一元二次方程根的判别式第一课时练习题及答案
2020年九年级数学上册课时作业 一元二次方程 根的判别式(含答案)
2020年九年级数学上册课时作业一元二次方程根的判别式一、选择题1.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞12.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠13.若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断4.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A.﹣1B.0C.1D.35.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( )A.a≥1B.a＞1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠56.若关于x的一元二次方程x2－2x＋k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k<1B.k≤1C.k>－1D.k>17.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根8.关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A.a≥1B.a＞1且a≠5C.a≥1且a≠5D.a≠59.关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＞－1B.k≥－1C.k≠0D.k＞－1且k≠010.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A.k=﹣4B.k=4C.k≥﹣4D.k≥411.若关于x的方程x2-x+a=0有实根,则a的值可以是( )A.2B.1C.0.5D.0.212.若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实根，则a的值是（）A.-4B.4C.4或-4D.2二、填空题13.若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a+1，﹣a﹣3)在第象限．14.若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为．15.方程x2﹣(k+1)x+k+2=0有两个相等的实数根.则k= .16.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．17.已知关于x的方程ax2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．18.如果方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是 .三、解答题19.关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.20.关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x，x2．1（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．21.已知：关于x的方程2x2+kx-1=0⑴求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若方程的一个根是-1，求另一个根及k值．22.关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根x，x2.1（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x1x2=0成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由.23.已知关于x的方程kx2﹣3x+1=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2=4时，求k的值．24.已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2=0.（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值.参考答案1.答案为：C.2.答案为：D3.A．4.D5.A6.A7.D8.A.9.D10.B11.D12.答案为:B.13.答案为：四．14.答案为：．15.答案是：7或﹣1.16.答案为：k．17.答案为：a＞且a≠0.18.答案为：k≤1.19.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1=0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac=(2m＋1)2－4×1×(m2－1)=4m＋5＞0，解得：m＞－1.25；(2)m=1，此时原方程为x2＋3x=0，即x(x＋3)=0，解得：x1=0，x2=－320.解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，∴9﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤3.25；（2）∵x1+x2=﹣3，x1x2=m﹣1，又∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，∴2×（﹣3）+m﹣1+10=0，∴m=﹣3．21.（1）△=k2+8>0;（2）k=1,x=0.5.22.解：（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根x，x2.1∴△=4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）=﹣8m+8＞0，∴m＜1；（2）存在实数m，使得x1x2=0成立；∵x1x2=0，∴m2﹣1=0，解得：m=﹣1或m=1，∴当m=1时，方程为x2=0，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去，∴m=﹣1.23.解：(1)当k=0时，原方程为﹣3x+1=0，解得：x=，∴k=0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0，解得：k≤．综上所述，k的取值范围为k≤．(2)∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2+x1x2=4，∴+=4，解得：k=1，经检验，k=1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．24. (1)证明：方程整理为x2-5x+6-p2=0，△=（-5）2-4×1×（6-p2）=1+4p2，∵4p2≥0，∴△＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x12+x22=3x1x2∴x12+x22+2x1x2-5 x1x2=0∴（x1+x2）2-5 x1x2=0∴25-30+5p2=0∴p=±1。
沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：17.3一元二次方程根的判别式(含答案)
17.3(1)一元二次方程根的判别式一．填空题：1．下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2．方程0ab -x b -a 2-4x 2=）（的根的判别式是 。
二、选择题：3．关于x 的一元二次方程0322=-+ax x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根（D ）不能确定4．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根，且两根同号（C ） 有两个不相等的实数根，且两根异号 （D 没有实数根5．关于x 的一元二次方程042=++c x ax ，若a 、c 异号，则该方程根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实根 （B ） 有两个不相等的实根（C ） 没有实数根（D ）无法确定三、不解方程，判断下列方程根的情况6. 2x 2＋3x ＋1＝07.02)51(52=-+t t8．0222=++-k kx x 9. (x ＋2)(x ＋3)＝－1102=+x x 012=-+x x 02=-x x10. 2y 2－y ＋14＝0 11. x 2＋(2k －1)x ＋(－k －1)＝0四、 解答题12.已知关于x 的一元二次方程3x 2－7x ＋k ＋2＝0的根的判别式的值等于289，求k 的值．13. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，试判别关于x 的方程x 2＋2(a －b )x ＋c 2＝0的根的情况．五、提高题14.求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根m 03)7(92=-++-m x m x17.3（2）一元二次方程根的判别式一、 填空题1．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
2．已知关于x 的方程0)3(4122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是。
3．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为 。
一元二次方程根的判别式练习题
2.3 一元二次方程根的判别式要点感知 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△= .（1）△>0⇔原方程有 的实数根，其根为x 1= ，x 2= .(2)△=0⇔原方程有 的实数根，这两个根为x 1=x 2=2b a -. (3)△<0⇔原方程 实数根.注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件.预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x 2-5x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定1-2 (2013·大连)若关于x 的方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-1B.m ＞-1C.m ＜1D.m ＞11-3 (2012·梧州)关于x 的一元二次方程(a+1)x 2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是(B)A.a ＞-5B.a ＞-5且a ≠-1C.a ＜-5D.a ≥-5且a ≠-1知识点1 不解方程，判断根的情况1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( )A.x 2-3x+1=0B.x 2+1=0C.x 2-2x+1=0D.x 2+2x+3=02.一元二次方程ax 2+bx+c=0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( )A.b 为任意实数，方程有两个不等的实数根B.b 为任意实数，方程有两个相等的实数根C.b 为任意实数，方程没有实数根D.无法确定3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)3x 2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x 2=x 2+2.知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围4.(2013·钦州)关于x 的一元二次方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A.m ＜3B.m ≤3C.m ＞3D.m ≥35.已知(m-1)x 2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A.m>12B.m<12且m ≠1C.m>12且m ≠1D.12＜m ＜1 6.(2013·张家界)若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是 .7.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0，问当k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根.8.(2013·成都)一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定10.(2013·广州)若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断11.(2013·潍坊)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0，下列说法正确的是( )A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解12.(2013·新疆)如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是.13.(2013·兰州)若4a-=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是.14.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)3x2-5x-1=0；(2)x2-8x+16=0；(3)2x2+3x+4=0.15.已知关于x的方程2x2+kx-1=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.挑战自我16.(2013·乐山)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k 的值.参考答案课前预习要点感知b2-4ac (1)两个不相等242b b aca-+-242b b aca--(2)两个相等-(3)没有≠0预习练习1-1 A1-2 D1-3 B当堂训练1.A2.A3.(1)Δ=(-2)2-4×3×(-1)=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)Δ=(-1)2-4×2×1=-7＜0，∴方程没有实数根.(3)原方程可整理为x 2-2x+1=0，∴Δ=(-2)2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根.4.A5.C6.17.∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k 2-1，∴Δ=b 2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k 2-1)=8k+9.(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k+9＞0，解得k ＞98-. (2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即8k+9=0，解得k=-98-. (3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k+9＜0，解得k<-98-. 课后作业8.A 9.C 10.A 11.C 12.k ≤413.k ≤4且k ≠014.(1)Δ=(-5)2-4×3×(-1)=37>0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)Δ=(-8)2-4×1×16=0，∴方程有两个相等的实数根.(3)Δ=32-4×2×4=-23<0，∴方程没有实数根.15.(1)∵b 2-4ac=k 2-4×2×(-1)=k 2+8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2+8＞0，即b 2-4ac ＞0， ∴方程2x 2+kx-1=0有两个不相等的实数根.(2)由题意得2×(-1)2-k-1=0，∴k=1，∴原方程为2x 2+x-1=0.解得x 1=12，x 2=-1. 即k=1，方程的另一个根为x=12. 16.(1)∵Δ=(2k+1)2-4(k 2+k)=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)一元二次方程x 2-(2k+1)x+k 2+k=0的解为x=212k +，即x 1=k ，x 2=k+1. 当AB=k ，AC=k+1，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+1，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4. 所以k 的值为5或4.。
根的判别式练习题(含答案解析)
根的判别式练习题一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝时，△ABC是等腰三角形；当k＝时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】根据判别式的意义得到m≠0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是0．【分析】根据方程有实数根可知△≥0，据此求出m的取值范围，从而得到m的最大整数值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，∴△≥0，∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，∴﹣8m+4≥0，解得，m≤，故m的最大整数值是0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为10．【分析】讨论：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0可求出对应的n的值；当a＝b时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10．【解答】解：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得4﹣12+n﹣1＝0，解得n＝9，此时方程的根为2和4，而2+2＝4，故舍去；当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10，故答案为10．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值1或﹣9．．【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x ＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝1符合题意；②若x＝2是两个方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝2符合题意．综上此题得解．【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．①若x＝0是两个方程相同的实数根．将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，∴m＝1；②若x＝2是两个方程相同的实数根．将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，∴m＝﹣9．综上所述：m的值为1或﹣9．故答案为：1或﹣9．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝3或4时，△ABC是等腰三角形；当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若AB＝BC＝5时，把5代入方程即可求出k 的值，若AB＝AC时，则Δ＝0，列出关于k的方程，解出k的值即可；（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2＝25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．∵无论k取何值，Δ＞0，∴AB≠AC，故k只能取3或4；（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，解得k＝2或k＝﹣5．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，解得k ＞﹣1，∴k＝2．故答案为：3或4；2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为0．【分析】根据关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，可知是一元一次方程，依此求出a的值．【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，∴a＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0，且m﹣1≠0，解得：m≠1，所以m＞0且m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【分析】（1）分类讨论：当m＝0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，再进行判别式得到Δ＝（3m﹣1）2，易得△≥0，故判别式的意义得到方程有两个实数根，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）先利用求根公式得到x1＝﹣3，x2＝﹣，再利用方程有两个不同的整数根，且m 为正整数和整数的整除性易得m＝1．【解答】（1）证明：当m＝0时，方程变形为x+3＝0，解得x＝﹣3；当m≠0时，Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2，≥0，即△≥0，∴此时方程有两个实数根，所以不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）解：根据题意得m≠0且Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝（3m﹣1）2＞0，x＝，所以x1＝﹣3，x2＝﹣，∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时 一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________． 两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无 二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。
沪教版（上海）八年级上册数学17.3一元二次方程根的判别式同步练习（含答案）
沪教版（上海）八年级上册数学17.3一元二次方程根的判别式同步练习（含答案）17.3 一元二次方程根的判别式同步练习1．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )A ．x 2＋3＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1)2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝03．一元二次方程4x 2＋1＝4x 的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根4.方程2x 2－x －1＝0的根的判别式的值为________．5．一元二次方程12x 2＝2x －1的根的情况是__________________． 6．不解方程，判别下列方程根的情况．(1)x 2＋2x －3＝0；(2)5x 2＝－2(x －10)；(3)8x 2＋(m ＋1)x ＋m －7＝0.7．若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．m>94B ．m<94C ．m ＝94D ．m<－948．若关于x 的一元二次方程4x 2－4x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．49．如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是________．10．已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m ＝0.(1)当m 的值为17时，请利用根的判别式判断此方程的解的情况；(2)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根，并说明你的理由．11．已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取何值时，方程有两个实数根？(2)请你为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．12．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．13.若a 满足不等式组2a －1≤1，1－a 2＞2，则关于x 的方程(a －2)x 2－(2a －1)x ＋a ＋12＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能14．若关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤3B ．m ＜3C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠215．有两个一元二次方程M ：ax 2＋bx ＋c ＝0；N ：cx 2＋bx ＋a ＝0，其中ac≠0，a≠c.下列四个结论中，错误的是( )A ．如果方程M 有两个相等的实数根，那么方程N 也有两个相等的实数根B ．如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝116．若关于x 的方程kx 2－4x －23＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 17．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个相等的实数根，则2m 3－8mn ＋2017的值为________．18．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．19．若方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实数根，则m 应满足______________．20．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0.(1)求证：不论m 为何值时，方程总有实数根；(2)当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？参考答案1．D [解析] ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×5＝－4<0，∴方程没有实数根．故选D .2．C [解析] 计算根的判别式的值，再根据判别式的意义可对A ，B ，C 三项进行判断．由于D 项的两根可直接得到，所以显然D 项不符合题意．其中选项C 的判别式值为0.故选C .3．C [解析] 原方程可化为4x 2－4x ＋1＝0，∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选C .4．9 [解析] Δ＝(－1)2－4×2×(－1)＝9.5．有两个相等的实数根 [解析] 将原方程化为一般形式得12x 2－2x ＋1＝0，因为Δ＝(－2)2－4×12×1＝0，所以原方程有两个相等的实数根．6．解：(1)因为Δ＝b 2－4ac ＝4＋12＝16＞0，所以方程有两不相等的实数根．(2)原方程可化为5x 2＋2x －20＝0，因为Δ＝b 2－4ac ＝4＋4×5×20＝404＞0，所以方程有两不相等的实数根．(3)因为Δ＝(m ＋1)2－4×8(m －7)＝(m －15)2≥0，所以方程有实数根．7．B [解析] 根据题意，得Δ＝(－3)2－4m ＞0，解得m ＜94.故选B . 8．B [解析] ∵一元二次方程4x 2－4x ＋c ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4)2－4×4c ＝0，解得c ＝1.故选B .9．m ＜－410．解：(1)当m ＝17时，方程为x 2＋4x ＋17＝0.∵a ＝1，b ＝4，c ＝17，∴b 2－4ac ＝42－417＝4(4－17)＜0，∴此方程没有实数解．(2)要使方程有两个不相等的实数根，故方程根的判别式Δ＝16－4m ＞0，可得m ＜4.又m 为整数，故m 的值可以为3，2，1，…11．解：(1)由题意知Δ＝b 2－4ac ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝[－2(m ＋1)＋2m][－2(m ＋1)－2m]＝－2(－4m －2)＝8m ＋4≥0，解得m≥－12. ∴当m≥－12时，方程有两个实数根． (2)答案不唯一，如选取m ＝0，方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.12．解：(1)当x ＝1时，方程为1＋a ＋a －2＝0，得a ＝12.此时方程为x 2＋12x －32＝0，(x －1)(2x ＋3)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－32，∴方程的另一根为－32. (2)证明：Δ＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝a 2－4a ＋4＋4＝(a －2)2＋4.∵(a －2)2≥0，∴(a －2)2＋4＞0，∴Δ＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．13．C [解析] 解不等式组2a －1≤1，1－a 2＞2，得a ＜－3，∵Δ＝(2a －1)2－4(a －2)(a ＋12)＝2a ＋5，∵a ＜－3，∴Δ＝2a ＋5＜0，∴方程(a －2)x 2－(2a －1)x ＋a ＋12 ＝0没有实数根． 14．D [解析] 因为关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，所以m －2≠0且Δ≥0，即22－4×(m －2)×1≥0，解得m≤3，故m 的取值范围是m≤3且m≠2.15．D [解析] A 选项，如果方程M 有两个相等的实数根，那么Δ＝b 2－4ac ＝0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 选项，如果方程M 的两根符号相同，那么Δ＝b 2－4ac≥0，－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a >0，即c a ＞0，所以a 与c 符号相同，a c ＞0，又－b ＋b 2－4ac 2c ·－b －b 2－4ac 2c ＝a c ，所以方程N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C 选项，如果5是方程M 的一个根，那么25a ＋5b ＋c ＝0，两边同时除以25，得125c ＋15b ＋a ＝0，所以15是方程N 的一个根，结论正确，不符合题意； D 选项，如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么ax 2＋bx ＋c ＝cx 2＋bx ＋a ，(a －c)x 2＝a －c ，由a≠c ，得x 2＝1，x ＝±1，结论错误，符合题意．故选D .16．k≥－6 [解析] k ＝0时，－4x －23＝0，解得x ＝－16，符合题意；当k≠0时，方程kx 2－4x －23＝0是一元二次方程，根据题意可得Δ＝16－4k×(－23)≥0，解得k≥－6，k≠0，综上k≥－6.17．2017 [解析] ∵一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m 2－4n ＝0，∴2m 3－8mn ＋2017＝2m(m 2－4n)＋2017＝2017.18．解：(1)证明：∵在关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0中，a ＝1，b ＝－(2k ＋1)，c ＝k 2＋k ，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0，∴(x －k)[x －(k ＋1)]＝0，∴方程的两个不相等的实数根为x 1＝k ，x 2＝k ＋1.∵△ABC 的两边AB ，AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，∴有两种情况：第一种情况：x 1＝k ＝5，此时k ＝5，满足三角形构成条件；第二种情况：x 2＝k ＋1＝5，此时k ＝4，满足三角形构成条件．综上所述，k 的值为4或5.19．m ＞1且m ＜5 [解析] 设y ＝|x|，则原方程为：y 2－4y ＋5＝m.∵方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实数根，∴方程y 2－4y ＋5＝m 有2个互不相等的正实数根．设y 1与y 2是方程y 2－4y ＋5＝m 的两个根，∴Δ＝b 2－4ac ＝16－4(5－m)＝4m －4＞0，y 1·y 2＝5－m ＞0，∴m＞1且m ＜5.20．解：(1)证明：Δ＝(m ＋2)2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值时，都有(m －2)2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有实数根．(2)解方程，得x ＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m ， x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程有两个不相等的正整数根，∴m ＝1或m ＝2(不合题意)，∴m ＝1.。
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。
2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。
3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。
6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。
9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。
2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。
10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。
专题1-3 一元二次方程根的判别式(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》专题1-3 一元二次方程根的判别式◆1、一般地，式子b 2﹣4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2﹣4ac ．◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．◆3、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③计算b 2﹣4ac 的值；④根据b 2﹣4ac 的符合判定方程根的情况．◆4、运用根的判别式时的注意事项（1）将方程化成一般形式后才能确定a ，b ，c 的值．（2）确定a ，b ，c的值时不要漏掉符合．【例题1】（2023•淮南一模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．x 2+4＝2xB ．（x +1）2＝0C ．x 2﹣2023x ＝0D ．x 2+2＝3x【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．【解答】解：A 、方程x 2+4＝2x 可化为x 2﹣2x +4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程无实数根，故本选项符合题意；B 、∵方程（x +1）2＝0，∴x 1＝x 2＝﹣1，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；C、方程整理得x2﹣2023x＝0，∵Δ＝20232﹣4×1×0＝20232＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；D、方程整理得x2﹣3x+2＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春•淮北月考）方程2x2﹣5x+7＝0根的情况是（ ）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．无法判断【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：∵2x2﹣5x+7＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×7＝﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式1-2】（2023•新会区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）A．（x﹣3）2＝4B．x2＝x C．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断即可．【解答】解：A、∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x1＝1，x2＝5，故本选项不符合题意；B、∵x2＝x，∴x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1，故本选项不符合题意；C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式1-3】（2023•郯城县二模）一元二次方程3x2﹣5x＝﹣6的根的情况为（ ）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：一元二次方程3x²﹣5x＝﹣6可化为3x²﹣5x+6＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×6＝﹣47＜0，∴方程无实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式1-4】（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有一个根是x＝1【分析】先把x＝1代入方程x2+6x+c＝0可得到c＝﹣7，则方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＝8＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，解得c＝﹣7，所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．【变式1-5】（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为1【分析】根据根的判别式得到Δ＝1﹣4ac，根据a，c互为倒数，得到ac＝1，解之即可．【解答】解：关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的判别式为Δ＝1﹣4ac，∵a，c互为倒数，∴ac＝1，∴1﹣4ac＜0．∴原方程无实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的定义．【变式1-6】（2023•扶沟县二模）若|a﹣3|+=0，则关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+2＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先根据非负性求出a和b的值，再计算根的判别式的值得到Δ，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：∵|a﹣3|+=0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝3，b＝2，∴关于x的一元二次方程为x2+x+1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【例题2】（2023•安徽模拟）关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）A．﹣2B．﹣2或6C．6D．﹣6或2【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝（﹣k）2﹣4（k+3）＝0，解得k＝6或﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．【变式2-1】（2023•淮阳区校级三模）若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0 有两个相等实数根，则m 的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣9D．9【分析】由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有两个相等实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9．故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，由方程根的情况得到m的方程是解题的关键．【变式2-2】（2023春•乐清市月考）若关于x的方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（ ）A．﹣4B．4C．8D．16【分析】根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于c的方程，求解方程即可．【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴16﹣4c＞0，解得c＜4．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．【变式2-3】（2023•永嘉县二模）若关于x的方程x2+6x+18a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）A．―12B．12C．﹣2D．2【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×18a＝0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×18a＝0，解得a=1 2．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式2-4】（2023•驻马店二模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，则m 的值是．【分析】先计算根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0，由此建立关于m的方程解答即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+2﹣m＝0有两个相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4×1×（2﹣m）＝0，解得：m=―1 4．故答案为：―1 4．【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）当Δ＞0则方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ＝0则方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0则方程没有实数根．【变式2-5】（2023•永嘉县三模）若关于x的一元二次方程x2+bx+16＝0，有两个相等的实数根，则正数b的值是．【分析】先根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4×16＝0，然后解关于b的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4×16＝0，解得b1＝8，b2＝﹣8，所以正数b的值为8．故答案为：8．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【例题3】（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．【变式3-1】（2023•金水区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2k+1）＞0，解得k＜―3 8．故答案为：k＜―3 8．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式3-2】（2023•中牟县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，解得m≥0且m≠1，即m的取值范围为m≥0且m≠1．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．【变式3-3】（2023春•宁明县期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．【解答】解：根据题意得：Δ＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，解得：a≤―23，a≠﹣1，则整数a的最大值为﹣2．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，弄清题意是解本题的关键．【变式3-4】（2023•市北区三模）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可得到答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2+4（k﹣1）＞0，解得：k＞0且k≠1．故答案为：k＞0且k≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，解题时注意不能忽视二次项系数不为零的条件．【变式3-5】（2023•兰考县一模）如果关于x的一元二次方程kx2+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k＜13B．k＜13且k≠0C．―13≤k＜13且k≠0D．―13≤k＜1且k≠0【分析】首先根据一元二次方程的定义，确定字母k 的取值范围，然后结合根的判别式以及二次根式的定义继续求解k 的取值范围即可．【解答】解：∵原方程为一元二次方程，∴k ≠0，∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2―4k ＞0，解得：k ＜1，∴3k +1≥0，解得：k ≥―13，∴k 的取值范围是―13≤k ＜1且k ≠0，故选：D ．【点评】本题考查根据一元二次方程根的情况判断参数，理解根的判别式，以及一元二次方程的基本定义和二次根式的定义是解题关键．【变式3-6】（2023•西宁二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a ﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求一元二次方程的解．【分析】（1）根据方程根的判别式Δ＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；（2）由（1）可求得a 的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4（2a ﹣1）＞0，解得a ＜158，∴a 的取值范围为a ＜158；（2）∵a ＜158，且a 为正整数，∴a ＝1．此时，方程为x 2﹣3x +1＝0，解得：x1x2∴方程的根为x1x2【点评】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次的解法—公式法．【例题4】（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．【变式4-1】若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．【变式4-2】（2023•曹妃甸区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（ ）A．18B．10C．4D．2【分析】先根据根的判别式得到：Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，则m2﹣4m＝4，再将代数式8m﹣2m2+10变形后把m2﹣4m＝4代入计算即可．【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，整理，得m2﹣4m＝4，所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式4-3】关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是 ．【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，则b2﹣4a＝4，再将代数式8a﹣2b2+6变形后把b2﹣4a＝4代入计算即可．【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，∴b2﹣4a＝4，所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．【变式4-4】若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k （1﹣k）的值为（ ）A．3B．﹣3C．―72D．72【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，则k2+2k=12，然后利用代入的方法计算代数式的值．【解答】解：根据题意得Δ＝（2k）2﹣4×12×（1﹣4k）＝0，∴k2+2k=1 2，∴（k﹣2）2+2k（1﹣k）＝k2﹣4k+4+2k﹣2k2＝﹣k2﹣2k+4＝﹣（k2+2k）+4=―12+4=7 2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．【变式4-5】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，则a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1代入代数式得到a+1a，通分后得到a21a，再代入a2+1＝3a计算即可．【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=a+1a=a21a=3aa=3．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．【变式4-6】若关于x的一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，则代数式（3b﹣1）2﹣5b（2b―45）的值为 ．【分析】化简代数式得﹣（b2+2b）+1，根据一元二次方程根的判别式，求得b2+2b=12，代入即可．【解答】解：∵一元二次方程12x2﹣2bx﹣4b+1＝0有两个相等的实数根，∴（﹣2b）2﹣4×12×（﹣4b+1）＝4b2+8b﹣2＝0，∴b2+2b=1 2，∴（3b﹣1）2﹣5b（2b―45）＝﹣b2﹣2b+1＝﹣（b2+2b）+1=―12+1=12，故答案为：1 2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，多项式乘法，熟练掌握整体代入方法是解决问题的关键．【例题5】（2023•丰台区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而利用根的判别式的意义得到结论；（2）m可以取0，然后利用直接开平方法解方程．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝0时，方程化为x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式5-1】（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．【分析】（1）通过计算根的判别式进行推理证明；（2）将x＝1代入该方程，通过求解关于k的一元二次方程进行求解．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，整理，得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∴k的值为0或2．【点评】此题考查了一元二次方程的求解和根的判别式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．【变式5-2】（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的一个根为x＝2，∴22﹣4m+2m﹣1＝0，∴m=3 2；（2）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．【变式5-3】（2023•大兴区二模）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4×4m＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m+4）x+4m＝0，可得（x﹣4）（x﹣m）＝0，解得x1＝4，x2＝m，若该方程有一个根小于1，则m＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式5-4】（2023•顺义区二模）已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣b）2﹣4×（2b﹣4）＝b2﹣8b+16＝（b﹣4）2．∵（b﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣bx+2b﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣b+2）＝0，解得x1＝2，x2＝b﹣2，若方程有一个根为负数，则b﹣2＜0，故b＜2，∵b为正整数，∴b＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式5-5】（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1）＝4a2+4a+1﹣8a+8＝4a2﹣4a+1+8＝（2a﹣1）2+8，∵（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0，∴此方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9，∴（2a﹣1）2＝1，解得：a1＝0，a2＝1，∵a≠1，∴a＝0．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．【例题6】（2023•新乡三模）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝b2﹣ab，例如3※2＝22﹣3×2＝﹣2．若关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，则m的值可以是（ ）A．3B．2C．1D．0【分析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案．【解答】解：3※x＝﹣m，则x2﹣3x＝﹣m，故x2﹣3x+m＝0，∵关于x的方程3※x＝﹣m没有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0，解得：m＞9 4，∴m的值可以是3．故选：A．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的取值范围是解题关键．【变式6-1】（2023•内乡县三模）定义运算：a※b＝a2+ab，例如，2※2＝22+2×2＝8，若方程x※3＝﹣m 有两个不相等的实数根，则m的值可以为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】先根据新定义得到x2+3x＝﹣m，再把方程化为一般式得到x2+3x+m＝0，接着根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＞0，然后解不等式得到m的取值范围，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵x※3＝﹣m，∴x2+3x＝﹣m，即x2+3x+m＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝32﹣4m＞0，解得m＜9 4，∴m的值可以为2．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算．【变式6-2】（2023•枣庄二模）定义新运算a*b，对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】先根据新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到Δ＝4k2+5＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式6-3】（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】利用新定义得到x2+x﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式6-4】（2023•息县一模）定义新运算：a◎b＝ab﹣b2，例如1◎2＝1×2﹣22＝2﹣4＝﹣2，则方程2◎x＝5的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．【解答】解：方程2◎x＝5化为2x﹣x2＝5，一元二次方程化为一般式为x2﹣2x+5＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5＝﹣16＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．【变式6-5】定义新运算：对于任意实数，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，请判断方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情况．【分析】（1）根据新定义运算以及一元二次方程的解法即可求出答案．（2）先求出a的范围，然后根据判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x⊕（﹣4）＝6，∴x[x﹣（﹣4）]+1＝6，∴x2+4x﹣5＝0，解得：x＝1或x＝﹣5．（2）∵3⊕a＜10，∴3（3﹣a）+1＜10∴10﹣3a＜10∴a＞0，∴Δ＝（﹣b）2+8a＝b2+8a＞0，所以该方程有两个不相等的实数根．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式6-6】（2022•石家庄模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．【分析】（1）根据已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【解答】解：（1）∵x☆4＝20，∴4x2+4＝20，即4x2＝16，解得：x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．【例题7】（2023•宁南县模拟）已知等腰三角形ABC的一边长a＝6，另外两边的长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的两个根，则△ABC的周长为 ．【分析】分a＝6为腰和a＝6为底边两种情况分类讨论即可确定三角形的周长，注意运用三边关系进行验证．【解答】解：若a＝6为腰，则b、c中还有一腰，即6是方程x2﹣（3k+3）x+9k＝0的一个根，∴36﹣6（3k+3）+9k＝0，∴k ＝2，这时方程为x 2﹣9x +18＝0，其根为3、6，∴△ABC 的周长为6+6+3＝15；若a ＝6为底，则b ＝c ，即方程x 2﹣（3k +3）x +9k ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝[﹣（3k +3）]2﹣4×9k ＝0，解得：k ＝1，这时方程为x 2﹣6x +9＝0，∴x 1＝x 2＝3，但3+3＝6不能围成三角形，综上可得：△ABC 的周长为15．故答案为：15．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答（2）时要注意分类讨论，不要漏解．【变式7-1】（2022春•双流区期末）已知等腰△ABC 的底边长为3，两腰长恰好是关于x 的一元二次方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0的两根，则△ABC 的周长为 ．【分析】由题意知方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0有两个相等的实数根，据此得出k 的值，再利用三角形的周长公式可得答案．【解答】解：由题意知方程14kx 2―(k 3)x 2+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（―k 32）2﹣4×14k ×3＝0，。
九年级上册数学 《21.2.2第1课时一元二次方程的根的判别式》同步习题(含答案)
21.2.2第1课时一元二次方程的根的判别式01基础题知识点1利用根的判别式判别根的情况1．(滨州中考)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A) A．4 B．2C．0 D．－42．(丽水中考)下列一元二次方程没有实数根的是(B)A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝03．(山西第二次质量评估)下列一元二次方程有两个相等实数根的是(C) A．x2－4＝0 B．x2＋3x＝0C．x2－2x＋1＝0 D．(x＋2)(x－1)＝04．(吕梁期末)关于x的一元二次方程x2－kx－1＝0的根的情况是(D) A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x2＋8x＝－3；解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x 2－1)－5x ＝0.解：化为一般形式为3x 2－5x －3＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．知识点2 利用根的判别式确定字母的取值6．(吕梁期中)关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是(B)A ．k ≤92B ．k ＜92C ．k ≥92D ．k ＞927．(苏州中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A ．1B ．－1C ．2D ．－28．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实根，则a 的值可以是(D)A ．2B ．1C ．0.5D ．0.259．(益阳中考)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝1，x 2＝－1，那么下列结论一定成立的是(A)A ．b 2－4ac>0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac<0D ．b 2－4ac ≤010．(黔西南中考)已知关于x 的方程x 2＋2x －(m －2)＝0没有实数根，则m 的取值范围是m<1．11．当k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＝－k 2＋2k ＋3：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实根．解：原方程整理为x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k －3＝0，Δ＝(2k －1)2－4(k 2－2k －3)＝4k ＋13.(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即4k ＋13>0，解得k>－134. (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即4k ＋13＝0，解得k ＝－134. (3)当Δ<0时，方程没有实数根，即4k ＋13<0，解得k<－134.易错点 概念不清12．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值． 解：因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程，∴k ≠0.∴k 的最小整数值为1.【T12变式】 若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－1． 02 中档题13．(攀枝花中考)关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围是(C)A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠114．(临汾市襄汾县期末)已知a ，b ，c 为常数，且(a －c)2＞a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一根为0D ．无实数根15．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B)16．(贺州中考)已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是0．17．若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是k ≤4且k ≠0．18．(岳阳中考)在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为2．19．(汕尾中考)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12. 将a ＝12代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．03综合题20．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴2a－2b＝0.∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.∴4b2－4a2＋4c2＝0.∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形．。
专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-
For personal use only in study and research;not for commercial use一元二次方程根的判别式姓名◆课前预习1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可用b2－4ac来判定，b2－4ac叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4ac>0⇔方程_________；（2）b2－4ac=0⇔方程_________；（3）b2－4ac<0⇔方程_________．2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．◆互动课堂【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－5x+3=0；（2）x2（3）3x2+2=4x（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1））=0．求证：无论k取什么实数值，x+4（k－12这个方程总有实数根；【例4】已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．◆跟进课堂1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△=________．2．已知关于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有实数根，则m的取值范围是______．3．如果方程x2－2x－m+3=0有两个相等的实数根，则m的值为_______，此时方程的根为________．4．若关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是______．5．若关于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是_______．6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．x+3=0A．x2+2x－1=0 B．x2+2C．x2D．－x2+x+2=07．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．28．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）．A．x2－x+1=0 B．x2－2x+3=0 C．x2+x －1=0 D．x2+4=09．如果关于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）．A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>110．关于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情况是（）．A．有两个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根◆课外作业1.在下列方程中，有实数根的是（ ）（A ）x 2+3x+1=0 （B（C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11x -2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a－4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（ ）．A 、1或－4B 、1C 、－4D 、－1或44．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ． 5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．6.不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（(3 )x2-2kx+（2k-1）=0 (x为未知数)7．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m －1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．8．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b有两个相等的实数根，试判（x2－m）－断△ABC的形状．10．如果关于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m－•5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情况．11．已知关于x的方程（n－1）x2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；（2）如果方程①的一个根是－1，求方程②的2根．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
中考数学考前训练：《一元二次方程根的判别式》专题测试及答案
一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（123【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥∴当m ≥且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥ 探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成跟踪训练：一、填空题： 1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。