解析几何的范围问题
解析几何最值、范围问题
解析几何最值、范围问题
1、已知两定点12(1
,0),(1,0)F F -，满足124PF PF +=
的动点P 的轨迹是曲线C . (Ⅰ) 求曲线C 的标准方程；
（Ⅱ）直线:l y x b =-+与曲线C 交于,A B 两点, 求AOB ∆面积的最大值.
2、已知椭圆(2222:1>>0)y x C a b a b
+=的离心率为,22
且椭圆上一点到两个焦点的
距离之和为22.斜率为()0≠k k 的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M （0，m ）.
（1）求椭圆的标准方程； （2）求m 的取值范围.
（3）试用m 表示△MPQ 的面积S ，并求面积S 的最大值. 3、（2012潍坊期末）如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F ：
0222=-+x y x 的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点．已知椭圆G 与直线l ：
01-=-my x 相交于A 、B 两点．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求∆AOB 面积的最大值．
第4题图
第3题图
4、如图，椭圆C ：22
212x y a
+=焦点在x 轴上，左、右顶点分别为1A A ，，上顶点为B ．抛物线12C C 、：分别以A B ，为焦点，其顶点均为坐标原点O ，12C C 与相
交于直线y =上一点P ． ⑴求椭圆C 及抛物线12C C 、的方程；
⑵若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M N 、，已知点
Q (,0)
，求⋅的最小值． 5、如图，椭圆的方程为)0(1222
解析几何专题---范围与最值问题答案
解析几何专题-----范围与最值问题
1、直线1y x =+交x 轴于点P ，交椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>于相异两点A 、B ，且
3PA PB =-
，求a 的取值范围；
1、解： 由1y x =+，得1x y =-，代入22221x y a b
+=，得()22
2
222220a b
y
b y b a b +-+-=
设()()11221,1,A y y B y y --、，则12y y 、是这个一元二次方程的两个根，
()
()()2
22
2
2
22
2
2
240,1b
a b b a b a b ∆=--+-+ 即 ①由3PA PN =-
，及
()1,0P -，得123y y =-
由根与系数的关系，得21222222b y y y a b +=-=+ ②2222212223b a b y y y a b -=-=+ ③
由②式得2222b y a b =-+，代入③式，得()
2222
222223b b a b a b a b --=++ ()22
2214a a b a -∴=- ④由a b >，及①、④，得()()
22
22222211414a a a a a a a a ⎧-⎪+⎪-⎨-⎪⎪-⎩
解不等式组，得2
5
12a <
的取值范围是1,2⎛ ⎝⎭
2、如图，两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成0
30的角，已知线段PQ 的长度为2，且点),(11y x P 在直线1l 上运动，点),(22y x Q 在直线2l 上运动． ⑴求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程；
高中数学论文：数学：在解析几何中求参数范围的9种方法
c x2 y2 2 2 设双曲线方程为 a － b =1，则离心率 e = a 。 c 由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 e = a 代入双曲线方程得 e2 h2 1 4 b2
①
e2 2 2 2 h2 ( ) ( ) 1 1 b2 4 1 h2 e2 1 2 4 由①式得 b
2 3
，求直线 PF2 的方
解：(1)依题设有 m＋1>1,即 m > 0，c = m ,设点 P 的坐标为(x0, y0)，由 PF 1 ⊥PF2 ，得
y0 y0 2 1 x 0 y2 0 m x0 c x0 c ①
2 x0 m 1 2 1 2 2 , y0 y0 1 0 m m 将①与 m 1 联立，解得 x
用心 爱心 专心
c 由双曲线的对称性知 C、D 关 y 轴对称，依题意，记 A (c, 0) ，C( 2 ，h)，E(x0，y0), 其中 c 1 AB =2 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。
c ( 2)c c 2 h 2 ( 1 ) ，y0= 1 。 由定比分点坐标公式得：x0= 1 =
( 1) y 2 ( x 1), 或( 1) y 2 ( x 1)
当 [4, 9] 时，方程 l 在 y 轴上的截距
m
2 2 或m 1 1 。
专题06 解析几何中的范围问题 (解析版)
专题06 解析几何中的范围问题
常见考点
考点一 面积取值范围问题
典例
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程是y x =，焦距为
4.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线l 过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，O 为坐标原点，若
MO ON =，求ABN 面积的取值范围.
【答案】(1)2
213x y -=
(2)⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由题知b
a
=
24c =，进而结合222b a c +=求解即可得答案； （2）由题设直线l 的方程为2x ty =+，0t ≠，()()1122,,,A x y B x y ，120,0x x >>，
进而与双曲线方程联立，结合题意得t <0t ≠，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距
离公式，面积公式得S =.
(1)
解：因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，
所以b
a =
3a b
因为焦距为4，所以24c =，即2c = 因为222b a c +=， 所以221,3b a ==，
所以双曲线C 的方程为2
213
x y -=
(2)
解：由题知双曲线的右焦点为()2,0，
故设直线l 的方程为2x ty =+，0t ≠
则联立方程22
132x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
得()
22
3410t y ty -++=，
设()()1122,,,A x y B x y ，120,0x x >>， 所以12122
解析几何最值或范围问题反思
解析几何的范围问题或最值问题反思
问题1．已知A 、B 是椭圆122
22=+b
y a x 上的动点，若OA ⊥OB 时，求||AB 的取值范围．
分析：该问题有两个思路，一个是引入直线OA 的斜率参数求解，另一个是引入参数表达
动直线AB 进而求解． 略解1：当直线的斜率为零或不存在时，可得22||b a AB +=
．
当直线OA 的斜率为 (0≠k )时，即直线OA 、OB 的方程分别为kx y =、x k
y 1
-=． 点A 的坐标(A A y x ，)满足：
⎩⎨⎧=+=2
22222b a y a x b kx y ，可得222222b k a b a x A +=，同理可得222222
k b a b a x B +=，
所以2
22
222)11()1(||||||B A x k x k OB OA AB +
++=+=
2
22222222222)1()1(a
k b k b a b k a k b a +++++=
)11)(1(2222222
22k b a b k a k b a ++++= )11)](
()[(2
222222222222
2k b a b k a k b a b k a b a ab +++++++=
22
222
222222222
2+++++++=
k b a b k a b k a k b a b a ab ．
可令222222b k a a k b t ++=，21
)(++=t t t f ，∵)(]1)([22222
2224422b a a b b k a b b a a b t ，∈++-=
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
解析几何中的最值和求范围问题
解析几何中的最值和求范围问题
解析几何中的最值和求范围问题，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查学生的分析、比较、转化、归纳等综合能力，因而是高考的热点和重点。充分利用曲线的性质，运用数形结合，注重问题的转化是研究解析几何中最值和求范围问题特有的方法。
一：结合定义利用图形中几何量求解；
例1：已知A （4，0），B （2，2）是椭圆192522=+y x 内的点，M 是椭圆上的动点，则MB MA +的最大值是 。
例2：P 是双曲线22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6
B.7
C.8
D.9
例3：已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42
=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 。
二：利用不等式（组）求解
例4：已知21,F F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。
例5：方程14
92
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，焦半径c 的取值范围是（ ） （A ）()+∞,5 （B ）{}13 （C ）()13,5 （D ）{}5
三：利用二次函数求解
例6：已知P 点在圆x 2+(y-2)2
=1上移动，Q 点在椭圆2
219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
例7：若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222
>=-a y a
求解析几何参数范围问题的三个视角
求解析几何参数范围问题的三个视角
解析几何是一门研究几何形状和空间位置的数学学科，也是计算机图
形学和计算机视觉等领域的基础。在解析几何中，参数范围是一个重要的
概念，用于描述几何形状在参数空间中的范围。本文将从三个不同的视角
探讨解析几何参数范围问题。
第一个视角是参数空间的表示。在解析几何中，几何形状通常使用参
数方程或参数化表示。参数方程是将几何形状的坐标表示为参数的函数，
而参数化表示是将几何形状表示为参数的向量函数。参数范围即参数的取
值范围，决定了几何形状在参数空间中的呈现情况。
对于一个简单的例子，考虑一个三维空间中的球面。球面可以用参数
方程表示为：
x = r * sin(θ) * cos(φ)
y = r * sin(θ) * sin(φ)
z = r * cos(θ)
其中，r是球的半径，θ是极角（垂直于xy平面），φ是方位角
（相对于x轴的旋转角度）。参数范围通常是确定的，例如，θ的范围
是[0,π]，φ的范围是[0,2π]。这样，球面可以在参数空间中完整地表
示为一个范围为[0,π]×[0,2π]的二维区域。
第二个视角是参数范围与几何形状之间的关系。在解析几何中，参数
范围对应的是几何形状在实际空间中的一部分或整体。通过调整参数范围，可以控制几何形状的显示范围和形态。
以前述的球面为例，改变参数范围可以获得不同的球面显示效果。例如，如果将θ的范围改为[0,π/2]，球面将只显示为一个半球。如果将
r的范围改为[0,R]，其中R小于球的半径，则只会显示球面的内部一部分。通过调整参数范围，可以实现对几何形状的剖切、截取、放大、缩小
解析几何——范围问题
解析几何---范围问题
1.若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围
2. 直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．
(1) 当a 为何值时，,A B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，,A B 两点分别在双曲线的两支上？
(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？
3.设1122(,),(,)A x y B x y ，两点在抛物线2
2y x =上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？ (2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．
4．椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点F 坐标为(2,0)，F
. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于,A B 两点，若
4
,3
OA OB ⋅>- 求k 的取值范围．
5.如图，已知某椭圆的焦点是12(4,0),(4,0)F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210FB F B +=，椭圆上不同的两点1122(,),(,)A x y C x y 满足条件 222,,F A F B F C 成等差数列
(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标； (3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y kx m =+，求m 的取值范围
6. 设双曲线C ：12
22
=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点,P Q .
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系
摘要：在教学体制改革的背景下，高中数学教学面临一些新变。传统教学方法
逐渐落后于时代发展的潮流，教师需要更新教学模式，创新教学体系。解析几何
是高中数学的重要组成部分，在探讨解析几何的求解范围时，经常要分析不等关系。本文将具体探讨解析几何中求解范围问题的特点，以及解析几何中求解范围
问题的常用不等关系，希望能为相关人士提供一些参考。
关键词：解析几何；求解范围；不等关系
引言：高中学生面临一定的升学压力，每个学生都设定了升学目标，希望在
高考中乘风破浪，成功考入自己的理想学校。教师是学生的引导者，担任着为学
生传道受业解惑的重要任务，只有发挥教师的引导作用，才能促进学生健康成长。数学成绩直接关系着学生升学目标的实现，数学教师需要提升学生的学习能力，
让学生掌握高效的数学学习技巧。解析几何求解范围问题是高中数学的常见考点，教师应该将着眼点放在此处，攻克解析几何难点问题，帮助学生形成解题思路。
1解析几何中求解范围问题的特点
1.1知识抽象性强
与其他类型的数学知识相比，解析几何中求解范围问题更加抽象。将数学公式、
数学概念和数学模型问题与解析几何中求解范围问题进行对比分析，可以发现数
学公式、概念模型问题等采用了形象通俗的语言表达方式，而解析几何中求解范
围问题采用了抽象高深的语言表达方式[1]。学生的认知能力有限，对抽象知识点
的吸收能力比较弱，对具象知识点的吸收能力比较强，在面对抽象知识点时，学
生难免会出现畏难情绪。
1.2逻辑要求性高
学生之所以会在数学学习过程中遇到阻碍，是因为高中数学思维方式非常难把握。解析几何中求解范围问题的知识体系非常庞杂，仅仅依靠一种思维模式很难解答
解析几何中的范围问题的解法
解析
河北迁安一中 汪昌武 邮编 064400
在解析几何中，求参数的取值范围是高考重点考查内容之一。求参数的取值范围的关键是构建不等关系，现就构造不等关系提供如下方法： 1． 判别式法
例1． 曲线()22
2
:
10x C y a a
-=>与直线:1l x y +=相交于不同两点B A 、。
求双曲线离心率的取值范围。 解：双曲线22
2
:1x C y a
-=与直线:
l x y + 2
1
1220x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
依条件得
得22021a a <<≠且 又c e a a
=
=
= )2e ⎛∴∈⋃+∞
⎝⎭
说明：解本题的关键是抓住直线与圆锥曲线有两个不同交点，构造关于a 的不等关系，从而达到求e 得范围的目的。 2． 重要不等式法 例2．椭圆
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>两焦点为12,F F ，M 是椭圆上一点，且满足
120F M F M =
。求椭圆离心率e 的范围。
解：由120F M F M = 得122
F M F π
∠=，在12Rt F M F 中，
2
2
2
12||||4F M F M c
+= 又有椭圆定义 12||||2F M F M a +=
()2
1222
2
2
12||||4||||22
F M F M c F M F M a
+∴=+≥
=，
12
e ∴
≤<。
说明：解本题的关键是构造a ，b ，c 基本量的不等关系。 3． 比对法
例3．求使抛物线()2:10C y ax a =-≠上有不同两点关于直线:0l x y +=对称。求实数a 的取值范围。
高考解析几何题求参数取值范围的九种途径
高考解析几何题求参数取值范围的九种途径
解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对同学们的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件
利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。
例1：椭圆),0(1
22
22为半焦距c b c a b
y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的
动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos ∠F 1PF 2 =||||2||||||2
12
212221PF PF F F PF PF ⋅-+
222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+2
2224y x c y +⇔<+22
22222222
2
)(x a
b a
c x a a b x c -⇔<-+⇔<)(2
222222b c c a x b c -<⇔-< 22
22b c c
a x
b
c c a -<<--
⇔。 说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到某年全国高考题理科第14题：
椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
提优针对性辅导绝佳资料 解析几何专题之：范围最值问题 学好解几必刷
高考精品专题突破五高考中的解析
第1课时范围、最值问题
题型一范围问题
例1 设椭圆x2
a2＋y2
3＝1(a>3)的右焦点为F，右顶点为A.已知
1
OF＋
1
OA＝
3e
F A，其中O为原点，
e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1 如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆x 2
＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则AF ·BF 的最小值是________．
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
专题5.3 解析几何中的范围问题(原卷版)
一．方法综述
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
二．解题策略
类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.
2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．
【举一反三】
1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，
，则的最大值为（）
A．B．2 C．D．4
2.点分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例2】抛物线上一点
到抛物线准线的距离为
，点关于轴的对称点为，为坐标原点，
高考数学 解析几何取值范围通关50题(含答案)
2 2
解析几何取值范围通关 50 题（含答案）
1. 已知椭圆 C 2 x
+ y 2 = t α t 0 ，F ，F 分别是其左、右焦点，以 F F 为直径的圆与椭圆 C 有且
α2
t
2
t 2
仅有两个交点． （1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴
交于点 P ，点 P 横坐标的取值范围是 一 t
,0 ，求线段 AB 长的取值范围．
4
x 2 y 2
2. 已知 F t ，F 2 分别是长轴长为 2 2 的椭圆 C ：α2 + b 2 = t α t b t 0 的左右焦点，A t ，A 2 是椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆上异于 A t ，A 2 的一个动点，0 为坐标原点，点 M 为线段 PA 2 的中点， 且直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t
． 2 （1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴
交于点 N ，点 N 横坐标的取值范围是 一 t
,0 ，求线段 AB 长的取值范围．
4
3. 如图，已知抛物线 E 2y 2 = x 与圆 M 2 x 一 4 2 + y 2 = γ2 γ t 0 相交于 A ,B ,C ,D 四个点．
（1）求 γ 的取值范围；
（2）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC,BD 的交点 P 的坐标．
2 2 2 4. 已知函数 f x = lnx 一 2αx ，α ε R ．
解析几何中的范围问题
解析几何中的范围问题
一般解题思路是，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。
一、“题设条件中的不等式关系”
题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
例1、（2004全国卷 I ）椭圆 的两个焦点是
，且
椭圆上存在点P 使得直线
垂直.求实数m 的取值范围；
分析：对于（1），要求m 的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为标准方程，应有 ，
便是特设条件
中隐蔽的不等关系. 解：（1）由题设知
设点P 坐标为 ，则有 得①
将①与 联立，解得
∵m>0，且 ∴m≥1 即所求m 的取值范围为 .
二、“圆锥曲线的有关范围”
椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。
例2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162
=的焦点P
为其一个焦点，以双曲线19
162
2=-y x 的焦点Q 为顶点。 (1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。
解：(1)抛物线x y 162
=焦点P 为(4，0)，双曲线19
162
2=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为122
22=+b
y a x （a>b>0），且a=5，c=4
916252
=-=∴b ，∴椭圆的标准方程为
19
252
2=+y x (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+y
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A．
B．
C．
D．
5（. 2020 河北省石家庄市第二中学）已知实数
满足，
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
6．（四川省内江、眉山等六市 2019 届高三第二次诊断）设点 是抛物线
上的动点， 是 的准线上的
动点，直线 过 且与 （ 为坐标原点）垂直，则点 到 的距离的最小值的取值范围是（ ）
A．
6
, 4
，则椭圆 C
的离心
率的取值范围为（ ）
5
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A． 0,
6
3
B． 0,
3
2
C．
6, 3
3
2
4．（四川省南充市高三 2019 届第二次高考适应）已知直线
D．
6 3
,
2
2 3
与椭圆
交于 两
点，且
（其中 为坐标原点），若椭圆的离心率 满足
，则椭圆长轴的取值范围是（ ）
点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则
的取值范围为__________．
2.（2020 哈尔滨师大附中模拟）已知直线
与椭圆 ：
相交于 ， 两点， 为坐标原点.
当
的面积取得最大值时，
（ ）A． B． C． D．
类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
2
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C．
D．
9．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））已知过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两 点，且 AF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于 C ， AA1 l 于点 A1 ，且四边形 AA1CF 的面积为 6 3 ，过 K (1, 0) 的直线 l ' 交抛物线于 M , N 两点，且 KM KN ( (1, 2]) ，点 G 为线段 MN 的垂直平分线与 x
围为
8
【例 3】（2020·安徽马鞍山二中高考模拟）已知中心在原点的椭圆 C 的左焦点恰好为圆 F：x2 y2 2x 3 0
的圆心，有两顶点恰好是圆 F 与 y 轴的交点．若椭圆 C 上恰好存在两点关于直线 y=x+t 对称，则实数 t 的取 值范围为（ ）
A． 7, 7
【举一反三】
B．
A．
2,
26 9
B．
7,
52 9
C．
1,
26 9
D．
50 9
,
3.（2020 六安市第一中学模拟）点 在椭圆
上， 的右焦点为 ，点 在圆
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围
【例 2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆 C : x2 y2 1 的左、右顶点分别为 A, B ， F 为椭圆 43
C
的右焦点，圆 x2
y2
4 上有一动点 P ， P 不同于
A, B 两点，直线 PA 与椭圆 C
交于点
Q
，则
kPB kQF
的取
值范围是（ ）
A．
,
3 4
0,
3 4
B．
,
0
0,
3 4
C． ,1 0,1
D． ,0
0,1
【举一反三】
1.抛物线
上一点
到抛物线准线的距离为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原
D．8 的焦点为 ，过点 分别作两条直线 ， ，
直线与抛物线 交于 、 两点，直线 与抛物线 交于 、 两点，若 与 的斜率的平方和为 ，则
的最小值为___． 类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值
【例 5】（2020·江西高考模拟（理））已知 A( 3, 0) ， B( 3, 0) ， P 为圆 x2 y2 1 上的动点， AP PQ ，
于点 C，满足：
若
，则 ______；若
，则 的取值范围为______．
16．（2020·河南高考模拟）已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于
7
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点 A, B ，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P,Q ，使得以 PQ 为直径的圆过点 D2,t ，则实数 t 的取值范
17 3
C． ,
2
17 3
2
17 3
,
二、填空题
D．
2
17 3
,
2
17 3
11．（上海市徐汇区 2019 届高三上学期期末）已知圆 M：
，圆 N：
直线
分别过圆心 M、N，且 与圆 M 相交于 A，B 两点， 与圆 N 相交于 C，D 两点，点 P 是椭圆
上任
意一点，则
的最小值为______．
7, 7
7 7
C．
4 7
,
3 7
D． 0,
7 7
1.（2020 河南省天一大联考）已知抛物线 ：
，定点
，
，点 是抛物线 上不同于顶点的
动点，则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2020 四川省内江模拟）若直线 x﹣my+m＝0 与圆（x﹣1）2+y2＝1 相交，且两个交点位于坐标平面上不
14.已知直线
y
x 1与椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 相交于
A, B 两点，且 OA OB （ O 为坐标原点），若
椭圆的离心率
e
1 2
,
3 2
，则
a
的最大值为___________．
15.（2020 北京市顺义区高三期末）过抛物线
的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点交抛物线的准线
二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例 1】（2020·黑龙江高考模拟（理））已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点
为 B ， F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点，且 F1 AB 的面积为 2 3 ，点 P 为椭圆上的任意一点，则 2
过点 P 作与 AP 垂直的直线 l 交直线 QB 于点 M ，则 M 的横坐标范围是( )
A．| x | 1
【举一反三】
B．| x | 1
C．| x | 2
D．| x | 2 2
1.（2020 上海市交大附中模拟）过直线
上任意点 向圆
作两条切线，切点分别为
，线段 AB 的中点为 ，则点 到直线 的距离的取值范围为______．
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授课对象 授课时间 课型 教学目标 教学重点和难点
100-120 分 专题 梳理知识点
授课教师 授课题目 使用教具
解析几何的范围问题
人教版教材
参考教材
一．方法综述
教学流程及授课详案
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
6
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轴的交点，则点 G 的横坐标 x0 的取值范围为（ ）
A． (3,13] 4
B． (2, 9 ] 4
C． (3, 9 ] 2
D． (11, 7] 2
10．（2020·山东省实验中学西校区高考模拟（理））已知双曲线 C : x2
y2 b2
1b 0 的左、右焦点分别为 F1, F2
| AB | | MN |的最小值为（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【举一反三】
1.如图，已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆 x 12 y2 1 于点 A, B,C, D
4
四点，则 AB 4 CD 的最小值为（ ）
3
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A． 17 2
，
点 P 是双曲线 C 上的任意一点，过点 P 作双曲线 C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 A, B 两
点，若四边形 PAOB（ O 为坐标原点）的面积为 2 ，且 PF1 PF2 0 ，则点 P 的横坐标的取值范围为（ ）
A． ,
17 3
17 3
,
B．
17 , 3
右两支分别交于 、 两点，且
，若
的范围为
，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·黑龙江高考模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为椭圆 C
：y 2 a2
x2 b2
1(a
b
0) 的下顶点，M
，
N
在椭圆上，若四边形 OPMN
为wenku.baidu.com行四边形，
为直线 ON
的倾斜角，若
同的象限，则 m 的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（﹣1，0）
D．（﹣2，0）
类型四 利用基本不等式求范围
【例 4】（2020·辽宁高考模拟（理））已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1, l2 ，直线
l1 与抛物线 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于 M , N 点，若 l1 与直线 l2 的斜率的乘积为 1，则
B． 15 2
C． 13 2
D． 11 2
2.（2020 河南省安阳市一模）已知双曲线
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的一个焦点恰为圆 Ω：
的圆心，且双曲线 C 的渐近线方程为
．点 P 在双曲线 C 的右支上， ， 分
别为双曲线 C 的左、右焦点，则当 取得最小值时， ＝（ ）
A．2
B．4
C．6
3.（2020 四川省凉山州市高三第二次诊断）已知抛物线 :
B．
C．
D．
7．（上海交通大学附属中学 2019 届高三 3 月月考）已知点 为椭圆
上的任意一点，点 分别为
该椭圆的上下焦点，设
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2019 届湘赣十四校高三第二次联考）已知正方体
中，
， 为 的中点， 为正
方形
内的一个动点（含边界），且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
2.已知椭圆
的右焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为 ，若点 在直线 上，且
轴，
为坐标原点，且
，若离心率
，则 的取值范围为
3.（2020 山东师范大学附属中学模拟）已知双曲线 C：
右支上非顶点的一点 A 关于原
点 O 的对称点为 B，F 为其右焦点，若 是______．
，设
，且
4
，则双曲线 C 离心率的取值范围
3,
2
是双曲线
x2 3
y2
1 上一点， F1 是左焦点，B
是右支上一点，
AF1 与 △ABF1 的内切圆切于点 P ，则 F1P 的最小值为 ( )
A． 3
B． 2 3
C． 3 3 2
D． 6 3 2 2
2．（江西省上饶市 2019 届高三二模）已知双曲线
的左焦点为 ，过原点的直线 与双曲线的左、
12．（2020·广东高考模拟（理））设椭圆 C : x2 y2 1 的左焦点为 F ，直线 l : y kx(k 0) 与椭圆 C 交于 4
A, B 两点，则 AFB 周长的取值范围是
13．（2020 北京市大兴区高三一模）已知点
，
，点 在双曲线
的右支上，则
的
取值范围是_________．
交于点 P，若∠B1PA 为钝角，则此椭圆的离心率 e 的取值范围为_____．
2．（2020·湖北高考模拟（理））已知
M
(
x0
,
y0
)
是双曲线
C
：x a
2 2
y2 b2
1 上的一点，半焦距为 c ，若| MO | c
（其中 O 为坐标原点），则 y02 的取值范围是
三．强化训练 一、选择题
1．（2020·福建高考模拟（文））已知 A
1 1 的取值范围为（ PF1 PF2
【举一反三】
）A．[1, 2]
B．[ 2, 3] C．[ 2, 4] D．[1, 4]
1．（2020·河南高考模拟（理））设双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的两条渐近线与直线 x
a2 c
分别交于 A，B
两点，F 为
该双曲线的右焦点 .若 60 AFB 90 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
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类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围 【例 6】（云南省保山市 2019 年高三统一检测）已知坐标原点为 O，过点
作直线
n 不同时为零 的垂线，垂足为 M，则 的取值范围是______．
【举一反三】
1.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为 B2、B1、A、F，延长 B1F 与 AB2
1
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A． 1, 2
B． 2, 2
C． 1,2
D． 2,
2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆 x2 m2
y2 4
1与双曲线
x a
2 2
y2 4
1在第一象限的交点为T ,F1,F2 为其
共同的左右的焦点，且 TF1 4 ，若椭圆和双曲线的离心率分别为 e1, e2 ，则 e12 e22 的取值范围为
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．