上海市格致中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

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2015-2016-高一上期中-上大附中

2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是．2．（4分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是．3．（4分）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=．4．（4分）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=．5．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．6．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A=．7．（4分）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．8．（4分）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B=．9．（4分）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N=．10．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是．11．（4分）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．12．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是．13．（4分）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．14．（4分）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是．（填所有正确命题的序号）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与16．（5分）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞17．（5分）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件18．（5分）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015秋•上海校级期中）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是7．【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7，故答案为：7．2．（4分）（2011•湘西州一模）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．3．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=x（x≠±3）．【解答】解：由得：x≠±3，又∵函数，g（x）=x﹣3，，∴f（x）g（x）+h（x）=+=x（x≠±3），故答案为：x（x≠±3）4．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=[﹣4，14] ．【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，则A∩B=[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]5．（4分）（2014•上海）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．6．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A={3，5} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，由韦恩图可知A={3，5}故答案为：{3，5}7．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，当x+a=x2﹣1有一个解时，△=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1时，a=﹣1，x=0，或x=1，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为﹣1时，a=1，x=2，或x=﹣1，满足条件；综上所述：A=，故答案为：8．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B={﹣1，0，2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴A﹣B={2}，B﹣A={﹣1，0}，∴A△B={﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}9．（4分）（2015秋•上海校级期中）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N={x|b＜x≤} ．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，由补集的运算可得C R N={x|x≤或x≥a}，由交集的意义，可得M∩C R N={x|b＜x≤}．10．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化简得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，该不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．11．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案为：[2，4）．12．（4分）（2015秋•上海校级期中）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，2] ．【解答】解：当a=2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，当时，即，解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．13．（4分）（2015秋•上海校级期中）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b 等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．14．（4分）（2015秋•上海校级期中）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与【解答】解：∵f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；=x，g（x）=x，两函数为相同函数；f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=|x|，两函数对应关系不同，不是相同函数．故选：B．16．（5分）（2006•江西）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞【解答】解：故选D．17．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．故选：C．18．（5分）（2015秋•上海校级期中）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，∴，∴a的最小值是．故选：B．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）（2015秋•上海校级期中）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为﹣x+2＞0，即x＜2；…（2分）（2）当m≠0时，分两种情形：①当m＞0时，原不等式化为（mx﹣1）（x﹣2）＞0，即；若时，即时，不等式的解集为；…（4分）若时，即时，不等式的解集为；…（6分）若时，即时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；…（8分）②当m＜0时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；…（10分）综上所述：当m=0时，解集为（﹣∞，2）；当时，解集为；当时，解集为；当m＜0时，解集为．…（12分）20．（14分）（2015秋•上海校级期中）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x﹣3）（x+2）（x+1）≤0，解得：x≤﹣2或﹣1＜x≤3，即A=（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3]，当a+1＜0时，即a＜﹣1时，B=∅；当a+1≥0时，即a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，当a＜﹣1时，B=∅满足题意；当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，此时有：﹣a+1≤﹣2或，解得，a≥3或﹣1≤a＜0，综上所述，a∈（﹣∞，0）∪[3，+∞）．21．（14分）（2015秋•上海校级期中）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或a=5．当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．故答案为：a=﹣3．22．（16分）（2015秋•上海校级期中）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．23．（18分）（2015秋•上海校级期中）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）任取，∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M…（4分）（2）∵g（x）=ax+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|∴…（10分）（3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）。

上海市上海中学2015-2016学年高三(上)期中考试数学试卷

2015学年上海市上海中学高三年级期中考试试卷2015/11/6一、填空题（本大题满分56分，总共14题，每小题4分）1、已知()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()10f x =，则x =__________.2、已知函数()131xf x a =++为奇函数，则方程()14f x =的解是_________. 3、已知钝角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点3,5A A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin2α=_________.4、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 满足()()2f x f x +=，当01x <<时，()21f x x =-，则()312f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭_________.5、已知3cos ,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2x =___________. 6、若函数()0y ax a =<与()0b y b x=-<在()0,+∞上都是减函数，则函数2y ax bx =+在()0,+∞上是单调递__________函数.7、在ABC V 中，若tan tan 122A B +=，则tan 2C的最小值为_________. 8、设函数()21xf x x=+，区间[](),M a b a b =<，集合(){},N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(),a b 有___________对.9、若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_________. 10、当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足方程()()322log tan log sin x x =的所有解是__________. 11、设()()()()012015,1n n f x x f x f x n N *-=-=-∈，则函数()2015y f x =的零点个数为___________.12、对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域D 上任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:L y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”，给出定义域为{}0D x x =>的四组函数如下：（1）()()tan ,sin f x x g x x ==；（2）()()22,xf xg x x==；（3）()()221,55x x f x g x x x x -+==-+-.（4）()()24,1x x xf x e eg x x -=+=+，其中曲线()f x 和()g x 存在“隔离直线”的所有序号是___________.13、关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 取值组成的集合是__________. 14、已知正实数,x y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围是__________. 二、选择题（本大题满分20分，总共4题，每小题5分）15、若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）.A (),a b 和(),b c 内 .B (),a -∞和(),a b 内 .C (),b c 和(),c +∞内 .D (),a -∞和(),c +∞内16、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）.A ()cos2sin f x x = .B ()2221f x x x -=- .C ()211f x x +=+ .D ()2cos2f x x x =+17、已知[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，又当x R ∈时，()()2f x f x +=，则方程()()log 01a f x x a ora =>≠恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）.A ()1,3,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .B ()1,5,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U.C ()11,3,542⎛⎫ ⎪⎝⎭U .D []11,3,542⎡⎤⎢⎥⎣⎦U . 18、()f x 是定义在区间[],c c -上的奇函数，其图像如图所示:令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的叙述正确的是（）.A若0a<，则函数()g x的图像关于原点对称.B若 1.20a b=--<<，则方程()0g x=有大于2的实根.C若0,2a b≠=，则方程()0g x=有两个实根.D若1,2a b≥<，则方程()0g x=有三个实根三、解答题.（总共74分）19、已知150,tan,sin()22213ααβαβ<<<=+=π，求cosα以及sinβ的值。

【百强校】2015-2016学年上海师大附中高一上期中数学试卷(带解析)

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年上海师大附中高一上期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：139分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若，，且恒成立，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．2、下列说法正确的是（） A ．“若，则”的否命题是“若，则”B ．“”是“”的必要非充分条件C ．“”是“或”的充分非必要条件D ．“”是“且”的充分必要条件B．C．或D．或4、下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5、给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）6、定义关于的不等式的解集称为的邻域．若的邻域是区间，则的最小值是．7、不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是．8、对于实数，若规定，则不等式的解集是．9、已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集是．10、已知全集，实数满足，集合，则．11、对于集合，定义运算：，．若，，则．12、已知集合关于的方程有唯一实数解，，用列举法表示集合．13、已知全集，且，,，则集合．14、函数（常数），若，则．15、已知集合，集合，则．16、已知函数，，，则．17、命题“如果都是奇数，那么是偶数”的逆否命题是．18、集合的真子集的个数是．三、解答题（题型注释）19、已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，均有成立．（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）已知函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数,使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由．20、我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地．如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，．设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）．（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数；（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）．21、设集合，，．（1）若，求实数的值；（3）若，求实数的值．22、已知集合，集合．（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围．23、解关于的不等式：．参考答案1、B2、C3、D4、B5、（1）（2）（4）6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、如果不是偶数，那么不都是奇数18、19、（1）属于集合，理由见解析；（2），；（3）存在时，．20、（1），；（2），；（3）选取的长为12米或18米时总造价最低．21、（1）；（2）；（3）．22、（1），；（2）．23、当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【解析】1、试题分析：分离参数得恒成立，两边平方得，而，当且仅当时等号成立，所以，故选B．考点：1、不等式性质；2、均值不等式；3、不等式的恒成立．【方法点晴】本题主要考查的是含参不等式的恒成立问题，属于中档题题．首先利用不等式的性质将不等式变形分离出常数，转化为求的最大值问题，再平方后运用基本不等式求其最大值，注意分析等号能否取得．2、试题分析：A中注意区分命题的否定与否命题是两个不同概念，B中能推出，所以是充分条件，C转化为其逆否命题：且是充分非必要条件，命题正确，D 取，可知选项不成立，故选C．考点：1、充分条件、必要条件；2、逆否命题；3、否命题．【方法点晴】本题主要考查的是否命题、充分条件与必要条件的真假性，属于中档题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．3、试题分析：根据题意分类讨论，当时，只需，所以，当时，只需，所以，因此的解是或，故选D．考点：1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立．4、试题分析：与，与的定义域不同，与对应法则不同，所以两个函数不是同一函数，故选B．考点：函数的概念．5、试题分析：（1）由得：，同向不等式相加得：；（2）若，显然，所以成立；（3），则不一定成立，如；4）若，则，所以，即，所以答案应填：（1）（2）（4）．考点：1、不等式性质2、做差法比较大小．6、试题分析：由邻域的定义知的解集是，解此不等式：，所以，由重要不等式知：，所以答案应填：．考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于难题题．解题时先有邻域的概念及绝对值不等式的解法得，再考查与条件的关系，利用重要不等式求出的最小值．7、试题分析：当时恒成立，当时，利用二次函数图象知，所以答案应填：．考点：含参二次不等式恒成立．【思路点晴】本题主要考查是含参数二次不等式的恒成立问题，属于中档题．解题时一定注意对的分类讨论，不能忘记的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．8、试题分析：解一元二次不等式得：，，所以，所以答案应填：．考点：二次不等式．9、试题分析：由不等式的解集为知，解得，所以即为，解得，所以答案应填：．考点：1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出，，从而解出的解集．10、试题分析：，因为，，故，所以答案应填：．考点：集合的交集、补集．11、试题分析：，，，所以答案应填：．考点：集合的运算．12、试题分析：由，当或时，方程有一解，当有一解时，，，所以答案应填：．考点：含参分式方程．13、试题分析：，且，，知中无，有，知中无，故，所以答案应填：．考点：1、集合的交集2、集合的补集．14、试题分析：得：，故，所以答案应填：3．考点：函数概念．15、试题分析：由，，知，所以答案应填：．考点：1、集合；2、二次函数值域．16、试题分析：注意函数变形时，定义域要保持不变，应满足且，所以答案应填：．考点：函数的定义域．17、试题分析：命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果不是偶数，那么不都是奇数．考点：逆否命题．18、试题分析：，真子集个数，所以答案应填：3．考点：集合的子集概念．19、试题分析：（1）由题意，判断函数对定义域内的任意两个自变量，是否有成立，根据的范围及绝对值的性质可解决；（2）由意义，转化出成立，所以即可；（3）假设存在，得：，只需求的最小值即可．试题解析：（1）任取，∵∴∴∴即成立，属于集合（2）∵，∴使得任意，均有成立．即存在∴（3）若，则对任意的都成立．即∴∵∴∴，∴当时，；当时，．考点：1、绝对值的性质；2、函数的最值；3、绝对值不等式的恒成立；4、集合的概念．【方法点晴】本题主要考查的是利用绝对值不等式的性质、解决含参绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，属于难题．注意本题中涉及绝对值不等式，要善于运用相关绝对值的性质，同时含参数恒成立问题，要学会分离参数，转化为求函数最值问题．20、试题分析：（1）根据图形及三角函数写出矩形面积，再根据二次函数知识求的取值范围；（2）由题意，两部分造价之和即为所求，；（3）根据，使用均值不等式求最值，并注意等号成立的条件．试题解析：（1）在中，显然，，，矩形的面积，于是为所求．（2）矩形健身场地造价,又的面积为，即草坪造价，由总造价，，．（3），当且仅当即时等号成立，此时，解得或，答：选取的长为12米或18米时总造价最低．考点：1、二次函数的值域；2、均值不等式；3、实际问题中的函数．【方法点晴】本题主要考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，属于难题．在实际问题中，要特别注意函数定义域的实际意义，根据函数形式选取合适方法求其值域，在运用均值不等式时，注意等号成立的条件．21、试题分析：（1）因为，所以，是方程的根，再由根与系数关系求；（2）由，且，知是的根，且不是方程的根，求并注意检验；（3）由题意得，，代入方程得：或，经检验适合题意．试题解析：（1），，由题意得，，，；（2）由题意得，，所以或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，满足题意；所以；（3）由题意得，，所以或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，满足题意；所以．考点：1、集合的交集；2、集合的并集；3、集合的真子集．22、试题分析：（1）分式不等式优先考虑分解因式得：然后用数轴穿根法得出解；（2）由题意知，注意讨论的情形，当时，结合数轴写出满足的关系，求出的取值范围．试题解析：（1），当时，即时，；当时，即时，；（2），当时，满足题意；当时，；或，解得，或；综上所述，．考点：1、分式不等式；2、绝对值不等式；3、集合的交集；4、集合的子集．23、试题分析：含参不等式的求解，注意对参数的分类讨论，当不等式是二次不等式时，优先考虑分解因式，然后分析零点和的三种关系，结合二次函数图象，写出不等式的解．试题解析：（1）当时，原不等式可化为，即；（2）当时，分两种情形：①当时，原不等式化为，即；若时，即时，不等式的解集为；若时，即时，不等式的解集为；若时，即时，不等式的解集为；②当时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．考点：1、分类讨论；2、二次不等式；3、二次函数；4、数形结合．。

2015-2016-高一上期中-四校联考

2015-2016学年上海市曹杨中学等四校联考高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，满分48分）1．（4分）不等式|x+3|＞1的解集是．2．（4分）已知A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，则Z+∩A的真子集的个数是个．3．（4分）如果集合P={（x，y）|y=x2，x∈R}，集合Q={（x，y）|y=﹣x2+2，x∈R}，则P∩Q=．4．（4分）函数的定义域为．5．（4分）命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题是命题（填“真”或“假”）6．（4分）若x、y＞0，且，则x+2y的最小值为．7．（4分）若不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是，则不等式ax＜b的解为．8．（4分）有四个命题：（1）若a＞b，则ac2＞bc2；（2）若a＜b＜0，则a2＜b2；（3）若，则a＜1；（4）1＜a＜2且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中真命题的序号是．9．（4分）有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是400（cm2），则杯子的容积V（cm3）表示成杯子底面内半径r（cm）的函数解析式为．10．（4分）请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（（A∩B）∪（A∩C）∩（∁u B∪∁u C）11．（4分）已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是．12．（4分）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．（4分）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（4分）有四组函数①f（x）=1与g（x）=x0；②与g（x）=x；③f（x）=x与；④f（x）=x与其中是同一函数的组数（）A．4个B．3个C．2个D．1个15．（4分）命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x＜﹣1或x≥1 B．若﹣1≤x＜1，则x2＜1C．若x≤﹣1或x＞1，则x2＞1 D．若x＜﹣1或x≥1，则x2≥116．（4分）设关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．不能确定三、解答题：17．（8分）已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B ≠∅，A∩C=∅，求实数m的值．18．（10分）已知集合．（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20．（12分）已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x||x﹣3|≤1}．（1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算△，使M△N={x|1＜x＜2}；（3）若有P={x|||≥}，按（2）的运算，求出（N△M）△P．21．（14分）若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若4比x2﹣3x接近0，求x的取值范围；（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比接近；（3）若对于任意的非零实数x，实数a比接近﹣1，求a的取值范围．2015-2016学年上海市曹杨中学等四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分48分）1．（4分）（2015秋•上海校级期中）不等式|x+3|＞1的解集是（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．2．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，则Z+∩A的真子集的个数是7个．3．（4分）（2015秋•上海校级期中）如果集合P={（x，y）|y=x2，x∈R}，集合Q={（x，y）|y=﹣x2+2，x∈R}，则P∩Q={（1，1），（﹣1，1）} ．4．（4分）（2015秋•上海校级期中）函数的定义域为[0，2）∪（2，3] ．5．（4分）（2015秋•上海校级期中）命题“若a＞1且b＞1，则a+b＞2”的否命题是假命题（填“真”或“假”）6．（4分）（2015秋•上海校级期中）若x、y＞0，且，则x+2y的最小值为9．7．（4分）（2015秋•上海校级期中）若不等式（a﹣b）x+a+2b＞0的解是，则不等式ax＜b的解为{x|x＜﹣1} ．8．（4分）（2015秋•上海校级期中）有四个命题：（1）若a＞b，则ac2＞bc2；（2）若a＜b ＜0，则a2＜b2；（3）若，则a＜1；（4）1＜a＜2且0＜b＜3，则﹣2＜a﹣b＜2．其中真命题的序号是（4）．9．（4分）（2015秋•上海校级期中）有一圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是400（cm2），则杯子的容积V（cm3）表示成杯子底面内半径r（cm）的函数解析式为．10．（4分）（2015秋•上海校级期中）请在图中用阴影部分表示下面一个集合：（（A∩B）∪（A∩C）∩（∁u B∪∁u C）11．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是（1，+∞）．12．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•上海）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（4分）（2015秋•上海校级期中）有四组函数①f（x）=1与g（x）=x0；②与g（x）=x；③f（x）=x与；④f（x）=x与其中是同一函数的组数（）DA．4个B．3个C．2个D．1个15．（4分）（2015秋•上海校级期中）命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x＜﹣1或x≥1 B．若﹣1≤x＜1，则x2＜1C．若x≤﹣1或x＞1，则x2＞1 D．若x＜﹣1或x≥1，则x2≥1D16．（4分）（2015秋•上海校级期中）设关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．不能确定选C三、解答题：17．（8分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={2，﹣4}，若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数m的值．【解答】解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3，即B={2，3}，∵A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0}，C={2，﹣4}，且A∩B≠∅，A∩C=∅，∴将x=3代入集合A中方程得：m2﹣2m﹣10=0，即（m﹣5）（m+2）=0，解得：m=5或m=﹣2，当m=5时，A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}，此时A∩C={2}，不合题意，舍去；当m=﹣2时，A={x|x2+2x﹣15=0}={3，﹣5}，满足题意，则m的值为﹣2．18．（10分）（2015秋•上海校级期中）已知集合．（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（x﹣4）＜0，解得：﹣2＜x＜4，即A=（﹣2，4），由B中不等式变形得：（x﹣a）（x﹣2a）＜0，当a＞2a，即a＜0时，解得：2a＜x＜a，此时B=（2a，a）；当a＜2a，即a＞0时，解得：a＜x＜2a，此时B=（a，2a），当a=2a，即a=0时，B=∅，（1）∵B⊆A，B=（2a，a），A=（﹣2，4），∴，且a＜0，即﹣1≤a＜0；∵B⊆A，B=（a，2a），A=（﹣2，4），∴，且a＞0，即0＜a≤2，当B=∅，即a=0时，满足题意，综上，a的范围为﹣1≤a≤2；（2）A∩B=∅，当B=∅时，a=2a，即a=0；当B≠∅时，B=（2a，a），A=（﹣2，4），可得a≤﹣2或a≥4（舍去）；B=（a，2a），A=（﹣2，4），可得2a≤﹣2或a≥4，解得：a≤﹣1（舍去）或a≥4，综上，a的范围为：a≥4或a≤﹣2或a=0．19．（12分）（2003•北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．20．（12分）（2015秋•上海校级期中）已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，N={x||x﹣3|≤1}．（1）求出集合M，N；（2）试定义一种新集合运算△，使M△N={x|1＜x＜2}；（3）若有P={x|||≥}，按（2）的运算，求出（N△M）△P．【解答】解：（1）M={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，N={x||x﹣3|≤1}={x|2≤x≤4}．（2）M△N中的元素都在M中但不在N中，∴定义M△N={x|x∈M且x∉N}．（2）P={x|||≥}=（2.5，3.5]，∵N△M={x|2≤x≤3}，∴（N△M）△P={x|2≤x≤2.5}．21．（14分）（2015秋•上海校级期中）若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y 接近m．（1）若4比x2﹣3x接近0，求x的取值范围；（2）对于任意的两个不等正数a，b，求证：a+b比接近；（3）若对于任意的非零实数x，实数a比接近﹣1，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：|x2﹣3x|＞4，则x2﹣3x＞4或x2﹣3x＜﹣4，由x2﹣3x＞4，求得x＞4或x＜﹣1；由x2﹣3x＜﹣4，求得x无解．所以x取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．（2）因为a，b＞0且a≠b，所以，且，所以=，则，即a+b比接近．（3）由题意：对于x∈R，x≠0恒成立，当x＞0时，，当x=2时等号成立，当x＜0时，则﹣x＞0，，当x=﹣2时等号成立，所以，则，综上．故由|a+1|＜3，求得﹣4＜a＜2，即a取值范围为（﹣4，2）．。

上海市高一(上)期中数学试题(解析版)

范文范例参考2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题，则A∩? B=，．已知全集U=R ．1U，则 f （x）?g （x）=．．若函数2．函数y=的定义域是．3．不等式ax+b ＜0 的解集A= （﹣2，+∞），则不等式bx ﹣a ≥0的解集为．42x+51 ）﹣（a ﹣．已知函数（f x）=x 在区间（，1 ）上为增函数，那么（f 2）的取值范围是．5．已知集合A={x|x≥2} B={x||x，﹣m| ≤1} ，若A∩B=B ，则实数m 的取值范围是．6．“若a+b ＞2 ，则 a ＞2 或b ＞ 2 ”的否命题是．7．设 f （x）是R 上的偶函数，f（1 ）=0 ，且在（0 ，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞08．的解集是2 m+1]，x∈[m ）=x +mx ﹣1 ，若对于任意f．已知函数（x的取m ）＜0 f，都有（x成立，则实数9．值范围是10．已知定义在R 上的偶函数f（x）在[0 ，+∞）上是增函数，且f（2 ）=1 ，若f（x+a ）≤1对x∈[ ﹣1 ，1] 恒成立，则实数a 的取值范围是．WORD 格式整理范文范例参考．的值为，则m+n11．已知的解集为[m，n]二、选择题．给出下列命题：12；（1）? ={0}）方程组2（；2}的解集是{1，﹣；C，则A=C ∪（3）若A∪B=BA，B? U，且∩B=? ，则A ? ? B．4（）若U 为全集，A U）其中正确命题的个数有（4．3．DBA．1．2C2）没有实根”的（x+ax+1=02 13．“﹣≤a ≤2 ”是“一元二次方程．充要条件A ．必要非充分条件B．充分非必要条件C ．非充分非必要条件D）a 的取值范围是（，且﹣的解集为 a ．已知∈R，不等式P 4? P，则143 a ≤4．﹣a A ．≥﹣4 B 3 ＜a C ．≥4或a ≤﹣3 a ＜﹣或．D a ≥4的取值范）的最小值，则a （f）是（，若（．函数15 f x）=f0x）围为（2]，．D，．C ，﹣．，﹣．A[ 1 2] B[10][1 2][08+8+10+14三、解答题（分）的解集为的解集为1| 的不等式．记关于16x |x P，不等式﹣≤1．Q；（Ⅰ）若P，求a=3的取值范围．Q ? P，求正数 a （Ⅱ）若格式整理WORD范文范例参考B={x|b：x1＜＜1}，β17．设α：A={x|﹣．﹣a＜x＜b+a}的取值范围；，若α是βb 的充分不必要条件，求实数（1）设a=2）在什么条件下，可使（2的必要不充分条件．βα是2．设函数18）（a+c ）x+c （∈R，a ，c a ＞0f （x）=3ax﹣22的取值范围；，+∞]恒成立，求 c ）＞＞（1）设a c ＞0 ，若f（x c [1 ﹣2c+a 对x∈，1 ）内是否有零点，有几个零点？为什么？）在区间（（2）函数f（x 0是满足下列性质的函数．已知集合M 19）的全体：（xf）≤x +1 ，使函数+在定义域（0，∞）内存在x f （）成立；xf （）1f（000；）请给出一个x 的值，使函数（102中的元素？若是，请求出所有是否是集合M 2 x（2）函数f x）=x ﹣﹣（组成的集合；若不是，x 0请说明理由；的取值范围．）设函数（3，求实数a格式整理WORD范文范例参考2015-2016 学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1 ．已知全集U=R ，，则A∩?B={0}．U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】先确定集合A={0 ，3} ，再确定 C B={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．U2A={x|x解：因为【解答】，3x=0}={03}﹣，，U=R而B={x|x ＞}，且所以， C B={x|x≤}，U{x|x所以，≤}∩{0，3}={0}，即A∩C B={0} ，U故答案为：{0} ．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2 ．若函数，则f（x）?g（x）=x（x＞0 ）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）?g（x）==x ，x＞0．故答案为：x（x＞0 ）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．WORD 格式整理范文范例参考3 ．函数y=的定义域是{x| ﹣1 ≤x ＜1 或1＜x ≤4} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0 ，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1 ≤1x ＜或1＜x ≤ 4 ．函数的定义域为：{x| ﹣ 1 ≤x ＜1 或1 ＜x ≤4} ．故答案为：{x| ﹣ 1 ≤x ＜1 或1＜x ≤4} ．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4 ．不等式ax+b ＜0 的解集A= （﹣2，+∞），则不等式bx ﹣ a ≥0的解集为（﹣∞，]．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得 a ＜0，且﹣2a+b=0 ，解得b=2a ，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b ＜0 的解集A= （﹣ 2 ，+∞），∴ a ＜0 ，且﹣2a+b=0 ，解得b=2a ，∴不等式bx ﹣ a ≥0可化为2ax ﹣ a ≥0 ，两边同除以 a （ a ＜0 ）可得2x ﹣ 1 ≤0 ，解得x ≤故答案为：（﹣∞，] ．【点评】本题考查不等式的解集，得出a 的正负是解决问题的关键，属基础题．2在区间（x+5 ﹣1）﹣（f（x）=x a ．已知函数，1 ）上为增函数，那么f（2 ）的取值范围是[ ﹣5∞）．+，7【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．WORD 格式整理范文范例参考【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．2，x=的对称轴为 a ﹣1）x+5 解：函数f（x）=x ﹣（【解答】≤由题意可得，解得 a ≤2 ，则f（2 ）=4 ﹣2（a ﹣1）+5 =11 ﹣2a ≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6 ．已知集合A={x|x ≥2} B={x||x，﹣m| ≤1} ，若A ∩B=B ，则实数m 的取值范围是[3 ，+∞）．交集及其运算．【考点】【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x ≥2} B={x||x，﹣m| ≤1}={x|m﹣1 ≤x ≤m+1} ，，∩B=B A，≥ 3 2 ∴m﹣ 1 ≥，解得m∴实数m 的取值范围是[3 ，+∞）．故答案为：[3 ，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7 ．“若a+b ＞2 ，则a ＞2 或b ＞2 ”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2 且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b ＞2 ，则a ＞2 或b ＞2 ”的否命题是“若a+b ≤2 ，则a ≤2且b ≤2 ”，故答案为：“若a+b ≤2 ，则a ≤2且b ≤2 ”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．WORD 格式整理范文范例参考8 ．设f （x）是R 上的偶函数，f（1 ）=0 ，且在（0 ，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0 和f （x）＜0 的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f x（）是R 上的偶函数，f（1 ）=0 ，且在（0 ，+∞）上是增函数，，1）=0 （f （﹣1 ）=f ∴（x）对应的图象如图：则函数f，0 时，f（x）＞或即当x＞ 1 x＜﹣ 1，0 （x）＜＜x1 或﹣1＜x＜0 时，f当0＜，f （x﹣1）＞0 等价为或则不等式（x﹣1），即或，或即1 ＜x＜，0x即＞2 或∞），）∪（0即不等式的解集为（， 1 2，+∞）+，，故答案为：（0 1）∪（2本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出【点评】）（f x的解集是解决本题的关键．）＜x（和0 ＞f 0格式整理WORD范文范例参考29 ．已知函数f（x）=x +mx ﹣1 ，若对于任意x∈[m ，m+1] ，都有f（x）＜0 成立，则实数m 的取．）值范围是（﹣，0【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．2解：∵二次函数【解答】的图象开口向上，1 +mx ﹣（x）=x f对于任意x∈[m ，m+1] ，都有f（x）＜0 成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R 上的偶函数f（x）在[0 ，+∞）上是增函数，且f（2 ）=1 ，若f（x+a ）≤1对x∈[ ﹣1 ，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用 f （x）是R 上的偶函数，且 f （2）=1 ，得到f（ 2 ）=f （﹣ 2 ）=1 ；再由f（x）在[0 ，+∞）上是增函数，f（x+a ）≤1 对x∈[﹣ 1 ，1] 恒成立，导出﹣2 ﹣x ≤a ≤2 ﹣x在x∈[ ﹣1，1] 上恒成立，由此能求出实数 a 的取值范围．【解答】解：∵f x（）是R 上的偶函数，且f（2）=1 ，∴ f （2）=f （﹣2）=1 ；∵ f （x）在[0 ，+∞）上是增函数，f（x+a ）≤1 对x ∈[﹣1 ，1] 恒成立，∴﹣ 2 ≤x+a ≤ 2 ，即﹣ 2 ﹣x ≤ a ≤ 2 ﹣x 在x∈[﹣1 ，1] 上恒成立，WORD 格式整理范文范例参考∴﹣1 ≤a ≤1 ，故答案为：[﹣1，1] ．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．．3，n]，则m+n的值为11．已知的解集为[m根与系数的关系．【考点】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【专题】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【分析】2222 ] ≥+x [ （x﹣3 ），【解答】解：解：∵x2x+3= ﹣（2x ﹣6x+9）=229n+9=0 ﹣2n n ﹣2n+3=n ，得，令n=解得；（舍去），n=32．令x﹣2x+3=3 ，解得x=0 或3m=0 ．取∴m+n=3 ．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题．给出下列命题：12? ={0} ；（1））方程组（2；的解集是2}，﹣{1C∪，则；A=C B=B A3（）若∪（B，则B=? A ? ? ．∩，且B? U，为全集，）若 4 U A A U ）其中正确命题的个数有（4 2．B1．AD3．C ．命题的真假判断与应用．【考点】格式整理WORD范文范例参考【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（ 1 ）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B ∪C，可得A=C或）；画图说明（ 3 C 均为 B 的子集判断（A 、）正确．4）错误； 1 1 ）? ? {0} ．故（【解答】解：（）方程组（2）错误；2）}．故（2的解集是{（1，﹣3 B 的子集．故（）错误；）若A∪B=B ∪C，则A=C 或A 、C 均为3（B=? ，如图，（4）若U 为全集， A ，B? U，且A∩）正确． 4 A? ? B．故（则U个．∴正确命题的个数是1．A故选：本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．【点评】2）没有实根”的（≤13．“﹣2 ≤a 2 ”是“一元二次方程x+ax+1=0．充要条件A ．必要非充分条件B．充分非必要条件C ．非充分非必要条件D必要条件、充分条件与充要条件的判断．【考点】方程思想；判别式法；简易逻辑．【专题】2没有实根，则△＜+ax+1=0一元二次方程【分析】x．解出即可判断出．02+ax+1=0解：若一元二次方程【解答】x没有实根，2则△．0＜=a﹣4．＜＜解得﹣ 2 a 22 +ax+1=0 2 a ≤2 ∴“﹣≤x”是“一元二次方程没有实根”必要不充分条件．．B故选：格式整理WORD范文范例参考【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知 a ∈R，不等式的解集为P，且﹣4?P，则a 的取值范围是（）A ．a ≥﹣4B．﹣3 ＜a ≤4D ．a ≥4或a ＜﹣C ．a≥4或 a ≤﹣3 3【考点】其他不等式的解法．计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【专题】，分类讨论即可得到答案．＜0 原不等式化为【分析】，0，即＜0 ﹣1＞0，即＞化为式解：【解答】，＜﹣ a ＞﹣3x+a ＜0 ，即x0 当a+3 ＞时，即 a 时，原不等式为，∵﹣4? P；≥ 4 ∴a，x＞﹣ a x+a 当a+3 ＜0 时，即 a ＜﹣3＞0 ，即时，原不等式为，∴﹣4? P；∴ a ＜﹣3，x∈? 当a+3=0 时，即，∴﹣4? P，≤﹣ 3 4 综上所述： a 的取值范围为a ≥，或a．故选：C本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．【点评】））．函数15 f （x =，若a 的取值范围为（（）是f x）的最小值，则0（f2]0]1[ 2] B1[ A．﹣，．﹣，D2]，[0．，[1 C ．函数的最值及其几何意义．【考点】综合题；函数的性质及应用．【专题】格式整理WORD范文范例参考2）的最小值，则（﹣∞，x f （，由于f（0 ）是时，f（0 ）=a 0] 由分段函数可得当x=0为【分析】2 x+≤0 ，则有a 减区间，即有a ≥2+a ，即可得到右边的最小值＞+a ，x 0 恒成立，运用基本不等式，2 2+a≤解不等式 a a，即可得到的取值范围．f（x）=，解：由于【解答】2，=a 则当x=0 时，f（0））的最小值，（x由于f（0 ）是f，0 0] 为减区间，即有 a ≥则（﹣∞，2恒成立，a 0 ≤x+ +a ，x＞则有，2 x+ ≥2=2 ，当且仅当x=1 取最小值由2．，解得﹣ 1 ≤a ≤则a 2 ≤2+a．[0 ，2] a 综上，的取值范围为．故选：D本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一【点评】道中档题8+8+10+14三、解答题（分）的解集为﹣x 16．记关于的不等式的解集为P，不等式|x 1| ≤1．Q；P（Ⅰ）若a=3 ，求的取值范围． a Q ? P，求正数（Ⅱ）若集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【考点】的解法，可转化为整式不等式（（【分析】I）分式不等式来解；对于）＜0 a x﹣）（x+1，应结合数轴来解决．）中条件II Q ? P（）由【解答】解：（I．，得P={x|﹣1＜x3}＜1}={x|0﹣）（IIQ={x||x1|≤．x≤2}≤，结合图形＜﹣P={x| ，得＞ a 由01 a} ，又Q ? P＜x 格式整理WORD范文范例参考所以 a ＞2，即a 的取值范围是（2 ，+∞）．【点评】对于条件Q ? P 的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2 ，若α是β的充分不必要条件，求实数b 的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A ? B，即，解得实数b 的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B? A ，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（ 1 ）∵a=2 ，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A?B，即，解得： b ∈[﹣1 ，1] ；（2）若α是β的必要不充分条件，则B? A，即且两个等号不同时成立，即 a ＜1，b ≤|a ﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．2．设函数18）R c ∈0，a ，＞﹣）=3ax 2（a+c ）x+c （a xf （2 c 的取值范围；+ [1 ，∞]恒成立，求x c f c 1（）设a ＞＞0 ，若（x）＞﹣2c+a 对∈）内是否有零点，有几个零点？为什么？，（（2）函数 f x）在区间（0 1【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．WORD 格式整理范文范例参考【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c ，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1 ，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论（f 0 ）=c ＞0，（f1）=a ﹣c ＞0，而（f）= ﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．2x=的图象的对称轴a+c ）x+c x）=3ax ﹣2（f （）因为二次函数解：（ 1 【解答】，因为由条件 a ＞c ＞0 ，得2a ＞a+c ，，x=＜1所以＜∞）的左边，且抛物线的开口向上，x）的对称轴在区间[1 ，+f （所以二次函数∞）是增函数．[1 ，+所以f（x）在区间，）=f （1）=a ﹣c 所以f（x min2 2c+a﹣恒成立，] [1 ，因为f（x）＞c +∞对x∈22c+a ﹣所以a c ＞c ﹣，；＜1所以0＜c2 x+c a+c x）=3ax ）﹣2 （）二次函数（2 f（．图象的对称轴是x=，＜0 ）=a =c 若f（0 ）＞0 ，f （1）﹣c ＞0，而f （= ﹣）内分别有一零点．，， 1 x所以函数f（）在区间（0）和（）内有两个零点；，01 x故函数f（）在区间（，0 ＜）0 =a f =c f若（0 ）＜0 ，（1）﹣ c ＞，而 f （= ﹣）内有一个零点．1 ，0 x故函数f（）在区间（解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．【点评】）的全体：19（xf是满足下列性质的函数．已知集合M）成立；+0，∞）内存在（f）x（ 1 x f ）≤+1 x（f ，使函数在定义域（000格式整理WORD范文范例参考（1）请给出一个x 的值，使函数；02（2）函数f（x）=x ﹣x﹣2 是否是集合M 中的元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，x 0请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．元素与集合关系的判断．【考点】应用题；新定义；函数思想．【专题】）取值带入即可；（1【分析】f（x）的定义求解x 即可；2（）根据函数0）利用函数的思想求解．（3，则x=2 【解答】解：（ 1 ）令，成立；02 x，使是集合M =x 中的元素，则存在﹣x﹣2 f（2）假设函数（x）0）≤xf （+1 ）成立，（1 f （x）f 002≤（）﹣2 +1 ）x﹣（+1 即（x2），）（﹣00，解得：；| x组成的集合是：{x}故00，（3）∵函数）x = f（，∴，设= = x g （）3 xg 0 ∴＜（）＜，2 a=0 时显然成立，），∴时，0 a （g ＞x＞当 a ；3a ＞），∴ a g ＜（x时，0 ＜a ；0a ＜3≤0a 或综上，＞a格式整理WORD范文范例参考【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题WORD 格式整理。

上海市格致中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

格致中学二〇一六学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷 (共4页)(测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷)一、填空题：（每小题3分，满分36分）1、若集合{1,2,3}{,,}a b c =，则_______a b c ++=.2、若原命题的否命题是“若,x N ∉则x Z ∉”，则原命题的逆否命题是_____________.3、已知函数3()()f x g x ==则()()f x g x ⋅=___________.4、不等式3104x x-≤-的解集是 . 5、若21a ≤，则关于x 的不等式412ax x +>-的解集是___________.6、已知集合,A B 满足，集合{|},{||2|2,}A x x a B x x x R =<=-≤∈，若已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围是______________.7、已知函数()f x 满足：2(1)2f x x x -=-，则函数()__________f x =.8、已知集合,A B 满足，集合{|73,},{|74,}A x x k k N B x x k k Z ==+∈==-∈，则A B ，两个集合的关系：A B ______（横线上填入⊆⊇，或=） 9、已知集合,A B 满足，集合22{|1,},{|1,}A x x y y R B y y x x R =+=∈==-∈，则A B =______________.10、若函数()y f x =的定义域为[2,2]-，则函数(1)(1)y f x f x =+⋅-的定义域是__________.11、已知直角三角形两条直角边长分别为a 、b ，且121a b+=，则三角形面积的最小值为 .12、定义集合运算“*”：{(,)|,}A B xy x Ay B ⨯=∈∈，称为,A B 两个集合的“卡氏积”。

若2{|2||0,},A x x x x N =-≤∈{1,2,3}B =，则()()__________A B B A ⨯⨯=.班级____________姓名________________学号____________准考证号______________二、选择题：（每小题4分，满分16分） 13、下列写法正确的是（） A. {0}∅∈B. ({0})⊆∅∅C. 0⊂∅≠D. R ∅∉∅ð14、已知函数()y f x =，则集合{(,)|(),}{(,)|2}x y y f x a x b x y x =≤≤=的子集可能有（） A.0个B. 1个C.1个或2个D.0个或1个15、以下结论正确的是（）A.若a b <且c d <，则ac bd <；B.若22ac bc >，则a b >；C.若a b >，c d <，则a c b d ->-；D.若0a b <<，集合1{|}A x x a ==，1{|}B x x b==，则A B ⊇. 16、有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①AB =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；②A B ⊆的必要不充分条件是()()1card A card B <+； ③A B ⊂≠的充分不必要条件是()()1card A card B ≤-；④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中，真命题有（） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D.①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分。

上海市市西中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷及解析

上海市市西中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设则4”是“2a >且2b >”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2.下列函数中，同时满足是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）A.2x xe e y -+=B.1lg1xy x-=+ C.3y x =- D.y x =3.已知()(0,1)x f x a a a =>≠，()g x 为()f x 的反函数.若(2)(2)0f g -⋅<，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（）A. B.C. D.4.已知函数()2f x x a =+，()261g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-，都能找到[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围是（）A.[]6,6-B.[]2,6-C.[]4,8-D.[]2,8-第II 卷（非选择题）二、填空题的定义域为 .6.设3log 2t =，则4log 3等于_________（计算结果用t 表示）．7.若复数z 满足()2z i z =-，则z =_________．8.幂函数y=f （x ）的图象经过点()42，，则f （14）的值为______． 9.函数|2|3x y --=的单调增区间是．10.已知不等式230x x m -+<的解集为{}|1,x x n n <<∈R ，则m n +=_________． 11.若22x y +=，x ，R y ∈，则42x y +的最小值为_________．12.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x 的取值范围是________．13.已知关于x 的方程4320x x a -⋅+=有解，则实数a 的取值范围是_________． 14.设0a >，1a ≠，函数()()2log 23a f x x x =-+有最大值，则不等式()log 10a x ->的解集为_________．15.如图所示，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水量符合指数型衰减曲线1e nty a -=，那么桶2中的水量就是2e nty a a -=-升，桶1与桶2的大小和形状相同，假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等，则桶1中的水量为8a升时，需再经过________分钟．16.有这样一个问题：已知函数()()11f x a x x =--的值恒小于1，实数a 的取值范围是_________．三、解答题17.设函数，求解方程：()12log 2f x x -+=．18.关于x 的不等式111a x +>+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ，Q P =∅∩，求实数a 的取值范围．19.建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60︒，防洪堤高记为h （如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长l （l AB BC CD =++）要最小．（1）用h 表示AB 、BC ；（2）将l 表示成h 的函数()l f h =，如h 限制在3,⎡⎣范围内，l 最小为多少米？并说明理由． 20.已知函数()24x f x x =-（1）若函数()()f xg x x=，求证：()g x 在(),0-∞上是单调递增；（2）若函数()()G x f x kx =-有三个不同的零点，求k 的取值范围． 21.()112bxf x a =+⋅的定义域为R ，0a >，且()lim 0n f n →∞-= （1）求证：0b <；（2）()415f =，()f x 在[]0,1最小值为12，求()f x 的解析式；（3）在（2）的条件下，设[]x 表示不超过x 的最大整数，求()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．参考答案1.B【解析】1.根据不等式的性质，利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 因为，2a >且2b >能推出 4a b +>；4a b +>不能推出2a >且2b >，（如4,1a b ==），所以，“4a b +>”是“2a >且2b >”的必要不充分条件，故选B ． 2.C【解析】2.对选项中的函数，判断其奇偶性，求解其定义域值域，即可进行选择.因为2x xe e y -+=，y x =都是偶函数，故排除A ，D .对函数1lg1xy x-=+，是奇函数，其定义域为不等式()()110x x -+>的解集，即()1,1- 又因为1lg1x y x -=+2lg 11x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用不等式求值域，即可得其值域为()0,+∞，定义域和值域不同，故排除.对函数3y x =-，显然，其是奇函数，又因为其值域和定义域均为R ，故满足题意. 故选：C. 3.C【解析】3.原函数与反函数的图象关于直线y x =对称，则A ，D 不符合；因为(2)(2)0f g -⋅<，2(2)0f a --=>，所以(2)0g <，由此判断选C4.B【解析】4.根据题意，()f x 的值域是()g x 的值域的子集，进而通过集合之间的关系进行计算即可. 因为对于任意的[]11,1x ∈-，都能找到[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =故在区间[]1,1-上，()f x 的值域是()g x 的值域的子集在区间[]1,1-，容易得()[]2,2f x a a ∈-+，()[]4,8g x ∈- 故要满足题意，只需24,28a a -≥-+≤ 解得[]2,6a ∈-. 故选：B. 5.1(,)2+∞【解析】5.试题分析：要使函数有意义需满足210x ->12x ∴>,定义域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.12t【解析】6.根据对数的运算性质，即可求得结果. 由对数的运算性质可得：4log 323111111log 322log 2?22t t==⨯=⨯= 故答案为：12t.【解析】7.根据复数的运算法则，化简复数，然后求模即可. 根据题意，因为()2z i z =- 故可得()()22(1)(1)1?111i i i z i i i i i i -===-=+++-故z =.8.12【解析】8.根据幂函数定义，设出幂函数解析式，代入点坐标即可求得解析式，再代入x 的值即可求得函数值．由题意，可设幂函数的解析式为()f x x α=因为幂函数经过点()42，，代入24α=，可得12α= 所以12()f x x = 所以1211()42f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭9.(,2]-∞【解析】9.|2|3x y --=为u 3y =与|2|u x =--复合，所以函数|2|3x y --=的单调增区间是为|2|u x =--单调增区间，即(,2]-∞10.4【解析】10.由不等式的解集，可得不等式对应方程的根，利用韦达定理即可求得. 因为不等式230x x m -+<的解集为{}|1,x x n n <<∈R 故1和n 是方程230x x m -+=对应的两个根，由韦达定理可得13n +=，解得2n =，故12n m ⨯==，故 4.m n += 故答案为：4. 11.4【解析】11.利用基本不等式即可求解和的最小值. 因为40,20xy>>故424x y +≥==. 当且仅当42,22xyx y =+=时，即1,12x y ==时取得最小值. 故答案为：4.12.{x|x ＞2，或x ＜－2}【解析】12.∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当x ＞2或x ＜－2时，f(x)＜0，如图，即f(x)＜0的解为x ＞2或x ＜－2，即不等式的解集为{x|x ＞2，或x ＜－2},故填{x|x ＞2，或x ＜－2}.13.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】13.分离参数，将问题转化为求函数值域的问题即可求得. 方程4320x x a -⋅+=有解，等价于()2322x xa =⋅-有解，也等价于直线y a =，与函数()2322x x y =⋅-有交点；令2,(0)xt t => 故()2322x xy =⋅-等价于22393,(0)24y t t t t ⎛⎫=-=--+> ⎪⎝⎭ 容易知其值域为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 14.()1,2【解析】14.对复合函数的单调性进行讨论，从而求得a 的范围，再根据对数函数的性质求解不等式. 因为223y x x =-+，在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，故要使得()()2log 23a f x x x =-+有最大值，则log ?a y x =需为减函数，即可得()0,1a ∈.故()log 10a x ->等价于()log 1log 1a a x -> 故可得10,11x x ->-< 解得()1,2x ∈. 故答案为：()1,2. 15.10【解析】15.由于5分钟后桶A 和桶B 中的水量相等，所以55e e n n a a a --=-，可求131e 2n -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再利用桶A 中只有水8a升，可求时间. 解:由题意得55e e n n a a a --=-，解得511e 2n -⎛⎫= ⎪⎝⎭．设再经过0t 分钟，桶1中的水量为8a升，则()205e8n t aa -+=，即0535t +=，解得010t =． 16.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】16.将目标问题，转化为二次不等式恒成立的问题，再根据恒成立问题，求解参数的范围. 因为函数()()11f x a x x =--的值恒小于1，故()10a x x --<恒成立，或()11a x x -->恒成立；对()10a x x --<等价于20x x a -+<恒成立，显然不可能；对()11a x x -->等价于210x x a -+->恒成立，故只需()1410a =--<即可，解得5,4a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭. 故答案为：5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.17.1x =【解析】17. 先根据()f x 求出()1fx -，再根据对数的运算性质，解方程即可.因为()23xf x =-，故()()12log 3fx x -=+故方程()12log 2f x x -+=等价于()22log 3log 2x x ++= 即()22log 3log 4x x +=即()34x x +=，解得4x =-或1x = 又因为0x >，故1x =. 即方程的根为1x =. 18.(],0-∞【解析】18.先分别求解分式不等式和绝对值不等式，再根据Q P =∅∩，夹逼出参数的范围. 对不等式111a x +>+，可解得()()10x x a +-<； ①当1a =-时，不等式的解集为空集； ②当1a >-时，不等式的解集为()1,a - ③当1a <-时，不等式的解集为(),1a - 对不等式11x -≤，可解得[]0,2x ∈，因为Q P =∅∩，故当1a =-时，满足题意；当1a >-时，要满足题意，只需0a ≤，则(]1,0a ∈- 当1a <-时，要满足题意，显然满足题意，即(),1a ∈-∞- 综上所述：(],0a ∈-∞.19.(1)AB =，BC =；(2) l =，l 的最小值为.【解析】19.（1）在直角三角形中，利用正弦函数即可求得AB ，再利用梯形的面积，求得BC . （2）利用（1）中的结论，即可得到函数的解析式，再根据对勾函数的单调性即可求得函数的最小值.（1）在直角三角形ABE 中，由60hsin AB︒=，可得3AB h =，AE = 设BC x =，故23AD x AE x h =+=+由梯形的面积可得：()12BC AD h +⨯=即1223x h h ⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭解得3BC h =-综上所述：3AB h =，3BC h =-. （2）因为l AB BC CD =++故可得l =+=+下证：函数()6f x x x=+在3,⎡⎣是单调递增函数.任取123x x ≤<≤则()()()12121212126661f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭ 因为12x x <，故120x x -<；又123,3x x ≥>，故129x x >，则12610x x -> 故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故函数()6f x x x=+在区间3,⎡⎣上单调递增. 因为h∈3,⎡⎣，函数6l h h ⎫=+⎪⎭单调递增，故633min l ⎫=+=⎪⎭20.(1)证明见详解；(2)10,?2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】20.（1）写出()g x 的函数解析式，再利用单调性的定义进行证明即可；（2）将函数零点问题，转化为图像交点的问题，数形结合解决问题.（1）当(),0x ∈-∞，()24x f x x -=-，()24g x x -=-. 设120x x << 则()()()()()121212122224?444x x g x g x x x x x ----=-=---- 因为12x x <，故120x x -<；又120,0x x <<，则1240,40x x -<-<；故()()120g x g x -<，即()()12g x g x <即证当x ∈(),0-∞时，()g x 单调递增.（2）因为当0x =时，()00G =，即0x =一定是()G x 的零点，故函数()()G x f x kx =-有三个不同的零点等价于当0x ≠时，()G x 有两个不同的零点，故还等价于()f x k x =在()(),00,-∞⋃+∞上有两个零点，又()2,(0)42,(0)4x f x x x x x ⎧>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩也等价于y k =，与函数()f x y x =的图像有两个交点，下面画出函数()f x y x =的图像如下所示：结合上述图像，容易知，当10,?2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y k =与函数()f x y x=有两个交点，综上所述：10,?2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 21.(1)证明见详解；(2)()1114xf x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3){} 0,1-.【解析】21.（1）求解()lim n f n →∞-，找出符合题意的情况，即可得到b 的范围；（2）将函数值代入解析式，解方程，即可求得参数的值及解析式；（3）根据()f x 的值域，结合题意要求，以及()g x 是偶函数的特点，求得值域. （1）因为()112bx f x a =+⋅的定义域为R ，0a >， ()lim 0n f n →∞-= ()()1,(021)11lim lim ,211210,(21)b b bx n x b f n a a---→∞→∞-⎧<<⎪⎪-===⎨+⋅+⎪>⎪⎩故可得21b ->，即0b <.即证.（2）因为()112bx f x a =+⋅在[]0,1单调递增，故由()415f =，()102f =，可得1112a =+，14125b a =+⋅，解得1,2a b ==-故()1114x f x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （3）因为()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故()()g x g x -==()()1122f x f x ⎡⎤⎡⎤-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又该函数定义域为R ，故其为偶函数，则只需讨论0x ≥的值域. 由（2）可知()1114xf x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则当0x >时，()1,12f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10,?2f x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 故当0x >时，()110,22f x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()102f x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ ()11,022f x ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭，则()112f x ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦ 故当0x >时，()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=1-；当0x =时，()12f x =，()102f x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦ ()1 2f x -=，()102f x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦ 故当0x =时，()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0= 综上，当0x ≥时，(){}0,1f x ∈-又因为()g x 是偶函数，则当0x <时，(){}0,1f x ∈- 故()f x 的值域为{}0,1-.。

格致中学2015-2016学年高一上学期期末数学试卷含解析

2015-2016学年上海市格致中学高一(上）期末数学试卷一、填空题（本题共12题，每题3分,满分36分)：1．设集合A=｛x|x2﹣x=0}，B=｛x|y=lgx｝，则A∩B= ．2．若，，则f（x)•g（x)= ．3．顶点哎坐标原点，始边为x轴正半轴的角α的终边与单位圆(圆心为原点，半径为1的圆)的交点坐标为，则cscα=．4．函数f（x)=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点．5．已知幂函数f(x）的图象经过点，则f(3）= ．6．若f(x）=（x﹣1）2(x≤1），则其反函数f﹣1（x）= ．7．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为．8．若log a3b=﹣1，则a+b的最小值为．9．定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x)满足f(x）+g(x）=2﹣x+x，则g（2)= ．10．若cot（﹣θ）=，则= ．11．已知，若不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在［a ﹣1，a］上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知奇函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）f（x）＞﹣2；(3）在（0，+∞）上单调递减；（4）对于任意的d∈(﹣2,0），总存在x0，使f（x0)＜d．请写出一个这样的函数解析式：．二、选择题（本题共4小题，每题4分，满分16分）：13．不等式ax＞b，（b≠0）的解集不可能是（）A．∅B．R C．D．14．已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴．甲：“角α、β的终边关于y轴对称"；乙:“sin（α+β）=0”．则条件甲是条件乙的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．已知函数f（x）=ax2+2ax+4（﹣3＜a＜0），其图象上两点的横坐标为x1、x2满足x1＜x2,且x1+x2=1+a，则由（)A．f(x1）＜f(x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）、f(x2)的大小不确定16．已知f（x）、g（x）、h（x）均为一次函数,若对实数x满足:|f （x）｜+|g（x)｜+h（x）=，则h（x)的解析式为（) A．2x+6 B．6x﹣2 C．3x﹣1 D．x+3三、解答题(见答题卷）（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分．17．已知，且，．求（1）的值；(2）的值．18．已知集合，集合B=｛x|x﹣a|≤1,x∈R｝．（1）求集合A；(2）若B∩∁R A=B,求实数a的取值范围．19．已知函数．（1）求此函数的定义域D,并判断其奇偶性；（2)是否存在实数a，使f（x）在x∈（1,a）时的值域为（﹣∞，﹣1）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．定义区间（m，n）,[m，n］，（m,n]，[m，n)的长度均为n﹣m，其中n＞m．(1）若关于x的不等式ax2+12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；（2）求关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ)＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围；（3)已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5,求实数t的取值范围．2015—2016学年上海市格致中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分）:1．设集合A={x｜x2﹣x=0}，B=｛x｜y=lgx｝，则A∩B= {1｝．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A,B，由此能求出A∩B．【解答】解:∵A=｛x|x2﹣x=0｝=｛0,1}，B=｛x｜y=lgx｝=｛x|x＞0}，∴A∩B=｛1}．故答案为：｛1}．2．若，，则f(x）•g(x）= (x＞0）．．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．【解答】解：由题意f（x)的定义域为{x｜x≤﹣1或x≥0},g(x）的定义域为{x|x＞0}，∴f（x）g（x）的定义域为{x｜x＞0},f（x）g(x）=，故答案为(x＞0）．3．顶点哎坐标原点，始边为x轴正半轴的角α的终边与单位圆（圆心为原点，半径为1的圆）的交点坐标为，则cscα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,cscα==，即可得出结论．【解答】解：由题意，cscα==，故答案为．4．函数f(x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】由a得指数为0求得x值，再求出相应的y值得答案．【解答】解：由1﹣x=0,得x=1．此时f（x）=6．∴函数f(x）=a1﹣x+5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）．故答案为：(1,6)．5．已知幂函数f（x）的图象经过点,则f（3）= ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义,用待定系数法求出f（x）的解析式，再计算f(3）的值．【解答】解：设幂函数f（x）=xα,把点（，8)代入可得8=，解得α=﹣3，∴f(x)=x﹣3；∴f（3）=3﹣3=．故答案为：．6．若f（x）=(x﹣1）2（x≤1)，则其反函数f﹣1（x)= 1﹣（x≥0）．【考点】反函数．【分析】把已知函数化为关于x的一元二次方程，求解x，再求出原函数的值域得到反函数的定义域得答案．【解答】解:由y=（x﹣1）2,得x=1±,∵x≤1,∴x=1﹣．由y=(x﹣1）2（x≤1),得y≥0．∴f﹣1（x）=1﹣（x≥0)．故答案为:1﹣（x≥0）．7．圆心角为2弧度的扇形的周长为3,则此扇形的面积为．【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的周长求出半径r,再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解:设该扇形的半径为r,根据题意,有l=αr+2r，∴3=2r+2r,∴r=，∴S扇形=αr2=×2×=．故答案为：．8．若log a3b=﹣1,则a+b的最小值为．【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】把对数式化为指数式,再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解:∵log a3b=﹣1，∴a﹣1=3b，解得ab=．a，b＞0．则a+b≥2=,当且仅当a=b=时取等号，其最小值为．故答案为：．9．定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g(x）满足f（x）+g（x）=2﹣x+x，则g（2）= ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组进行求解即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x)满足f （x）+g（x）=2﹣x+x，∴f（2）+g（2）=2﹣2+2,①f(﹣2）+g（﹣2)=22﹣2=2,即f（2）﹣g（2）=2，②①﹣②得2g(2)=2﹣2=,则g（2）=，故答案为：．10．若cot（﹣θ）=，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用利用诱导公式求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解:若=tanθ，则=====，故答案为：．11．已知，若不等式f(x+a）＞f（2a﹣x)在［a﹣1,a］上恒成立，则实数a的取值范围是（2,+∞）．【考点】函数恒成立问题;分段函数的应用．【分析】画出f（x)的图象，由图象可知函数f（x)在R上为增函数,则原不等式转化为2x＞a在[a﹣1，a］上恒成立，解得即可．【解答】解：画出f（x)的图象,如图所示，由图象可知函数f（x）在R上为增函数，∵不等式f（x+a）＞f(2a﹣x）在[a﹣1，a］上恒成立，∴x+a＞2a﹣x在[a﹣1,a］上恒成立；即2x＞a在［a﹣1，a］上恒成立,故2（a﹣1）＞a，解得，a＞2，故答案为:(2，+∞）12．已知奇函数f（x)满足：(1)定义域为R;（2)f（x）＞﹣2;（3）在（0，+∞）上单调递减；(4）对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0)＜d．请写出一个这样的函数解析式: f（x)=﹣2（）．【考点】抽象函数及其应用．【分析】分析函数f(x)=﹣2(）的定义域,单调性，值域，可得结论．【解答】解：函数f（x）=﹣2（）的定义域为R；函数f（x）在R上为减函数，故在（0，+∞）上单调递减；当x→+∞时,f（x）→﹣2，故f（x）＞﹣2;函数的值域为:(﹣2,2），故对于任意的d∈（﹣2，0），总存在x0，使f（x0）＜d．故满足条件的函数可以是f（x)=﹣2（），故答案为：f（x）=﹣2（）,答案不唯一二、选择题(本题共4小题,每题4分，满分16分):13．不等式ax＞b,（b≠0）的解集不可能是( ）A．∅B．R C．D．【考点】一次函数的性质与图象．【分析】当a=0，b＞0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是∅；当a=0，b＜0时，不等式ax＞b，(b≠0）的解集是R；当a＞0时,不等式ax＞b，（b≠0）的解集是（）;当a＜0时，不等式ax＞b，(b≠0)的解集是（﹣∞，）．【解答】解：当a=0，b＞0时,不等式ax＞b，（b≠0)的解集是∅；当a=0，b＜0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是R;当a＞0时，不等式ax＞b,（b≠0）的解集是（）;当a＜0时，不等式ax＞b，（b≠0）的解集是（﹣∞，）．∴不等式ax＞b,（b≠0)的解集不可能是（﹣∞，﹣）．故选D．14．已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴．甲：“角α、β的终边关于y轴对称”；乙：“sin（α+β）=0”．则条件甲是条件乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数角的关系进行判断即可．【解答】解：若角α、β的终边关于y轴对称，则β=π﹣α+2kπ，则α+β=π+2kπ,则sin(α+β）=sin（π+2kπ）=sinπ=0，若sin（α+β）=0，则α+β=kπ，则角α、β的终边关于y轴不一定对称,故条件甲是条件乙的充分不必要条件，故选：A．15．已知函数f(x）=ax2+2ax+4(﹣3＜a＜0),其图象上两点的横坐标为x1、x2满足x1＜x2，且x1+x2=1+a，则由( ）A．f（x1)＜f（x2）B．f（x1)=f（x2）C．f（x1）＞f(x2) D．f(x1）、f（x2）的大小不确定【考点】二次函数的性质．【分析】运用作差法比较，将f(x1）﹣f（x2）化简整理得到a（x1﹣x2）（x1+x2+2)，再由条件即可判断．【解答】解:∵函数f(x）=ax2+2ax+4，∴f（x1)﹣f（x2）=ax12+2ax1+4﹣（ax22+2ax2+4）=a（x12﹣x22)+2a（x1﹣x2）=a（x1﹣x2）(x1+x2+2）∵x1+x2=1+a，∴f（x1）﹣f（x2）=a（3+a)（x1﹣x2）,∵﹣3＜a＜0,x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．故选：C．16．已知f（x）、g（x）、h（x)均为一次函数,若对实数x满足：|f(x)|+|g （x）｜+h（x）=，则h(x）的解析式为（）A．2x+6 B．6x﹣2 C．3x﹣1 D．x+3【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据函数的解析式得、2是函数的分界点，即可求出h(x）的解析式．【解答】解：由题意得，、2是函数f（x）的分界点，∴h(x)==x+3,故选：D．三、解答题（见答题卷)（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤,并请在规定处答题，否则不得分．17．已知，且，．求（1）的值；（2）的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系,求得的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（﹣β）的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．【解答】解:（1）∵，且，∴α﹣为锐角，故sin（α﹣）==，∴=．(2）∵，∴﹣β为锐角,∴cos（﹣β）==，∴=cos［(α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=•+•=．18．已知集合，集合B={x|x﹣a|≤1，x∈R}．（1)求集合A；(2)若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A即可；（2）由B与A补集的交集为B，确定出a的范围即可．【解答】解:（1）由A中不等式变形得：﹣1≤0，即≤0，解得:﹣1＜x≤3，即A={x｜﹣1＜x≤3｝;（2）由B中不等式变形得：﹣1≤x﹣a≤1，解得：a﹣1≤x≤a+1，即B=｛x｜a﹣1≤x≤a+1｝，∵B∩∁R A=B，∁R A={x|x≤﹣1或x＞3}，∴B⊆∁R A,即a+1≤﹣1或a﹣1＞3，解得：a≤﹣2或a＞4．19．已知函数．（1）求此函数的定义域D，并判断其奇偶性；（2)是否存在实数a，使f（x)在x∈（1，a）时的值域为（﹣∞，﹣1)？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】(1)利用真数大于0，求此函数的定义域D，利用f（﹣x）=﹣f（x），判断其奇偶性；（2）由题意f（a）=﹣1，即=，从而得出结论．【解答】解：（1）由＞0，可得x＜﹣1或x＞1，∴D=｛x|x＜﹣1或x＞1｝;f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x)是奇函数；(2)由题意，函数单调递增，f（a）=﹣1，即=，∵a＞1,∴．20．定义区间（m，n)，[m，n］，(m，n］，[m，n）的长度均为n﹣m，其中n＞m．（1）若关于x的不等式ax2+12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为,求实数a的值；（2)求关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围；（3)已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；区间与无穷的概念．【分析】（1）观察二次项的系数带有字母,需要先对字母进行讨论，当a等于0时，看出合不合题意，a≠0时，方程2ax2﹣12x﹣3=0的两根设为x1、x2，根据根与系数之间的关系，写出两根的和与积，表示出区间长度，得到结果．（2）根据所给的函数式，利用三角函九公式进行化简求值，根据二次不等式出不等式成立的条件，由此能求出结果．（3）先解关于x的不等式组，解出两个不等式的解集，求两个不等式的解集的交集，A∩B（0,5），不等式组的解集的各区间长度和为6，写出不等式组进行讨论,得到结果【解答】解：（1）当a=0时,不等式ax2+12x﹣3＞0的解为x＞，不成立;当a≠0时，方程ax2+12x﹣3=0的两根设为x1、x2，则，,由题意知(2)2=｜x1﹣x2|2=（x1+x2)2﹣4x1x2=+，解得a=﹣3或a=4（舍）,所以a=﹣3．（2）∵x2﹣3x+(sinθ+cosθ）＜0，∴＜0，∵∈（﹣，）,∴当=﹣时,x2﹣3x﹣＜0的解集为（1﹣，2+），当=时，x2﹣3x+＜0的解集为（2﹣，1+），∴关于x的不等式x2﹣3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集构成的区间的长度的取值范围是（1，2﹣1）．(3)先解不等式＞1，整理，得,解得﹣2＜x＜5．∴不等式＞1的解集为A=(﹣2，5）,设不等式log2x+log2（tx+3t）＜3的解集为B，不等式组的解集为A ∩B，∵关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5,且A∩B⊂（﹣2，5），不等式log2x+log2（tx+3t）＜3等价于,当x∈(0，5）时，恒成立当x∈（0，5）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0，当x∈（0,5）时，不等式tx2+3tx﹣8＜0恒成立，即t＜恒成立，当x∈（0，5）时,的取值范围为（)，∴实数t≤，综上所述，t的取值范围为（0，）．2017年2月23日。

上海市金山中学高一(上)期中数学试卷

2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．设集合A={5，a+1}，B={a，b}，若A=B，则a+b=．2．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）=．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．设集合，，则A∩B=．5．已知全集U=R，集合A=，则∁U A=．6．若集合A={x|ax2﹣2x+1=0}至多有一个元素，则实数a的取值集合是．7．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．8．若命题“存在实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0成立”是假命题，则实数a的取值范围是．9．已知集合M={x|（x+2）（x﹣5）＞0}，集合N={x|（x﹣a）（x﹣2a+1）＜0}，若M∩N=N，则实数a的取值范围是．10．已知a＞b，且ab=1，则的最小值是．11．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数．给出下列命题：①对于任意集合A，都有A∈P（A）；②存在集合A，使得n[P（A）]=3；③若A∩B=∅，则P（A）∩P（B）=∅；④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；⑤若n（A）﹣n（B）=1，则n[P（A）]=2×n[P（B）]．其中所有正确命题的序号为．12．对一切x∈R，f（x）=ax 2+bx+c（a＜b）的值恒为非负实数，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则14．设集合A、B是全集U的两个子集，则A⊊B是（C U A）∪B=U（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．解不等式组：．18．（2015春•杭州校级期中）设A={x|x2+（4﹣a2）x+a+3=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|2x2﹣5x+2=0}．（1）若A∩B=A∪B，求a的值；（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．19．已知两个正数a，b满足a+b=1（1）求证：+≥4（2）若不等式|x﹣2|+|2x﹣1|≤+对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．20．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，（t表示救火时间，x表示去救火消防队员人数），问；（1）求t关于x的函数表达式．（2）求应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？21．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣2ax+a≤0，a∈R}．（1）当A∩B=A时，求a的取值范围；（2）当A∪B=A时，求a的取值范围．2015-2016学年上海市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．设集合A={5，a+1}，B={a，b}，若A=B，则a+b=11．【考点】集合的相等．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合相等的定义求出a，b的值即可．【解答】解：∵A={5，a+1}，B={a，b}，若A=B，则a=5时：b=6，a+b=11，b=5时：a+1=a不成立，故答案为：11．【点评】本题考查了集合的相等问题，是一道基础题．2．函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则f（2）=3．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a，即可求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=（x+1）（x﹣a）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（﹣x+1）（﹣x﹣a）=（x+1）（x﹣a）∴x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a∴（a﹣1）x=0∴a=1，∴f（2）=（2+1）（2﹣1）=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】直接将f（x），g（x）代入约分即可．【解答】解：∵函数f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域问题，是一道基础题．4．设集合，，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】转化思想；分析法；集合．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由y=+2，得到2﹣x≥0，即x≤2，∴M={x|x≤2}，由N中y=+2≥2，得到B={y|y≥2}，则A∩B={2}，故答案为：{2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．已知全集U=R，集合A=，则∁U A=[0，1]．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；分类讨论；集合思想；集合；不等式．【分析】根据x的正负求出A中不等式的解集确定出A，由全集U=R，求出A的补集即可．【解答】解：A中不等式＜1，当x＞0时，解得：x＞1；当x＜0时，解得：x＜1，此时x＜0，综上，x的范围为x＜0或x＞1，即A=（﹣∞，0）∪（1，+∞），则∁U A=[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．6．若集合A={x|ax2﹣2x+1=0}至多有一个元素，则实数a的取值集合是{a|a≥1，或a=0}．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】集合A的元素就是方程ax2﹣2x+1=0的解，所以a=0时，显然满足条件；a≠0时，要使集合A至多一个元素，即ax2﹣2x+1=0至多一个解，所以△=4﹣4a≤0，所以解出该不等式和并a=0即可得到实数a取值的集合．【解答】解：当a=0时，A={}，符合题意；当时，a≥1，此时方程ax2﹣2x+1=0至多有一个解，即集合A至多有一个元素；∴a≥1，或a=0，即实数a的取值集合是{a|a≥1，或a=0}．故答案为：{a|a≥1，或a=0}【点评】考查描述法表示集合，一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，不要漏了a=0的情况．7．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜5．【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊂B，∵集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，结合集合关系的性质，不难得到a＜5【解答】解：∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件∴A⊂B故a＜5故选A＜5【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8．若命题“存在实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0成立”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣2，2]．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；分类讨论；判别式法；简易逻辑．【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解．【解答】解：命题“存在实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0成立”是真命题，当a=2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立；当a≠2时，则，解得﹣2＜a＜2．综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故答案为：（﹣2，2]．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．9．已知集合M={x|（x+2）（x﹣5）＞0}，集合N={x|（x﹣a）（x﹣2a+1）＜0}，若M∩N=N，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{1}∪[5，+∞）．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．【分析】化简集合A，M∩N=N，可得N⊆M，再分类讨论化简B，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：M={x|（x+2）（x﹣5）＞0}={x|x＜﹣2或x＞5}，∵M∩N=N，∴N⊆M．a＜1，N=（2a﹣1，a），∴a≤﹣2；a=1，N=∅，满足题意；a＞1，N=（a，2a﹣1），∴a≥5．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{1}∪[5，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪{1}∪[5，+∞）．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．10．已知a＞b，且ab=1，则的最小值是2．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a＞b，且ab=1，∴==（a﹣b）+=2．当且仅当，即，时取等号．∴的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．11．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数．给出下列命题：①对于任意集合A，都有A∈P（A）；②存在集合A，使得n[P（A）]=3；③若A∩B=∅，则P（A）∩P（B）=∅；④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；⑤若n（A）﹣n（B）=1，则n[P（A）]=2×n[P（B）]．其中所有正确命题的序号为①④⑤．【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】直接利用新定义判断五个命题的真假即可．【解答】解：由P（A）的定义可知①正确，④正确，设n（A）=n，则n（P（A））=2n，∴②错误，若A∩B=∅，则P（A）∩P（B）={∅}，③不正确；n（A）﹣n（B）=1，即A中元素比B中元素多1个，则n[P（A）]=2×n[P（B）]．⑤正确，故答案为：①④⑤；【点评】本题考查集合的子集关系，集合的基本运算，新定义的理解与应用．12．对一切x∈R，f（x）=ax 2+bx+c（a＜b）的值恒为非负实数，则的最小值为3．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】设M=，其中c是二次函数的常数项，对图象起上下移动的作用，要使M最小，在a，b不动的情况下，c应该尽量小．尽量将图象向下移，但抛物线的最低点不能低过X轴，所以，M取最小值的时候，正好抛物线与X轴相切，即b2﹣4ac=0．【解答】解：设M=，M取最小值的时候，正好抛物线与X轴相切，即b2﹣4ac=0．把c=代入得：M==令，∵b＞a＞0，∴x＞1．M=，x2+4（1﹣M）x+4（1+M）=0有大于1的根，设g（x）=x2+4（1﹣M）x+4（1+M），g（1）=1+4（1﹣M）+4（1+M）=9＞0，则2（M﹣1）＞1，∴M≥3．所以的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查二次函数的性质，解题时要认真审题，灵活运用抛物线的性质，合理地进行等价转化．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由c＞d⇒﹣d＞﹣c，利用不等式的性质：同向不等式相加所得不等式与原不等式同向，可判断A的正误；同理可可判断的B正误；对于C、D可采用特例法进行判断．【解答】解：对于A选项，c＞d⇒﹣d＞﹣c，又a＞b，⇒a﹣d＞b﹣c，故A错误；对于B，由c＞d⇒﹣d＞﹣c，又a＞b，⇒a﹣d＞b﹣c，故B正确；对于C，特例法：0＞﹣1，﹣2＞﹣3，显然不能推出0＞3，故C错误；对于D，可取特例：2＞1，﹣2＞﹣3，不能推出，故D错误；故选B．【点评】本题考查不等式的基本性质，着重考查学生掌握不等式性质并熟练应用这些性质来解决问题的能力，属于中档题．14．设集合A、B是全集U的两个子集，则A⊊B是（C U A）∪B=U（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；数形结合；集合思想．【分析】结合韦恩图进行判定A⊊B⇒（C U A）∪B=U，而（C U A）∪B=U⇒A⊆B，从而确定出A⊊B 与（C U A）∪B=U的关系．【解答】解：A⊊B⇒（C U A）∪B=U，当A=B时（C U A）∪B=U也成立，故A⊊B不成立∴A⊊B是（C U A）∪B=U的充分不必要条件故选A．【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，若A⇒B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，属于基础题．15．设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【考点】进行简单的合情推理．【专题】集合．【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选B．【点评】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；推理和证明．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．解不等式组：．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式．【分析】分别解出两个不等式的解集，取交集即可．【解答】解：解不等式≥2得：0＜x≤1，解不等式|2x﹣1|≤1得：0≤x≤1，故不等式组的解集是：{x|0＜x≤1}．【点评】本题考查了解不等式问题，是一道基础题．18．（2015春•杭州校级期中）设A={x|x2+（4﹣a2）x+a+3=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|2x2﹣5x+2=0}．（1）若A∩B=A∪B，求a的值；（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（1）先分别求出集合B，C，再根据A∩B=A∪B，得到A=B，根据根与系数的关系即可求出a的值；（2）由A∩B=A∩C≠∅，得到A∩B=A∩C={2}，即2∈A，代入解得a的值，并需要验证．【解答】解：（1）B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|2x2﹣5x+2=0}，∴B={2，3}，C={2，}，∵A∩B=A∪B，∴A=B，∵A={x|x2+（4﹣a2）x+a+3=0}，∴4﹣a2=﹣（2+3），a+3=2×3，解得a=3，（2）∵A∩B=A∩C≠∅，∴A∩B=A∩C={2}，∴2∈A，∴22+2（4﹣a2）+a+3=0 即2a2﹣a﹣15=0解得a=3或a=﹣，当a=3时，A={2，3} 此时A∩B≠A∩C 舍去；当a=﹣时，A={2，} 此时满足题意．综上，a=﹣．【点评】本题题主要考查子集的定义及其有方程的解法，集合的交集及并集集运算，属于基础题．19．已知两个正数a，b满足a+b=1（1）求证：+≥4（2）若不等式|x﹣2|+|2x﹣1|≤+对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件利用基本不等式证得结论．（2）由题意可得|x﹣2|+|2x﹣1|≤4，分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．【解答】解：（1）证明：∵两个正数a，b满足a+b=1，∴+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=时，取等号，∴+≥4成立．（2）由题意结合（1）可知，只须|x﹣2|+|2x﹣1|≤4，而当时，解不等式2﹣x+1﹣2x≤4得，当时，解不等式2﹣x+2x﹣1≤4得，当x≥2时，解不等式x﹣2+2x﹣1≤4得，综上|x﹣2|+|2x﹣1|≤4的解集为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．20．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，（t表示救火时间，x表示去救火消防队员人数），问；（1）求t关于x的函数表达式．（2）求应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】计算题．【分析】（1）设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，（2）总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和，得出y=125tx+100x+60（500+100t）=125x+100x+30000+，利用基本不等式或导数求最小值．【解答】解：（1）设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，（2）y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费=125tx+100x+60（500+100t）=125x+100x+30000+方法一：y=1250•+100（x﹣2+2）+30000+=31450+100（x﹣2）+≥31450+2 =36450，当且仅当100（x﹣2）=即x=27时，y有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元、方法二：y′=+100﹣=100﹣，令100﹣，=0，解得x=27或x=﹣23（舍）当x＜27时y′＜0，当x＞27时y′＞0，∴x=27时，y取最小值，最小值为36450元，答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．【点评】本题考查阅读理解、建模、解模的能力、以及利用基本不等式求最值能力、利用导数求最值的能力．21．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2﹣2ax+a≤0，a∈R}．（1）当A∩B=A时，求a的取值范围；（2）当A∪B=A时，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】综合题；分类讨论；综合法；集合．【分析】（1）当A∩B=A时，A⊆B，构造函数，建立不等式，即可求a的取值范围；（2）当A∪B=A时，得B⊆A，构造函数，分类讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）A=[1，2]，…（1分，）当A∩B=A时，A⊆B，记f（x）=x2﹣2ax+a由，即，得．即a的取值范围是．…（2）由A∪B=A，得B⊆A．记f（x）=x2﹣2ax+a．①当△=（﹣2a）2﹣4a＜0，即0＜a＜1时，B=∅，满足题意；…②当△=0即a=0或a=1时，若a=0，则B={x|x2≤0}={0}，不合题意；…若a=1，则B={x|（x﹣1）2≤0}={1}⊆A，满足题意；…③当△＞0时，f（x）=x2﹣2ax+a的图象与x轴有两个不同交点．由B⊆A，知方程x2﹣2ax+a=0的两根位于1，2之间．从而，即，故a∈∅．…综上，a的取值范围是（0，1]．…【点评】本题考查集合的关系与运算，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．。

2016-2017学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

上海中学高一期中数学卷1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =ð_______________.2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝________.3.“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是________4.若2211(f x x x x +=+，则(3)f =________5.不等式9x x >的解是________6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________7.不等式2(3)30x --<的解集是________8.已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________10.设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为________11.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.12.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________．13.不等式||x x x <的解集是（）A.{|01}x x << B.{|11}x x -<<C.{|01x x <<或1}x <- D.{|10x x -<<或1}x >14.若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）A.4 B.15 C.16 D.3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）A.7-B.7C.5- D.516.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--；18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ≥+++；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；19.已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b ∈R ，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；上海中学高一期中数学卷1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A B =ð_______________.【答案】{}0,2,6,10【分析】利用补集的定义可得出集合A B ð.【详解】集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，因此，{}0,2,6,10A B =ð.故答案为：{}0,2,6,10.【点睛】本题考查补集的计算，熟悉补集的定义是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝________.【答案】{-101}，，【分析】化简集合A ，由交集运算即可求解.【详解】因为{|22}A x x =-<<，所以A B ⋂＝{1,0,1}-，故填{1,0,1}-.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.3.“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是________【答案】若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠【分析】根据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案．【详解】解：“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是“若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”，故答案为：“若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”【点睛】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键，属于基础题．4.若2211(f x x x x +=+，则(3)f =________【答案】7【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【详解】解：2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为当0x >时，12x x +≥=；当0x <时，112x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭；所以2()2f x x =-，(][),22,x ∈-∞-+∞ ，则()37f =．故答案为：7．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．5.不等式9x x>的解是________【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可．【详解】解：原不等式等价于290x x->等价于(3)(3)0x x x +->，数轴标根，穿针引线得如下图形：则原不等式的解30x -<<或3x >即不等式的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞；故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞；【点睛】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易得，属于中档题．6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________【答案】1(,3-∞-【分析】若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，则220(1)40a a a <⎧⎨∆=+-<⎩，解得a 的取值范围．【详解】解：若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x ∈R 恒成立，当0a =时，0x <，不满足条件；则220(1)40a a a <⎧⎨∆=+-<⎩，解得：13a <-，即1,3a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，属于中档题．7.不等式2(3)30x --<的解集是________【答案】(0,6)t =，则原不等式化为2230t t --<，(0)t ，解关于t 的不等式，然后解出x 范围．t =，(0)t ，则原不等式化为2230t t --<，解得13t -<<所以03t ≤<，即[)0,3t ∈[)0,3，所以2(3)9x -<，解得333x -<-<，所以06x <<，故原不等式的解集为()0,6；故答案为：()0,6．【点睛】本题考查了利用换元法解不等式，属于基础题．8.已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则m 的取值范围是________【答案】[6,8)-【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m 的不等式组，解出即可．【详解】解：{|68}A x x =-，{|}B x x m =，若A B B ≠ 且A B ⋂≠∅，则68m m -⎧⎨<⎩，解得68m -≤<，即[)6,8m ∈-故答案为：[)6,8-．【点睛】本题考查了集合的交集、并集的定义，属于基础题．9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________【答案】16【分析】利用基本不等式进行求解，先求出()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+，然后解不等式即可．【详解】解：())211111a y ax x y a a a x y x y ⎛⎫++=+++++++ ⎪⎝⎭，当且仅当y ax x y =时取等号，即()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+，若不等式()125a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数x ，y 恒成立，)2125∴+，即154，则16a ，即正实数a的最小值为16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为)21+是解决本题的关键，属于中档题．10.设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为________【答案】25【分析】利用基本不等式可将45ab a b =++转化为ab 的不等式，求解不等式可得ab 的最小值．【详解】解：0a > ，0b >，45a b ab ∴++=，可得55ab +=+，当且仅当4a b =时取等号．)150∴+，∴51-（舍去）．25ab ∴．故ab 的最小值为25；故答案为：25．【点睛】本题考查基本不等式，将212ab a b =++转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档题.11.若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.【答案】3(3,2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-，所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2-【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.12.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________．【答案】63+【详解】试卷分析：因为,a b 为正实数，且2a b +=，所以22222112121(1)111111a b b a a b a b a b b a b a b +-+=+++=++-+=++++++[]()2+121(1)121111(1)=1+3+133131b a b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦(161333+≥++=当且仅当()2+11b a a b =+即1)a b =+时取等号，所以2221a b a b +++的最小值为63+．考点：基本不等式．【名师点睛】本主要考查基本不等式的应用以及构造基本不等式的拆项、拼凑等基本方法，属难题．第一难点是将2221a b a b +++正确拆分为2111a b +++形式，第二难点是211a b ++乘以(1)3a b ++进行变形拼凑基本不等式()2+11b a a b ++的形式，最后利用基本不等式求最小值时还得注意应用基本不等式的条件，即保证两个数均为正数、乘积为定值且能取到等号，得到正确结果．13.不等式||x x x <的解集是（）A.{|01}x x << B.{|11}x x -<<C.{|01x x <<或1}x <- D.{|10x x -<<或1}x >【答案】C【分析】原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或②010x x <⎧⎨->⎩．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【详解】解：不等||x x x <，即()||10x x -<，∴①010x x >⎧⎨-<⎩或②010x x <⎧⎨->⎩．解①可得01x <<，解②可得1x <-．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-，故选：C ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．14.若A B ⊆，A C ⊆，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（）A.4B.15C.16D.32【答案】C【分析】利用A B ⊆，A C ⊆，可得()A B C ⊆ ，求出B C ⋂，即可得出结论．【详解】解：A B ⊆ ，A C ⊆，()A B C ∴⊆ ，{0,1,2,3,4,5,6}B = ，{0,2,4,6,8,10}C =，{}0,2,4,6B C ∴= ，则B C ⋂的子集有4216=个；A ∴的个数为16，故选：C ．【点睛】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，属于基础题．15.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）A.7- B.7 C.5- D.5【答案】C【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a 与b 的值，进而求出-a b 的值．【详解】解：由不等式210ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，构造不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2610x x +-<，即2610x x --+>，与210ax bx ++>对比得：6a =-，1b =-，则615a b -=-+=-，故选：C ．【点睛】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，属于基础题．16.已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】试卷分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b -，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．考点：充分必要条件．17.解不等式：（1）|2||23|4x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--；【答案】（1）1(,3)3；（2）(1,0]{1}(2,)-+∞ 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，从而求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x 的范围得到10x -=或0(2)(2)0x x x ⎧⎨-+>⎩或0(2)(1)0x x x <⎧⎨-+<⎩，解出即可．【详解】解：（1）因为|2||23|4x x -+-<当2x 时，2234x x -+-<，解得：3x <，即23x ≤<；当322x <<时，2234x x -+-<，解得：4x <，即322x <<；当32x时，2324x x -+-<，解得：13x >，即1332x <≤；综上可得不等式的解集是：1|33x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭即1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2） 2232x x x x x ---，∴2(1)0(2)(1)x x x x --+，10x ∴-=或0(2)(2)0x x x ⎧⎨-+>⎩或0(2)(1)0x x x <⎧⎨-+<⎩解得：10x -<或1x =或2x >，故不等式的解集是{}(1,0]1(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，属于中档题．18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ≥+++；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为2()0ad bc -，可得不等式成立；（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．【详解】（1）证明：22222()()()a b c d ac bd ++-+ ()()2222222222222a c a d b c b d a c abcd b d =+++-++()20ad bc =-，22222()()()a b c d ac bd ∴+++成立；（2）因为222a b ab +≥，222a c ac +≥，222c b cb +≥，当且仅当a b c ==时取等号；所以222a b c ++2222221()2a b c a b c =+++++1(222)2ab ca bc ab bc ca ++=++，当且仅当a b c ==时取等号；222a b c ab bc ca ∴++++．【点睛】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．19.已知二次函数2()1f x ax bx =++，,a b ∈R ，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；【答案】（1）2(1)2f x x x =++；（2）3k <或134k =；【分析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|1|x t +=，0t ，得到230t t k -+-=，由x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，得到关于t 的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．【详解】解：（1）1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0，12b a∴-=-，(1)10f a b -=-+=，解得1a =，2b =，2()21f x x x ∴=++，（2）()|1|3f x x k =+-+，221|1|3x x x k ∴++=+-+，即2(1)|1|3x x k +=+-+，设|1|x t +=，0t ，230t t k ∴-+-=，x 的方程()|1|3f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，∴关于t 的方程由两个相等的根或有一个正根，∴14(3)0k ∆=--=或14(3)030k k ∆=-->⎧⎨-<⎩解得134k =或3k <，故有k 的取值范围为13{|4k k =或3}k <【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题．20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；【答案】107p <<【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出p 的范围．【详解】解：关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，则22(1)4(1)3610p p p p p ∆=--+=--+>，解得23231133p --<<-+，当1210p x x p -+=>，及1210p x x p +=>时，方程的两根为正，解得01p <<．故013p <<-．记1x =2x =，由212x x >，并注意0p >，得10p >->，2285280p p ∴+-<，即271320p p +-<．127p ∴-<<．综上得p 的取值范围为1|07p p ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．21.已知二次函数2()f x ax bx c =++(0)a ≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，则[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；【答案】（1）0x =或2x =；（2）4∆>【分析】（1）根据新类型的定义，求解[2]()f x ，再解方程即可．（2）换元思想，根据新类型的定义：(())f f x x =，令()f x x t -=，则()f x t x -=，()f x t x =+，则有：()()f t x f x t +=-．带入二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，求出t ，t 又是二次函数的值，即2ax bx c t ++=函数必有两个根，0∆>．化简可得2(1)4b ac --的取值范围．【详解】解：（1）由题意：当2()f x x x =-时，则：[2]22243()()()2f x x x x x x x x =---=-+；那么：[2]()f x x =；即：432x x x x -+=；解得：0x =或2x =．（2）根据新类型的定义：(())f f x x =，令()f x x t -=，则()f x t x -=，()f x t x =+，则有：()()f t x f x t +=-．即22()()a t x b t x c ax bx c t ++++=++-，化简可得：2(21)0at ax b t +++=，解得：0t =或21ax b t a++=-．当0t =时，即2ax bx c x ++=，有两个不相同的实数根，可得2(1)40b ac -->．当21ax b t a ++=-时，221ax b ax bx c x a ++++=+，整理可得：21(1)0b ax b x c a+++++=，∴2221(1)4()(1)44(1)(1)44b b a c b ac b b ac a +∆=+-+=+-++=--- 有两个不相同的实数根0∆>．2(1)440b ac ∴--->，即2(1)44b ac -->．综上所得2(1)4b ac ∆=--的取值范围是(4,)+∞．【点睛】本题考查了新定义的应用和理解，反函数的利用和构造思想．换元的代换是解决此题的关键．属于难题．。

【全国百强校】上海市上海师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)

一、填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分．）1.集合{}*|03,A x x x N =≤<∈的真子集的个数是 . 【答案】3 【解析】试题分析：{}*|03,={1,2}A x x x N =≤<∈，真子集个数22-1=3，所以答案应填：3．考点：集合的子集概念．2.命题“如果,a b 都是奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是 . 【答案】如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数【解析】试题分析：命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数．考点：逆否命题．3.已知函数()922-=x x x f ，()3-=x x g ，()33+=x x x h ，则()()()=+x h x g x f ．【答案】(3)x x ≠±考点：函数的定义域．4.已知集合{223}A y y x x ==--，集合{}2213B y y x x ==-++，则A B = .【答案】[4,14]- 【解析】试题分析：由2223=1)44y x x x =----≥-（，22213(1)1414y x x x =-++=--+≤，知A B =[4,14]-，所以答案应填：[4,14]-．考点：1、集合；2、二次函数值域．5.函数2()|1|||f x x x a =-+-（常数a R ∈），若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3 【解析】试题分析：(2)1f =得：4a =，故(1)3f =，所以答案应填：3．考点：函数概念．6.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，且{}1,2U B C A =，{}5U A C B =,{}0,4U U C A C B =，则集合A = . 【答案】{3,5}考点：1、集合的交集2、集合的补集． 7.已知集合{|A a =关于x 的方程211x ax +=-有唯一实数解，}a R ∈，用列举法表示集合 A = ．【答案】51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：由211(1)(1)x a x ax x x ++==--+，当1x a x +=-或1x a x +=+时，方程有一解，当21x a x +=-有一解时，0∆=，54a =-，所以答案应填：51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．考点：含参分式方程．8. 对于集合,A B ，定义运算：{}A B x x A x B -=∈∉且，()()A B A B B A ∆=--．若{}1,2A =，{}2,B x x x Z =<∈，则A B ∆= ．【答案】{}1,0,2- 【解析】试题分析：{}1,2A =，{}2,{1,01}B x x x Z =<∈=-，，()(){2}{1,0}{1,0,2}A B B A --=-=-，所以答案应填：{}1,0,2-．考点：集合的运算．9. 已知全集U R =，实数,a b 满足0a b >>，集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<<，则U MC N = ．【答案】(b考点：集合的交集、补集．10.已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-，其中,a c R ∈，则关于x 的不等式022>-+-a x cx 的解集是 .【答案】)3,2(- 【解析】试题分析：由不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-知2113216a c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以022>-+-a x cx 即为260x x -++>，解得23x -<<，所以答案应填：)3,2(-．考点：1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出a ，c ，从而解出022>-+-a x cx 的解集．11.对于实数x ，若1,n x n ≤<+规定[]x n =()n Z ∈，则不等式[][]2420210x x -+<的解集是．【答案】【解析】试题分析：解一元二次不等式得：[]3722x <<，[]{2,3}x =，所以24x ≤<，所以答案应填：[)2,4．考点：二次不等式．12.不等式 2(2)2(2)30a x a x -+--<对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(]1,2-考点：含参二次不等式恒成立．【思路点晴】本题主要考查是含参数二次不等式的恒成立问题，属于中档题．解题时一定注意对2a -的分类讨论，不能忘记20a -=的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．13.定义关于x 的不等式(,0)x A B A R B -<∈>的解集称为A 的B 邻域．若3a b +-的a b +邻域是区间(3,3)-，则22a b +的最小值是 . 【答案】92【解析】试题分析：由邻域的定义知(3)x a b a b -+-<+的解集是(3,3)-，解此不等式：3+3=223x a b a b a b -<<++-+-，所以3a b +=，由重要不等式222()2a b a b ++≥知：2292a b +≥，所以答案应填：92．考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于难题题．解题时先有邻域的概念及绝对值不等式的解法得3a b +=，再考查22a b +与条件3a b +=的关系，利用重要不等式222()2a b a b ++≥求出22a b +的最小值．14.给出下列四个命题：（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）ab >，则11a b a>-；（4）若110a b<<，则2ab b <.其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）考点：1、不等式性质2、做差法比较大小．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分．）15.下列每组中的两个函数是同一函数的是（） A ．1)(=x f 与0)(x x g =B.33)(x x f =与x x g =)(C ．x x f =)(与2)()(x x g =D.x x f =)(与2)(x x g =【答案】B 【解析】试题分析：1)(=x f 与0)(x x g =，x x f =)(与2)()(x x g =的定义域不同，x x f =)(与()g x =对应法则不同，所以两个函数不是同一函数，故选B ．考点：函数的概念．16.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<的解是（） A ．10x b -<<或10x a<< B.11x a b-<< C ．1x a <-或1x b>D.1x b <-或1x a>【答案】D 【解析】试题分析：根据题意分类讨论，当0x >时，只需01x ax >⎧⎨<⎩，所以1x a >，当0x <时，只需01x bx <⎧⎨->⎩，所以1x b <-，因此1b a x-<<的解是1x b <-或1x a >，故选D ．考点：1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立． 17.下列说法正确的是（）A ．“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要非充分条件C ．“3≠+b a ”是“1≠a 或2≠b ”的充分非必要条件D ．“44a b ab +>⎧⎨>⎩”是“2a >且2b >”的充分必要条件【答案】C考点：1、充分条件、必要条件；2、逆否命题；3、否命题．【方法点晴】本题主要考查的是否命题、充分条件与必要条件的真假性，属于中档题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化． 18.若0>x ，0>y ，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（）A.22C. 2D.【答案】B 【解析】试题分析：分离参数得a ≤恒成立，两边平方得21a +≤，而112x yx y++≤+=+，当且仅当x y =时等号成立，所以a ≥，故选B ．考点：1、不等式性质；2、均值不等式；3、不等式的恒成立．【方法点晴】本题主要考查的是含参不等式的恒成立问题，属于中档题题．首先利用不等式的性质将不等的最大值问题，再平方后运用基本不等式求其最大值，注意分析等号能否取得．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）解关于x 的不等式：2(21)20()mx m x m R -++>∈. 【答案】当0m =时，解集为(,2)-∞；当102m <≤时，解集为1(,2)(,)m -∞+∞；当12m >时，解集为1(,)(2,)m -∞+∞；当0m <时，解集为1(,2)m．当102m <≤时，解集为1(,2)(,)m-∞+∞；当12m >时，解集为1(,)(2,)m-∞+∞；当0m <时，解集为1(,2)m．考点：1、分类讨论；2、二次不等式；3、二次函数；4、数形结合．20.（本题满分14分）共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知集合2601x x A xx ⎧⎫--⎪⎪=≤⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，集合{}21,B x x a a a R =+≤+∈. （1）求集合A 与集合B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞--，{}311B x a x a =--≤≤-+；（2）()[),03,a ∈-∞+∞．考点：1、分式不等式；2、绝对值不等式；3、集合的交集；4、集合的子集．21.（本题满分14分）共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．设集合}019|{22=-+-=a ax x x A ， }065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C ．（1）若AB A B =，求实数a 的值；（2）若A B ∅Ü，且A C =∅，求实数a 的值；（3）若AB AC =≠∅，求实数a 的值.【答案】（1）5a =；（2）2a =-；（3）3a =-.（2）由题意得，3A ∈，所以5a =或2a =-，………………7分当5a =时，{2,3}A =，不符合题意，舍去；当2a =-时，{5,3}A =-，满足题意；所以2a =-；………………9分（3）由题意得，{2}A B A C ==，所以5a =或3a =-，………………12分当5a =时，{2,3}A =，不符合题意，舍去；当3a =-时，{5,2}A =-，满足题意；所以3a =-.………………14分考点：1、集合的交集；2、集合的并集；3、集合的真子集．22.（本题满分16分）共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平方米）的矩形AMPN 健身场地.如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知60=∠ACB ， 30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x .设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37 元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12元（k 为正常数）. （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）求总造价T 关于面积S 的函数)(S f T =；（3）如何选取||AM ，使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.【答案】（1）(30),[10,20]S x x =-∈ ，32253200≤≤S ；（2）)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S ；（3）选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.考点：1、二次函数的值域；2、均值不等式；3、实际问题中的函数．【方法点晴】本题主要考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，属于难题．在实际问题中，要特别注意函数定义域的实际意义，根据函数形式选取合适方法求其值域，在运用均值不等式时，注意等号成立的条件.23.（本题满分18分）共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，使得对函数()f x 定义域内的任意两个自变量12x x 、，均有1212()()f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数()21f x x =+，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）已知函数()g x ax b M =+∈，求实数,a b 的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得()2a p x x =+，[)1x ∈-+∞，属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 属于集合M ，理由见解析；（2）11a -≤≤，b R ∈；（3）存在[]1,1a ∈-时，()p x M ∈.考点：1、绝对值的性质；2、函数的最值；3、绝对值不等式的恒成立；4、集合的概念．【方法点晴】本题主要考查的是利用绝对值不等式的性质、解决含参绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，属于难题．注意本题中涉及绝对值不等式，要善于运用相关绝对值的性质，同时含参数恒成立问题，要学会分离参数，转化为求函数最值问题．：。

上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)

金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．设集合{5,1}A a =+，{,}B a b =，若A B =，则a b +=____________．2．函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则(2)f =____________．3．已知函数2()f x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=____________．4．设集合{|2}M x y ==，{|2}N y y ==，则A B =I ____________．5．已知全集U R =，集合11A xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则U A =ð____________． 6．若集合2{|210}x ax x -+=中至多只有一个元素，则实数a 的取值范围是____________．7．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是____________．8．若命题“存在实数x ，使得2(2)2(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题，则实数a 的取值范围是____________．9．已知集合{}(2)(5)0M x x x =+->，集合{}()(21)0N x x a x a =--+<，若M N N =I ，则实数a 的取值范围是____________．10. 已知a b >，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是____________． 11．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数. 给出下列命题：① 对于任意集合A ，都有()A P A ∈；② 存在集合A ，使得[()]3n P A =；③ 若A B =∅I ，则()()P A P B =∅I ；④ 若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；⑤ 若()()1n A n B -=，则[()]2[()]n P A n P B =⨯.其中所有正确命题的序号为____________．12. 对于一切实数x ，若二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值恒为非负数，则a b c M b a++=-的最小值为____________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．下列结论正确的是…………………………………………………………………………（）(A) 若a b >，c d >，则a c b d ->-(B) 若a b >，c d >，则a d b c ->- (C) 若a b >，c d >，则ac bd > (D) 若a b >，c d >，则a b d c> 14. 若集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B Ü”是“U A B U =U ð”的…………（） (A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件15. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =L ，令集合{(,,)|,,,S x y z X y z X X x ∈∈∈=且三,,}x y z y z x z x y <<<<<<条件恰有一个成立. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是………………………………………………………………………（）(A) (,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∉(B) (,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∉ (C) (,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈ (D) (,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数0,(),1R x f Q Qx x ⎧=⎨⎩∈∈ð被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：① (())0f f x =；② 函数()f x 是偶函数；③ 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x 、22(,())B x f x 、33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是……………………………………………………………………( )(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）解不等式组：22|21|1x x x +⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩．18．（本题满分10分）已知集合22{|(4)30}A x x a x a =+-++=，2{|560}B x x x =-+=， 2{|2520}C x x x =-+=，若A B A C =≠∅I I ，求a 的值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知两个正数,a b 满足1a b +=.（1）求证：114a b +≥；（2）若不等式11|2||21|x x a b-+-≤+对任意正数,a b 都成立，求实数x 的取值范围.20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分8分.某森林发生火灾，火势正以每分钟2100m 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场. 已知消防员在现场平均每人每分钟灭火250m ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁21m 森林损失费为60元. 设t 表示救火时间，x 表示去救火消防员人数.（1）求t 关于x 的函数表达式；（2）求应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分8分.已知全集U R =，集合2{|320}A x x x =-+≤，2{|20,}B x x ax a a R =-+≤∈.（1）当A B A =I 时，求a 的取值范围；（2）当A B A =U 时，求a 的取值范围．金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷参考答案一、填空题：1. 11；2. 3；3. (1,0(0,,))x x ∈-+∞U ； 4．{2}；5. [0,1]；6. {0}[1),+∞U ；7. (,5)-∞；8. (2,2]-； 9. ({1},[],25)∞--∞+U U ；10.11. ①④⑤； 12. 3.二、选择题：13. B ；14. A ； 15. D ； 16. C.三、解答题：17．解：由22x x+≥，得02x <≤. ……………………………………………………（3分）由|21|1x -≤，得01x ≤≤. ……………………………………………………（6分）故原不等式的解集为(0,1]. ……………………………………………………（8分）18．解：{2,3}B =, 1,22C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. ………………………………………………………（4分）由A B A C =≠∅I I ，得 2A ∈.从而 242(4)30a a +-++=，解得52a =-或3a =. …………………………………………………………（8分）当3a =时，{2,3}A =，不合题意，舍去. 当52a =-时，1,24A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意.故a 的值为52-. ………………………………………………………………（10分）19.（1）证明：0,0a b >>Q ，且1a b +=，1111()11b a a b a b a b a b⎛⎫∴+=+⋅+=+++ ⎪⎝⎭24≥=. …………………………………………（4分）当且仅当1b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即12a b ==时，等号成立. 故114a b+≥. …………………………………………………………（5分）（2）解：由题意结合（1）可知，只须|2||21|4x x -+-≤. ……………（6分）当12x <时，由不等式2124x x -+-≤，得1132x -≤<；当122x ≤≤时，由不等式2214x x -+-≤，得122x ≤≤；当2x >时，由不等式2421x x +-≤-，得723x <≤. 综上，实数x 的取值范围是17,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………（10分）20．解：（1）由100(5)50t tx +=，得10,(2,)2t x x N x =>∈-. …………………（4分）（2）记总损失为y 元，则60100(5)125100y t tx x =⨯+++ ……………………………………（7分）6000023000012510022x x x x =++⋅+-- 6250031450100(2)2x x =+-+-3145036450.≥+= ………………………（10分）当且仅当62500100(2)2x x -=-，即27x =时，等号成立. …………（11分）故应派27名消防员前去救火，才能使总损失最少. …………………（12分）21．解：（1）[1,2]A =， ………………………………………………………………（1分）当A B A =I 时，A B ⊆，记2()2f x x ax a =-+ 由(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即120440a a a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，得43a ≥. 即a 的取值范围是4[,)3+∞. …………………………………………（4分）（2）由A B A =U ，得B A ⊆.记2()2f x x ax a =-+. ① 当2(2)40a a ∆=--<，即01a <<时，B =∅，满足题意； …（5分）② 当0∆=即0a =或1a =时，若0a =，则2{|0}{0}B x x ≤==，不合题意；……………………（6分）若1a =，则2{|(1)0}{1}B x x A ≤=-=⊆，满足题意； ………（7分）③ 当0∆>时，2()2f x x ax a =-+的图象与x 轴有两个不同交点.由B A ⊆，知方程220x ax a -+=的两根位于1，2之间.从而244012(1)0(2)0a aaff∆=-⎧⎪⎪⎨><<≥≥⎪⎪⎩，即114312a aaaa<>⎧⎪<<⎪≤⎨≤⎪⎪⎪⎪⎩或，故a∈∅. ………………（11分）综上，a的取值范围是(0,1]. …………………………………………………（12分）。

XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷

XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷XXX2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。

考试时间为120分钟。

卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.如果A＝{x|x>−1}，那么正确的结论是A．A⊆B。

{0}∈A C。

{0}∈C2.函数f（x）＝2−2x，则f（1）＝A。

0 B.−2 C.2/2 D.−2/23.设全集I={x|x∈Z−3<x<3}，A={1，2}，B={−2，−1，2}，则A∪(I∩B)等于A。

{1} B。

{1，2} C。

{2} D。

{0，1，2}4.与函数y＝10lg(x−1)的定义域相同的函数是A。

y＝x−1 B。

y＝x−1 C。

y＝1/(x−1) D。

y＝x−15.若函数f（x）＝3＋3x−x与g（x）＝3−3^(−x)的定义域均为R，则A。

f（x）与g（x）均为偶函数 B。

f（x）为偶函数，g （x）为奇函数C。

f（x）与g（x）均为奇函数 D。

f（x）为奇函数，g （x）为偶函数6.设a=log_3(2)，b=ln2，c=5，则A。

a<b<XXX<c<a C。

c<a<b D。

c<b<a7.设函数y=x和y=1/2，则y的交点为（x，y），则x所在的区间是A.（，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥1时f(x)=x−1，则f（x）<0的解集是A.（−1，∞）B.（−∞，1）C.（−1，1）D.（−∞，−1）∪(1，∞)9.某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损14元10.设函数f（x）在R上是减函数，则A。

f（a）>f（2a）B。

格致中学2016学第一学期期中考试高三数学试卷

1页格致中学2016学年度第一学期期中考试高三数学试卷一、填空题（本大题共有12道小题，每小题4分，满分48分。

把答案直接填写在答题纸的相应位置上） 1、设x R ∈，则不等式213x -≤的解集为 . 2、设z ，其中i 是虚数单位，则z = .3、圆锥的底面半径为1，母线与底面所成角为，则此圆锥的全面积等于 .4、已知关于x 的方程()1a x x +=有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围为 .5、无穷数列{}n a 由k 个不同的正数组成，n T 为数列{}n a 的前n 项的积，即12n n T a a a =⋅，若对于任意的()*,2,3n n N T ∈∈，则k 的最大值为 .6、已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限且与x 轴和直线340x y -=都相切，则圆C 的方程为 .7、设182180121812x a a x a x a x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，从01218,,,,a a a a 中任取两数(),i j a a i j ≠则0i j a a ⋅>的概率等于（用数值作答）8、函数()2sin 1,,2f x x x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的反函数()1f x -= .9、已知点M N 、是区域1050550x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩内的任意点，()2,0P ，则PM PN ⋅的取值范围为 .10、如图，ABC ∆中，45CAD ∠=︒，D 是边AB 上一点，若 CDB ∆是边长为2的正三角形，则AC AB ⋅= .11、如图，等腰直角三角形ABC 的斜边4BC =，P Q 、分别是边AB AC 、上的动点，且//PQ BC ，D 是BC 的中点，AD 与PQ 交点为E ，将三角形APQ 沿PQ 折起，使AE ED ⊥，若折起后AB 的长为d ，则d 的最小值等于 .12、我们知道，n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即若*12,,,n a a a R ∈，则)*12,2na a a n N n n+++≥∈≥，当且仅2n a a a ===当时等号成立，我们可以利用此定理来求相关函数成代数式的最值问题。

上海市格致中学学年高三数学上学期期中试卷文(含解析)

2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．5．等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6= ．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n= ，展开式中的常数项为．（用数字作答）11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有个．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．二、选择题15 .设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．418．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．22．对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为{0，1，3} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】化简A，利用A⊊N*，可得a形成的集合．【解答】解：a=0，A=∅，满足题意；a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，由此能求出过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：y﹣2=（x﹣1），整理，得x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为{， } ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：sin（2x+）=，由x∈（0，π]，可得2x+∈（，]，从而解得f（x）=1在（0，π]上的解集．【解答】解：∵由题意可得：=π，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，∵x∈（0，π]，∴2x+∈（，]，∴2x+=或，即：x={， }．故答案为：{， }．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开法则得x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6= 32 ．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q，由此能求出a6的值．【解答】解：∵{a n}是首项为1的等比数列，S n为{a n}的前n项和，S6=9S3，∴=9×，解得q=2，∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，确定q是关键．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型 A B AB O该血型的人所占的比例28 29 8 35已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为0.64 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知得B、O型血可以输给B型血的人，根据互斥事件的概率加法公式，能求出在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率．【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，∵B、O型血可以输给B型血的人，∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．故答案为：0.64．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率加法公式的合理运用．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为 3 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为 3 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图是底面边长为2，对应边上的高为3的三角形，它的面积为×2×3=3．故答案为：3．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n= 6 ，展开式中的常数项为15 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为[4，5] ．【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系，涉及函数单调性的应用，属于中档题．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有 5 个．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】由题意可得集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，然后结合A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；A∩B=∅，求得满足条件的集合A．【解答】解：∵集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，∴2不在A中，5不在B中，则A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．∴满足条件的A有5个．故答案为：5．【点评】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力，是基础题．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n的最大值为 4 ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义的理解和运用，属于中档题．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；解题思想；综合法；解三角形．【分析】由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，从而A1，B1，C1均为锐角，从而得到△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，推导出π=，不成立，从而△A2B2C2是钝角三角形，由此能求出两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均为锐角，∴△A1B1C1为锐角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形综上，△A2B2C2是钝角三角形．∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．故答案为：钝角．【点评】本题考查两个三角形六个内角中的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．二、选择题15 .设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据共轭复数的定义以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，∴z1•z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，若z1•z是实数，则ad+bc=0，若z1、z2互为共轭，则b=﹣d，由ad+bc=0推不出b=﹣d，由b=﹣d推不出ad+bc=0，故“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复数问题，是一道基础题．16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【专题】运动思想；演绎法；推理和证明．【分析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，继而求出答案．【解答】解：由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同，故选：B．【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】函数的图象与图象变化．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题18．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【考点】数列的极限；椭圆的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由四棱锥的体积=AB×AA1×AC，代入已知即可解得AA1的值．（2）设C1到平面A1B1C的距离为h，先证明B1A1⊥CA1，由已知及勾股定理可求A1C=，由=，利用三棱锥体积公式可得：×2××h=2×2×3，即可解得C1到平面A1B1C的距离为．【解答】解：（1）∵=AB×AA1×AC=AA1=4，∴AA1=3．（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴B1A1⊥CA1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C1到平面A1B1C的距离为h，∴A1C==，∵=，=h=×2××h，=×A1B1×C1A1×CC1=2×2×3，∴×2××h=2×2×3，解得：h=．故C1到平面A1B1C的距离．【点评】本题主要考查了直线与直线垂直的判定，考查了三棱锥，四棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用倍角公式与“弦化切”可得cos2θ=，=；（2）由，且．可得sinθ=，cosθ=．根据，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，代入化简即可得出．【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．===3；（2）由，且．∴sinθ=，cosθ=．∴，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，∴tanΦ=1，∴Φ=．【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，|OP|=2，可得点P的轨迹方程；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，利用，求出OP2，即可求M的面积．【解答】解：（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，∴点P的轨迹方程是x2+y2=4；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T1OP=α，t=OP2，∵，∴（﹣）•（﹣）=λ，∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，∴+t﹣6=λ，∴t2﹣（6+λ）t+8=0，∴t=（另一根舍去），∴M的面积S==．【点评】本题考查轨迹方程，考查面积的计算，确定轨迹方程是关键．22．对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．【考点】数列的求和．【专题】证明题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由已知得a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，由此能证明数列{a n}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，得到{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了S n．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，∴a n+1=an+b﹣a n，a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，∴a n+2﹣a n=a，∴数列{a n}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，∴{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴a n=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{a n}是等差数列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴S n=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a＞s﹣t．∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．【点评】本题考查“弱等差数列”的证明，考查数列的通项公式的求法，综合性质强，难度大，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】新定义；数形结合法；作差法；不等式的解法及应用．【分析】（1）直接根据定义，问题等价为|2x﹣3|＜|1﹣3|，解出即可；（2）先求出函数f（x）的解析式并画出函数图象，再运用数形结合的方法，求a的取值范围；（3）直接运用作差法比较两式的大小．【解答】解：（1）因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，即|2x﹣3|＜2，解得＜x＜，所以，x的取值范围为：（，）；（2）分类讨论如下：①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，解得，x∈（1，3），②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），所以，f（x）=，画出f（x）的图象，如右图，因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，a∈（﹣1，0）∪（0，1）；（3）对两式，平方作差得，△=（）2﹣（）2==，因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，所以，＞||，即比接近0．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，分段函数解析式的确定，和不等式的证明，体现了分类讨论，数形结合的解题思想，属于难题．。

上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷及解析

上海市位育中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A.2x y x y +>>> B.2x y x y +>>>C.2x y x y +>>>D.2x y x y +>> 2.已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列各对函数中，相同的是（）A.()()21x x f x g x x x-==-， B.()()01f x g x x ==，C.()()f u g v =D.()()f x x g x =，4.设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S}=1且{T}=0B.{S}=1且{T}=1C.{S}=2且{T}=2D.{S}=2且{T}=3第II 卷（非选择题）二、填空题5.已知全集}012，，，，集合{}{}101210A B =-=--，，，，，，则U A B =∩__________.6.“1m ”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的__________条件.7.32ax >+的解集是（4b ，），则b =__________. 8.若集合A ＝{x|（k-1）x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______9.函数()f x =__________. 10.设函数()200x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，，，，若()2f α=，则实数α为__________. 11.不等式204x x -≥+的解集为________； 12.不等式232x x ->的解集是__________.13.已知00x y >>，且2223x y +=，则的最大值是__________. 14.下面几个不等式的证明过程:①若a ､b R ∈，则2b a a b +≥=；②x ∈R 且0x ≠，则44x x x x +=+≥a ､0b R ab ∈<，，则2b a b a a b a b -⎛⎫+=--+-=- ⎪⎝⎭≤.其中正确的序号是__________. 15.若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是__________.16.某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价%n ；第二种:先提价%2m n +，再提价%2m n +；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种. 17.对a ､b R ∈.记{}()()min a a b a b b a b ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，，，函数()()1min 122f x x x x R ⎧⎫=--+∈⎨⎬⎩⎭，的最大值为__________.18.对x ∈R ，y R ∈，已知()()()f x y f x f y +=⋅，且()12f =，则()()()()()()()()()()2342015201612320142015f f f f f f f f f f ⋯+++++的值为__________.三、解答题（1）2680321x x x x ⎧-+>⎪⎨+>⎪-⎩；（2）2211340815x x x x x ⎧-<⎪⎨--≥⎪--⎩. 20.（1）已知1x >-，求27101x x y x ++=+的最小值；（2）已知3412x y +=，求xy 的最大值.21.已知适合不等式2435x x a x -++-≤的x 的最大值为3，求实数a 的值；并解该不等式.参考答案1.A【解析】1.0x y >>，可得2x x y >+，2x y +y ．即可得出． 0x y >>，2x x y ∴>+，2x y +>>y >．∴2x y x y +>，故选：A ．2.B【解析】2.试题由＞，＞，可得，,d c a d b c ->-->-；由＞，－＞－，同向不等式两边相加，可得，＞，故“＞”是“－＞－”的必要而不充分条件，选B ．3.C【解析】3.分别判断给定两个函数的定义域和解析式，比较后根据同一函数的定义，可得答案．函数2()1x x f x x x-==-的定义域为{|0}x x ≠，()1g x x =-的定义域为R ，故不是相同的函数；函数()1f x =的定义域为R ，0()g x x =的定义域为{|0}x x ≠，故不是相同的函数；函数()f u =()g v =函数()f x x =，()||g x x ==的解析式不同，故不是相同的函数；故选：C ．4.D【解析】4.∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根；当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2故选D5.{2}-【解析】5.由全集U 及A ，求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可．全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{1A =-，0，1}，{2B =-，1-，0}，{2U A ∴=-，2}，则{2}U A B =-，故答案为：{2}-6.必要不充分【解析】6.求出一元二次方程20x x m ++=有实数解的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．若一元二次方程20x x m ++=有实数解，则△140m =-，解得：14m，故1m 是14m 的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．7.36【解析】7.32ax =+的根为4x =或b ，将4x =代入可得，3242a =+，解可得a1382x +，解可得其根，即可得b 的值．32ax =+的根为4x =，x b =；将4x =代入可得，3242a =+，解可得18a =；1382x =+，解可得，4x =或36；则36b =；故答案为：36．8.1或12【解析】8.试题分析：集合有两个子集，所以只含有一个元素，当10k -=即1k =时成立，当10k -≠时需满足102k ∆=∴=，综上实数k 的值是1或129.3(2-，1]【解析】9. 根据函数()f x 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．函数()f x =， ∴2320230x x x ⎧--⎨+≠⎩，即223032x x x ⎧+-⎪⎨≠-⎪⎩，解得312x -<； ()f x ∴的定义域是3(2-，1]．故答案为：3(2-，1]．10.2-【解析】10.根据解析式分类讨论a 的范围，代入对应的解析式，列出方程进行求解．①当0a >时，f （a ）22a ==，a ∴=0a a >∴=，②当0a 时，f （a ）2a =-=，2a ∴=-，故答案为：2-．11.(4,2]-【解析】11.根据分式不等式解法求解22004244x x x x x --≥⇒≤⇔-<≤++ 故答案为：(4,2]-12.(-∞，3)(3-，)+∞【解析】12.令||t x =，解得：3t >，即||3x >，解出x 的范围即可．令||t x =，将原不等式化为2230t t -->，将不等式2230t t -->化简，得(1)(3)0t t +->， ||0t x =，得到10t +>，30t ∴->，可得3t >，即||3x >，解之得3x <-或3x >，得原不等式的解集为(-∞，3)(3-，)+∞，故答案为：(-∞，3)(3-，)+∞．13.2【解析】13.由2223x y +=，则2242x x +-，问题得以解决．0x >，0y >且2223x y +=，则22422x x +-=，当且仅当x 2y =时取等号，故的最大值是2，故答案为：214.②③【解析】14.①a 、b R ∈，当ab 异号时．应用均值不等式所得结论与所给不同；②由4,x x 同号知44||||||x x x x +=+成立，可应用均值不等式判断正确； ③ab 异号，()b a b a a b a b-+=--+可应用均值不等式判断正确． ①a 、b R ∈，当ab 异号时，0b a<，0a b <，()22b a b a a b a b a b b a +=-+-=-．不成立． 0a =或0b =时，b a ，a b无意义，故①不对． ②x ∈R 且0x ≠，0x >时，444||||2||||||x x x x x x +=+；成立； 0x >时，4444|()|||||2||||||x x x x x x x x -+=+=+；成立．故②对． ③a 、b R ∈，0ab <，ab 异号，0b a<，0a b <，那么())22b a b a b a b a b a b-+=--+--=-，成立．故③对．故答案为：②③【解析】15. 利用基本不等式，根据2()4x y xy +把题设等式整理成关于x y +的不等式，求得其范围，则x y +的最大值可得．221x y xy ++=2()1x y xy ∴+=+2()4x y xy + 22()()14x yx y +∴+-，整理求得23x y+ x y ∴+16.二【解析】16. 设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)m n ++；第二种：(1%)(1%)22m n m n ++++；第三种：1()%m n ++．展开利用基本不等式的性质即可得出． 0m n >>，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++；第二种：(1%)(1%)1%%%%222222m n m n m n m n m n m n ++++++++=+++⨯ 1()%%%1()%22m n m n m n m n ++=+++⨯>++ 1()%%%m n m n =+++；第三种：1()%m n ++．因此提价最多的方案是第二种．故答案为：二． 17.1 【解析】17.先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数()f x 的解析式，最后求函数的最大值即可．由题意知1211(),12()222232x x f x min x x x R x x x x +<-⎧⎪⎪⎧⎫=--+∈=-⎨⎬⎨⎩⎭⎪->⎪⎩ ∴当2x <-时，()11f x x =+<-当22x -时，1()1f x -当2x >时，()31f x x =-<综上所述，函数()f x 的最大值为1故答案为：118.4030【解析】18.在已知等式()()()f x y f x f y +=中，取1y =，可得(1)2()f x f x +=，由此求得(2)(3)(4)(2015)(2016)(1)(2)(3)(2014)(2015)f f f f f f f f f f +++⋯++的值．令1y =，则(1)()f x f x f +=（1）2()f x =，即(1)2()f x f x +=，则(2)(3)(4)(2015)(2016)222220154030(1)(2)(3)(2014)(2015)f f f f f f f f f f +++⋯++=++⋯+=⨯=．故答案为：4030．19.（1）(1，2)(4⋃，)+∞（2）(0,2)【解析】19.（1）分别求出每个不等式的解，求出其解集，（2）分别求出每个不等式的解，求出其解集．（1）2680x x -+>，即为(2)(4)0x x -->，解的2x <或4x >， 311x x +>-即为401x >-，解得1x >，所以不等式的解集(1，2)(4⋃，)+∞，（2）由|1|1x -<，解得02x <<，由22340815x x x x ----，即为(4)(1)0(3)(5)x x x x -+--，即为(4)(1)0(3)(5)0x x x x -+⎧⎨-->⎩或(4)(1)0(3)(5)0x x x x -+⎧⎨--<⎩，解得13x -<或45x <，故原不等式组等价于021345x x x <<⎧⎨-<⎩或，解得02x <<，故不等式得解集为(0,2)20.（1）9（2）3【解析】20.（1）分离常数法，在结合基本不等式的性质即可得到答案．（2）构造已知等式关系，直接利用基本不等式的性质即可得到答案．（1）1x >-，10x ∴+>，则：22710(1)5(1)44(1)52(1)591111x x x x y x x x x x x ++++++===+++++=++++．当且仅当411x x +=+．即1x =时，取等号成立． ∴当1x >-时，27101x x y x ++=+的最小值为9．（2）3412x y +=．要求xy 的最大值，xy 必须同号．∴21134(3)(4)()312122x y xy x y +=⋅=．当且仅当346x y ==．即32,2x y ==时等号成立．故：xy 取最大值为3．此时32,2x y ==． 21.8，{|23}x x【解析】21.首先分析题目已知适合不等式2|4||3|5x x a x -++-的x 的最大值为3，即可得到|3|3x x -=-．然后可以分类讨论240x x a -+<，240x x a -+的情况，去绝对值号，求得解集即可得到答案．已知适合不等式2|4||3|5x x a x -++-的x 的最大值为3，即3x ，所以|3|3x x -=-．（1）若240x x a -+<，则原不等式化为2320x x a -++．此不等式的解集不可能是集合{|3}x x 的子集，所以240x x a -+<不成立．（2）若240x x a -+，则原不等式化为2520x x a -+-．因为3x ，令2252(3)()(3)3x x a x x m x m x m -+-=--=-++，比较系数，得2m =，所以8a =．此时，原不等式的解集为{|23}x x故答案为8a =，不等式解集为{|23}x x ．。

《解析》上海市向明中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016学年上海市向明中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12小题，每个小题填对得3分，否则一律得零分．1．函数f（x）=（x﹣2）0+的定义域为．2．α：x=2，β：x2﹣4=0，则α是β的条件．3．设f（x）=x2﹣+1，则f（x）+g（x）=．4．已知全集U=R，集合M=，则∁R M=．5．已知a、b∈R，命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0的逆否命题是．6．若函数f（x+1）=2x2+1，则函数f（x）=．7．集合A={x|ax﹣1=0}，B={x|x2﹣3x+2=0}，且A∪B=B，则a的值是．8．若全集为实数集R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≤0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为．9．函数y=f（x）为奇函数，当x≤0时，它的解析式为f（x）=x（1+x3），则当x＞0时，f（x）=．10．已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．11．已知函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[﹣2a﹣5，1]是偶函数，则a+b=．12．若关于x的不等式x2+36+|x3﹣6x2|≥ax在[2，10]上恒成立，则a的取值范围是．二、选择题：（本大题满分16分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C． D．14．下面各组函数中为相同函数的是（）A． B．C． D．15．设实数a1，a2，b1，b2均不为0，则“成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）三、解答题：（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知A={x||x﹣a|＜4}，B={x||x﹣2|＞3}．（I）若a=1，求A∩B；（II）若A∪B=R，求实数a的取值范围．18．（8分）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0；（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．19．（8分）某粮食店经销小麦，年销售量为6000千克，每千克小麦进货价为2.8元，销售价为3.4元，全年进货若干次，每次的进货量均为x千克（1000≤x ≤600000），运费为100元/次，并且全年小麦的总存储费用为1.5x元．（1）用x（千克）表示该粮食店经销小麦的年利润y（元）；（2）每次进货量为多少千克时，能使年利润y最大？20．（12分）定义：函数y=[x]为“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；函数y=＜x＞为“上取整函数”，其中＜x＞表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[﹣1.3]=﹣2，＜﹣2.3＞=﹣2，＜2.3＞=3（1）函数f（x）=＜x•[x]＞，x∈[﹣2，2]；求和；（2）判断（1）中函数f（x）的奇偶性；（3）试用分段函数的形式表示函数：y=[x]+＜x＞，（﹣1≤x≤1）．21．（12分）对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．（1）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，f2（x）=x+|x﹣2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；（3）若是“平底型”函数，求m和n的值．2015-2016学年上海市向明中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12小题，每个小题填对得3分，否则一律得零分．1．函数f（x）=（x﹣2）0+的定义域为{x|﹣3＜x＜3且x≠2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣2）0+，所以，解得﹣3＜x＜3且x≠2，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣3＜x＜3且x≠2}．故答案为：{x|﹣3＜x＜3且x≠2}．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．2．α：x=2，β：x2﹣4=0，则α是β的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x2﹣4=0得x=2或x=﹣2，则α是β的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．3．设f（x）=x2﹣+1，则f（x）+g（x）=x2+1，x≠2．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】首先，确定函数f（x）和函数g（x）的定义域问题，然后，再求解所得它们的和构成的函数解析式．【解答】解：∵f（x）=x2﹣+1，x≠2，∴f（x）+g（x）=x2+1，x≠2，故答案为：x2+1，x≠2．【点评】本题重点考查了函数的定义域和函数解析式的求解方法，容易出现的错误就是忽视函数的定义域问题，属于容易题，也是易错题．4．已知全集U=R，集合M=，则∁R M={x|﹣3≤x≤2} ．【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义进行求解即可．【解答】解：M=={x|（2﹣x）（x+3）＜0}={x|（x﹣2）（x+3）＞0}={x|x＞2或x＜﹣3}，则∁R M={x|﹣3≤x≤2}，故答案为：{x|﹣3≤x≤2}【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据补集的定义结合分式不等式的解法是解决本题的关键．5．已知a、b∈R，命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0的逆否命题是若a=0或b=0，则ab=0．【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0的逆否命题是若a=0或b=0，则ab=0，故答案为：若a=0或b=0，则ab=0【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．6．若函数f（x+1）=2x2+1，则函数f（x）=2x2﹣4x+3．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法，设x+1=t，用t表示出x，求出f（t）即可．【解答】解：∵f（x+1）=2x2+1，∴设x+1=t，则x=t﹣1；∴f（t）=2（t﹣1）2+1=2t2﹣4t+3，即函数f（x）=2x2﹣4x+3．故答案为：2x2﹣4x+3．【点评】本题考查了复合函数解析式的求法问题，采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决，是基础题目．7．集合A={x|ax﹣1=0}，B={x|x2﹣3x+2=0}，且A∪B=B，则a的值是0或1或．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解一元二次方程，可得集合B={x|x=1或x=2}，再由且A∪B=B得到集合A是集合B的子集，最后分析集合A的元素，可得a的值是0或1或．【解答】解：对于B，解方程可得B={x|x=1或x=2}∵A={x|ax﹣1=0}，且A∪B=B，∴集合A是集合B的子集①a=0时，集合A为空集，满足题意；②a≠0时，集合A化简为A={x|x=}，所以=1或=2，解之得：a=1或a=综上所述，可得a的值是0或1或故答案为：0或1或【点评】本题以方程的解集为例，考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题．在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错．8．若全集为实数集R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≤0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为P∩C I Q．【考点】集合的表示法．【分析】根据集合P与Q中的不等式，得到f（x）g（x）≤0，且f（x）≠0，即可确定出所求不等式组表示的意义．【解答】解：∵I=R，Q={x|g（x）≤0}，∴C I Q={x|g（x）＞0}，∵P={x|f（x）＜0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为P∩C I Q．故答案为：P∩C I Q【点评】此题考查了其他不等式的解法，以及补集、交集及其运算，弄清题意是解本题的关键．9．函数y=f（x）为奇函数，当x≤0时，它的解析式为f（x）=x（1+x3），则当x＞0时，f（x）=x（1﹣x3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】x＞0时，﹣x＜0，由已知表达式可求得f（﹣x），由奇函数的性质可得f（x）与f（﹣x）的关系，从而可求出f（x）．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，则∵x≤0时，f（x）=x（1+x3），∴f（﹣x）=﹣x（1﹣x3），又f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴当x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x（1﹣x3）．故答案为：x（1﹣x3）．【点评】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．10．已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围[﹣2，] ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，利用二次函数的性质得到二次项系数大于0，根的判别式小于等于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【解答】解：设f（x）=（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1，当a2﹣4=0，即a=﹣2（a=2不是空集）时，不等式解集为空集；当a2﹣4≠0时，根据题意得：a2﹣4＞0，△≤0，∴（a+2）2+4（a2﹣4）≤0，即（a+2）（5a﹣6）≤0，解得：﹣2≤x≤，综上a的范围为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．11．已知函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[﹣2a﹣5，1]是偶函数，则a+b=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[﹣2a﹣5，1]是偶函数，∴定义域关于原点对称，则1﹣2a﹣5=0，得2a=﹣4，则a=﹣2，且f（﹣x）=f（x），即ax2﹣bx+c=ax2+bx+c，则﹣b=b，即b=0，则a+b=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义域关于原点对称以及偶函数的定义建立方程关系是解决本题的关键．12．若关于x的不等式x2+36+|x3﹣6x2|≥ax在[2，10]上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，12] ．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离参数a，把不等式变形为a≤x++|x2﹣6x|，只需a小于等于x++|x2﹣6x|的最小值即可【解答】解：关于x的不等式x2+36+|x3﹣6x2|≥ax在[2，10]上恒成立，∴a≤x++|x2﹣6x|，而x+≥2=12，当且仅当x=6∈[2，10]时取等号，且|x2﹣6x|≥0，等号当且仅当x=6∈[1，10]时成立；所以x++|x2﹣6x||的最小值为12，等号当且仅当x=6∈[2，10]时成立．故实数a的取值范围是（﹣∞，12]．故答案为：（﹣∞，12]．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，本题中要注意等号须同时成立．二、选择题：（本大题满分16分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C． D．【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b2，故B正确；对于C：由a＜b＜0，两边同除以ab得：＜，即＞，故C错误；对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．14．下面各组函数中为相同函数的是（）A． B．C． D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分析函数的定义域与解析式，即可得出结论．【解答】解：对于A，f（x）=|x﹣1|，与g（x）不是同一函数；对于B，函数f（x）中x2﹣1≥0，g（x）中，x≥1，定义域不一样；对于C，函数f（x）中≥0，g（x）中，﹣2＜x≤1，定义域一样；对于D，定义域不一样，故选C．【点评】本题考查函数的定义域与解析式，比较基础．15．设实数a1，a2，b1，b2均不为0，则“成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若=m，（m≠0），则a1=ma2，b1=mb2，∴不等式a1x+b1＞0等价为m（a2x+b2）＞0，若m＞0，则m（a2x+b2）＞0，等价为a2x+b2＞0，此时两个不等式的解集相同，若m＜0，m（a2x+b2）＞0，等价为a2x+b2＜0，此时两个不等式的解集不相同．即充分性不成立．若关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同，即a1a2＞0，∵a1，a2，b1，b2均不为0，∴若a1，a2＞0，则不等式的解为x＞．x＞，则=，即成立，若a1，a2＜0，则不等式的解为x＜．x＜，则=，即成立，即必要性成立，故“成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键，比较基础．16．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．三、解答题：（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．已知A={x||x﹣a|＜4}，B={x||x﹣2|＞3}．（I）若a=1，求A∩B；（II）若A∪B=R，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（I）把a=1代入绝对值不等式|x﹣a|＜4求出解集，再求解|x﹣2|＞3的解集，再求出A∩B；（II）先求解|x﹣a|＜4得出集合A，再由A∪B=R画出数轴，由图列出关于a的不等式，注意等号是否取到，求出a范围．【解答】解：（I）当a=1时，则由|x﹣1|＜4，即﹣4＜x﹣1＜4，解得﹣3＜x＜5，由|x﹣2|＞3，即x﹣2＞3或x﹣2＜﹣3，解得x＜﹣1或x＞5，∴A={x|﹣3＜x＜5}．B={x|x＜﹣1或x＞5}．∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}．（II）由|x﹣a|＜4得，a﹣4＜x＜a+4，则A={x|a﹣4＜x＜a+4}，因B={x|x＜﹣1或x＞5}，且A∪B=R，用数轴表示如下：∴，解得1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（1，3）．【点评】本题的考点是集合的交集和并集的求法，考查了绝对值不等式得解法，借助于数轴求出a的范围，注意端点处的值是否取到，这是易错的地方．18．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0；（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）由已知得2和3是相应方程kx2﹣2x+6k=0的两根且k＞0，利用根与系数的关系即可得出；（2）设f（x）=kx2﹣2x+6k，利用二次函数的图象与性质把问题化为，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为（2，3），所以2和3是方程kx2﹣2x+6k=0的两根且k＞0，由根与系数的关系得，2+3=，解得k=；（2）令f（x）=kx2﹣2x+6k，则原问题等价于，即，解得k≤，又k＞0，所以实数k的取值范围是0＜k≤．【点评】本题考查了一元二次不等式与与相应的一元二次方程以及二次函数的应用问题，是综合性题目．19．某粮食店经销小麦，年销售量为6000千克，每千克小麦进货价为2.8元，销售价为3.4元，全年进货若干次，每次的进货量均为x千克（1000≤x≤600000），运费为100元/次，并且全年小麦的总存储费用为1.5x元．（1）用x（千克）表示该粮食店经销小麦的年利润y（元）；（2）每次进货量为多少千克时，能使年利润y最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由年销售总量为6000包，每次进货均为x包，可得进货次数，进而根据每包进价为2.8元，销售价为3.4元，计算出收入，由运费为100元/次，全年保管费为1.5x元计算出成本，相减可得利润的表达式；（2）由（1）中函数的解析式，由函数的单调性，结合x的实际意义，可得使利润最大，每次进货量．【解答】解：（1）由题意可知：一年总共需要进货（x∈N*且1000≤x≤6000）次，∴y=3.4×6000﹣2.8×6000﹣•100﹣1.5x，整理得：y=3600﹣﹣1.5x（x∈N*且1000≤x≤6000）．（2）y=3600﹣﹣1.5x，当且仅当x=1000时，年利润y最大．【点评】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件计算出利润y （元）元表示为每次进货量x（千克）的函数表达式是解答本题的关键．20．（12分）（2015秋•卢湾区校级期末）定义：函数y=[x]为“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；函数y=＜x＞为“上取整函数”，其中＜x＞表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[﹣1.3]=﹣2，＜﹣2.3＞=﹣2，＜2.3＞=3（1）函数f（x）=＜x•[x]＞，x∈[﹣2，2]；求和；（2）判断（1）中函数f（x）的奇偶性；（3）试用分段函数的形式表示函数：y=[x]+＜x＞，（﹣1≤x≤1）．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据定义分别进行计算即可，（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可，（3）利用定义结合分段函数的定义进行分段求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）=＜x•[x]＞，x∈[﹣2，2]；∵[﹣]=﹣2，∵﹣•[﹣]=﹣×（﹣2）=3，则＜﹣•[﹣]＞=＜3＞=3，则=＜﹣•[﹣]＞=3，∵[]=1，∵•[]=×1=则＜•[]＞=＜＞=2，则=＜•[]＞=＜＞=2；（2）∵≠且≠﹣，则（1）中函数f（x）为非奇非偶函数；（3）当x=﹣1时，[﹣1]=﹣1，＜﹣1＞=﹣1，此时y=[x]+＜x＞=﹣1﹣1=﹣2，当﹣1＜x＜0时，[x]=﹣1，＜x＞=0，此时y=[x]+＜x＞=﹣1+0=﹣1，当x=0时，[0]=0，＜0＞=0，此时y=[x]+＜x＞=0，当0＜x＜1时，[x]=0，＜x＞=1，此时y=[x]+＜x＞=0+1=1，当x=1时，[1]=1，＜1＞=1，此时y=[x]+＜x＞=1+1=2，则y=[x]+＜x＞=．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据新定义分别进行计算是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．21．（12分）（2015秋•卢湾区校级期末）对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．（1）判断f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，f2（x）=x+|x﹣2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；（2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；（3）若是“平底型”函数，求m和n的值．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数，②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．（2）要使一个式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f （x）即可，从而得到f（x）≤2，结合“平底型”函数f（x）的图象可得，当x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2成立．（3）假定函数是“平底型”函数，则函数解析式应满足“平底型”函数的2个条件，化简函数解析式，检验“平底型”函数的2个条件同时具备的m、n值是否存在．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|+|x﹣2|是“平底型”函数，存在区间[1，2]使得f1（x）=1，在区间[1，2]外，f1（x）＞1，f2（x）=x+|x﹣2|不是“平底型”函数，∵在（﹣∞，0]上，f2（x）=2，在（﹣∞，0]外，f2（x）＞2，（﹣∞，0]不是闭区间．（2）若|t﹣k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立即f（x）≤|﹣1|+|+1|，∵|﹣1|+|+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，又由f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，得x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．（3）∵是“平底型”函数x2+2x+n=（mx﹣c）2则m2=1，﹣2mc=2，c2=n；解得m=1，c=﹣1，n=1，①，或m=﹣1，c=1，n=1，②①情况下，f（x）=是“平底型”函数；②情况下，f（x）=不是“平底型”函数；综上，当m=1，n=1时，为“平底型”函数．【点评】本题的考点是函数恒成立问题，综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想，关键是对新概念的理解．。