【精品】高中数学选修1-1 椭圆及其标准方程知识讲解讲义+巩固练习

合集下载

数学选修1-1 第二章圆锥曲线与方程知识梳理

第二章圆锥曲线与方程

一、椭圆

（一）椭圆及其标准方程

1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．

2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2

2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为

_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；

焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2

2＝1 (a >b >0)．

（二）椭圆的简单几何性质

1．椭圆的简单几何性质

（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。

（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)2

2101c b e e a a

==-<<。e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆

越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

焦点的

位置

焦点在x 轴上焦点在y 轴上

高二上册数学选修一《2.5 椭圆及其方程》知识点梳理

高二上数学选修一第二章《平面解析几何》知识点梳理

2.5.1椭圆的标准方程

学习目标：

1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)

3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)

“

嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，实现月球软着陆进行部分关键技术试验，入太空轨道绕月球运转时，1．椭圆的定义

(1)定义：如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a ＞|F 1F 2|，则平面内满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a 的动点P 的轨迹称为椭圆．

(2)相关概念：两个定点F 1，F 2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F 1F 2|称为椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

[提示]2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件结论2a ＞|F 1F 2|动点的轨迹是椭圆2a ＝|F 1F 2|

动点的轨迹是线段F 1F 2

2a ＜|F 1F 2|动点不存在，因此轨迹不存在

2．椭圆的标准方程

焦点位置在x 轴上在y 轴上标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)

y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)

(±c,0)

(0，±c )

：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示]a ，b 的值及焦点所在的位置．思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？

[提示]把方程化为标准形式，x 2，y 2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．

人教版选修1-1第二章第一节《2.1.1椭圆及其标准方程》(第一课时)说课稿

人教版选修1-1第二章第一节《2.1.1椭圆及其标准方程》（第一课时）说课稿

尊敬的各位专家、评委老师：

大家好！我说课的题目是《椭圆及其标准方程》，内容选自人教版选修1-1第二章第一节第一课时，下面我就教材分析、学情分析，教学教法分析、教学过程分析、板书设计、教学评价分析这个几方面进行阐述。

一、教材分析

本章《圆锥曲线与方程》主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，以及它们在实际中的简单应用。它是继前面必修二《解析几何初步》，研究直线和圆之后，用坐标法研究曲线问题的又一次实际演练而这种方法将贯穿于整个解析几何始终。椭圆又是三种圆锥曲线中最重要的一种，教材中以椭圆为例，研究定义、方程，利用方程研究几何性质，从方法上，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础，因此有着承前启后的作用；另外学习本节内容有利于培养学生数形结合思想，转化思想，类比思想及分类讨论思想，有利于提高学生的数学思维能力，因此本节课是本章和本节的重点内容.

2、根据以上对教材的分析，和课标要求，本着以“知识为载

体、注重学生的能力、合作学习的精神的培养”的教学理念，教学目标制定如下：

1）、知识与技能：

掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，会根据条件确定椭圆的标准方程2）、过程与方法：

通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想

3）、情感、态度和价值观：

通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，增强学生的数学应用意识，扩展学生的数学视野.

人教版高中数学选修1-1《椭圆的标准方程》

两边再平方，得 a 4 2 a 2 c c x 2 x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2 ,
整理，得 (a 2 c2 )x 2 a 2y2 a 2 (a 2 c2 ),
两边同除以 a2(a2 c2) ，得
x2 y2 a2 a2 c2 1.
①
①式可变为：
例1.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( －2, 0 ),
(2，0)，并且经过点 5 ， 3 ，求它的标准方程。
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 y2 a2 b2 1(ab0). 由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a 52 2 3 2 52 2 3 221， 0 2 2 2 2
所以 a 10.
又因为 c2，所以 b 2a 2 c2 1 0 46 .
因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1. 10 6
定义法
解法二：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 y2
a2 b2 1(ab0).
由于 c 2，所以 a2b24 ①
y
又点 5 ， 3 在椭圆上，
2 2
所以
5 2
2. 椭圆标准方程的推导： ♦ 探讨建系的方案:怎样建立直角坐标系？
yy
y
M
F1 O
OF2 x x
O

高中数学选修内容复习讲义(选修1-1)

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件

1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

1.命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.

其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性

[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？

提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.

3.充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.

1.命题真假的判定

对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.

2.四种命题的关系的应用

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.

[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.

※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；

(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；

(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；

(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.

新人教A版高中数学(选修1-1)2.1《椭圆》word说课教案

课题：椭圆的标准方程

授课教师:苏彦斌(恩平一中)

教材：人教版高中选修1-1

（一）教材分析

一．教材地位

《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.

二．教材特点

1、由于本章节难度教大，学生普遍觉得比较困难.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题.

2、本章节的概念比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果.

三.教学重点、难点

教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程；求椭圆标准方程的方法.

教学难点：椭圆标准方程的推导和应用.

（二）目的分析

1．知识与技能目标：学习椭圆的标准方程及其应用；培养学生的数形结合的思想.

2．过程与方法目标：通过椭圆定义，学生自主推导标准方程；通过观察图形逐渐培养学生对称的思想.

3．情感态度与价值观：引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.

（三）、教法分析

1、教法及设计目的

应用实物模型导入新课，目的是要激发学生学习的兴趣，让他们观察椭圆的由来.

在推导椭圆的标准方程时利用演示板来进行演示，先给学生直观的感性的认识.接着进行标准方程的推导，这样有利于培养学生的数形结合的能力.

本课主要采用探究式教学方法，即“观察对象－问题引导－讨论探究－得出结论”的探究式教学方法.在教学上是以多媒体和演示板作为教学手段，始终坚持启发式教学，以学生为主体，引导学生思考并自己动手分析.

高中数学选修1-1 09.椭圆及其标准方程

9.椭圆及其标准方程

教学目标班级____姓名________

1.掌握椭圆的定义、标准方程及图形.

2.能完成简单的椭圆计算问题.

教学过程

一、椭圆的标准方程.

1.椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点. 两焦点的距离||21F F 叫做椭圆的焦距. 要点归纳：（1）在平面内；

（2）a PF PF 2||||21=+（P 为椭圆上任意一点，a 为常数）

；（3）c F F 2||21=；

（4）||||||2121F F PF PF >+.

2.椭圆定义的应用：

（1）判断：符合该定义的轨迹是椭圆；（可用待定系数法求椭圆方程）

（2）求值：a PF PF 2||||21=+（可求a 的值）. 3.椭圆的标准方程：

焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 )0(122

22>>=+b a b y a x )0(12

222>>=+b a b x a y 图象

焦点坐标（-c ，0）和（c ，0）（0，-c ）和（0，c ） a 、b 、c 的关系

c F F 2||21=，222b a c -=

4.椭圆中的a ，b ，c .

（1）椭圆中a 最大，b 、c 大小不确定，满足222c b a =-；

（2）椭圆标准方程：①左边平方和，右边为1；

②分母大的为2a ，分母小的为2b ；③2

a 作谁的

分母，焦点就在什么轴上.

二、例题分析.

1.椭圆的定义.

例1：已知1F 、2F 为定点，8||21=F F ，动点M 满足8||||21=+MF MF ，则点M 的轨迹是（） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

人教A版高中数学选修1—1第二章2.2.1椭圆及其标准方程复习课件

焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( A．4
) B．5
C．8
D．10
解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案：D
知识点二椭圆的标准方程
3．已知椭圆的焦点分别为 F1(－2,0)，F2(2,0)，椭圆上一点到
两焦点的距离之和等于 6，则椭圆的方程为( )
A．x92＋y42＝1
ห้องสมุดไป่ตู้
B．x92＋y52＝1
C．x52＋y92＝1
D．x42＋y92＝1
解析：由题意得22ac＝＝46，， ∴a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝5， ∴椭圆的方程为x92＋y52＝1.
答案：B
4．经过点(2，－3)，且与椭圆 9x2＋4y2＝36 有共同的焦点，则该椭圆的方程为________．
解析：椭圆 9x2＋4y2＝36 化为标准形式为x42＋y92＝1，则 a2＝9，b2＝4， ∴c2＝a2－b2＝5， ∴焦点坐标为 F1(0，－ 5)，F2(0， 5)．
2．椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
___ax_22＋__by_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_)__ __ay_22_＋__bx_22＝__1_(_a_>_b_>_0_)__
图形
焦距焦点坐标 a，b，c 的关系

人教版高中数学【选修1-1】[B 知识点整理及重点题型梳理]

人教版高中数学选修1-1

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

椭圆的性质

【学习目标】

1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.

2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.

3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】

要点一、椭圆的简单几何性质

我们根据椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 来研究椭圆的简单几何性质

椭圆的范围

椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. 椭圆的对称性

对于椭圆标准方程22

221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都

不变，所以椭圆22

221x y a b

+=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图

形，这个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆的顶点

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），

A 2（a ，0），

B 1（0，―b ），B 2（0，b ）。

③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的离心率

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c c

e a a

=。 ②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。e 越接近1，则c 就越接近a

【知识点归纳】高中数学选修1-1知识点总结归纳

高中数学选修1-1知识点总结归纳

常用逻辑用语

1.1 命题及其关系

1.1.1 命题

1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。其中p 叫做命题的条件，

q 叫做命题的结论。

1.1.2 四种命题

3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.

4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.

5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.

6、以上总结概括：

1.1.3 四种命题间的相互关系

7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间

原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题若q ⌝，则p ⌝

高中数学第二章圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版

1．1 椭圆及其标准方程

学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

知识点一椭圆的定义

1．定义

平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．

这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．

2．椭圆的集合表示

设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．

知识点二椭圆的标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上

标准方程x2

＋

＝1(a>b>0)

＋

＝1(a>b>0)

图形

焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2

1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( ×) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( ×)

3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( √) 题型一求椭圆的标准方程

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32，52； (3)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上，

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》易错易混题组

《椭圆及其标准方程》易错易混题组

易错点1 忽略椭圆焦点位置的讨论

1.已知椭圆的标准方程为()22

21025y m m

x +=>，并且焦距为6，则实数m 的值为 .

易错点当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，易忽略对椭圆的焦点位置的讨论而漏解.

易错点2 忽略椭圆方程中的限制条件

2.若方程22

175

x y k k +=--表示椭圆，求实数k 的取值范围. 易错点本题主要考查对椭圆的标准方程的理解，易忽略椭圆的标准方程中的限制条件a>b>0.

参考答案

答案：4

解析：∵2c=6，∴c=3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知22222225,,,a b m a b c ===+由 22259,16,0,m m m =+∴=>得又故m=4.

当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知222,25a m b ==

，2222,25934,0,a b c m m m =+=+=>=由得又故综上，实数m 的值为4

或2.

答案：见解析

解析：由题意可知70, 50,75k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩

解得5<k<7且k ≠6，所以实数h 的取值范围是

()() 5,66,7.

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》名师课件

25 16
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二:求与椭圆有关的点的轨迹和方程
点拨: （1）本例的解决抓住两圆内切的特点,得出 PA PB 10 所以点P 的运动轨迹是以A、B为焦点的椭圆标准方程.这就是运用椭圆定义求轨迹方程,把求点P轨迹方程问题转化成求a2 ,b2 问题. （2）转化题中条件,利用定义判断出点的轨迹,再依据轨迹方程特征用待定系数求出常数,简便快捷.在条件转化过程中,要充分利用其几何性质.
y02 9
y2 1 36
1
∴P点的轨迹方程为x2 y2 36 x 6
点拔: 求未知动点的轨迹方程,利用已知点与未知动点的关系,代入已知点的轨迹方程求轨迹方程方法叫相关点代入法．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究三:初步掌握利用椭圆定义及方程解决综合问题的方法
例4
如图所示,已知点P是椭圆
y2 x2 54
1 上的点, F1, F2 是椭圆的左
右焦点, F1PF2 30,求 F1PF2 的面积.
详解:在椭圆 y2 x2 1 中, a 5,b 2,c a2 b2 1
54
∵P在椭圆上,则 PF1 PF2 2a 2 5 ①
由余弦定理可知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 30 F1F2 2 4 ②
SPF1F2
1 2
PF1
PF2

2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案

►基础梳理

1．椭圆的定义及标准方程．

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：

焦点在x 轴上焦点在y 轴上

标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a >b >0)

焦点 (±c ，0) (0，±c )

a ，

b ，

c 的关系：c 2＝a 2－b 2

2.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆；当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．

椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．

(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．

4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．

(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：

①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2

高中数学选修1-1 新课讲义第2章 2.1.1 (二) 椭圆及其标准方程(二)

2.1.1椭圆及其标准方程(二)

学习目标加深理解椭圆的定义及其标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．

知识点椭圆方程的求法

思考1用待定系数法求椭圆的标准方程x2

a2＋y2

b2＝1，需要几个独立条件？答案需要两个独立条件，因为方程中有两个独立参数a，b.

思考2椭圆方程的求法，除待定系数法外，还有哪些方法？

答案定义法、直接法等．

梳理

方法名称适用条件

待定系数法已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上的点等条件中的某些条件

直接法等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法)

定义法能得出动点到两定点的距离之和为定值

相关点法所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系

1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) 2．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)

3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)

类型一定义法求轨迹方程

例1如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线

段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．考点椭圆的定义题点由椭圆定义确定轨迹

解 ∵直线AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ， ∴|AQ |＝|PQ |，

∴|AQ |＋|BQ |＝|PQ |＋|BQ |＝6>|AB |＝4， ∴点Q 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，

高中数学选修1-1知识点及课本例题

第一章常用逻辑用语

1.1 命题及其关系

1、命题

（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。

2、四种命题

（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。

3、四种命题间的相互关系

例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是素数，则a是奇数；

（3）指数函数是增函数吗？

（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；

（5）2

-；

(2=

（6）15

x。

例2指出下列命题中的条件p和结论q：

（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；

（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；