7一元二次方程根与系数的关系

则有x1 x 在通 2 ____,x1 x2 ____ x 2 x x x 2分 _____,x 2 x 2 ____
1 2 1 2 1 2
1 解 : 2要化为一般 x 6x 1 0 得x1 x2 3, x1 x2 式 2 要分解因 1 3 2 2!!! 形式 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 式分解 2 2 2 2 2
要点、考点聚焦
1. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 分别为x1,x2，则：x1+x2=-b/a；x1x2=c/a 2.若x1,x2是某一元二次方程的两根，则该方程可以 写成：x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
口答练习：
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X －3X+1=0 ⑶、2 X2+3X=0
（1）一元二次方程的一般形式是什么 ax2+bx+c=0(a≠0) （2）一元二次方程的根的判别式是什么
b2 4ac
判别式的值
△ ＞0 △＝0 △＜0
根的情况
有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
判别式的值 △ ≥0 △＜0
根的情况 有两个实根 没有实数根
（3）一元二次方程的求根公式是什么
2.(2008 年 · 河北省 ) 若 x1,x2 是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则x12+x22 的值是 ( ) A A.5/4 B.9/4 C.11/4 D.7 3.(2008 年 · 沈阳市 ) 请写出一个二次项系数为 1 ，两实根 之和为3的一元二次方程： x2-3x-4=0 。
方法（二） 设方程的一根为x =2,
1
另一根为x ，那么
2
｛
3 答：方程的另一根是－ ，k的值是 7。 5
k 2＋x ＝－ 5 解得 6 2x =5
2 2
｛
3 x ＝－ 5 k 7
2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
应用二：利用根与系数的关系，求相关代数式的值
例2.利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x2＋3x－1＝0两根的 (1)平方和；(2)倒数和．
【分析】先设方程的两根分别为x1,x2,由根与系数的关系可以 求出方程两根的和与积，进而用两根和与积表示两 根的平方和与倒数和.
如：x1 x2 ( x1 x2 )2 2x1x2
例4.一元二次方程的两 x px q 0 那么p ______ 的两根分别是 2 3,2 3, q _______
2
解 :由 2 3 2 3 p, 得p 4
由 2 3 2 3 q, 得q 1






例2.若2 xx 3 1 的两根分别为 x1 , x2
例5 : 设方程x 3x 2 0的两个根分别为 x1 , x2
2
以x , x 为根的一元二次方程是 __________ ___
2 1
2 2
解 : x1 x2 3, x1 x2 2
2 1 2 2 2
x x x1 x2 2x1 x2
13
x x 2 4
解：将②代入①中得(2x+m)2=4x即4x2+4(m-1)x+m2=0 Δ =［4(m-1)］2-4×4m2=-32m+16=0 ∴m=1/2
考题选讲 例1.已知方程 x 2 3x m 0 的一个
根是1,则另一个根是___,m的值是____
解:
x1 1 3 x1 2 设另一根为x1, 则有 m 2 x1 1 m
推理论证
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个根是x1，x2 ，那么 b x x a c xx a
1 2 1 2
Δ≥0
观察猜想
方程 2x2+7x+3=0 3x2+5x+2=0
两个根x1，x2 两根之和 的值 x1+x2
两根之积 x 1x 2
1 3, 2
2 , 1 3
一元二次方程根与系 数的关系
一元二次方程的 根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。
1 2 2
，x12+x22=
7
.
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3.(2008年· 河南省)m,n是方程x2+2002x-1=0的两个实数根， 则m2n+mn2-mn= 2003 . 4.设x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实根，且 8x1-2x2=7， 则m的值是 1 .
y 2 4 x 5.如果方程组 只有一组实数解，求m值. y 2 x m
2
⑵ 、3X －2X=2 ⑷ 、3X2=1
2
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式； ⑵、在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
练一练·
练习1．（口答）下列方程中， 两根的和与两根的积各是多少？
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
例2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求： (1) 1 1 (2) x 2+x 2
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
解得k1=9,k2= -3
a
a
3.以x1 , x2为根的一元二次方程为 :
x x1 x2 x
2
x1 x2 0
主要公式: x x x1 x2 2x1 x2
2 1 2 2 2
x2 x2 4x1x2
2
x1 x2
x1 x2
2
4 x1 x2
主要应用 1.已知方程的一根求另一根及字母系数 2.不解方程求与两根有关的代数式的值 3.已知两根之间的关系求字母的取 值范围
2
例3.已知:关于x的方程
x m 1x m 2 0
2
m+1=3 m+1=0
2 (1)若两根的和为3,则m=_____ m-2=1 -1 (2)若两根互为相反数,则m=____, 3 (3)若两根互为倒数,则m=____, 2 (4)若两根积为0,则m=______ m-2=0
1 1 x2 x1 x1 x2 x1 x2
2
2
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7
(2) x1 = 3, x2 = -6
7
, x2 =
(4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5 x1+x2= p 3
解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 4( k 1) 2 4 k 2 0
k 1 2
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 ·x2= 3
2 5 2ห้องสมุดไป่ตู้2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( 3 )+1=
2
4 4 ______ x1 x2运用公
4 4 4 x1 4 x2 x1 x2 x1 x2
x1 x2 x1 x2 2x1 x2


达标检测题： 1、已知X1、X2是方程X2－2X=1的两个根， . -1 则X1+X2=________ X 2 1 X2=_______ 2 2、设X1、X2是方程X －4X+3=0的两个根， 8 则( X1+1)(X2+1)= _____ X2+3X-28=0 3、以4和-7为根的一元一次方程是_____ _____ 4、已知两个数的和为3，积是-10，则这两个数 5和 -2 ___ 是___ ___
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1.(2008 年 · 河南省 ) 已知： a 、 b 、 c 是△ ABC 的三条边长， 那么方程cx2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( C ) A.无实数根 B.有两个不相等的正实根 C.有两个不等的负实根 D.有两个异号的实根 2.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则 (x1+1)(x2+1)=
3 17 3 17 4 4
7 2
3 2
2 3 1 2
5 3
3 2
2x2+3x-1=0
韦达定理介绍（根与系数的关系)： 2
1.一元二次方程 ax bx c 0的两 b 根分别是 x , x c 1 2, 则有 x1 x2
x1 x2
2.如果方程x2+px+q=0的两根是x1、 x2，那么x1+x2=－p，x1· x2=q．
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
课时训练
1.(2008年· 青海)以 2 3 和2 3 为根的一元二次方程 是 。 x2-4x+1=0 2.(2008年· 临汾市)已知关于x的一元二次方程 X2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值 是 ( B ) A.5 B.-1 C.5或-1 D.-5或1 3.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( A ) A.-18 B.18 C.-3 D.3
基 础 练 习
5、以方程X +3X+2=0的两个根的相反数为根的 方 B 程是（ ） A、y2+3y-2=0 B、 y2－3y+2=0
C、y2+3y+2=0 D、 y2－3y-2=0 此题还有其他解法吗？ 换元法： 设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0， 得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
由根与系数的关系，得 解：
, x1 ·x2=
q 3
∴p= -3(x1+x2)
(1)p= -9 (2)p= 9 (3)p= 0 (4)p= 12 q= 6
q=3 x1 ·x2
q= -54 q= -21 q= -3
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
2 2 1 2 2
所求的方程式为: y 13y 4 0
2
（2）已知方程一根，求另一根。 例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。 方法（一） ∵ 2是方程 ∴ ∴ 原方程可化为 解得：
的根，
例：已知方程5x2+kx-6=0的根是2， 求它的另一根及k的值。
x1 x2
。
1
2
解：由题意可知x1+x2= (1)
1 x 1 1 x 2
2 3
, x1 ·x2=-3
2 3 3
=
x1 x 2 x1 x 2
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x x
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
另解 : x 1代入方程得: 12 3 1 m 0, 解得m 2
解方程x 3x 2 0得另一解为 x2
2
课前热身
1.(2008年· 黄冈)下列说法中不正确的是 A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18 D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/5 (A )