解析几何的范围问题
解析几何取值范围通关50题(含答案)
的取值范围．
8. 已知椭圆 2 分线与
（1）求椭圆 （2）若直线
的方程； 直
t
t
t
经过点 t 与 的取值范围．
，一个焦点为
．
轴交于点 ，求
t 直
轴交于点 ，与椭圆
交于
两点，线段
的垂直平
9. 设
（1）若
t，
分别是椭圆
是该椭圆上的一个动点，求
t 的左、右焦点．
t
的最大值和最小值； 为锐角（其中 为坐标
（2）设过定点
t
t
，椭圆
的右顶点为 ．
的直线交椭圆
于 ， 两点，且线段
的中点为 ，求直线
的斜
率的取值范围．
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7. 在平面直角坐标系 相切． （1）求椭圆 （2）若椭圆 求
中，椭圆 ：
t
t
t
过点
t ，且与直线 ， ， 成等比数列，
的方程； 与 轴交于 ， 两点，椭圆 内部的动点 使
， 两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，
的取值范围．
18. 在平面直角坐标系 （1）求圆心 （ 2 ）过 直 直t ，
t
中，已知圆 的方程；
外切，与圆
内切． 的轨迹
t2
t
t，
t和 分别交曲线
2 于
t ，
t ，动圆 两点，设
t
与圆
作两条互相垂直的直线
直
的斜率为
的面积为 ，求 的取值范围．
第 6页（共 61 页）来自
t
t2
t
t
t
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
解析几何法巧解三角形的范围问题
b
n+1+c
n+1=
b
n+c 2
n
+a1，
所以b n+1+c n+1-2a1=
1（b 2
n+c
n-2a1）=…=
21n（b 1+c 1-2a1）=0援
所以bn+cn=2a1援 淤
因为bn+1-cn+1=- 12（bn-cn），所以{bn-cn}是以b1-c1为首
蓸 蔀 项，-
1 2
为公比的等比数列，bn-cn=（b1-c1） -
2
2
姨3 援 解法2院如图1，以A B的中点为
原点O，直线A B为x轴建立平面直 角 坐 标 系 ，则 A（-1，0），B（1，0）.
y C
A
B
-2 -1 O 1 x
设C（x，y）（y屹0），据题意，a=姨 3 b，
求 得 点 C 的 轨 迹 方 程 为（x +2）2+
图1
y2=3，S=
1 2
|A B||y|=|y|，易知x=-2时S取到最大值 姨
a1|yn|，故{Sn}为递增数列援
例4 （2016年咸阳市二模·理
16）如图5，在 吟A BC中，O是外 接 圆
的圆心，若OB·OC=- 1 ，A = 仔 ，则
2
3
B
吟A BC周长的最大值为_____援
解法1院设吟A BC外接圆的半径
A 仔 O3
a= 姨 3 C 图5
为R.由OB·OC=R2cos
b1>c
1，b 1+c 1=2a1，an+1=an，b n+1=
an+c n 2
解析几何中求参数取值范围的方法(精)
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。
一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。
通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。
一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。
例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。
我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。
因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。
一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。
我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。
在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
求解析几何参数范围问题的三个视角
求解析几何参数范围问题的三个视角解析几何是一门研究几何形状和空间位置的数学学科，也是计算机图形学和计算机视觉等领域的基础。
在解析几何中，参数范围是一个重要的概念，用于描述几何形状在参数空间中的范围。
本文将从三个不同的视角探讨解析几何参数范围问题。
第一个视角是参数空间的表示。
在解析几何中，几何形状通常使用参数方程或参数化表示。
参数方程是将几何形状的坐标表示为参数的函数，而参数化表示是将几何形状表示为参数的向量函数。
参数范围即参数的取值范围，决定了几何形状在参数空间中的呈现情况。
对于一个简单的例子，考虑一个三维空间中的球面。
球面可以用参数方程表示为：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)其中，r是球的半径，θ是极角（垂直于xy平面），φ是方位角（相对于x轴的旋转角度）。
参数范围通常是确定的，例如，θ的范围是[0,π]，φ的范围是[0,2π]。
这样，球面可以在参数空间中完整地表示为一个范围为[0,π]×[0,2π]的二维区域。
第二个视角是参数范围与几何形状之间的关系。
在解析几何中，参数范围对应的是几何形状在实际空间中的一部分或整体。
通过调整参数范围，可以控制几何形状的显示范围和形态。
以前述的球面为例，改变参数范围可以获得不同的球面显示效果。
例如，如果将θ的范围改为[0,π/2]，球面将只显示为一个半球。
如果将r的范围改为[0,R]，其中R小于球的半径，则只会显示球面的内部一部分。
通过调整参数范围，可以实现对几何形状的剖切、截取、放大、缩小等操作。
第三个视角是参数范围和求解问题的关系。
在解析几何中，参数范围往往与求解问题密切相关。
通过确定参数范围，可以简化求解几何问题的过程，减少计算量。
以二维直线与圆的交点求解为例，给定一个直线的参数方程和一个圆的参数方程，需要求解直线与圆的交点。
通过确定参数范围，可以大大简化求解的过程。
解析几何中范围和最值问题的解法研究
．
ｌ Ｏ
’ 、
由 Ｄ在 ＡＢ上 ， ￣ ＇ ｌ ｆ Ｘ ｏ ＋２ ｋ ｘ ｏ ＝２ ， 得 知 一
所 以 一 一 １ ０
，
题意 Ｙ ， Ｙ ２ 不 同时为 ０ ，
’
． ．
上述条件等价 于 Ｙ 一 ２ ∞ｚ ； 一ｚ ； ∞（ １ ＋ ） （ ｚ ｌ ｚ ≠ｚ ２ ， ． ． 上述条件等价 于 ｚ １ ＋ ２ － － ０ ．
设 ＡＢ的中点 Ｎ 的坐标为（ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则
Ｘ ｏ 一
】 ，
（ ｘｌ 十 ２ ） 一 一百 ， Ｙ ｏ 一 一 Ｘ Ｏ 十 ｍ・
．
、
］
】
．
由Ｎ Ｅ ｌ ， 得 志＋ 一 一 寺＋ ６ ， 于 是６ 一 素＋ 优 ・
・
。 ＞一１
．
３ ２ ． ６ ＞ 熹一 １ 一 ，
。
间 的等量关 系实现 变量之 间的相互 转化 ， 从 而构造 关于 未知变量 的不等式 ， 即可求变量 的取值 范围或最 值．
这就是说 ， 可 以用 函数 的观点 、 方程 的观点 、 不 等式
的方程 分别 为 ｚ＋２ ｙ ＝２ ， 一尼 ｚ ） ．
即得 ｚ 在 Ｙ轴 上截距 的取值 范围是（ ， ＋。 。 ） ．
评析 ： 第（ ２ ） 题解 法 的 实质 是 建立 关 于纵截 距 ｂ的
函数 ， 从 而将 问题 转 化 为 求 函数 的值 域 ．
即相 应变量之间的等量关系与不等量关系． 若将 变量间的等量关系看 成 函数 关系 ， 则 可 以将 等 量关 系式转换成 函数关系式 ， 然后 可 以用求 函数 的值 域
一
、
故 ＝－ －Ｘ ｌ －
63第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围、最值问题
第1课时 范围、最值问题
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
师生共研
题型一 范围问题
例 1 (2016·天津)设椭圆ax22＋y32＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知|O1F|＋ |O1A|＝|F3Ae|，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.
3
2 4
y02 4x0
3
2.
因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
多维探究
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，
A.[4,5]
√B.[7,8]
C.[6,7]
D.[5,6]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.已知椭圆 C1： mx＋2 4－yn2＝1 与双曲线 C2：xm2＋yn2＝1 有相同的焦点， 求椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
证明 设 P(x0，y0)，A41y21，y1，B41y22，y2. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y22＋x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系摘要：在教学体制改革的背景下，高中数学教学面临一些新变。
传统教学方法逐渐落后于时代发展的潮流，教师需要更新教学模式，创新教学体系。
解析几何是高中数学的重要组成部分，在探讨解析几何的求解范围时，经常要分析不等关系。
本文将具体探讨解析几何中求解范围问题的特点，以及解析几何中求解范围问题的常用不等关系，希望能为相关人士提供一些参考。
关键词：解析几何；求解范围；不等关系引言：高中学生面临一定的升学压力，每个学生都设定了升学目标，希望在高考中乘风破浪，成功考入自己的理想学校。
教师是学生的引导者，担任着为学生传道受业解惑的重要任务，只有发挥教师的引导作用，才能促进学生健康成长。
数学成绩直接关系着学生升学目标的实现，数学教师需要提升学生的学习能力，让学生掌握高效的数学学习技巧。
解析几何求解范围问题是高中数学的常见考点，教师应该将着眼点放在此处，攻克解析几何难点问题，帮助学生形成解题思路。
1解析几何中求解范围问题的特点1.1知识抽象性强与其他类型的数学知识相比，解析几何中求解范围问题更加抽象。
将数学公式、数学概念和数学模型问题与解析几何中求解范围问题进行对比分析，可以发现数学公式、概念模型问题等采用了形象通俗的语言表达方式，而解析几何中求解范围问题采用了抽象高深的语言表达方式[1]。
学生的认知能力有限，对抽象知识点的吸收能力比较弱，对具象知识点的吸收能力比较强，在面对抽象知识点时，学生难免会出现畏难情绪。
1.2逻辑要求性高学生之所以会在数学学习过程中遇到阻碍，是因为高中数学思维方式非常难把握。
解析几何中求解范围问题的知识体系非常庞杂，仅仅依靠一种思维模式很难解答数学问题。
在传统教学过程中，教师习惯对类型题目进行划分，对题目进行优化分解，看题目是否能够套用公式。
这种思维定式的解题方法明显不适用于高中数学，解析几何中求解范围问题对学生的逻辑能力提出考验。
在面对抽象化的数学语言时，学生很难对已知信息进行转换，致使解题效率较低，做题失误不断。
高中数学专题-解析几何中的最值与范围问题以及定点、定值问题
高中专题-解析几何中的最值与范围问题解析几何中的定点、定值问题例1设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点)3545,,55M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.【解】（1）2214x y -=；（2）最大值为2，6525,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭例2设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->.（1）设E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，求使得12EF EF +取最小值时椭圆的方程；（2）已知(0,1)N -，设斜率为(0)k k ≠的直线l 与条件（1）下的椭圆交于不同的两点,A B ,点Q 满足AQ QB = ,且0NQ AB ⋅= ,求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解】（1）最小值2213x y +=；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例3（1）椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点，则a 的取值范围是.（2）椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是（）.A.11B.C.D.9【解】（1）171,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）A例4在直角坐标系中，O 是原点，,A B 是第一象限内的点，并且A 在直线(tan )y x θ=上，其中42OA ππθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，，B 是双曲线22=1x y -上使OAB 面积最小的点，求：当θ在42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中取什么值时，OAB 的面积最大，最大值是多少？【解】2arccos 4θ=,最大值为66专题-解析几何中的定点、定值问题例1已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【解】（1）22143x y +=；（2）2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭例2已知点(1,1)A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 是椭圆的两焦点，且满足124AF AF +=.（1）求椭圆的两焦点坐标；（2）设点B 是椭圆上任意一点，如果AB 最大时，求证：,A B 两点关于原点O 不对称；（3）设点,C D 是椭圆上两点，直线,AC AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由.【解】（1）2626,0,,033⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明略；（3）13例3如图1所示，在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0,)C p 作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于,A B 两点.（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（2）是否垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.【解】（1）2；（2）2py =例4已知椭圆方程为221169x y +=，过长轴顶点(40)A -，的两条斜率乘积为916-的直线交椭圆于另两点,B C ，问直线BC 是否过定点D ,若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.【解】直线12:98()0BC x k k y ++=过原点(0,0)例5如图3所示，设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点(01)E ，,且与椭圆相交于,C D 两点.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE = ,求k 得值；（3）设A 为椭圆的下顶点，,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率，证明：对任意k ，恒有=-2AC AD k k ⋅【解】（1）22164x y+=；（2）63k=±；（3）证明略。
高中数学论文：数学：在解析几何中求参数范围的9种方法
用心爱心专心从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1：椭圆),0(12222为半焦距c b c a by ax的焦点为F1、F2，点P(x, y)为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
解：设P(x1, y)，∠F1PF2是钝角cos ∠F1PF2 =||||2||||||212212221PFPF F F PFPF 222212221)(||||||0y c x F F PFPF 2)(c x 22224yx c y 22222222222)(xab acx aab xc)(2222222b cca xbc2222bcca xbcca 。
说明：利用∠F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。
把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：椭圆14922yx的焦点为F1、F2，点P 为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
（答案为x 553(，)553）例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD 中，AB=2CD，点E 分有向线段AC 所成的比为，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4332时，求双曲线离心率e 的取值范围。
解：如图，以线段AB 的垂直平分线为y 轴。
因为双曲线经过点C 、D ，A 、B 为焦点，。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
解析几何中有关参数范围问题的求解策略曾庆宝解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容，但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广，是难点问题。
解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。
一. 运用数形结合探求参数范围例1. m 为何值时，直线y x m =-+与半椭圆()()xy y 22201511+-=≥只有一个公共点？分析：因为椭圆()()xy y 22201511+-=≥为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题，则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错。
若用数形结合的思想来研究则直观易解。
如图，l l l 123、、是直线系y x m =-+中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在l 1与l 2之间的直线（含l 1，不含l 2）及l 3都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而m 是这些直线在y 轴上的截距，由此可求m 的范围。
解：l 1过()-251，，则125251=+=-+m m ，l 2过()251，，则125251=-+=+m m ，由()()y x mx y y =-++-=≥⎧⎨⎪⎩⎪22201511得到关于x 的一元二次方程。
利用△＝0得m =6综上所得，125125-≤<+m 或m =6二. 构建函数关系探求参数范围例2. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x y 2221+=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。
已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →共线，且PF MF →→=·0。
求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。
分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。
解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0，1），且PQ ⊥MN ，直线PQ 、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为y kx =+1。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第9章平面解析几何 解答题专项 第1课时 最值与范围问题
2
+ 2 = 1,
4
消去 y,整理得 3x +4x=0,由 3x +4x=0,得 x1=- ,x2=0.
3
2
4
所以|MA|·
|BF|= 2|x1+2|· 2|x2+1|=2× 3 ×1=3,
1
4
|MB|·
|AF|= 2|x2+2|· 2|x1+1|=2×2× 3 = 3, 因此|MA|·
为 2 2.设点 P 的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程;
(2)设不与 x 轴垂直的直线 l 过点 F1 且交曲线 E 于 M,N 两点,曲线 E 与 x 轴的
交点为 A,B,当|MN|≥4 2时,求M · + ·M的取值范围.
解 (1)依题意,P 是平面上的动点,且点 P 与 F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对
4
内切圆面积的最大值为
[对点训练1](2024·河北石家庄模拟)已知M,N为抛物线C:y2=2px(p>0)上不
同的两个点,O为坐标原点,OM⊥ON,过O作OH⊥MN于点H,且H(2,2).
(1)求直线MN的方程及抛物线C的方程;
(2)若直线l与直线MN关于原点对称,Q为抛物线C上一动点,求当点Q到直线
考点一 圆锥曲线中的最值问题(多考向探究预测)
考向1建立目标函数法求最值
例 1(2023·甘肃二诊)已知椭圆
x2
C: 2
a
y2
+ 2 =1(a>b>0)的长轴长为
b
4,A,B 是其左、
右顶点,M 是椭圆上异于 A,B 的动点,且直线 MA 的斜率 kMA,直线 MB 的斜率
解析几何最值与范围解题策略
解析几何最值与范围解题策略嘿，同学们！咱今天来聊聊解析几何里最值与范围的那些事儿。
你们想啊，解析几何就像是一场神秘的探险，最值和范围问题就是藏在这探险路上的宝藏。
有时候，你得像个聪明的探险家，眼观六路，耳听八方，才能把它们给找出来。
比如说，遇到一个椭圆方程和一条直线方程，让咱求某个量的最值或者范围。
这就好比让你在一个迷宫里找到出口，还得挑最近最好走的那条路。
那怎么找呢？先看看能不能通过代数方法，把问题转化为一元二次方程。
这就像给杂乱的线团找到线头，一旦找到了，后面的思路就能顺藤摸瓜。
可别小看这一步，要是弄不好，就像在迷宫里乱撞，找不到方向。
再说说几何方法，有时候图形本身就藏着答案。
就像一幅藏宝图，关键的线索就在那些曲线和直线的位置关系里。
比如说，利用点到直线的距离公式，是不是能发现一些秘密？这距离的最值，说不定就是我们要找的宝贝。
还有啊，不等式也是个好帮手。
它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开最值和范围的大门。
比如柯西不等式、均值不等式，用好了那可真是如虎添翼。
咱来举个例子。
假设给了一个抛物线和一条直线，让求抛物线上的点到直线距离的最小值。
这时候，是不是可以设出抛物线上的点，然后写出点到直线的距离公式？这公式一写出来，不就像找到了迷宫的线索嘛！再想想，如果是求某个参数的范围，是不是可以通过联立方程，然后根据判别式来判断？这判别式就像是个严格的守卫，它能告诉我们哪些参数是可行的，哪些是不行的。
同学们，解析几何里的最值与范围问题，其实并没有那么可怕。
只要我们有耐心，有方法，就一定能把它们拿下。
就像攻克一座城堡，只要找到弱点，一举突破！所以啊，遇到这类问题别害怕，多试试不同的方法，多观察图形，多思考式子之间的关系。
相信自己，咱们都能成为解析几何的高手，找到那些隐藏的宝藏！。
高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
热点难点微专题七解析几何中的参数取值范围问题
第22页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
代入直线 PA 的方程得 y1＝104－y03x0. 则 k1＝x0y－0 2，
4y0 k2＝x1y－1 1＝11001x－00－－3x1302x－0 1＝13x40y－0 22.
第23页
专题综述 典型例题 课后作业
当且仅当 k＝± 22时等号成立，此时|S1－S2|的最大值为 4. 综上，|S1－S2|的最大值为 4.
第13页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆 右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，AB＋CD＝7. (1) 求椭圆的方程； (2) 求 AB＋CD 的取值范围．
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，有一动点 P 到直线 x＝433的距离与到点( 3，0)的
距离比值是2
3 3.
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2) 已知点 A(2,0)，若 P 不在 x 轴上，过点 O 作线段 AP 的垂线 l 交曲线 C 于点 D，
第2页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题七 解析几何中的参数取值范围问题
2. 已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭
圆离心率的取值范围是________________．
0，
2 2
解析：满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 在圆 x2＋y2＝c2 上，由题意知方程组
§84双曲线的简单几何性质解析几何题怎样求范围.
解析几何题怎样求范围在解析几何中，范围问题既是重点又是难点.由于范围问题能反映学生的思维能力，因此也一直是高考命题的热点问题.下面介绍七种求范围的常用方法.一、利用不等式的性质求范围例1（1997年全国高考题）已知圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程.解 设圆心为P （a ,b ），半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为,,a b 由题设知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2.又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2+1，从而有2b 2－a 2=1.又点P （a ,b ）到直线x －2y =0的距离为12)(244425,522222222222=-=+-+≥-+=-=∴-=a b b a b a ab b a b a d ba d当且仅当a =b 时，d 取最小值51，又由2b 2－a 2=1解得a =1,b =1，或a =－1,b =－1，由r 2=2b 2得：r =2.∴所求圆的方程为（x －1）2+(y －1)2=2,或(x +1)2+(y +1)2=2.二、利用判别式求范围例2（1996年全国高考题）已知l 1、l 2是过点P （2-，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（1）求l 1的斜率k 1的取值范围.（2）若22115B A B A =，求l 1,l 2的方程.（解略）解 （1）由题意可设l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2（k 1,k 2≠0），由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1)2(221x y x k y 消去y 得： 01222)1(2121221=-++-k x k x k若0121=-k ，则方程组只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.若0121≠-k ，即11≠k ，由∆0)13(4)12)(1(4)22(212121221 -=---=k k k k 得：.331 k 同理可得.332k 且12≠k由3,1,331,11,1111111221 k k k k k k k k ≠≠∴-=-=即且得． 由以上可得.1,33311≠k k 且 )3,1()1,33()33,1()1,3(1⋃⋃--⋃--∈∴k ． 三、利用函数的单调性求范围例３（１９９０年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点Ｐ（０，)23到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点Ｐ的距离等于7的点的坐标． 解 设椭圆的方程为.2,211,23),0(122222b a e a b e b a by a x =∴=-=∴==+ .142222=+∴by b x 设椭圆上的点（x ,y ）到Ｐ的距离为d ， 则.34)21(349344)23(22222222+++-=+-+-=-+=b y y y y b y x d 若21 b ，则当b y -=时，237,23max +=∴+=b b d ， 21237 -=∴b 与21 b 矛盾． 若21≥b ，则当,34)7(,34,212222max +=∴+=-=b b d y 时 2,1==∴a b ，所求椭圆方程为,1422=+y x 所求点为)21,3(-±．四、利用题设条件求范围例５（２０００年全国高考题）已知梯形ＡＢＣＤ中，CD AB 2=，点Ｅ分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点，且以Ａ、Ｂ为焦点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围． 解 以ＡＢ的垂直平分线为y 轴，直线ＡＢ为x 轴，建立直角坐标系，则ＣＤ⊥y 轴，因为双曲线经过Ｃ、Ｄ，且以Ａ、Ｂ为焦点，由双曲线的对称性知Ｃ、Ｄ关于y 轴对称，设Ａ（－c ，０），Ｃ（),(),,200y x E h c ，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 为梯形的高，由定比分点坐标公式得：λλλλλλ+=+-=+⋅+-=1,)1(2)2(1200h y c c c x 设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则ac e =，由点Ｃ、Ｅ在双曲线上，将点Ｃ、Ｅ的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=-b h e ①1)1()12(422222=+-+-b h e λλλλ ② 由①得14222-=e b h ③ 将③代入②，整理得,21)44(42λλ+=-e 2312+-=∴e λ4323132,43322≤+-≤∴≤≤e λ 解得107≤≤e ．分析 直线l 与双曲线Ｃ的左、右两支交于Ａ、Ｂ两点，所以直线l 与双曲线Ｃ的方程联立；消y 得x 的一元二次方程应有异号的两实根，根据以上条件可得含离心率e 的不等式．解 设Ｆ２（c ，０）；双曲线Ｃ的斜率大于零的渐近线方程为x a by =．则l 的方程为)(c x b ay --= 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=1)(2222b y a x c xb a y 消y 后整理得 0)(2)(42224244=+-+-bc a a cx a x a b∵l 与双曲线Ｃ有两个交点，044≠-∴a b 设444222)(),,(),,(b a b c a a x x y x B y x A B A B B A A -+=⋅则∵Ａ、Ｂ两点分别在双曲线的左、右两支上，0 B A x x ⋅∴ 即22222444222,,0)(a a c a b ba b c a a -∴-+即 即2.22 e e 故，∴双曲线Ｃ的离心率e 的取值范围是（),2+∞． 练习题１．设Ｐ是椭圆)0(12222 b a by a x =+上一点且∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，其中Ｆ１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的范围．（答案：22≤e ＜１) ２．已知椭圆Ｃ： )0(12222 b a by a x =+的长轴两端点是Ａ、Ｂ，若Ｃ上存在点Ｐ，且∠ＡＰＢ＝１２０°，求椭圆Ｃ的离心率的取值范围.（答案：136 e ）。
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A．
2,
26 9
B．
7,
52 9
C．
1,
26 9
D．
50 9
,
3.（2020 六安市第一中学模拟）点 在椭圆
上， 的右焦点为 ，点 在圆
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围
【例 2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆 C : x2 y2 1 的左、右顶点分别为 A, B ， F 为椭圆 43
6
, 4
，则椭圆 C
的离心
率的取值范围为（ ）
5
杰 老师高考数学驿站
98 训练营
A． 0,
6
3
B． 0,
3
2
C．
6, 3
3
2
4．（四川省南充市高三 2019 届第二次高考适应）已知直线
D．
6 3
,
2
2 3
与椭圆
交于 两
点，且
（其中 为坐标原点），若椭圆的离心率 满足
，则椭圆长轴的取值范围是（ ）
过点 P 作与 AP 垂直的直线 l 交直线 QB 于点 M ，则 M 的横坐标范围是( )
A．| x | 1
【举一反三】
B．| x | 1
C．| x | 2
D．| x | 2 2
1.（2020 上海市交大附中模拟）过直线
上任意点 向圆
作两条切线，切点分别为
，线段 AB 的中点为 ，则点 到直线 的距离的取值范围为______．
，
点 P 是双曲线 C 上的任意一点，过点 P 作双曲线 C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 A, B 两
点，若四边形 PAOB（ O 为坐标原点）的面积为 2 ，且 PF1 PF2 0 ，则点 P 的横坐标的取值范围为（ ）
A． ,
17 3
17 3
,
B．
17 , 3
二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例 1】（2020·黑龙江高考模拟（理））已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点
为 B ， F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点，且 F1 AB 的面积为 2 3 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则 2
杰 老师高考数学驿站
98 训练营
授课对象 授课时间 课型 教学目标 教学重点和难点
100-120 分 专题 梳理知识点
授课教师 授课题目 使用教具
解析几何的范围问题
人教版教材
参考教材
一．方法综述
教学流程及授课详案
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
D．8 的焦点为 ，过点 分别作两条直线 ， ，
直线与抛物线 交于 、 两点，直线 与抛物线 交于 、 两点，若 与 的斜率的平方和为 ，则
的最小值为___． 类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值
【例 5】（2020·江西高考模拟（理））已知 A( 3, 0) ， B( 3, 0) ， P 为圆 x2 y2 1 上的动点， AP PQ ，
围为
8
1
杰 老师高考数学驿站
98 训练营
A． 1, 2
B． 2, 2
C． 1,2
D． 2,
2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆 x2 m2
y2 4
1与双曲线
x a
2 2
y2 4
1在第一象限的交点为T ,F1,F2 为其
共同的左右的焦点，且 TF1 4 ，若椭圆和双曲线的离心率分别为 e1, e2 ，则 e12 e22 的取值范围为
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
2.已知椭圆
的右焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为 ，若点 在直线 上，且
轴，
为坐标原点，且
，若离心率
，则 的取值范围为
3.（2020 山东师范大学附属中学模拟）已知双曲线 C：
右支上非顶点的一点 A 关于原
点 O 的对称点为 B，F 为其右焦点，若 是______．
，设
，且
4
，则双曲线 C 离心率的取值范围
| AB | | MN |的最小值为（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【举一反三】
1.如图，已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆 x 12 y2 1 于点 A, B,C, D
4
四点，则 AB 4 CD 的最小值为（ ）
3
杰 老师高考数学驿站
A． 17 2
B．
C．
D．
7．（上海交通大学附属中学 2019 届高三 3 月月考）已知点 为椭圆
上的任意一点，点 分别为
该椭圆的上下焦点，设
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2019 届湘赣十四校高三第二次联考）已知正方体
中，
， 为 的中点， 为正
方形
内的一个动点（含边界），且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
7, 7
7 7
C．
4 7
,
3 7
D． 0,
7 7
1.（2020 河南省天一大联考）已知抛物线 ：
，定点
，
，点 是抛物线 上不同于顶点的
动点，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2020 四川省内江模拟）若直线 x﹣my+m＝0 与圆（x﹣1）2+y2＝1 相交，且两个交点位于坐标平面上不
右两支分别交于 、 两点，且
，若
的范围为
，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·黑龙江高考模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为椭圆 C
：y 2 a2
x2 b2
1(a
b
0) 的下顶点，M
，
N
在椭圆上，若四边形 OPMN
为平行四边形，
为直线 ON
的倾斜角，若
17 3
C． ,
2
17 3
2
17 3
,
二、填空题
D．
2
17 3
,
2
17 3
11．（上海市徐汇区 2019 届高三上学期期末）已知圆 M：
，圆 N：
直线
分别过圆心 M、N，且 与圆 M 相交于 A，B 两点， 与圆 N 相交于 C，D 两点，点 P 是椭圆
上任
意一点，则
的最小值为______．
同的象限，则 m 的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（﹣1，0）
D．（﹣2，0）
类型四 利用基本不等式求范围
【例 4】（2020·辽宁高考模拟（理））已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1, l2 ，直线
l1 与抛物线 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于 M , N 点，若 l1 与直线 l2 的斜率的乘积为 1，则
14.已知直线
y
x 1与椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 相交于
A, B 两点，且 OA OB （ O 为坐标原点），若
椭圆的离心率
e
1 2
,
3 2
，则
a
的最大值为___________．
15.（2020 北京市顺义区高三期末）过抛物线
的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点交抛物线的准线
交于点 P，若∠B1PA 为钝角，则此椭圆的离心率 e 的取值范围为_____．
2．（2020·湖北高考模拟（理））已知
M
(
x0
,
y0
)
是双曲线
C
：x a
2 2
y2 b2
1 上的一点，半焦距为 c ，若| MO | c
（其中 O 为坐标原点），则 y02 的取值范围是
三．强化训练 一、选择题
1．（2020·福建高考模拟（文））已知 A
C．
D．
9．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））已知过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两 点，且 AF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于 C ， AA1 l 于点 A1 ，且四边形 AA1CF 的面积为 6 3 ，过 K (1, 0) 的直线 l ' 交抛物线于 M , N 两点，且 KM KN ( (1, 2]) ，点 G 为线段 MN 的垂直平分线与 x
1 1 的取值范围为（ PF1 PF2
【举一反三】
）A．[1, 2]
B．[ 2, 3] C．[ 2, 4] D．[1, 4]
1．（2020·河南高考模拟（理））设双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的两条渐近线与直线 x
a2 c
分别交于 A，B
两点，F 为
该双曲线的右焦点 .若 60 AFB 90 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )