3 动量守恒定律和能量守恒定律(五版马文蔚)

——苏步青
11
§3 - 4 ～§3 - 6 基本内容： 基本内容：
一、功和功率
功和能
二、动能定理 四、能量守恒定律及其应用
三、保守力和势能
结构框图
动能 动 能 变 化率 功 能量守恒 势能
12
动能定 理
功能 原理
机械能守 恒
牛顿第二定律 v
v dP F = dt
动能 质点
1 2 Ek = mv 质点系 2
3-1 质点和质点系的动量定理 一. 冲量 质点的动量定理 1.质点动量定理 质点， 质量m, 速度 υ 质点， 质量
r
r v 定义： (1) 定义： p = mυ 质点的动量 v r p 矢量： υ 的方向 矢量：
牛顿第二定律，形式： (2) 牛顿第二定律，形式：
r v v d (mυ ) dp = F= dt dt
∫
t2
t1
v v ( F1 + F2 )dt = v v v v (m1v1 + m2 v2 ) − (m1v10 + m2 v20 )
i
▲质点系动量定理 作用于系统 质点系动量定理 的合外力的冲量等于系统动量 的增量. 的增量
v v v v F外 = F1 + F2 = ∑ Fi 系统外力
v v (m1v1 + m2 v2 ) 系统末状态的动量 v v (m1v10 + m2 v20 ) 系统初状态的动量
r P =
若F≠0, 但F比系统内作用力小 ≠ 比系统内作用力小 的多;过程又短暂 这时合外力 过程又短暂, 的多 过程又短暂 这时合外力 的冲量可以忽略, 的冲量可以忽略 系统仍可认 为是动量守恒. 为是动量守恒 例如: 例如 爆炸过程
∑
N
i =1
r mυ i =常 矢 量
r (2) 若 F外 ≠ 0 , 但在某个方向上
t1 t2
I z = ∫ Fz dt = mv2 z − mv1z
t1
t2
v v v I p2 − p1 v t = = F= t2 − t1 t2 − t1 t2 − t1
1
t2
v ∫ F dt
2
两个质点m 两个质点 1 、m2 二、质点系动量定理 v v 开始时刻t v10、v20 ▲质点系 ： 由若干个相互作用 开始时刻 1 质点系： 质点系 v v 质点组成的系统 结束时刻t 结束时刻 2 v1 、v2 v v ▲内力： F + F 内力： 内力 t2 v v 12 21 = 0 v v m1 v v v v ( F1 + F12 )dt = m1v1 − m1v10 t1 ▲外力： 外 = Fi =F1 + F2 + L 外力： 外力 F
第三章 动量守恒定律和能量 守恒定律
动量 动量守恒定律 结构框图 动 质 量 速 度 动定 律 以动量及其守恒定律为主线，从动量 动量及其守恒定律为主线， 变化率引入牛顿运动定律 牛顿运动定律， 变化率引入牛顿运动定律，并在中学 基础上扩展其应用范围。 基础上扩展其应用范围。 恒力，质点， 恒力，质点，惯性系 变力， 变力，质点系 量 变化 率 动量 动量 定理 动量 守恒 定律
0
一质量为0.05kg、速率 例 1 一质量为 、 的刚球,以与钢板法线呈 为10m·s-1的刚球 以与钢板法线呈 45º角的方向撞击在钢板上 并以相 角的方向撞击在钢板上,并以相 角的方向撞击在钢板上 同的速率和角度弹回来 .设碰撞时 设碰撞时 间为0.05s.求在此时间内钢板所受 间为 求在此时间内钢板所受 到的平均冲力 F . 建立坐标, 解 建立坐标 由动量定理得
两个质点m 两个质点 1 、m2 v v 开始时刻t 开始时刻 1 v10、v20 结束时刻t 结束时刻 2 m1 m2
t2
▲质点系的动量：质点系内 质点系的动量： 质点系的动量 所有质点的动量的矢量和
v v v1 、v2
v v v P = ∑ pi = ∑ mi vi
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
t2
t1
v F外 d t =
pe α = arctan = 61.9° pν
v pe
α θ
v pν
v pN
9
P59 例 2 一枚返回式火箭以 2.5 已知 v = 2 .5 × 10 3 m ⋅ s − 1 ×103 m·s-1 的速率相对地面沿水平 v' = 1 .0 × 10 3 m ⋅ s −1 设空气阻力不计. 方向飞行 . 设空气阻力不计 现 m 1 = 100 kg m 2 = 200 kg 由控制系统使火箭分离为两部分, 由控制系统使火箭分离为两部分 v , v 求 v1 v 2 前方部分是质量为100kg 的仪器 前方部分是质量为 舱, 后方部分是质量为 200kg 的 解 v1 = v 2 + v' 火箭容器 . 若仪器舱相对火箭容 v ex 器的水平速率为1.0 器的水平速率为 ×103 m·s-1 . 求 Q ∑ Fix = 0 仪器舱和火箭容器相对地面的速 ∴ ( m + m ) v = m v + m v 1 2 1 1 2 2 度.
v v (m1v1 + m2 v2 ) 系统末状态的动量 v v (m1v10 + m2 v20 )系统初状态的动量
3
∫
t2
t1
v Fdt =
∫
p2 p1
v v v dp = p 2 − p1
r P2 r P1
v v v v ▲外力： 外 = ∑ Fi =F1 + F2 + L 外力： 外力 F
i
则
d ( yv ) dt 两边同乘以 yd y 则 yg =
y
7
3-2 动量守恒定律 v v v t 质点系 ∫ t F 外 d t = P 2 − P1
2 1
说 (1) 明
r 动量守恒的条件: 动量守恒的条件 F外 = 0
▲质点系动量定理 作用于系统 质点系动量定理 的合外力的冲量等于系统动量 的增量. 的增量r 质点系动量大小 质点系动量大小 F外 = 0 和方向都不变
开始时刻t 开始时刻 1
n
∫
t2
t1
v F外 d t =
t2
i
i
v v ∑ mi v i − ∑ mi vi 0
i =1 i =1
n
结束时刻t 结束时刻 2
v v v I = P − P0
v v v10、v20 v v v1 、v2
i
v P0 v P
∫
t1
v v v F外 d t = P2 − P1
pe = 1.2 ×10 −22 kg ⋅ m ⋅ s −1
v ex Q ∑ Fi <<
v in ∑ Fi
2 ∴ pN = ( pe2 + pν )1 2
v ∴ p =
即
∑
n
i =1
v m i v i = 恒矢量
代入数据计算得
v v v p e + pν + p N = 0
p N = 1 .36 × 10 −22 kg ⋅ m ⋅ s −1
t2 t1
外力在一段时间内的冲量 变为
v v v I = p 2 − p1
v v v v I = I xi + I y j + I z k
合外力对质点的冲量， 合外力对质点的冲量，等于质点动 量的增量 (4)冲力大小的估计：平均冲力 冲力大小的估计： 冲力大小的估计 f f 0 t1 I t t2
I x = ∫ Fx dt = mv2 x − mv1x I y = ∫ Fy dt = mv2 y − mv1 y
t2
i
i
n v v ∑ mi v i − ∑ mi vi 0 i =1 i =1 n
v v v v ( F1 + F12 )dt = m1v1 − m1v10 ∫t1 t2 v v v v ( F2 + F21 )dt = m2 v2 − m2 v20 ∫
t1
∫
t1
v v v F外 d t = P2 − P1
的分量为零, 则这个方向上的动 的分量为零 量守恒. 量守恒 (3) 动量守恒式中 各项速度对同 动量守恒式中, 一惯性系
动量守恒定律 分量： 分量：
Fx = 0 ⇒ Px = Σmiυix = 常量
Fy = 0
⇒ Py = Σmiυiy = 常量
Fz = 0
⇒ Pz = Σmiυiz = 常量
8
P58 例 1 设有一静止的原子核 衰变辐 设有一静止的原子核,衰变辐 射出一个电子和一个中微子后成为一个 p = 6.4 × 10 −23 kg ⋅ m ⋅ s −1 ν 新的原子核. 新的原子核 已知电子和中微子的运动 方向互相垂直,且电子动量为 且电子动量为1.2× 方向互相垂直 且电子动量为 ×10-22 系统动量守恒 , 即 v v v kg·m·s-1,中微子的动量为 ×10-23 中微子的动量为6.4× 中微子的动量为 pe + p ν + p N = 0 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量的值和 v v p e ⊥ pν 方向如何? 方向如何 又因为 解
(2)内力不改变质点系的动量 内力不改变质点系的动量
▲质点系动量定理 作用于系统 质点系动量定理 的合外力的冲量等于系统动量 的增量. 的增量
初始速度 推开后速度
vg 0 =vb0 = 0 mb = 2mg
vg = 2vb 且方向相反 v
则
推开前后系统动量不变
p = p
v p0 = 0 v 则 p =0 v 5
d( yv ) y gdy = ydy = yv d( yv ) dt
2
1 3 1 2 gy = ( yv) 3 2
v=
2 gy 3
F
ex
= m 1 g = λ yg
由质点系动量定理得
F ex d t = d p
又
d p = λ d( y v )
m1
m2 O y
∴ λ yg d t = λ d( yv )
W ex +W in = ∑Eki − ∑Eki 0
i =1 i =1 n n
动能定理 功的定义： 功的定义：
Wab =
∫
b
a
v v F ⋅ dr
Wab = Ekb − Eka
v v F ⋅ dr
质点系 保守力作功特点
势能
∫
l
v v F ⋅ dr = 0
Wab = −(EPb − EPa )
有： t1 t2
v v r = dp Fdt = d (mυ )
动量 动量
v p1 v p2
∫
t2
t1
v Fdt =
∫
p2 p1
v v v dp = p 2 − p1
质点动量定理 1
v t2 v (3) 定义： I = ∫ Fdt 定义：
t1
注意: 注意 (1) 动量为状态量，冲量为过程量。 动量为状态量，冲量为过程量。 (2) 分量式
∑
i
质点系
v F1
v v F21 F12
m1
v F2
m2
m2
∫ v ∫ (F
t2 t1
v v v + F21 )dt = m2 v2 − m2 v20 2
∫
t2
t1
v v ( F1 + F2 )dt = v v v v (m1v1 + m2 v2 ) − (m1v10 + m2 v20 )
i
v v v v F外 = F1 + F2 = ∑ Fi 系统外力
y
s
o
v v
z'
y'
s'
则
v2
v v'
x x'
m1 = v − v' m1 + m 2
v 2 = 2 .17 × 10 3 m ⋅ s −1
z
o'
v1 = 3.17 × 10 3 m ⋅ s −1
10
作业 ： 7,13
作业 ： 7,13
P93: 7,13
为学应须毕生力， 为学应须毕生力， 攀高贵在少年时。 攀高贵在少年时。
Fx ∆t = mv2 x − mv1x
= mv cosα − (−mv cosα) = 2mv cosα
Fy ∆t = mv2 y − mv1y
x
α α
v m v1
2mv cosα = 14.1N F = Fx = ∆t
方向沿
= mvsinα − mvsin α = 0
v mv2
y
6
x 轴反向
P56 例 2 一柔软链条长为 单位长度 一柔软链条长为l,单位长度 的质量为λ 链条放在桌上 桌上有一小孔, 链条放在桌上,桌上有一小孔 的质量为λ.链条放在桌上 桌上有一小孔 链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小 链条一端由小孔稍伸下 其余部分堆在小 孔周围.由于某种扰动 由于某种扰动,链条因自身重量 孔周围 由于某种扰动 链条因自身重量 开始落下 .求链条下落速度与落下距离 求链条下落速度与落下距离 之间的关系 . 设链与各处的摩擦均略去 不计,且认为链条软得可以自由伸开 不计 且认为链条软得可以自由伸开 . 解 以竖直悬挂的链条和桌面上的链 条为一系统,建立如图坐标 条为一系统 建立如图坐标 则
4
r P2 r P1
v v v v ▲外力： 外 = ∑ Fi =F1 + F2 + L 外力： 外力 F
i
注意 (1) 质点系的动量：质点系内 质点系的动量：
所有质点的动量的矢量和
v v P = ∑ pi
▲质点系的动量：质点系内 质点系的动量： 质点系的动量 所有质点的动量的矢量和
v v v P = ∑ pi = ∑ mi vi