后续的项表示各个谐振子不同能量贡献的总和。

这个公式的意义在于，所有谐振子中振动模式等价，且每个模式中的能量只有ℏω的整数倍。

因此，在整个系统中，所有谐振子受到的总能量相等，可以等价地表示为某一个谐振子出现在系统中多次振动所受到的能量之和。

爱因斯坦模型的一个重要应用是预测固体的热力学性质。

固体的热力学性质主要由其内部原子之间的相互作用方式决定。

基于爱因斯坦模型，可以计算出固体在吸收或释放热量时的热容。

这个计算不仅包含了固体原子的质量和结构等特性，还受到自然界温度态的影响。

通过热容的计算，可以更好地理解固体热力学特性，并为研究在不同温度下固体的性质提供依据。

总的来说，爱因斯坦模型是一种既简单又实用的工具，用于研究理想固体的物理特性。

它的成功应用证明了原子与分子振动的互动对理想固体的性质有着显著的影响。

热统试题

2005—2006学年度第二学期期末考试试卷（卷）系别：物理与电子信息学院课程名称：热力学统计物理注意事项：1、教师出题时请勿超出边界线；2、学生答题前将密封线外的内容填写清楚，答题不得超出密封线；3、答题请用蓝、黑钢笔或圆珠笔。

一、填空题：（每题4分，共20分）1、热力学第二定律可表为i e ds s d ds +=其中i ds 为熵产生，它们的取值范围是：。

2、)(KL L 为动理系数，昻萨格关系为lk kl L L =试说明其含义。

：。

3、在弱简并理想玻色气体和费米气体中，气体的内能为]2411[233λn g NKT U ±=，（“+”代表费米气体，“-”代表玻色气体），由此认为量子统计关联使费米粒子间出现作用，玻色粒子间出现作用。

4、当温度T 〈c T 时，将发生玻色---爱因斯坦凝聚，其内容为在能级E=O 有。

5、巨则分布描写的是具有确定、、的系统。

二、计算、证明题（共80分）1、用巨则分布导出单原子理想气体的物态方程和内能。

（20）2、试证明，在绝对零度下，自由电子的壁数为v n 41，其中V N n =是电子的密度，v 是平均速率。

（20）3、已知kTVp T S eW2∆∆-∆∆-∝，以p S ∆∆,为自变量，证明2)(212)(21S p kC p SpV kT eW ∆-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∝，从而求出2)(S ∆和2)(p ∆ （20）4、设有一园柱形容器，半径为 R ，高为L ，以角速度ω绕其轴线转动，容器内有一同轴的园柱体，半径为<<-δδ(R R) , 高为L ，用扭丝固定，两园柱之间充有气体，试证明，扭丝所受的力矩为δηωπL R G 32=由力矩G 可以测出气体的粘滞系数。

其中牛顿粘滞定律为dx dv P xy 0η=（10）5、设粒子的质量为m ，带有电量e 在平衡状态下遵从麦克斯韦分布，试根据玻耳兹曼方程证明在弱电场下的电导率可以表为：2τσm ne =其中0τ为驰豫时间。

讨论固体中原子、电子对热容量的贡献

讨论固体中原子、电子对热容量的贡献固体是由原子或者分子组成的物质，其热容量是指在加热过程中吸收热量的能力。

热容量的大小反映了固体内部粒子的运动自由度，包括原子和电子的运动。

在固体中，原子和电子对热容量的贡献有着不同的特点和机制。

首先，我们来讨论原子对固体热容量的贡献。

固体中的原子由于受到晶格的限制，其运动仅限于振动，即原子在平衡位置附近做小幅度的振动。

这种振动称为晶格振动或者声子振动。

由于原子振动的自由度有限，因此原子对固体热容量的贡献很小。

然而，随着温度的升高，原子的振动会增强，其能量和热容量也会增大。

根据经典统计物理学的理论，固体的热容量与温度的关系可以由爱因斯坦模型或者德拜模型来描述。

爱因斯坦模型假设固体中的每个原子都具有相同的振动频率，且原子之间没有相互作用。

这个模型对于描述固体的低温热容量是比较准确的，但是在高温下的热容量预测就不太准确了。

爱因斯坦模型预测的固体热容量与温度的关系可以用以下公式表示：Cv = 3Nk [(θE / T)^2 exp(θE / T)] / [(exp(θE / T) - 1)^2]其中，Cv表示固体的摩尔热容量，N表示固体中的原子数目，k是玻尔兹曼常数，θE是爱因斯坦温度，T是绝对温度。

德拜模型更为复杂，它考虑了固体中的原子之间的相互作用。

德拜模型假设固体中的原子之间可以发生相互作用，且每个原子的振动频率不一样。

德拜模型可以更好地解释高温下固体热容量的行为。

德拜模型预测的固体热容量与温度的关系可以用以下公式表示：Cv = 3R [(T / θD)^3 ∫0θD/(T / θD) (x^4 exp(x) / (exp(x) - 1)^2) dx]其中，Cv表示固体的摩尔热容量，R是气体常数，θD是德拜温度，T是绝对温度。

除了原子振动对热容量的贡献外，固体中的电子也对热容量有贡献。

电子是固体中带有负电荷的粒子，其能量受到晶格势场的制约。

在固体中，电子可以在能带中自由运动，其能量由费米能级决定。

论爱因斯坦固体模型中声子的化学势

第３９卷第１０期大　学　物　理Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．１０２０２０年１０月ＣＯＬＬＥＧＥ　ＰＨＹＳＩＣＳＯｃｔ．２０２０收稿日期：２０１９－０９－００；修回日期：２０２０－０２－２６　基金项目：东南大学教学改革研究与实践项目（２０１９－０７４）；教育部高等学校物理学类专业教学指导委员会项目；东南大学理科试验班本科教学综合改革项目资助　作者简介：侯吉旋（１９８３－），男，江西南昌人，东南大学物理学院副教授，博士，主要从事大学物理教学和高分子物理研究工作．论爱因斯坦固体模型中声子的化学势侯吉旋（东南大学物理学院，江苏南京　２１１１８９）摘要：本文利用微正则系综求解了爱因斯坦固体的热力学性质，并说明了在微正则系综中无法独立定义爱因斯坦固体的声子数．在其他系综中，声子数量与温度相互独立，我们严格证明了此时声子的化学势为零．关键词：爱因斯坦固体；声子；化学势中图分类号：Ｏ４１４．２１文献标识码：Ａ文章编号：１００００７１２（２０２０）１０００１２０２【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１００００７１２．１９０４４９爱因斯坦固体模型是研究固体热容量的基本模型．鉴于其简单性，很多统计物理教科书都会提到它［１］．在微正则系综中，由于系统的能量守恒，爱因斯坦固体中声子个数不会发生改变，于是有初学者误以为爱因斯坦固体中声子的化学势不为零．最近彭君波等人探讨了爱因斯坦固体中声子化学势的问题，并得出该模型中声子的化学势为零的结论［２］．本文同意此结论并分析了计算声子气体化学势的条件，以期为初学者提供参考．三维空间中，爱因斯坦理论认为独立振子的个数为固体原子个数的３倍，且每个振子的频率都相同．每个振子的能量是量子化的，皆为ε０的整数倍．我们首先在微正则系综中求解该模型．假设整个固体中有Ｎ个振子、Ｍ个声子，以系统基态能量为能量零点，于是系统的总能量Ｅ可表示为ε≡Ｅ／（ε０Ｎ）＝ｍ（１）其中ε为单个振子的约化能量，ｍ≡Ｍ／Ｎ为每个振子上分配到的声子数．将Ｍ个全同的声子随机地分配到Ｎ个定域的振子上，一共有Ω＝（Ｍ＋Ｎ－１）！Ｍ！（Ｎ－１）！（２）种可能的分配方式．利用斯特林公式，系统的熵Ｓ＝ｋｌｎΩ可表示为ｓ≡Ｓ／（ｋＮ）＝（ｍ＋１）ｌｎ（ｍ＋１）－ｍｌｎｍ（３）其中ｓ为单个振子的约化熵，ｋ为玻尔兹曼常数．使用热力学关系１／Ｔ＝Ｓ／Ｅ，结合式（１）和（３）可得温度的表达式ｔ≡ｋＴ／ε０＝［ｌｎ（１＋ｍ－１）］－１（４）其中ｔ为系统的约化温度．可以看到系统的温度仅为ｍ的单值函数．结合式（１）和（４）便得到爱因斯坦固体内能与温度的关系ε＝１ｅ１／ｔ－１（５）利用内能Ｅ、熵Ｓ和温度Ｔ的表达式，还可以得到系统自由能Ｆ＝Ｅ－ＴＳｆ≡Ｆε０Ｎ＝－ｌｎ（ｍ＋１）ｌｎｍ＋１ｍ（６）其中ｆ为单个振子的约化自由能．由于ｆ仅为ｍ的函数，利用化学势的定义可知μｈ＝ＦＮ()Ｔ＝ε０ｆ（７）ε０ｆ就是振子的化学势μｈ，这与彭君波等人给出的结论一致［２］．对于声子的化学势μｐ，有的初学者会利用式（６）直接计算Ｆ／Ｍ得到μｐ＝－ε０（ｍ＋１）ｌｎ（ｍ＋１）－ｍｌｎｍｍ（ｍ＋１）［ｌｎ（ｍ＋１）－ｌｎｍ］２≠０（８）的错误结果．出现这种错误的原因是没有注意到在利用求偏导计算化学势时要保持温度Ｔ不变，μｐ＝ＦＭ()Ｔ．从温度的表达式（４）可以看出，在给定振子第１０期侯吉旋：论爱因斯坦固体模型中声子的化学势１３　个数Ｎ后，系统的温度Ｔ仅为声子数Ｍ的函数．Ｍ的改变必然导致Ｔ的改变，于是在微正则系综中不可能在保持Ｔ不变的条件下对Ｍ求偏导．因为微正则系综是孤立系统，如果定义声子数，则声子数完全正比于系统的能量，于是无法独立定义声子数，进而无法定义声子的化学势．要计算爱因斯坦固体中声子的化学势，必须选择其他系综，使得声子数目可以改变．本文采用的是正则系综．考虑一个爱因斯坦固体与热库构成的复合系统，该复合系统为孤立系统．假设固体与热库的作用很弱，那么复合系统的总能量Ｅｔｏｔ即为固体的能量Ｅ与热库能量ＥＢ之和，即Ｅｔｏｔ＝Ｅ＋ＥＢ．既然热库很大，必有Ｅ＜＜Ｅｔｏｔ．同时复合系统的总微观状态数Ωｔｏｔ为固体的微观状态数Ω与热库的微观状态数ΩＢ之积，即Ωｔｏｔ＝Ω·ΩＢ，或者ｌｎΩｔｏｔ＝ｌｎΩ＋ｌｎΩＢ．这也可以表述为复合系统的熵Ｓｔｏｔ为固体的熵Ｓ与热库熵ＳＢ之和，即Ｓｔｏｔ＝Ｓ＋ＳＢ．在平衡状态下，复合系统的每一个可能的微观状态出现的概率是相等的，并且Ωｔｏｔ随Ｅ变化极快．为使Ωｔｏｔ取极大值，必须满足ｌｎ（Ωｔｏｔ）Ｅ＝０（９）又根据［ｋｌｎ（Ωｔｏｔ）］Ｅ＝ＳｔｏｔＥ＝ＳＥ＋ＳＢＥ＝ＳＥ－ＳＢＥＢ（１０）得到ＳＥ＝ＳＢＥＢ，也就是ＳＥ＝１Ｔ＝１ＴＢ（１１）上式满足热力学第零定律，我们讨论的固体系统与热库既达到热平衡，固体的温度就等于热库的温度ＴＢ．那么处于热平衡状态的爱因斯坦固体的自由能为Ｆ＝Ｅ－ＴＢＳ．热库的热容量远大于爱因斯坦固体的热容量，于是当爱因斯坦固体中声子数目增加或减少的时候热库的温度ＴＢ不会发生改变．当声子数目发生微小改变δＭ时，爱因斯坦固体的自由能的改变量为δＦ＝δ（Ｅ－ＴＢＳ）＝δＥ－ＴＢδＳ（１２）结合两式（１１）（１２）可得δＦ＝０．于是μｐ＝ＦＭ()Ｔ＝０（１３）注意，这个结论是普适的，即任何与热库相接触的系统，若系统内部某种粒子数目不守恒，则该粒子的化学势为零．更详细内容可参考朗道关于光子气体自由能的讨论［３］．综上所述，本文在微正则系综中解析求解了爱因斯坦固体的热力学量，并指出在微正则系综中无法独立定义声子数同时无法定义声子的化学势．为了计算爱因斯坦固体中声子气体的化学势，本文以正则系综为例，证明了声子气体的化学势恒为零．参考文献：［１］　汪志诚．热力学·统计物理［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１１：２１４２１６．［２］　彭君波，陈擎，刘全慧．爱因斯坦固体模型中的化学势疑难及其解决［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（８）：６３６５．［３］　ＬａｎｄａｕＬＤ，ＬｉｆｓｈｉｔｚＥＭ．ＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓＰａｒｔ１［Ｍ］．北京：世界图书出版社，１９９７：１８３１９０．ＯｎｃｈｅｍｉｃａｌｐｏｔｅｎｔｉａｌｏｆｐｈｏｎｏｎｓｉｎＥｉｎｓｔｅｉｎｓｏｌｉｄｍｏｄｅｌＨＯＵＪｉｘｕａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＳｏｕｔｈｅａｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｈｕ２１１１８９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃｑｕａｎｔｉｔｉｅｓｏｆｔｈｅＥｉｎｓｔｅｉｎｓｏｌｉｄｍｏｄｅｌａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｖｉａｔｈｅｍｉｃｒｏｃａｎｏｎｉｃａｌａｐｐｒｏａｃｈ．ＷｅｐｏｉｎｔｏｕｔｔｈａｔｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｐｈｏｎｏｓｉｎＥｉｎｓｔｅｉｎｓｏｌｉｄｍｏｄｅｌｃａｎｎｏｔｂｅｄｅｆｉｎｅｄｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙａｎｄｔｈｕｓｔｈｅｃｈｅｍｉｃａｌｐｏｔｅｎｔｉａｌｏｆｐｈｏｎｏｓｃａｎｎｏｔｂｅｄｅｆｉｎｅｄｉｎｔｈｅｍｉｃｒｏｃａｎｏｎｉｃａｌｅｎｓｅｍｂｌｅ．Ｔｈｅｃｈｅｍｉｃａｌｐｏｔｅｎｔｉａｌｏｆｐｈｏｎｏｓｃａｎｂｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｏｎｌｙｉｆｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｐｈｏｎｏｎｓｃａｎｆｌｕｃｔｕａｔｅ．ＡｎｄｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｃｈｅｍｉｃａｌｐｏｔｅｎｔｉａｌｏｆｐｈｏｎｏｓｉｎＥｉｎｓｔｅｉｎｓｏｌｉｄｍｏｄｅｌｓｔｒｉｃｔｌｙｅｑｕａｌｓｔｏｚｅｒｏｉｎｏｔｈｅｒｅｎｓｅｍｂｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｅｉｎｓｔｅｉｎｓｏｌｉｄ；ｐｈｏｎｏｎ；ｃｈｅｍｉｃａｌｐｏｔｅｎｔｉａｌ。

简述爱因斯坦热容模型的基本假设

简述爱因斯坦热容模型的基本假设爱因斯坦热容模型是爱因斯坦在1907年提出的一种描述固体热容的理论模型。

该模型基于以下假设：一、固体分子振动只有一种频率爱因斯坦假设固体中所有原子都是以相同的频率振动的，这个频率被称为爱因斯坦频率。

这意味着，无论原子是什么类型或者在哪个位置，它们都以相同的频率振动。

二、固体中原子之间没有相互作用爱因斯坦假设固体中原子之间没有相互作用，也就是说，它们只能沿着一个方向振动，并且不能与其他原子发生碰撞或相互作用。

三、固体中原子的振幅是有限的爱因斯坦假设固体中原子的振幅是有限的，也就是说，它们不能无限制地振动。

当温度升高时，原子会以更大的振幅振动，但这种增加是有限制的。

四、固体中所有能量都来自于热运动爱因斯坦假设固体中所有能量都来自于热运动。

这意味着，固体中的原子只能通过热运动来获得能量，而不能通过其他方式。

五、固体中原子的振动是量子化的爱因斯坦假设固体中原子的振动是量子化的，也就是说，它们只能以特定的能量水平振动。

这个假设与普朗克量子论密切相关。

六、固体中所有原子都处于热平衡状态爱因斯坦假设固体中所有原子都处于热平衡状态，也就是说，它们之间没有温度差异。

这个假设是基于熵增加原理和统计物理学的概念。

七、固体是一个三维谐振子系统爱因斯坦假设固体是一个三维谐振子系统，也就是说，它可以被看作由无数个谐振器组成的系统。

每个谐振器都有一个特定的频率和能量水平。

总结：爱因斯坦热容模型基于以上七个假设来描述固体热容。

这些假设使得模型可以用简单的数学公式来计算热容，并且与实验结果非常吻合。

虽然该模型有其局限性，但它为我们理解固体的热学行为提供了一个重要的基础。

Debye模型Einstein把...

3.3 固体热容的量子理论一. 经典理论的困难二. 爱因斯坦模型（Einstein 1907年）三. 德拜模型（Debye 1912年）四. 实际晶体的热容参考：黄昆书 3.8节（p122-132）Kittel 书5.1节（79－87）前面提到：热容是固体原子热运动在宏观性质上的最直接体现，因而对固体原子热运动的认识实际上首先是从固体热容研究开始的，并得出了原子热运动能量是量子化的这个无可争辩的结论。

我们讨论固体热容仍是以揭示原子热运动特征为目的，而完整地介绍热容统计理论应是统计物理的内容。

固体热容由两部分组成：一部分来自晶格振动的贡献，称为晶格热容；另一部分来自电子运动的贡献，称为电子热容。

除非在极低温度下，电子热容是很小的（常温下只有晶格热容的1％）。

这里我们只讨论晶格热容。

典型金属元素定压比热随温度的变化的测量值同Dulong and Petit 定律的比较。

这里Cp ＝Cv尽管模型仍有不足之处，但Einstein使用一个可调参数T E(ωE)就可以基本解释热容－温度关系的做法应当看作是理论物理工作的一个典范之作。

这充分说明，能量量子化才是理解晶格振动问题的关键，这也间接印证了提出用声子概念讨论晶体性质的必要性。

金刚石比热测量值与Einstein 模型给出结果的比较。

1320KE T三.Debye 模型：Einstein把固体中各个原子的振动看作相互独立的，因而3N个振动频率都相同。

而实际原子之间有很强的相互作用，振动格波的频率不是固定的，而是有一个分布。

Debye（1912）修正了原子是独立谐振子的概念，而考虑晶格的集体振动模式，他假设晶体是连续弹性介质，原子的热运动以弹性波的形式发生，每一个弹性波振动模式等价于一个谐振子，能量是量子化的，并规定了一个弹性波频率上限，称之为德拜频率。

DDebye的比较（实验点是金属镱比热测量值）该图的画法值得注意，取不同物质的区别，突出反映德拜规律TT 见阎守胜：固体物理基础p112 图KCl 的晶格比热在低温低温与T3成正比关系注意：对热容的贡献不仅来自晶格，还有自由电子等。

高二物理竞赛课件固体热容量的爱因斯坦理论

3
3
2mk
SC
Nk ln T 2
Nk ln V
2
Nk[1 ln(
h02
)] nSCm
二、量子统计得到的熵为绝对熵，但经典统计得到的熵有不同的相加常数。
单原子分子理想气体的化学势为负值
用量子统计方法计算单原子分子理想气体的化学势
由热力学基本方程
dF sdT pdV dN
F NkT ln z1 kT ln N! NkT ln z1 kTN ln N NkT
2
(
pr2
2
2
r
2
)
r
e h h e dp e dr 0
2
pr2
0
r
2 2 r 2 2
1 ( 2 )1 2 ( 2 )1 2 2
h0
2 2
h0
转动配分函数
Z1r
e d d dp dp
2I
(
p2
sin
1
2
p2 )
h02
1 h02
2
d
d
e 2I
p2
dp
0
Z1
l
l
h03
e l
l
dxdydzdpx dpy dpz el h03
1
h03
(
e 2m
px2
p
2 y
pz2 )dxdydzdpx dpy
dpz
V
(
2m h03
)3
2
SC
Nk (ln
Z1
ln Z1 )
3
3
2mk
Nk ln T Nk ln V Nk[1 ln( )]
2

固体的爱因斯坦模型名词解释

固体的爱因斯坦模型名词解释固体的爱因斯坦模型是一种描述固体热容性质的理论模型，本文将对其进行详细解释。

固体的爱因斯坦模型是由德国物理学家爱因斯坦于1907年提出的一种理论模型，用于描述固体的热容性质。

它是固体热力学和统计物理学中的重要概念之一。

爱因斯坦模型的基本假设是将固体中的原子或分子看作是同样质量的简谐振子。

这些振子在固体中以三维空间中的不同方向振动，且振动的频率都相同。

这个模型假设固体中的所有原子或分子都以同样的频率振动，即存在一个统一的共振频率。

根据爱因斯坦模型的假设，一个固体中的原子或分子在某一方向上的平均能量为：E = hn/(exp(hn/kT) - 1)其中，E是平均能量，h是普朗克常数，n是振动频率，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

爱因斯坦模型也给出了固体的总热容：C = 3Nk(hn/kT)^2exp(hn/kT)/(exp(hn/kT) - 1)^2其中，C是热容，N是固体中的原子或分子数目。

爱因斯坦模型的一个重要特点是它能够解释固体在低温下的热容行为。

根据这个模型，当温度趋近于绝对零度时，固体的热容趋于零。

这与实验观测一致，因为在低温下，固体中的原子或分子几乎停止振动，所以能量非常低，热容也非常小。

然而，爱因斯坦模型也有其局限性。

它忽略了固体中原子或分子振动频率的分布，假设所有振动频率都相同。

在实际情况中，固体中的原子或分子的振动频率是不均匀分布的，因此这个模型无法准确描述高温下的固体热容性质。

总而言之，固体的爱因斯坦模型是一种重要的理论模型，它能够解释固体在低温下的热容行为。

然而，这个模型也存在一定的局限性，无法准确描述高温下的固体热容性质。

通过对固体热容的研究，我们能够更好地理解固体的热力学特性，对材料科学和工程学等领域有着重要的应用价值。

固体比热的爱因斯坦模型

固体比热的爱因斯坦模型好吧，咱们来聊聊固体比热的爱因斯坦模型。

这听起来有点儿高大上，其实就是在说，固体是怎么吸热和散热的，跟爱因斯坦的名字沾点边，真是不得了啊！咱们都知道，爱因斯坦可是个牛人，他的理论搞得世界都变了样。

说到比热，大家可能都觉得这跟咱们的生活没啥关系，其实可大了去了。

想象一下，夏天一喝冰水，爽得不要不要的，但如果把热水放在太阳底下，过一会儿就跟洗澡水一样热，那就是比热的奥妙在起作用。

固体的比热，就是它们在温度变化的时候吸收和释放热量的能力。

想想那个沉甸甸的金属块，它的比热就跟你心情不好的时候那种重重的感觉一样，唉，动不动就让你觉得无比沉重。

咱们的爱因斯坦模型呢，简单来说，就是把固体想象成一群小粒子在摇摆。

就像在舞会上一样，粒子们各自扭动、跳跃，互相碰撞，热量就这样在它们之间传递。

那种感觉就像是在热锅上的蚂蚁，动来动去，恨不得能把热量传递得飞快。

爱因斯坦认为，这些小粒子就像是一个个“小小的振动器”，吸收能量就像咱们吃糖一样，立刻就有劲儿了。

你有没有试过在寒冷的冬天，窝在被子里，慢慢感受到温暖从被子传来的感觉？其实这就是比热的魔力在发挥作用。

再来想想，固体的比热可不是千篇一律的。

不同的材料就像不同的歌手，各有各的风格。

比如说，金属的比热一般比较小，热量一来一去，反应特别快，感觉就像流行歌手，一首歌结束，立刻开始下一首，根本不让你有喘息的机会。

而像水泥、砖头这些东西，它们的比热就高得多，热量在它们之间传递得慢，像是那些老歌手，歌唱完了还要慢慢品味，给你留出很多思考的时间。

这就是为什么有时候咱们走在街上，看到一块冰冷的石头，摸上去就像冰箱里拿出来的食物，真让人无语。

固体的比热和它们的结构密切相关。

你知道吗，某些材料的内部结构就像拼图一样，越复杂的拼图，热量传递得就越慢。

就像小朋友们在玩拼图游戏，拼到最后总是要费一番功夫，热量在复杂的结构中也要“拐弯抹角”，这样一来，吸热散热的速度就慢了，像是在沙滩上走路，步步艰难。

固体的热容经典模型的优缺点

固体的热容经典模型的优缺点
固体的热容经典模型主要有两个，一个是玻尔兹曼模型，另一个是爱因斯坦模型。

玻尔兹曼模型假设固体中所有的原子都以相同的频率振动，并且这些振动的频率都很高。

这个模型的主要优点是能够解释固体的热容在高温时的情况，因为在高温时，所有原子都有足够的能量去激发它们的振动，因此固体的热容会随着温度的升高而增加。

然而，这个模型也有一个主要的缺点，那就是它无法解释在低温时的情况。

因为在低温时，只有低能量的声学波被激发，而这些声学波的频率分布是不同的，因此简单地用一个常数来描述所有声学波的频率是不准确的。

爱因斯坦模型在固体热容的研究中引入了量子理论，它认为固体中的原子会以一定的频率振动，而这种振动的频率取决于温度。

在高温时，原子振动的频率会随着温度的升高而增加，而在低温时，原子振动的频率会随着温度的降低而减少。

这个模型的主要优点是能够解释固体的热容在低温时的情况，因为当温度降低时，原子振动的频率也会降低，因此固体的热容也会随着温度的降低而减少。

然而，这个模型也有一个缺点，那就是它无法解释在高温时的情况。

因为在高温时，原子振动的频率已经达到了极限，因此无法再增加。

综上所述，固体的热容经典模型都有其优点和缺点。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的模型来进行计算。

德拜模型和爱因斯坦模型在固体物理中的意义

德拜模型和爱因斯坦模型在固体物理中的意义在固体物理的世界里，德拜模型和爱因斯坦模型就像两位老朋友，各有各的特色，各自的魅力，真是让人爱不释手。

这俩模型，简直就像两种不同的思维方式，一种是踏实稳重，一种是活泼开朗，大家都知道，固体的热振动那叫一个复杂，真是让人头疼。

而这两位大佬，恰恰是在这种复杂中为我们揭开了不少谜底。

先说说爱因斯坦模型。

这位大叔可真是个天才，脑袋瓜子里总是冒出奇思妙想。

他的模型有个特点，就是把固体中的原子看成小球，像小孩子在玩耍一样，咯吱咯吱地振动。

你想啊，每个原子都在各自的“小舞台”上跳舞，这种热振动就让原子活灵活现。

爱因斯坦模型让我们了解到，温度越高，原子的“舞姿”就越热烈，嘿，真是形象生动。

可是，这个模型也有点小缺点，就是它假设所有原子都在同样的频率下振动，这可不太现实，毕竟每个原子都有自己的节奏嘛，就像每个人跳舞时都有自己的风格。

再说德拜模型，嘿，这位可不简单。

他像个博学多才的老教授，深谙其中的道理。

德拜模型说，固体中的原子振动并不是简单的单一频率，而是可以有多种频率。

这就像一场大合唱，大家各唱各的，但合在一起却能发出和谐的乐章。

德拜的这一观点，真是让我们明白了原子间的相互作用和复杂性，听着就让人感觉有点玄妙。

这种多频率的振动让德拜模型在处理低温下的固体热容量时显得特别给力，很多实验数据都和他一拍即合。

两位大佬的贡献就像一双黄金搭档，碰撞出无数的火花。

爱因斯坦模型让我们领略了固体内热振动的基本概念，而德拜模型则进一步深化了这个认识，给了我们更为全面的视角。

真是不能不佩服，这些科学家的智慧，恰似群星闪耀，让人叹为观止。

说到这里，不禁让人想到在日常生活中，我们常常会遇到各种各样的复杂问题。

一个简单的方法能解决问题，但你得用多种角度来分析，才能找到更深层的答案。

爱因斯坦和德拜就像我们的生活导师，让我们在面对挑战时，既要懂得简单，也要学会复杂，才能游刃有余。

而在这个科学发展的时代，德拜模型和爱因斯坦模型的意义更是不可小觑。

关于对固体热容的补充

关于对固体热容的补充摘要:在《热力学与统计物理中》提到过许多关于固体热容的模型，能均分模型，爱因斯坦模型，德拜模型。

这些模型都是在统计物理这个大的背景下对三维固体的热容进行探讨。

这篇文章是在统计物理的背景下，对上述模型进行了进一步的补充，详细推到了一维和二维固体的热容,对原有的理论进行了拓展，推导出较低维度的固体热容。

关键词: 固体热容能均分定理一维德拜模型二维德拜模型爱因斯坦模型目录1 绪论 (1)2 固体热容经典理论 (1)2.1 三维固体热容的经典理论 (1)2.2 二维固体热容经典理论 (1)2.3 一维固体热容经典理论 (2)3 固体热容的爱因斯坦理论 (2)3.1 三维爱因斯坦热容理论 (3)3.2 二维固体热容下的爱因斯坦热容理论 (4)3.3 一维固体热容下的爱因斯坦热容理论 (5)4 德拜模型 (6)4.1 三维德拜模型 (7)4.2 二维德拜模型 (10)4.3 一维德拜模型 (11)5 用冷却法测定金属比热容 (13)5.1 实验原理 (13)5.2 实验仪器 (14)5.3 实验过程 (14)参考文献 (15)Abstract： (16)Keywords: (16)1 绪论《热力学与统计物理中》提到过许多关于固体热容的模型，这些模型都是在统计物理的背景下讨论了三维固体的热容，但是随着科学技术的不断发展，一维和二维的固体逐渐走入了人们的研究范围，例如一维导体TTF-TCNQ ，二维导体AsF 的石墨夹层，低维超导体（一维的BEDT-TTF ）.上述材料都有很好的物理应用价值，所以很有必要对低维固体的一些物理性质做一些研究,这篇文章就是仿照三维固体热容的一些物理热容模型,类似推导出一维和二维的固体热容,并将理论结果与实验值进行了一个对比. 2 固体热容经典理论 2.1 三维固体热容的经典理论如果将三维固体中的原子看成是没有相互作用的定域粒子，粒子和粒子之间可以区分，则粒子的分布符合波尔兹曼分布.而将固体中的原子看成是定域粒子后，可认为每个原子在其平衡位置附近做着相互独立的简谐振动，粒子和粒子间相互不影响。

有关固体热容的两种模型的讨论

有关固体热容的两种模型的讨论【摘要】固体热容是一个反映晶体热学性质的重要物理量，本文先简要介绍了固体热容的经典理论，紧接着又具体阐述了爱因斯坦模型和德拜模型以及它们两者在求解固体热容中的应用，然后通过比较介绍了它们两者的联系与区别，进而说明了他们的好处与局限，同时也将晶格热容的实验测量结果与理论推导进行了比较并分析与讨论了这两种模型与实验测量结果符合或者偏离的原因，最后又对德拜温度进行了具体的讨论。

D【关键词】固体热容；晶格热容；爱因斯坦模型；德拜模型；德拜温度目录绪论 .................................................................................................................................................. 3 第一章爱因斯坦模型与德拜模型 (5)1. Einstein model ： ........................................................................................................... 5 2. p.Debye model ： ............................................................................................................... 6 3. Einstein model 和 p.Debye model 的区别 ............................................................... 7 4. 德拜模型对晶格热容贡献的优缺点 ................................................................................. 7 第二章晶格热容的实验测量结果和理论推导的比较 . (10)1高温情况 .............................................................................................................................. 11 2.低温情况 ............................................................................................................................. 11 第三章两种模型与实验测量结果符合或者偏离的原因分析与讨论 .. (12)1. 德拜温度D Θ高于爱因斯坦温度E Θ ........................................................................... 13 2. 德拜温度是经典概念和量子概念定性解释热容现象的分界线 ................................... 13 3. 关于德拜温度的正确性 ................................................................................................. 13 参考文献：. (14)绪论在固体物理学中，我们所讨论的热容通常指定容热容V C ，而在热学中，我们已经知道v C =（TE ∂∂）V ]2,1[，该式中的E 指平均内能，实验研究表明，对固体热容的贡献主要有两个：贡献一是晶格所进行的热振动，称为晶格热容，贡献二是固体原子中的电子热运动，称电子热容，当固体的温度很低时，电子热运动的贡献不可忽略，因此晶格热振动是热容的主要来源，在经典物理中，由能均分定理得，所有简谐振动的平均能量都是T K B ,其中B K 是波尔兹曼常数。

固体热容量的爱因斯坦理论

固体热容量的爱因斯坦理论如前所述，固体中原子的热运动可以看成3N 个振子的振动。

爱因斯坦假设这3N 个振子的频率都相同。

以ω表示振子的圆频率，振子的能量级为)21(+=n n ωε n=0,1,2,⋯ （7.7.1）由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布，配分函数为ωβωβωβ --∞=+--==∑ee eZ n n 12)2/1(1 （7.7.2）根据式(7.1.4)，固体的内能为 1323l n 31-+=∂∂-=ωβωωβ e N N Z NU （7.7.3）式(7.7.3)的第一项是3N 个振子的零点能量。

与温度无关；第二项是温度为T 时3N 个振子的热激发能量定容热容量C V 为 22)1()(3)(-=∂∂=kTkTV V ee kTNk T U C ωωω （7.7.4）引入爱因斯坦特征温度E θ ωθ =E k （7.7.5）可将热容量表为 22)1()(3-=T T EV EEe e TNk C θθθ （7.7.6）因此根据爱因斯坦的理论，C V 随温度降低而减少，并且C V 作为TEθ的函数是一个谱适函数。

现在讨论(7.7.6)式在高温和低温范围的极限结果。

当T E θ≥时，可以取近似。

由式得Nk C V 3= （7.7.7）式(7.7.7)和能量均分定理的结果一致。

这个结果的解释是，当T E θ≤时，能级间距远小于kT ，能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。

ch.7-7 固体热容量的爱因斯坦理论

2
e kT 1
（7.7.5）
引入爱因斯坦特征温度θE
kθE
可将定容热容量表为
CV
3Nk
E
T
2
E
eT
E
2
e T -1
（7.7.6）（7.7.7）
CV
3Nk
E
T
2
E
eT
E
2
e T -1
从上式可以看出固体的热容量随温度降低而减小。图77-1给出了爱因斯坦的理论结果和金刚石的实验结果的比较。其中θE取为1320K,是使式（7.7.7）的理论结果与实验尽可能符合而选定的。
振子配分函数可表达为
Zl
1
e
2
e
（|x|＜1) （7.7.3）
2．固体的内能和热容量
固体的内能为
U
3N
ln
Zl
3N
2
3N e
1
（7.7.4）
上式中第一项是3N个振子的零点能量，与温度无关；
第二项是温度为T时3N个振子的热激发能量。
固体的定容热容量为
CV
U T
V
3Nk
2 kT
e kT
根据量子理论，线性谐振子的能级为
n
(n 1) n = 0,1,2,…
2
（7.7.1）
上式中，ω是振子的圆频率， n是量子数。利用玻耳兹曼分布的配分函数表达式，振子的配分函数为
Zl
e
(n1)
e
2 e 2
en
（7.7.2）
0
0
0
将式（7.7.2）中的因子看作x，并利用公式
1 x x2 xn 1 1 x

固体物理：晶格比热容

关的常2 数。这条规律在高温时，与实验符合得很好，但在低温时，热容不再保持为常数，而
1
是随T下降而很快趋于0。如图“低温下晶格比
热下降0 0 ”所示。 100
200
300
T(K)
低温下晶格比热下降
为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克量子假说，第一次提出了量子热容量理论。
量子热容理论
（1）晶体平均能量E
dE j (T dT
)
)V
可见， j CV j CV
但是，对于具体晶体计算出3N个简正频率往往是十
分复杂的。在一般讨论时常采用这样两个模型：爱因斯坦 (Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型。
二、计算晶格热容CV的理论模型
Ⅰ. Einstein模型
模型要点：
（1）认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，设为ω0，即忽略了色散关系的存在。（2）晶格振动能量是量子化的。
杜隆——珀替定律
根据经典统计理论的能量均分定理，
每个简谐振动的平均能量为kBT，kB是玻
耳兹曼常数。设体系有N个原子，则有 3N个简谐振动模式，则总的平均能量为：
E 3Nk BT
则晶格热容为：
CV
E ( T )V
3Nk B
低温下晶格比热下降
6
5
CV 3Nk B
4
Cp(J/mol.K)
表明3 ：晶格热容是一个与温度和材料性质无
格波并非弹性波，情况如何呢？
2、晶格平均能量
对于格波：N个原子，自由度为3N（并非无限）；
Debye做如下假设：大于ωm的波不存在，即ωm以下
的振动模可应用弹性波来近似处理，而不存在大于ωm
的振动模。那么ωm称为Debye截止频，其值受到晶体总

关于爱因斯坦固体热容量子理论的一点讨论

关于固体热容爱因斯坦量子理论的一点讨论（杨宇轩南漳县第二中学湖北襄阳 441100）摘要：阐述了固体热容的经典理论所遇到的困难。

对固体热容的爱因斯坦量子理论作了一些讨论；并评述了爱因斯坦对固体热容及量子理论的发展所做的重大贡献。

关键词：热容量子理论谐振子引言热容是研究固体物质性质时一个非常重要的参数；因此，热容是化学家和物理学家共同关心的问题。

1819年，原是化学家的杜隆（P.L.Dulong ，1785—1838）和物理学家珀替（A.T.Petit ，1790—1820）在长期合作研究物质的物理性质与原子特性的关系之后，进行了一系列比热实验。

他们选择的对象是各种固体，想通过热容研究其物理性质。

在大量数据的基础上他们发现，对于许多物质原子量和比热的乘积往往是同一常数。

由此总结出杜隆---珀替定律：“所有简单物体的原子都精确地具有相同的热容量。

” 在固体中讨论的热容，一般指的是定容热容V C 。

由经典理论，固体热容主要由两部分贡献：晶格振动的晶格热容；电子热运动的电子热容。

根据经典统计理论的能量均分定理推导出来，固体热容3V B C Nk =；也就是说固体的热容是一个与温度和材料无关的常数，这就是杜隆---珀替定律。

在高温时，该定律与实验结果符合的很好。

但是，在低温时，实验中发现固体热容不再保持常数，而是随着温度的下降而趋于零。

为了解决这个矛盾，爱因斯坦在1907年发展了普朗克的量子假说，第一次提出了固体热容的量子理论。

固体比热的量子统计推导固体中原子的热运动可以等效为个谐振子的振动。

根据量子理论，谐振子的能量本征值为：n 1()2j j n εω=+ （其中0,1,2,3...j n =）（1）将晶体看作热力学系统，在简谐近似下，每个谐振子所代表的振动是独立的，可以分辨的粒子服从波尔兹曼分布。

谐振子的统计平均能量为：121j J j j E e βωωω=+- （2）晶格的定容热容为： 22()(1)j B j B k T jB V B k T e k TC k e ωωω=- （3）由公式（3），可以看出，谐振子的能量在量子理论中与振动频率有关，而且晶格的热容确实与温度有关。

固体热容的计算方法发展史

固体热容的计算方法发展史固体热容是指单位质量的物质在温度变化下所吸收或释放的热量。

它是研究固体热力学和热传导性质的重要参数。

固体热容的计算方法的发展历史可以追溯到18世纪。

在18世纪，拉瓦锡通过实验测定了金属的热容，并提出了一个简单的近似计算公式：C=αT，其中C为热容，α为比热系数，T为温度。

这个公式在当时的实验条件下得到了比较好的近似。

然而，随着温度的升高，尤其是在高温下，这个公式的适用性变得较差。

19世纪，热力学的发展推动了固体热容计算方法的改进。

杜朗-珀托热容定理（Dulong-Petit theorem）提供了一种计算金属热容的近似方法。

根据该定理，金属的原子热容近似等于 3R，其中 R 为普适气体常量。

这个方法适用于大多数金属，但在低温下和其他一些特殊条件下效果变差。

20世纪初，爱因斯坦对于低温下固体热容的行为提出了一个理论模型，即爱因斯坦模型。

他假设固体是由一系列简谐振动子组成，每个振动子在不同的能级上分布，并服从玻尔兹曼分布。

通过对振动频率进行积分，可以计算出固体的热容。

这个模型在低温下对实验结果的拟合效果比较好。

随着量子力学的发展，德拜模型在固体热容计算中被引入。

德拜模型将固体看作是一系列具有离散能级的振动子，这些振动子的分布以及振动频率通过量子力学的方法进行计算。

德拜模型对于低温下的固体热容计算有较好的效果，但在高温下仍然存在差异。

近年来，随着计算机的快速发展，分子动力学模拟和密度泛函理论等计算方法的应用推动了固体热容的计算精度的提高。

这些计算方法能够精确地计算出固体原子和分子的振动、旋转等运动的能量和频率。

通过对这些结果进行统计处理，可以得到固体热容的更准确的计算结果。

总结起来，固体热容的计算方法发展经历了拉瓦锡公式、杜朗-珀托热容定理、爱因斯坦模型、德拜模型以及计算机模拟等多个阶段。

这些方法在不同温度范围和条件下具有不同的适用性和精度，为固体热容的理论研究和实际应用提供了重要的理论基础和计算工具。

材料物理性能作业及课堂测试

热学作业（一）1. 请简述关于固体热容的经典理论. 爱因斯坦热容模型解决了热容经典理论存在的什么问题？其本身又存在什么问题？为什么会出现这样的问题？德拜模型怎样解决了爱因斯坦模型的问题？答：固体热容的经典理论包括关于元素热容的杜隆-珀替定律，以及关于化合物热容的柯普定律。

前者内容为：恒压下元素的原子热容约为25 J/(K·mol)。

后者内容为：化合物分子热容等于构成该化合物的各元素原子热容之和。

爱因斯坦热容模型解决了热容经典理论中C m 不随T 变化的问题。

在高温下爱因斯坦模型与经典理论一致，与实际情况相符，在0K 时C m 为0，但该模型得出的结论是C m 按指数规律随T 变化，这与实际观察到的C m 按T 3变化的规律不一致。

之所以出现这样的问题是因为爱因斯坦热容模型对原子热振动频率的处理过于简化——原子并不是彼此独立地以同样的频率振动的，而是相互间有耦合作用。

德拜模型主要考虑声频支振动的贡献，把晶体看作连续介质，振动频率可视为从0到ωmax 连续分布的谱带，从而较为准确地处理了热振动频率的问题。

2. 金属Al 在30K 下的C v,m =0.81J/K·mol ，其θD 为428K. 试估算Al 在50K 及500K 时的热容C v,m .解：50K 远低于德拜温度428K ，在此温度下，C v 与T 3成正比，即3T A C v ⋅=则 5331033081.0-⨯===T C A v J/mol·K 4 故50K 时的恒容热容75.350103353=⨯⨯=⋅=-T A C v J/mol·K500K 高于德拜温度，故此温度下的恒容摩尔热容约为定值3R ，即： 9.2431.833=⨯=⋅=R C v J/mol·K热学作业（二）1、晶体加热时，晶格膨胀会使得其理论密度减小. 例如，Cu 在室温（20℃）下密度为8.94g/cm 3，待加热至1000℃时，其理论密度值为多少？（不考虑热缺陷影响，Cu 晶体从室温~1000℃的线膨胀系数为17.0×10-6/℃）解：因为3202020a m V m D ==，3100010001000a mV m D ==又由)201000(2020100020-⋅-=∆⋅∆=a a a T a a l α，得201000)1980(a a l ⋅+⋅=α故2033203310001000)1980(1)1980(D a m a mD l l ⋅+⋅=⋅+⋅==αα 94.8)1100.17980(136⨯+⨯⨯=-= 8.79g/cm 3 或者：由体膨胀系数l V V V V T V V αα3)201000(2020100020≈-⋅-=∆⋅∆=，得201000)12940(V V l ⋅+⋅=α 故202010001000)12940(1)12940(D V mV m D l l ⋅+⋅=⋅+⋅==αα94.8)1100.172940(16⨯+⨯⨯=-= 8.51g/cm 32、利用热膨胀原理，将一根外径为10.00mm 的钨棒与一根内径为9.98mm 的不锈钢环组装在一起. 将不锈钢环加热到一定温度后取出，在室温（20℃）下迅速与钨棒组装. 为了保证能够组装，至少应加热至多高温度？（钨的热膨胀系数取4.5×10-6/℃，不锈钢的热膨胀系数取16.0×10-6/℃）解：根据热膨胀系数定义式有：α=∆⨯-TD D D f 00在组装时，不锈钢环的温度为T f1，内径为D c ，钨棒的温度为T 0=20℃，外径为D r ；D c = D r = 10.00mm 。