第一章 线性规划与单纯形法2012

x1-x2+ x3’-x3‖-x5=2
-3x1+x2+2x3’-2x3‖ =5
x1, x2,x3’,x3‖, x4,x5 0
§4 单纯形方法 一 线性规划问题解的概念
线性规划标准型的矩阵形式： Max S = CX （1-9） s.t. AX=b （1-10） X0 （1-11）
a11 a12 …. a1n
20 可行域 10
10
20
30
40
x1
x2 50
当该直线移到Q2点时，S（目标函 数）值达到最大：
40 30
Max S=50*15+30*20=1350
此时最优解=（15，20）
Q2（15，20） 可行域
20
10
10
20
30
40
x1
二个重要结论：
•满足约束条件的可行域一般都 构成凸多边形。这一事实可以 推广到更多变量的场合。
20
10
4x1+3x2 120
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
2x1+x2 50
由 2x1+x2 50 x1 0 x2 0
20
围成的区域
10
10
20
30
40
x1
x2 50 同时满足： 2x1+x2 50 40 30 4x1+3x2 120 x1 0 x2 0
2x1+x2 50
的区域——可行域 20 可行域 10 4x1+3x2 120
10
20
30
40
x1
x2 50 Q3（0，40） 40 30
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。 该问题的可行域是由O， Q1，Q2，Q3作为顶点的
20 可行域 10
§2线性规划问题图解法
• 图解法是用画图的方式求解线性规划的一种
方法。它虽然只能用于解二维（两个变量）
的问题，但其主要作用并不在于求解，而是
在于能够直观地说明线性规划解的一些重要
性质。
§2线性规划问题图解法 （1）满足约束条件的变量的值，称 为可行解。
§2线性规划问题图解法 （1）满足约束条件的变量的值，称 为可行解。 （2）使目标函数取得最优值的可行 解，称为最优解。
二个重要结论：
•满足约束条件的可行域一般都 构成凸多边形。这一事实可以 推广到更多变量的场合。
•最优解必定能在凸多边形的某 一个顶点上取得，这一事实也 可以推广到更多变量的场合。
解的讨论：
最优解是唯一解；
解的讨论：
最优解是唯一解；
无穷多组最优解：
例1.1的目标函数由 max S=50x1+30x2 变成： max S=40x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+x2 50 x1,x2 0
Max S=c1x1+c2x2+…..+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2
………………….
am1x1+am2x2+….+amnxn=bm
x1,x2….xn 0
其中：bi 0(i=1,2,….m)
线性规划问标准形的向量形式
§2线性规划问题图解法
（1）满足约束条件的变量的值，称为可 行解。 （2）使目标函数取得最优值的可行解， 称为最优解。
例1.1的数学模型 max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+x2 50 x1,x2 0
x2 50 由 4x1+3x2 120 x1 0 40 30 x2 0 围成的区域
A B C 产品单价（百元）
要求确定甲、乙、丙的产量，使总产值最大。
解 将一个实际问题转化为线性规划模型有 以下几个步骤： (1)确定决策变量：决策变量是模型要决定 的未知量，也是模型最重要的参数。对简 单的模型，如上例，决策变量是显而易见 的。但对较复杂的问题，决策变量的定义 就不那么简单了。在本例中，工厂要确定 产品甲、乙、丙的生产数量，因此可定义： 生产产品甲的数量为x1，：生产产品乙的数 量为x2 ，：生产产品丙的数量为x2 。
(4) 变量取值限制：一般情况下，决策 变量只取正值（非负值）。因此，模型 中应有变量的非负约束。在本例中，非 负约束为：
将以上几部分结合起来就得到反映此工厂生 产计划的完整的数学模型：
对于模型的第四部分，对变量取值的约束， 一般都是根据实际问题所确定的。如果实 际问题中要求变量取值非负（如例1中代表 产品的产量），则变量就可以有非负限制， 但如果实际问题中变量没有非负要求，不 能人为的对变量加以非负限制。比如，变 量若表示温度，误差、资金周转等等。
b1
A=
a21 a22 …. a2n
……………………………
b =
b2
…………
am1 am2 …. amn
bn
c1 c2 C= …… cn X=
x1 x2 0= …… xn
0 0 ….. 0
•解、可行解、最优解
⊙满足约束条件（1-10）的X，称为 线性规划问题的解。
•解、可行解、最优解
⊙满足约束条件（1-10）的X，称为 线性规划问题的解。 ⊙满足约束条件（1-10）与（1-11） 的X，称为线性规划的问题可行解。
20
10
10
20
Q1（25，0） 30 40
x1
解的讨论：
无界解：
例：max S=x1+x2 s.t. -2x1+x2 40 x1-x2 20 x1,x2 0
x2 50
40 30
该可行域无界，目标函 数值可增加到无穷大， 称这种情况为无界解或 无最优解。
20
10
10
20
30
40
x1
线性规划问题的一般形式： Max(Min)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn (=, )b2
………………….
am1x1+am2x2+….+amnxn (=, )bm
x1,x2….xn 0
引进两个非负变量xj’ xj‖ 0
令xj= xj’- xj‖（可正可负）
如何将一般问题化为标准型：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0
这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。 •若变量 xj无非负限制
引进两个非负变量xj’ xj‖>=0
令xj= xj’- xj‖（可正可负）
任何形式的线性规划总可以化成标准型
如何将一般问题化为标准型：
•若目标函数是求最小值 Min S = CX 令 S’= - S, 则 Max S’= - CX •若约束条件是不等式 若约束条件是“”不等式 n
aijxj + si = bi
j=1
si 0是非负的松驰变量
如何将一般问题化为标准型：
若约束条件是“”不等式
•解、可行解、最优解
⊙满足约束条件（1-10）的X，称为 线性规划问题的解。 ⊙满足约束条件（1-10）与（1-11） 的X，称为线性规划的问题可行 解。
⊙满足目标函数（1-9）的可行解X，
称为线性规划的问题最优解。
•基、基向量、基变量
⊙设 r(A) = m,并且B是A的m 阶非奇异 的子矩阵（det(B) 0),则称矩阵 B为线性规划问题的一个基。
例1.3 将下列问题化成标准型: Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7 x1-x2+x3 2 -3x1+x2+2x3 = 5
x1,x2 0
x3 无非负限制
Max S = x1-2x2+3x3’-3x3‖ s.t. x1+x2+x3’-x3‖+x4 =7
•基、基向量、基变量
⊙设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异 的子矩阵（det(B)<>0),则称矩阵 B为线性规划问题的一个基。 ⊙矩阵 B =（P1，P2….Pm) ，其列向量 Pj 称为对应基B的基向量。
n
aijxj - si = bi
j=1
si 0是非负的松驰变量
如何将一般问题化为标准型：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0
这时只要在bi相对应的约束方程两边乘
上-1。
如何将一般问题化为标准型：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0
这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。 •若变量 xj无非负限制
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第一章
§1
线性规划
线性规划模型
例1 某厂生产甲、乙、丙三种产品，主要消 耗A、B、C三种原料，已知每单位产品消耗 原料的数量等数据如表1.1所示。 表1.1 单
位
产 原
消 品 耗 料
甲 1 5 0 2
乙 4 2 2 4
丙 2 3 5 5
原料总量 （kg） 4500 6300 3800
(2) 确定目标函数：目标函数决定线性规划 问题的优化方向，是线性规划模型的重要 组成部分。很明显，工厂的目标是使总产 值最大，更具体一点，是使三种产品单价 与产量的乘积的总和最大，因此目标函数 可写为：